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七年级下册第二章整式的乘法1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a n?a m=a m+n(m,n是正整数)例：2.幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a n)m=a mn(m,n是正整数)例：3.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n=a n b n(m,n是正整数)例：4.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。
例：5.单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
a（m+n）=am+an6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn例：7.平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
（a+b）（a-b）=a2-b2 (公式右边：符号相同项的平方-符号相反项的平方)例：8.完全平方公式口诀：头平方和尾平方，头尾两倍在中央，中间符号是一样。
（a+b）2=a2+2ab+b2 =a2+b2+2ab （a-b）2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab例：9.公式的灵活变形：✍（a+b）2+（a-b）2=（a2+2ab+b2）+（a2-2ab+b2）=2a2+2b2，✍（a+b）2-（a-b）2=（a2+2ab+b2）-（a2-2ab+b2）=2ab+2ab=4ab，✍a2+b2=（a+b）2-2ab，④a2+b2= （a-b）2+2ab，⑤（a+b）2=（a-b）2+4ab,⑥（a-b）2=（a+b）2-4ab01各个击破命题点1幂的运算【例1】若a m＋n·a m＋1＝a6，且m＋2n＝4，求m，n的值．【思路点拨】已知m＋2n＝4，只要再找到一个关于m，n的二元一次方程即可组成方程组求解．可根据同底数幂的乘法法则，由等式左右两边a的指数相等即可得到．【解答】【方法归纳】对于乘方结果相等的两个数，如果底数相等，那么指数也相等．1．(徐州中考)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．若2x＝3，4y＝2，则2x＋2y的值为________．命题点2多项式的乘法【例2】化简：2(x－1)(x＋2)－3(3x－2)(2x－3)．【解答】【方法归纳】在计算多项式乘法时，要注意不漏项，不重项．多项式与多项式相乘，结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积．3．(佛山中考)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( )A．1 B．－2C．－1 D．24．下列各式中，正确的是( )A．(－x＋y)(－x－y)＝－x2－y2B．(x2－1)(x－2y2)＝x3－2x2y2－x＋2y2C．(x＋3)(x－7)＝x2－4x－4D．(x－3y)(x＋3y)＝x2－6xy－9y2命题点3适用乘法公式运算的式子的特点【例3】下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是( )A．(2a＋b)(2a－3b) B．(x＋1)(1＋x)C．(x－2y)(x＋2y) D．(－x－y)(x＋y)【方法归纳】能用平方差公式进行计算的两个多项式，其中一定有完全相同的项，剩下的是互为相反数的项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．5．下列多项式相乘，不能用平方差公式的是( )A．(－2y－x)(x＋2y)B．(x－2y)(－x－2y)C．(x－2y)(2y＋x)D．(2y－x)(－x－2y)6．下列各式：①(3a－b)2；②(－3a－b)2；③(－3a＋b)2；④(3a＋b)2，适用两数和的完全平方公式计算的有________(填序号)．命题点4利用乘法公式计算【例4】先化简，再求值：(2a－b)(b＋2a)－(a－2b)2＋5b2.其中a＝－1，b＝2.【思路点拨】把式子的前两部分分别运用平方差公式和完全平方公式化简．【解答】【方法归纳】运用平方差公式时，要看清两个因式中的相同项和相反数项，其结果是相同项的平方减去相反数项的平方．7．下列等式成立的是( )A．(－a－b)2＋(a－b)2＝－4abB．(－a－b)2＋(a－b)2＝a2＋b2C．