2023年10月济南天桥区黄河双语学校高二上学期数学月考考试试卷(含答案)

2023-2024学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x ﹣y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．45°B ．30°C ．60°D ．135°2．已知双曲线C ：x 2−y 22=1，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±√2xB ．y ＝±2xC ．y =±√22xD ．y =±12x3．各项为正的等比数列{a n }中，a 2•a 8＝16，则a 5＝（ ） A ．4B ．2C ．1D ．84．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AC →=a →，AB →=b →，AA 1→=c →，则CB 1=（ ）A ．a →+b →−c →B ．a →−b →+c →C ．−a →+b →−c →D ．−a →+b →+c →5．2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n 站比第n ﹣1站多n 千瓶（n ≥2且n ∈N *），第10站准备的饮用水的数量为（ ） A ．45千瓶B ．50千瓶C ．55千瓶D ．60千瓶6．已知A （2，0），B （8，0），若直线y ＝kx 上存在点M 使得AM →⋅BM →=0，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[−34，34]B ．[−43，43]C ．(−∞，−34]∪[34，+∞)D ．(−∞，−43]∪[43，+∞)7．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，其中A 、F 2分别为双曲线的左顶点、右焦点，P 为双曲线上的点，满足PF 2垂直于x 轴且|AF 2|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A ．32B ．43C ．2D ．38．如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P 为直线DE 上的动点，则P 到直线AB 距离的最小值为（ ）A ．√22B ．√63C ．√74D ．√105二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．一条光线从点A （﹣2，3）射出，射向点B （1，0），经x 轴反射后过点C （a ，1），则下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 的斜率是﹣1 B ．AB ⊥BCC ．a ＝3D ．|AB|+|BC|=4√210．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 225+y 216=1的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为6 B ．△PF 1F 2的周长为16 C ．2≤|PF 1|≤8D ．△PF 1F 2的面积的最大值为1611．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别满足D 1P →=λD 1B 1→，DQ →=λDA 1→，则（ ） A ．∃λ∈（0，1），使PQ ⊥A 1D 且PQ ⊥B 1D 1B ．∀λ∈（0，1），PQ ∥平面ABB 1A 1C ．∃λ∈（0，1），使PQ 与平面ABCD 所成角的正切值为23D ．∀λ∈（0，1），BP 与AQ 是异面直线12．已知集合A ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝3n ﹣2，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．a 2＝3 B ．a n +4﹣a n ＝6C ．a 2023＝3035D ．若S n ＞2024，则n ≥52三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=（2，1，1），b →=（﹣6，λ，﹣3），若a →∥b →，则λ的值为 ． 14．已知等差数列{a n }首项a 1＝7，公差d ＝﹣2，则前n 项和S n 的最大值为 ． 15．已知圆C ：x 2+y 2＝4，直线l ：mx +y ﹣m ﹣1＝0，直线l 被圆C 截得的最短弦长为 ．16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 作与x 轴不垂直的直线l 交C 于点A ，B ，过点A 作垂直于x 轴的直线交C 于点D ，若点M 是△ABD 的外心，则|AB||MF|的值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n }，满足2a 2+a 5＝15，a 4＝7． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =(−1)n a n ，求{b n }的前2n 项和T 2n ．18．（12分）已知圆心为C 的圆经过O （0，0），A(0，2√3)两点，且圆心C 在直线l ：y =√3x 上． （1）求圆C 的标准方程；（2）点P 在圆C 上运动，求|PO |2+|P A |2的取值范围．19．（12分）已知抛物线的准线方程为x ＝﹣2，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）若△OAB 为等腰直角三角形，求△OAB 的面积；（2）若OA ⊥OB ，证明：直线l 过定点P ，并求出定点P 的坐标．20．（12分）如图（1）所示△P AB 中，AP ⊥AB ，AB ＝AP ＝12．D ，C 分别为P A ，PB 中点．将△PDC 沿DC 向平面ABCD 上方翻折至图（2）所示的位置，使得PA =6√2．连接P A ，PB ，PC 得到四棱锥P ﹣ABCD ．记PB 的中点为N ，连接CN ． （1）证明：CN ⊥平面P AB ；（2）点Q 在线段CN 上且QC ＝2QN ，连接AQ ，PQ ，求平面P AQ 与平面ABCD 的夹角的余弦值．21．（12分）设数列{a n }，其前n 项和为S n ，2S n =3n 2+3n ，{b n }为单调递增的等比数列，b 1b 2b 3＝729，b 1+a 2＝b 3﹣a 6．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c m 为{b n }在区间(0，a m ](m ∈N ∗)中的项的个数，求数列{c m }的前100项和T 100．22．（12分）在平面直角坐标系，xOy 中，设A 1，A 2两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线A 1M ，A 2M 相交于点M ，且它们的斜率之积是−12．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）记动点M 的轨迹为曲线E ，过P （1，0）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1与曲线E 交于A 、B 两点，l 2与曲线E 交于C 、D 两点，求AC →⋅BD →的最大值．2023-2024学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x ﹣y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．45°B ．30°C ．60°D ．135°解：直线x ﹣y +1＝0的斜率为k ＝1，所以倾斜角为α＝45°． 故选：A ．2．已知双曲线C ：x 2−y 22=1，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =±√2xB ．y ＝±2xC ．y =±√22xD ．y =±12x解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为x ±√2=0，即y ＝±√2x ，故选：A ．3．各项为正的等比数列{a n }中，a 2•a 8＝16，则a 5＝（ ） A ．4B ．2C ．1D ．8解：∵数列{a n }是各项为正数的等比数列，∴由等比中项的概念得：a 5=√a 2⋅a 8=√16=4． 故选：A ．4．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AC →=a →，AB →=b →，AA 1→=c →，则CB 1=（ ）A ．a →+b →−c →B ．a →−b →+c →C ．−a →+b →−c →D ．−a →+b →+c →解：CB 1→=CA →+AA 1→+A 1B 1→=−AC →+AA 1→+AB →=−a →+b →+c →． 故选：D ．5．2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n 站比第n ﹣1站多n 千瓶（n ≥2且n ∈N *），第10站准备的饮用水的数量为（ ）A ．45千瓶B ．50千瓶C ．55千瓶D ．60千瓶解：设第n 站的饮用水的数量为a n ，（n ＝1，2，3…10）， 由题意得，a 1＝1，a 2﹣a 1＝2，a 3﹣a 2＝3，…，a 10﹣a 9＝10， 以上等式相加得，a 1+a 2﹣a 1+…+a 10﹣a 9＝1+2+3+…+10＝55， 即a 10＝55． 故选：C ．6．已知A （2，0），B （8，0），若直线y ＝kx 上存在点M 使得AM →⋅BM →=0，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[−34，34]B ．[−43，43]C ．(−∞，−34]∪[34，+∞)D ．(−∞，−43]∪[43，+∞)解：因为AM →⋅BM →=0，所以AM ⊥BM ，所以点M 在以AB 为直径的圆上， 因为AB 的中点坐标为（5，0），|AB |＝6， 所以点M 的轨迹方程为：（x ﹣5）2+y 2＝9，由题知，直线y ＝kx 与圆（x ﹣5）2+y 2＝9有公共点， 所以√k 2+1≤3，解得−34≤k ≤34．故选：A ． 7．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，其中A 、F 2分别为双曲线的左顶点、右焦点，P 为双曲线上的点，满足PF 2垂直于x 轴且|AF 2|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A ．32B ．43C ．2D ．3解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，其中A 、F 2分别为双曲线的左顶点、右焦点，P 为双曲线上的点，满足PF 2垂直于x 轴且|AF 2|＝2|PF 2|， ∴|AF 2|＝a +c ，|PF 2|=b2a，∴a +c ＝2×b 2a ，可得2c 2﹣3a 2﹣ac ＝0，即2e 2﹣e ﹣3＝0，解得e =32，（负值舍）．故选：A ．8．如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P 为直线DE 上的动点，则P 到直线AB 距离的最小值为（ ）A ．√22B ．√63C ．√74D ．√105解：把平面展开图还原为空间正八面体，如图所示：正八面体的八个顶点都在球面上，故正八面体外接球的球心为正方形ACFD 的中心O ，半径R =OA =12AF =12√12+12=√22，∵平面ABC ∥平面DEF ，∴异面直线AB 与DE 的距离为平面ABC 与平面DEF 的距离， 又O 到平面ABC 的距离与O 到平面DEF 的距离相等， ∴直线AB 与DE 的距离为O 到平面ABC 的距离2倍， ∵V O ﹣ABC ＝V B ﹣AOC ，∴13S △ABC ⋅ℎ=13S △AOC ⋅OB ， ∴√34ℎ=12×√22×√22×√22，∴h =√66，∴异面直线AB 与DE 的距离为√63， 则点P 到直线AB 的距离的最小值为√63． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．一条光线从点A （﹣2，3）射出，射向点B （1，0），经x 轴反射后过点C （a ，1），则下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 的斜率是﹣1 B ．AB ⊥BCC ．a ＝3D ．|AB|+|BC|=4√2解：由题意可得点A （﹣2，3）关于x 轴的对称点为A '（﹣2，﹣3）， 则A ′在直线BC 上，所以直线BC 的斜率为k =−3−1−2−a =42+a， 又直线AB 的斜率为3−0−2−1=−1，所以42+a=1，解得a ＝2，则直线BC 的斜率为1，所以AB ⊥BC ， 又|AB |=√(−2−1)2+(3−0)2=3√2 |BC |=√(2−1)2+(1−0)2=√2，所以|AB|+|BC|=4√2，故ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ．10．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 225+y 216=1的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为6 B ．△PF 1F 2的周长为16 C ．2≤|PF 1|≤8D ．△PF 1F 2的面积的最大值为16解：由椭圆C ：x 225+y 216=1，得a ＝5，b ＝4，c ＝3，∴椭圆C 的焦距为6，故A 正确；又P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，∴△PF 1F 2的周长为2a +2c ＝16，故B 正确； 2＝a ﹣c ＜|PF 1|＜a +c ＝8，故C 错误；当P 为椭圆C 的短轴的一个端点时，△PF 1F 2的面积取最大值为12×2c ×b =bc =12，故D 错误．故选：AB ．11．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别满足D 1P →=λD 1B 1→，DQ →=λDA 1→，则（ ） A ．∃λ∈（0，1），使PQ ⊥A 1D 且PQ ⊥B 1D 1B ．∀λ∈（0，1），PQ ∥平面ABB 1A 1C ．∃λ∈（0，1），使PQ 与平面ABCD 所成角的正切值为23D ．∀λ∈（0，1），BP 与AQ 是异面直线 解：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意可知P （λ，λ，1），Q （λ，0，λ），A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），B （1，1，0），A （1，0，0），则PQ →=(0，−λ，λ−1)，DA 1→=(1，0，1)，BP →=(λ−1，λ−1，1)，AQ →=(λ−1，0，λ)， 平面ABB 1A 1的一个法向量为m →=(1，0，0)，平面ABCD 的一个法向量为n →=(0，0，1)， 对于A ，若PQ ⊥A 1D ，则PQ →⋅DA 1→=(0，−λ，λ−1)⋅(1，0，1)=λ−1=0 ⇒λ＝1∉（0，1），故A 错误；对于B ，易知PQ →⋅m →=(0，−λ，λ−1)⋅(1，0，0)=0恒成立，且PQ ⊄平面ABB 1A 1， 则PQ ∥平面ABB 1A 1，故B 正确；对于C ，设PQ 与平面ABCD 所成角为α(α∈[0，π2])，若tanα=23⇒sinα=2√13， 即sinα=|cosPQ →，n →|=|PQ →⋅n→|PQ →|⋅|n →||=|λ−1|√(λ−1)2+λ2=2√13，解之得λ=35或λ＝3，显然∃λ∈（0，1），使得结论成立，故C 正确；对于D ，因为BP →=(λ−1，λ−1，1)，AQ →=(λ−1，0，λ)，若BP →，AQ →共线，则存在实数k ，使得BP →=kAQ →⇒{λ−1=k(λ−1)λ−1=k ×01=kλ，解得λ＝1∉（0，1），所以∀λ∈(0，1)，BP →，AQ →不共线，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知集合A ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝3n ﹣2，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．a 2＝3 B ．a n +4﹣a n ＝6C ．a 2023＝3035D ．若S n ＞2024，则n ≥52解：由A ∩B ＝{x |x ＝6n ﹣5，n ∈N *}，可得A ∪B ＝{1，3，4，5，7，9，10，11，13，15，16，17，19，...}，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝5，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝10，a 8＝11，…，可得a n +4﹣a n ＝6，故A 正确，B 正确；a 2023＝a 4×505+3＝a 3+6×505＝4+3030＝3034，故C 错误； 考虑数列{a n }中每个四个一组求和，构成等差数列，首项为13，公差为24，由13×12+12×12×11×24＝1740＜2024，13×13+12×13×12×24＝2041＞2024，则S n ＞2024，有n ≥52，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=（2，1，1），b →=（﹣6，λ，﹣3），若a →∥b →，则λ的值为 ﹣3 ． 