四川省雅安中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

木里中学2017～2018学年度(下)高中2017级期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个正确答案）1.1.数列{a n}的通项公式为，则{a n}的第5项是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】：令代入通项公式即可【详解】：令代入通项公式，，故选B【点睛】：已知数列的通项公式求项，直接代入求解。

2.2.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于A. 1B. 0C. －1D. 2【答案】A【解析】【分析】：由向量坐标的加法和乘法公式直接求解【详解】：，故选A【点睛】：已知向量坐标，求内积，利用内积的坐标公式求解。

3.3.在中，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不确定【答案】C【解析】分析：利用正弦定理，化角为边，再由大边对大角可得结果.详解：在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得：a＞b，可得A＞B．故选：C．点睛：本题考查了正弦定理的简单应用，属于基础题.4.4.在等差数列中，已知，，则（）A. 38B. 39C. 41D. 42【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式布列关于基本量的方程，从而得到所求的结果.详解：由，可得：，解得：,∴.故选：D点睛：本题重点考查了等差数列通项公式的运用，以及简单的代数运算能力，属于基础题.5.5.下列命题中正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由于本题是考查不等式的性质比较大小，所以一般要逐一研究找到正确答案.详解：对于选项A，由于不等式没有减法法则，所以选项A是错误的.对于选项B，如果c是一个负数，则不等式要改变方向，所以选项B是错误的.对于选项C,如果c是一个负数，不等式则要改变方向，所以选项C是错误的.对于选项D，由于此处的，所以不等式两边同时除以，不等式的方向不改变，所以选项D是正确的.故选D.点睛：本题主要考查不等式的基本性质，不等式的性质主要有可加性、可乘性、传递性、可乘方性等，大家要理解掌握并灵活运用.6.6.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第n个图形的边长为a n，则数列{a n}的通项公式为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】：每一条边分裂成三段，每三边一组，故边数按照公比为3递增，边长按照递减。

雅安市 2017—2018学年下期期末检测高中一年级数学试题（本试卷满分150分。

答题时间120分钟。

） 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题用2B 铅笔把答题卡上对应题目的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答案无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等比数列{}n a 中，141,8a a =-=，该数列的公比为A.2B.-2C. 2±D.32.已知向量(,3),(2,6)a x b r r ==-,若a b r rP ，则实数x =A.-1B. 1±C.1D.23.若实数a 满足20a a +<,则2,,a a a -的大小关系是：A. 2a a a -<<B. 2a a a <-<C. 2a a a <-< D.2a a a <<-4.若不等式220x x a -+≤ 对[]0,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是：A. 30a -<<B. 3a ≤-C. 3a <D. 0a ≤ 5.在平行四边形ABCD 的边AD 上一点E 满足14AE AD =，且AC BD F ⋂=，若,AB a AD b u u u r r u u u r r == 则EF uu u r= ，A. 1124a b r r +B. 1124a b r r -C. 1124a b r r-+ D.1144a b r r + 6.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化？A. “屏占比”不变B. “屏占比”变小C. “屏占比”变大D. 变化不确定 7.用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是：8. 已知数列{}n a中，*110,)n a a n N +==∈，则2018a =A.9.如图，测量员在水平线上点B 处测量得一塔AD 塔顶仰角为030，当他前进10m 没到达点C 处测塔顶仰角为045,则塔高为：A. 15mB.C. (5m +D. 5)m 10.如图是一个几何体的三视图，图中每个小正方形边长均为12，则该几何体的表面积是：A. 36+C. 81011.在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB u u r u u r u u u r u u u r++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积比是： A. 13 B. 12 C. 23 D. 3412.在平面四边形ABCD 中，075,2A B C BC ∠=∠=∠==,则AB 的取值范围是：A.B.C. )+∞D. (0,)+∞ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。

雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题（理科）（本试卷满分150分，答题时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合},1{2a A =，}4,2{=B ，则“2=a ”是“A B ⋂=}4{”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 复数=-+ii11 A ．i -B ．iC ．1D ．1-3. 已知向量），（01,1=a ，)2,0,1(-=b ，且k ＋与-2互相垂直，则k 值是 A ．1B ．51C ．53 D ．57 4.在等比数列{}n a 中， 37,a a 是函数()3214913f x x x x =++-的极值点，则5a = A ．3± B ． -3C ．3D ．45.正方体1111ABCD A B C D 中,1DA 与平面11C CA 所成角的正弦值为A ．12B 2 3D 36.若函数x kx x f ln )(-=在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是 A ．]2,(--∞B ．)1,(--∞C ．),1(+∞D ．[)1,+∞7.若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值,则a =A ．1B ．2C ．3D ．-38. 棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AA 1中点，则点B 1到平面BCE 的距离是9.已知函数)()(23R x c x ax x x f ∈+-+=，下列结论错误的是 A.函数)(x f 一定存在极大值和极小值B.若函数)(x f 在),(),,(21+∞-∞x x 上是增函数，则33212≥-x xC.函数)(x f 的值域是RD.函数)(x f 一定存在三个零点 10. 如图， AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在平面， C 是圆周上不同于,A B 两点的一点，且2AB =， 3PA BC ==，则二面角A BC P --的大小为11. 直线l 的方程为Ax ＋By ＝0，若从1,2,3,6,7,8这六个数字中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则表示不同直线l 的条数是 12. 定义在R 上的函数()f x 与其导函数()f x '满足()()1xf x f x e ->'+，则下列不等式一定成立的是A ． 552 B ．45 C ．22 D ． 1A ．30︒ C ．60︒B ．45︒ D ．90︒A ．36条B ．30条C ．26条D ．15条A ．()()01f e ef +< B.()()01f e ef +> C ．()()01f e f +< D ．()()01f e f +>二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.长方体1111ABCD A B C D -中， 12AA AB ==， 1AD =，点E 、F 、 G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角为 .14.用红、黄、蓝三种不同的颜色涂33⨯方格，使得每行没有相同颜色且每列也没有相同颜色的涂法种数是_______（用数字作答）. 15.函数xex x f 1ln )(+=的单调递增区间是_________. 16.若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(10分)若复数z 满足)2(z i z -=， （1）求复数z ;（2）求|2|i z +-18．(12分) 已知函数3()f x ax bx c =++的图像关于原点对称,且过点(1,1),(2,26). (1)求()f x 的解析式; (2)函数()f x 的单调区间;(3)求函数()f x 在]1,1[-上的最小值.19．(12分) 已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.20．(12分).在四棱锥ABCD P -中，ABP ∆是等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，BC AD AD AB //,⊥，E 是线段AB 的中点，⊥PE 底面ABCD ，已知22===BC AB DA .（1）求AP 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）试在平面PCD 上找一点M ，使得⊥EM 平面PCD .21．(12分)已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行． （1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()22f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.22．（12分）设函数()1e x f x -=-． （1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题参考答案（理科）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDBADCADCCA二、填空题13、90； 14、12； 15、),1(+∞； 16、)23,1[. 三、解答题17、（1）i +1； （2）5. 18、（1）x x x f 34)(3-=；（2）在),21(),21,(+∞--∞上递增，在)21,21(-上递减； （3）最小值1)21()1()(-==-=f f x f . 19、（1）∵22AD AB ==，E 是AD 的中点，∴BAE ∆，CDE ∆是等腰直角三角形， ∴90BEC ∠=，即BE EC ⊥， 又∵平面D EC '⊥平面BEC ，平面D EC '平面BEC EC =，∴BE ⊥平面D EC '，∴BE CD '⊥；（2）如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，22(0,,)22D '， 易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n =； 设平面D BC '的一个法向量为2222(,,)n x y z =， 由(2,2,0)BC =-，22(0,,)22D C '=-，求得2(1,1,1)n =，∴1212123cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==，∴二面角D BC E '--的余弦值为33. 20、（1）因为⊥PE 底面ABCD ，过E 作BC ES //，则AB ES ⊥，以EB 、EP ES 、分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(E ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(-D ，)3,0,0(P ，),3,1,1(),0,1,2(-=-=∴PC CD求得平面PCD 的法向量为)3,2,1(=m ，而)3,0,1(=∴AP ，22|48301||,cos |=⋅++=><∴m AP ∴AP 与平面PCD 所成角的正弦值为22（2）设M （x ，y ，z ），由⊥EM 平面PCD 知m EM //，)3,2,(λλλλ==∴m EM ，)3,2,(λλλM ∴,)3,12,1(λλλ--=∴CM ,又),3,1,1(),0,1,2(--=-=CP CD CM CP CD 、、共面， ∴存在唯一实数b a 、使得CP b CD a CM +=，而)3,,2(b b a b a CP b CD a ---=+，⎪⎩⎪⎨⎧=-=---=-∴bb a ba 331221λλλ，解得83=λ，)833,86,83(M ∴符合题意.21、（1）()1'f x a x=- ∵函数在2x =处的切线与直线230x y +-=平行 ∴1122k a =-=-，解得： 1a =；（2）由（1）得()lnf x x x=-，∴()22f x m x x+=-，即23ln0x x x m-++=设()23ln(0)h x x x x m x=-++>，则()()()22111231'23x xx xh x xx x x---+=-+==列表得：∴当时，()h x的极小值为()12h m=-，又()15ln2,22ln224h m h m⎛⎫=--=-+⎪⎝⎭∵方程()22f x m x x+=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≥)2()1()21(hhh,解得：5ln224m+≤<；22、（1）证明：注意到1x>-时，10x+>，于是有()1xf xx≥+，即11e1e e e1111x x x xx xxx x x----≥⇔-≥⇔≥⇔≥++++. 令()()e1xg x x=-+，()1x∈-+∞，．()e1xg x'=-，令()0g x'=，得0x=．当x变化时，()()g x g x'，的变化情况如下表：x()1 0-，0()0+∞，()g x'-0+()g x可见()g x 在(]10-，上单调递减，在[)0 +∞，上单调递增，所以当1x >-时， ()()0min 0e 100g g ==-+=，故当1x >-时，()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，从而()1xf x x ≥+，且当且仅当0x =时等号成立． （2）解：由0x ≥时，011x xe ax -≥-≤+恒成立，故0a ≥. 设()+e 11x xh x ax -=-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()()2211ee11xxax axh x ax ax --+-'=-=-++()()22e e 11xx ax ax -⎡⎤=-+⎣⎦+． 设()()2e 1x k x ax =-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()2e 21e 22x x k x a ax a x a '=-+=--.()012k a '=- 当120a -≥，即102a ≤≤时，()22x k x e a ''=-，0x ≥时，1x e ≥，2122a ≤，故()0k x ''≥.所以()k x '单调递增，()()00k x k ''≥=，故()k x 单调递增，()()00k x k ≥=恒成立，符合题意.当120a -<，即12a >时，存在0δ>，()0,x δ∈时，()0k x '<，()k x 单调递减， ()()00k x k <=，与()0k x ≥恒成立矛盾.综合上述得实数a 的取值范围是10 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。

