下载文档原格式
阅读教学要学会留白“留白艺术”是一切艺术共有的表现手法。
中国画的留白艺术手法营造了画中有画、画外有画的艺术效果，赋予作品以无穷的魅力，给鉴赏者留出了一片想象的蓝天。
文艺创作中的适当留白，能使读者展开充分的想象，对文艺形象和意境进行积极的再创造。
可谓“言已尽而意无穷”、“此时无声胜有声”。
在阅读教学中，巧妙运用“留白艺术”，往往能留出精彩。
一、预设留白：适度模糊天地宽就课堂教学而言，预设是必要的，因为教学首先是一个有目的、有计划的活动。
但是从本质上讲，教学预设应当以承认和尊重学生的人格和个性差异为前提，让每个学生都能感受到学习的快乐，都能在原有的基础上有所提高。
因此，希图用精确预设的标准和形式来引领教学，难免会捉襟见肘，结果只能导致教学的封闭和僵化。
从另一个方面来讲，预设的过度定量化，精确化，甚至条分缕析，甚至精确到教师讲的每句话……反而会产生不少负面影响。
其一，会束缚教师教学的创造性，抑制学生学习的自主性和思维的开阔性；其二，程式化、模式化的教学弊病也容易如影随形。
这方面的例证并不少见。
因此，预设应该是有弹性、有留白的。
实践证明预设留白、适度模糊，有助于学生展示丰富、独特的内心世界，有助于教师重新组合和建构文本，有助于语文教学体现其独特的魅力。
没有删繁就简三秋树，哪有标新立异二月花？二、难点留白：柳暗花明又一村在教学中，如果学生遇到难点又一时无法解决，不妨先放一放，存疑留白。
等学到一定的时候，难点往往会迎刃而解。
如，笔者教学《草船借箭》一文，在引导学生初读课文后，有学生质疑：“诸葛亮神机妙算，他明明知道周瑜让他三天造十万支箭是有心陷害，为什么还不揭穿呢？”这个问题确实是理解上的一个难点，初读课文一时解决不了。
是直接进行讲解呢？还是暂且搁置留白呢？笔者采用了后一种方法。
先引导学生专心研读下文借箭的过程，接着让一些学生调动已有的阅读积累，畅谈“草船借箭”的背景……在此基础上，再探究和讨论初读时的疑问。
数学课堂上“留白”智慧的运用策略在数学教学中，“留白”是一种常见的智慧的运用策略。
它指的是通过让一部分计算步骤或答案不写在纸上，以便减少计算工作量，提高解题效率和精确度的方法。
在实际的数学课堂教学中，教师可以通过以下几个方面来运用“留白”这一策略：一、在解题过程中适当“留白”数学教师可以教给学生在解题过程中适当地留白。
例如，在计算多项式的过程中，可以将某些系数或项先留空，待计算到某个环节再填上，以减少计算量。
又例如，对于分式计算问题，可以先求公因数或先化简分子，再进行约分，以简化计算步骤。
二、在讲解问题时留白另外，在讲解数学问题时，教师也可以运用“留白”的策略。
例如，在讲解平面几何题时，可以在黑板上仅画出关键的几何图形，而将其他无关的线段或角度留空，以便突出主要观点，提高学生的注意力和理解力。
又例如，在讲解代数式的展开和因式分解时，可以将式子的某些部分留白，让学生自己思考并填写，以增加学习的参与性和主动性。
三、在出题和考试中运用最后，在出题和考试时，教师也可以运用“留白”的策略。
例如，在出题时可以留空一个未知数，让学生求解，或者将一些问答题中的关键字或概念用“×”标出，让学生进行填写和解释。
这样可以提高学生的思维能力和解决问题的能力。
在考试中，教师也可以适当使用留白的方式，既可以减轻学生的心理负担，又能够提高他们的答题效率和准确性。
综上所述，“留白”这一智慧的运用策略在数学教学中具有广泛的应用价值，可以帮助学生减少计算工作量，提高解题效率和准确度，同时也能够提高学生的思维能力和解决问题的能力。
教师们应该积极尝试这一策略，并且在实践中加以完善，使其成为推动学生成长的有效工具。
“留白”—在初中数学教学中的重要性艺术上的“留白”能给人以无限遐想的空间，课堂上的“留白”同样能给学生独立思考和理清思路的空间，给学生充分课堂练习和语言应用的机会。
本文基于数学新课程的教学理念，从课堂教学细节入手，围绕教师为主导、学生为主体的新型师生关系，阐述了数学教学中适当“留白”的重要性。