解：a →=（2，1，1），b →=（﹣6，λ，﹣3），a →∥b →，则−62=λ1=−31，解得λ＝﹣3．故答案为：﹣3．14．已知等差数列{a n }首项a 1＝7，公差d ＝﹣2，则前n 项和S n 的最大值为 16 ． 解：等差数列{a n }首项a 1＝7，公差d ＝﹣2， ∴S n ＝7n +n(n−1)2×(−2)=−n 2+8n ＝﹣（n ﹣4）2+16．则前n 项和S n 的最大值为16． 故答案为：16．15．已知圆C ：x 2+y 2＝4，直线l ：mx +y ﹣m ﹣1＝0，直线l 被圆C 截得的最短弦长为 2√2 ． 解：因为直线mx +y ﹣m ﹣1＝m （x ﹣1）+y ﹣1＝0经过定点A （1，1），当AC 与直线垂直时，弦心距d ＝|AC |=√2，此时弦长最短，则弦长为2√4−2=2√2． 故答案为：2√2．16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 作与x 轴不垂直的直线l 交C 于点A ，B ，过点A 作垂直于x 轴的直线交C 于点D ，若点M 是△ABD 的外心，则|AB||MF|的值为 2 ． 解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F （1，0）， 依题意可设直线l 的方程为x ＝my +1，m ≠0， 联立{x =my +1y 2=4x，得y 2﹣4my ﹣4＝0，Δ＝16m 2+16＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 1，0）， 则y 1+y 2＝4m ，y 1•y 2＝﹣4， x 1+x 2＝my 1+1+my 2+1＝4m 2+2，又抛物线的准线方程为x ＝﹣1，由抛物线的定义，得|AB|＝|AF|+|BF|＝（x1+1）+（x2+1）＝4m2+4，设AB的中点坐标为（x0，y0），则x0=x1+x22=2m2+1，y0=y1+y22=2m，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣2m2﹣1），因为AD的垂直平分线所在直线的方程为y＝0，所以点M（2m2+3，0），|MF|＝2m2+3﹣1＝2m2+2，所以|AB||MF|=4m2+42m2+2=2．故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n}，满足2a2+a5＝15，a4＝7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=(−1)n a n，求{b n}的前2n项和T2n．解：（1）由已知，得{2(a1+d)+a1+4d=15a1+3d=7，解得{a1=1d=2，故a n＝2n﹣1；（2）由b n=(−1)n(2n−1)，得T2n＝﹣1+3﹣5+7+⋯﹣（4n﹣3）+（4n﹣1）＝2n．18．（12分）已知圆心为C的圆经过O（0，0），A(0，2√3)两点，且圆心C在直线l：y=√3x上．（1）求圆C的标准方程；（2）点P在圆C上运动，求|PO|2+|P A|2的取值范围．解：（1）因为圆心C在直线l：y=√3x上，所以设圆心C的坐标为（a，√3a），所以圆C的方程为（x﹣a）2+（x−√3a）2＝r2（r＞0），因为圆经过O（0，0），A(0，2√3)两点，所以{(0−a)2+(0−√3a)2=r2(0−a)2+(2√3−√3a)2=r2，解得{a=1r=2，所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y−√3）2＝4，（2）因为点P在圆C上运动，设P（x，y），所以|PO|2+|P A|2＝x2+y2+x2+（y﹣2√3）2＝2x2+2y2﹣4√3y+12＝2[（x﹣1）2+（y−√3）2]+4x+4＝4x+12，因为﹣1≤x≤3，所以8≤4x+12≤24，所以|PO|2+|P A|2的取值范围是[8，24]．19．（12分）已知抛物线的准线方程为x＝﹣2，直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点．（1）若△OAB为等腰直角三角形，求△OAB的面积；（2）若OA⊥OB，证明：直线l过定点P，并求出定点P的坐标．解：（1）因为抛物线的准线为x＝﹣2，所以抛物线的方程为y2＝8x，若△AOB为等腰直角三角形，此时∠AOB＝90°，OA＝OB，则直线OA的方程为y＝x，联立{y=xy2=8x，解得x＝y＝8，即A（8，8），则S△OAB=12×8×(8+8)=64；（2）证明：不妨设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立{x=my+ny2=8x，消去x并整理得y2﹣8my﹣8n＝0，此时Δ＝64m2+32n＞0，由韦达定理得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，因为OA⊥OB，所以k OA⋅k OB=y1y2x1x2=−1，即y1y2+x1x2＝0，因为A，B两点都在抛物线y2＝8x上，所以x1=y128，x2=y228，则x1x2=y12y2264=n2，即y1y2+x1x2=n2−8n=0，解得n＝8或n＝0（舍去），当n＝8时，满足Δ＞0，此时直线l的方程x＝my+8．故直线l过定点P（8，0）．20．（12分）如图（1）所示△P AB中，AP⊥AB，AB＝AP＝12．D，C分别为P A，PB中点．将△PDC沿DC向平面ABCD上方翻折至图（2）所示的位置，使得PA=6√2．连接P A，PB，PC得到四棱锥P﹣ABCD．记PB的中点为N，连接CN．（1）证明：CN⊥平面P AB；（2）点Q在线段CN上且QC＝2QN，连接AQ，PQ，求平面P AQ与平面ABCD的夹角的余弦值．解：（1）证明：因为在图（1）中D为P A中点，P A＝12，所以PD ＝AD ＝6，又在图（2）中P A ＝6√2，所以PD 2+AD 2＝P A 2，所以PD ⊥AD ，在图（1）中D ，C 分别为P A ，PB 中点，所以DC ∥AB ，又图（1）P A ⊥AB ，所以DC ⊥P A ，所以在图（2）中PD ⊥AD ，DC ⊥PD ，AD ⊥DC ，以D 为原点，DP ，DA ，DC 所在直线分别为z ，x ，y 轴，建立空间直角坐标系：则D （0，0，0），A （6，0，0），B （6，12，0），C （0，6，0），P （0，0，6），N （3，6，3）， CN →=（3，0，3），设平面P AB 的法向量为m →=（x ，y ，z ），又AP →=（﹣6，0，6），AB →=（0，12，0），所以{AP →⋅m →=−6x +6z =0AB →⋅m →=12y =0，令x ＝1，则y ＝0，z ＝1，所以m →=（1，0，1），所以CN →=3m →，所以CN →∥m →，所以CN ⊥面P AB ．（2）由（1）知CN →=（3，0，3），因为点Q 在线段CN 上且QC ＝2QN ，所以CQ →=23CN →， 所以（x Q ，y Q ﹣6，z Q ）=23（3，0，3）， 所以x Q ＝2，y Q ＝6，z Q ＝2，所以Q （2，6，2），QP →=（﹣2，﹣6，4），QA →=（4，﹣6，﹣2），设平面P AQ 的法向量为n →=（a ，b ，c ），{QP →⋅n →=−2a −6b +4c =0QA →⋅n →=4a −6b −2c =0，令a ＝1，则b =13，c ＝1， 所以n →=（1，13，1）， 平面ABCD 的法向量为DP →=（0，0，6），所以cos ＜n →，DP →＞=n →⋅DP →|n →||DP →|=(1，13，1)⋅(0，0，6)√12+(13)2+12⋅6=3√1919， 所以平面P AQ 与平面ABCD 的夹角的余弦值为3√1919． 21．（12分）设数列{a n }，其前n 项和为S n ，2S n =3n 2+3n ，{b n }为单调递增的等比数列，b 1b 2b 3＝729，b 1+a 2＝b 3﹣a 6．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c m 为{b n }在区间(0，a m ](m ∈N ∗)中的项的个数，求数列{c m }的前100项和T 100． 解：（1）对于数列{a n }，因为2S n =3n 2+3n ①，所以2S n−1=3(n −1)2+3(n −1)，n ≥2，n ∈N ∗②，①﹣②得a n =3n(n ≥2，n ∈N ∗)，由①式，当n ＝1时，得a 1＝3，也满足a n ＝3n ，所以a n =3n(n ∈N ∗)；因为数列{b n }为等比数列，由等比数列的性质得b 1b 2b 3=b 23=729，得b 2＝9，设数列{b n }的公比为q ，又因为a 2＝6，a 6＝18，所以b 1+a 2＝b 3﹣a 6，即9q+6=9q −18，解得q ＝3或−13， 又因为{b n }为单调递增的等比数列，所以q ＝3，所以b n =3n (n ∈N ∗)；（2）由于31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，所以c 1，c 2对应的区间为（0，3]，（0，6]，则c 1＝c 2＝1，即有2个1，c 3，c 4，⋯，c 8对应的区间为（0，9]，（0，12]，⋯，（0，24]，则c 3＝c 4＝⋯＝c 8＝2，即有6个2， c 9，c 10，⋯，c 26对应的区间为（0，27]，（0，30]，⋯，（0，78]，则c 9＝c 10＝⋯＝c 26＝3，即有18个3， c 27，c 28，⋯，c 80对应的区间为（0，81]，（0，84]，⋯，（0，240]，则c 27＝c 28＝⋯＝c 80＝4，即有54个4，c 81，c 82，⋯，c 100对应的区间为（0，243]，（0，246]，⋯，（0，300]，则c 81＝c 82＝⋯＝c 100＝5，即有20个5，所以T 100＝1×2+2×6+3×18+4×54+5×20＝384．22．（12分）在平面直角坐标系，xOy 中，设A 1，A 2两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线A 1M ，A 2M 相交于点M ，且它们的斜率之积是−12． （1）求动点M 的轨迹方程；（2）记动点M 的轨迹为曲线E ，过P （1，0）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1与曲线E 交于A 、B 两点，l 2与曲线E 交于C 、D 两点，求AC →⋅BD →的最大值．解：（1）设M （x ，y ），由直线A 1M ，A 2M 的斜率之积是−12， 则y x+2×y x−2=−12，整理得x 24+y 22=1(x ≠±2)， 所以动点M 的轨迹方程为x 24+y 22=1(x ≠±2)．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为my ＝x ﹣1，联立方程{x =my +1x 24+y 22=1，消去x 可得：（2+m 2）y 2+2my ﹣3＝0， 所以y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−3m 2+2， 因为AB ⊥CD ，则AC →•BD →=（PC →−PA →）•（PD →−PB →）=PA →•PB →+PC →•PD →，所以PA →⋅PB →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(my 1)(my 2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2=−3(m 2+1)m 2+2， 同理，用−1m 代换m ，可得PC →⋅PD →=(x 3−1)(x 4−1)+y 3y 4=(1+1m 2)y 3y 4=−3(m 2+1)2m 2+1， 所以AC →•BD →=PA →•PB →+PC →•PD →=−3(m 2+1)m 2+2−3(m 2+1)2m 2+1=−9(m 2+1)2(m 2+2)(2m 2+1)， 因为m 2+2m 2+1+2m 2+1m 2+1=3，所以m 2+2m 2+1×2m 2+1m 2+1≤(32)2=94， 所以AC →⋅BD →=−9(m 2+1)2(m 2+2)(2m 2+1)=−9m 2+2m 2+1×2m 2+1m 2+1≤−994=−4， 当且仅当m 2+2＝m 2+1，即m ＝±1时等号成立，所以当m ＝±1时，AC →⋅BD →的最大值为﹣4．。

济南黄河双语实验学校2021～2022学年度第一学期试题高三数学 2021.10注意事项：本试卷总分 150 分，考试时间 120 分钟，共22小题第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{2|20,|A x x x B x y =-=≥-=，则A B ⋃=（ ）A. RB. [)1,+∞C. (][),11,-∞-⋃+∞D. (][),10,-∞-⋃+∞ 2.若1tan 3α=，则sin cos sin cos αααα+-的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-3.已知x ∈R ，则“121x⎛⎫⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.若0.220.2log 0.2,2,log 0.3a b c =-==，则下列结论正确的是（ ）A. b c a >>B. b a c >>C. a b c >>D. c b a >>5.若()sin 75α︒+=()cos 302α︒-=（ ） A ．49B ．49-C ．59D ．59-6.要得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A 向右平移12π个单位长度B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向左平移6π个单位长度7.已知函数33()1x f x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+-- 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，()0f x >且()1f e =，若对任意(0,)x ∈+∞，()ln ()0xf x x f x '+>恒成立，则不等式1ln ()x f x <的解集为（ ）A ．{}01x x <<B ．{}1x x >C ．{}x x e >D ．{}0x x e <<二、多选题（每小题5分，共20分，每小题4个选项中有不止一个正确选项，漏选得2分，错选、多选不得分）9. 下列选项中，正确的是（ ）A. 函数()12x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点（1，-2）B. 若不等式230ax bx ++>的解集为{}13x x <<，则1a b +=C. 若p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝：n N ∀∈，22n n ≤D. 幂函数()y f x =的图象经过点(，则()21log 22f =10.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 的图象关于1x =对称，当(]0,1x ∈时，()1e xf x -=，则下列判断正确的是（ ） A. ()f x 的周期为4 B. ()f x 的值域为[]1,1- C. ()1f x +是偶函数D. ()20211f =11.已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>.第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若cos()13πθ+=，则cos θ=__________14.曲线(1)xy x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________． 15.已知0m >，0n >，1m n +=，则121m n ++的最小值为______． 16.已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件3()()2f x f x +=-，且函数3()4y f x =-为奇函数，给出以下四个结论：①函数()f x 是周期函数； ②函数()f x 的图象关于点3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对称； ③函数()f x 为R 上的偶函数； ④函数()f x 为R 上的单调函数．其中正确结论的序号为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知集合(){}3log 12|11{|},2A x x B x m x m =-<=-≤≤+. （1）若3m =，求()RAB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.18.（12分）已知二次函数()f x 的最小值为3，且(1)(3)5f f ==. （1）求()f x 的解析式；（2）若()y f x =的图像恒在直线221y x m =++的上方，求实数m 的取值范围．19.（12分）已知函数2()sin sin()sin 1,R 3f x x x x x π=+-+∈.（1）求函数()f x 的对称轴；（2）求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.20.（12分）已知函数()(1),()af x x a lnx a R x=--+∈． （1）当2a =时，求()f x 的极值； （2）若0a >，求()f x 的单调区间21.(12分)某市注重生态环境建设，每年用于改造生态环境的总费用为x 亿元，其中用于风景区改造的费用为y 亿元．该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造的费用随每年改造生态环境总费用的增加而增加；②每年改造生态环境的总费用至少为a 亿元，至多为b 亿元；③每年用于风景区改造的费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的22%． （1）若2a =， 2.5b =，请分析能否采用函数模型()31416100y x x =++作为生态环境改造投资方案；（2）若a ，b 取正整数，并用函数模型()31416100y x x =++作为生态环境改造投资方案，请求出a ，b 的值．22.（12分）已知函数2()ln 2,f x x x ax x a R =-+∈. (1)若()f x 在(0，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个极值点分别为12,x x ，证明：1212x x a +>.高三数学参考答案一、单选题： 1.【答案】C【详解】解：{}{}2|20|12,A x x x x x x =--=≤-≥≥或{{}|1|B x y x x ==≥=， {}|11,A B x x x ⋃=≤≥-或故选：C 2.B 【详解】 因为1tan 3α=，所以sin cos tan 12sin cos tan 1αααααα++==---，故选：B3.B 由121x ⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，由21x -<<-能推出0x <，反之，不能推出。