四川省雅安中学高一数学下学期期中试题文雅安中学2017— 2018学年下期高一年级数学（文科）半期考试试题第I 卷（选择题）的解集为（1 A. - B 41.已知等差数列 a n 的通项公式a n 3 2n ，则它的公差为( )A 2B、 3 C 、 4D、 22. 已知a b , c d ，且cd 0 ,则 ()A.a cb d B. ac bd C. a c b d D. ad bc请将正确答案转涂到答题卡相应的位置）（1, 1）,则下列结论正确的是（ ) （）本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时选择题（本大题共12小题，每5分，共60分，每题只有一个选项符合题意,3.已知向量a (2,0), bA . a b=2B .a//bC.(a+b)D.A.A B.AC*1,D.5.已知 a >0, b >0, 且2是2a 与b 的等差中项，则ab 的最大值为9依次成等比数列，那么6.如果1, a, b,=3, ac = —9c.A. b = 3, ac= 9B. bC. b = —3, ac =—9D. b =—3, ac = 97.如图, OAB 中,P为线段AB上的一点, OP xOA yOB，且BP 2PA,则()H1x 3,y=2. 3 ac ,则cosA sinC 的取值范围为（第n 卷（非选择题）C.3, 32D.&如图，无人机在离地面高 200m 的A 处，观测到山顶 M 处的仰角为15、山脚C 处的俯角为45 ,已知（）A. 300 mB. 300、、3 mC.MCN 60，则山的高度MN 为200、3 m D. 275 m9•《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？ ”其意思:“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等 差分配）.”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二” ，则簪裹得（A. —鹿、三分鹿之一B. 一鹿C.三分鹿之•三分鹿之一10.右向量 m = (a — 1, 2), n = (4 , b)，且 m 丄 n , a >0, b > 0,则 log 1a log 1b 有(331A.最大值log 1B.321最小值log 32 C.最大值—log 1 - ?2D.最小值011.设等差数列 a n 满足2 2 2 2sin a 4cos a sin a y cos 比* ,, 1,公差d (sin(a 5觅1,0）,当且仅当n 时，数列a n 的前n 项和S n 取得最大值，则该数列首项a 的取值范围是A —)B.—(6 ' 3 ) 6 3C (43D .12.在锐角三角形ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,二•填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量 a = （1 , - 1）, b = （2 , x ），若 a • b = -1，则 x = . ______14 •等差数列 a n 的前n 项和Sn ,若a 2 1,a 3 3,则s 4 ______________ . ______15•在 ABC 中，三个角A,B,C 所对的边分别为a,b,c •若角A,B,C 成等差数列，且边a,b,c 成等比数列，则 ABC 的形状为——16 •在矩形ABCD 中，AB 2 , AD 1•边DC 上（包含D 、C ）上的动点P 与CB 延长三•解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分10分） 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A , B 两种原料，已知生产 1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1吨甲、乙产品可获利润分别为 3万元、4万元，求该企业每天可获得的最大利润。

雅安中学2017—2018学年高一年级上期半期考试数 学 试 题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题：60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