标签：留白问题情境聪明才智数学兴趣美国有位教育家说过：在每个问题提出来之后，至少要等待3秒，这样做有许多好处，比如：可增强学生的信心、可提高学生的积极性、可增多发散思维的成分、可增加学生回答问题的多样性……若不留给学生思考的时间，提问也就失去价值。
1.一堂公开课引发的思考前段时间，本人有幸听了几节公开课，其中一堂课的内容是《实际问题与二元一次方程组》（第1课时）具体活动过程如下：活动一：创设情景，提出问题活动二：学生演练，分组讨论活动三：根据实际，解决问题活动四：总结反思，巩固发展整节课，就象放电影一样，不仅课堂气氛活跃，课件制作精美，而且学生回答问题流畅、准确，师生互动也很成功。
从开始到结束一气呵成，给人一种尽善尽美的感觉。
在传统的数学教学中，这的确是一节好课，但从现代中学数学新的教学理念来看，本人认为还有改进之处，因为从整节课堂教学中，可以看出，教师剥夺了学生独立思考、质疑问难的权利，遏制了学生自由探索、发现问题的积极性，新课改要求教师的作用“不在于全盘授予，而在于寻机诱导”，体现教师的主导、学生的主体作用，因此数学课堂应当象艺术形式一样讲究“留白”的艺术，巧妙的利用各种教学留白，给学生营造一个自由想象与创新的空间。
2.留白的含义及依据（1）“留白”含义：在美学中，留白的意思是：把好的事情或想表达的事物挤满画面或空间并不见好，有时候留些空白反而能表达意境。
德国教育家第斯多惠曾指出：“教学的艺术不在于教授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。
”人的思维过程始于问题情境，问题情境具有情感上的吸引力，恰当的教学问题情境，能使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，能唤起学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，促使他们保持持久的学习热情，从而获得最佳的学习效果。
探索篇•方法展示数学科目素以抽象、严谨著称，课堂多半也是非常枯燥，教学中，为了能更好地缓解课堂的教学氛围，消除学生的心理疲劳，教师可以选择在课堂上采用“留白”的方式，留下更多学生能够自由活动和思考的空间和时间，这样不仅能让课堂的氛围和谐、融洽，还有助于拓展学生的思维，提高课堂的教学效率。
那么在初中数学课堂教学的实践过程中，如何做才能真正发挥“留白”艺术的神奇功效呢？一、在思考处“留白”，让学生有足够的思考空间在传统教学中，教师“一言堂”“满堂灌”，学生只能是被动地接受，丝毫没有喘息的机会，多数的知识都是被强行地“装”进脑子里，只能在课下进行消化和吸收，这样不仅学生的学习负担重，学习的效果也是不尽如人意。
新课程标准中提出了自主探究性的学习模式，目的也就是要让教师在课堂上“留白”，给学生一个思考的空间，让他们能够将课堂上的知识当堂消化、吸收。
学生在这个思考的过程中，不仅思考能力、理解能力、应用能力和解题能力得到了最大限度的培养和提高，学生的思考意识和习惯也会潜移默化地形成。
教师要想真正发挥在思考处“留白”的价值，就必须要正视学生的主体地位，充分发挥自己的主导作用，调动学生的学习积极性，以最大的学习热情投入到思考的过程中。
如果说学生的学习积极性没有被调动起来，那么课堂的“留白”就会变成学生“偷懒”的空隙，没有了意义，等同于浪费时间。
二、在探索中“留白”，留给学生实践探索的机会数学源于生活，又用于生活，它是一门实践性很强的科目，很多数学知识和问题，基本在生活中都有迹可循，很多问题都是利用数学知识来解决的。
在教学中，教师如何能将生活的实际情景引入到课堂中，建立知识和生活情景的联系，就可以让学生利用已有的生活经验和知识来同化新知识，得到事半功倍的效果。
因此，在初中数学教学中，当学生在接受间接经验的时候，教师要合理地创设生活教学情景，引导学生自主探索、实践，从而加深对间接经验和知识的理解和感悟。
情景作用虽好，但如果只是走马观花一过，就看不到情景绽放的全部美丽了。
巧妙“留白”,让数学教学更有效教育家苏霍姆林斯基说：“在讲课的时候，有经验的老师往往只是微微打开一扇通向一望无际的知识原野的窗子。
