人教版高中数学必修一1.1.2 集合间的基本关系 - 能力提高

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人教版必修一高一数学课件：1-1-2集合间的基本关系.pptx

读作：A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
B A
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10
A
=
B⇔Biblioteka A B⊆ ⊆B A
结论：任何一个集合是它本身的子集
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11
A B
x

A

A
刭B(或B
A)
x B
B {x | x 2}
且满足，A 求 aB的值。
2、设集合 A {四边形}，B {平行四边形}，C {矩形}
D {正方形} 试用Venn图表示它们之间的关系。
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2、已知，x N A 5, x, x2 4x
B 2, x2 4, x 6
若A=B，试求的值x。
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B
A
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包含真包含相等
9
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作：A ⊆ B(或B ⊇ A)
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4

x R | x2 9 0
2,3,5, 7
x | x 2
(1, 4)
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6

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7
1、若，x 则N中的元素5,必x须, x满2 足4什x么条件？ x

1.1.2集合间的基本关系(新人教版A必修1)

2 2
B {0}满足条件； (b)B 时， 4(a 1) 4( a 1) 0, 解得a 1
2 2
综合(1)、 (2)知，所求实数a的值a 1, 或a 1.
练习：已知A＝{x | x2－2x－3＝0},
B＝{x | ax－1＝0},
若BA, 求实数a的值．
证明两集合相等.
形 }，
若A B且 B A, 则A=B; 反之,亦然.
例A＝{ x|x是两边相等的三角
B＝{ x|x是等腰三角形}，
A(B)
有AB，BA，则A＝B
（2）真子集
对于两个集合A与B,如果A B,但存在元素x B, 且x A ,则称集合 A是集合B的真子集．记作A B
⑵写出所有{a，b，c}的所有子集； ⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集. 解：⑴所有子集为，{a}，{b}，{a，b}； ⑵所有子集为，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，b，c}， {a，c}，{b， c}； ⑶所有子集为，{a}，{b}，{c}，{d}，{a, b}，{b, c}， {a, d}，{a, c}， {b, d}， {c, d}， {a，b，c}，{a， b，d}， {b，c，d}， {a，d，c} {a，b，c，d}；注意：一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n－1个，非空真子集2n －2个.
B为这个班学生的全体组成的集合;
⑶ 设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.
1．子集的概念
文字语言
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作 A B ( 或B A) 读作 “A含于B”( 或“B包含A” )

集合间的基本关系教学设计-数学人教A版必修1

⎧⎨⎩A ⊆BA =B ⇔B ⊆A针对练习：A={平面内四边相等的四边形}， B={菱形}，集合A 与B 的关系是探究三真子集思考：观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：A={1,5}, B={1,3,5}；（2）A={四边形}, B={平行四边形}定义：如果集合A ⊆B,但存在元素x ∈B,且x ∉A ，并且A≠B,称集合A 是集合B 的真子集．记作： A B （或B A ）读作：“A 真含于B ”（或B 真包含A ）。

韦恩图表示：针对练习：1.已知集合，，则下列关系中正确的是（） A. B ． C ． 2.若集合M ={x |x ≤6}，a =2，则下面结论中正确的是（）A ．B ．C ．D ．探究四空集 1.我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集。

空集是任何非空集合的真子集。

即φB ，（B φ≠）例如:方程x 2+1=0没有实数根,所以方程 x 2+1=0的实数根组成的集合为φ。

问题：你还能举几个空集的例子吗？ 2.深化概念：（1）包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈有练习巩固集合相等的定义，由具体例子让学生概括出真子集的含义.学生学以致用通过具体的例子巩固空集的含义辨析⊆、∈、之间的区别，提高学生解决问题的能力。

提高学生分析、解决问题的能力提高学生分析、解决问题的能力提高学生抽象思维的能力B A什么区别？答案：前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系. （2）集合 A B 与集合B A ⊆有什么区别？答案： A = B 或A B.（3）0，{0}与 Φ三者之间有什么关系? 答案：{0}与Φ ：{0}是含有一个元素0的集合， Φ是不含任何元素的集合。