2022-2023学年山东省济南市高二上册第三次月考数学质量检测试题一、单选题1．已知数列3L、L ，那么9在此数列中的项数是（）A ．11B ．12C ．13D ．14【正确答案】C9=，可得出结论.9=可得13n =，因此，9在此数列中的项数是13.故选：C.2．已知AB 是圆228270x y x y +-++=内过点()2,1E 的最短弦，则AB =（）AB ．C ．D ．【正确答案】B【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】解：圆228270x y x y +-++=即为()()224110x y -++=，则圆心坐标为(4,1)C -，半径r =，又()()222411081-++=<，即()2,1E 在圆内，所以过点()2,1E 的最短弦为过点E 且与过点E 的半径垂直的弦，又CE ==所以AB =故选：B ．3．若点P 是双曲线C ：224121x y -=上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，则“18PF =”是“24PF =”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据双曲线的定义和必要不充分条件的定义可得答案.【详解】由题意可知，2a =，5c ==，13PF c a ≥-=，23PF c a ≥-=若18PF =，则284PF -=，24PF =或12，若24PF =，144PF -=，18PF =，故“18PF =”是“24PF =”的必要不充分条件．故选：A ．4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BC 与1B C 相交于点O ，1160A AB A AC ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，14A A =，2AB AC ==，则线段AO 的长度为（）A ．2B C D 【正确答案】B【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用1,,AB AC AA表示出AO ，再应用空间向量数量积的运算律求AO的模长，从而得解.【详解】由题意可知，四边形11BCC B 是平行四边形，()11111112222BO BC BC BB BC AA ∴==+=+ ，又BC AC AB =- ，()1111112222AO AB BO AB BC A A A A AB B C A ∴=+=++=++- 1111222AC AB AA =++ ，1160A AB A AC ∠=∠=︒ ，90BAC∠=︒，14A A =，2AB AC ==，224AC AB ∴== ，2116AA = ，0AB AC ⋅= ，1142cos 604AB AA AC AA ⋅=⋅=⨯⨯︒= ，()()2221121212214214AB AC AA AB AC AA AB AC AB AA AC A A A O ∴+++++⋅+=+⋅=⋅()04162021444142=⨯⨯++⨯+=++，210AO ∴=，即AO =，则线段AO．故选：B.5．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x ，且与椭圆221156x y +=有公共焦点，则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【正确答案】C【分析】首先求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的渐近线及焦点坐标得到方程组，解得2a 、2b ，即可得解.【详解】解：椭圆221156x y +=的焦点为()3,0±，又双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为5y x =，所以2223b a c c a b =⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2254a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线方程为22154x y -=.故选：C6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若316S =，68S =，则12S =（）A ．50-B ．60-C ．70-D ．80-【正确答案】D【分析】由等差数列片段和的性质可得出3S 、63S S -、96S S -、129S S -成等差数列，即可求得12S 的值.【详解】解：由等差数列的性质可知，3S 、63S S -、96S S -、129S S -成等差数列，且该数列的公差为()63381624S S S --=--=-，则()96632432S S S S -=--=-，所以，()129962456S S S S -=--=-，因此，()()()123639612980S S S S S S S S =+-+-+-=-.故选：D.7．已知椭圆22154x y +=的右焦点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于A ，B （A 在x 轴上方）两点，则AFBF的值为（）A ．3+B ．2+C ．3D ．4【正确答案】A【分析】先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过A ，B 作准线的垂线，得到直角梯形11AA B B ，结合抛物线的定义在梯形中求AB =，即得结果.【详解】依题意，()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，故12p=，则2p =，24y x =.根据已知条件如图所示，A 在x 轴上方，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为11,A B ，过B 作1AA 的垂线，垂足为P ，设,BF x AF kx ==，根据抛物线的定义知11,BB x AA kx ==，所以直角梯形11AA B B 中1A P x =，()111AP AA A P k x =-=-，()1AB k x =+，又直线AB 的倾斜角45 ，故())11k x k x +=-，解得3k =+3AF BF=+故选：A.8．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作圆O ：222x y a +=的切线，切点为T ，延长2F T 交双曲线E 的左支于点P .若2232PF TF >，则双曲线E 的离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】连接OT ，1PF ，推出2TF b =，2cos bOF T c∠=，212PF PF a -=，在12PF F △中利用余弦定理可得22b PF b a=-，即可得出b a >，由2232PF TF >，得232b b b a >-，即可得到不等式组，从而求出离心率的取值范围．【详解】解：连接OT ，1PF ，设()2,0F c (c 为双曲线E 的半焦距），在直角三角形2TOF 中，OT a =，2OF c =，则2TF b =，2cos bOF T c∠=，212PF PF a -=，所以122PF PF a =-，在12PF F △中，222121221222cos PF PF F F PF F F OF P =+-∠，所以()2222222422b PF a PF c PF c c-=+-⋅⋅，所以22b PF b a=-，所以b a >，又2232PF TF >，所以232b b b a >-，所以3a b a <<，所以2229a b a <<，所以22229a c a a <-<，ca<e ∈故选：D ．二、多选题9．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA =B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【正确答案】BCD【分析】求出OP ，由勾股定理求解PA ，即可判断选项A ；利用PO 为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项B ；利用AB OP ⊥，求出直线AB 的斜率，即可判断选项C ；求出直线PO 和AB 的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选项D .【详解】对于A，由题意可得：OP ==，由勾股定理可得，2PA =，故选项A 错误；对于B ，由题意知，PB OB ⊥，则PO 为所求圆的直径，所以线段PO 的中点为112（，）所求圆的方程为2215(1)()24x y -+-=，化为一般方程为222x y x y +=+，故选项B 正确；对于C ，由题意，其中一个切点的坐标为0,1（），不妨设为点B ，则AB OP ⊥，又12OP k =，所以2AB k =-，所以直线AB 的方程为21y x =-+，故选项C 正确；对于D ，因为AB OP ⊥，且直线OP 的方程为12y x =，直线AB 的方程为21y x =-+，联立方程组2112y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两条直线的交点坐标为21(,)55D，则5BD ==，5PD ==，故PBD △的面积为1425=，所以PAB 的面积为85，故选项D 正确，故选.BCD10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，11B C 的中点，以下说法正确的是（）A ．1A C ⊥平面EFGB ．三棱锥C EFG -C ．异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为3D ．过点EFG 作正方体的截面，所得截面的面积是【正确答案】AD【分析】对于A ，根据线面垂直，证得线线垂直，利用线面垂直判定定理，可得答案；对于B ，根据三棱锥体积公式计算，结合正方体的性质，可得答案；对于C ，根据异面直线夹角的定义，利用几何法，结合余弦定理，可得答案；对于D ，利用平行进行平面延拓，根据正六边形的面积公式，可得答案.【详解】，连接1AC 、1AB 、AC ，如下图：,E F 分别为,AB AD 的中点，且AC 为正方形ABCD 的对角线，AC EF ∴⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，且EF ⊂平面ABCD ，1AA EF ∴⊥，1AC AA A ⋂=，1,AC AA ⊂平面1AAC ，EF ∴⊥平面1A AC ，1AC ⊂ 平面1A AC ，1EF AC ∴⊥，同理可得11AB AC⊥，,F G 分别是11,AD B C 的中点，1//AF B G ∴，1AF B G =，即1//AB GF ，1AC FG ⊥，EF FG F = ，,EF FG ⊂平面EFG ，1AC ∴⊥平面EFG ，故A 正确；对于B ，取BC 中点H ，连接GH ，CG ，CE ，CF ，如下图：,G H Q 分别为11,BC B C 的中点，∴GH ⊥平面ABCD ，设正方形ABCD 的面积4S =，1341122CEFAEFCEB CDFS S SSS=---=---=，113C EFG G CEF CEFV V GH S--==⋅⋅=，故B 错误；对于C ，连接AG ，1FC ，CE ，CF ，1C E ，如下图：,F G 分别为11,AD B C 的中点，1//AF C G ∴，1AF C G =，则1//AG FC ，故1C FE ∠为异面直线EF 与AG 所成的角或其补角，EF ==13EC ===，13FC===，2221111cos26C F EF C EC FEC F EF+-∠=⋅⋅，异面直线EF与AGC错误；对于D，取1BB的中点H，11C D的中点J，1DD的中点I，连接EH，HG，GJ，JI，IF，如下图：易知//EF JG，//GH FI，//IJ EH，且正六边形EFIJGH为过点EFG作正方体的截面，则其面积为216sin602S'=⨯⨯⨯= D正确.故选：AD.11．已知公差为d的等差数列{}n a，n S为其前n项和，下列说法正确的是（）A．若150S<，16S>，则8a是数列{}na中绝对值最小的项B．若3613SS=，则6912SS=C．若18a=，41a=-，则12832a a a++⋅⋅⋅+=D．若48a a=，0d≠，则110S=【正确答案】ABD【分析】利用等差数列的性质以及前n项和得到98||a a>，进而判定选项A；利用3S，63S S-，96S S-为等差数列可判定选项B；先利用方程思想求出通项公式，再求出前8项的绝对值的和即可判定选项C；利用等差数列的求和公式判定选项D.【详解】对于A：因为{}n a为等差数列，且1516SS<⎧⎨>⎩，所以11511600a a a a +<⎧⎨+>⎩，即88900a a a <⎧⎨+>⎩，所以98||a a >，即8a 是数列{}n a 中绝对值最小的项.故选项A 正确；对于B ：因为{}n a 为等差数列，所以3S ，63S S -，96S S -为等差数列，设3S x =，由3613S S =得：63S x =，故x ，2x ，93S x -为等差数列解得96S x =，所以693162S x S x ==，故选项B 正确；对于C ：因为{}n a 为等差数列，且18a =，41a =-，所以39d =-，3d =-，则83(1)311n a n n =--=-+.则128||||||a a a +++ 852*********=+++++++=.故选项C 错误；对于D ：因为{}n a 为等差数列，且48||||a a =，0d ≠，所以48a a =-，480a a +=，则481111111()11()022a a a a S ++===.故选项D 正确；故选：ABD.12．已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为π6的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且1MP MF =，下列判断正确的是（）A ．12π6F PF ∠=B ．E 的渐近线方程为y =C ．2PF 垂直于x 轴D ．若A ，B 为E 上的两点且关于原点对称，则PA ，PB 的斜率存在时其乘积为2【正确答案】BCD【分析】由题意作图，根据中位线性质即可得出2PF x ⊥轴，在Rt 12PF F △中，可求12π3F PF ∠=，根据双曲线的定义求出离心率e =a ，b ，c 求得b a=A ，B 关于原点对称，可设(,),(,),A m n B m n P c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求出斜率计算乘积即可.【详解】如上图所示，因为,M O 分別是112,PF F F 的中点，所以12PF F △中，2//PF MO ，所以2PF x ⊥轴，C 选项正确；因为直线1PF 的倾斜角为π6，所以12π3F PF ∠=，A 选项错误；Rt 12PF F △中，12212,,F F c PF c PF c =，所以122PF PF a -==，则==c e a ，而c b a a==，所以E 的渐近线方程为y =，B 选项正确；A ，B 关于原点对称，可设(,),(,),A m n B m n P c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据==c e a ，得,2)P a ，所以当斜率存在时，222243PA PB PA PB a n k k k k a m -==⋅=-,因为A ，B 在双曲线上，所以22221m n a b-=，即222212m n a a -=，得22222n m a =-，所以22222222462233PA PBa n a m k k a m a m--⋅===--，D 选项正确；故选：BCD.