当前位置：文档之家 › 第 21 讲 三角式的化简与恒等式证明

第 21 讲 三角式的化简与恒等式证明

  • 格式：doc
  • 大小：206.50 KB
  • 文档页数：5

第 21 讲 三角式的化简与恒等式证明（第课时）三角式的化简与恒等式证明⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧升次与降次角的配凑玉拆项异角化同角异名化同名切割化弦常用的证明方法条件等式证明恒等式证明证明化简的常用方法对化简结果的要求化简难点：灵活运用公式。

高考中对于三角部分的考查，主要集中于三角恒等变换，难度一般控制在中、低档水平，复习时要注重通法和常规题型的掌握。

⑴ 对化简结果的要求①能求出值的要求出值；②使三角函数种数尽可能少；③使项数尽可能少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

注意：某些化简题的答案可能不止一种。

例如化简xxx 2sin 5sin 3sin + 的结果就可能有两种：x x cos 2cos 4 或 )3cos (cos 2x x + ，它们都是对的，很难说哪一个更简单。

⑵ 化简常用的方法在化简中，常用的方法有：切割化弦，异名化同名，异角化同角，角的配凑，拆项，降次与升次等。

例1．化简)4(sin )4tan(21cos 222απαπα+-- 。

解：∵ 2)4()4(παπαπ=++- ，∴ )4cos()4sin(απαπ-=+ ，∴ 原式12cos 2cos )22sin(2cos )4cos()4sin(22cos )4(cos )4tan(22cos 2==-=--=--=αααπααπαπααπαπα。

点评：本题使用了切割化弦的方法。

2．证明⑴ 证三角恒等式证三角恒等式时，先观察左右两边：①是否同名函数？②是否同角函数？③次数是否相同？④是繁还是简？⑤是和差还是积？然后再选择解题途径。

如果不是同名函数，一般保留正弦和余弦，把其它的变为正弦和余弦（异名化同名），如下面的例3；如果不同角，就要考虑利用倍角、半角公式，（异角化同角）； 如果两边不同次，就要注意是否有必要“升次”或“降次”； 一般从较繁的一边往较简的一边变（化繁为简），如例2，如果两边都繁，则变两边（左右归一），如例4；有时还需要用三角函数值来替换数字，根据角来对三角函数加以配凑和拆项。

例2．求证：ααααα3cot sec 1csc 1cos 1sin 1=++∙-- 。

分析：此题同角不同名，不同次，左边繁。

故试从左边往右边变，并把αsec 、αcsc 都变为αsin 、αcos 。

证明：ααααααααααααααsin )cos 1(cos )sin 1(cos 1sin 1cos 11sin 11cos 1sin 1sec 1csc 1cos 1sin 1++∙--=++∙--=++∙-- ααααααα33322cot sin cos sin )cos 1(cos )sin 1(==--= 。

例3．求证：αααα2266cos sin 3)cos (sin 1=+-。

分析：此题同角，不同名，但只有正弦和余弦，左边6次，右边4次，左边繁。

故试从左边往右边变，并把“1”改写为“αα22cos sin+”。

证明：左边)cos (sin )cos (sin 66322αααα+-+=)cos (sin cos sin 3cos sin 3cos sin 66422466αααααααα+-+++===+=αααααα222222cos sin 3)cos (sin cos sin 3右边证毕。

例4．已知 ︒<<︒360270α，求证：ααααααα222222cos 1sin 1tan 1)cos 1)(1(sec 1cos 11csc --∙+=----- .分析：此题同角不同名，两边都繁，故两边都变。

证明：左边0sin tan 1sin tan 1sin tan 1sin cot sin tan 1sin cot 2222=∙-∙=∙-=∙-=αααααααααααα右边011)cot (tan 1cot tan 1sin cos tan 1222=-=-+=∙+=∙+=ααααααα ， ∵ 左边=右边 ∴ 结论成立。