如 Φ{0}不能写成Φ ={0}，Φ ∈{0}3.结论：由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆。

（2）对于集合A 、B 、C ，若,,A B B C ⊆⊆则C A ⊆（类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）。

人教版高中数学必修一1.1.2集合间的基本关系 (2)ppt课件

典例精析
例1 写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真对于集合{a,b,c}呢？
注：若集合A有n个元素，记card(A)=n,则
2 集合A的所有子集个数有个. n
典例剖析：利用集合间关系解题
例 2 已知集合 A{x| x2 x20
B{x| ax1},等
文字语言：用子集概念描述：如果集合A是集合B的子集（ A⊆B 且集合B也是集合A的子集（ B⊆A），因此集合A和集合B中的元素是一样的，就说A与B相等，记A=B.
符号语言: A⊆B，且B⊆A⇔A=B
类似于a≥b，b≥a，则a=b.
A
规定: 空集是任何集合的子集，即 ⊆A.
空集是任何非空集合的真子集.
子集的性质
①A A；
② A；
③对集合A，B，C，若
则 A C.
，A 且 B ， B C
随堂练习
课本第7页第2题第3题
另：与用在 _ _ _ _ _ 和 _ _ _ _ _ _ 之间 .
( ) 与 ( ) 用在 _ _ _ _ _ 和 _ _ _ _ _ _ 之
观察思考
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗
（1）A={1,2, 3}, B={1, 2, 3, 4 ,5};
（2）A={光明中学09届高一女生}， B={光明中学09届高一学生}；
（3）设C＝{x|x是两条边相等的三角形},
D={x|x是等腰三角形}；
（4）A={1,2}, B={2,3}.
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。

高一数学人教A版必修1课件：1.1.2 集合间的基本关系

若 A B，则实数a的取值范围是_______________.
{a|a≤-5或a≥5}
1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合 M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，
N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，则(
)
A．M＝N B．M N C．M N D．M 与 N 的关系不确定
[解析] 解法 1：用列举法，
(3)不等式3x 4 2x的解集.
C {x | 3x 4 2x} {x | x 4} 5
一、新课讲解
思考：下面两个集合的元素之间有何关系
集合A
集合B
集合A中的每一个元素都在集合B内
二、新课讲解
思考：下面集合A与集合B的元素间有何关系 (1) A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}; (2) A={x | x 为澄海中学高一级学生}， B={x | x为澄海中学学生} (3) A={x︱x是两条边相等的三角形}， B={x︱x是等腰三角形} 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素
AB
二、新课讲解
1、子集一般地，对于两个集合A，B，如果集合A的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A是集合B的子集，记作A B (或B A). 读作：A含于B (或 B包含A).
子集：描述的是两个集合之间的关系
B A
在数学中经常用平面上封闭的曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图(韦恩图).
C 则实数a的值可以是（）
A.1 B. - 2 C.6 D.2
课前热身：
4、已知集合M {2, 3x2 3x 4, x2 x 4}，
若2 M, 则x _2__或____3
解：(1) 若3x2 3x 4 2，解得x 1或 2， x 1时，x2 x 4 2，与集合中元素的互异性矛盾；

