基本初等函数II

初等函数、简单函数、复合函数、初等函数的概念及
关系
1.初等函数：
初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算（加、减、乘、除）与有限次复合形成的函数。

基本初等函数包括以下几种类型：-常数函数：如f（x）=C，C是常数。

-幂函数：如f（x）=x^n，n为实数。

-指数函数：如f（x）=a^x，a>0且a≠1.
-对数函数：如f（x）=log_a（x），a>0且a≠1.
-三角函数：sin（x），cos（x），tan（x），cot（x），sec（x），csc（x）及其逆函数（反三角函数）。

2.简单函数：
简单函数通常是指构成复杂函数的基本单元，它们相对独立且形式较为简单。

在解决具体问题时，简单函数可能指的就是上述基本初等函数，或者是通过基本初等函数进行一次或几次基本运算（如加法、乘法等）得到的函数。

3.复合函数：
复合函数是两个或多个函数通过变量的代换相互结合而成的新
函数。

如果存在两个函数f和g，那么可以定义一个复合函数h（x）=f（g（x）），其中g的值域需包含在f的定义域内。

例如，`h（x）
=sin（2x）`就是一个复合函数，其中`g（x）=2x`作为外层函数的“内层”被嵌套到`f（u）=sin（u）`中。

关系上：
-所有的基本初等函数都是简单函数。

-简单函数经过组合（包括复合和四则运算）可以形成更复杂的初等函数。

-复合函数是构造初等函数过程中的一种重要手段，它可以将几个简单函数联接起来构建新的、具有更丰富特性的函数表达式。

在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。

一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。

它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。

二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。

幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。

3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。

② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。

③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。

2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。

初等函数是指由一系列基本初等函数的线性组合而成的函数。

基本初等函数是指不能再由其他初等函数组合而成的函数，其中常见的基本初等函数包括以下几种：
常数函数：是指不随变量变化而变化的函数，例如y=1。

单位函数：是指对于所有的x都有y=1的函数，例如y=1。

一次函数：是指可以表示为y=ax+b的函数，其中a和b是常数。

幂函数：是指可以表示为y=ax^n的函数，其中a和n是常数。

对数函数：是指可以表示为y=logax的函数，其中a是常数。

初等函数是由基本初等函数线性组合而成的函数，可以用若干个基本初等函数的乘积或和的形式表示。

例如，y=2x+3和y=3x^2+4x+1都是初等函数，因为它们都可以由基本初等函数组合而成。

基本初等函数是初等函数的基本构成单位，而初等函数则是由基本初等函数的线性组合而成的函数。

在数学中，初等函数的性质和基本初等函数的性质是相似的，因此初等函数也具有一些基本初等函数的性质。

例如，初等函数的导数也是初等函数，这是因为导数的计算公式中包含了常数项，而常数项是基本初等函数之一。

此外，初等函数也具有可积性，这是因为积分的计算公式中也包含了常数项。

总之，基本初等函数是初等函数的基本构成单位，而初等函数则是由基本初等函数的线性组合而成的函数，它们之间存在着密切的联系。

基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。

下面将对基本初等函数的知识点进行总结。

一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。

它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。

多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。

二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。

指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。

三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。

对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。

四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。

三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。

五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。

反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。

基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。

五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。

如，，，都是幂函数。

没有统一的定义域，定义域由值确定。

如,。

但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。

当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。

下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。

图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。

高等数学中常用的指数函数是时，即。

以与为例绘出图形，如图1-1-4。

图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。

当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。

与互为反函数。

当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。

以为例绘出图形，如图1-1-5。

图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。

对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。

它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。

图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。

周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。

在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。

图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。

图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。

图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。

专题二：函数、基本初等函数的图象与性质【知识链接】一、函数的有关概念：设A,B 非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A 中的任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的是)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数。

1.函数的三要素：⎪⎩⎪⎨⎧对应法则值域定义域2.函数相等：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等。

3.函数的表示法：⎪⎩⎪⎨⎧关系式法图像法列表法4.函数的定义域： ①分式的分母不为0②根式的被开方数大于或等于0③对数的真数大于0，底数大于0且不等于1 ④零次幂的底数不等于0⑤三角函数中的正切x y tan =；)(2Z k k x ∈+≠ππ⑥已知函数)(x f 的定义域为D ，求函数)]([x g f 的定义域，只需D x g ∈)(⑦已知函数)]([x g f 的定义域，求函数)(x f 的定义域，只需{})(x g y y x =∈，即)(x g 的值域。

二、函数的基本性质⎪⎩⎪⎨⎧周期性奇偶性单调性注意：①若)()(x f a x f =+，则)(x f 是周期为a 的周期函数；若)()(x f a x f -=+则)(x f 是周期为a 2的周期函数；若)0()(1)(≠=+a x f a x f 恒成立，则)(x f 是周期为a 2的周期函数；若)0()(1)(≠-=+a x f a x f 恒成立，则)(x f 是周期为a 2的周期函数。