”这让我想到中国画中的一种构图方法——“留白”。
中国画讲求意境，而意境唯有在观画者的神思中才得以显现。
“留白”就正好给观画者以神思的空间，给作品以意境延伸的广度，它可以收到虚实相衬、形神兼备的效果，创造出无画处皆成妙境的艺术境界。
数学教学是一种严谨与开放的、探索与归纳的、人文与艺术的思维交流活动。
在这个活动中教师的作用“不在于全盘授予，而在于相机诱导”，教师也可以像其他艺术形式一样讲究“留白”的艺术，构成教学的“阴晴圆缺”，以引起学生的注意，激发学习的兴趣，让学生在求知的过程中能动地去探索、思考、发现，以达到问题解决的心灵“补白”。
巧妙地在数学教学中“留白”，能够给学生以充足的思考时间和宽广的创造空间，使课堂呈现出错落有致、虚实相生、动静结合的灵动的艺术效果。
从某种意义上讲，课堂上留给学生独立思考和自主活动的时间和空间，学生获得的就不仅仅是一个问题的解决和一种方法的掌握，而是对数学活动的不断领悟和体验。
本文结合教学实践，谈谈在数学教学中如何巧妙地“留白”。
1．在创设问题情境中“留白”，引起学生的求知欲学习是学生主动的建构活动，学习应与一定的情境相联系，在实际情境下进行学习，可以使学生利用原有知识和经验同化当前要学习的新知识。
这样获取的知识不但便于保持，而且容易迁移到新的问题情境中去。
在情境出现后，给学生留出独立思考的时间和空间就能激起学生无穷的遐想。
例如，在北京市基础教研中心的视导活动中，我承担了推介课的教学任务。
一上课，我投影出示了齐白石老先生的《虾》，学生们马上兴趣盎然，议论纷纷。
我说：“《虾》这幅名画是齐白石老先生的力作，他以‘留白’的艺术手法，展现给我们栩栩如生的画面，送给我们含蓄的启示，带来宽阔的想象，留下无限的联想。
”然后我话锋一转说：“高考中，也曾出现了一道与画有关的题目。
初中数学课堂问题有效性初探[摘要] 问题是数学思维的起点,数学教学是思维的教学，课堂是教学的主阵地。
数学课堂中问题的有效性，将直接影响教学效果。
本文从突出学生主体、还原课堂教学真谛；精心设计问题，优化课堂教学效果；搭建互动平台，活化课堂探究过程等方面，阐述如何通过提高初中数学课堂问题的有效性，促进学生的学习和发展。
[关键词] 数学教学课堂问题有效性现代数学教学理论认为：在数学课堂教学中，教师应以问题为纽带。
问题不仅是学生学习的起点和贯穿学习过程的主线，也是师生双边活动的最佳纽带。
但目前在个别数学课堂中，“问题”还存在一些不合理的现象。
⑴重数量轻质量。
有研究表明：课堂上并非所有的问题都能让学生积极地参与学习的过程，其中70%—80%的问题只是简单回忆知识点，只有20%—30%的问题才要求更高层次的思维活动。
⑵重结论轻过程。
过于强调对数学概念、法则、性质、公式的灌输与记忆，忽视了对这些知识的产生、发展、形成和应用过程的揭示和探究。
⑶重预设轻生成。
个别教师在课堂上不敢让学生暴露学习过程中生成的问题；更怕学生提出老师没有预设的问题！尤其是在评比课、公开课的课堂上……。
而有效的问题教学是以学生为中心的合作过程，通过问题的发现、思考、理解这三个过程来促进学生的学习、发展。
下面笔者结合自身的教学实践，谈谈如何把数学知识形成有效的问题呈现，来激励和促进学生的学习,提升课堂教学效率的一些体会。
一、突出学生主体还原课堂教学真谛《数学课程标准》明确指出：“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。
这就要求数学问题首先要关注学生的生活经验、认知规律和个体差异，创造最适合学生的数学教学活动。
1、贴近生活、体验数学“数学来源于生活，又服务于生活”。
数学课堂教学要从学生已有的生活经验出发，让学生体验到数学就在身边，从而对“问题”产生极大的探究兴趣。
例如：在“勾股定理逆定理的应用”教学中，可以设计如下问题：总务主任想要检测学校旗台底座的正面AD•边和BC边是否分别垂直于底边AB，但随身只带了卷尺．①你能替他想办法完成任务吗？②如果量得AD的长是60厘米，AB的长是80厘米，BD长是100厘米，问：AD边垂直于AB边吗？③他随身只有一个长度为50厘米的刻度尺，能有办法检验AD•边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？波利亚认为：数学学习的最佳动机是对数学知识的内在兴趣。
