用频率估计概率ppt课件

解:(1)因为摸出的黑球的频率在0.4附近摆动, 所以可估计从中任意摸出一个球是黑球的概率为0.4, 所以估计袋中黑球的个数约为20×0.4=8个. (2)由(1)可估计袋子中红球 6 个、黑球 8 个、白球 6 个,第一次摸出白球后袋 子中还有白球 5 个,
总的球数为 19 个,故摸出白球的概率是 5 . 19
·数学
2 用频率估计概率
1.用频率估计概率 在进行大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个不确定事件发生的频率总 在这个事件发生的概率附近摆动,显示出一定的稳定性,这时可以用事件发生 的 频率 估计事件发生的概率. 2.用频率估计概率的步骤 (1)判断:先判断某个试验的结果是不是有限的或各种可能结果是不是等可 能的; (2)试验: 大量重复 试验直至某事件发生的频率在某一数值附近波动; (3)估计:用上述稳定数值估计该事件的 概率 .
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·数学
(3)如果袋子中有14个红球,那么袋子中除了红球,还有多少个其他颜色的球?
【导学探究】 3.设其他颜色的球有x个,根据红球的概率列出方程求解.
解:(3)设袋子中除去红球外,还有其他颜色的球 x 个,根据题意,得 14 =0.7. 14 x
解得 x=6.经检验 x=6 是所列方程的解. 所以,袋子中还有其他颜色的球 6 个.
解得 x=32.经检验 x=32 是所列方程的解. 所以估计袋中白球有 32 个.
·数学
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是( B ) (A)当试验次数很大时,概率稳定在频率附近 (B)当试验次数很大时,频率稳定在概率附近 (C)试验得到的频率与概率不可能相等 (D)频率等于概率 2.(2018永州)在一个不透明的盒子中装有n个球,它们除了颜色之外其他都没 有区别,其中含有3个红球,每次摸球前,将盒中所有的球摇匀,然后随机摸出 一个球,记下颜色后再放回盒中.通过大量重复试验,发现摸到红球的频率稳 定在0.03,那么可以推算出n的值大约是 100 .

(1)求样本数据中为 A 级的频率； (2)试估计 1 000 个 18～35 岁的青年人中“日均发微博条数”
为 A 级的人数； (3)从样本数据为 C 级的人中随机抽取 2 人，用列举法求抽得 2
个人的“日均发微博条数”都是 3 的概率．
解：(1)由表可得所抽取的符合年龄条件的青年人为 A 级的人数 有 15 人，所以样本数据中的 A 级的频率为1350＝12.
谢谢！
解答下列问题： (1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为 7”的
频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为 7”的概 率； (2)根据(1)，若 x 是不等于 2,3,4 的自然数，试求 x 的值．
解：(1)出现“和为 7”的概率约是 0.33. (2)列表一共有 12 种等可能的结果：
由(1)知，出现“和为 7”的概率约为 0.33，∴“和为 7”出现 的次数为 0.33×12＝3.96≈4. 若 2＋x＝7，则 x＝5，此时 P(和为 7)＝31≈0.33，与题意相符； 若 3＋x＝7，则 x＝4，与题意不符；若 4＋x＝7，则 x＝3，与 题意不符．∴x＝5.
2．在某项针对 18～35 岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一 个人的“日均发微博条数”为 m，规定：当 m≥10 时为 A 级， 当 5≤m＜10 时为 B 级，当 0≤m＜5 时为 C 级．现随机抽取 30 个符合年龄条件的青年人参加“日均发微博条数”的调查， 所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下：
3．姚明在某段时间内进行定点投篮训练，其成绩如下表：

投篮次数
100
1 000
10 000
投中次数
90
899
9 012
试估计姚明在这段时间内定点投篮投中的概率是_0_._9__.(精

果园，现在有两批幼苗可以选择，它们的成活率如下两个表格所示： B类树苗： Ａ类树苗：
10 50 270
400 750 1500 3500 7000 14000
8 47 235
369 662 1335 3203 6335 12628
0.850
0.856 0.855 0.851
0.905
0.902
观察图表,回答问题串
用列举法求概率的条件是什么?
(1)实验的所有结果是有限个(n)
(2)各种结果的可能性相等.
m P A n
当实验的所有结果不是有限个;或各种 可能结果发生的可能性不相等时.又该 如何求事件发生的概率呢?
问题1:某林业部门要考查某种幼树在一定 条件下的移植成活率,应采取什么具体做法?
问题2:某水果公司以2元/千克的成本新进 了10000千克柑橘,如果公司希望这些柑橘 能够获得利润5000元,那么在出售柑橘时 (去掉坏的),每千克大约定价为多少元?

