福建省福州市2015届高中毕业班第二次质量检测数学文试题及答案

15．若直线xb=1(a>0,b>0)过点(1,1)，则a+b的最小值等于（13，且α为第四象限角，则tanα的值等于（A．125C．122015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1+i)+(2-3i)=a+bi（a,b∈R,i是虚数单位），则a,b的值分别等于（）A．3,-2B．3,2C．3,-3D．-1,42．【考点】若集合M={x-2≤x<2}，N={0,1,2}，则M N等于（）A．{0}B．{}C．{0,1,2}D{0,1}3．下列函数为奇函数的是()A．y=x B．y=e x C．y=cos x D．y=e x-e-x4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x的值为1，则输出y的值为（A．2B．7C．8D．128）a+y）A．2B．3C．4D．56．若sinα=-5）5B ．-1255D．-12A ． -3f ( x ) = ⎨ 1的图像上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于 A ． 110．变量 x , y 满足约束条件 ⎨ x - 2y + 2 ≥ 0 ，若 z = 2 x - y 的最大值为 2，则实数 m 等于（ ）⎪mx - y ≤ 0 2 ) ， k sin x cos x < x”是“ k < 1 ”的（347．设 a = (1,2) ， b = (1,1) ， c = a + kb ．若 b ⊥ c ，则实数 k 的值等于（）5 5 3 B ． -C ．D ．23328 ． 如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ， 点 A 在 x 轴 上 ， 点 B 的 坐 标 为 (1,0) ． 且 点 C 与 点 D 在 函 数⎧ x + 1, x ≥ 0 ⎪⎪⎩- 2 x + 1, x < 0（）1 3 1B ．C ．D ．64 8 29．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ． 8 + 2 2B ．11 + 2 2C ．14 + 2 2D ．15⎧ x + y ≥ 0 ⎪⎩A ． -2B ． -1C ．1D ． 211．已知椭圆 E : x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的右焦点为 F ．短轴的 一个端点为 M ，直线 l :3 x - 4 y = 0 交椭圆 E 于 A , B 两点．若 AF + BF = 4 ，点 M 到直线 l 的距离不小于范围是（ ）33 3 A ． (0,] B ． (0,] C ． [ ,1) D ． [ ,1) 2 2 412．“对任意 x ∈ (0, π ）4 5，则椭圆 E 的离心率的取值A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．14．若∆ABC中，AC=3，A=450，C=750，则BC=_______．15．若函数f(x)=2x-a(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在[m,+∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于_______．16．若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点，且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列{an }中，a2=4，a+a=15．47（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；n（Ⅱ）设b=2a n-2+n，求b+b+b+⋅⋅⋅+b的值．n1231018.（本小题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．（I）现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；（II）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．19.（本小题满分12分）已知点F为抛物线E:y2=2px（p>0）的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且A F=3．（I）求抛物线E的方程；（II）已知点G(-1,0)，延长A F交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线G A相切的圆，必与直线G B相切．cos + 10cos 220.（本小题满分 12 分）如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A ， B 的点， PO 垂直于圆 O 所在的平面，且PO = OB = 1 ．（I ）若 D 为线段 A C 的中点，求证： A C ⊥ 平面 P D O ；（II ）求三棱锥 P - AB C 体积的最大值；（III ）若 B C = 2 ，点 E 在线段 PB 上，求 C E + OE 的最小值．21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = 10 3 sin xx x．2 2 2（I ）求函数 f (x )的最小正周期；（II ）将函数 f (x )的图象向右平移 π6个单位长度，再向下平移 a （ a > 0 ）个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数 g (x )的最大值为 2 ．（i ）求函数 g (x )的解析式；（ii ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得 g (x 022.（本小题满分 14 分）) > 0 ．已知函数 f (x ) = ln x -(x - 1)22．（I ）求函数 f (x )的单调递增区间；（II ）证明：当 x > 1 时， f (x ) < x -1；（III ）确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 x > 1 ，当 x ∈ (1, x 0)时，恒有 f (x ) > k (x -1)．数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分。

福州市2014―2015学年度第一学期高三质量检查文科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分．1．C 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．13．3- 14．2- 15．1316．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．本题主要考查一元二次方程的根、等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根为1,2，由题意得11a =,22a =． ··························· 2分 设数列{}n a 的公差为d ，则211d a a =-=， ······································································ 4分 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ··················································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1111111n n a a n n n n +==-++， ······························································· 8分 所以12231111...n n n S a a a a a a +=++111111...2231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭······························ 10分 1111nn n =-=++． ······························································ 12分 18．本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战． 这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ··································································· 2分 其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种. ·································································································································· 4分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==. ······················································ 6分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C , (),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．） （Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关， ·································································· 7分根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为： k ()()()()()()2210045152515251.796040703014n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯． ······················· 10分 （说明：k 表示成2K 不扣分）．因为1.79 2.706<，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． ····························································································································· 12分 19．本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，点F 的坐标为()1,0． ······································································ 2分 点F 到直线y x =的距离d =， ···································································· 4分 所以所求圆的方程为()22112x y -+=． ·············································································· 6分（Ⅱ）解答一：12,2,y y 成等比数列，（或21,2,y y 成等比数列）理由如下： ·········· 7分设直线l 的方程为1x my =+． ····························································································· 8分由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 得，2440y my --=． ···································································· 10分所以124y y =-，即2122y y ⋅=， ······················································································ 11分 所以12,2,y y 成等比数列（或21,2,y y 成等比数列）． ················································ 12分 解答二：12,1,x x 成等比数列，（或21,1,x x 成等比数列）理由如下： ································ 7分 设直线l 的方程为1x my =+． ····························································································· 8分 由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y 得，()222410x m x -++=． ························································· 10分 所以21211x x ==， ················································································································ 11分所以12,1,x x 成等比数列（或21,1,x x 成等比数列）． ·························································· 12分 20．