绝密★启用前 试卷类型：A茂名市2015年第二次高考模拟考试2015茂名二模 数学试卷（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回.参考公式：锥体的体积公式是：13V S h =∙锥体底，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.第一部分 选择题（共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、已知集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则A B 等于( )A ．{}2-B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,1,2-2、复数311(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，63=S ，则10a 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．10 D ．55 4、已知向量(2,1)=a ，(,2)x =-b ，若a ∥b ，则+a b 等于（ ）A. （-2，-1）B. （2，1）C. （3，-1）D. （-3，1）5、若,x y 满足不等式1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩, 则2x y +的最小值为( )A. 0B. 4-C.4D. 36、命题“2000,220x R x x ∃∈++≤” 的否定是( )A. 2,220x R x x ∀∈++>B. 2,220x R x x ∀∈++≥C. 2000,220x R x x ∃∈++<D. 2000,220x R x x ∃∈++>7、已知平面α⊥平面β，=l αβ，点,A A l α∈∉，作直线AC l ⊥，现给出下列四个判断：（1）AC 与l 相交， （2）AC α⊥， （3）AC β⊥， （4）//AC β. 则可能．．成立的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 48、如图所示,程序框图的输出结果是1112s =，那么判断框中应 填入的关于n 的判断条件是( )A ．8?n ≤B ．8?n <C ．10?n ≤D ．10?n <9、已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点,A B 是两曲线的交点，O 为坐标原点，若()0OA OB AF +⋅=，则双曲线的实轴长为( )A 2B ．12-C ．122-D ．222-10、已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，若()f x y x=在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若()2f x y x =在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.若函数()322f x x hx hx =--，且()1f x ∈Ω，()2f x ∉Ω，则实数h 的取值范围是（ ） A .[)0,+∞B.()0,+∞C.(],0-∞D.(),0-∞第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（11～13题） 11、函数()lg 2xf x x =-的定义域为 . 12、函数2ln 1y x =+在点（1,1）处的切线方程为 . 13、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a b c ，，，已知()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，且2a c =，则sin A = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都答的，只计算第一题的得分.）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x θy θ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），则坐标原点到该圆的圆心的距离为 .15、（几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC =60BCD ∠=︒，则圆O 的面积 为 .三、解答题（本大题共 6小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分12分）已知函数)20,)(31sin(2)(πϕϕ<<∈+=R x x x f 的图象过点)2,(πM .（1）求ϕ的值；（2）设,1310)3(],02[=+-∈παπαf ， 求)453(πα-f 的值. 17、（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识,征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25， 第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[]40,45，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定从3，4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率. 18、（本小题满分14分）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正 方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点.（1）证明：NE PD ⊥；（2）求四棱锥B CEPD -的体积.19、（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有)(1*N n a s n n ∈-=,点),(n n b a 在直线nx y =上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T ;（3）试比较n T 和n n 222-的大小,并加以证明.20、（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点P ，离心率为12，（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 过椭圆E 的右焦点F ,且交椭圆E 于A B 、两点,是否存在实数λ，使得BF AF BF AF ⋅=+λ恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21、（本小题满分14分）设函数()()()()()ln ,212.f x x g x a x f x ==---（1）当1a =时，求函数()g x 的单调区间；（2）若对任意()10,,02x g x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的最小值；（3）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为()00,C x y ，直线AB 的斜率为k . 证明：()0k f x '>.茂名市2015年第二次高考模拟考试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）提示：9、 抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F F ∴点的坐标为（1，0） 0)(=∙+，∴AF ⊥x 轴.设A 点在第一象限，则A 点坐标为（1,2）设左焦点为'F ,则'FF =2,由勾股定理得'AF 22=,由双曲线的定义可知2222'-=-=AF AF a .10、因为()1f x ∈Ω且()2f x ∉Ω，即()()22f x g x x hx h x==--在()0,+∞是增函数，所以0h ≤.而()()22f x h h x x h x x ==--在()0,+∞不是增函数，而()21hh x x'=+，所以当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，有0h <.综上所述，可得h 的取值范围是(),0-∞.二、填空题（本大题每小题5分，共20分）11. 022+∞（，）（，）； 12. 210x y --=； ； 14. 2； 15. 4π 13.提示：由正弦定理得：s i n ,s i n,s i n 222ab c A =B =C =RRR代入()s i n s i n s i n s i n a A B c C b B -=-，得到222,a ab c b -=-即222,a b c ab +-=代入余弦定理得：1cos 2C =，sin 2C ∴=，又因为2a c =，1sin sin 24A C ==. 三、解答题（本大题共80分）16. 