） 1. 已知集合{}{}23,lg(1)A x N x B x y x =∈-<<==-，则A B =( ).A. (1,3)B.(2,3)-C.{}2D.{}1,2 2. 函数23()5(1)x f x a a o a -=->≠且恒过点（ ）. A. 3,42⎛⎫-⎪⎝⎭ B.3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()0,1D.()0,5- 3. 设log 3a π=，31log 5b =，0.42c =，则（ ） A. a b c >> B.a c b >> C.c b a >> D.c a b >> 4. 函数32()log (1)10f x x x =+--零点存在的区间为（ ）. A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D.(3,4) 5. 函数23()log (26)f x x x =--+的单调递减区间是（ ） A. 1(,)4-∞- B.13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.12,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6. 函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ ）A [)+∞,1B ⎥⎦⎤⎝⎛1,32 C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32 D ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,327. 如果方程()()03lg 2lg lg 3lg 2lg lg 2=+++x x 的两根为21,x x ，那么21x x 的值为（ ）A 、3lg 2lgB 、3lg 2lg +C 、61D 、-68．函数2log xy x x=的大致图象是（ ）9.已知函数223()(1)m m f x m m x +-=--是幂函数，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-.若,a b R ∈，且0,0a b ab +><，则()()f a f b +的值（ ）.A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断 10．若关于x 的方程222214210x xxx a -+-++-+=有实根，则实数a 的取值范围是( )A.B .(0,1] C. [1,2] D.11. 设()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：0c =时，()y f x =是奇函数；0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实根；()y f x =图像关于(0,)c 对称；④方程()0f x =至多两个实根.其中正确的命题是（ ）.A.B.C. D.④12. 已知函数23()(0)2xf x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）. A.(,e -∞B.(-∞C.(e -D.(e第Ⅱ卷（非选择题：90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018学年四川省雅安市天全中学高一（下）月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．给出下面四个命题：①；②；③；④．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．向量=（1，﹣2），=（2，1），则（）A．∥B．⊥C．与的夹角是60°D．与的夹角是30°3．若=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．2B．2 C．D．104．函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x﹣）5．向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围为（）A．λ＜1 B．λ≤1 C．λ≥1 D．λ＞16．当||=||，且与不共线时， +与﹣的关系为（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．相等7．若平面向量与向量=（1，﹣2）的夹角是180°，且，则=（）A．（﹣3，6）B．（3，﹣6）C．（6，﹣3）D．（﹣6，3）8．在△ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于（）A．B．C．D．9．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a等于（）A．B．12C．或2D．210．设单位向量，的夹角为60°，则向量3+4与向量的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．11．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）A．79 B．69 C．5 D．﹣512．已知△ABC的三边长a=3，b=5，c=6，则△ABC的面积为（）A． B．C． D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若与共线，则y=______．14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=______．15．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积，则角C=______．16．如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是______．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．18．已知在△ABC中，A（2，﹣1），B（3，2），C（﹣3，﹣1），AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．19．已知向量=（1，1），向量与向量的夹角为，且=﹣1．（1）求向量；（2）设向量=（1，0），向量，其中x∈R，若，试求||的取值范围．20．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．21．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．22．已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．给出下面四个命题：①；②；③；④．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【分析】对于①，是一对相反向量，故它们的和为零向量，从而给出判断；对于②，由向量加法的三角形则可判断；对于③，由向量减法的三角形法则可判断对于④，数零与向量的积是一个向量，【解答】解：对于①，是一对相反向量，故它们的和为零向量，正确；对于②，由向量加法的三角形法则可知，正确；对于③，由向量减法的三角形法则可知，，故③不正确；对于④，数零与向量的积是一个向量，，故不正确；故选B2．向量=（1，﹣2），=（2，1），则（）A．∥B．⊥C．与的夹角是60°D．与的夹角是30°【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】根据已知条件，利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的条件，得出结论．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（2，1），∴=1×2+（﹣2）×1=0，∴，故选B．3．若=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．2B．2 C．D．10【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】求出向量a，b的数量积和向量b的模，再由向量在向量方向上的投影为，代入数据计算即可得到．【解答】解：=（2，1），=（3，4），则=2×3+1×4=10，||==5，则向量在向量方向上的投影为==2．故选B．4．函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数y=Asin（ωx+ϕ）在一个周期内的图象经过（﹣，2）和（﹣，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin（ωx+ϕ）的解析式．【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选A5．向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围为（）A．λ＜1 B．λ≤1 C．λ≥1 D．λ＞1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可知：cosθ＞0，即•＞0，且与不共线，根据向量数量积的运算即可求得λ的取值范围．【解答】解：，且与的夹角θ为锐角，则有cosθ＞0，即•＞0，且与不共线，∴λ﹣1＞0，且﹣λ≠1，即λ＞1，且λ≠﹣1，故λ＞1，故答案选：D．6．当||=||，且与不共线时， +与﹣的关系为（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．相等【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两个向量与不共线，可知与均为非零向量，然后求+与﹣的数量积得答案．【解答】解：∵向量与不共线，∴与均为非零向量，（+）•（﹣）=，又||=||，∴（+）•（﹣）==0，即．故选：B．7．若平面向量与向量=（1，﹣2）的夹角是180°，且，则=（）A．（﹣3，6）B．（3，﹣6）C．（6，﹣3）D．（﹣6，3）【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】由向量与向量=（1，﹣2）的夹角是180°，得向量与向量反向，我们可令=λ（其中λ＜0），又由，我们可以构造一个关于λ的方程，解方程求出λ，代入即可得到向量的坐标．【解答】解∵向量与向量=（1，﹣2）的夹角是180°，∴向量与向量反向，令=λ=（λ，﹣2λ）（则λ＜0），又∵，∴=3解得λ=﹣3故=（﹣3，6）故选A8．在△ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】先求A，再利用正弦定理可求．【解答】解：由题意，A=75°根据正弦定理得：，即，故选B9．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a等于（）A．B．12C．或2D．2【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：∵b=，c=3，B=30°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：（）2=a2+32﹣3a，整理得：a2﹣3a+6=0，即（a﹣）（a﹣2）=0，解得：a=或a=2，则a=或2．故选C10．设单位向量，的夹角为60°，则向量3+4与向量的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出；利用向量模的平方等于向量的平方求出的模；再利用向量的数量积公式求出的夹角的余弦值．【解答】解：，，，，，．故选D11．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）A．79 B．69 C．5 D．﹣5【考点】余弦定理；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：cosB==，又||=5，||=7，则=||•||cos（π﹣B）=﹣||•||cosB=﹣5×7×=﹣5．故选D12．已知△ABC的三边长a=3，b=5，c=6，则△ABC的面积为（）A． B．C． D．【考点】余弦定理；三角形的面积公式．【分析】利用余弦定理表示出cosA，将a，b，c的值代入求出cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：∵a=3，b=5，c=6，∴由余弦定理得：cosA===，∴sinA==，=bcsinA=×5×6×=2．则S△ABC故选B二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若与共线，则y=﹣6．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由已知中向量与共线，我们根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，易构造一个关于y的方程，解方程即可求出y值．【解答】解：若与共线，则2•y﹣3ו（﹣4）=0解得y=﹣6故答案为：﹣614．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：15．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积，则角C=45°．【考点】余弦定理的应用．【分析】先利用余弦定理，将面积化简，再利用三角形的面积公式，可得cosC=sinC，根据C是△ABC的内角，可求得C的值．【解答】解：由题意，∵∴cosC=sinC∵C是△ABC的内角∴C=45°故答案为：45°16．如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的加法，可得，将其代入中，变形可得=﹣2（||﹣）2﹣，由二次函数的性质，计算可得答案．【解答】解：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点，则，则≥﹣，即的最小值是﹣；故答案为﹣．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）由可知存在实数t，使，可得k与t的方程组，解之可得；（2）由=（）•（）=0可得关于k的方程，解之即可．【解答】解：（1）由可知存在实数t，使，即，解得，故k=时，可得；（2）由=（）•（）=0可得15+3k+（5k+9）=0，代入数据可得15×4+27k+（5k+9）×=0，解得k=﹣，故当k=﹣时，．18．已知在△ABC中，A（2，﹣1），B（3，2），C（﹣3，﹣1），AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】设，则==（3﹣6λ，2﹣8λ）．由于AD为BC边上的高，可得．=（1﹣6λ，3﹣8λ）．利用=0、向量模的计算公式即可得出．【解答】解：设，则==（3，2）+λ（﹣6，﹣3）=（3﹣6λ，2﹣3λ）．∵AD为BC边上的高，∴．=（1﹣6λ，3﹣3λ）．∴=﹣6（1﹣6λ）﹣3（3﹣3λ）=0，解得λ=．∴=（﹣1，2）．∴=．=（1，1）．19．已知向量=（1，1），向量与向量的夹角为，且=﹣1．（1）求向量；（2）设向量=（1，0），向量，其中x∈R，若，试求||的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）直接设出向量的坐标（x，y），由条件向量与向量的夹角为，且=﹣1得到关于x和y的方程组，解方程组即可．（2）由确定出向量，将||表示为x的三角函数，由三角函数知识求范围即可．【解答】解：（1）设=（x，y），则，解得或所以=（﹣1，0）或（0，﹣1）（2）因为向量=（1，0），，所以=（0，﹣1）=（cosx，sinx﹣1）所以||=因为﹣1≤sinx≤1，所以0≤||≤220．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由正弦定理得，结合二倍角公式及sinA≠0即可得解．（II）由（I）可求sinA，又根据∠B=2∠A，可求cosB，可求sinB，利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得sinC，利用正弦定理即可得解．【解答】解：（I）因为a=3，b=2，∠B=2∠A．所以在△ABC中，由正弦定理得．所以．故．（II）由（I）知，所以．又因为∠B=2∠A，所以．所以．在△ABC中，．所以．21．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．22．已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（I）运用平面向量的数量积得出=1×（﹣3）+1×3=0，求解即可．（II）．，坐标得出点C的坐标为（0，5）．再运用数量积求解得出cosθ==＞0．【解答】解（Ⅰ）证明：A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．∴=（1，1），=（﹣3，3）．又∵=1×（﹣3）+1×3=0，∴．（Ⅱ）∵，若四边形ABCD为矩形，则．设C点的坐标为（x，y），则有（1，1）=（x+1，y﹣4），∴即∴点C的坐标为（0，5）．由于=（﹣2，4），=（﹣4，2），∴=（﹣2）×（﹣4）+4×2=16，=2．设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ==＞0．故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为．2016年10月9日。