本题主要考查二次函数、一元二次函数的最值、分段函数的单调性、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（Ⅰ）因为()()20f x x mx m =->，所以()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ························· 2分所以()f x 在区间[]0,2上的最小值记为()g m ，所以当04m <≤时，022m <≤，故()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ······································ 4分（Ⅱ）当4m >时，函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-； ······························································································ 5分 结合（Ⅰ）可知，()2,04,442, 4.m m g m m m ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ······································································ 6分因为0x >时，()()h x g x =，所以0x >时，()2,04,442, 4.x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ····························· 7分易知函数()h x 在()0,+∞上单调递减， ··········································································· 8分 因为定义在()(),00,-∞+∞的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h >，所以()()4h t h >，所以04t <<， ··············································································· 10分 所以0,||4,t t ≠⎧⎨<⎩即044t t ≠⎧⎨-<<⎩，从而404t t -<<<<或0． 综上所述，所求的实数t 的取值范围为()()4,00,4-． ···································· 12分 21．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解：（Ⅰ）因为函数()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期2π8π4T ==， ··································· 1分 所以函数()f x 的半周期为4，故4OQ =． ··························································································································· 2分 又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P 坐标为()22,，故OP = ············································································· 3分又因为Q 坐标为(4,0)，所以PQ所以222OP PQ OQ +=且OP PQ =，所以OPQ ∆为等腰直角三角形. ···················· 5分 （Ⅱ）点Q '不落在曲线2y x=()0x >上.············································································ 6分 理由如下：由（Ⅰ）知，OP =4OQ =所以点P ',Q '的坐标分别为44αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,， ···· 8分因为点P '在曲线2y x =()0x >上，所以π28cos sin 4sin 24cos 2442ααααππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1cos22α=，又02απ<<，所以sin 2α=. ····························································· 10分又4cos 4sin 8sin 282ααα⋅===. 所以点Q '不落在曲线2y x=()0x >上．············································································ 12分22．本题主要考查函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，()00e cos01f ==， ········································································· 1分()()e cos e sin ,01x x f x x x f ''=-=． ···················································································· 2分 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+． ··········································· 3分 （Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，min [()()]m f x g x -≤． ··············································· 4分设()()()h x f x g x =-，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤， ············································· 5分所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， ···································································· 6分 因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； ················································· 7分所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． ························································ 8分（Ⅲ）设()()()H x f x g x =-，ππ[,]22x ∈-．①当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，由（Ⅱ）知，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，故函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又()010,022H H ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭ππ，而且函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． ·······················································10分②当π0,4x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()f xg x>恒成立．证明如下：设π()e,[0,]4xx x xϕ=-∈，则()e10xx'=-ϕ≥，所以()xϕ在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以π0,4x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()(0)1xϕϕ>=，所以e0x x>>，又π0,4x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin0x x>≥，所以e cos sinx x x x⋅>，即()()f xg x>．故函数()H x在π0,4⎛⎤⎥⎝⎦上没有零点． ··················································································12分③当ππ,42x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()e(cos sin)sin cos0xH x x x x x x'=---<，所以函数()H x在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故函数()H x在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H=->=-<，而且函数()H x在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有一个零点．综上所述，ππ,22x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f xg x-=有两个解．·········································14分。