(－a－b)(a－b)＝(a－b)2D．(－a－b)(a－b)＝b2－a28．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝15，那么a2＋b2的值是________．9．计算：(1)(a＋b)2－(a－b)2－4ab；(2)[(x＋2)(x－2)]2；(3)(a＋3)(a－3)(a2－9)．命题点5乘法公式的几何背景【例5】(1)如图，请用两种不同的方式表示图中的大正方形的面积；(2)你根据上述结果可以得到一个什么公式？(3)利用这个公式计算：1022.【思路点拨】根据图形可以得到：图形的面积有两种计算方法，一种是根据正方形的面积等于边长的平方计算；另一种方法是图形中两个长方形面积与两个正方形的面积的和，即可得到公式；然后利用公式计算即可．【解答】【方法归纳】根据同一个图形的面积的两种表示，所得到的代数式的值相等，由此可得到对应的代数恒等式．10．将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为( )图1 图2 A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2D．a(a－b)＝a2－ab11．(枣庄中考)图1是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )A．2ab B．(a＋b)2C．(a－b)2D．a2－b202整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．(钦州中考)计算(a3)2的结果是( )A．a9B．a6C．a5D．a2．(巴彦淖尔中考)下列运算正确的是( )A．x3·x2＝x5B．(x3)2＝x5C．(x＋1)2＝x2＋1 D．(2x)2＝2x23．如果a2n－1·a n＋5＝a16，那么n的值为( )A．3 B．4C．5 D．64．下列各式中，与(1－a)(－a－1)相等的是( )A．a2－1 B．a2－2a＋1C．a2－2a－1 D．a2＋15．如果(x－2)(x＋3)＝x2＋px＋q，那么p、q的值为( )A．p＝5，q＝6 B．p＝－1，q＝6C．p＝1，q＝－6 D．p＝5，q＝－66．(－x＋y)( )＝x2－y2，其中括号内的是( )A．－x－y B．－x＋yC．x－y D．x＋y7．一个长方体的长、宽、高分别是3a－4、2a、a，它的体积等于( )A．3a3－4a2B．a2C．6a3－8a D．6a3－8a28．已知a＝814，b＝275，c＝97，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．a＜b＜c D．b＞c＞a二、填空题(每小题4分，共16分)9．若a x＝2，a y＝3，则a2x＋y＝________．10．计算：3m2·(－2mn2)2＝________．11．(福州中考)已知有理数a，b满足a＋b＝2，a－b＝5，则(a＋b)3·(a－b)3的值是________．12．多项式4x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，请写出所有可能的单项式为________．三、解答题(共60分)13．(12分)计算：(1)(－2a2b)3＋8(a2)2·(－a)2·(－b)3；(2)a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)－4ab；(3)(2x－3y＋1)(2x＋3y－1)．14．(8分)已知a＋b＝1，ab＝－6，求下列各式的值．(1)a2＋b2；(2)a 2－ab ＋b 2.15．(10分)先化简，再求值：(1)(常州中考)(x ＋1)2－x(2－x)，其中x ＝2；(2)(南宁中考)(1＋x)(1－x)＋x(x ＋2)－1，其中x ＝12.16．(10分)四个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，这个记号就叫做2阶行列式. 例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪123 4＝1×4－2×3＝－2 . 若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 x ＋1＝10，求x 的值．17．(10分)如图，某校有一块长为(3a ＋b)米，宽为(2a ＋b)米的长方形地块，学校计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．(1)用含a 、b 的代数式表示绿化面积并化简；(2)求出当a＝5米，b＝2米时的绿化面积．18．(10分)小华和小明同时计算一道整式乘法题(2x＋a)(3x＋b)．