②若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x ≠==，则)(x f y =必是周期函数，且周期为b a T -=2③若)(x f y =图像有两个对称中心))(0,(),0,(b a b B a A ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为 b a T -=2④若)(x f y =的图像有一条对称中心)0,(a A 和一条对称轴)(b a b x ≠=，则函数必是周期函数且 周期为b a T -=4⑤若)()(x b f a x f -=+，则函数)(x f 的图像关于2ba x +=轴对称。

基本初等函数知识点总结1.常数函数：常数函数是指函数的值在定义域内都保持不变的函数。

表示为f(x)=c，其中c是常数。

常数函数的图像是一条平行于x轴的直线。

常数函数的性质是恒等性，即f(x)=f(x')，对于任意x和x'都成立。

2.平方函数：平方函数是指函数的值与自变量的平方成正比的函数。

表示为f(x)=x²。

平方函数的图像是一条开口向上的抛物线。

平方函数的性质是奇偶性，即f(-x)=f(x)，对于任意实数x都成立。

3.立方函数：立方函数是指函数的值与自变量的立方成正比的函数。

表示为f(x)=x³。

立方函数的图像是一条通过原点且存在于所有象限的曲线。

立方函数的性质是单调性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)或f(x₁)>f(x₂)成立。

4.绝对值函数：绝对值函数是指函数的值与自变量的绝对值成正比的函数。

表示为f(x)=，x。

绝对值函数的图像是一条以原点为顶点且对称于y轴的V字形曲线。

绝对值函数的性质是非负性，即对于任意实数x，有f(x)≥0成立。

5.指数函数：指数函数是指函数的值与自变量的指数幂成正比的函数。

表示为f(x)=aˣ，其中a是一个正实数且a≠1、指数函数的图像是一条通过点(0,1)且与x轴和y轴都无交点的曲线。

指数函数的性质是增长性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)成立。

6. 对数函数：对数函数是指函数的值与自变量的对数成正比的函数。

表示为f(x)=logₐ(x)，其中a是一个正实数且a≠1、对数函数的图像是一条通过点(1, 0)且与x轴和y轴都无交点的曲线。

对数函数的性质是单调性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)成立。

7. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

正弦函数表示为f(x)=sin(x)，余弦函数表示为f(x)=cos(x)，正切函数表示为f(x)=tan(x)。

§2-9 §2-10 基本初等函数（1）（2）一复习要点：本章复习的基本初等函数包括（1） 正比例函数（2） 反比例函数（3） 一次函数（4） 二次函数（5） 指数函数（6） 对数函数二次函数知识要点：1、二次函数有以下三种解析式：一般式：__________________________________顶点式：___________________________________零点式：________________________其中21,x x 是方程02=++c bx ax 的根2、研究二次函数的图像要抓住开口方向、顶点坐标，讨论二次函数的单调性和最值除抓住开口方向、顶点坐标外，还要抓住对称轴与所给区间的相对位置。

3、二次函数与一元一次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化①)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图像与x 轴交点的横坐标是方程f(x)=0的实根； ②当____ ___时，f(x)>0恒成立，当___ ____时，f(x)≤0恒成立。

结论成立的条件是x R ∈。

4、利用二次函数的图像和性质，讨论一元二次方程实根的分布：设21,x x 是方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>的两个实根，写出下列各情况的充要条件①当m x m x ><21,时，_____________________________________________ ②当在),(n m 有且只有一个实根时，___________________________________ ③当在),(n m 内有两个不相等的实根时，_______________________________ ④当两根分别在),(n m ,),(q p 且Φ=⋂),(),(q p n m 时，________________5、奇偶性：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 成为偶函数的充要条件是二例与练：1、已知函数1)3()(2+-+=x m mx x f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值区间是（ D ）(A) ]1,0( (B) (0,1) (C) )1,(-∞ (D) ]1,(-∞2、设0>b ，二次函数221y ax bx a a =+++-的图像为下列之一，则a 的值为（C ）（A ） 1 (B) -1 (C) 251-- (D) 251+-3、不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_(]2,2-4、在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最_____值（填“大”或“小”），且该值为____（大 ； -3）5．设y x ,是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是（ C ）(A)449-(B)18 (C)8 (D)436．若函数)3(log )(2+-=ax x x f a 在区间]2,(a -∞上为减函数，则a 的取值范围为（ C ）(A) (0,1) (B)(),1+∞ (C))32,1( (D))32,1()1,0(⋃7.已知二次函数的图像经过（1，3）（2，2）（-1，-1）三点（１）求此二次函数的解析式（２）求二次函数的顶点M 的坐标，对称轴方程，并画出图像（３）设抛物线与x 轴交于A ，B 两点，求△AMB 的面积8．设函数2(0)()(0)2x x bx c f x x ≤⎧++=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =解的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．求下列函数的定义域和值域（1）212log (617)y x x =-+（2）23log (65)y x x =-+（3）如果函数)2(log 22+++=a ax x y 的定义域为R.求a 的取值范围.（4）如果函数)2(log 22+++=a ax x y 的值域为R.求a 的取值范围.10．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；(Ⅲ)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．（I）g(x)＝22x x-+. (II)原不等式的解集为[-1, 12]；(III) 0λ≤11．已知函数3()2f x x ax=+与2()g x bx c=+的图像都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线。