福州市2015年初中毕业班质量检测 数学试卷参考答案及评分标准一 、选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题4分，共24分）11．︒50 12．x y 3= 13．4 14．3115．a16．q n m p <<< 三、解答题(满分96分)17．解：原式412+-= 6分 32+=． 7分19．解：方法一（配方法）522=+x x ，6122=++x x ， 2分6)1(2=+x ， 4分∴ 61=+x ，61-=+x ． 6分∴ 161-=x ，162--=x ． 8分方法二（公式法）解：∵ 1=a ，2=b ，5-=c ． 1分且024)5(142422>=-⨯⨯-=-=∆ac b ． 3分∴ 612242242±-=±-=-±-=a ac b b x ， 6分 ∴ 611+-=x ，612--=x ．8分20．证明：∵AB ∥CD ，∴ C A ∠=∠， 3分 ∵ OC OA =，COD AOB ∠=∠， 5分∴ △AOB ≌△COD ， 6分∴ CD AB =．8分22．解法一：设有x 名学生买了甲种票，则有)35(x -名学生买了乙种票．1分依题意得：750)35(1824=-+x x ， 5分 解得 20=x ． 7分 ∴ 1535=-x ． 8分答：甲种票买了20张，乙种票买了15张． 9分 解法二：设有x 名学生买了甲种票，有y 名学生买了乙种票． 1分依题意得：⎩⎨⎧=+=+.750182435y x y x ， 5分解得：⎩⎨⎧==.1520y x ， 8分 答：甲种票买了20张，乙种票买了15张． 9分23．解：（1）∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ︒=∠90ACB ， 1分又︒=∠30B ，∴ ︒=∠60CAB ，在Rt △ABC 中，323260tan =⨯=︒⋅=AC BC ， 2分 4222=⨯==AC AB ，∴ 242121=⨯==AB AO ， 连接OD ． 3分 AB CD O∵ CD 平分ACB ∠，∴ ︒=∠=∠4521ACB ACD ， 4分∴ ︒=∠=∠902ACD AOD ， ∵DO AO =，∴ 在Rt △AOD 中，22222222=+=+=DO AO AD ． 5分（2）连接OC ，∴ ︒=∠=∠602B AOC ， 6分∵ OB OA =，∴ 33222121212121=⨯⨯⨯=⋅⨯⨯==BC AC S S ABC AOC △△， 7分由（1）得︒=∠90AOD ， ∴ ︒=∠150COD ，2221212=⨯=⋅⋅=OD AO S AO D △，8分 ∴ AODAOC COD S S S △△扇阴--=S 233602π1502--⨯=23π35--=． 10分（最后一步2分，其中扇形面积求对1分，阴影面积1分）25．解：（1）∵ 8=AC ，6=BC ，10AB =，∴ 2222221068AB BC AC ==+=+， ∴ ︒=∠90ACB ． 1分 ∵ CN ⊥AB ，∴1122AB CN AC BC ⋅=⋅． 2分 即 6810⨯=⋅CN ，解得：8.4=CN ． 3分（2）∵ PN PM =， ∴ PMN PNM ∠=∠． 4分 ∵ A MPN ∠=∠，∴ PMN A APM MPN APM PNA ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 5分 即 APN ANP ∠=∠． 6分APCB∴ AN AP =． 7分（3）∵ ANP CPN ∠>∠， 故 CPN A ∠=∠的情况不存在． 8分∴分两种情况讨论 ① 当ACN A ∠=∠时，则 NC AN =，B NCB ∠=∠，∴ 521====AB NB NC AN ． 9分由（2）得5=AP ．10分② 当PNC A ∠=∠时，延长AB 至E ，使8==CE AC ，过C 作CH ⊥AB 于点H ． 11分则 E A ∠=∠，5645482cos 22=⨯⨯=∠⋅==A AC AH AE ．∵ PNC ANP NCE E ANC ∠+∠=∠+∠=∠， ∴ NCE PNA ∠=∠． ∴ CNE APN ∠=∠． 由（2）得CNE APN ∠=∠， ∴ CNE NCE ∠=∠， 12分 ∴ 8==CE NE ，∴ 5248564=-==AN AP ． 13分解法二：当PNC A ∠=∠时，PNC MPN ∠=∠， ∴ MP ∥NC ，过点P 作PD ⊥MN 于点D ． 11分∵ PN PM =， ∴ ND MD =，4386tan tan ===∠=∠AC BC BAC PAD ． 设x PD 3=，则x AD 4=，∴ x x x AN AP 5)4()3(22=+==． ∴ x x x ND MD =-==45． ∴ x AM 3=．∵ MP ∥NC ，∴ AN AC AM AN =，即xx x 5835=． 12分 ABCPM N H EC PABM ND化简得 2425=x ，∴ 5245==x AP ．13分（2）当以AM 为直径的⊙P 与直线OC 相切时，直线OC 上存在点D （即切点），使︒=∠90ADM ；当⊙P 与OC 相交时，存在点D （即交点）；当⊙P 与OC 相离时，不存在． 5分 如图，设⊙P 与OC 相切于点Q ，连接PQ ．则 m AM PQ -==22121．∴ m AOC PQOQ -=∠=2tan ，m m OP +=--=221222． 6分 ∵ 222OP PQ OQ =+，∴ 222)]2(21[)]2(21[)2(m m m +=-+-化简得 0462=+-m m ．解得 531-=a ，532+=a ．8∴ 当a ≤53-或a ≥53+时，直线OC 上存在点D ，使︒=∠90ADM ． 9分 （3）如图，连接MN 交直线OC 于点E ，过点N 作NF ⊥OM 于点F ． ∵ 21tan ==∠OE EM AOC ，∴ EM OE 2=． ∵ 222OM EM OE =+，∴ 2224m EM EM =+， ∴ m EM 55=． 10分∴ m OE 552=， m EM MN 5522==．∵ OE MN NF OM ⋅=⋅，∴ m mmm NF 54552552=⋅=． 11分 又 m OM ON ==， ∴ m NF ON OF 5322=-=． 由对称性可知，当m ＞0时，点N 在第一象限；当m ＜0时，点N 在第三象限，∴ 点N 的坐标为（m 53，m 54）， 12分把N （m 53，m 54）代入22--=x x y 中，得m m m 542532592=--． 化简得 0503592=--m m ． 解得 9101-=m ，52=m ． 综上所述，M 的坐标为（910-，0）或（5，0）． 13分。

- 1 -第4题图福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查文科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差s =其中x 为样本平均数.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.lg3lg 2+的值是（ ）．A ．3lg 2B ．lg 5C ．lg 6D ．lg 92.在复平面内，两共轭复数所对应的点（ ）． A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称3.已知集合{}A x x =≤1．若B A ⊆，则集合B 可以是（ ）． A ．{}2x x ≤ B ．{}1x x > C ．{}0x x ≤D ．R4.某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）． A ．8B ．15C ．29D ．365.“0,0a b >>”是“2b aa b+≥”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.若ABC ∆中60B =︒，点D 为BC 边中点，且2AD =,120ADC ∠=︒，则ABC ∆的面积等于（ ）．A ．2B ．3CD ．7.甲、乙两人在一次射击测试中各射靶10次，如图分别是这两人命中环数的直方图，若他们的成绩平均数分别为1x 和2x ，成绩的标准差分别为1s 和2s ，则（ ）．- 2 -A ．12x x =，12s s >B ．12x x =，12s s <C ．12x x >，12s s =D ．12x x <，12s s =8.已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）． A ．0.30 B ．0.35 C ．0.40 D ．0.65 9.已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为（ ）． A．1+B．3C．3+D．6+ 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S 的值为（ ）．A ．2015B ．2013C ．1008D ．100711.已知平面内,A B 两点的坐标分别为()2,2,()0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1BP =，则OA OP +的最小值是（ ）．A ．3B ．1 CD ．012.已知函数()ln xf x x=，有下列四个命题： 1p ：0x +∀∈R ,x +∀∈R ,()()0022f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭； 2p ：0x ∃∈+R ,x +∃∈R ,()()0022f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭； 3p ：0x +∀∈R ,x +∃∈R ，()()()000f x x f x f x x+-'<；4p ：0x ∃∈+R ,x +∀∈R ，()()()000f x x f x f x x+-'>．其中的真命题是（ ）． A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p第II 卷（非选择题 满分90分）二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，满分 16 分．请把答案填在下面横线上． 13.已知点()1,0A -,()1,2B ,()3,1C -，点(),P x y 为ABC ∆边界及内部（如图阴影部分）的任意一点，则2z x y =-的最小值为 ．14.若函数()3213f x mx x m =+-在1x =处取得极值，则实数m 的值是 ．15.如图所示，1OA =，在以O 为圆心，以OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则AOB ∆的面积小于14的概率为．第13题图- 3 -16.已知,,αβγ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sin ,sin ,sin αβγ； ②222sin ,sin ,sin αβγ；③222cos,cos ,cos 222αβγ； ④tan ,tan ,tan 222αβγ． 分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，1a ,2a 是方程2320x x -+=的两根． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下22⨯列联表：别有关”？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++19（本小题满分12分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作一条直线l 与抛物线交于(1,A x 点．（Ⅰ）求以点F 为圆心，且与直线y x =相切的圆的方程；（Ⅱ）从1212,,,,1,2x x y y 中取出三个量，使其构成等比数列，20（本小题满分12分）函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值记为()g m ．（Ⅰ）若04m <≤，求函数()g m 的解析式； （Ⅱ）定义在()(),00,-∞+∞的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()h x 第15题图- 4 -()()4h t h >，求实数t 的取值范围．21（本小题满分12分）已知函数π()2sin 4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点.（Ⅰ）求证：OPQ ∆为等腰直角三角形.（Ⅱ）将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角π04αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，得到OP Q ''∆，若点P '恰好落在曲线2y x=()0x >上（如图所示），试判断点Q '是否也落在曲线2y x =()0x >上，并说明理由．22 （本小题满分14分）已知函数()()e cos ,sin x f x x g x x x =⋅=⋅，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()f x g x m +≥恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）试探究当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f x g x -=解的个数，并说明理由．第21题图- 5 -福州市2014―2015学年度第一学期高三质量检查文科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分． 1．C 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D 7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．13．3- 14．2- 15．1316．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．本题主要考查一元二次方程的根、等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根为1,2，由题意得11a =,22a =． ··························· 2分 设数列{}n a 的公差为d ，则211d a a =-=， ······································································ 4分 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ··················································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1111111n n a a n n n n +==-++， ······························································· 8分 所以12231111...n n n S a a a a a a +=++111111...2231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭······························ 10分 1111nn n =-=++． ······························································ 12分 18．