小华把第一个多项式中的“a”抄成了－a，得到结果为6x2＋11x－10；小明把第二个多项式中的3x抄成了x，得到结果为2x2－9x＋10.(1)你知道式子中a，b的值各是多少吗？(2)请你计算出这道题的正确结果．参考答案各个击破【例1】 由已知得a 2m ＋n ＋1＝a 6，所以2m ＋n ＋1＝6，即2m ＋n ＝5.又因为m ＋2n ＝4，所以m ＝2，n ＝1.【例2】 原式＝2(x 2＋2x －x －2)－3(6x 2－9x －4x ＋6)＝－16x 2＋41x －22. 【例3】 C【例4】 原式＝(4a 2－b 2)－(a 2－4ab ＋4b 2)＋5b 2＝3a 2＋4ab.当a ＝－1，b ＝2时，原式＝3×(－1)2＋4×(－1)×2＝－5.【例5】 (1)方法一：(a ＋b)2.方法二：a 2＋2ab ＋b 2.(2)(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2.(3)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 404. 题组训练1．C 6.②④9.(1)原式＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2－4ab ＝0.(2)原式＝(x 2－4)2＝x 4－8x 2＋16.(3)原式＝(a 2－9)(a 2－9)＝a 4－18a 2＋81. 整合集训1．B 000 12.±4x 或4x 413.(1)原式＝－8a 6b 3－8a 6b 3＝－16a 6b 3.(2)原式＝a 2＋4ab －(a 2－4b 2)－4ab ＝a 2＋4ab －a 2＋4b 2－4ab ＝4b 2.(3)原式＝[2x －(3y －1)][2x ＋(3y －1)]＝4x 2－(3y －1)2＝4x 2－(9y 2－6y ＋1)＝4x 2－9y 2＋6y －1.14.(1)原式＝(a ＋b)2－2ab ＝1＋12＝13.(2)原式＝(a ＋b)2－3ab ＝12－3×(－6)＝1＋18＝19.15.(1)原式＝x 2＋2x ＋1－2x ＋x 2＝2x 2＋1.当x ＝2时，原式＝8＋1＝9. (2)原式＝1－x 2＋x 2＋2x －1＝2x.当x ＝12时，原式＝2×12＝1.16.(x ＋1)2－(x －2)(x ＋2)＝2x ＋5＝10，解得x ＝. 17.(1)S 阴影＝(3a ＋b)(2a ＋b)－(a ＋b)2＝6a 2＋3ab ＋2ab ＋b 2－a 2－2ab －b 2＝5a 2＋3ab(平方米)．(2)当a ＝5，b ＝2时，5a 2＋3ab ＝5×25＋3×5×2＝125＋30＝155(平方米)．18.(1)根据题意，得(2x －a)(3x ＋b)＝6x 2＋(2b －3a)x －ab ＝6x 2＋11x －10；(2x ＋a)(x ＋b)＝2x 2＋(a ＋2b)x ＋ab ＝2x 2－9x ＋10，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b －3a ＝11，a ＋2b ＝－9. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－2.(2)正确的算式为：(2x －5)(3x －2)＝6x 2－19x ＋10.。
《单项式乘多项式》典型例题例1计算:(1)(4^)-(3X2+2^-1)(2)(—x) • (8兀‘ —7兀+4)2(3)2ci(cr — cib—少)—3ab(4a — 2b) + 2b(7— 4ab + )例2计算题：4 3 ?(1) (-3X2)(4X2一一兀+1)；(2) +3a m'l b + l)~ab ・5 3例3 求值：y n(y n +9y-12)-3(3/+1 -4/),其中y = -3,n = 2. 例4化简(1)一5兀")严2 .(3兀”+3)一2兀")严+3/)；(2)2ab[(2ab)2 -3b(ab + 22/?) —ab2].例5 设m2 + 加一1 = 0,求m3 + 2m2 + 2000 的值.例6计算：(1)(4xy) • (3兀2 + 2xy一1)(2)(——x) - (8x3— 7x + 4)(3)2a(/ — ab — b~) — 3ab(4a —2b) + 2Z?(7^z2—4ab + b?)例7计算题：4 3 9 (1)(―3兀2)(4兀_—兀+1)； (2) (—cih"、+3Q" % + 1) —ab。
例8 求值：/(/ +9y-12)-3(3/+, -4/),其中y = -3,n = 2. 例9化简(1)-5x n y,t+2-(3x n+3y-2x n y n-{ +3/)；(2)2ab[(2ab)2— 3b(ab + 21b) — ab2]o例10 设m2 + m-1 = 0,求/?23 + 2m2 + 2000 的值。
