高三数学第三次阶段考试卷

温州市2024届普通高中高三第三次适应性考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，三个内角,,A B C 成等差数列，则()sin A C +=（）A ．12B．2CD ．12．平面向量()(),2,2,4a m b ==-，若()a ab - ∥，则m =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．设,A B 为同一试验中的两个随机事件，则“()()1P A P B +=”是“事件,A B 互为对立事件”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知*m ∈N ，()21mx +和()211m x ++的展开式中二项式系数的最大值分别为a 和b ，则（）A ．a b <B ．a b=C ．a b>D ．,a b 的大小关系与m 有关5．已知5πsin 4⎛⎫β+=-⎪⎝⎭()()sin 2cos cos 2sin αβαβαα---=（）A ．2425-B ．2425C ．35-D ．356．已知函数()223,02,0xx x x f x x ⎧-+>=⎨≤⎩，则关于x 方程()2f x ax =+的根个数不可能是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，C 上两点,A B 满足：222AF F B = ，14cos 5AF B ∠=，则椭圆C 的离心率是（）A ．34BC ．23D8．数列{}n a 的前n 项和为()*1,n n n n S S a n a +=∈N ，则5622111i i i i a a -==-∑∑可以是（）A ．18B ．12C ．9D ．6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。

山东省高中名校2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的； 小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李B ．小王C ．小董D ．小李2．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)-D ．1(,1)23．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④4．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．21313-B ．21313C ．61365-D ．613655．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+6．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．607．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ）A ．74B ．94C ．52D ．28．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．2-B ．2C ．43-D ．439．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π10．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．111．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<12．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省实验中学2025届高三第三次诊断考试数学试题2024.12说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足：，则（）A.1B.C.D.3.农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（）A. B. C. D.4.锐角满足，若，则（）A. B. C. D.5已知，，，则（）A. B. C. D.6.把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点对称，则当取最小值时，曲线与的交点个数为（）A1 B.2 C.3 D.47.已知函数，，若，则的最小值为（）A B. C. D.8.定义域为函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57根据表中的数据可得到经验回归方程为.则（）A.B.y与x的样本相关系数C.表中维修费用的第60百分位数为6D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元10.在棱长为2的正方体中，Q是的中点，下列说法正确的是（）A.若P是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值B.平面平面C.若平面ABQ与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为，则D.三棱锥外接球的半径为11.我们常用数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13.把m位n进制中的最大数记为，其中，，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线，，当时，直线与之间的距离为________.13.已知等差数列的前n项和为，，，则________.14.已知，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.（1）若，求的面积；（2）若，求的取值范围.16.如图，三棱柱中，平面，，，，过的平面交线段于点E（不与端点重合），交线段BC于点F.（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.17.已知数列的前n项和为，，（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数，求函数极值点的个数；（3）当时，若在上恒成立，求证：.19.已知集合，若存在数阵满足：①；②.则称集合为“好集合”，并称数阵T为的一个“好数阵”.（1）已知数阵为的一个“好数阵”，试写出x，y，z，w的值：（2）若集合为“好集合”，证明的“好数阵”必有偶数个；（3）判断是否为“好集合”.若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由.山东省实验中学2025届高三第三次诊断考试数学试题2024.12说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】，，所以.故选：D.2.若复数满足：，则（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的乘方即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：D.3.农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为，根据题意得出，利用二项分布进而求解即可.【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为，则，所以每组没有发芽的坑数的平均数为，解得，所以每个种子的发芽率为.故选：C.4.锐角满足，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据平方关系和商数关系求出，然后根据已知结合两角和的余弦公式求出，再根据已知条件即可得解.【详解】由，可得，，而，故.此即，故，所以，故.故选：B.5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解.【详解】因为，，，所以，则，所以.故选：A.6.把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点对称，则当取最小值时，曲线与的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据正弦型函数的平移、对称性可得的关系式，从而得的最小值，在坐标系中作曲线与的图象，结合单调性即可得交点个数.【详解】函数的图象向右平移个单位长度可得：，由于是其对称中心，则可得，所以，又，则取最小值为，此时，则可得函数曲线与的大致图象：由函数与的单调性结合图象可得曲线与的交点个数为3个.故选：C.7.已知函数，，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可.【详解】∵，，∴，令，∴在上单调递增，∴，即，∴，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴，∴的最小值为，故选：B.8.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，再根据题意求出函数在上的最值即可得解.【详解】当时，，当时，，所以当时，，因为定义域为的函数满足，所以，当时，则，所以当时，，综上所述，时，，因为时，恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57根据表中的数据可得到经验回归方程为.