本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战． 这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ··································································· 2分 其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种. ·································································································································· 4分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==. ······················································ 6分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C , (),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．） （Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关， ·································································· 7分根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为： k ()()()()()()2210045152515251.796040703014n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯． ······················· 10分 （说明：k 表示成2K 不扣分）．因为1.79 2.706<，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． ····························································································································· 12分 19．本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，点F 的坐标为()1,0． ······································································ 2分- 6 -点F 到直线y x =的距离d =， ···································································· 4分 所以所求圆的方程为()22112x y -+=． ·············································································· 6分（Ⅱ）解答一：12,2,y y 成等比数列，（或21,2,y y 成等比数列）理由如下： ·········· 7分设直线l 的方程为1x my =+． ····························································································· 8分由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 得，2440y my --=． ···································································· 10分 所以124y y =-，即2122y y ⋅=， ······················································································ 11分 所以12,2,y y 成等比数列（或21,2,y y 成等比数列）． ················································ 12分 解答二：12,1,x x 成等比数列，（或21,1,x x 成等比数列）理由如下： ································ 7分 设直线l 的方程为1x my =+． ····························································································· 8分由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y 得，()222410x m x -++=． ························································· 10分所以21211x x ==， ················································································································ 11分所以12,1,x x 成等比数列（或21,1,x x 成等比数列）． ·························································· 12分 20．本题主要考查二次函数、一元二次函数的最值、分段函数的单调性、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（Ⅰ）因为()()20f x x mx m =->，所以()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ························· 2分所以()f x 在区间[]0,2上的最小值记为()g m ，所以当04m <≤时，022m<≤，故()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ······································ 4分 （Ⅱ）当4m >时，函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-； ······························································································ 5分 结合（Ⅰ）可知，()2,04,442, 4.m m g m m m ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ······································································ 6分因为0x >时，()()h x g x =，所以0x >时，()2,04,442, 4.x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ····························· 7分易知函数()h x 在()0,+∞上单调递减， ··········································································· 8分 因为定义在()(),00,-∞+∞的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h >，所以()()4h t h >，所以04t <<， ··············································································· 10分 所以0,||4,t t ≠⎧⎨<⎩即044t t ≠⎧⎨-<<⎩，从而404t t -<<<<或0． 综上所述，所求的实数t 的取值范围为()()4,00,4-． ···································· 12分 21．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解：（Ⅰ）因为函数()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期2π8π4T ==， ··································· 1分- 7 -所以函数()f x 的半周期为4，故4OQ =． ··························································································································· 2分 又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P 坐标为()22,，故OP = ············································································· 3分 又因为Q 坐标为(4,0)，所以PQ所以222OP PQ OQ +=且OP PQ =，所以OPQ ∆为等腰直角三角形. ···················· 5分 （Ⅱ）点Q '不落在曲线2y x=()0x >上.············································································ 6分 理由如下：由（Ⅰ）知，OP =4OQ =所以点P ',Q '的坐标分别为44αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,， ···· 8分因为点P '在曲线2y x =()0x >上，所以π28cos sin 4sin 24cos 2442ααααππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1cos22α=，又02απ<<，所以sin 2α=. ····························································· 10分又4cos 4sin 8sin 282ααα⋅===. 所以点Q '不落在曲线2y x=()0x >上．············································································ 12分22．本题主要考查函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，()00e cos01f ==， ········································································· 1分()()e cos e sin ,01x x f x x x f ''=-=． ···················································································· 2分 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+． ··········································· 3分 （Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，min [()()]m f x g x -≤． ··············································· 4分设()()()h x f x g x =-，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤， ············································· 5分所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， ···································································· 6分 因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； ················································· 7分所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． ························································ 8分（Ⅲ）设()()()H x f x g x =-，ππ[,]22x ∈-．