解排列组合问题时几种_重__漏_现象剖析
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解排列组合问题时几种“重”“漏”现象剖析彭树德(潜江中学,湖北 潜江 433100)中图分类号:O122.4-42 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)12-0008-02
收稿日期:2001-03-13
作者简介:彭树德(1963—),男,湖北潜江人,潜江中学高级教师.
学生在解排列组合应用题最容易犯的错误就是“重复”和“遗漏”计数.而对发生的“重”“漏”,有的学生却不知是怎样发生的,这也是学生觉得排列组合难学的原因之一.所以对排列组合应用题中“重”“漏”现象认真剖析,将有助于克服“重”“漏”现象的发生.1 处理“至少”问题,容易产生“重”“漏”现象 例1 在100件产品中有3件次品,从这些产品中取出4件,则至少有一件次品的抽法有多少种.错解 先在3件次品中抽出一件有C13种,然后在99件产品中,任意抽出3件,抽法有C399种,这样抽出的4件产品中至少有一件次品,据乘法原理,符合题意的抽法有C13・C399=470547种.剖析 若A,B,C为三件次品,D为某合格品,则先抽出A,再抽B,C,D;与先抽B,再抽A,C,D是相同的抽法,所以上述解法因“含3件次品”的抽法重复而产生错误.又假认E是另一个合格品,先抽A,再抽B,D,E,与先抽B,再抽A,D,E也是相同的抽法,所以重复的抽法还含有“有2件次品”的情况,故上述解法中,重复的抽法有:①23C13C22C197(抽出的4件中有3件次品,按C13・C22C197计数重复了三次,所以乘以23),②12C13C12C297(抽出的4件产品中有2件次品,按C13C12C297计数则重复了两次,所以乘以12),共重复了14162种,故正确的抽法总数为470547-14162=456385(种).事实上,处理“至少”问题,为克服“重”“漏”现象,一般有两种方法:一个是使用“间接排除”法,即先从100件产品中任取四件有C4100种方法,然后排除不合题目要求的,即不含次品的抽法C497种,则至少有一件次品的抽法有C
4100-C4
97=456385种,另一
种方法是“分类”法,将至少有一件次品分成三类,第一类为四件产品中有一件次品,有C13C397种;第二类为四件中有两件次品有C23C297种;第三类为四件中有三件次品,有C33C197种,故共有C13C397+C23C297+C33C197=456385种.2 处理有两个或两个以上限制条件的问题时,容易产生“重”“漏”现象 例2 用0,1,2,3,4,5,6七个数字,可以组成多少个没有重复数字的1)四位偶数;2)比30000大的五位偶数.
错解 1)因为个位只能排偶数,故只能在0,2
,
4,6中任取一值,有P
1
4种排法;而首位不能排0,个
位已用去一个数,故只能从剩下的5个数取一个排在首位有P15种;而中间两位数字由于无条件限制应有P25种排法,据乘法原理,共有P14・P15・P
2
5=400个
不同的四位偶数.
2)因排列的数为五位偶数,故个位可取0,2,4,
6,有P
1
4种排法,而首位要取大于或等于3的数,故
有P14种排法,故比30000大的五位偶数共有P14・P
1
4
・P
3
5=960个.
