2.4.1 等比数列的概念与通项公式
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列_________，这个常数叫做等比数列的公比______，
公比通常用字母q 表示(q ≠0)．即：a n
a n －1
＝q (n ≥2，q ≠0，n ∈N *)．
破疑点：(1)等比数列的定义可简述为a n ＋1
a n
＝q (q 为常数，q ≠0)．
①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q 也不能为0.
②a n ＋1
a n 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还应注意
公比是从第2项起每一项与其前一项之比，不能前后颠倒次序．
(2)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第n (n >3，n ∈N *)项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，但是可以说此数列从第2项起或第(n －1)项起是一个等比数列．
(3)常数列都是等差数列，却不一定都是等比数列．例如，各项都为0的常数列，它就不是等比数列；各项都不为0的常数列就是等比数列．
练习：观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列1,2,6,18,54，…；
(2)数列{a n }中，已知a 2a 1
＝2，a 3
a 2
＝2；
(3)常数列a ，a ，…，a ，…； (4)数列{a n }中，a n ＋1
a n
＝q ，其中n ∈N *.
[解析] (1)不符合等比数列的定义，故不是等比数列．
(2)不一定是等比数列，当数列只有三项时，它是等比数列；当数列多于3项时，a 4
a 3
不一定也等于2，故它不一定是等比数列．
(3)不一定是等比数列．当a ＝0时，a
a 无意义，它不是等比数列；当a ≠0时，
a
a ＝1，数列是等比数列．
(4)是等比数列．等比数列的定义用符号表示就是a n ＋1
a n ＝q (n ∈N *)．
2．等比中项
(1)定义：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项_________．
(2)公式：若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝b
G _________，所以G 2＝ab ______，G ＝±ab _______.
破疑点：(1)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
(2)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．所以“a ，G ，b 成等比数列”与“G ＝ab ”是不等价的．
(3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab (a ，b 均不为0)”，可以用它来判断或证明三数成等比数列．
练习：方程x 2－5x ＋4＝0的两根的等比中项是( ) A.5
2 B ．±2 C ．±5 D ．2 [答案] B
[解析] 设方程的两根为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1x 2＝4， ∴两根的等比中项为±x 1x 2＝±2. 3．等比数列的通项公式
首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式是a n ＝a 1q n －1______.
破疑点：(1)在已知a 1和q 的前提下，利用通项公式a n ＝a 1·q n －1可求出等比数列中的任意一项．
(2)在等比数列中，已知a 1、n 、q 、a n 四个量中的三个，可以求得另一量，即“知三求一”．
(3)等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1，还可以改写为a n ＝a 1
q q n ，当q >0，且q ≠1时，y ＝q x
是一个指数函数，而y ＝a 1q ·q n
是一个不为0的常数与指数函数的
积．因此等比数列{a n }的图象是函数a n ＝a 1q ·q n
的图象上一群孤立的点．
练习：已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________.
[答案] －2n 或(－2)n
[解析] 设公比为q ，则a 3＝a 1q 2，∴q 2＝－8
－2＝4，∴q ＝±2.
∴a n ＝(－2)×2n －1＝－2n 或a n ＝(－2)×(－2)n －1＝(－2)n .
考点一：等比数列通项公式
例1、已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .
[解析] 解法一：由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2，代入已知得，
⎩⎨⎧ a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7a 1·a 1q ·a 1q 2
＝8，即⎩⎨⎧
a 1(1＋q ＋q 2
)＝7a 31q 3＝8， ∴⎩⎨⎧
a 1(1＋q ＋q 2
)＝7 ①a 1
q ＝2 ②
由②得a 1＝2
q ，代入①得2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2，或q ＝1
2.
当q ＝2时，a 1＝1，a n ＝2n －1； 当q ＝1
2是，a 1＝4，a n ＝23－n . 解法二：∵a 1a 3＝a 22， ∴a 1a 2a 3＝a 32＝8， ∴a 2＝2.
从而⎩⎨⎧
a 1＋a 3＝5a 1a 3＝4
，
解之得a 1＝1，a 3＝4，或a 1＝4，a 3＝1，当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.
故a n ＝2n －1，或a n ＝23－n .