①当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，由（Ⅱ）知，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，- 8 -故函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又()010,022H H ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭ππ，而且函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． ······················································· 10分②当π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()f x g x >恒成立．证明如下：设π()e ,[0,]4x x x x ϕ=-∈，则()e 10x x '=-ϕ≥，所以()x ϕ在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()(0)1x ϕϕ>=，所以e 0x x >>，又π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin 0x x >≥，所以e cos sin x x x x ⋅>，即()()f x g x >．故函数()H x 在π0,4⎛⎤⎥⎝⎦上没有零点． ·················································································· 12分③当ππ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H =->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的， 因此，函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有一个零点．综上所述，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f x g x -=有两个解． ········································· 14分。

宁化一中2014－2015学年第一学期高三第二次阶段考试数学（文科）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合要求，请把答案填在答题卷相应的位置上）1.已知全集R U =，集合{}5,4,3,2,1,0=A ，{}2≥∈=x R x B ，则)(B C A U =（ ）{}1,0.A{}1.B{}2,1.C{}2,1,0.D2.已知向量(1,)a n =-，(2,)b n =，若1=⋅，则实数n = （ ） A. 1或1- B. 1- C. 0 D. 2-3.在用二分法求方程0123=--x x 的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间)2,1(内，则下一步可断定该根所在的区间为 （ ） A ．)2,4.1( B ．)4.1,1( C ．)5.1,1( D ．)2,5.1( 4.若函数2()2f x x x a =-+在[2)+∞，的最小值为2-，则实数a 的值为（ ） A ．3-B ．2-C ．1-D ．15. 已知,a b 为实数，则“22ab>”是“22a b >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既充分也不必要条件6.某产品在摊位上的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程a x b y+=，其中4-=b ，据此模型预计零售价为15元时，每天的销售量为（ ） 48.A 个 .B 49个 .C 50个.D 51个 7．若{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且S 15 =π10,则tan 8a 的值为（ ） AB ．C ．D． 8.已知函数sin()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则点(,)ωϕ为 （ ） A ．(2，3π-) B ．(2，6π-)x 16 17 18 19 y50 34 41 31C ．(4，6π-) D ．(4，3π) 9.当1>x 时，不等式a x x ≥-+-112恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]0,(-∞ B ．),0[+∞ C ．),1[+∞ D ．]1,(-∞10. ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若A B 2=,1=a ,3=b ,则=c（ ）32.AB.2C1.D11.已知函数）（1ln )(2++=x x x f ，若实数a ，b 满足0)2()(=-+b f a f ，则=+b a （ ）A. 2B. 2-C. 4D. 4- 12.右图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线 OA 交于1A 、2A 、3A …。

2015-2016学年福建福州八中高二（下）期中考试数学（文）试题一、选择题1．若集合P ＝{x|2≤x＜4}，Q ＝{x|3x ≥}，则P∩Q 等于（ ） A ．{x|3≤x＜4} B ．{x|－3＜x ＜4} C ．{x|2≤x＜3} D ．{x|2≤x≤3} 【答案】A【解析】试题分析：因3|{-≤=x x Q 或}3≥x ,故}43|{<≤=x x Q P ,选A. 【考点】集合的运算.2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)-- C ．(1,1)- D ． (1,1)- 【答案】D【解析】试题分析：因i z +-=1,故应选D. 【考点】复数的运算.3．设[),0,a b ∈+∞，A B ==A,B 的大小关系是（ ） A.A B ≤ B.A B ≥ C.A B < D.A B > 【答案】B【解析】试题分析：因00≥⇒≥ab ab ,故b a ab b a +≥++2,所以应选B. 【考点】不等式的性质.4．小明想沏壶茶喝，当时的情况是，开水没有，烧开水需要15分钟，烧开水的壶要洗，需要1分钟，沏茶的壶和茶杯要洗，需2分钟，茶叶已有，取茶叶需1分钟，沏茶也需1分钟，小明要喝到自己所沏的茶至少需要花的时间为（ ）A.16分钟B. 19分钟C.20分钟D.17分钟 【答案】D【解析】试题分析：因洗沏茶的壶和茶杯的2分钟可以在烧水的时候做,取茶也可以与烧水同步,故至少需17分钟就可以了,故应选D. 【考点】算法及运用. 5．《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（ ）A ．合情推理B ．归纳推理C ．类比推理D ．演绎推理 【答案】D【解析】试题分析：因推理的格式符合三段论的形式,故是演绎推理,故应选D. 【考点】推理的形式.6．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 【答案】A【解析】试题分析：因至少有一个实数根的反面是无实数根,故应选A. 【考点】反证法及运用.7．已知x ，y 之间的一组数据如下表：对于表中数据则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是（ ） A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝2x －1C ．y ＝85x －25D ．y ＝32x【答案】C【解析】试题分析：因8598643,4565432=++++==++++=y x ,通过计算可知拟合程度最好的是直线5258-=x y ,故应选C.【考点】线性回归方程及运用.8．执行如图所示的程序框图,则输出的k 的值是（ ）A.3B.4C.5D.6 【答案】C【解析】试题分析：当1,1==S k 时,151<=S 继续运行；当1,2==S k 时,152<=S 继续运行；当2,3==S k 时,156<=S 继续运行；当6,4==S k 时,1515==S 继续运行；故当15,5==S k 时,1531>=S 停止运行,输出5=k ,应选C. 【考点】算法流程图的理解和识读. 9．函数f （x 的定义域为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（2，＋∞）D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：因0)(log 1221>-x ,故1log 121<<-x ,由对数函数的性质可得221<<x ,故应选A. 【考点】对数不等式的解法.10．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y ）的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解（x,y ）的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解（x,y ）的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解（x,y ）的个数为（ ）A ．76B ．80C ．86D ．92 【答案】B【解析】试题分析：因n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=时,整数解的个数为n ⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯4,44,34,24,14,故当20=n 时,整数点的个数是80204=⨯,应选B. 【考点】归纳推理及运算.【易错点晴】解答本题的关键是探寻出整数解的个数的表达式所存在的规律,这是进行归纳猜想的合情推理的基础,也是进行归纳、猜想的阶梯.本题的解答过程是通过对方程的整数解的个数的数字分析探究,不难发现当n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=时,整数解的个数为n ⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯4,44,34,24,14,这说明个数的都是项数的四倍,即方程的整数解的个数的通项是n a n 4=,再取20=n ,就获得答案80.运用数学的归纳法进行猜想时,一定要列举一些事实之后,当然这一猜想是有基础的,那就是对以上几个特殊值的归纳的结果.11．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，那么z =___. 【答案】i【解析】试题分析：因i i i i z =+=-+=2)1(112,故应填i . 【考点】复数及运算．12．函数223y x ax =--在区间[]0,1上具有单调性，则a 的取值范围是 ．【答案】(][),01,-∞+∞【解析】试题分析：因二次函数的对称轴为a x =,所以当0≤a 或1≥a 时,二次函数在区间[]0,1上单调.【考点】二次函数的图象和性质．13．已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形,若等腰ABC ∆存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___. 【答案】45︒【解析】试题分析：设顶角为C ,则由定义可得1C C =且1sin cos C C =,即0902=C ,故=C 45︒.【考点】逻辑推理及运用． 【易错点晴】本题以三角形的内角之间的正弦余弦的关系为前提定义了一个友好三角形的新概念和新的信息.解答本题时充分依据题设中提供的这一新的信息和概念,进行合理的推理和分析探究,最终使得问题巧妙获解.求解本题的关键是探寻出等腰三角形的顶角和底角与友好三角形的顶角和底角之间的关系1C C =且1sin cos C C =,借助三角形的内角和为0180,求出了即0902=C ,故=C 45︒.14．对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”．类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题是：“若{}n b 是等比数列，11=b ，t s 、是互不相等的正整数，则有 ”．【答案】111=--t ss t b b【解析】试题分析：由类比推理的格式可知,等差数列是差,则等比数列是比,等差数列的差是0,则等比数列的商是1,故应填答案111=--t ss t b b .【考点】类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道合情推理中的类比推理题,类比的内容是等差数列与等比数列的之间的类比.