例5．求证：410cos 310sin 1=︒-︒ 。

证明：左边︒︒︒-︒=︒︒︒-︒=10cos 10sin 2110sin 2310cos 2110cos 10sin 10sin 310cos 420sin 2121)1030sin(10cos 10sin 2110sin 30cos 10cos 30sin =︒⨯︒-︒=︒︒︒︒-︒︒=∴ 结论成立。

点评：本题用三角函数值来替换数字。

本题也可以直接利用公式)sin(cos sin 22φ++=+x b a x b x a ，其中 abt arc co =φ ，0≠a 。

⑵ 证三角条件等式证三角条件等式可以先把结论化简再代入条件，也可以直接把条件变形得出结论。

例6．已知a =-)cos(αθ，b =-)sin(βθ，求证：)sin(2)(cos 222βαβα--+=-ab b a 。

证明：由 a =-)cos(αθ 可得 a =+αθαθsin sin cos cos ① 由 b =-)sin(βθ 可得 b =-βθβθsin cos cos sin ② ①×βsin + ②×αcos 得 αββαθcos sin )cos(sin b a +=- ③ ①×βcos - ②×αsin 得 αββαθsin cos )cos(cos b a +=- ④ ③2+④2 得 )sin(2)(cos 222βαβα--+=-ab b a 。

点评：本题直接把条件变形得出结论。

1 2 3 4 5 6 7 8 切割化弦 √ √ √ 异名化同名 √ 异角化同角 √ 角的配凑 √ 拆项● 降次与升次 √ 左右归一√ √用三角函数值替换数字√ √ √1．化简θθθθcos 1cos 1cos 1cos 1+---+ （︒<<︒360270θ）。

解法一：∵ ︒<<︒360270θ ，∴ 0sin <θ ，1cos 0<<θ ，原式θθθθθθθθ22222222sin )cos 1(sin )cos 1(cos 1)cos 1(cos 1)cos 1(--+=----+=θθθθθθθcot 2sin cos 2sin cos 1sin cos 1-=-==----+=解法二：∵ ︒<<︒360270θ ，∴ ︒<<︒180135θ ，原式θθθθθθθθsin cos 1cos 11)2tan (2tan 1cos 1cos 1cos 1cos 11-++-=---=+--+-=θθθθθθcot 2sin cos 2sin )cos 1()cos 1(-=-=-++-=点评：解法一中要注意，θ在第四象限，故θθsin sin 2-=；解法二中也要注意2θ的范围，以便使用半角公式 θθθcos 1cos 12tan+-±= 时，好确定是取正号还是负号。

2．求证：αααααα4cos 2cos 43535=-+tg tg tg tg 。

证明：左边αααααααααααααααααα2sin 8sin 5cos 3sin 3cos 5sin 5cos 3sin 3cos 5sin 3cos 3sin 5cos 5sin 3cos 3sin 5cos 5sin =-+=-+=,右边ααααααααα2sin 8sin 2sin 4cos 4sin 22sin 4cos 2sin 2cos 4=== ,∵ 左边=右边∴ 原式成立。

点评：本题使用切割化弦、异角化同角、左右归一。

3．求证：3402034020=︒︒+︒+︒tg tg tg tg 。

证明：左边︒︒-︒︒︒+︒+︒+︒=402014020)4020(4020tg tg tg tg tg tg tg tg==︒=︒︒-︒+︒=360402014020tg tg tg tg tg 右边∴ 原式成立。

点评：本题把数值用三角函数来代替。

4．求证：tgAtgAA A A A -+=-+11sin cos cos sin 2122 。

证明：左边)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos cos sin 2cos sin 222A A A A A A A A A A A A A A -++=-+++==-+=-+=-+=tgA tgA AA A A AA A A A A 11cos sin cos cos cos sin sin cos cos sin 右边∴ 原式成立。

点评：本题把数值用三角函数来代替（利用变形 A A 22cos sin 1+=） 。

5．求证：αααα2sin 4sin 2322=-tg ctg 。

证明：左边αααααααααααααααα2sin 2cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin 11222222244224424=-=-=-=-=tg tg 右边ααααα2sin 2cos 22sin 2cos 2sin 223== ， ∵ 左边=右边∴ 原式成立。