高二下期5月期中考试题数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 若，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析：由x2＞y2，解得|x|＞|y|，即可判断出结论．详解：由x2＞y2，解得|x|＞|y|，因此“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件．故选：D．点睛：本题考查了不等式的解法与性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 设函数可导，则等于A. B. 3 C. D. 以上都不对【答案】C【解析】分析：利用导数的定义=即可得到结果.详解：∵函数y=f（x）可导，根据导数的定义=可知=，故选：C．点睛：本题考查平均变化率的极限，即导数的定义，深刻理解概念是解题的关键，属于基础题．3. 函数在处的导数等于A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求函数的导数，结合函数的导数公式进行求解即可．详解：：函数的导数为y′=2x﹣4，∴y′|x=1=﹣2，点睛：本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键，属于基础题．4. 命题“，使得”的否定形式是A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. ，使得【答案】D【解析】根据任意和存在否定规则可得：，使得”的否定形式是，使得，故选C5. 在复平面上，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数所对应点的坐标，结合复数的几何意义即可得到答案．详解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（3，1），位于第一象限．故选：A．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6. i为虚数单位，则A. B. C. 1 D. i【答案】C【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算及虚数单位i的运算性质化简求值详解：故选：C点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，7. 若函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【解析】分析：由题意求导f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求得实数a的取值范围．详解：∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选：B．点睛：函数有极值等价于导函数有“变号零点”，即导函数有零点，且导函数在零点附近的值正负相反.8. 命题：“若，则”的逆否命题是A. 若，则B. 若，则C. 若且，则D. 若或，则【答案】D【解析】分析：根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．详解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选：D．点睛：此类题型考查四种命题的定义与相互关系，要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式，属于基础题．9. 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据函数的导数与单调性的关系，f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，只需f′（x）≥0在区间[2，3]上恒成立，考虑用分离参数法求解．详解：根据函数的导数与单调性的关系，f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，只需f′（x）≥0在区间[2，3]上恒成立．由导数的运算法则，f′（x）=，移向得，，a只需大于等于﹣x的最大值即可，由﹣x≤﹣2，∴a≥﹣2点睛：：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论（1）若在内，则在上单调递增（减）．（2）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）10. 若，，且函数在处有极值，则的最大值等于A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】D【解析】分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等详解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.11. 满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是A. 椭圆B. 圆C. 一条直线D. 两条直线【答案】A【解析】分析：转化复数方程为复平面点的几何意义，然后判断轨迹即可.详解：|z﹣i|+|z+i|=3的几何意义是：复数z在复平面上对应点到（0，1）与（0，﹣1）的距离之和为3，而且两点之间的距离为2，所以距离之和大于两点的距离，所以z的轨迹满足椭圆的定义．故选：A ．点睛：本题考查复数模的几何意义以及轨迹的判断，椭圆的定义的应用，基本知识的考查．12. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．详解：构造函数g（x）=，则函数的导数为g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减；又∵f（0）=2，∴g（0）==2，则不等式f（x）﹣2e x＜0化为＜2，它等价于g（x）＜2，即g（x）＜g（0），∴x＞0，即所求不等式的解集为（0，+∞）．故选：C ．点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 若复数为虚数单位，则的模为__________．【答案】【解析】分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．详解：z1z2=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴|z1z2|==．故答案为：．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．14. 设函数满足，则___________．【答案】【解析】分析：求函数的导数，先求出f′（1），f（1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．详解：∵f（x）=x2+3f′（1）x﹣f（1），∴f′（x）=2x+3f′（1），令x=1，则f′（1）=2+3f′（1），即f′（1）=，故答案为：点睛：本课题考查导运算及赋值法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于基础题.15. 某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产_________（千台）．【答案】6【解析】分析：由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量．详解：由题意，利润y=（x＞0）．y′=36x﹣6x2，由y′=36x﹣6x2=6x（6﹣x）=0，得x=6（x＞0），当x∈（0，6）时，y′＞0，当x∈（6，+∞）时，y′＜0．∴函数在（0，6）上为增函数，在（6，+∞）上为减函数．则当x=6（千台）时，y有最大值为144（万元）．故答案为：6．16. 函数在定义域内的图象如图所示记的导函数为，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】由f′(x)≤0时，f(x)单调递减.由函数图像可知当时，f(x)单调递减，所以f′(x)≤0的解集为.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知复数若z为纯虚数，求实数a的值；若z在复平面上对应的点在直线上，求实数a的值．【答案】（1）2（2）【解析】分析：（1）若z为纯虚数，实部为0，虚部不为0，求实数a的值；（2）求出z在复平面上对应的点的坐标，代入直线x+2y+1=0，求实数a的值．详解：Ⅰ若z为纯虚数，则，且，解得实数a的值为2；Ⅱ在复平面上对应的点，在直线上，则，解得．点睛：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数018. 已知命题且，命题恒成立．若命题q为真命题，求m的取值范围；若为假命题且为真命题，求m的取值范围．【答案】（1）（2）或．【解析】分析：（1）由命题q为真命题可知，即可得到结果；（2）分别解出命题p，q的m的取值范围，p∧q为假命题且p∨q为真命题，可得p，q必然一真一假．详解：解：，解得．若命题p：且，解得．为假命题且为真命题，必然一真一假．当p真q假时，，解得，当p假q真时，，解得．的取值范围是或．点睛：本题考查了复合命题及真假的判断，考查了二次不等式的解法，属于基础题.19. 已知函数．求函数在点处的切线方程；若直线与的图象有三个不同的交点，求m的范围．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x），从而可得f′（1）的值，即可得函数f（x）在点（1，﹣）处的切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案；（2）对f（x）求导可得f′（x），借助导数与单调性的关系分析可得f（x）的单调性和极值，分析直线y=m与f（x）的图象的位置关系即可得答案．详解：由已知得：则切线方程为：即令解得：当时，当时，当时，的极大值是的极小值是所以要使直线与的图象有三个不同的交点，m点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．20. 设的导数为，若函数的对称轴为直线，且求实数的值求函数的极值．【答案】（1）（2）在处取到极大值，在处取到极小值．【解析】试题分析：（1）先对求导，的导数为二次函数，由对称性可求得，再由即可求出；（2）对求导，分别令大于和小于，即可解出的单调区间，继而确定函数的极值.试题解析：（1）因,故,从而,即关于直线对称,从而由条件可知,解得,又由于,即解得.（2）由（1）知.令,得或,当时,在上是增函数,当时,在上是减函数,当时,在上是增函数,从而在处取到极大值, 在处取到极小值.考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质.21. 已知函数．求函数的单调区间；若对上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）正确求得函数的导函数是关键，再求得导函数后，利用f'（x）＞0，解自变量的取值范围时要对参数a进行讨论，很明显由f′（x）以及x＞0，可分a≤0和a＞0来讨论得解．（2）由f（x）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立可分a≤1和a＞1来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解．详解：解：Ⅰ当时，，在上为增函数当时，，在上为减函数，在上为增函数Ⅱ，当时，在上恒成立，则是单调递增的，则恒成立，则当时，在上单调递减，在上单调递增，所以时，这与恒成立矛盾，故不成立综上：．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。

