求解幻方的技巧

创莉图趣　

ＣＩ！Ｉｌ＾ＮＧＸＩＮＩ＇￣均ＩＩ一●■　

一阶线性微分方程的求解技巧　

魏建刚　

（平顶山工业职业技术学院文化教育部，河南平顶山４６７００１）　

［摘要】本文主要介绍了一阶线性微分方程的三种解法：常数变易法，积分因子法，变量替换法。通过这些方法的介绍，学生可根据自己的喜好　

选择不同的解题方法，这样既丰富了学生的解题思路，又培养了学生的钻研能力。　【关键词】常数变易法；积分因子法；变量替换法　

［中图分类号】Ｏ１７５　［文献标识码】Ａ　文章编号：１６７１—００３７（２０１４）０５—１　１０—１　

一阶线性微分方程在实际中有着广泛的应用，在很多领域　内都起着十分重要的作用。下面介绍一阶线性微分方程的一些　

求解技巧。　

，，＾　形如　＝Ｐ（ｘ）ｙ＋Ｑ（ｘ）　（１）　ｄｘ　的微分方程称之为一阶线性微分方程，其中Ｐ（ｘ），Ｑ（　）在　

考虑的区间上是　的连续函数。　

ｄ，ｖ　若ｐ（　）：０，方程（１）变为　＝Ｐ（ｘ）ｙ　（２）　ｄｘ　称之为一阶齐次线性方程　

若Ｑ（ｘ）≠０，方程（１）称为一阶非齐次线性方程　方程（２）是一个变量分离方程，它的通解为ｙ＝Ｃｅ　，这里Ｃ　

为任意常数。一阶齐次线性方程的解法已经成熟，这里就不再　

详细赘述。接下来重点介绍一阶非齐次线性方程的解法。　

１常数变易法　

观察方程（１）和（２），不难发现二者既有相似之处，又有不　

同。显然方程（２）的通解不是方程（１）的解，不妨将方程（２）的解　

ｙ＝Ｃｅ　“　中的常数ｃ变易为待定函数Ｃ（ｘ），并使它满足方程　

（１），从而求出Ｃ（ｘ）。为此，　

令ｙ＝Ｃ（ｘ）ｅＩｅ“　（３）　因为方程（３）满足方程（１），那么有　

掣　‘　矗＋Ｃ（ｘ）Ｐ（ｘ）ｅｐ＂∞出：尸　）ｃ　）　‘　＋Ｑ（　ａｇｅ　

得　＝Ｑ（　一ｆ　求得ｃ（ｘ）：ｆ　Ｑ（　）ｅ－』Ｐ（　ｄｘ＋　（４）　

将（４）代入（３）即得方程（１）的通解为　

Ｙ＝ＰＰｎ　（ｆ　ｊ　（ｘ）ａｋｄｒ＋ｃ１）　

常数变易法是解一阶非齐次线性微分方程的重要方法，在　学多教材都有提到，但是该方法中把一阶齐次线性方程的解中　

求解概率问题技巧论文

概率知识与现实生活息息相关。而且概率问题与函数、不等式以及统计初步等其他数学知识交汇在一起，可以考察学生综合运用概率的有关知识分析问题解决问题的能力，能体现数学高考在知识网络的交汇点命题的特点。因此，概率问题越来越受到命题者的青睐。由于概率问题具有一定的难度，学生学习及运用中会产生许多困惑，为了让学生能正确的理解并掌握，提高求解概率问题的技巧，本人结合具体实例谈谈几点看法，仅供参考。

一、注重知识的前后联系，处理好与排列组合的关系

求解概率问题时，往往要进行排列组合方面的思考，因此，具备娴熟的解排列组合应用题的能力是处理好这种问题的必要条件。

例：甲，乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲乙两人依次各抽一题，问甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？

错解 甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果有+个，又甲，乙依次抽到一题的结果有+个，所以甲抽选择题，乙抽到判断题的概率为

错因分析 把分步当作分类，错把分步计数原理当作分类计数原理来计算。正确的解法是甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果有个，又甲，乙依次抽一题的可能结果有个，所以甲抽选择题，

乙抽到判断题的概率为

二、正确转译和分解事件

许多学生在求解概率题时，不知道从何处下手，用什么样的公式，怎样来列算式。出现这种情况是因为这些学生没有扎实掌握基本概念，不会把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立，既不重复也不遗漏的简单事件，这一点正是求解概率的关键。由于事件是借助集合运算来实现的，因此事件与集合语言之间的互译就成为本章的重点和关键了。

