习题四
4.1.若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a= x m，则称这个群为循环群。若群的
元素交换律成立，即a , b∈G满足
a⋅b = b⋅a
则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。
[证].设循环群(G, ⋅)的生成元是x0∈G。于是，对任何元素a , b∈G，∃m，n∈N，使得a= x0m , b= x0n ,从而
a⋅b = x0m⋅x0n
= x0m +n (指数律)
= x0n +m (数的加法交换律)
= x0n⋅x0m(指数律)
= b⋅a
故⋅运算满足交换律；即(G, ⋅)是交换群。
4.2.若x是群G的一个元素，存在一个最小的正整数m，使x m=e，则称m为x的阶，试证：
C={e,x,x2, ⋯,x m-1}
是G的一个子群。
[证].(1)非空性C ≠∅：因为∃e∈G；
(2)包含性C⊆G：因为x∈G，根据群G的封闭性，可知x2, ⋯,x m-1,(x m=)e∈G，故C⊆G；
(3)封闭性∀a , b∈C⇒ a ⋅b∈C：∀ a , b∈C，∃k，l∈N (0≤ka ⋅
b = x k⋅ x l = x(k+l) mod m∈C(因为0 ≤ (k+l) mod m < m) ；
(4)有逆元∀a ∈C⇒ a -1∈C：∀ a ∈C，∃k∈N (0≤ka -1= x m-k∈C(因为0 ≤m-k < m) 。
综合(1) (2) (3) (4)，可知(C, ⋅)是(G, ⋅)的一个子群。
4.3.若G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n。
[证].对任一元素x∈G，设其阶为m，并令C={e,x,x2, ⋯,x m-1}，则由习题4.2.可知(C, ⋅)是(G, ⋅)的一个子群，故具有包含性C⊆G。因此有
m = |C| ≤ | G | = n
所以群G的所有元素的阶都不超过n。
4.4.若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可以表示成a的幂：
a,a2, ⋯,a n
的元素a的数目。
[证].设(G, ⋅)是循环群，a是其一个母元素(生成元)，a的阶为n(也是G的阶)，则
G ={a,a2, ⋯,a n(=e) }。
(1).我们来证：对任何自然数r∈N (0< r为此，只需证a r的阶为n即可。
首先，设a r的阶为k，因此有a r⋅k = (a r)k= e，由于a的阶为n，故根据引理*可得n | r⋅k 。已知0< r其次，
(a r)n= a r⋅n(指数律)
= a n⋅r (数的加法交换律)
=(a n)r (指数律)
= e r
= e 。
因而，由k是元素a r的阶，具有最小性，所以k ≤n。
综合这两方面，可得k = n。
(2).根据(1)的结论，可得，群G的母元素的数目为ϕ(n) (欧拉函数，小于n且与n互素的数的个数)。
注.引理*.设(G,⋅)是群。∀x∈G，若x的阶为k，从而x k =e。则∀m∈N, x m＝e⇔k | m。
[证].先证⇒)：
若x m＝e，则必有k | m。
否则k∤m，于是，由带余除法，可设m=kq+r(0< rx r＝x m-kq
＝x m+(-kq)
＝x m⋅ (x k)-q(指数律)
＝e ⋅e-q(x m＝e, x k =e)
＝e ⋅e
＝e
故与x的阶为k，具有最小性，矛盾。
次证⇐):
若k | m，则m = kq。于是
x m ＝x kq
＝(x k)q(指数律)
＝e q(x k =e )
=e。
4.5.试证循环群G的子群仍是循环群。
[证].设(H, ⋅)是循环群(G, ⋅)=的一个子群，则H中的元素都可表示成a的一些正方幂。设a m是H中指数最小的正方幂，我们来证(H, ⋅)=。为此只要证明H中任一元素都可表示成a m的正方幂即可。
任取H中一个元素a k，根据带余除法，可知有非负整数q及r，使
k=qm+r且0≤r于是由(H, ⋅)构成群，可知(a m)q∈H，从而(a m)-q∈H，于是
a r=a k⋅ (a m)-q∈H
由m的选择(最小性)必须有r=0，所以a k=(a m)q，这说明(H, ⋅)=，因而(H, ⋅)循环群。4.6.若H是G的子群，x和y是G的元素，试证xH⋂yH或为空，或xH = yH。
[证].对任何x,y∈G，若xH⋂yH=∅，则问题已证。
否则若xH⋂yH≠∅，则必至少有一元素x0∈xH⋂yH，从而
x0∈ xH⋂yH
⇒x0∈ xH∧ x0∈yH
⇒ x0=x⋅h1∧ x0 =y⋅h2(这里h1, h2∈H)
⇒x⋅h1 = y⋅h2
⇒x = y⋅h2⋅h1-1∧y = x⋅h1⋅h2–1(*)
下面我们来证：xH = yH。为此，要分证：
(1)xH⊆yH；
(2)yH⊆xH；
我们只证(1) ；(2)同理可证；
对任何元素a，
a∈ xH
⇒a =x⋅h'(这里h'∈H)
⇒a = y⋅h2⋅h1-1⋅h'(由(*)：x = y⋅h2⋅h1-1 )
⇒a =y⋅h''(由H的封闭性：h''= h2⋅h1-1⋅h'∈H)
⇒a∈ yH