参考答案例1解：（1）原式二4兀）八3尢2+4兀y Jxy + dxyX-l）= l2x3y + 8x2y2 -4xy(2)原式=(—x)• 8兀'+ (—x) • (—7x) + (—x)• 42 2 2=—4x4 H—x2— 2兀2(3)原式= 2a3- 2a2b — 2ab22a2b + 6ab2 +14a2b一Sab2 + 2b3=2/—4〃+2戾说明：单项式乘以多项式，积仍是一个多项式，其项数与所乘多项式的项数相等，要注意积的各项符号的确定.若是混合运算，运算顺序仍然是先乘方，再乘除，运算结果要检查，如有同类项要合并，结果要最简.例2分析：（1）中单项式为-3兀2,多项式里含有4*, -i Xf 1,乘积结果为三项，特9别是1这项不要漏乘.（2）中指数为字母，计算时要注意底数幕相乘底数不变指数相加.解：（1）原式=—3兀2 • 4疋 + （―3兀$ ）.（—兀）+ （—3 兀2）.]9=—12x4 H—x4— 3x233 9 ?（2）（-ab m'1 +3a m-x b + V）--ab^--ab5 3 33 9 9 9=-ab m-{ x-ab + 3严bx-ab + -ab5 3 3 3= -a2b m-^-2a,n b2+-ab.5 3说明：单项式与多项式的笫一项相乘时，要注意积的各项符号的确定；同号相乘得正，异号相乘得负.例3 解：原式=y2n +9/+I -12/ -9/+1 4-12/=r w当y = -3, n = 2时，y2”=(_3)2x2=(_3)4=81说明：求值问题，应先化简，再代入求值.例4分析：在计算单项式乘以多项式时，仍应按有理数的运算法则，先去小括号(2ab)2和3炮+讪,再去中括号.解：(1)原式二-5x>,,+2• 3兀Wy + (-5x n y H+2)(一2兀) + (-5x n y n+2 -3/)=-15严严+i0x2n y2n+i-15x n y2n+2(2)原式=2ab[4a2b2 + (-3b)ab + (~3b)a2b一ab2]=2ab[4a2b2 -3ab2 -3a2b1 - ab2]=2ab[a2b2 - 4ab2 ]=2ab -a2b2 + 2ab(-4ab2) = 2a'b' - Sa2b y例5分析：由已知条件，显然/7?2+m = l,再将所求代数式化为m2的形式，整体代入求解.解：m3 + 2m2 + 2000=m3,+ m2 + 2000=m" xm + m • m + m~ + 2000=m(m2 + m) + m2 + 2000 = m + m2 + 2000= 1 + 2000 = 2001说明：整体换元的数学方法，关键是识别转化整体换元的形式.例6 解：(1)原式=4兀y+4兀y・2与+ 4xy•(-1)=12x3y + 8x2y2 - 4xy(2)原式=(—■ x)• 8兀'+ (—x) - (—7 x) + (—x) • 44^=-4x4 + —x2 -2x2(3)原式=2/ -2a2b一2ab2 -\2crb + 6ab2 +1S —Sab2 + 2b3=2Q3_4Q，+2戾说明：单项式乘以多项式，积仍是一个多项式，其项数与所乘多项式的项数相等，要注意积的各项符号的确定。
《单项式乘多项式》典型例题例1计算：(1)(4xy) (3x2 2xy 1)(2)( lx) (8x37x 4)2(3)2a(a2 ab b2) 3ab(4a 2b) 2b(7a2 4ab b2)例2计算题：(1) ( 3x2)(4x2 4x 1) ；(2) (3ab m 13a m 1b 1) 2ab •9 5 3 例 3 求值：y n(y n 9y 12) 3(3y n 1 4y n)，其中y 3,n 2 •例4化简nn2 n3 nn1 n、(1)5x y (3x y 2x y 3y );(2)2ab[(2ab)2 3b(ab 22b) ab2] •2 3 2例5设m m 1 0，求m 2m 2000的值.例6计算：(1)(4xy) (3x2 2xy 1)1 3(2)( x) (8x 7x 4)(3)2a(a2 ab b2) 3ab(4a 2b) 2b(7a2 4ab b2)例7计算题：(1) ( 3X2)(4X2 4x 1)；(2) (3ab m 13a m 1b 1) 2ab。
9 5 3 例8 求值：y n(y n 9y 12) 3(3y n 1 4y n)，其中y 3, n 2。
例9化简(1)5x n y n 2 (3x n 3y 2x n y n1 3y n);(2)2ab[(2ab)2 3b(ab 22b) ab2]。
例10 设m2 m 1 0，求m3 2m22000 的值。