三、填空题13．过点()1,1且与直线230x y -+=垂直的直线方程为_____.【正确答案】230x y +-=【分析】根据垂直直线斜率之积为1-，结合点斜式求解即可.【详解】直线230x y -+=斜率为2，故与之垂直的直线斜率为12-，故过点()1,1且与直线230x y -+=垂直的直线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=.故230x y +-=14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，221n S n n =++，则n a =_______【正确答案】4,141,2n n n =⎧⎨-≥⎩【分析】直接利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求n a 的通项公式.【详解】由已知条件，知当1n =时，114a S ==；当2n ≥时，22121[2(1)(1)1]41n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=-；当1n =时不满足上式，∴4,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为.4,141,2n n n =⎧⎨-≥⎩15．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【正确答案】3##3-+【分析】圆1C 的圆心为()10,2C -，半径为1r =，圆2C 的圆心为()24,0C ，半径为2R =，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ,进而根据对称性得()33,1C -，再结合题意得32523PA B C P C r R --+=-≥【详解】解：由题知圆1C ：()2221x y ++=的圆心为()10,2C -，半径为1r =，圆2C ：()2244x y -+=的圆心为()24,0C ，半径为2R =，如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故523-四、双空题16．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点P 是抛物线上的动点，则当PF PA 的值最小时，则直线PA 方程为_____，PAF △的内切圆半径为________.【正确答案】()1y x =±+2222【分析】根据抛物线的性质可知sin .PF PQ PAQ PA PA ==∠从而当PAQ ∠最小，即AP 与抛物线相切时，PFPA 的值最小．求出抛物线过A 点的切线方程得出P 点坐标，即可求出AP 的方程，代入面积公式得出面积即可内切圆的半径．【详解】解：抛物线24y x =的准线方程为=1x -，焦点为()1,0F ，则()1,0A -，设P 到准线的距离为PQ ，则PQ PF =，sin PF PQPAQ PA PA ∴==∠，∴当PA 与抛物线24y x =相切时，PAQ ∠最小，即PF PA 取得最小值，设过A 点的直线y kx k =+()0k ≠与抛物线相切，代入抛物线方程得()2222240k x k x k +-+=，224(24)40k k ∴∆=--=，解得1k =±，即2210x x -+=，解得1x =，把1x =代入24y x =得2y =±，()1,2P ∴或()1,2P -，此时直线PA 方程为()1y x =±+，1122222PAF P S AF y ∴=⋅=⨯⨯=，所以AP =2AF =，2PF =，设PAF △的内切圆半径为r ，所以()12222r +=，所以2r =．故()1y x =±+，2五、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1--，动点P 满足PO PA=(1)求动点P 的轨迹C 的方程(2)若直线l 过点()4,1Q -且与轨迹C 相切，求直线l 的方程【正确答案】(1)22(2)(2)4+++=x y (2)4x =-或51280x y ++=【分析】（1）设(),P x y ，根据动点P 满足PO PA =，用两点间距离公式化简求解.（2）讨论直线的斜率，设出直线l 的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案.【详解】（1）设(),P x y ，则由|||PO PA =，化简得22(2)(2)4+++=x y ，所以P 点的轨迹方程为22(2)(2)4+++=x y ．（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x =-，圆心(2,2)C --到直线l 的距离为2，又因为圆的半径为2，所以相切；当直线l 的斜率存在时，设():14l y k x -=+，即140kx y k -++=，由()2,2C --到l 的距离2=512k =-，所以直线方程为5510123x y --+-=，即51280x y ++=，综上，l 的方程为4x =-或51280x y ++=.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】（1）21n a n =-；（2）1(1)33n n T n +=-+.【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，11a S =，可求得通项公式n a ；（2）用错位相减法求和n T ．【详解】（1）当1n =时，111a S ==当1n >时，由2n S n =可得()211n S n -=-于是121n n n a S S n -=-=-取1n =时有12111a ⨯-==，即满足21n a n =-所以21n a n =-（2）由（1）(21)3n n b n =-⋅，23133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅ ，则23413133353(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，两式相减得23123232323(21)3n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯ 11118(13)3(21)3(22)3613n n n n n -++-=+--⨯=-⨯--，所以1(1)33n n T n +=-⨯+．本题考查求等差数列的通项公式和错位相减法求和，错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法是数列求和的特殊方法，务必掌握．19．如图所示四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =ABCD 为等腰梯形，BC AD ∥，112BC CD AD ===，(1)求证PB AC⊥(2)求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角θ的正弦值【正确答案】(1)证明见解析437【分析】（1）取AD 中点O ，取BC 的中点M ，连接OM ，以,,OM OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明垂直.（2）用向量法求出两平面的法向量，求二面角的余弦值，再求正弦值即可．【详解】（1）取AD 中点O ，连接PO ，PA PD =，则PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点M ，连接OM ，ABCD 是等腰梯形，则OM AD ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，由于112BC CD AD ===，2PA PD ==则()()()31310010100100,02222P A D C B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，31,122PB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，33,,022AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以3313002222PB AC ⋅=⨯-⨯+= ，即PB AC ⊥ ，所以PB AC ⊥.（2）由（1）知()31011022PD CD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，()0,1,1PA =-- ,设平面PCD 的一个法向量为()n x y z = ，，，则031022n PD y z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，不妨令x ＝1，则33y z ==，，则(33n = ，，，设平面PAB 的一个法向量为()m x y z '''= ，，，则031022m PA y z m PB x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=''''⎩'⎪ ，不妨令1x '=，则33y z ''=-=,(133m = ，，∴1cos cos 7m n m n m n θ⋅=== ＜，＞，则43sin 7θ=．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，A 为椭圆与y 轴交点，1F ，2F 为椭圆左、右焦点，12AF F △为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为22(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点()2,0P ，记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，当12112k k +=时，求证直线l 恒过一定点？【正确答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列出关于,,a b c 的方程组，解出即可得结果；（2）设直线的方程为:l x my t =+，2t ≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线的方程与椭圆方程，通过韦达定理将12112k k +=化简得22t m =-，即可求出直线恒过的定点.【详解】（1）由题意得2222b c a c a b c =⎧⎪-=⎨⎪=+⎩2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以求椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）由题意易知直线l 的斜率不为0，故可设:l x my t =+，2t ≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立22142x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2222240m y mty t +++-=，由()()222244240m t m t =-+->得2224t m <+，所以12222mt y y m +=-+，212242t y y m -=+，()()1212121212222112t y y x x m k k y y y y -+--+=+=+()2222222222422mt t mt m m m t t m ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭=+=-=-++，即22t m =-，所以直线l 的方程为()22x my m =+-，即()220m y x +--=，所以证直线l 恒过一定点()2,2--.21．设数列{}n a 满足()123521n a a n a n ++⋅⋅⋅++=.(1)求{}n a 的通项公式(2)记数列()1421n n na n ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求n S 【正确答案】(1)121n a n =+，N n *∈(2)()1121nn +--【分析】（1）让条件中的递推式的n 取n 1-，然后将两式做差可得答案；（2）由（1）()()14121212111nn n na n n n ⎛⎫+ ⎪--+⎝=-⎭-，然后直接求和，抵消可得答案.【详解】（1）()123521n a a n a n ++⋅⋅⋅++= ①则2,n n ≥∈N 时，()12135211n a a n a n -++⋅⋅⋅+-=-②，①-②得()211n n a +=，即121n a n =+，当1n =时，131a =，113a =符合121n a n =+，故121n a n =+，N n *∈；（2）由（1）得()()()()()14141212121221111n n n nna n n n n n n -⎪-==---++-⎛⎫ ⎝⎭+，()()()111111335571111212121n n n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛---∴⎫=-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+++=-22．已知曲线C 上任意一点P 到32x =的距离是它到()2,0M .(1)求曲线C 的方程；(2)直线(x m m =>交x 轴于N ，与曲线C 在第一象限的交点为E ，过点N 的直线l 与曲线C 交于F ，G 两点，与直线3x m =交于点K ，记EF ，EG ，EK 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：3k 是1k ，2k 的等差中项【正确答案】(1)2213x y -=；(2)证明见解析.【分析】（1）设(),P x y ，根据条件建立方程求出即可；（2）由题意可得(),0N m ，设()0,E m y ，分直线l 的斜率为0、直线l 的斜率不为0两种情况讨论，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ty m =+，()()1122,,,F x y G x y ，联立直线l 与曲线C 的方程消元，韦达定理求出1212,y y y y +，然后分别算出12k k +、3k ，即可证明.【详解】（1）设(),P x y ，因为曲线C 上任意一点P 到32x =的距离是它到()2,0M所以322x -=所以()22233224x x y ⎛⎫⎡⎤-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭，化简得2213x y -=，所以曲线C 的方程为2213x y -=；（2）由题意可得(),0N m ，设()0,E m y ，则22013m y -=，当直线l 的斜率为时，()),F G ，3,0K m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，012223my k k m +==-，003233y my k m m m ==--，所以此时有1232k k k +=当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ty m =+，()()1122,,,F x y G x y ，联立2213x ty m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得()2223230t y mty m -++-=，所以212122223,33mt m y y y y t t --+==--，所以1010011111y y y y y k x m ty t ty --===--，同理0221y k t ty =-，所以000012122212122112221233y y y my y y mt k k t t y y t t y y t t m t m ⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫+=-+=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由3x ty m x m =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得233,m K m tm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以200323133m y my tm k m t m m--==+--，所以1232k k k +=，综上可得：1232k k k +=，3k 是1k ，2k 的等差中项.。