雅安中学2017—2018学年高二（下）4月月考数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上。

）1.命题“，”的否定为（）A. ，B. ，C. D.【答案】C【解析】全称性命题的否定是特称性命题，所以选C.2.复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】复数,故虚部为，故答案为：D.3.命题，命题，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由，得到，则是的既不充分也不必要条件.故答案为：D.4.复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】 【分析】直接利用虚数单位i 的运算性质求出复数z ＝i +i 2018对应的点的坐标得答案． 【详解】解：∵z ＝i +i 2018＝﹣1+i ，∴复平面内，复数z ＝i +i 2018对应的点的坐标为（﹣1，1），位于第二象限． 故选：B ．【点睛】本题考查虚数单位i 的运算性质，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 5.已知矩形平面,则以下等式中可能不成立的是（ ） A. B.C.D.【答案】C 【解析】 矩形平面,则PA 垂直于平面内的任意一条直线，故D 正确；又因为矩形，故A 正确；B ，因为AB 垂直于PA ，AB 垂直于AD ，故AB 垂直于面PAD ，故；C 是不对的，假如C 是正确的，则根据线面垂直会得到BD 垂直于AC ，和题干矛盾. 故答案为C. -6.已知命题：对，总有；是且的必要不充分条件条件，则下列命题为真命题的是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 命题：对，总有是假命题，当时不成立；由，，反之不成立，例如当，时，，，命题为真命题；故选，是真命题 7.下列命题中正确的命题个数是（ ）①. 如果共面， 也共面,则共面;②.已知直线a 的方向向量与平面，若// ，则直线a // ;③若共面，则存在唯一实数使,反之也成立; ④.对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若=x +y +z （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0①令共线，不共线，满足向量共面，向量也共面，但向量不一定共面，故①不正确；②若∥平面α，则直线a∥平面α或a⊂α，故②不正确；③不妨令M、A、B三点共线，点P∉AB，则不存在实数x、y使故③不正确；④∵三点A、B、C不共线=x+y+z x+y+z=1，∴=x+y+（1﹣x﹣y）=，∴，由共面向量基本定理知，P、A、B、C四点共面，故④正确．故答案为：C.点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。