数学课堂上“留白”智慧的运用策略何为留白在数学课堂上，所谓的“留白”是指在解题过程中，故意留下一些空白或未解之处，通过这些未解之处来引领学生思考，激发学生的求知欲和好奇心。
留白是一种教学策略，通过留下空白，让学生通过自己的思考和推理来填补这些空白，从而达到更深入地理解知识和提高解题能力的目的。
留白在数学课堂上的作用留白的智慧运用策略在数学课堂上，教师可以通过一些智慧的运用策略来留白，引导学生更好地进行思考和学习。
可以通过提出开放性问题来留白。
在教学过程中，教师可以提出一些开放性问题，让学生通过自己的思考和探索来解决问题，从而留下一些问题的空白，激发学生的学习兴趣和求知欲。
可以通过设计有启发性的例题来留白。
在教学设计中，教师可以设置一些有启发性的例题，让学生通过观察和推理来填补空白，从而培养他们的数学推理能力和解题能力。
可以通过组织探究性学习来留白。
教师可以组织学生进行探究性学习，让学生通过自己的思考和实践来发现问题的规律和解决方法，从而引领学生主动留白，培养他们的自主学习能力。
可以通过布置拓展性作业来留白。
在课后布置一些拓展性作业，让学生通过自己的思考和总结来进一步探索问题的深层次内涵，从而引导学生通过自己的努力来填补空白，提高他们的解题能力和自主学习能力。
留白是一种智慧的运用策略，在数学课堂上有着非常重要的作用。
教师可以通过一些智慧的运用策略来留白，引导学生更好地进行思考和学习，提高他们的解题能力和自主学习能力。
希望在教学实践中，教师们能够灵活运用留白策略，激发学生的学习兴趣，培养他们的解题能力，为学生的数学学习打下坚实的基础。
此时无声胜有声——例谈初中数学教学中的“留白”艺术【内容摘要】国画中有“计白当黑”之法,其空白处或天空,或流水,或远方,给人无限遐想；书法中有“飞白”之法，其笔画似断实连，筋骨凸现，别有意趣；音乐中有休止之法，其瞬间的停顿能突出节奏，张扬情绪，揭示主题，正所谓“此时无声胜有声”。
数学教学中的“留白”,是指在概念教学中、易错处、问题讲解时、审题、反思等处“留白”，引导学生积极地去填补、充实、阐释这些空白，更好地发挥学生主体作用的一种教学策略。
这种教学艺术既能激发学生的求知欲,活跃学生思维,又可培养学生的联想和想象能力,从而达到“此时无声胜有声”的教学效果。
【关键词】概念教学易错处问题讲解审题反思“留白”在数学教学中,有的教师追求讲深、讲透、讲细、讲全,把学生的思路完全引在教师设置的框框里,这样不但不会取得好的教学效果,而且还阻碍了学生思维能力的发展，尽管教师付出了大量的劳动,但教学效果仍不佳。
现代教育心理学格式塔理论认为人们面对一个整体中某些不完全或有缺陷的事物时,就会产生一种内在的紧张力、进取的“内驱力”,迫使大脑皮层紧张活动用以填补空白,从而达到内心的平衡。
在教学中及时恰当地留给学生认识的自觉“内化”机会,这就是教学中的“留白”艺术，它是指教师在课堂教学中根据教学需要,不直接把一些学习内容通过讲述等方式直接告知学生,而是通过言语激发、提出问题、布置练习等方式在适当的地方有意留下一些暂时性空白, 促使学生产生一种急于“填补”“充实”的心理, 以此调动学生的想象力, 引发学生在更广阔的的时间和空间里思考与探究, 利用自己的想象填补空白，提高学生主动探究新知的兴趣,培养学生解决问题的能力，更好地发挥学生主体作用的一种教学策略。
本人就数学教学中如何进行“留白”艺术的操作进行阐述,希望对数学教学有所启发。
一、概念教学中的“留白”数学概念的教学一般要经历概念的引入、概念的形成、概念的应用等阶段，形成概念是概念教学中的重要一环，而很多老师在教学中强行地将概念教给学生，阻碍了学生独立思考、自主探究问题能力的发展。
课堂留白“留白”是中国画艺术中特有的技法，它是指在画面上特意留下一大块空白处，让欣赏者有信马由缰的想象空间,在欣赏的过程中,把自己的心情揉入画卷,独自悠游于艺术所赋予的氛围中。