人教版教材高中数学必修一1.1.2《集合间的基本关系》教学课件

•对于集合A，B，C，如果A B且B C，那么A C。
•如果A B，同时B A，那么A＝B。
2、下列命题正确的有几个 B
（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（空集是任何非空集合的真子集）
（4）若的元素个数为零
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
因此有∅ {0}，∅＝{0}与∅∈{0}都是错误的．要正确地判断元素与集合，集合与集合之间的关系．
• 3．正确地理解子集、真子集的概念
• 如果A是B的子集(即A⊆B)，那么有A是B的真子集(A B)或A与B相等(A＝B)两种情况． “ A B” 和 “ A ＝ B” 二者必居其一．反过来，A是B的真子集(A B)也可以
3、下列写法中正确的是（ 3、）4、6
（1） 0；（2） 0；（3）；
（4）；（5） 0；（6） 0
【课堂小结】
(1).任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2).对于集合A、B、C，如果A B且B C那么A C. (3).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (4).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (5).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (6).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C.
【注意点】
（1）子集与真子集符号的方向。如A B与B A同义；A B与A B不同
（2）易混符号 ①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；
集合与集合之间是包含关系。如：1 N，—1N，Φ R，{1} {1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合， Φ是不含任何元素的集合。

人教版教材高中数学必修一1.1.2《集合间的基本关系》ppt

【思考】对于集合的子集，能否将B的子集A理解为是由B的
“部分元素”组成的？
提示：
素.
由集合间关系求参数问题【技法点拨】
由集合间关系求参数的方法及关注点 (1)方法 ①若集合中的元素是一一列举的，依据集合之间的关系，转化为解方程(组)求解，此时要注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集，常借助于数轴转化为不等式 (组)求解，此时需注意端点值能否取到. (2)关注点：对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.
1.1.2 集合间的基本关系
1.理解集合之间的包含与相等的含义. 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系. 3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.
1.本课重点是对子集、真子集、空集等概念的理解. 2.本课难点是子集有关概念的简单运用.
1.Venn图 Venn图表示集合的优点在于：形象直观，通常用平面上_封__闭__ _的__曲__线__的_内__部__代表集合.
1.子集概念解读若A⊆B，则A有以下三种情况： ①A是空集； ②A是由B的部分元素构成的集合； ③A是由B的全部元素构成的集合.
2.集合间的关系与实数中的结论对比
实数 a≤b包含两层含义：a=b或 a<b.
集合 A⊆B包含两层含义：A=B或 A B.
若a≥b,且a≤b,则a=b.
若A⊆B，且B⊆A，则A=B.
(D)1⊆Q
【解析】选D.元素与集合之间是从属关系，不是包含关系，故
D错误，其余都正确.
3.集合A={x|0≤x<4,且x∈N}的真子集的个数是( )
(A)16
(B)8
(C)15
(D)4
【解析】选C.A={x|0≤x<4,且x∈N}={0，1，2，3}，故其真

第一章-1.2-集合间的基本关系高中数学必修第一册人教A版

24 424
集合A中，故 ⫋ .

2
1
4
方法2 （特征法）集合A中的元素为 = + =

4
1
2
= + =
+2
4
2+1
(
4
∈ Z),集合B中的元素为
∈ ,而2 + 1 ∈ 为奇数, + 2 ∈ 为整数,故 ⫋ .
例12 ［多选题］已知集合 = {1，2，3}， = {| ⊆ },则下列结论正确的是
例3-5 (2024·福建省福州超德中学段考)若集合 = {−1，1}， = {| = 2}，且
⊆ ，则实数的值是 ( D
A.−2
B.2
)
C.2或−2
D.2或−2或0
【解析】当 = ⌀ 时（【明易错】在遇到 ⊆ 的情况时，一定要讨论B是否为⌀ ，
为⌀ 的情况易被忽视）， = 0，符合题意，
33 + 73 + 08，153，370}，
所以真子集个数为23 − 1 = 7．
例15 (2024·福建省厦门十中段考)已知集合 = {1,3,5}，则集合的所有非空子集的
36
元素之和为____.
【解析】集合的非空子集分别是：{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}.
当 = {−1}时， = −2,
当 = {1}时， = 2.
知识点4 有限集合的子集、真子集的个数
例4-6 (2024·广东省惠州市期中)若集合满足 ⫋ {1，2}，则满足题意的的个数为
( B
A.2
)
B.3
C.4
【解析】集合满足 ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，