相乘得负.2n .n 1 n .n 1 _ n例 3 解：原式 y 9y 12y 9y 12y参考答案例 1 解：(1)原式 4xy 3x 2 4xy 2xy 4xy ( 1)12x 3y 8x 2y 2 4xy1 3 1 1(2)原式 (—x) 8x 3 ( x) ( 7x)( x) 42 2 24x 4 7x 2 2x 2（3）原式2a 3 2a 2b 2ab 2 12a 2b 6ab 2 14a 2b 8ab 2 2b 3 2a 3 4ab 2 2b 3说明：单项式乘以多项式，积仍是一个多项式，其项数与所乘多项式的项数相等，要注意积的各项符号的确定•若是混合运算，运算顺序仍然是先乘方，再乘除，运算结果要检查，如 有同类项要合并，结果要最简.2 24例2 分析：（1）中单项式为3x ，多项式里含有4x , x , 1,乘积结果为三项，特9别是1这项不要漏乘.（2）中指数为字母，计算时要注意底数幕相乘底数不变指数相加. 解：（1）原式3 m 1 ab 5 2 2 m a b 53x 2 4x 2 ( 3x 2) (4x) ( 3x 2) 1 94 4 4 212x 4 x 4 3x 233a m 1b 1) 2ab - ab3 32m 122 ab 3a b ab ab3 3 3m 2 2 2a b ab.3说明：单项式与多项式的第一项相乘时,要注意积的各项符号的确定； 同号相乘得正，异号2ny当y 3, n 2时，2n2 24y ( 3) ( 3)81说明：求值问题，应先化简，再代入求值.例4分析：在计算单项式乘以多项式时，仍应按有理数的运算法则，先去小括号(2ab)2和23b(ab a b)，再去中括号.解: (1)原式5x n y n23x n3y ( 5x n y n 2)( 2x n y n 1) ( 5x n y n 2 3y n ) 2n 3 n 32n 2n 1n 2n 215x y 10x y 15x y(2)原式 2ab[4a 2b 2 ( 3b)ab ( 3b)a 2b ab 2 ]2ab[4a 2b 2 3ab 2 3a 2b 2 ab 2] 2ab[a 2b 2 4ab 2]2ab a 2b 2 2ab( 4ab 2) 2a 3b 3 8a 2b 3例5分析：由已知条件，显然 m 2 m 1，再将所求代数式化为 m 2 m 的形式，整体代 入求解.解:3m2m 2 2000322mm m 20002mm 2m m m 20002 2 2m(m m) m 2000 m m 2000 1 2000 2001说明：整体换元的数学方法，关键是识别转化整体换元的形式. 例 6 解：(1)原式 4xy 3x 2 4xy 2xy 4xy ( 1)12x 3y 8x 2y 2 4xy1 3 1 1(2) 原式(^x) 8x ( x) ( 7x) ( x) 44x 47x 22x 2(3)原式 2a 3 2a 2b 2ab 212a 2b 6ab 214a 2b 8ab 2 2b 3相乘得负。
七年级数学下册21整式的乘法《多项式乘多项式》典型例题素材湘教版.-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《多项式乘多项式》典型例题例1 计算)2)(133(2424-++-x x x x例2 计算：)3(2)2(3)1)(12()1)(13(x x x x x x x x -------++例3 利用ab x b a x b x a x +++=++)())((2，写出下列各式的结果；（1）)6)(5(-+x x（2）)53)(23(+-+-x x例4 计算)1)(1)(1(2++-x x x例5 已知012=-+x x ，求423+-x x 的值。
例6 计算题：（1）)43)(52(y x y x -+； （2）))((22y x y x ++；（3）)43)(32(y x y x --； （4）)321)(421(-+x x ．例7 已知计算)35)((23+-++x x n mx x 的结果不含3x 和2x 项，求m ，n 的值。
例8 计算（1）)9)(7(++x x ； （2）)20)(10(+-x x ；（3）)5)(2(--x x ； （3）))((b x a x ++。
参考答案例1 解：原式263363324246468-+++---+=x x x x x x x x2783248-+-=x x x说明：多项式乘法在展开后合并同类项前，要检查积的项数是否等于相乘的两项式项数的积，防止“重”、“漏”。
例2 解：原式2222663)122(133x x x x x x x x x ++-+----++=2222663122133x x x x x x x x x ++--++-+++=x x 1342+=说明：本题中)1)(12(--x x 前面有“－”号，进行多项式乘法运算时，应把结果写在括号里，再去括号，以防出错。