白石老人的《墨虾》，几只虾错落有致，神游在清澈浩淼中，有一只虾露头藏尾，所流露出的含蓄美和意境美,使人回味无穷。
教学也是一门艺术，我们的数学课堂中也应该“留白”。
那么，如何在数学课堂教学中运用“留白”艺术，让数学课堂更精彩呢？以下，结合我校的数学教研专题，浅谈我的一些看法。
一、留白于创设情境之中《数学课程标准》指出：学生的数学学习，应当是现实的、有趣的、富有挑战性的。
在数学教学中，要激发学生学习数学的兴趣和求知欲，行之有效的方法是创设合适的问题情境，给学生留下留出独立思考的时间和空间，让学生进入一个具有魅力、引人入胜地的数学境界，引导学生积极主动地进行数学思维。
如在教学《圆锥的体积》这一课时，老师就运用flah做成直观形象的动画：两只熊猫正在捧着竹笋激烈的争论，看谁的竹笋较大。
生动的画面、激烈的争吵声把同学们的注意力全吸引住了。
“你能帮熊猫解决问题，平息争论吗？”教师把这个悬念留给学生，留一点“空白”给学生独立思考。
这时，学生置身于教师为其创设的“留白”之中，兴趣盎然，纷纷举手想说出自己的想法，以极浓的兴趣投入新课的探究之中。
二、留白于自主探究之中苏联著名的教育家苏霍姆林斯基讲过：“有经验的教师往往只是微微打开一扇通向一望无际的知识原野的窗子。
”为了这“一望无际的知识原野”，新教材通过空白的设计，使学生有更多的机会去亲自探索、操作实践，与同学交流和分享探索的结果。
这就要求我们教师在教学中应该根据教材的实际情况，恰当地“留白”给学生思考的时间，给学生探讨的空间。
唯有如此，课堂的留白才能使我们的教学更精彩。
给我留下深刻印象的是我校的一节数学专题课《最大公因数》，本节课的教学是如何“求18和27的最大公因数”，教材只是简单的给出了一幅情境图和例题，然后就是小精灵的一句话：你还能想出其他方法吗？这样的教学设计就给教学留下很大的“空白”，而教师就很好的利用了这些“空白”。
1 【摘要】：中国画特别讲究章法，留白便是一绝。留下空白，让人浮想，叫人回味。艺术间的规律是可以相融贯通的。虽然我们的数学课堂教学不是绘画，但数学课堂教学也是一门艺术，中国传统绘画所讲究的“艺术空白”，同样适用于我们的数学课堂教学。在我们的数学课堂中，也应该有意留白，让学生有充分的从事数学活动的机会，让学生自己去构建对数学的理解。留白的绘画是精彩的，留白的课堂也是精彩的。 【关键词】：留白 课堂留白 精彩 一、课堂留白与课堂精彩的含义 留白原指在作品中留下相应的空白。是一种艺术的表现手法。我国国画就讲究留白——方寸之间显天地。一只小舟，一个渔翁在垂钓，仅此而已，这就是南宋的《寒江独钓图》。整幅画中不见水，观者却可以感受到烟波浩渺，满幅皆水。而课堂教学的留白是指教师于一定的时空中，针对某一目标，有意留出相当的时间和空间让学生思考，向学生提供充分的从事数学活动的机会，让学生自己去构建对数学的理解。 数学课堂的精彩不仅关注教师讲得多么精彩，更加关注学生学得多么主动。教师一个人精彩的课堂不是精彩的课堂，只有当学生们通过自己的主动活动去构建自己对数学的理解，从而展现出自己的精彩，这样的课堂才是精彩的课堂。 二、课堂留白，留出精彩 新课程标准强调：学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解的过程：他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考、与他人交流和反思等，去构建对数学的理解。作为教师，我们应该创造这种机会，让学生有充分的从事数学活动的机会，让学生自己去构建对数学的理解。从而展现出自己的精彩。而课堂留白是“让学生有充分的从事数学活动的机会，让学生自己去构建对数学的理解”不可缺少的条件。课堂留白，才会留出精彩。 从格式塔理论来说：当人们在观看一个不完满的、即有“缺陷”或“空白”的事物时，会在知觉中情不自禁地产生一种紧张的“内驱力”，并促使大脑积极、兴奋地活动，去填补和完善那些“缺陷”或“空白”，使之趋向完美，从而达到内心的平衡，获得感受的愉悦。