人教A版高中数学必修一：1.1.2集合间的基本关系

B A
A（B）
研修班
6
A
=
B
⇔
A B
⊆ ⊆
B A
结论：任何一个集合是它本身的子集
研修班
7
A B
zxxkw
x A

A
B(或B
A)
x B
B A
研修班
8
不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：
规定：
1.空集是任何集合的子集，
2.空集是任何非空集合的真子集。
研修班
9
结合上述集合间的基本关系，可以得到以下结论：
（1） A A 反身性
（2）A B，且B C，则A C 传递性
研修班
10
1、已知集合 A {x | a x 5}
B {x | x 2}
且满足 A B ，求a的值。
2、设集合 A {四边形}，B {平行四边形}，C {矩形}
研修班
4
包含真包含相等
研修班
5
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合
B的元素z，xxkw 我们说这两个集合有包含关系，称集合
A是集合B的子集（subset）。
记作：A ⊆ B(或B ⊇ A)
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读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
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高中数学课件
1.1.2《集合间的基本关系》 zxxkw
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研修班
2
集合
含义与表示基本关系基本运算
集合的特性元素和集合间的关系集合的表示方法

人教版必修一1.1.2集合间的基本关系(共15张PPT)

三、知识应用
1、区分∅与{0}，0，会用正确符号写出他们的关系。
2、能画出对应集合之间的Venn图。
3、①A={x|-3<x<5} B={x|x<a} ,若A B,则实数a的取
值范围。
三、知识应用
②A={x|x2+x-6=0},B={y|ay+1=0},若B A,则a可取的
值有哪些？
三、知识应用
例写出集合{a，b}的所有子集，来自指出哪些是它的真子集.解：集合{a，b}的所有子集为ø，{a}，{b}，{a，b}. 真子集为 ø,{a}，{b}.
写出它的非空子集及非空真子集。
例：写出集合{a，b，c}的所有子集. 解：集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a， b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.
注意：含有n个元素集合的子集数为2n，真子集数为 2n-1，非空真子集数为2n-2.解题时可以依据上面的结论检验解答正确与否.
二、基础练习
1 用适当的符号填空：
1) a____{a，b，c}； 2) 0____{x|x2=0}； 3) ∅ ____{x∈R|x2+1=0}； 4) {0，1} ____N； 5) {0} ____{x|x2=x}； 6) {2，1} ____{x|x2-3x+2=0}.
为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路遥知马力，日久见人心！天气影响身体，身体决定思想，思想左右心情。别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！一个今天胜过两个明天。当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。种子牢记着雨滴献身的叮嘱，增强了冒尖的气。年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。大器不必晚成，趁着年轻，努力让自己的才能创造最大的价值。如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光。要想成为强乾，决不能绕过挡道的荆棘也不能回避风雨的冲刷。如果敌人让你生气，那说明你没有胜他的把握。掉进知识情网中的人，时时品尝着知识的甜蜜。永远不要埋怨你已经发生的事情，要么就改变它，要么就安静的接受它。