点评：本题使用左右归一、切割化弦、异名化同名。

6．求证：4172cos 36cos =︒∙︒ 。

证法一：左边==︒︒=︒︒︒=︒︒︒︒=4136sin 4144sin 36sin 272cos 72sin 36sin 272cos 36cos 36sin 2右边 。

证法二：左边︒+︒=︒-︒+︒+︒=36cos 108cos )7236cos()7236cos(==--+--=︒-+︒-=41)415(2141518sin 2118sin 22右边 点评：证法一使用角的配凑；证法二使用 45118sin +-=︒。

7．求证23cos sin 1cos sin 14466=----θθθθ 。

证明：左边23cos sin 2sin cos 3cos sin 3cos sin )cos (sin cos sin )cos (sin 2224244422266322=+=------=θθθθθθθθθθθθθθ 。

点评：本题使用用三角函数值来替换数字、降次。

合集下载

三角恒等式的运用与证明详细解析

三角恒等式的运用与证明详细解析

三角恒等式的运用与证明详细解析三角函数在数学中扮演着重要的角色，它与几何图形和实际问题密切相关。

在三角函数中，恒等式是指对于所有的角度成立的等式。

这些恒等式在解决三角函数的问题时非常有用，能够简化计算和推导过程。

本文将详细解析三角恒等式的运用和证明。

一、三角恒等式的定义三角恒等式即对于所有角度x成立的等式，通常以三角函数的形式表示。

最常见的三角恒等式有正弦、余弦和正切的相关恒等式，如下所示：1. 正弦恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 12. 余弦恒等式：1 + tan^2(x) = sec^2(x)3. 正切恒等式：cos^2(x) + 1 = csc^2(x)这些恒等式是基本的三角恒等式，其他更复杂的恒等式可以通过它们推导得到。

二、三角恒等式的运用三角恒等式在解决三角函数的问题时非常有用，可以用于化简计算、推导其他重要恒等式以及解决实际问题。

以下将介绍三角恒等式的具体运用。

1. 化简计算通过使用三角恒等式，可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的形式，从而简化计算过程。

例如，对于一个三角函数表达式sin(x) * cos(x)，可以利用正弦恒等式将其转化为sin^2(x) 或 cos^2(x)的形式，从而更容易计算。

2. 推导其他恒等式基于基本的三角恒等式，可以推导出许多其他重要的三角恒等式。

例如，利用正弦恒等式可以推导出余弦恒等式，再进一步推导出正切恒等式。

这些相关恒等式之间的推导关系可以帮助我们更好地理解三角函数的性质。

3. 解决实际问题三角函数在物理、工程和几何等领域中广泛应用，并且三角恒等式在解决实际问题时非常有用。

例如，在测量不便的情况下，通过已知的角度和三角恒等式，可以利用三角函数求解其它未知边长或角度。

三角恒等式的运用可以简化计算，提高解决实际问题的效率。

三、三角恒等式的证明三角恒等式的证明是数学中的重要内容之一，通过证明恒等式可以加深对三角函数的理解，并拓展数学思维。

三角函数的恒等式与简化

三角函数的恒等式与简化

三角函数的恒等式与简化三角函数是数学中重要而且广泛应用的一个概念。

它们不仅在几何学、物理学和工程学中起着重要的作用，也在数学分析中扮演着重要的角色。

本文将探讨三角函数的恒等式以及如何简化这些恒等式的过程。

一、三角函数的恒等式恒等式是指对于所有满足特定条件的角，恒等式都成立的等式。

在三角函数中，我们可以通过恒等式来推导其他的三角函数式子，以及简化复杂的三角函数表达式。

1. 三角函数的基本恒等式三角函数的基本恒等式是指对于所有满足特定条件的角θ，下列等式成立：- 正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1：sin²θ + cos²θ = 1- 正切函数等于正弦函数除以余弦函数：tanθ = sinθ / cosθ- 割函数等于余切函数的倒数：secθ = 1 / cosθ- 余割函数等于正切函数的倒数：cscθ = 1 / sinθ这些基本恒等式为我们简化三角函数的表达式和推导其他恒等式提供了基础。

