一轮复习文科数学 第11讲 和角公式、倍角公式与半角公式

,

k

+
点击进入相应模块
(k Z)
2
24
降幂扩角公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
升冪缩角公式：
1 cos 2 =2sin2
1 cos 2 =2cos2
点击进入相应模块
做填空游戏：在二倍角公式中
sin 2sin cos
1 tan tan 2 tan
tan2 1 tan2 点击进入相应模块
三、新授内容：
二倍角的正弦、余弦、正切公式：
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
2 tan tan 2 1 tan2
使等式各部分 均有意义
【变式备选】已知 cos( ) 3 , 3 , 求 cos(2 ) 的值.
4 52
2
4
【解析】cos(2 ) cos2cos sin2sin 2 (cos2 sin2),
4
4
42
Q 3 , 3 7 .
22
cos .2sin

2sin2
2
sin
1 cos sin
2 22
点评：1、左到右证明 2、变角、点变击式进入相应模块
半角公式：
sin 1 cos
2
2
sin2 1 cos
2
2
cos 1 cos cos2 1 cos
1
,
2
两边平方可得sin2α= 3 , 所以(sinα+cosα)2=1+sin2α= 7 ,

高考数学中的三角函数半角公式与倍角公式三角函数是高中数学中一个重要的概念，而其中就包括三角函数的半角和倍角公式。

这两个公式在高考数学中非常重要，在考试中经常会有相关的问题出现。

本文将详细介绍三角函数的半角公式与倍角公式。

一、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，以角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为函数值的六种函数。

其中，正弦、余弦、正切、余切是最常用的四种三角函数，它们在数学、物理等各个领域都有着广泛的应用。

二、半角公式的定义三角函数的半角公式是指在一个角的基础上，通过一定的运算，得到一个新的角度进行求解。

具体的公式如下：sin（x/2）=[√（1+cosx）]/2cos（x/2）=[√（1+sinx）]/2tan（x/2）=[sinx]/[1+cosx]其中，x为角度值。

三、半角公式的应用半角公式常常用于解决三角函数运算中的复杂问题。

例如，在解决辨识正负号的问题时，可以使用半角公式将一个角分解成两个半角，进而得到正确的结果。

此外，半角公式还可以用于求解一些特殊角，例如，sin45°=sin（90°/2）=[√（1+cos90°）]/2=[√（1+0）]/2=1/√2。

四、倍角公式的定义三角函数的倍角公式是指将一个角度值翻倍，得到一个新的角度值进行求解。

具体的公式如下：sin 2x = 2sinxcosxcos 2x = cos²x - sin²xtan 2x = (2tanx) / (1 - tan²x)其中，x为角度值。

五、倍角公式的应用倍角公式常常用于解决一些常见的问题，例如，求两个角的正弦、余弦、正切、余切的和与差。

此外，倍角公式还可以用于化简三角函数的表达式，从而简化计算过程。

例如，为了解决sin 120°sin 240°sin 360°的问题，可以用cos²60°减去1/4的方式，化简成了（√3/2）²-1/4，从而可以快速求解出答案。

第六节
倍角公式和半角公式
点击进入相应模块
三年13考
高考指数:★★★
1.会用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公 式，了解它们的内在联系. 2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、 余弦、正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和 差化积、半角公式，但不要求记忆）.
1.灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变形，进而
考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容.
2.以三角函数为背景，向量为载体考查恒等变形能力也是高考
的常考内容.
3.多以选择题、解答题的形式出现，属中、低档题.
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名 公式
2 s i n c o s s i n 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2
2.半角公式
2 2 1 2 s i n c o s 2 _ _ _ _ _ _ _ _ c o s 2 _ _ _ _ _ _ _ _ 2 c o s 1
【即时应用】 (1)思考：你能用sinα 、cosα 表示 t a n 吗？
sin sin g 2cos 2 2 2 提示：tan 2 cos cos g 2cos 2 2 2
2
sin g 2sin sin 2 2 2 ， tan 1cos 2 cos cos g 2sin 2 2 2 1cos . sin sin
【即时应用】
2 ta n 中对任意的α 都成立 (1)思考：二倍角公式 ta n 2 2 1 ta n
吗？
提示：不一定,当 时，公式成立. k , 2 k ( kZ ) 2 2

高一数学倍角公式和半角公式【本讲主要内容】倍角公式和半角公式（正弦、余弦、正切）【知识掌握】 【知识点精析】1. 倍角公式：二倍角公式sin sin cos ()cos cos sin ()cos sin tan tan tan ()222211222122222222αααααααααααααα==-=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪S C T注意：①公式T 2α只有当αππαππ≠+≠+∈k k k Z 242和()才成立； ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它只要两个角有二倍的关系，如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是32α的二倍等等都可以用二倍角公式。

例如：cos cos sin sin cos sin αααααα3663312622=-=， 12242151153022-=-=sin cos tan tan tan αα，°°°③熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）④注意公式的变形应用与逆用。

特别是公式：cos cos sin 2211222ααα=-=-可变形为cos cos sin cos 22122122αααα=+=-，，两式相除得tan cos cos 21212ααα=-+，这样就得到了降幂公式。

降幂公式sin cos cos cos tan cos cos 2221221221212ααααααα=-=+=-+⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪升幂公式cos cos sin cos sin 221122222ααααα=-=-=-⎧⎨⎪⎩⎪2. 半角公式：()()半角公式，，sin cos cos cos tan cos cos sin cos cos sin ααααααααααππαααπααα212212*********=±-⎛⎝ ⎫⎭⎪=±+⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+≠+∈=-≠∈⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪S C T k k Z k k Z 注意：①应用半角公式时，要特别注意根号前的符号，它是由α2所在象限的三角函数符号确定。