解：（1）把(,2)π代入12sin()3y x ϕ=+得到sin()1,3πϕ+= (1)分0,2πϕ∈（）， 6πϕ∴= ………………………………………4分（2）由（1）知)631sin(2)(π+=∴x x f∴10(3)2sin()2cos ,213f παπαα+=+== ∴5cos 13α=，……………7分∵]0,2[πα-∈， 1312)135(1cos 1sin 22-=--=--=∴αα ………9分 ∴)4sin(2)453(παπα-=-f )4sin cos 4cos (sin 2παπα-= ]2213522)1312[(2⋅-⋅-=………………………………11分 13217-= ………………………………………………12分 17、解：（1）由频率直方图可知：第3组的人数为0.06510030⨯⨯=……………………1分第4组的人数为0.04510020⨯⨯= …………………………………………2分 第5的人数为0.02510010⨯⨯=………………………………………………3分 所以用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯= 第4组：206260⨯= 第5组：106160⨯= 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人 ……5分 （2）记第3组的3名志愿者为123,,,A A A 第4组的2名志愿者为12,,B B ………………6分则5名志愿者中抽取的2名志愿者有：12(,),A A 13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 共10种 ……9分其中第4组的2名志愿者为12,,B B 至少有一名志愿者被抽中的有：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 共有7种 …11分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为710……………………………12分18、解：（1）连结AC 与BD 交于点F ，则F 为BD 的中点，连结NF ， ∵N 为线段PB 的中点，∴//,NF PD 且,21PD NF =…………………3分 又//EC PD 且PD EC 21=∴//NF EC 且.NF EC = ∴四边形NFCE 为平行四边形， ……………………5分∴//NE FC , 即//NE AC ． …………………………………………………………6分 又∵PD ⊥平面ABCD , AC ⊂面ABCD , ∴AC PD ⊥,∵//NE AC , ∴NE PD ⊥, …………………………………………………………7分（2）∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ,∴平面PDCE ⊥平面ABCD . …………………………………………………………9分∵BC CD ⊥，平面PDCE 平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面.PDCE . ………………………………………………………………10分∴BC 是四棱锥B PDCE -的高. ……………………………………………………11分∵11()32322S PD EC DC =+⋅=⨯⨯=梯形PDCE……………………………………12分 ∴四棱锥B CEPD -的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⋅=⨯⨯=梯形. ………14分19. 解：（1）当1n =时, 1111a s a ==-, 解得：112a =， ………………………………1分当2n ≥时, 11(1)(1)n n n n n a s s a a --=-=---, 则有12n n a a -= ，即： 112n n a a -=， ∴数列{}n a 是以112a =为首项，12为公比的等比数列. ………………………3分 ∴*1()2nn a n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭……………………………………………………………4分（2）∵点),(n n b a 在直线nx y =上 ∴ 2n n n nb na ==. …………………………………………………………………5分因为1231232222n n n T =+++⋅⋅⋅+①,所以2341112322222n n n T +=+++⋅⋅⋅+②.由①-②得,123111111222222n n n n T +=+++⋅⋅⋅+-, 所以121111112212122222212nn n n n nn n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=--. ………………8分（3）令n n n B 222-=,则n n n n n n B T 2222++-=-=n n n 222--=n n n 2)1)(2(+- ……10分1=∴n 时, 011<-B T ，所以11B T <; 2=n 时, 022=-B T ，所以22B T =;3≥n 时, 0>-n n B T ，所以n n B T >. (13)分综上:①1=n 时，n n n T 222-<,②2=n 时,n n n T 222-=,③3≥n 时,n n n T 222-> (14)分20、解：（1）由椭圆E过点P2221b =…………………………1分 又21=a c ，222b c a += ……………………………………………………………2分解得：2,a b =， ………………………………………………………………3分所以椭圆E 方程为13422=+y x ……………………………………………………4分 （2）若直线l 斜率不存在，则可得)23,1(),23,1(-B A ,于是34323211=+=+=⋅+=BF AF BFAF BF AF λ; ……………………………6分若直线的斜率存在,设其方程为:)1(-=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ,可得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k , 设),(),,(2211y x B y x A ,则有2221438k k x x +=+,222143124kk x x +-=⋅ ……………8分 由于BFAF BF AF ⋅+=BFAF AB ⋅而2221212212243)1(124)(11kk x x x x kx x k AB ++=-++=-+= ……10分 BF AF ⋅=22222121)1()1(y x y x +-⋅+- =2222221221)1()1()1()1(-+-⋅-+-x k x x k x=11)1(212--+x x k=1)()1(21212++-+x x x x k=2243)1(9k k ++ ……………………………………………………………12分BFAF BF AF ⋅+=222243)1(943)1(12k k k k ++++=34 综上所述，BF AF BF AF ⋅=+34 即：存在实数34=λ，使得BF AF BF AF ⋅=+λ恒成立 …………………14分 21、解（1）()g x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，()12ln g x x x =--， ()221x g x x x-'=-=………………………1分 当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减 当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，综上，()g x 的单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为()0,2 ………………3分 （2）由题意知：()()212ln 0a x x --->，在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()212ln a x x -->在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，又10x ->，∴2ln 21x a x >+-在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立 …………………………4分 设()2ln 21x h x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()()222212ln 22ln 11x x x x x h x x x -+-+'==-- …5分 又令()2122ln ,0,2m x x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则()222222x m x x x x -+'=-+= ……6分当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，()m x 单调递减，∴()1422l n 202m x m ⎛⎫>=-->⎪⎝⎭，即()0h x '>在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立 ………………………………………………………7分所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，∴()12ln 12224ln 2122h x h ⎛⎫<=+=-⎪⎝⎭，故24ln 2a ≥-，所以实数a 的最小值24ln 2-. (8)分 （3）21212121ln ln y y x x k x x x x --==--， …………………………………………………………9分 又1202x x x +=，所以()()0001212ln x x f x x x x x =''===+ ……………………10分 要证()0k f x '>. 即证212112ln ln 2x x x x x x ->-+，不妨设120x x <<，即证()2121122ln ln x x x x x x -->+， 即证21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+………………………………………………………………11分设211x t x =>，即证：()214ln 211t t t t ->=-++， 也就是要证：4ln 201t t +->+，其中()1,t ∈+∞， ……………………………12分 事实上：设()()()4ln 21,1k t t t t =+-∈+∞+， 则()()()()()()22222141140111t t t k t t t t t t t +--'=-==>+++，……………………………13分 所以()k t 在()1,+∞上单调递增，因此()()10k t k >=，。