四川省雅安中学2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试题一.选择题1.数列1，－4，9，－16，25，…的一个通项公式为( ) A ．2n a n = B ．21)1(n a n n +-= C ．2)1(n a n n -= D ．2)1()1(+-=n a n n2.在△ABC 中，a =2，b =，B =，则A =（ ） A ．π3或2π3B ．C ．D ．或3.已知，，且，则向量在向量上的投影等于（ ） A ．﹣4B ． 4C ．D ．4.已知向量=（3，1），=（2k ﹣1，k ），且（），则k 的值是（ ）A ．﹣1B ．或﹣1 C ．﹣1或 D ．5.已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ,且a 4+a 5+a 6+a 7=18，则下列命题正确的是（ ） A ．a 5是常数B ．S 5是常数C ．a 10是常数D ．S 10是常数6.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,,A B C 成等差数列，且满足cos cos 2cos b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 等腰直角三角形B. 直角非等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形7.设数列{a n }满足a 1+2a 2+4a 3+…+2n -1a n =n ,则a n =（ ） A ．12-n B ．121-n C ．n2 D.n21 8.若数列{a n }满足a 1=2， 111nn na a a ++=- ，则该数列的前2018项的乘积是（ ） A ．﹣2 B ．﹣6 C ．2D ．-39.在数列}{n a 中，21=a ，11ln(1)(2)1n n a a n n -=++≥-，则=n a （ ） A ．n n ln 2+ B ．n n ln )1(2-+ C ．n n ln 1++ D ．n ln 2+10.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若，则222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 现有周长为7210+ABC ∆满足2:7:3sin :sin :sin =C B A ，则用以上给出的公式求得 ABC ∆的面积为（ ）A. 36B. 34C. 54D. 5611.在ABC ∆中，o60=∠A ，3=AB ,2=AC .若DC BD 2=，)(R AB AC AE ∈-=λλ，且4-=•AE AD ，则λ的值为( ) A. 113-B. 113 C. ﹣3 D. 3 12.已知平面上有四点A ，B ，C ，D 满足DCDB DA ==，且满足2-=•=•=•DC DA DC DB DB DA ，则△ABC 的外接圆半径是( )A.4B.332 C.2 D.3 二.填空题13.如图,D ，C ,B 三点在地面同一直线上,从地面上C ,D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD ＝200米,点C 位于BD 上,则山高AB 等于 米.AD14.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =7，b =8，c =9，则AC 边上的中线长为 .15.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若，，则11m n+的值为 ．16.已知数列满足：*111,,1nn n a a a n a +==∈+N ，若()111,n n b n a λ+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围为 . 三．解答题17.已知，是同一平面内的向量，（1）若||=1，||=2,与的夹角为60°，求|﹣2|；（2）若=（1，1），=（2，x ），与4平行，求与的夹角θ．18.海中一小岛C 的周围()838nmile -内有暗礁，海轮由西向东航行至A 处测得小岛C 位于北偏东75︒，航行8nmile 后，于B 处测得小岛C 在北偏东60︒.（1）如果这艘海轮不改变航向，有没有触礁的危险？请说明理由.（2）如果有触礁的危险，这艘海轮在B 处改变航向为东偏南α（0α>）方向航行，求α的最小值.19.在数列{a n }中，已知22,2,12121-=-==++n n n a a a a a 且．（Ⅰ）设n n n a a b -=+1，证明数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）设11-=n n n b b c ，求数列的前n 项和n S .20.如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上，2=AB ,2=BC .（1）若点O 是对角线AC 的中点，设(,)AO AE AD λμλμ=+∈R ，求μλ+的值； （2）当2=•时，求DF 的长．21.在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2A =sin 2B +cos 2C +sin A sin B ． （I ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c =，求△ABC 周长的取值范围．22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且()+12n n n a S =(n ∈*N ),数列{}n b 的通项公式n n b )21(=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n n T 222+-=.若对任意的*n ∈N ,不等式22(3)n n n n nT b S n b λλ+<+恒成立,试求实数λ的取值范围.【参考答案】1-12 BDACD CBBDA BC 13.()1003+1 14.7 15.2 16.)2,(-∞17.解：（1）根据题意，若||=1，||=2，与的夹角为60°， 则•=1×2×cos60°=1， 则（﹣2）2=2﹣4+42=1﹣4+4×4=13，则|﹣2|=；（2）根据题意，若=（1，1），=（2，x ）， 则=（3，1+x ），4=（6，4x ﹣2），若与4平行，则有3（4x ﹣2）=6（1+x ），解可得x =2， 则=（2，2），则有=2，与方向相同， 则与的夹角θ=0°．18.解：（1）如图1，过点C 作直线AB 的垂线，交直线AB 于点D . 由已知得15A ∠=︒， 30CBD ∠=︒， 15ACB ∠=︒， ∴8nmile AB BC ==.∴在Rt BCD ∆中， sin CD AB CBD =⋅∠= 18nmile?=4nmile 2. 又4838<-，∴海轮有触礁的危险.（2）如图2，延长CD 至E ，使()838nmile CE =，故()8312nmile DE =.由（1）得43nmile tan30CDBD ==︒.∴8312tan 2343DE DBE BD -∠===-. ∵tan7523︒=+，∴1tan152323︒==-+.即tan tan15DBE ∠=︒，∴ 15DBE ∠=︒. 故海轮应按东偏南15°的方向航行. 19.解：（Ⅰ），，，即是以2为公差的等差数列.（Ⅱ）由题意知，.)121321(21)32)(12(111---=--==∴-n n n n b b c n n n 111111(111...)2335232111(1).22112n s n n n n n=--+-+-++---=--=--20.解：(1)点E 是BC 边的中点,O 是对角线AC 的中点,,,;(2),,,展开得,,,,,,,21.解：（I ）∵cos 2A =sin 2B +cos 2C +sin A sin B ， ∴1﹣sin 2A =sin 2B +1﹣sin 2C +sin A sin B ， ∴sin 2A +sin 2B ﹣sin 2C =﹣sin A sin B ， ∴a 2+b 2﹣c 2=﹣ab ， ∴=，又0＜C ＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴a =2sin A ，b =2sin B ，则△ABC 的周长L =a +b +c =2（sin A +sin B ）+=2（sin A +）+=，∵，，∴，即，∴△ABC 周长的取值范围是．22.解：（1）()+12n nn a S =()+1=2nn n a S ∴，n ∈*N当2n ≥时，()11122nn n n n n a na a S S --+=-=-∴1(1)n n na n a -=-，即11n n a n a n -=-( 2n ≥). ∴132112211232112321n n n n n a a a a n n n a a n a a a a n n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---(2n ≥)， 又11a =,也满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =(n ∈*N ).（说明：学生由11111n n n n a a a aa nn n n -=⇒==⇒=-，同样得分）.（2）又(1)123 (2)n n n n s +=++++=不等式22(3)n n n n nT b S n b λλ+<+即2(1)3(2)2()222n nn n n n n n λλ++-+<+， 即2(1)(12)60n n λλ-+--<（*n ∈N ）恒成立. 方法一：设2()(1)(12)6f n n n λλ=-+--（*n ∈N ）， 当1λ=时，()60f n n =--<恒成立，则1λ=满足条件； 当1λ<时，由二次函数性质知不恒成立； 当1λ>时，由于对称轴x =0)1(221<---λλ,则()f n 在[1,)+∞上单调递减，()(1)340f n f λ≤=--<恒成立，则1λ>满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1,)+∞. 方法二：也即2262n n n n λ+->+（*n ∈N ）恒成立，令226()2n n f n n n +-=+．则 22611()1112422(6)1066n f n n n n n n n n +=-=-=-++++-++,由67n +≥，24(6)106n n ++-+单调递增且大于0， ∴()f n 单调递增，当n →+∞时，()1f n →，且()1f n <，故1λ≥， ∴实数λ的取值范围是[1,)+∞.。

