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选考计算题
1.如图，第一象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强
度大小为E ；第二、三、四象限存在方向垂直xOy 平面向外的匀强磁场，其中第二象限的磁感应强度大小为B ，第三、四象限的磁感应强度大小相等。一带正电的粒子，从P (－d ，0)点沿与x 轴正方向成α＝60°角平行xOy 平面入射，经第二象限后恰好由y 轴上的Q 点(图中未画出)垂直y 轴进入第一象限，之后经第四、三象限重新回到P 点，回到P 点时速度方
向与入射时相同。不计粒子重力，求： (1)粒子从P 点入射时的速度大小v 0； (2)第三、四象限的磁感应强度的大小B ′。
解析 (1)设q v 0B ＝m v 2
r
，r sin α＝d
设Q 点的纵坐标为y Q ，则y Q ＝r －d
tan α
粒子射入第四象限和射出第二象限时，速度方向与x 轴正方向的夹角相同，则β＝α＝60° 设粒子由x 轴上S 离开电场，粒子在S 点的速度为v ，则 qEy Q ＝12m v 2－12m v 20
，v ＝v 0cos β 解得v 0＝E
3B (2)设粒子在电场中时间为t ，S 点的横坐标为x S ，则y Q ＝v 0tan β
2
t x S ＝v 0t
解得x S ＝2d
3，粒子在S 点速度为v ，在第四、三象限中运动半径为r ′，则q v B ′＝m v 2r ′
x S －x P ＝2r ′sin β
解得B ′＝2.4 B 。
2.如图所示，在xOy 平面坐标系中，直线MN 与y 轴成30°角，M
点的坐标为(0，a )，在y 轴与直线MN 之间的区域内，存在垂直xOy 平面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场。电子束以相同速度v 0从y 轴上－2
3
a ≤y ≤0的区间垂直于y 轴和磁场射入磁场。已知从O 点射
入磁场的电子在磁场中的运动轨迹恰好与直线MN 相切，忽略电子间的相互作用和电子的重力。
(1)求电子的比荷；
(2)若在xOy 坐标系的第Ⅰ象限y >0区域内加上沿y 轴正方向大小为E ＝B v 0的匀强电场，在x 0＝4
3a 处垂直于x 轴放置一荧光屏，计算说明荧光屏上发光区的形状和范围。
解析 (1)从O 点射入磁场的电子在磁场中的运动轨迹如图所示，由
几何关系有： r ＋
r sin 30°＝a ，解得：r ＝a
3
，电子在磁场中运动时，洛伦兹力等于向心力，即eB v 0＝m v 20r
联立解得电子比荷e m ＝3v 0
Ba
(2)由电子的轨道半径可判断，在O 点射入磁场的电子从(0，2
3a )的位置进入匀强电场，电子
进入电场后做类平抛运动，
有2r ＝eE 2m t 2，x ＝v 0t ，将E ＝B v 0代入，联立解得：x ＝2
3a ，设该电子穿过x 轴时速度与x 轴
正方向成θ角，则 v y ＝eE
m t ，tan θ＝v y v 0
解得：tan θ＝2
设该电子打在荧光屏上的Q 点，Q 点离x 轴的距离为L ，则L ＝(x 0－x )tan θ＝43a ，
即电子打在荧光屏上离x 轴的最远距离为L ＝4
3
a
而从(0，－2
3a )位置进入磁场的电子恰好由O 点过y 轴，不受电场力，沿x 轴正方向做匀速
直线运动，打在荧光屏与x 轴相交的点上，所以荧光屏上在y 轴坐标分别为0、－4
3a 的范围
内出现一条长亮线。
3.如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 间距为L ＝0.5 m ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。完全相同的两金
属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m ＝0.02 kg ，电阻均为R ＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B ＝0.1 T ，棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd 恰好能保持静止。取g ＝10 m/s 2，问：
(1)通过棒cd 的电流I 是多少，方向如何？
(2)棒ab 受到的力F 多大？
(3)棒cd 每产生Q ＝1 J 的热量，力F 做的功W 是多少？ 解析 (1)对cd 棒受力分析如图所示由平衡条件得 mg sin θ＝BIL 得I ＝mg sin θBL
＝2 A 。
根据右手定则可判定通过棒cd 的电流方向为由d 到c 。
(2)棒ab 与cd 所受的安培力大小相等，对ab 棒，受力分析如图所示，由共点力平衡条件知
F ＝mg sin θ＋BIL 代入数据解得F ＝0.2 N 。
(3)设在时间t 内棒cd 产生Q ＝1 J 的热量，由焦耳定律知 Q ＝I 2Rt
设ab 棒匀速运动的速度是v ，其产生的感应电动势E ＝BL v 由闭合电路欧姆定律知I ＝E
2R
时间t 内棒ab 运动的位移x ＝v t 力F 所做的功W ＝Fx
综合上述各式，代入数据解得W ＝4 J 。
4.足够长的平行金属导轨ab 、cd 放置在水平面上，处在磁感应强度B ＝1.00 T 的竖直方向的匀强磁场中，导轨间连接阻值为R ＝0.30 Ω的电阻，质量m ＝0.5 kg 的金属棒ef 与bc 紧贴在导轨上，处于两导轨间的长度L ＝0.40 m 、电阻r ＝0.10 Ω，如图所示。在水平恒力F 作用下金属棒ef 由静止开始向右运动，其运动距离与时间的关系如下表所示。导轨与金属棒ef 间的动摩擦因数为0.3，导轨电阻不计，g ＝10 m/s 2求：
(1)在4.0 s 时间内，通过金属棒截面的电荷量q ；
(2)水平恒力F ；
(3)庆丰同学在计算7.0 s 时间内，整个回路产生的焦耳热Q 时，是这样计算的： 先算7.0 s 内的电荷量 再算电流I ＝Q t
再用公式Q ＝I 2Rt 计算出焦耳热
请你简要分析这样做是否正确？认为正确的，请算出结果；认为错误的，请用自己的方法算出7.0 s 内整个回路产生的焦耳热Q 。