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m=2.
罗老师工作室
【补偿训练】已知集合A
{x∈N|-1<x<4},且A中至少有一个元素为
奇数,则集合A共有多少个?并用恰当的方法表示这些集合.
罗老师工作室
【解析】这样的集合A共有11个.
因为{x∈N|-1<x<4}={0,1,2,3},
又A {0,1,2,3}且A中至少含有一个奇数.
故A中只含有一个元素时, A可以为{1},{3},A中含两个元素时,A可以为{1,0},{1,2},{1,3}, {3,0},{3,2},A中含三个元素时,A可以为{1,0,2},{3,0,2},
【变式训练】已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4个子集,则实
数m= A.1 ( ) B.2 C.3 D.4
【解题指南】根据题意,由集合的子集与其元素数目的关系,可得M中有2个元素,结合题意,由M中元素的特点,可得m的值,即可得答案.
罗老师工作室
【解析】选B.根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素,又由 M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数,则
罗老师工作室
【方法技巧】两集合间关系的判断步骤 (1)判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A⊆B,否则A⊈B. (2)判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则
B⊆A,否则B⊈A.
(3)若既有A⊆B,又有B⊆A,则A=B.
罗老师工作室
【补偿训练】已知集合
则集合A，B满足的关系是关系)．
1.1.2 集合间的基本关系
子集，真子集能力提高
本课件由mzluo整理
罗老师工作室
【题型探究】
类型一集合关系的判断
【典例】1.若集合M={x|x2-1=0},T={-1,0,1},则M与T的关系
是
A.M
(
T
)
B.M T C.M=T D.M⊈T
罗老师工作室
2.指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}. (2)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}. (3)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}. (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.
罗老师工作室
(3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形 ,故 A B.
(4)方法一:两个集合都表示正奇数组成的集合 ,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N M. M.
方法二:由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N
k 1 k 1 A {x | x ＋，k Z}，B {x | x ＋，k Z}， 2 4 4 2
(用“⊆”“ ”“=”连接A，B的
罗老师工作室
【解析】方法一：用列举法，令k=-2,-1,0,1,2，„可得
3 1 1 3 5 A {，，，，，， }， 4 4 4 4 4 1 1 3 B {，，，，， 0 1， }，所以A 4 B.2 4
罗老师工作室
【解题探究】1.典例1中集合M中的元素是什么?
提示:集合M中的元素是-1,1.
2.典例2判断两个集合关系的关键是什么?
提示:判断两个集合关系的关键是找到两个集合间元素之间的关系 .
罗老师工作室
【解析】1.选A.M={-1,1},T={-1,0,1},所以M
T.
2.(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B 之间无包含关系. (2)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A B.
数m的取值范围是
.
罗老师工作室
【解题探究】本例中应如何分析连续数集之间的包含关系? 提示:对于两个连续数集可用数轴分析法通过画数轴来分析它们之间
的包含关系.
罗老师ห้องสมุดไป่ตู้作室
【解析】由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4,
又m>1,所以1<m≤4.
答案:1<m≤4
罗老师工作室
【延伸探究】 1.(变换条件)本例若将集合“B={x|1<x<m}(m>1)”改为 “B={x|1<x<m}”,其他条件不变,则实数m的取值范围又是什么? 【解析】若m≤1,则B=∅,满足B⊆A. 若m>1,则由例题解析可知1<m≤4. 综上可知m≤4.
方法二：集合A的元素为x= (k∈Z)，集合B的元素为x= B.
k 1 A k 2B 答案：＋ 4 2 4
k 1 2k 1 (k∈Z)，而2k＋1为奇数， k＋2为整数，所以A ＋ 2 4 4
罗老师工作室
类型二
关于子集、真子集的个数问题 )
【典例】1.(2015·福州高一检测)集合{a,b}的子集个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
2.若集合{1,2}⊆M
{1,2,3,4},试写出满足条件的所有的集合M.
罗老师工作室
【解题探究】1.典例1中集合元素有限,应如何写出其子集?
提示:当集合中元素有限时可将其子集逐个列举出来.
2.典例2中集合M中至少含有几个元素?
提示:集合M中至少含有1和2两个元素.
罗老师工作室
【解析】1.选D.当子集不含元素时,即为∅;当子集中含有一个元素时, 其子集为{a},{b};当子集中有两个元素时,其子集为{a,b},故子集个数为4. 2.由于{1,2}⊆M,故1,2∈M,又M 有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}. {1,2,3,4},所以符合条件的集合M
{1,3,0},{1,3,2},
所以综上可知,满足条件的集合A为:{1},{3},{1,0},{1,2},{1,3}, {3,0},{3,2},{1,0,2},{3,0,2},{1,3,0},{1,3,2}.
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类型三
由集合间的包含关系求参数
【典例】已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m}(m>1),且B⊆A,则实
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【方法技巧】集合子集个数的规律及一个注意点 (1)规律:集合子集、真子集个数的规律是:含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合的子集有2n个,非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.
(2)注意点:解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合,即∅和集合
本身.
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