用频率估计概率
必然事件 不可能事件 随机事件(不确定事件) 可能性
0 不可 能发 生 ½(50%) 可 能 发 生
回顾
1(100%) 必然 发生
概率 事件发生的可能性,也称为事件发生 的概率.
必然事件发生的概率为1(或100%), 记作P(必然事件)=1; 不可能事件发生的概率为0, 记作P(不可能事件)=0; 随机事件(不确定事件)发生的概率介于0~1之 间,即0<P(不确定事件)<1. 如果A为随机事件(不确定事件), 那么0<P(A)<1.
0.9 则估计油菜籽发芽的概率为＿＿＿
结 论：
瑞士数学家雅各布．伯努利（１６５４ －１７０５）最早阐明了可以由频率估计 概率即： 在相同的条件下，大量的重复实验 时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐 稳定的常数，可以估计这个事件发生的概 率

m n
）
19.42 0.097 为简单起见，我们能否直接把表中的 0.097 250 24.25 500千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑 300 30.93 0.103 橘损坏的概率？
350 400 450 35.32 39.24 44.57 0.101 0.098 0.099 0.103
200
500
2.
3. 一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和黑球 个若干个,每个球出了颜色外没有任何区别. (1)小王通过大量反复实验(每次取一个球,放回搅匀 后再取)发现,取出黑球的概率稳定在1/4左右,请 你估计袋中黑球的个数. (2)若小王取出的第一个是白球,将它放在桌上,从袋 中余下的球中在再任意取一个球,取出红球的概 率是多少?
是实际问题中的一种概率 , 估计移植成活率 可理解为成活的概率 . 观察在各次试验中得到的幼树成活的频 某林业部门要考查某种幼树在一定条件下
率，谈谈你的看法． 的移植成活率 ,应采用什么具体做法?
移植总数（n） 10
50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数（m） 8
当试验次数很多或试验时样本容量足够大 时,一件事件发生的频率与相应的概率会非常 接近.此时,我们可以用一件事件发生的频率来 估计这一事件发生的概率.
了解了一种方法-------用多次试验频率
去估计概率 体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率
做一做
1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000 尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤 鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个 310 尾,鲢鱼_______ 270 尾. 水塘里有鲤鱼_______
47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628

塘。再从鱼塘中打捞40条鱼，如果在这40条鱼中有4条 鱼是有标记的，则鱼塘中鱼的条数可估计为 .
共同练习
完成下表, 利用你得到的结论解答下列问题:
柑橘总质量（n）/千克 50 100 损坏柑橘质量（m）/千克 5.50 10.5 柑橘损坏的频率（ 0.110 0.105
m n
）
为简单起见，我们能否直接把表中的 0.101 150 15.15 500 千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑 200 19.42 0.097 橘损坏的概率？ 0.097 250 24.25
示范分析：
1、根据事件性质，可利用多次重 复的实验结果去估计概率.
100 1 ∴P（掷中不规则图形）= . 3000 30 2、掷中不规则图形的概率=不规则图形面积占整个长方 形面积的比率. x 100 x 50 1500 3000
试一试
数学真奇妙
2.西山学校打算委托厂家生产一种中学生使用的笔袋，但无法 确定各种颜色的产量，于是初三数学兴趣小组随机调查了5 000 名中学生，并在调查到1 000名、2 000名、3 000名、4 000名、 5 000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如西山学校足球场绘制成如图所示的图形：长方 形足球场内有一不规则区域。有人借此玩投掷游戏（即：朝 图形内扔东西）,如果随机掷中长方形的3000次中，有100次 是落在不规则图形内，据此 (1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ (2)若该长方形的面积为1500m2,试估计不规则图形的面积.
例2：张小明承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹 果果园，现在有两批幼苗可以选择，它们的成活率如下两个 表格所示： B类树苗： Ａ类树苗：
移植总数 （n ）
10 50
成活数 （m）