雅安中学2018-2019学年下期第一次月考试高中一年级数学试题卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.以下四组向量能作为基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面内两不共线的向量可作为基底，对选项中的向量逐一判断即可.【详解】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底；对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.2.如图所示，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相等向量的定义，对选项中的向量逐一判断即可.【详解】与向量，方向不同，与向量不相等，而向量与方向相同，长度相等，，故选D.【点睛】本题主要考查相等向量的定义，属于简单题.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等.3.已知向量，向量，且,则( )A. 9B. 6C. 5D. 3【答案】B【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件，得到关于的方程，解方程即可得到的值.【详解】因为向量,向量且，根据问量共线的充要条件得，故选B.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.4.已知中，内角所对的边分别为，，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用正弦定理求解即可.【详解】，为锐角，由正弦定理可得，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5.已知中，内角所对的边分别为，那么（）【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理可得，，，，故选C.【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.6.关于有以下说法，不正确的是（）A. 的方向是任意的B. 与任一向量共线，所以C. 对于任意的非零向量，都有D.【答案】C【解析】【分析】直接利用零向量的定义以及向量的线性运算法则，对选项中的命题逐一判断即可.【详解】由零向量的定义可得零向量的方向是任意的，正确；根据规定，零向量与任何向量平行，可得正确；因为，所以不正确；因为,所以正确，故选C.【点睛】本题主要考查零向量的定义与性质，以及向量运算的三角形法则，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.7.一角槽的横断面如图所示，四边形是矩形，且，，则的长等于( )【答案】A【解析】【分析】求出，利用余弦定理求解即可.【详解】四边形是矩形，且，，，，由余弦定理可得，，，故选A.【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.8.已知非零向量满足且，则为（）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据，判断出的角平分线与垂直,进而推断三角形为等腰三角形，再根据向量的夹角公式求得角，判断出三角形的形状.【详解】分别为单位向量，的角平分线与垂直，，，，，所以，为等边三角形，故选D.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.9.若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（）A. 内的任意一角B. 0C.D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则，求得，即得其夹角为.【详解】，，与夹角为，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.10.若的周长等于20，面积是，则边的长是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】利用面积公式得到的值，结合周长为，再根据余弦定理列出关于的方程，求出的值即为的值.【详解】因为面积公式，所以，得，又周长为，故，由余弦定理得，，故，解得，故选C.【点睛】考查主要考查余弦定理，以及会用三角形的面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11.在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上，为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了两个观测点，在处测得该塔底部在西偏北的方向上；在处测得该塔底部在西偏北的方向上，并测得塔顶的仰角为.已知，，则此塔的高为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在中，，利用正弦定理求出，再由直角三角形的性质求出即可. 【详解】画出示意图，图中的外角为，，在中，，，，，故选B.【点睛】本题主要考查了正弦定理的实际应用，考查了建立数学模型解决实际问题的能力.属于中档题. 正弦定理常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化.12.在中，，则的形状是（）A. 等腰非直角三角形B. 等腰直角三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰或直角三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得，化为，由，进而可得结果.【详解】,化为，由正弦定理可得，，，，，是直角三角形，不是等腰三角形，故选C.【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上13.已知向量与向量同向的单位向量的坐标为_______．【答案】【解析】【分析】由已知可求，进而可求，而与同向的单位向量为，再利用坐标表示即可. 【详解】，，，与同向的单位向量坐标表示，故答案为.【点睛】本题主要考查了向量运算的坐标表示，向量模的坐标表示，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.14.若向量的夹角为，，则_______．【答案】6【解析】【分析】由，夹角为，求出的值，再由平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】因为向量的夹角为，，所以则，故答案为6.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，属于基础题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.15.中，角所对的边分别为，，则_______.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理与同角三角函数的平方关系可得，化简得，再利用正弦定理可得结果 .【详解】中，，根据正弦定理，得，可得，，，由正弦定理可得，可得，故答案为.【点睛】本题着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识,属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.16.以下说法正确的是_______．（填写所有正确的序号）①若两非零向量，若，则的夹角为锐角；②若，则，反之也对；③在中，若，则，反之也对；④在锐角中，若，则【答案】③④【解析】【分析】由与同向时夹角不是锐角，判断①；由时，与平行，判断②；由正弦定理得判断③；根据锐角三角形三个内角都是锐角判断④.【详解】对于①，与同向时，若，夹角为，不是锐角，故①错误；对于②，若时，则，与平行，故②错误；对于③，由正弦定理得，,故③正确；对于④，由，可得，即，故④正确，故答案为③④.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查向量的夹角与向量的位置关系以及正弦定理，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用平面向量线性运算的坐标表示求解即可；（2）先求出的坐标形式，根据，利用平面向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】（1），.（2），，即，得.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.18.已知中，内角所对的边分别为.（1）若，，，求角；（2）若，求【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；（2）由，利用正弦定理可得,设，利用余弦定理可得结果.【详解】（1），由正弦定理可得，，，，,或.（2），,设，由余弦定理可得，.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，正弦定理边角互化的应用以及余弦定理解三角形，意在考查对基本定理掌握的熟练程度与灵活应用，属于中档题.19.在中，内角所对的边分别为，已知．（1）求外接圆的面积；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，求出外接圆半径，从而可得结果；（2）由正弦定理可得，再利用余弦定理解得，根据三角形面积公式可得结果.【详解】（1）设外接圆的半径为，，由正弦定理可得，，，外接球面积为.（2），，，.【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的解三角形，以及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.20.设、是两个不共线的向量，.（1）若与的起点相同，且，，三个向量的终点在同一直线上，求；（2）若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由，，三个向量的终点在同一直线上可得，化简得，从而可得结果；（2）化简，利用二次函数的性质可得结果.【详解】（1）因为，，三个向量的终点在同一直线上，所以，化简得，与不共线，，时，的终点在一直线上；（2），时，最小，此时有最小值.【点睛】用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题,根据三个向量的终点在一条直线上，构造向量，得到向量之间的关系，得到要求的结果；求一个量的最小值，一般要先表示出这个变量,对于模长的运算，要对求得结果两边平方，变化为向量的数量积和模长之间的运算，根据二次函数的最值得到结果.21.在中，角的对边分别为，且（1）求的值；（2）若求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得结果；（2）先利用正弦定理求得外接圆半径，再由由正弦定理可得，利用三角函数的有界性可得结果.【详解】（1）因为所以由正弦定理可得,,因为，所以.（2）由（1）可得，由，且，得，，，又有，，（当时，取最大值），，此时为等边三角形.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用.22.有如下图所示的四边形.（1）在中，三内角为,求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值；（2）若为（1）中所得值，,记.（ⅰ）求用含的代数式表示；（ⅱ）求的面积的最小值.【答案】（1），；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）由降幂公式以及诱导公式可得，再利用二次函数的性质可得结果；（2）（i）由（1）可得，,由四边形内角和得，在中,由正弦定理可得结果；（ii）在中，由正弦定理可得，结合（i）利用三角形面积公式以及二倍角公式，辅助角公式可得的面积为，利用三角函数的有界性可得结果.【详解】（1），当时，取得最大值.（2）（i）由（1）可得，可得四边形内角和得，在中，.（ii）在中，，，当时，取最小值.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的的应用，二倍角公式与辅助的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。