2024年外研衔接版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知复数是纯虚数，则实数a=（）A. -1B. -C.D. 12、3+5的值是（）A. 1+2lg2B. -1-2lg2C. 3D. -33、已知A（3；3，1），B（1，0，5），则下面说法中，正确的个数是（）（1）线段AB的中点坐标为；（2）线段AB的长度为；（3）到A，B两点的距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足4x+6y-8z+7=0．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4、sin300°的值（）A.B.C.D.5、设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2-x-a；则f（1）=（）A. -3B. -1C. 1D. 36、已知若则（）A.B. 1C.D.7、【题文】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为那么（）A. 8B. 9C. 10D. 118、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=25，则a3的值为（）A. 2B. 5C. 10D. 159、过点A（0，2），B（-2，2），且圆心在直线x-y-2=0上的圆的方程是（）A. （x-1）2+（y+1）2=26B. （x+1）2+（y+3）2=26C. （x+2）2+（y+4）2=26D. （x-2）2+y2=26评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、已知幂函数f（x）过点，则=____．11、已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____．（用区间表示）12、已知函数上为增函数，则实数的取值范围是 .13、“直线l在平面α内”用数学符号表示为____．14、已知tan θ＝3，则sin 2θ＋2sin θcos θ－cos2 θ＝________.15、某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[98，104)的产品个数是____．16、在中，设则的取值范围是．17、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为底面周长为3，那么这个球的体积为____．18、【题文】若则=____．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)19、如图，已知向量，，，；（1）求作：+++．（2）设||=2.为单位向量，求|+|的最大值．20、已知向量，，．求作（1）--；（2）-（-）；（3）-+．21、已知函数．（Ⅰ）画出函数的简图；（Ⅱ）求该函数的值域．22、由约束条件确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数K的取值范围是____．23、说出下列三视图所表示的几何体：24、已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|（x∈R）．（1）证明：f（x）函数是偶函数；（2）利用绝对值及分段函数知识；将函数解析式写成分段函数，然后在给定的坐标系中画出函数图象；（3）写出函数的值域．评卷人得分四、解答题(共1题，共6分)25、已知向量=（2sinωx，cos2ωx-sin2ωx），=（cosωx，1），其中ω＞0，x∈R．若函数f（x）=的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）在△ABC中，若f（B）=-2，BC=，sinB=sinA，求•的值．评卷人得分五、综合题(共1题，共10分)26、若f（x）=（m-2）x2+mx+4 （x∈R）是偶函数，则f（x）的单调递减区间为____．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】【分析】利于复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解析】【解答】解：∵复数= = = - 是纯虚数；∴=0，≠0；解得a=1．故选：D．2、C【分析】【分析】利用对数的运算法则和换底公式求解．【解析】【解答】解：3 +5= +=1-lg2+2+lg2=3．故选：C．3、D【分析】【分析】应用中点坐标公式直接求解线段AB的中点坐标判断（1）的正误；求出AB的距离和判断（2）的正误；利用点P（x，y，z）到A、B两点距离相等，利用距离公式列出方程，化简即可判断（3）的正误．【解析】【解答】解：设P（x，y，z）是AB的中点，则= （+ ）= [（3，3，1）+（1，0，5）]=（2，；3）；∴线段AB的中点坐标为；（1）正确；d AB= = ．（2）正确；（2）设点P（x；y，z）到A；B的距离相等；则= ．化简得4x+6y-8z+7=0；即为P的坐标应满足的条件．（3）正确．故选：D．4、D【分析】sin300°=sin（360°-60°）=sin（-60°）=-sin60°=-．故选D【解析】【答案】把所求式子中的角300°变形为360°-60°；然后利用诱导公式及正弦函数为奇函数进行化简，再利用特殊角的三角函数值即可得到所求式子的值．5、A【分析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2-x-a；∴f（0）=-a=0，解得a=0．∴f（1）=-f（-1）=-[2×（-1）2-（-1）]=-3．故选A．【解析】【答案】利用奇函数的性质可得a=0．再利用f（1）=-f（-1）即可得出．6、D【分析】由得到得因此考点：平面向量的坐标运算.【解析】【答案】D.7、A【分析】【解析】因为CE在平面上；所以CE平行于上底面，由于CE与正方体底面各线都相交，所以CE与正方体各侧面相交，即m=4设正四面体的高为直线a；则a与正方体各侧棱平行，EF与a所在的平面与正方体的两个侧面平行，所以EF与正方体的两个侧面不相交．由于上下底面，正面与后面都与两侧面相交，所以EF 与它们相交，即n=4∴m+n=8【解析】【答案】A8、B【分析】【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和公式及其性质：∵S5=25，∴∴=25，∴a3=5．故选：B．【分析】利用等差数列{a n}的前n项和公式及其性质即可得出．9、B【分析】解：由题意可得AB的中点为（-1；2），AB的斜率k=0；∴AB的垂直平分线的方程为x=-1；联立可解得即圆心为（-1，-3）；∴半径r= =∴所求圆的方程为（x+1）2+（y+3）2=26故选：B由题意可得AB的垂直平分线的方程；可得圆心，再由距离公式可得半径，可得圆的方程．本题考查圆的标准方程，涉及直线和圆的性质，属基础题．【解析】【答案】 B二、填空题(共9题，共18分)10、略【分析】【分析】设出幂函数f（x）的解析式，用待定系数法求出f（x），再计算的值．【解析】【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α∈R）；其图象过点；∴3α= ；解得α= ；∴f（x）= ；∴= = = ．故答案为：．11、略【分析】【分析】根据题意，写出命题p的否定命题，利用p与￢p真假相反得到￢p为真命题，再应用判别式求出a的取值范围．【解析】【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0；当命题p是假命题时；命题￢p：∀x∈R，x2+2x+a＞0是真命题；即△=4-4a＜0；∴a＞1；∴实数a的取值范围是（1；+∞）．故答案为：（1，+∞）．12、略【分析】【解析】试题分析：根据复合函数的单调性可知，由在（0，＋∞）上单调递减，若在（－∞，1）上为增函数，必须满足在（－∞，1）上为减函数且函数值大于0，可得解得∴考点：复合函数的单调性.【解析】【答案】[1，2]13、略【分析】“直线l在平面α内”用数学符号表示为“l⊂α”故答案为l⊂α【解析】【答案】由题意；由于直线与面之间的关系两个点集之间的关系，故易得“直线l在平面α内”用数学符号表示。

山东省济南市天桥区2024-2025学年七年级上学期10月月考数学试题一、单选题1．如果收入100元记作+100元．那么−80元表示（ ）A ．支出20元B ．支出80元C ．收入20元D ．收入80元 2．圆锥侧面展开图是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．下列四个数中，既是分数又是正数的是（ ）A ．2+B ．2.5C ．0D ．15- 4．将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体是如图中的（ ） A ． B ． C ． D ． 5．如图，数轴单位长度为1，若点A ，B 表示的数互为相反数，则图中点C 对应的数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2-6．用一个平面取截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（ ） A ．圆柱 B ．球体 C ．圆锥 D ．以上都有可能 7．若a a =-，则（ ）A ．0a <B ．0a ≥C ．0a =D ．0a ≤ 8．将一个无盖正方体形状的盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是( ) A ． B ． C ．D ．9．下列各计算题中，结果得0的是（ ）A ．()33+--B ． 33++-C ．33--D ．2332⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 10．中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图2是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有六畜：“猪”、“牛”、“羊”、“马”、“鸡”、“狗”.将其围成一个正方体后，则与“牛”相对的是( )A ．羊B ．马C ．鸡D ．狗11．下列各组中两数互为倒数的是（ ）A ．0和0B ．4和4-C ．3-和13D ．2-和12- 12．用一些大小相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看这个几何体时看到的图形如图，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么从左面看这个几何体时，看到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ． 13．若x ＞0，y ＜0，且|x|＜|y |，则x ＋y 一定是（ ）A ．负数B ．正数C ．0D ．无法确定符号 14．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“”丙说他看到的是“”丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是（ ）A．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边D．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的左边15．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）A．B．C．D．二、填空题16．甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、－15m和－10m，那么最高的地方比最低的地方高m．17．如图，六棱柱模型的底面边长都是5，侧棱长都是4，则它的所有侧面的面积之和是．-大的最小负整数是．18．比 2.519．将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，下列编号为1、2、3、6的小正方形中不能剪去的是（填编号）.20．数轴上M表示1-，将它先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度到达N，则N表示的数是．21．如图，5个边长为1cm的正方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为2cm．22．定义一种新运算：a ※b =a +b ﹣ab ，如2※（﹣2）=2+（﹣2）﹣2×（﹣2）=4，那么，（﹣1）※（﹣4）=．23．写出一个三视图形状都一样的几何体：．24．若120m n -++=，则n m -的值为．25．一个正方体的每一个面分别标上数字1、2、3、4、5、6，根据图中的正方体（1）、（2）、（3）三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是．26．计算：1234564950--+--++-=L ．27．某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是三、解答题28．把下列各数填在相应的大括号里：118.530.30 3.41294 1.2223+-----，，，，，，，，， 正整数集合：{ …}．整数集合：{ …}．负分数集合：{ …}．29．将下列几何体分为三类，并说出它们的名称．30．计算(1)()()()7 6.9 3.18.7+-+-+-(2)()()43 4.2565----+ (3)()()80.0225-⨯-⨯- (4)()12112432⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭31．如图是由5个同样大小的小正方体搭成的几何体，请在下面方格纸中分别画出这个几何体从正面看、从左面看、从上面看的形状图．32．（1）在数轴上表示出：0， 1.4-，3-，14，2；（2）将（1）中各数用“<”连接起来；（3）将（1）中各数的绝对值用“>”连接起来．33．一辆货车为一家商场的仓库运货，仓库在记录进出货物时把运进记作正数，运出记作负数，下午记录如下（单位：吨）：5.5 ，－4.6 ，－5.3 ，5.4 ，－3.4 ，4.8 ，－3． （1）仓库上午存货60吨，下午运完货物后存货多少吨？（2）如果货车的运费为每吨10元，那么下午货车共得运费多少元？34．某物体的三视图如图：(1)此物体的几何名称是____________；(2)求此物体的全面积．（结果保留π）35．【妙填幻方】如图①，是一个33⨯的幻方，每行三个数，每列三个数、每斜对角三个数相加的和均相等．(1)将下列各数组上的9个数分别填入图②③④所示的33⨯方格中，使得每行的三个数，每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．第一组：6，5，4，3，2，1，0，1-，2-；第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1；第三组：8-，6-，4-，2-，0，2，4，6，8．(2)如图⑤，若要按照以上规律填成，则九个数字之和为_____________．36．如图，A ，B 两点在数轴上对应的数分别为a ，b ，且点A 在点B 的左边，|a|=10，a+b=80，ab ＜0．（1）求出a ，b 的值；（2）现有一只电子蚂蚁P 从点A 出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q 从点B 出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C 相遇，求出点C 对应的数是多少？②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？。