所谓类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法.本题的解答就是借助等差和等比数列之间的这种相似进行类比推理的.解答时将差与比进行类比,将零与1进行类比,从而使得问题巧妙获解.当然这需要对类比的内涵具有较为深刻的理解和把握. 15．设复数z 满足1z =，且(34)i z +⋅是纯虚数，求z ． 【答案】4355z i =-或4355z i =-+.【解析】试题分析：借助题设条件建立方程组求解. 试题解析:设i,(,)z a b a b R =+∈, 由1z =1=；(34)()34(43)i a bi a b a b i +-=++- 是纯虚数，则340430a b a b +=⎧⎨-≠⎩121244155,3334055a a a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪=∴⎨⎨+=⎪⎪⎪⎩=-=⎪⎪⎩⎩ 4355z i ∴=-或4355z i =-+ 【考点】复数的有关概念和运算． 16．已知命题p ：函数)2log y x =是奇函数；命题212),,0(:00=+∞∈∃xx q ，则下列判断正确的是（ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题C ．)(q p ⌝∧是真命题D ．q p ∧⌝)(是真命题 【答案】C 【解析】试题分析：因01log )1(log )1(log )()(22222==+++-+=-+x x x x x f x f ,故)2log y x =是奇函数,命题p 真；由于2120=x ,则),0(10+∞∈-=x ,所以命题212),,0(:00=+∞∈∃x x q 是假的,所以应选C. 【考点】命题及复合命题的真假的判定.17．对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C【解析】试题分析：因2|1||1|,1|||1|≥++-≥+-y y x x （当且仅当11,10≤≤-≤≤y x 时取等号）,故3|1||1||||1|≥++-++-y y x x ,应选C.【考点】绝对值不等式的几何意义及应用.18．已知抛物线y 2=4x,过点P （4,0）的直线与抛物线相交于A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）两点，则y 12+y 22的最小值是（ ）A.8B.32C.16D.4 【答案】B【解析】试题分析：因4+=ty x ,代入x y 42=化简整理得: 01642=--ty y ,故1621-=y y ,由基本不等式可得32||2212221=≥+y y y y ,故应选B.【考点】直线与抛物线的位置关系及基本不等式的灵活运用.19．设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足条件:存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b D ⊆上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数2()log (2)x f x t =+为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（ ） A.1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.()0,1 C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：由题设函数的定义域是],[b a ,则其值域是]2,2[ba ,由于函数在R 上是单调递减函数,所以2)2(log 2at a=+,即222a a t =+；同理可得222bb t =+,由此可知方程222x xt =+有两个不等是实数根.令022>=u x ,则t u u =-2,则问题转化为函数)0(2>-=u u u y 和t y =有两个不同的交点问题.而函数)0(2>-=u u u y 的最大值为41,结合图象可知410<<t 时,两函数的图象有两个不同的交点,故应选D.【考点】函数与方程思想、转化化归思想和数形结合思想的综合运用. 【易错点晴】本题以新定义的缩倍函数为背景设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围的问题.解答本题的关键是深刻理解缩倍函数的定义的内涵,探寻题设中提供的参数t b a ,,合之间的数量关系,抽象概括其间的内在联系和规律,为问题的求解打开突破口.求解时借助题设条件和新定义的信息,运用分析判断的思维方式,抽象概括从而将问题转化为求函数函数)0(2>-=u u u y 和t y =有两个不同的交点的前提下参数t 的取值范围,通过求函数)0(2>-=u u u y 的值域使本题获解.二、填空题20．已知21x y +=，则22x y +的最小值为________． 【答案】15【解析】试题分析：因21x y +=，故22x y +145)21(222+-=+-=y y y y ,由于该函数是开口向上的抛物线,因此当52=y ，函数取最小值为15.【考点】二次函数的图象和性质．【易错点晴】本题表面上是一道求二元函数的最值问题,解答时充分借助题设条件中的21x y +=,运用消元的思想,将两个变量变为一个变量,即利用21x y +=消去未知数x ,将问题转化为求二次函数145)(2+-=y y y h 的最小值的问题,求解时直接将对称轴52=y 代入函数的解析式145)(2+-=y y y h 中可得51158)52(5)(2min =+-=y h ,故所求最小值为15.21．若函数f （x ）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f （x ）＝()1,01sin ,12x x x x x π-≤≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则291746f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝______． 【答案】516【解析】试题分析：因)()4(x f x f =+，故163)43()43()438()429(-=-=-=-=f f f f ，177()()66f f =- 771()sin 662f π=-=-=，故165168163)617()429(=+-=+f f .【考点】分段函数的图象和性质的综合运用．三、解答题22．已知命题46p x :|-|≤，22:210(0)q x x a a -+-≥,>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】03a <≤.【解析】试题分析：借助题设条件建立不等式组求解.试题解析:由46102p x x x ⌝:|-|>,><-,解得或记A={x|x ＞10或x ＜-2}, q:22210x x a -+-≥,解得1x a ≥+或x ≤1-a,记B={x|x ≥1+a 或1x a ≤-}. 而⌝p q q ⇒,/⇒ p ⌝, ∴A ⊂≠B,即 121100a a a -≥-,⎧⎪+≤,⎨⎪>.⎩∴03a <≤.【考点】充分必要条件及运用．23．2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1（单位：人）．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表（表2）． 表1（1）求研究小组的总人数；（2）写出表2中A 、B 、C 、D 、E 的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关． 【答案】（1）12；（2）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关. 【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程求解；（2）借助题设条件运用独立性检验的卡方系数进行推断. 试题解析: （1）依题意知726＝48y＝24x ，解得y ＝4，x ＝2.所以研究小组的总人数为2＋4＋6＝12. （2）根据列联表特点得A ＝20，B ＝50， C ＝80，D ＝30，E ＝110.可求得χ2＝()21103010502050608030⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈7.486＞6.635所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关 【考点】正弦余弦定理及三角形面积公式的运用． 24．已知函数()Ra a x x x f ∈++-=,22.（Ⅰ）当2a =时，解不等式()5≥x f ； （Ⅱ）若存在0x 满足()3200<-+x x f ，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）5{|1}3x x x ≤-≥或；（Ⅱ）71a -<<-.【解析】试题分析：（Ⅰ）先去掉绝对值化为一次不等式求解；（Ⅱ）借助题设条件运用绝对值的几何意义求解. 试题解析（Ⅰ）当2a =时，()|2||22|f x x x =-++. 由5)(≥x f 得. |2||22|5x x -++≥当2≥x 时，不等式等价于52225,3x x x -++≥≥解得，所以2≥x ； 当12x -<<时，不等式等价于2225,1,2x x x x -++≥≥≤<即所以1， 当1x ≤-时，不等式等价于52225,3x x x ---≥≤-解得，所以53x ≤-. 所以原不等式的解集为5{|1}3x x x ≤-≥或（Ⅱ）4)42(22422222)(+=--+≥++-=++-=-+a x a x a x x a x x x x f 因为原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<，所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围.【考点】绝对值不等式及综合运用．【易错点晴】绝对值不等式一直是高中数学内容的难点之一.解答本题的关键是如何去掉函数解析式中的绝对值符号将其转化为普通的函数的形式,也是解答好本题的关键.求解过程中充分依据题设条件,运用绝对值的定义和几何意义,从而使得问题的解答简捷明快.求解第一问时,运用绝对值的定义将不等式化为整式形式的一元一次不等式,需要注意的是不要忘记讨论时的前提条件,这是解答这类问题的容易出错的地方.第二问中的不等式恒成立问题是巧妙地借助绝对值的几何意义从而使得问题的解答简捷巧妙独辟歧径.25．设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()exf xg x +=，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）若关于x 的不等式2mf （x ）≤2()1xg x e m ---在（0，＋∞）上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+，证明见解析；（Ⅱ）1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：（Ⅰ）运用基本不等式推证即可；（Ⅱ）借助题设条件运用换元法将不等式问题转化为函数的最大值问题来求解. 试题解析 （Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )12xx g x -=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由条件知 m （e x－e －x＋1）≤e －x－1在（0，＋∞）上恒成立．令 t ＝e x（x ＞0），则 t ＞1， 因为()1x x p x e e -=-+在R 上为增函数，所以()(0)10p x p >=>， 所以 m≤－211t t t -++＝－11(1)31t t -++-对任意 t ＞1成立．因为113351t t -++≥=-, 所以115131t t -≥--++-，2min11t m t t -⎛⎫≤- ⎪-+⎝⎭=－15 当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【考点】函数的奇偶性和基本不等式的运用．【易错点晴】函数的单调性、奇偶性和对称性等基本性质是函数的表达式和图象在平面直角坐标系中的反映和再现.借助这些性质可以推证和研究许多与函数有关的问题.本题在解答时充分依据题设条件,巧妙运用函数的奇偶性这一性质,求出了函数(),()f x g x 的解析表达式.然后运用指数函数和基本不等式证明了()0,()1f xg x >>的结论；第二问中设置了不等式恒成立的情境下,求参变量的取值范围问题,求解时依据题设将其参变量分离出来,使其等价转化求构造函数的最小值问题.从而使得问题简捷巧妙地获解.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（文史类）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若（是虚数单位），则的值分别等于（）
A． B． C． D．
2．【考点】若集合，，则等于（）
A． B． C． D