例3 解：（1）)6)(5(-+x x)6(5)65(2-⋅+-+=x x302--=x x（2）)53)(23(+-+-x x1021952)3)(52()3(22+-=⨯+--+-=x x x x说明：（2）题中的)3(x -即相当于公式中x例4 解：)1)(1)(1(2++-x x x11)1()11()()1)(1()1](1)1()11([42222222-=⋅-++-+=+-=+⋅-++-+=x x x x x x x x说明：三个多项式相乘，可先把两个多项式相乘，再把积与剩下的一个多项式相乘。
2.1.4 多项式的乘法第1课时 单项式与多项式相乘基础题知识点1 单项式乘以多项式1．计算3x(2x 2＋1)，正确的结果是(C)A ．6x 3B ．6x 3＋1C ．6x 3＋3xD ．6x 2＋3x2．下列说法正确的是(A)A ．单项式乘以多项式的积可能是一个多项式，也可能是单项式B ．单项式乘以多项式的积仍是一个单项式C ．单项式乘以多项式的结果的项数与原多项式的项数相同D ．单项式乘以多项式的结果的项数与原多项式的项数不同3．下列计算错误的是(B)A ．－3x(2－x)＝－6x ＋3x 2B ．xy(x 2y －3xy 2－1)＝x 3y 2－x 2y 3C ．(2m 2n －3mn 2)(－mn)＝－2m 3n 2＋3m 2n 3D ．－2x(x 2－3x －2)＝－2x 3＋6x 2＋4x4．数学课上，同学们学习了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习课堂内容，她突然发现一道题：－3x 2(2x －________＋1)＝－6x 3＋3x 2y －3x 2，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写(B)A ．－yB ．yC ．－xyD ．xy5．若(x 2＋ax ＋1)·(－6x 3)的展开式中不含x 4项，则a 的值为(D)A ．－6B ．－1C ．1D ．06．一个三角形的一边长是3x －4，这边上的高是2x ，则这个三角形的面积为(C)A ．3x －4B ．3x 2－4C ．3x 2－4xD ．4x －47．计算：(1)(上海中考)2(a －b)＋3b ＝2a ＋b ； (2)4x ·(2x 2－3x ＋1)＝8x 3－12x 2＋4x ；(3)(－3x 2)(－x 2＋2x －1)＝3x 4－6x 3＋3x 2；(4)(3x 2－14x －1)·(－2x 3)＝－6x 5＋12x 4＋2x 3． 8．(常德中考)计算：b(2a ＋5b)＋a(3a －2b)＝5b 2＋3a 2．9．计算：(1)－6x(x －3y)；解：原式＝－6x 2＋18xy.(2)5x(2x 2－3x ＋4)；解：原式＝10x 3－15x 2＋20x.(3)3x(x 2－2x －1)－2x 2(x －2)．解：原式＝3x 3－6x 2－3x －2x 3＋4x 2＝x 3－2x 2－3x.10．已知某长方形的长为(a ＋b)cm ，它的宽比长短(a －b)cm ，求这个长方形的周长与面积．解：由题意可得，所以这个长方形的周长为2(a ＋b ＋2b)＝2a ＋6b(cm)．面积为(a ＋b)×2b ＝2ab ＋2b 2(cm 2)．知识点2 单项式乘以多项式的运用11．当x ＝2时，代数式x 2(2x)3－x(x ＋8x 4)的值是(B)A ．4B ．－4C ．0D ．112．(怀化中考)当x ＝1，y ＝15时，3x(2x ＋y)－2x(x －y)＝5． 13．已知x(x ＋3)＝1，则代数式2x 2＋6x －5的值为－3．14．先化简，再求值：3a(2a 2－4a ＋3)－2a 2(3a ＋4)，其中a ＝－2.解：原式＝6a 3－12a 2＋9a －6a 3－8a 2＝－20a 2＋9a.当a ＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.中档题15．已知x 2－2＝y ，则x(x －3y)＋y(3x －1)－2的值是(B)A ．－2B ．0C ．2D ．416．设P ＝a 2(－a ＋b －c)，Q ＝－a(a 2－ab ＋ac)，则P 与Q 的关系是(A)A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．互为相反数17．两个边长为a 的正方形和两个长为a ，宽为b 的长方形如图摆放组成一个大长方形；通过计算该图形的面积知，该图形可表示的代数恒等式是2a(a ＋b)＝2a 2＋2ab ．18．计算：(1)－2ab ·(3a 2－2ab －b 2)；解：原式＝－6a 3b ＋4a 2b 2＋2ab 3.(2)(－12a 2b)·(23b 2－13a ＋14)； 解：原式＝(－12a 2b)·23b 2＋(－12a 2b)(－13a)＋(－12a 2b)·14＝－13a 2b 3＋16a 3b －18a 2b.