山东省济南市天桥区黄河双语实验学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，则下列等式成立的是（ ） A ．2222cos c a b ab C =++ B ．2222cos c a b ab C =+- C ．2222sin c a b ab C =++D ．2222sin c a b ab C =+-2．已知四边形ABCD 是平行四边形，()()2,4,1,3AB AC ==u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ） A ．()1,1--B ．()1,1C ．()2,4D ．()3,73．若向量a r ，b r 满足：1a =r ，2b =r ，且()0a a b ⋅+=rr r ，则a r 与b r 的夹角是A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o4．在ABC V 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =（ ） A ．23-B ．13-C ．14-D ．145．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若30,A a b =o B =（ ） A ．30oB ．60oC ．30o 或150oD ．60o 或120o6．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，ABC V 的面积2224a b c S +-=，则C =（ ）A ．90oB ．60oC ．45oD ．30o7．在ABC V 中，,,D E F 分别是边BC,CA,AB 的中点，点G 为ABC V 的重心，则下列结论中正确的是（ ）A ．AB BC CA +=u u u r u u u r u u u rB ．()12AG AB AC =+u u u r u u u r u u u rC ．0AF BD CE ++=u u u r u u u r u u u r rD ．GA GB GC +=u u u r u u u r u u u r8．如图，矩形ABCD 中，2AB =，AD =AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE BC ⋅=u u u r u u u r（ ）．AB ．3C ．6D ．9二、多选题9．设向量()110,1,,22a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭r r ，则（ ）A ．a b r r∥ B ．()a b b +⊥r r rC ．||||a b b -=r r rD ．a r 在b r 上的投影向量为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭10．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若222sin sin sin A BC +<，则ABC V 是钝角三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC V 为等腰三角形D ．若8,10,45a c A ===o ，则符合条件的ABC V 有两个11．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,2AB AC a ⋅==u u u r u u u r，则（ ）A ．cos 2bc A =B ．228b c +=C ．角A 的最大值为π3D ．ABC V三、填空题12．已知正ABC V ABC V 的周长为.13．设12,e e r r 是不共线的两个向量，121212,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-u u u r u u u r u u u r r r r r r r.若,,A B D 三点共线，则k 的值为.14．滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量膝王阁的高度，在膝王阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为12m ，在它们的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A ，滕王阁顶部C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得滕王阁顶部C 的仰角为30°，由此估算滕王阁的高度为m .（精确到1.73≈）.四、解答题15．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边3,2,120a b c B =-==o . (1)求,b c 的值； (2)求()sin B C +的值.16．已知向量,a b rr 满足()()111,,42a ab a b a b =⋅=+⋅-=r r r r r r r .(1)求b r 及a b +rr 的值；(2)求向量b r 与a b +rr 夹角的余弦值.17．设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,,sin sin 2B Ca b c b a B +=. (1)求A ；(2)若2sin a B C =，求ABC V 的周长.18．如图，在ABC V 中，点M 、N 满足AM mAB =u u u u r u u u r ，()0,0AN nAC m n =>>u u u r u u u r ，点D 满足13BD BC =u u u r u u u r，E 为AD 的中点，且M 、N 、E 三点共线.(1)用AB u u u r、AC u u u r 表示AE u u u r ；(2)求112m n+的值. 19．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos c a b A +=. (1)证明：2B A =；(2)若ABC V 是锐角三角形，1a =，求b 的取值范围.。

山东省实验中学2023级十月测试数学试题说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知点(1,1,2)A -关于z 轴的对称点为B ，则AB等于（ ）A. B. C. 2D. 2. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，M 为BC 的中点，N 为11A C 靠近1A 的三等分点，设AB a =，AC b = ，1AA c = ，则用a，b ，c 表示NM 为（ ） A. 1126a b c+-B. 1126a b c -++C. 1126a b c --D. 1126a b c--+3. 直线的一个方向向量为()1,3v =-，且经过点()0,2，则直线的方程为（ ）A. 320x y -+=B. 320x y +-=C. 320x y ++= D. 320x y --=4. 已知直线l 的方向向量为(2,1,2)e =- ，平面α的法向量为(2,,),(,R)n b a a b a b =--+∈.若l α⊥，则3a b +的值为（ ）A. 1B. 3C. 4D. 4-5. “3m =”是“直线1:0l mx y m ++=与2,3(2)30l x m y m +--=平行”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件.6. 正四面体P ABC -的棱长为2，点D 是AB 的中点，则PD BC ⋅的值为（ ）A. 1B.23C. 23-D. 1-7. 已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则其一条边所在直线的斜率是（ ）A. 3- B. 2- C.13D. 28. 设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A. 10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()1,2,3c =-，则下列结论正确的是（ ）A. a 与b垂直B. b 与c 共线C. a 与c 所成角为锐角D. a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底10. 已知两直线1:2210l mx y m +-+=，2:20()l x my m m ---=∈R ，则下列说法正确的是（ ）A. 对任意实数m ，直线1l ，2l 的方向向量都不可能平行B. 存实数m ，使直线1l 垂直于x 轴C. 存在实数m ，使直线1l ，2l 互相垂直D. 当0m =时，直线2l 的方向向量不存在11. 正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足BP =λBC +μBB 1，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）在在A. 当1λ=时，1AB P △的周长为定值B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D. 当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量(2,1,1)a =- ，(1,1,)b x =- ，若a 与b 垂直，则2a b +＝_____.13. 已知点()3,1A ，()4,1B --，直线l 是过点(2,3)P -且与线段AB 相交且斜率存在，则l 的斜率k 的取值范围是____________14. 在ABC V 中，已知()1,1A ，AC 边上的高线所在的直线方程为20x y -=，AB 边上的高线所在的直线方程为3230x y +-=.则BC 边所在的直线方程为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知空间中三点()()()3,1,1,2,0,1,4,1,3A B C ---，设,a AB b AC ==.（1）若3c = ，且BC c ∥，求向量c；（2）求以,a b为一组邻边的平行四边形的面积S .16. 如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，//BC AD ，90BAD ∠=︒，2PB AB AD ===，1BC =，点E 是AP 的中点，F 是PB 上的点，13BF BP =.（1）求证：点F 在平面ECD 内；（2）求点P 到平面ECD 的距离.17. 已知直线l 过点(3,4)，O 为坐标原点．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 方程；（2）若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点且AOB V 面积为24．ⅰ）求直线l 方程；ⅱ）若点P 为线段AB 上一动点，且PQ OB ∥交OA 于点Q ．在y 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，2AB AC PA ===，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：⊥EF 平面PAC ；（2）设PM PDλ=，若直线ME 与平面PBC 所成的角θλ的值．19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球O 的半径为R ，,,A B C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过,B C 的圆，同理，圆3O ，2O 的劣弧,AC AB 的弧长分别记为,b c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角C OA B --，--A OB C ，B OC A --分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面.（1）若平面OAB ，平面OAC ，平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 面积；（2）若将图一中四面体OABC 截出得到图二，若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AOC θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=.①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，连接,BD CD ，若直线,DA DC 与平面ABC 所成角分别为π4，π3，BE BD λ=，(]0,1λ∈，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值.的的山东省实验中学2023级十月测试数学试题说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知点(1,1,2)A -关于z 轴的对称点为B ，则AB等于（ ）A.B. C. 2D. 【答案】A 【解析】【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.【详解】点(1,1,2)A -关于z 轴的对称点为B ()1,1,2-，所以AB ==故选：A.2. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，M 为BC 中点，N 为11A C 靠近1A 的三等分点，设AB a =，AC b = ，1AA c = ，则用a，b ，c 表示NM 为（ ）A. 1126a b c+- B. 1126a b c-++C. 1126a b c --D. 1126a b c--+【答案】A 【解析】【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】112111()3226NM NC C C CM b c a b a b c→→→→→→→→→→→=++=-+-=+-的故选：A3. 直线的一个方向向量为()1,3v =- ，且经过点()0,2，则直线的方程为（ ）A. 320x y -+=B. 320x y +-=C. 320x y ++=D. 320x y --=【答案】B 【解析】【分析】方法一：由直线的方向量求出直线斜率，然后利用点斜式可求出直线方程；方法二：由已知可得直线的一个法向量为()3,1n =，则设直线为30x y C ++=，再将()0,2代入求出C ，从而可得直线方程.【详解】方法一 ∵直线的一个方向向量为()1,3v =-，∴3k =-，∴直线的方程为32y x =-+，即320x y +-=．方法二 由题意知直线的一个法向量为()3,1n =，∴直线的方程可设为30x y C ++=，将点()0,2代入得2C =-，故所求直线的方程为320x y +-=．故选：B4. 已知直线l 的方向向量为(2,1,2)e =- ，平面α的法向量为(2,,),(,R)n b a a b a b =--+∈.若l α⊥，则3a b +的值为（ ）A. 1 B. 3C. 4D. 4-【答案】B 【解析】【分析】依题意可得//e n ，则n te =，即可得到方程组，解得a 、b 的值，即可得解.【详解】因为直线l 的方向向量为(2,1,2)e =- ，平面α的法向量为(2,,),(,R)n b a a b a b =--+∈且l α⊥，所以//e n ，则n te =，即()()2,,2,1,2b a a b t --+=-，所以222t b a t a b t-=⎧⎪-=⎨⎪+=-⎩，解得11232t b a ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以3133322a b +=+⨯=.故选：B5. “3m =”是“直线1:0l mx y m ++=与2,3(2)30l x m y m +--=平行”（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据直线平行的条件，判断“3m =”和“直线1:0l mx y m ++=与2,3(2)30l x m y m +--=平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当3m =时，直线1:330l x y ++=与2,390l x y +-=平行；当直线1:0l mx y m ++=与2,3(2)30l x m y m +--=平行时，有(2)30m m --=且3(2)0m m m ---≠，解得3m =，故“3m =”是“直线1:0l mx y m ++=与2,3(2)30l x m y m +--=平行”的充要条件，故选：C6. 正四面体P ABC -的棱长为2，点D 是AB 的中点，则PD BC ⋅的值为（ ）A. 1 B.23C. 23-D. 1-【答案】D 【解析】【分析】取{,,}PA PB PC为空间向量的一个基底，利用空间向量运算求解即得.【详解】棱长为2的正四面体P ABC -中，向量,,PA PB PC两两的夹角都为60o ，的由点D 是AB 的中点，得1()2PD PA PB =+ ，而BC PC PB =-，所以211()()()22A P PA PB PC PB P PC PBD B A C PC P PB PB =+⋅-=⋅+⋅-⋅-⋅ 21111(2222222)12222=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-=-.故选：D7. 已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则其一条边所在直线的斜率是（ ）A. 3- B. 2- C.13D. 2【答案】B 【解析】【分析】以正方体的一顶点为坐标原点建立坐标系，设正方形的一对角线的倾斜角为α，则tan 3α=，可得到正方形边的倾斜角，利用两角和差的正切公式，即可求解.【详解】以正方形ABCD 的顶点A 为坐标原点，建立如图坐标系，根据题意，对角线AC 的斜率为3，设其倾斜角为,tan 3αα=，则正方形,AB AD 的倾斜角分别为,44ππαα-+，又tan 11tan 1tan(),tan()241tan 241tan παπααααα-+-==+==-+-，所以两直角边斜率分别为12或2-.故选: B.8. 设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A 10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=> ，即0PA PC ⋅> ，根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =- ，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-，()11,01D A =- ，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，的.由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=> ，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<，当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC AD C ∠=∠显然是锐角，符合题意，所以103λ≤<，故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PCAPC PA PC⋅∠=> ，即0PA PC ⋅> ，还需利用11PA D A D P =- ，11PC D C D P =- 求出PA 、PC的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,3c =- ，则下列结论正确的是（ ）A. a 与b垂直 B. b 与c共线C. a 与c 所成角为锐角D. a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底【答案】BC 【解析】【分析】对A ：计算出a b ⋅ 即可得；对B ：由向量共线定理计算即可得；对C ：计算a c ⋅ 并判断a 与c是否共线即可得；对D ：借助空间向量基本定理即可得.