剖析 因为个位为偶数,首位不为零或者要比2
大,故此题为限制条件多于两个的排法问题.由于有相同的元素满足两个限制条件,故而容易产生“重”“漏”计数.如1)的解法中,错误就在于未分清个位对
首位取值究竟有什么影响.事实上,当个位为0时,
首位可在1,2,3,4,5,6中任取一个,有6种取法,而当个位为2或4或6时,首位因不能取0,故只有5
种取法.所以上述解法遗漏了个位为0时,首位为1
,
2,3,4,5,6之一的情况,共遗漏了P16P25-P15P25P25=
8数学通讯 2001年第12期
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net20个,故合条件的四位偶数应有400+20=420个.在第2)问中,因为当个位数取0或2与取4或6对首位取值的影响是不同的,如个位取0或2时,首位可取3,4,5,6四数之一;而个位取4或6时,首位只能取3,4,5,6中非4或非6的3个数字之一.显然上述解重复了个位为4或6的一部分情况,共重复计数P12P14P35-P12P13P35=2P35=120,因此比3000大的五位偶数一共为960-120=840个.实际上,解有多个限制条件的排列组合题为避免“重”“漏”应注重使用分类的方法.如第1)问应分个位取0或取2,4,6两种情况讨论:共P11P36+P13・P15P25=420个.第2)问应分个位为0,2或4,6两种情况,共P12・P14・P35+P12・P13・P35=840个.3 处理分组问题,容易产生“重”“漏”现象 例3 共6本不同的书平均分成3组,每组2本,共有多少种分组方法.错解 分三步完成,首先从6本不同的书中取出2本作为一组共有C26种取法,然后从余下的4本中任取2本作为一组,有C24种取法,最后从剩下的2本书中取出2本作为一组,有C22种取法,据乘法原理共有C26C24C22=90种分组方法.剖析 将6本书编号为a,b,c,d,e,f,则按照操作过程来讲,先取ab,再取cd,最后取ef,与先取cd,再取ab,最后取ef,应为不同的分组方法,但事实上三组结果一样.故共重复了P33=6次,故正确的答案是16・C26C24C22=15种.正确的解答可如下叙述:设分组方案有x种,由于分组无顺序,故x・P33=C26C24C22,∴x=C26C24C22P33=15种.另外,与之相关的下列四个问题,在计算时也容易产生“重”“漏”,请同学们思考,并仔细体会各题之间的相似与不同.1)将6本不同的书分成三组:一组3本,一组2本,一组1本,共有多少种分法.(答案:C36C23C11=60种)2)将6本不同的书平均分给3个人,有多少种分法.(答案:C26C24C22=90)3)将6本不同的书分给3个人,一人得3本,一人得2本,一人得1本,有多少种分法.(答案:C36C23C11・P33=360)4)将6本不同的书分给甲乙丙三个人,甲得3本,乙得2本,丙得1本,有多少种不同的分法.(答案:C36C23C11=60)4 用“排除法”处理问题,容易产生“重”“漏”现象 例4 连结正方体8个顶点的直线中,为异面直线的有多少对?
错解 先找出8个点中两两连线的条数C
2
8=
28,再按照两条一对,共有C228=378对,然后将两条共面的减去,共面分相交、平行两类,其中每一个顶点可引出3条直线,共组成C
2
3=3对相交直线,8个
顶点共有24对相交直线;又每一条棱作为边可组成三个平行四边形,每个平行四边形有两组平行边,共有平行直线3×12×2=72对,所以异面直线共有N
=378-24-72=282对.
剖析 这种解法很容易产生“重”“漏”现象.如从每一顶点引出直线不是3条,而是7条(含3条面对角线和一条体对角线),应有8
C
2
7=168对共面相
交直线.另外平行直线又算“重”了,如设正方体为ABCD-A1B1C1D1
过棱AB的平行四边形有ABB′
A′,则过棱A′B′的平行四边形也有A′B′BA,因而计数有重复的.事实上这样的平行四边形只有12个(6
个正方体的面,6个对角面).故平行直线只有12×2
=24对,但同时每一个平行四边形又多出了一组相交对角线,所以还应减去12对共面相交直线,所以N=378-168-24-12=174对.对于此题,为避免“重”“漏”现象,我们可以换一种思考方式.我们知道,一个三棱锥有3对异面直线,故只需求出8个顶点可产生多少个三棱锥即可,
亦即“不共面的4点”有多少组,由于共面4点有12
组,正方体的6个面和6个正方体的对角面)
,
故可
产生(
C
4
8-12)个三棱锥,每个三棱锥有3对异面直
线,故共有3(
C
4
8-12)=174对异面直线.
作为本文的结束,请同学们思考下面的这道题,
解答后面的问题.
题 6个不同的小球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少1个小球,应有多少种不同的分配方法.
解 让6个小球排成一排有P66种排法,中间有5个空,在这5个空中任取3个插入“隔板”,有C
3
5种
取法,这样就可以将6个小球分成4个部分,如1|2
3|4|56,则将1号球放入第1个盒子,第2号,3号球放入第2个盒子,第4号球放入第3个盒子,第5
号,6号球放入第4个盒子,这样既有不同的小球在各个不同的盒子里的可能又有球的个数在各盒子多种多样的可能,据乘法原理共有P66・C
3
5=7200种.
以上解答是否出现了“重漏”现象?若出现了,
请说明“重”在什么地方?“漏”在什么地方?并给出正确解答.同时思考将球的属性作何种改变可以使上述解法正确?
92001年第12期 数学通讯
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