3．下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入的值为1，则输出的值为（）
A．2 B．7 C．8 D．128
5．若直线过点，则的最小值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若，且为第四象限角，则的值等于（）
A． B． C． D．
7．设，，．若，则实数的值等于（）
A． B． C． D．
8．如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）
A． B． C． D．
10．变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．“对任意，”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若向量(3,)m =，(2,1)=-，b a //，则实数m 的值为A ．32-B ．32C ．2D ．6【答案】A 【解析】试题分析： //，m 23=-∴，得23-=m ，故答案为A. 考点：平面向量平行的应用.2.若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：{}{}0|12|>=>=x x x A x，{}{}1|0lg |>=>=x x x x B ，由A x ∈不能推出B x ∈，由B x ∈能推出A x ∈，“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，故答案为B.考点：充分条件、必要条件的判断.3.已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a ⋅=A ． 6B ． 18C ．24D ．36【答案】D 【解析】试题分析：61222412=⎪⎭⎫⎝⎛=+x x C T ，65=∴a ，365573=⋅=⋅∴a a a a ，故答案为D.考点：1、二项式定理的应用；2、等比数列的性质.4.若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --上的偶函数，则该函数的最大值为 A ．5 B ．4 C ． 3 D ．2 【答案】A考点：1、偶函数的应用；2、二次函数的最值.5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B 【解析】试题分析：第一次执行循环体后，1,2==n S ，继续执行循环体，第二次执行循环体后，2,5==n S ，继续执行循环体，第三次执行循环体后，3,10==n S ，继续执行循环体，第四次执行循环体后，4,19==n S，在直线循环体，输出的值大于20，不符合题意，i 的最大值4，故答案为B. 考点：程序框图的应用.6.已知某市两次数学测试的成绩1ξ和2ξ分别服从正态分布11(90,86)N ξ和22(93,79)N ξ，则以下结论正确的是A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定 【答案】C 【解析】试题分析：第一次测试的平均分90=x ，862=σ；第二次测试的平均分93=x ，792=σ，因此第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故答案为C. 考点：正态分布的应用.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为A B C ．2 D 【答案】D 【解析】试题分析：双曲线的左焦点()0,1c F -，得x a b y ±=，当c x -=，得c aby ±=由于以AB 为直径的圆恰过点2F ，因此2ABF ∆是等腰直角三角形，因此211F F AF =，即c c ab2=，a b 2=∴，a b a c 522=+=∴，5==∴ace ，故答案为D. 考点：双曲线的简单几何性质.8.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ． 2日和5日 B ． 5日和6日 C ． 6日和11日 D ． 2日和11日【答案】C 【解析】试题分析：这12天的日期之和，()7812121212=+=S ，甲、乙、丙的各自的日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为C. 考点：等差数列的前n 项和.9.若关于x 的方程320()x x x a a --+=∈R 有三个实根1x ，2x ，3x ，且满足123x x x ≤≤，则1x 的最小值为A ．2-B ．1-C ．13-D ．0【答案】B 【解析】试题分析：方程023=+--a x x x 有三个实根，函数a y =与函数x x x y ++-=23的图象有三个交点，由图象可知，直线a y =在AB 之间，有3个交点，当直线过点B 时，此时1x 最小，由于01232=++-='x x y得31-=x 或1=x ，因此点()1,1B ，令123=++-x x x 化简得()()0112=+-x x ，1x 的最小值1-.考点：方程的根和函数的零点.10.如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是A ．12,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12,,336π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．1233V V ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．203V V ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】试题分析：几何体如图所示，此时几何体的体积最大，322131=⋅⋅=V ，让另外两个侧面退化为光滑的曲面并且逼近两个三角形侧面时，体积逐渐趋向于0，故320≤<V ，故答案为D.考点：由三视图求体积.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）侧视图正视图11.复数iiz +=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________． 【答案】2. 【解析】 试题分析：i i z +=1()()()i i i i i -=--+=11，在复平面上对应的点()1,1-，到原点的距离2. 考点：复数的四则运算和概念.12.设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x ax a ++=有两个不等实根的概率为 ． 【答案】31. 【解析】试题分析：a 的可能取值6,5,4,3,2,1，共有6种情况，方程02=++a ax x 有两个不等实根，042>-=∆a a ，解得4>a 或0<a ，此时5=a ，或6=a ，有2种情况，所求事件的概率3162==P . 考点：利用古典概型求随机事件的概率.13.若关于x ，y 的不等式组 0,,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k 的值为 ． 【答案】1-或0. 【解析】试题分析：由于不等式组表示的平面区域是直角三角形，当0=k 时，平面区域是直角三角形， 当01=+-y kx 与直线x y =垂直时符号题意，此时1-=k .考点：线性规划的应用.14.若在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()()3,11,3 --. 【解析】试题分析：在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，圆()422=-+a y x 与圆122=+y x 相交，两圆的圆心距a d =，则1212+<<-a ，因此a 的取值范围()()3,11,3 --.考点：1、圆的标准方程；2、圆与圆的位置关系.15.的ABC ∆中，3π=∠A ．若点D 为BC 边上的一点，且满足2CD DB =，则当AD 取最小时，BD 的长为 ． 【答案】3.考点：1、基本不等式的应用；2、余弦定理的应用.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. (本小题满分13分)将射线1(0)7y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(cos sin )A θθ，． （1）求点A 的坐标； （2）若向量(sin 2,2cos )x θ=m ，(3sin ,2cos 2)x θ=n ，求函数()f x ⋅=m n ，[0,2x π∈]的值域．【答案】（1）⎪⎭⎫⎝⎛54,53A ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5212,512. 【解析】试题分析：(1)熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如x b x a y cos sin +=化为()ϕ++=x b a y sin 22，研究函数的性质；（2）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中Z k k ∈+≠,2ππα；（3）利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，二是利用诱导公式进行化简时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定；（4）掌握两角差的正切公式及倍角公式.试题解析：（1）设射线1(0)7y x x =≥的倾斜角为α，则1tan 7α=，(0,)2απ∈．……………1分 ∴1147tan tan()143117θα+π=+==-⨯，……………………………………………4分 ∴由22sin cos 1,sin 4,cos 3θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩+解得4sin ,53cos .5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………6分∴点A 的坐标为3455⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………7分（2）()3sin sin 22cos 2cos2f x x x θθ⋅+⋅=……………………………………8分1212sin 2cos255x x =+).4x π=+…………………………………………………10分 由[0,2x π∈]，可得2[,]444x ππ5π+∈，∴sin(2)[4x π+∈，………………………………………………………12分∴函数()f x的值域为12[5-．……………………………………………13分 考点：1、三角函数的化简；2、同角三角函数的基本关系. 17.(本小题满分13分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（1）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数； （2）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为34，乙队猜对前两条的概率均为45，猜对第3条的概率为12．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？【答案】（1）6.143；（2）支持票投给甲队. 【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图求中位数，中位数左边和右边的长方形的面积和是相等的；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：（1）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=， 解得：143.6x =．……………………………2分 ∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分 （2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η， 则3(3,)4B ξ，……………………………5分∴39344E ξ=⨯=．……………………………6分∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99[(3)]203044--⨯=，………………………8分∵2111(0)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(3)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121[(3)]20241010--⨯=．……………………12分∴1203012024+>+，∴支持票投给甲队．．……………………………13分考点：1、利用频率分布直方图求中位数；2、离散型随机变量的数学期望. 18. (本小题满分13分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=．