【详解】对A ：132********a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+⨯+⨯-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r ，故a 与b 不垂直，故A 错误；对B ：由13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 、()1,2,3c =-，有12b c = ，故b 与c 共线，故B 正确；对C ：()21022380a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=> ，且a 与c不共线，故a 与c所成角为锐角，故C 正确；对D ：由b 与c 共线，故a ，b ，c不可作为空间向量的一组基底，故D 错误.故选：BC .10. 已知两直线1:2210l mx y m +-+=，2:20()l x my m m ---=∈R ，则下列说法正确的是（ ）A. 对任意实数m ，直线1l ，2l 的方向向量都不可能平行B. 存在实数m ，使直线1l 垂直于x 轴C. 存在实数m ，使直线1l ，2l 互相垂直D. 当0m =时，直线2l 的方向向量不存在【答案】AC 【解析】【分析】根据直线平行以及垂直满足的系数关系，即可结合方向向量的定义逐一求解.【详解】若两直线的方向向量平行，则221m -=，则m 无实数解，故两直线的方向向量不可能平行，故A 正确，由于1:2210l mx y m +-+=的斜率为2m -，所以直线1l 不可能垂直于x 轴，B 错误，当200m m m -=⇒=时，此时1:10l y +=，2:20l x -=，此时两直线垂直，C 正确，当0m =时，直线2:20l x -=，则其方向向量可以为()0,1，故D 错误，故选：AC11. 在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足BP =λBC +μBB 1，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A. 当1λ=时，1AB P △的周长为定值B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D. 当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，BP =BC +μBB 1=BC +μCC 1，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；对于B ，当1μ=时，BP =λBC +BB 1=BB 1+λB 1C 1，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12λ=时，BP =12BC +μBB 1，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP =BQ +μQH ，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1A ⎫⎪⎪⎭，()0,0,P μ，10,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，则A 1P =−32,0,μ−1，BP =0,−12,μ，A 1P ⋅BP =μ(μ−1)=0，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12μ=时，BP =λBC +12BB 1，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP =BM +λMN ，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0,0，所以AP =−32,y 0，A 1B =−32,12,−1，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量(2,1,1)a =- ，(1,1,)b x =- ，若a 与b 垂直，则2a b +＝_____.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出x ，再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.【详解】向量(2,1,1)a =- 与(1,1,)b x =-垂直，则有2(1)(1)10x ⨯-+-⨯+=，解得3x =，于是2(2,1,1)2(1,1,3)(0,1,7)a b +=-+-=，所以2a b +== .故答案为：13. 已知点()3,1A ，()4,1B --，直线l 是过点(2,3)P -且与线段AB 相交且斜率存在，则l 的斜率k 的取值范围是____________【答案】[)2,2,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】利用斜率计算公式可得PA k ，PB k ，根据直线l 过点()2,3P -且与线段AB 相交，数形结合即可求出直线l 的斜率k 的取值范围．【详解】因()2,3P -，()3,1A ，()4,1B --，所以()132325PA k -==---，()13242PB k --==---．直线l 过点(2,3)P -且与线段AB 相交，如下图所示：25l PA k k ∴≤=-或2l PB k k ≥=，∴直线l 的斜率k 的取值范围是：[)2,2,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦．故答案为：[)2,2,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦．为14. 在ABC V 中，已知()1,1A ，AC 边上的高线所在的直线方程为20x y -=，AB 边上的高线所在的直线方程为3230x y +-=.则BC 边所在的直线方程为_______.【答案】2590x y ++=【解析】【分析】由AC 边上和AB 边上的高线所在的直线方程，可得AC 边和AB 边所在直线的斜率，再由A 点坐标，可求AC 边和AB 边所在直线的方程，通过联立方程组，求出,B C 两点的坐标，可求BC 边所在的直线方程【详解】AC 边上的高线所在的直线方程为20x y -=，得2AC k =-，AB 边上的高线所在的直线方程为3230x y +-=，得23AB k =已知()1,1A ，则AC 边所在的直线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=，则AB 边所在的直线方程为)2113(y x -=-，即2310x y -+=.由2303230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得()3,3C -．由231020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，得()2,1B --．则BC 边所在的直线方程为()()331323y x ---=-----，即2590x y ++=.故答案为：2590x y ++=.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知空间中三点()()()3,1,1,2,0,1,4,1,3A B C ---，设,a AB b AC ==.（1）若3c = ，且BC c ∥，求向量c；（2）求以,a b为一组邻边的平行四边形的面积S .【答案】（1）()2,1,2c =- 或()2,1,2c =--（2）3【解析】【分析】（1）利用向量平行和向量模长的坐标表示列式求解即可；（2）利用向量数量积和向量模长的坐标表示求出夹角进而求面积即可.【小问1详解】由()()2,0,1,4,1,3B C --可得()2,1,2BC =-，若BC c∥，则()2,,2c tBC t t t ==- ，又3c =3=，解得1t =±，所以()2,1,2c =- 或()2,1,2c =--.【小问2详解】由()()()3,1,1,2,0,1,4,1,3A B C ---可得()1,1,0a AB ==-- ，()1,0,2b AC ==-，所以a ==，b ==，1001a b ⋅=-++=-，所以cos cos ,a b A a b a b ⋅====，所以sin A =，所以sin 3S a b A ===.16. 如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，//BC AD ，90BAD ∠=︒，2PB AB AD ===，1BC =，点E 是AP 的中点，F 是PB 上的点，13BF BP =.（1）求证：点F 在平面ECD 内；（2）求点P 到平面ECD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的共面定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离.【小问1详解】因为//BC AD ，90BAD ∠=︒，所以AB BC ⊥，又因为PB ⊥平面ABCD ，,AB BC ⊂平面ABCD ，所以,PB AB PB BC ⊥⊥，所以如图所示，以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则2(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(0,0,3A B C D P E F 所以2(1,1,1),(1,2,0),(1,0,3CE CD CF =-==- ，设,CF xCE yCD =+则10223x y x y x ⎧⎪-=-+⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以21,33CF CE CD =- 所以点F 在平面ECD 内.【小问2详解】设平面ECD 的一个法向量为(,,)m a b c =，由（1）知(1,1,1),(1,2,0),CE CD =-=因为00CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以200a b a b c +=⎧⎨-++=⎩，令2a =，则1,3b c =-=，所以(2,1,3)m =-，又因为(1,0,2)CP =-，所以点P 到平面ECD的距离CP m d m ⋅===.17. 已知直线l 过点(3,4)，O 为坐标原点．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 方程；（2）若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点且AOB V 面积为24．ⅰ）求直线l 方程；ⅱ）若点P 为线段AB 上一动点，且PQ OB ∥交OA 于点Q ．在y 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）430x y -=或70x y +-= （2）ⅰ）43240x y +-= ，ⅱ）120,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0)M ，240,7M ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）分类讨论截距是否为零，计算即可；（2）利用截距式结合面积公式计算可得第一小问，利用等腰直角三角形的特征分类讨论计算即可.【小问1详解】若直线过原点，易知其方程为：430x y -=；若直线不过原点，不妨设其方程为：1x ya a+=，代入点(3,4)得7a =，即70x y +-=；【小问2详解】i ）由截距式设直线AB 的方程为1(,0)x y a b a b +=>，所以3461848a ab b ab ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以168x y+=，即43240x y +-= ；ⅱ）若存在MPQ 为等腰直角三角形，不妨设(,0)Q t ，(0,6)t ∈，则4,83P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为MPQ 为等腰三角形，当M 为直角顶点时，设20,43M t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,43MP t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，2,43MQ t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以22225164160393MP MQ t t t t ⎛⎫⋅=--=+-= ⎪⎝⎭ ，即(12)(512)0t t +-=，所以125t =或12t =-（舍），所以221212443355t -=-⨯=，即点120,5M ⎛⎫⎪⎝⎭；当Q 为直角顶点时，点(0,0)M ，2424,77P ⎛⎫⎪⎝⎭，符合题意；当P 为直角顶点时，设40,83M t ⎛⎫-⎪⎝⎭，由||||MP QP =可得：483t t =-，所以247t =，240,7M ⎛⎫⎪⎝⎭；综上所以120,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0)M ，240,7M ⎛⎫⎪⎝⎭，符合题意．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，2AB AC PA ===，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：⊥EF 平面PAC ；（2）设PM PDλ=，若直线ME 与平面PBC 所成的角θλ的值．【答案】（1）证明见解析 （2）12【解析】【分析】（1）证明AB AC ⊥， EF AC ⊥，推出PA EF ⊥，然后证明⊥EF 平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量法求解即可.【小问1详解】在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，45ABC ∠=︒，所以45ACB ∠=︒，故AB AC ⊥，由E 、F 分别为BC AD 、的中点，得EF AB ∥，所以EF AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥，又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以⊥EF 平面PAC ．【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，分别以,,AB AC AP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.A xyz -则A (0,0,0)，()()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,2,0,1,1,0BC PDE -．所以()()()2,0,2,2,2,0,2,2,2PB BC PD =-=-=-- ，由已知[]()0,1PM PD λλ=∈ ，即()2,2,2PM λλλ=-- ，所以()()2,2,22,12,12,22,M ME λλλλλλ--=+-- 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，得()1,1,1n = ，所以sin cos ,ME nME n ME nθ⋅==== ，化简得24430λλ+-=，故12λ=或32λ=-（舍）.所以12λ=.19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球O 的半径为R ，,,A B C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过,B C 的圆，同理，圆3O ，2O 的劣弧,AC AB 的弧长分别记为,b c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角C OA B --，--A OB C ，B OC A --分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面.（1）若平面OAB ，平面OAC ，平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若将图一中四面体OABC 截出得到图二，若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AOC θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=.①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，连接,BD CD ，若直线,DA DC 与平面ABC 所成的角分别为π4，π3，BE BD λ= ，(]0,1λ∈，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值.【答案】（1）2π2R （2【解析】【分析】（1）根据平面OAB ，平面OAC ，平面OBC 两两垂直，得π2αβγ===，即可求解；（2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明；②建立空间直角坐标系，分别求出平面EST 和平面OBC 的法向量，利用向量夹角公式即可求解.