就可以作为概率的估计值.
3 升华提高
弄清了一种关系------频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的频 率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频率 来估计这一事件发生的概率.
了解了一种方法-------用多次试验频率去估计概率
体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率
概率的统计定义： 一般地，在大量重复试验中， 如果事件发生的频率（m/n） 会稳定在某个常数p附近， 那么，事件发生的概率为p.
需要注意的是:概率是针对大量重复雅的各试布·验伯努而利言（瑞的士）,大 量试验反映的规律并非在每一次试验中出165现4-1.705
结论：
更一般地,即使试验的所有可能的结果不是 有限个,或各种可能的结果发生的可能性不 相等,也可以通过试验的方法去估计一个随 机事件发生的概率.只要试验次数是足够大 的,频率就可以作为概率p的估计值.
0.501材1 料
抛掷次数(n)
正面向上次 数（频数m）
频率( m ) n
2048
1061
0.5181
4040
2048
0.5069
1200060190.501624000 30000 72088
12012 14984 36124
05005 0.4996 0.5011
“正面向下” 的概率哪
当重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5左右摆动。 随着抛掷次数的增加，一般地频率呈现出一定的稳定性：在0.5 左右摆动的幅度会越来越小。我们称“正面向上”的概率是0.5
的频率 （m ）
n
隶莫弗
2 048
1 061
0.518
布丰
4 040

联系：
频率与概率的关系
频率
事件发生的 频繁程度
稳定性
概率 大量重复试验
事件发生的
可能性大小
在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为 它的估计值.
区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同
样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能 不同，而概率是一个确定数，是客观 存在的，与每次试 验无关.
2048 4040 10000 12000 24000
“正面向上” “正面向上”
次数m
频率(
m n
)
1061
0.518
2048
0.5069
4979
0.4979
6019
0.5016
12012
0.5005
支持
归纳总结
通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率 来估计该事件发生的概率.
数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于 众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不 尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规 律.这称为大数法则,亦称大数定律.
摸球的次数n
100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 m 0.65 0.62 0.59 0.604 0.601 0.599 0.601
n
3
摸球的次数n
100 200 300 500 800 1000 3000
答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律 性.或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重 复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
3.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的 黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子 里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它 放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组 统计数据：

◆问题3
为什么要用投掷硬币的方法呢？ 理由： _这__样__做_公__平___．_能___保__证__小__强__和__小__明__得__到__球__票__的__可__能__性__一__样__大__，___ _即_得__票__概___率__相_同___．_______________________________________
试验者
抛掷次数 n
“正面向上” 次数m
棣莫弗 2048
1061
布 丰 4040
2048
费 勒 10000
4979
皮尔逊 12000
6019
皮尔逊 24000 12012
“正面向上” 频率( ) 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
归纳总结
通过大量重复试验，可以用随机事件 发生的频率来估计该事件发生的概率.
活动2
图钉落地的试验 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？ 其中顶帽着地的可能性大吗？
做做试验来解 决这个问题.
(1)选取20名同学，每位学生依次使图钉从高处落下20次，并根据试验结 果填写下表.
试验累计次数
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109
对于问题(2)， “不一定”的答案．
对于问题(3)，表示怀疑，不太相信．
典例讲解
例1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下：
练习罚篮次数
30
60 90 150 200 300 400 500
罚中次数
27
45 78 118 161 239 322 401

频率稳定性定理
由频率可以估计概率是由瑞士数 学家雅各布· 伯努利（1654－1705 ）最早阐明的，因而他被公认为 是概率论的先驱之一．
定义
对一般的随机事件，在做大量重复试验 时，一个事件出现的频率，总是在某个常数 附近摆动，显示出一定的稳定性.
概率的统计定义： 一般地，在大量重复试验中， 如果事件发生的频率（m/n） 会稳定在某个常数 p 附近， 那么，事件发生的概率为 p.
记做P(A)
注： (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验； (2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A 的概率； (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小； (5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．因此0P(A)1
于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相 同,但在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个 事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一 定的稳定性.这称为大数法则,亦称大数定律.即：在相同的
条件下，做大量的重复实验时，根据一个随机事件发生的频率所逐 渐稳定的常数，可以估计这个事件发生的概率。
“正面向下” 的概率哪
当重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5左右摆动。
随着抛掷次数的增加，一般地频率呈现出一定的稳定性：在0.5
左右摆动的幅度会越来越小。我们称“正面向上”的概率是0.5
材料2：
0.9 则估计油菜籽发芽的概率为＿＿＿
数学史实
在长期的实践中，人们观察到，对一般的随机试验,由
新课
用列举法可以求一些事件概率，还可以利用多 次重复试验，通过统计实验结果去估计概率
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如 材料 下表 ： m 正面向上次 抛掷次数(n) 频率( ) 数（频数m） n 2048 4040 12000 24000 30000 72088 1061 2048 6019 12012 14984 36124 0.5181 0.5069 0.5016 05005 0.4996 0.5011