二次根式化简常用技巧

二次根式化简的常用技巧

二次根式的化简和运算是初中数学的重要内容之一,也是中考和数学竞赛中的常见题型.对于特殊的二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还应根据根式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法和技巧.这样做,不仅可以化难为易、化繁为简,提高解题速度,收到事半功倍的奇效,而且有助于培养学生分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习惯.现就几类常用的方法和技巧举例说明如下,供同学们参考：

一、巧用乘法公式

例1、化简：)303223)(532(-+++

二、巧因式分解

例2、化简 2356

101528-+--+

解析：本题的关键是将分子中的8拆数配方因式分解，进而约分求得结果.

三、巧用逆运算

例3、化简20092008)322()322(-+

解析：本题的关键是巧用积的乘方的逆运算：n n n ab b a )(=

四、巧拆项、裂项

例4、化简42356305

627+++++

解析：本题的关键是将分子中的62拆成66+，分母因式分解，进而裂项化简

五、巧换元

例5、化简 111

1-++--+x x x x +111

1--+-++x x x x

解析：注意到11-++x x 与11--+x x 的和为12+x ，积为2

因此若设11-++x x =A ， 11--+x x =B

则 A +B =21+x ，2)1()1(=--+=x x AB

所以，原式=A B +B A =AB B A 22+=()AB AB B A 22-+ =()222122

⨯-+x =x 2 六、巧构方程

例6、化简 333

解析：本题整体设元可使问题化难为易迅捷获解，设 x = 333

两边平方，得 x x 32

= 即 0)3(=-x x

解得 0,321==x x （不合舍去） 所以 333= 3

七、巧取倒数

例7、化简 13253

3515-++--

八、换元法：当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律。

例11 （十二届初二“希望杯”）化简.______34263023

52的结果是+--+

.126621

ac

21)a c b (ac 2c b a )

c a ac abc (2c

b a ,3

c ,5b ,2a ：22===+--+=+--+====原式则

设解

九、配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在x ＞0,y ＞0,使得.

，xy 2b m ，.y x )y x (b m a ，

，,a y x ,b m xy 2222再检查平方项的形式成一般先拆开在使用此法时写成式子为达到化简目的全平方式则可把被开方数写成完+=+=+=+=

解析：此题先取倒数求出倒数的值，从而求得原式的值，可使问题化繁为简，迎刃而解。 从以上几例可以看出,二次根式的化简和求值,题型变化多样,有较强的灵活性、技巧性和综合性.在求解过程中,若能重视探究解题的方法和策略,根据根式的具体结构特征,灵活运用一些特殊的方法和技巧,不仅可以化难为易,迅捷获解,而且对于培养和提高学生的数学思维能力,激发学习兴趣也是大有帮助的.