【小问1详解】解：因为平面OAB ，平面OAC ，平面OBC 两两垂直，所以π2αβγ===，所以球面三角形ABC 的面积()22ππ2ABC S R R αβγ=++-=球面；【小问2详解】解：①证明：由余弦定理可得：2222122222222232cos 2cos 2cos AC R R R BC R R R AB R R R θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=,所以222212342(cos cos )22cos R R R R θθθ-+=-，即22212322(cos cos )2cos R R R θθθ-+=-，消去22R ，则有：1231(cos cos )cos θθθ-+=-即123cos cos cos 1θθθ+-=；②由题意可知AD 是球的直径，则有,AB BD AC CD ⊥⊥,又,AC BC BC CD C ^Ç=，所以AC ⊥平面BCD ，又因为BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥,又因为AC AB A ⋂=，所以BD ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BD BC ⊥，又因为直线,DA DC 与平面ABC 所成的角分别为π4，π3，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨令R =，则AD =2AB BD BC AC ====，又因为AC BC ⊥,AC BD ⊥,BC BD ⊥,以C 为坐标原点，以,CB CA 所在直线为,x y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系：设,BE t t =∈，则(0,2,0),(0,0,0),A C B D可得(0,1,0),),S T E t O ，则CB CO ==，1,0),)ST TE t =-= ，设平面OBC 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则00m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取2z =-，则0y x ==，所以2)m =- ；设平面EST 的一个法向量为(,,)n a b c =，则00n ST a b n TE tc ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取a =，则,1b t c ==-，所以,,1)n t =- ，要使sin θ取最小值，则|cos |θ取最大值，因为cos cos ,m n m n m n θ⋅===⋅===令1,(1,13]m m =+∈，则22(1)8m t t -==，228882,9(1)2962218m m m m m m m ===≤=--+-+-+当且仅当3,m t ==时等号成立，则|cos |θ所以sin θ==.【点睛】方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些.。

2024年鲁教新版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、设集合A={x|2＜x＜5}，B={x|x＜b}，若A⊆B，则b的取值范围是（）A. b≤2B. b≤5C. b≥2D. b≥52、若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A. 至多等于3B. 至多等于4C. 等于5D. 大于53、已知集合M={x|1+x＞0}，N={x|y=lg（1-x）}，则M∩N=（）A. {x|-1≤x＜1}B. {x|x＞1}C. {x|-1＜x＜1}D. {x|x≥-1}4、已知sin（45°+α）=则sin 2α等于（）A. -B. -C.D.5、命题p：∀x＜0，2x＞x，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则下列命题正确的是（）A. （￢p）∨q为真B. p∨q为真C. p∧（￢q）为假D. （￢p）∧（￢q）为真6、下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项；那么可以写出这个数列的任何一项；②数列的通项公式是a n=③数列的图象是一群孤立的点；④数列1；-1，1，-1，与数列-1，1，-1，1，是同一数列．其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)7、等差数列{a n}，公差d=2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n等于____．8、复数+i2014对应的点位于复平面的第____象限．9、复平面内的点A，B，C对应的复数分别为i，1，4+2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则||=____．10、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆心为（）且过极点的圆的极坐标方程是____．11、在极坐标系中，O为极点，已知两点M，N的极坐标分别为则△OMN的面积为____．12、设函数f（lgx）的定义域为[0.1，100]，则函数f（）的定义域为____．13、【题文】已知动点P在曲线上移动，则点A（0，– 1）与点P连线中点的轨迹方程是_____________14、【题文】已知函数且）若实数使得函数在定义域上有零点，则的最小值为__________．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)15、画出下列不等式所表示的平面区域．（1）y≥|x|+1；（2）|x|＞|y|；（3）x≥|y|．16、如图根据下列三视图，想象物体原形，并画出物体的实物草图．17、x0是x的方程a x=log a x（a＞0，且a≠1）的解，则x0，1，a这三个数的大小关系是____．18、设函数f（x）=2sinxcosx-sin2x+cos2x．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若g（x）=f（x）-m在x∈[0，]上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．19、作出下列函数图象．（1）y=x2-2x+3；x∈（-1，3]；（2）．20、平面内两定点的距离为6，一动点M到两定点的距离之和等于10，建立适当的直角坐标系，写出动点M满足的轨迹方程，并画出草图．21、按下列叙述画出图形（不必写作法）：直线a，b相交于点M，点N不在直线a，b上，点N分别与直线a，b确定平面α，β．评卷人得分四、解答题(共2题，共14分)22、如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，求BF的长．23、【题文】设且满足：求证：评卷人得分五、计算题(共1题，共9分)24、函数y=log a（2x-3）+2的图象恒过定点P，点P在指数函数f（x）的图象上，则f（-1）=____．评卷人得分六、综合题(共2题，共10分)25、直线y=kx+1（k∈R）与曲线恒有公共点．则非负实数m的取值范围____．26、（备用）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t2）＜0，求实数t的集合A．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】【分析】由集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，A⊆B，即可得出2≤a．【解析】【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜5}，B={x|x＜b}；若A⊆B，则5≤b．∴b的取值范围是b≥5．故选：D2、B【分析】【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解析】【解答】解：考虑平面上；3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等；由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4；也不成立；在空间中；4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4；由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体；第五个点；与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心；且球的半径等于边长；即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n＞5；不成立．故选：B．3、C【分析】【分析】由题设条件先求集合A和B，再由交集的运算法则计算A∩B．【解析】【解答】解：∵集合M={x|1+x＞0}={x|x＞-1}；N={x|y=lg（1-x）}={x|x＜1}；∴M∩N={x|-1＜x＜1}．故选C．4、B【分析】∵sin（α+45°）=sinαcos45°+cosαsin45°=（sinα+cosα）=∴sinα+cosα=两边平方得：1+sin2α=∴sin2α=-．故选B【解析】【答案】先根据两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后；得到sinα+cosα的值，然后两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出sin2α的值．5、B【分析】解：命题p：∀x＜0，2x＞0＞x；恒成立；故命题p是真命题；命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0；不成立；故命题q是假命题；故p∨q为真；故选：B．分别判断出p；q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．本题考查了指数函数的性质，考查二次函数的性质以及复合命题的判断，是一道基础题．【解析】【答案】 B6、A【分析】解：①错误，a n+2=a n+a n+1，a1=1，就无法写出a2；②错误，a n=③正确；④两数列是不同的有序数列；故不正确．故选：A．递推公式是描述某一项与前一项或前几项关系的，由此易判断①的真假；由数列的前几项为我们易归纳推理出数列的通项公式，进而判断②的对错；根据数列是定义域为正整数的函数，我们可以判断③的正误；根据数列的定义，可判断④的真假．本题考查的知识点是数列的概念及表示方法，根据数列的基本概念逐一分析四个结论即可得到答案，故解答本题的关键是熟练掌握数列的基本概念．【解析】【答案】 A二、填空题(共8题，共16分)7、略【分析】【分析】直接利用等差数列以及等比数列求出等差数列的首项然后求解数列的S n．【解析】【解答】解：等差数列{a n}，公差d=2，若a2，a4，a8成等比数列；所以（a4）2=a2•a8，可得（a1+6）2=（a1+2）（a1+14），解得a1=2．则{a n}的前n项和S n=2n+ =n2+n．故答案为：n2+n．8、略【分析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解析】【解答】解：∵i4=1，∴i2014=（i4）503•i2=-1．∴复数+i2014= -1= -1=-1+i对应的点（-1；1）位于复平面的第二象限．故答案为：二．9、略【分析】【分析】依题意，可求得= + =2+3i，从而可得答案．【解答】解：依题意知，= + =（i-1）+（4+2i-1）=2+3i；∴| |= = ．故答案为：．10、ρ=-2 cosθ【分析】【分析】先在直角坐标系下求出圆心在（，π）且过极点的圆的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式化成极坐标方程即可．【解析】【解答】解：∵在极坐标系中，圆心在（；π）且过极点的圆的直角坐标方程是：（x+ ）2+y2=2，即x2+y2+2 x=0；它的极坐标方程为：ρ=-2 cosθ．故答案为：ρ=-2 cosθ．11、略【分析】因为M，N的极坐标分别为所以|OM|=4，|0N|=所以三角形为直角三角形，所以△OMN的面积为．故答案为：2．【解析】【答案】由题意知|OM|=4，|0N|= 然后利用面积公式求面积．【分析】因为函数f（lgx）的定义域为[0.1；100]，由0.1≤x≤100，得：-1≤lgx≤2，所以函数f（x）的定义域为[-1，2]；再由得：-2≤x≤4；所以函数f（）的定义域为[-2；4]．故答案为[-2；4]．【解析】【答案】先由函数f（lgx）的定义域求出函数f（x）的定义域，然后求得函数f（）的定义域．13、略【分析】【解析】设点设点A（0，– 1）与点P连线中点为由终点坐标公式得：代入（*）得。

2024-2025学年山东省济南市历城二中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知倾斜角为θ的直线l 与直线3x +y−4=0垂直，则cos 2θ=( )A. 110B. 19C. 910D. 132.a =(3,m,2),b =(n−12,2,1)，若a //b ，则m +2n =( )A. 6B. 7C. 8D. 93.已知点A(−1,2)，B(3,1)，直线l 过点P(0,−1)且与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围( )A. [−3,0)∪(0,23] B. (−∞,23]∪[−3,+∞)C. [−3,23]D. (−∞,−3]∪[23,+∞)4.在空间四边形ABCD 中，AM =13AD 、CN =13CB ，设AB =a ,AC =b ,AD =c ，若向量MN =xa +yb +zc ，则x +y +z =( )A. 13B. 0C. 23D. 435.点P 是圆C ：(x−3)2+(y−3)2=2上一动点，过点P 向圆O ：x 2+y 2=1作两条切线，设两切线所成的最大角为α，则cosα=( )A.4 29B.2 29C. 34D.786.在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，若△ABC 是等边三角形，E 为A 1B 1的中点，且AB =AA 1，∠BAA 1=∠CAA 1=60°，则异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值为( )A.134B.34C. 23D.367.已知点M ，N 在圆O ：x 2+y 2=4上，点P 在以A(6,0)为圆心，2为半径的圆上，则使得△PMN 是面积为33的等边三角形的点P 的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 48.∀x ，y ∈R ，函数f(x,y)=(x−1)2+(y−4)2+15|3x +4y−5|的最小值为( )A. 2B. 125C. 145D. 165二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024-2025学年山东省实验中学高二上学期10月测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点A(1,−1,2)关于z 轴的对称点为B ，则|AB |等于( )A. 22B. 26C. 2D. 322.如图，在斜三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，M 为BC 的中点，N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，设AB =a ，AC =b ，AA 1=c ，则用a ，b ，c 表示NM 为( )A. 12a +16b−c B. −12a +16b +c C. 12a−16b−cD. −12a−16b +c3.直线的一个方向向量为v =(1,−3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为( )A. 3x−y +2=0B. 3x +y−2=0C. 3x +y +2=0D. 3x−y−2=04.已知直线l 的方向向量为e =(2,1,−2)，平面α的法向量为n =(−2,b−a,a +b),(a,b ∈R).若l ⊥α，则a +3b 的值为( )A. 1B. 3C. 4D. −45.“m =3”是“直线l 1:mx +y +m =0与l 2,3x +(m−2)y−3m =0平行”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.正四面体P−ABC 的棱长为2，点D 是AB 的中点，则PD ⋅BC 的值为( )A. 1B. 23C. −23D. −17.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则其一条边所在直线的斜率是( )A. −3B. −2C. 13D. 28.设动点P 在棱长为1的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，且D 1PD 1B =λ，当∠APC 为锐角时，λ的取值范围是( )A. [0,13)B. [0,12)C. (13,1)D. (12,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。