从心理学和美学的角度来看，“空白”易使人产生一种急于“填补”“充实”，并使之匀称完美的倾向。因此，这种“空白”有利于激发学生的学习潜能，使课堂更加精彩。 而放眼当今课堂，空白少得可怜。数学课堂大容量，高密度，快节奏。在平时的课堂，有些教师唯恐学生不懂，讲课的声音从上课铃声一响直至下课铃声响，教师的声音始终充斥着课堂，学生根本没有通过自己的主动活动去构建对数学理解的机会。也许教师讲的很清晰，很透彻，很精彩，但只是教师一个人的精彩，并不是精彩的课堂。公开课上，虽然这种情况很少出现，但常常是提出一个问题，还没有等学生思考成熟，就急于请一位学生答问，匆匆走过场，导致学生浅尝辄止，思维肤浅；布置几个习题，学生刚刚读懂题目意思，尝试思考，老师却已开始点拨提示，于是学生的思路被打断，反应稍慢的学生因此不再思考，坐等老师讲解；小组讨论时，不少学生还没来得及发言，教师就已经在说：“讨论好了吧，哪个小组先说？”这样的课堂虽然表面看上去安排的非常紧凑，一环接着一环，无可挑剔，但这样的课堂没有留给学生充分的时间和和空间，没有让学生有充分的从事数学活动的机会，没有让学生自己去构建对数学的理解。这样的没有留白的课堂也就不会是一个精彩的课堂。 那么如何通过课堂留白，使课堂留出精彩呢？本文试从亲身经历的案例出发，谈谈这一方面的感想。 （一） 留白，留予学生独立思考的机会 爱因斯坦曾说："没有能独立思考和独立判断的有创造性的个人，社会的向上发展是不可想像的。”独立思考权是人最起码的权利和自由,最本质的人性价值就是人的独立性。教会学生独立思考,为学生创造更为有利的思考氛围是教育的使命。正如瑞士教育家裴斯泰洛齐 2
所说:“教育的主要任务不是积累知识,而是发展思维”。教师是学生独立思考权的维护者、促进者和引导者,应当悉心为学生创造条件,激发学生积极思考,充分享受独立思考权,教会学生学会思维,以发展学生的独立思考能力。所以在进行教学活动时，正如叶澜教授说得那样，让自己少说一点，留出时间和空间给学生。留给学生独立思考的机会。 案例1：《25.2用列举法求概率》教学片段（人教版九上） 书本152页有这样一个例题: 例6： 甲口袋中装有2个相同的小球，他们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。从3个口袋中各随机地取出1个小球。 （1） 取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2） 取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 教科书上是这样分析的：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所以可能的结果，通常采用树形图。教师参考书上也注着:当试验包含两步时,列表法比较方便,当然此时也可用树形图法。当试验在三步或三步以上时用树形图方便,此时,难以列表。例6中的这个试验虽包含3步，事实上也能用列表法的思想，只不过如果用列表法的思想会得到一个三维的立体，这样的立体在二维平面上表现出来需要很强的空间想象力，所以基本上不采用这种方法，转而寻求一种既能写在二维平面上又能把三步试验清晰地呈现出来的方法。但教学过程充满了多元性，不可预测和不确定性。不同的学生，不同的生活背景，会造就不同的理解方式，不同的解决方法，也许有学生擅长这种思维方式，于是上课的时候当学生用了列举法解决了例6后，于是本人还是留予学生一个独立思考的机会，留予学生独立思考的时间和空间：你们觉得还有别的方法吗？ 经过认真的独立思考，吴键同学抓住了这个机遇，给出了他的方法：“也可以用列表法，但要跟直角坐标系一样的x轴y轴再多一根。恩，就是…，看我们教室的这个角落，有三条互相垂直的直线，分别可以表示甲袋，乙袋和丙袋，然后就可以跟我们一般的列表法一样，表示出所有的可能性。”该同学通过自己的独立思考，潜意识地作出了对三维立体的描述，虽然讲的不是很清晰，虽然这个方法不能让全班同学都理解，只是引起了一部分同学的共鸣，但这是他通过自己的主动活动独立思考之后的方法，展现了他良好的空间想象力。叶钊志同学更是给出了自己创造性的想法。他用两次列表的方式解决了这个这个问题：