若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥． （1）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（2）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --为6π？若存在，求出BP 的长；不存在，说明理由．【答案】（1）证明略；（2）存在这样的点P ，使二面角P A A D --1为6π.【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（3）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键，空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.Bya １试题解析：（1）证明：∵13A AD π∠=，且12AA =，1AO =，∴1A O =…………………………………………2分 ∴22211AO AD AA += ∴1A O AD ⊥.…………………………………………3分 又1CD A O ⊥，且CDAD D =，∴1A O ⊥平面ABCD ．…………………………………………5分（2）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图），则(0,1,0)A -，1A ，……………………………6分 设(1,,0)([1,1])P m m ∈-，平面1A AP 的法向量为1n =(,,)x y z ，∵1AA =，(1,1,0)AP m =+，且1110,(1)0.AA y AP x m y ⋅⋅⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩n n 取1z =，得1n=1),m +．……………………………8分 又1A O ⊥平面ABCD ,且1A O ⊂平面11A ADD , ∴平面11A ADD ⊥平面ABCD . 又CD AD ⊥,且平面11A ADD 平面ABCD AD =∴CD ⊥平面11A ADD .不妨设平面11A ADD 的法向量为2n =(1,0,0)．………………………10分由题意得12cos ,==n n ，……………………12分a１a解得1m =或3m =-（舍去）．∴当BP 的长为2时，二面角1D A A P --的值为6π．………………………13分 考点：1、直线与平面垂直的判定；2、立体几何的探究性问题. 19. (本小题满分13分)已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线21l l ⊥于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ．设点H 的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程;（2）过点P 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,C D ， ①求证:直线CD 过定点;②若(1,1)P -，过点P 作动直线l 交曲线Γ于点,A B ，直线CD 交l 于点Q ，试探究PQ PQ PAPB+是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．【答案】（1）y x 42=；（2）直线CD 过定点()1,0；PBPQ PAPQ +为定值2【解析】试题分析：（1）抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化，如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线的定义就能解决；（2）解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式xyO∴直线CD 的方程为01102xx y -+=，…………………………………………7分∴直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分②由（2）①得,直线CD 的方程为1102x y -+=.设:1(1)l y k x +=-，与方程1102x y -+=联立，求得4221Q kx k +=-．……………………………………9分设(,),(,)A A B B A x y B x y ，联立1(1)y k x +=-与24x y =，得 24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4,44A B A B x x k x x k +=⋅=+．…………………………………………10分∵1,1,1Q A B x x x ---同号， ∴11PQ PQPQ PAPB PA PB ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11111Q A B x x x ⎛⎫=-+⎪⎪--⎭()11111Q A B x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪--⎝⎭…………………………………………11分()()24212111A B A B x x k k x x +-+⎛⎫=-⋅ ⎪---⎝⎭ 5422215k k -=⋅=-， ∴PQ PQ PAPB+为定值，定值为2．…………………………………………13分考点：1、抛物线的标准方程；2、圆锥曲线中的定点、定值问题. 20.(本小题满分14分)已知函数2()e ()x f x x ax -=+在点(0,(0))f 处的切线斜率为2． （1）求实数a 的值；（2）设3()(eg x x x t t =---∈R ）()，若()()g x f x ≥对[0,1]x ∈恒成立，求t 的取值范围；（3）已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n+=+，求证：当2,n n ≥∈N 时 11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈)． 【答案】（1）2=a ；（2）1≥t ；（3）证明略. 【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()()0,0f 处的切线方程，注意这个点的切点，利用导数的几何意义求切线的斜率()20='f ；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔；（3）利用导数方法证明不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数()()()x g x f x h -=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式；（4）定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”.试题解析：（1）22()e ()e (2)e (2)x x x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--，…………………1分由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分 （2）2()e (2)x f x x x -=+．（3）∵11(1)n n a a n+=+，∴11n n a n a n ++=，又11a =，∴2n ≥时，321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-，对1n =也成立， ∴n a n =．……………………………10分 ∵当[0,1]x ∈时，2()e (2)0x f x x -'=-->， ∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=．又∵1()i f n n ⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()if n，宽为1n 的小矩形的面积，∴11()()i n i nif f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴1112011121()()()()()()()n a aa n f f f f f f f x dx n n nn n n nn --⎡⎤⎡⎤+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰．…… 12分又由（2），取1t =，得23()()(1)ef xg x x x ≤=-++，∴1132100011313()()(1)32e 62e f x dx g x dx x x ≤=-++=+⎰⎰， ∴112113()()()62en f f f n n n n -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦，∴11213()()()62e n a a a f f f n n nn -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭．…………………………………………14分 考点：1、导数的几何意义；2、恒成立的问题；3、证明不等式.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．（1）求矩阵M 的逆矩阵1M -；（2）求曲线410x y +-=在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C '的方程．【答案】（1）1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭；012=++y x 【解析】试题分析：矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个n m ⨯的矩阵就是n m ⨯个数排成m 行n 列的一个数阵.由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型.矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x d c b a ，列方程组求得. 试题解析：（1）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''， 则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………………1分 又det()3M =-，∴1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭．…………………………………………3分（2）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''， 则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩…………………………………………5分∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭，即变换后的曲线方程为210x y ++=．…………………………7分 考点：1、求逆矩阵；2、矩阵的应用.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）, 圆C 的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>． （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值． 【答案】（1）222(((0)x y r r ++=>；（2）1. 【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若y x ,有范围限制，要标出y x ,的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式θρcos =x 及θρsin =y 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程的两边平方是常用的变形方法.试题解析：（1）直线l的直角坐标方程为x y +=，………………………………………2分圆C的直角坐标方程为222(((0)x y r r +++=>．………………………… 4分 （2）∵圆心(C ，半径为r ，………………………………………5分 圆心C到直线x y +=的距离为2d ，………………………6分又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=， ∴321r =-=．………………………………………7分 考点：1、极坐标方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|5||3|f x x x =-+-. （1）求函数()f x 的最小值m ； （2）若正实数,a b满足11a b +2212m a b+≥. 【答案】（1）2=m ；（2）证明略. 【解析】试题分析：（1）不等式的b a b a b a +≤+≤-在求最值方面的应用；（2）柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。