§7-6 全同粒子的特性
一、全同粒子
1．全同粒子：所有固有（内禀）性质（静止质量、电荷、寿命、自旋、同位旋、内禀磁矩等）完全相同的微观粒子。
例如：电子偶素（由一个正电子和一个电子所组成的一种束缚系统）中的电子、金属中的电子、氢原子中的电子和氦原子中的电子等，不论它处于何种物质中，在什么地方，内禀性质都一样，故所有电子是全同粒子；而质子和中子，正负电子，内禀性质不完全相同，如带电状态不同，它们不是全同粒子。
2．全同粒子体系：由两个或两个以上的全同粒子组成的体系。如金属中的电子；氦原子中的电子；核中的质子或中子的集合。
3．全同粒子的不可区分性
经典力学中，尽管两个全同粒子的固有性质完全相同，仍可区分这两个粒子。因为都有自己确定的位置和轨道，即任一时刻它们都有确定的坐标和速度，可判定哪个是第一粒子，哪个是第二个粒子。例如同一牌子的解放牌汽车，它们不能在同一时刻处于同一位置，由初始状态和运行轨道的记录可以区分它们（建立档案）。
微观全同粒子不可区分，同一时刻它们可以处于同一位置。两个全同粒子可用两个波函数表示，在运动过程中，空间中发生重叠，此区域无法区分。只有当波函数完全不重叠时，才可区分。
二、全同性原理
由全同粒子的不可区分性导致全同性原理的假设。
以氦原子为例：氦原子中有两个电子，假设一个处于基态，而另一个处于第一激发态。
02212a e Z E s -= 202222
2a e Z E s -= 体系的能量为21E E E +=。若把两个电子的位置和自旋交换，能量E 的状态不变。于是得到量子力学中的全同性原理，即
全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子，体系的物理状态保持不变。
三、全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性
1．全同粒子体系的波函数与哈密顿
有一由N 个全同粒子组成的体系，以(,)i i iz q r S =代表第i 个粒子的坐标和自旋，波函数可写成
),,...,,(21t q q q N Φ=Φ
体系的哈密顿可以表述为
∑∑=≠+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=N
i j i j i i i N q q W t q U t q q q H 12221),(21),(2),,...,,(ˆμ
),(t q U i 是第i 个粒子在外场中的势能，),(j i q q W 是第i 个粒子与第j 粒子之间的相互作用能。
2．全同粒子体系的特性（全同性原理的特性） 定义交换（置换）算符ij
P ˆ： ),,...,,...,,...,(),,...,,...,,...,(ˆ11t q q q q t q q q q P N
i j N j i ij Φ≡Φ ),,...,,...,,...,(ˆ),,...,,...,,...,(ˆˆ11t q q q q H t q q q q H P N
i j N j i ij ≡
（1）交换体系中的任一对全同粒子，体系的哈密顿不变。 证明：221211ˆˆˆ(,,...,,)(,)(,)22N ij N ij i i i j i i j P H q q q t P U q t W q q μ=≠⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-∇++⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
∑∑ 2
21211ˆ(,)(,)(,,...,,)22N
j j j i N j j i U q t W q q H q q q t μ=≠⎡⎤=-∇++=⎢⎥⎣⎦∑∑ 即),,...,,...,,...,(ˆ),,...,,...,,...,(ˆ11t q q q q H t q q q q H N
i j N j i =有交换对称性。 （2）全同粒子体系的波函数具有确定的交换对称性，且这种对称性不随时间改变。
证明：根据全同性原理，Φij
P ˆ与Φ描写同一状态，它们之间至多差一个常数因子，即： ),,...,,...,,...,(),,...,,...,,...,(ˆ11t q q q q t q q q q P N
j i N j i ij Φ=Φλ 则
),,...,,...,,...,(),,...,,...,,...,(ˆ1212t q q q q t q q q q P N
j i N j i ij Φ=Φλ 又
),,...,,...,,...,(),,...,,...,,...,(ˆ112t q q q q t q q q q P N
j i N j i ij Φ=Φ 于是
1±=λ
即ij
P ˆ的本征值为1±=λ。 当1+=λ时，有
,...),...,(...,,...),...,(...,j i i j q q q q Φ=Φ
则波函数是交换对称的，用S Φ表示；
当1-=λ时，有
,...),...,(...,,...),...,(...,j i i j q q q q Φ-=Φ
则波函数是交换反对称的，用A Φ表示。
下面证明这种对称性不随时间改变。
由于Φ=Φij ij P H H P ˆˆˆˆ，所以有：0]ˆ,ˆ[=H P ij
，则 ˆ0ij
ij dP d P dt dt
ΦΦ== 即宇称算符的平均值不随时间变化，ij
P ˆ为一守恒量。 由此得出，描述全同粒子体系的波函数只能是对称或反对称的，它们的对称性不随时间发生改变。如果体系在某一时刻处于对称状态，则它将永远处于对称状态；如果体系在某一时刻处于反对称状态，则它将永远处于反对称状态。
以交换对称波函数为例：当0|=Φ=Φt S 时，0|ˆ=Φ=Φt S S ij P ，其中0|=Φ=Φt S 属于ij
P ˆ的本征值为1的本征态，则：
ˆ0ij
S ij S dP d P dt
dt ΦΦ==