(3)(－6x 2y)2·(14x 3y 2－29x 2y ＋2xy)． 解：原式＝9x 7y 4－8x 6y 3＋72x 5y 3.(4)(－2a 2)·(3ab 2－5ab 3)＋8a 3b 2.解：原式＝－6a 3b 2＋10a 3b 3＋8a 3b 2＝2a 3b 2＋10a 3b 3.解：去括号，得2x 2－4x ＋3x 2－3x ＝5x 2－15x ＋8.合并同类项，得5x 2－7x ＝5x 2－15x ＋8.移项、合并同类项，得8x ＝8.系数化为1，得x ＝1.20．设计一个商标图案如图中阴影部分所示，在长方形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，求商标图案的面积．解：S ＝ab ＋14πb 2－12b(a ＋b)＝ab ＋14πb 2－12ab －12b 2＝12ab ＋(14π－12)b 2.21．阅读下列文字，并解决问题．已知x 2y ＝3，求2xy(x 5y 2－3x 3y －4x)的值．分析：考虑到满足x 2y ＝3的x 、y 的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x 2y ＝3整体代入． 解：2xy(x 5y 2－3x 3y －4x)＝2x 6y 3－6x 4y 2－8x 2y ＝2(x 2y)3－6(x 2y)2－8x 2y ＝2×33－6×32－8×3＝－24.请你用上述方法解决问题：已知ab ＝3，求(2a 3b 2－3a 2b ＋4a)·(－2b)的值．解：原式＝－4a 3b 3＋6a 2b 2－8ab＝－4×(ab)3＋6(ab)2－8ab＝－4×33＋6×32－8×3＝－108＋54－24＝－78.综合题22．某同学在计算一个多项式A 乘以－3x 2时，因抄错运算符号，算成了加上－3x 2，得到的结果是x 2－4x ＋1.(1)这个多项式A 是多少？(2)正确的计算结果是多少？解：(1)这个多项式A 是：(x 2－4x ＋1)－(－3x 2)＝4x 2－4x ＋1.(2)正确的计算结果是：(4x 2－4x ＋1)·(－3x 2)＝－12x 4＋12x 3－3x 2.。
《单项式乘多项式》典型例题
例1 计算：
（1）)123()4(2-+⋅xy x xy
（2）)478()21
(3+-⋅-x x x
（3）)47(2)24(3)(22222b ab a b b a ab b ab a a +-+----
例2 计算题：
（1）)194
4)(3(22+--x x x ； （2）ab b a ab m m 32
)1353
(11⋅++--．
例3 求值：)43(3)129(1n n n n y y y y y ---++，其中2,3=-=n y ．
例4 化简
（1）)323(5132n n n n n n y y x y x y x +-⋅--++；
（2）])2(3)2[(2222ab b ab b ab ab -+-．
例5 设012=-+m m ，求2000223++m m 的值．
例6 计算：
（1）)123()4(2-+⋅xy x xy
（2）)478()21
(3+-⋅-x x x
（3）)47(2)24(3)(22222b ab a b b a ab b ab a a +-+----
例7 计算题：
（1）)194
4)(3(22+--x x x ； （2）ab b a ab m m 32
)1353
(11⋅++--。
例8 求值：)43(3)129(1n n n n y y y y y ---++，其中2,3=-=n y 。
例9 化简
（1）)323(5132n n n n n n y y x y x y x +-⋅--++；
（2）])2(3)2[(2222ab b ab b ab ab -+-。
例10 设012=-+m m ，求2000223++m m 的值。
参考答案
例1 解：（1）原式)1(424342-⋅+⋅+⋅=xy xy xy x xy
xy y x y x 4812223-+=
（2）原式4)2
1()7()21(8)21(3⋅-+-⋅-+⋅-=x x x x x x x x 22
7424-+-= （3）原式322222232814612222b ab b a ab b a ab b a a +-++---=
323242b ab a +-=
说明：单项式乘以多项式，积仍是一个多项式，其项数与所乘多项式的项数相等，要注意积的各项符号的确定．若是混合运算，运算顺序仍然是先乘方，再乘除，运算结果要检查，如有同类项要合并，结果要最简．
例2 分析：（1）中单项式为23x -，多项式里含有24x ，x 9
4-，1，乘积结果为三项，特别是1这项不要漏乘．（2）中指数为字母，计算时要注意底数幂相乘底数不变指数相加． 解：（1）原式1)3()94