2. 基本角的恒等式基本角指的是0度、30度、45度、60度和90度这几个特殊的角度。

基本角的三角函数值是固定的，因此可以通过基本角的恒等式来推导其他角度的三角函数值。

例如，对于基本角30度，我们可以通过基本角的恒等式推导出以下恒等式：- sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，tan30° = 1/√3，sec30° = 2/√3，csc30°= 2类似地，我们可以通过基本角的恒等式得出60度和45度的三角函数值。

3. 和差角的恒等式和差角的恒等式指的是两个角的和或差的三角函数关系。

其中最常用的和差角恒等式有以下几个：- 正弦函数的和差角恒等式：sin(α ± β) = sinα*cosβ ± cosα*sinβ- 余弦函数的和差角恒等式：cos(α ± β) = cosα*cosβ ∓ sinα*sinβ- 正切函数的和差角恒等式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓tanα*tanβ)利用这些和差角的恒等式，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的形式。

三角恒等式的证明方法

三角恒等式的证明方法

三角恒等式的证明方法本篇文章主要介绍了三角恒等式的证明方法，包括余弦定理和正弦定理两种方法。

三角恒等式是数学中一个非常重要的公式，它表示了三角形中三条边和三个角的关系。

在数学中，证明三角恒等式是非常重要的，下面将介绍两种证明方法：余弦定理和正弦定理。

余弦定理证明方法:余弦定理表示为:a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA，其中 a、b、c 为三角形的三条边，A 为夹在 b、c 两边之间的角。

根据余弦定理，可以求出三角形中任意一个角的余弦值，从而证明三角恒等式。

具体证明过程如下:设三角形 ABC 的三个角分别为 A、B、C，则有:a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC将上述三个式子相加，得到:a^2 + b^2 + c^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab cosC + ac cosB + bc cosA)化简后得到:ab cosC + ac cosB + bc cosA = a^2 + b^2 + c^2根据余弦定理，cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc,cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac,cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab，代入上式得到:(b^2 + c^2 - a^2) / 2bc * b + (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac * c + (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab * a = a^2 + b^2 + c^2整理得到:a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2因此，三角恒等式得证。

正弦定理证明方法:正弦定理表示为:a / sinA = b / sinB = c / sinC，其中 a、b、c 为三角形的三条边，A、B、C 为三角形的三个角。

届高三一轮数学(理)复习第21讲简单的三角恒等变换

届高三一轮数学(理)复习第21讲简单的三角恒等变换


所以 cos α＝cos[45°－(45°－α)]
＝
22×7102＋
22×
2 10
＝45.
二 无条件求值与化简
【例 2】(1)(改编)计算：sin 123°ta4nco1s22°1－2°3－2＝_______.
(2)(改编)化简：
sin cos
7°＋cos 7°－sin
15°sin 15°sin
88°°－1t＋ant2a1n83°8－°ttaann22033°°.
2．化简：22tacnosπ44x－－x2scions22xπ4＋＋12x＝
.
解析：原式＝2csoisn12π44π－－2cxoxs·2sxi－n21π4＋x ＝2scionsπ44π＋＋12cxxos·2s2inx2π4＋x ＝si12ncπ2o＋s222xx＝12ccooss222xx＝12cos 2x.
1.(2012·重庆卷)设 tan α，tan β 是方程 x2－3x＋2＝0 的两
根，则 tan(α＋β)的值为( A )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：因为 tan α，tan β 是方程 x2－3x＋2＝0 的两根， 所以 tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 所以 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1－3 2＝－3.
解析：(1)原式＝2cos
3sin 12°－3cos 12° 12°sin 12°2cos212°－1
2 ＝
312sin 12°－ 23cos 12° sin 24°cos 24°
＝2
3sin12°－60° 1
2sin 48°
＝－4 3.
(2)原式＝scions1155°°－－88°°＋－csoins1155°°ssiinn 88°°－1t＋ant3a8n°3－8°ttaann2233°°