三、注重四种典型概率的模型作用，处理好概率运算中"+"、"-"、"×""、÷"的关系

函数值域的求解技巧

摘 要：函数值域的求解是中学数学难点和重点之一，没有通性通法，只能根据解析式的特征选择方法，本文归结了几种常见的模型与方法。

关键字：值域 配方 图象

1.函数值域常见的求解思路

划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数y=f（x）看做是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值y0所对应的自变量x0一定为方程y=f（x）在定义域中的一个解，即方程y=f（x）在定义域内有解；另一方面，若y取某值y0，方程y=f（x）在定义域内有解x0，则y0一定为x0对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f（x）在定义域内有解的y的取值范围。

特别地，若函数可堪称关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。另外，也可用函数的单调性求值域。

2.函数值域的求解和技巧

函数求解方法可分为代数方法和几何方法两类，其中代数法包括：配方法、均值不等式法、单调性法、倒数法、判别式法、有界法等。几何方法包括：函数图象法、平面几何知识、斜率及两点间距离等。

3.例题

（1）y=

分析:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：y=的反函数为x=，其定义域为y∈r且y≠1

故函数y的值域为y｜y≠1

（2）y=

解：原函数可化为（y-1）x2+0x+y+1=0

①当y=1时，不成立；

②当y≠1时，?驻≥0?圯0-4（y-1）（y+1）≥0?圯-1≤y≤1

综合①②，值域为y｜-1≤y0恒成立，试求实数a的取值范围。

求函数的最值问题通常可从四个方面考虑：ⅰ.函数的性质；ⅱ.线性规划；ⅲ.利用均值不等式；ⅳ.表达式的几何意义。本题从函数性质入手，不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。

解：①当a=时，f（x）=x++2，f′（x）=1-

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Ｌｉｎｇｏ软件在求解数学优化问题的使用技巧　

惠高峰　

（西安铁路职业技术学院，陕西西安７１００１６）　

【摘要】本文通过求解优化问题的过程，讲述了Ｌｉｎｇｏ软件的编程方法和求解过程中的使用技巧，用来解决数学优化问题中的计算ｆ＊－Ｉ题，　

提高编程求解的能力。　【关键词】Ｌｉｎｇｏ软件；线性模型；数学优化问题　

数学优化问题在管理数学当中是一个并不复杂的问题．但是他往　

往存在着大量数学计算．学生们遇到这样的问题就会产生迷惑．这类　

问题的解决实质上现在已经不在使用人工进行计算了．如何快速的掌　

握计算机软件计算的方法成为一个突出的问题．下边我们通过例子来　讲述软件计算的技巧　

某地区有三个农场共用一条灌渠．每个农场的可灌溉地及分配到　

的最大用水量如下表　

农场　可灌溉地（亩）　最大用水量ｆ百立方）　

１　４００　６００　

２　６００　８０ｏ　

３　３００　３７５　

各农场均可种植甜菜、棉花和高粱三种作物，各种作物的用水量、　

净收益及国家规定的该地区各种作物种植总面积最高限额如下表　

作物种类　种植限额（亩）　耗水量（百立方／亩）　净收益（元／亩）　

甜菜　６ｏｏ　３　４００　

棉花　Ｉ　５００　２　３００　

高粱　３２５　１　１ｏ０　

三个农场达成协议．他们的播种面积与其可灌溉面积相等．而各　

种农场种何种作物并无限制。问如何制定各农场种植计划才能在上述　限制条件下，使本地区的三个农场的总净收益最大。　

分析与求解：　设农场１种植的甜菜、棉花和高粱分别为　，亩，农场２种　

植的甜菜、棉花和高梁分别为　。，　：，　，亩，农场３种植的甜菜、棉花　

和高梁分别为　，　亩。　

设农场可耕地为ａ１＝４００，ａ２＝６００’Ⅱ１＝３００，最大用水量为ｂ　＝６００，　

６　＝８００，ｂ，＝３７５，甜菜、棉花和高粱的种植限额为ｃ　＝６００，ｃ　＝５００，ｃ，＝　

３２５，耗水量为ｄ，：３，ｄ２＝２，ｄ３＝１，净收益为　＝４００，ｅ２＝３００，ｅ　＝１００，根