表格一 表格二
C D E A AC AD AE B BC BD BE
叶钊志同学的这种方法得到了全班觉大部分同学的肯定，他用两次表格的形式也解决了列表法解决包含三步试验的问题，是独立思考之后得出的一种非常具有创造性的想法。 教学过程充满了多元性，不可预测和不确定性。因此，在教学活动中教师不能用自己的思维代替学生的思维，包办学生的思维过程。教师的作用“不在于全盘授予，而在于相机诱导” ，当我们像绘画艺术中的画家一样“蜻蜓点水”，留出大片“空白”，让学生主动
H I AC ACH ACI AD ADH ADI AE AEH AEI BC BCH BCI BD BDH BDI BE BEH BEI 3
参与，用自己的知识背景、活动经验，根据自己的理解，通过独立思考去构建自己对数学的理解。这样的课堂不能不说是精彩的课堂。 （二） 留白，留予学生与他人交流的机会 孔子说：“三人行，必有我师焉”。与人交流，相互学习，取长补短，从古到今都被有识之士所重视。建构主义者Newmann&Wehlag认为：“真正的教学具有以下特征：高水平的思维、知识的深度、与现实的联系、大量的交流、以及为学生的发展提供社会支持等”。只有通过大量的知识、信息的交流才能进行知识的建构（创新）。 课堂上教师要留给学生与他人交流的机会，通过学生间的互相交流，来实现优势互补，留下精彩的课堂。 案例2：《活动课：围矩形》教学片段（人教版九上） 课堂设计围绕学校在建的操场，本人设计了如下思路：已知矩形的周长为120m， （1）面积为 500 m2，求这个矩形的长与宽。 （2）面积为 675 m2，求这个矩形的长与宽。 （3）面积为 1000 m2，求这个矩形的长与宽。 （4）能围成矩形的最大面积为多少？ （5）围成黄金矩形，求这个矩形的长与宽。 单从问题本身来看，很多同学可以单独解决，但只是拘泥于一种方法，而且往往会停留在问题的本身。而通过与他人交流，会使一个表面的问题进入一个更高的层次。课堂上留予学生与他人交流的机会，这样的课堂会出现意外，也会出现惊喜，也会留下精彩。 在解决第四个问题的时候，学生马上喊了出来，最大值为900，因为小学的时候老师讲过当矩形的周长一定的时候，围成正方形的时候面积最大。于是教师紧接着问了一句，那你知道为什么吗？你能用本章所学的知识来解释为什么最大值为900吗？给予学生充足的时间交流之后，学生开始汇报。 设这个矩形的长为xm，则这个矩形的宽为（60－x）m， 面积为x(60-x) m2 求最大面积即求代数式－x2+60x的最大值 某一小组： 方法一：配方法 －x2+60x＝－（x-30）2+900 所以当x=30时，这个代数式有最大值900，即能围成矩形的最大面积为900 m2 方法二：设面积为y,则－x2+60x=y 配方得：（x-30）2＝900－y 因为有最大值，所以此方程有解。所以900－y ≥0 所以y ≤900 即最大值为900. 即能围成矩形的最大面积为900 m2 方法三：设面积为y,则－x2+60x=y化成一般式为x2－60x+y＝0 因为要有最大值，所以此方程有解。即△＝3600—4y≥0 所以y ≤900 即最大值为900. 即能围成矩形的最大面积为900 m2 在他们小组讨论的时候，我注意到他们小组的每位同学都想到了方法一，而当一个同学想到方法二之后，经过交流启发，他们又想出了方法三。如果没有与他人交流的机会，他们小组也许也不会想到从各个角度来考虑这个问题。 这时班级中爱自学一个小组好像还有话说，于是本人给他们发言的机会。“我们小组也是记面积为y，则y＝－x2+60x，但我们觉得还可以把他看成是一个二次函数，所以看我们画出的二次函数的图形，应该很容易能看出y的最大值，也就是能围成的最大面积的矩形的面积。”“也许这会有误差，当如果利用几何画板，应该会比较准确。”另一成员补充到。其他成员点头表示赞同。 话音一落，学生们都投给他们组羡慕的眼光。