()3(432
222⋅-+⋅-+⋅-=x x x x x 244
33
412x x x -+-= （2）ab ab b a ab m m 3232)1353(11+⋅++-- .3
22523232332532211ab b a b a ab ab b a ab ab m m m m ++=+⨯+⨯=-- 说明：单项式与多项式的第一项相乘时，要注意积的各项符号的确定；同号相乘得正，异号相乘得负．
例3 解：原式n n n n n y y y y y
129129112+--+=++
n y 2=
当2,3=-=n y 时，
81)3()3(4222=-=-=⨯n y
说明：求值问题，应先化简，再代入求值．
例4 分析：在计算单项式乘以多项式时，仍应按有理数的运算法则，先去小括号2)2(ab 和)(32b a ab b +，再去中括号．
解：（1）原式)35()2)(5(3521232n n n n n n n n n n y y x y x y x y x y x --+--+⋅-=+-+++
22122332151015++++-+-=n n n n n n y x y x y x
（2）原式])3()3(4[22222ab b a b ab b b a ab --+-+=
3
23322222222222282)4(22]4[2]
334[2b a b a ab ab b a ab ab b a ab ab b a ab b a ab -=-+⋅=-=---=
例5 分析：由已知条件，显然12=+m m ，再将所求代数式化为m m +2
的形式，整体代入求解．
解： 2000223++m m 2000223+++=m m m
2001
2000120002000)(2000
22222=+=++=+++=++⋅+⨯=m m m m m m m m m m m
说明：整体换元的数学方法，关键是识别转化整体换元的形式．
例6 解：（1）原式)1(424342-⋅+⋅+⋅=xy xy xy x xy
xy y x y x 4812223-+=
（2）原式4)2
1()7()21(8)21(3⋅-+-⋅-+⋅-=x x x x x x x x 22
7424-+-= （3）原式322222232814612222b ab b a ab b a ab b a a +-++---=
323242b ab a +-=
说明：单项式乘以多项式，积仍是一个多项式，其项数与所乘多项式的项数相等，要注意积的各项符号的确定。
若是混合运算，运算顺序仍然是先乘方，再乘除，运算结果要检查，如有同类项要合并，结果要最简。
例7 分析：（1）中单项式为23x -，多项式里含有24x ，x 9
4-，1，乘积结果为三项，特别是1这项不要漏乘。
（2）中指数为字母，计算时要注意底数幂相乘底数不变指数相加。
解：（1）原式1)3()94
()3(432
222⋅-+⋅-+⋅-=x x x x x 244
33
412x x x -+-= （2）ab ab b a ab m m 3232)1353(11+⋅++-- .3
22523232332532211ab b a b a ab ab b a ab ab m m m m ++=+⨯+⨯=-- 说明：单项式与多项式的第一项相乘时，要注意积的各项符号的确定；同号相乘得正，异号相乘得负。
例8 解：原式n n n n n y y y y y 129129112+--+=++
n
y 2=
当2,3=-=n y 时， 81)3()3(4222=-=-=⨯n y
说明：求值问题，应先化简，再代入求值。
例9 分析：在计算单项式乘以多项式时，仍应按有理数的运算法则，先去小括号2)2(ab 和)(32b a ab b +，再去中括号。
解：（1）原式)35()2)(5(3521232n n n n n n n n n n y y x y x y x y x y
x --+--+⋅-=+-+++ 22122332151015++++-+-=n n n n n n y x y x y x
（2）原式])3()3(4[2222
2ab b a b ab b b a ab --+-+=
3
23322222222222282)4(22]4[2]
334[2b a b a ab ab b a ab ab b a ab ab b a ab b a ab -=-+⋅=-=---=
例10 分析：由已知条件，显然12=+m m ，再将所求代数式化为m m +2
的形式，整体代入求解。
解： 2000223++m m
2000223+++=m m m
2001
2000120002000)(2000
22222=+=++=+++=++⋅+⨯=m m m m m m m m m m m
说明：整体换元的数学方法，关键是识别转化整体换元的形式。