则（）A.B.y与x的样本相关系数C.表中维修费用的第60百分位数为6D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元【答案】ABC【解析】【分析】对A，计算出样本中心，代入方程计算出，对B，根据相关系数的概念可判断，对C，根据百分位数的定义求解，对D，根据回归分析概念判断.【详解】根据题意可得，，，所以样本中心点为，对于A，将样本中心点代入回归方程，可得，故A正确；对于B，由表中数据可得随着增大而增大，与正相关，所以相关系数，故B正确；对于C，维修费用从小到大依次为，第60百分位数为，故C正确；对于D，根据回归分析概念，机床投入生产的时间为10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38万元，故D错误.故选：ABC.10.在棱长为2的正方体中，Q是的中点，下列说法正确的是（）A.若P是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值B.平面平面C.若平面ABQ与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为，则D.三棱锥外接球的半径为【答案】ABD【解析】【分析】连接交于点，连接，证明平面，结合棱锥的体积公式即可判断A；证明平面，设为等边三角形的外心，过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，设球心为，再利用勾股定理即可判断D；取的中点，连接，说明平面就是平面，再利用定义法即可判断C；证明，，则平面，再根据面面垂直的判定定理即可判断B.【详解】对于A，连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为的中点，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值，因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对于D，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，由选项A可知，所以，，因为，平面，所以平面，设为等边三角形的外心，则,过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，设球心为，连接，过作于，则，，设三棱锥外接球的半径为，则，设，则，因为，所以，解得，，故D正确；对于C，取的中点，连接，则，，所以，所以平面就是平面，因为平面，平面，平面，所以平面平面，平面平面，因为平面，平面，所以，所以为二角面的平面角，为二面角的平面角，，，所以平面与上下两个底面所成二面角的正弦值为，与前后两个平面所成二面角的正弦值为，与左右两个平面所成二面角的正弦值为，所以，故C错误；对于B，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确.故选：ABD.11.我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13.把m位n进制中的最大数记为，其中，，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，求出的表达式，再结合等比数列前n项和公式，逐项计算判断即可.【详解】对于A，，，A正确；对于B，，B错误；对于C，当时，，当且仅当时取等号，当时，，当时，，C正确；对于D，，，函数，求导得，则在上单调递减，当时，，则，即，因此，即，则，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题D选项求解的关键在于结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，进而比较出大小.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线，，当时，直线与之间的距离为________.【答案】【解析】【分析】当时，，求出，将不符合题意的值舍去，再由两平行线间的距离公式求出之间的距离.【详解】当时，，解得；当时，两直线重合，不符合题意，应舍去.当时，即直线与之间的距离：.故答案为：13.已知等差数列的前n项和为，，，则________.【答案】【解析】【分析】根据等差数列设公差为，由可得，从而求得，利用等差数列求和公式结合裂项相消法求和即可得答案.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，则，故，所以，则，所以.故答案为：.14.已知，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】借助基本不等式可得消去、，对求最大值即可，再应用三角函数的单调性即可得解．【详解】由题意得：，，，则，当且仅当时等号成立，即，即，则有，则，，又在，单调递增，在，上单调递减，故在，上单调递增，则当，时，即、时，有最大值，即的最大值为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题关键在于如何将多变量求最值问题中的多变量消去，结合基本不等式与题目条件可将、消去，再结合三角函数的值域与单调性即可求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.（1）若，求的面积；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知角度结合可得角，由三角形内角关系得角，于是结合正弦定理求得边长，利用的面积公式即可得答案；（2）利用商数关系切化弦，再根据三角恒等变换、诱导公式化简得，根据余弦函数单调性得关系，从而得关系，由正弦定理与二倍角公式得边与角，最后根据正弦函数得单调性得取值范围.【小问1详解】因为，所以，因为，所以，则，所以由正弦定理得，则，所以的面积；小问2详解】因为，则，所以，因为且函数在上单调递减，所以，则，所以，由正弦定理得，因为，所以，由于函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，则，故的取值范围为.16.如图，三棱柱中，平面，，，，过的平面交线段于点E（不与端点重合），交线段BC于点F.（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质推导出，利用面面平行的性质可推导出，即可证得结论成立；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值．【小问1详解】证明：因为，平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，因此四边形为平行四边形．【小问2详解】在平面内过点作，因为平面，，平面，所以，．以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以，，因为，所以，，设平面的一个法向量为，则，则，令，得，，所以为平面的一个法向量，而，设直线与平面所成角为，于是得，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.已知数列的前n项和为，，（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据条件，得到当，时，，且有，由等比数列的定义即可证明结果；（2）由（1）及条件可得，，再利用等比等差数列前项和公式分组求和，即可求解．【小问1详解】证明：因为，所以当，时，，即又时，，所以数列为首项为1，公比为3的等比数列．【小问2详解】由（1）知，所以，又由，可得，所以18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数，求函数极值点的个数；（3）当时，若在上恒成立，求证：.【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程；（2）求导，结合二次方程解的情况分情况讨论函数单调性，进而可得极值点情况；（3）由在上恒成立，得在上恒成立，构造函数，可转化为，根据导数可求得，即可转化为，证明成立，即证明，可转化为，构造新函数，结合函数单调性及最值情况可得证.【小问1详解】当时，，则，所以切线斜率，又，则切线方程为；【小问2详解】由已知，则，对于方程，，①当时，，则，在上单调递增，此时没有极值点；②当时，设方程的两根为，，不妨设，则，，即，所以当或时，，当时，，即函数在和上单调递增，在上单调递减，此时，是函数两个极值点；③当时，设方程的两根为，，则，，故，，所以当时，，单调递增，此时没有极值点；综上所述，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点；【小问3详解】由在上恒成立，得在上恒成立，设，，当时，，在上单调递增，此时显然不恒成立.当时，若，则，在上单调递增，若，则，在上单调递减，所以，所以，要证成立，因为，即证明因为，令，，，令得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，所以，所以成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．19.已知集合，若存在数阵满足：①；②.则称集合为“好集合”，并称数阵T为的一个“好数阵”.（1）已知数阵为的一个“好数阵”，试写出x，y，z，w的值：（2）若集合为“好集合”，证明的“好数阵”必有偶数个；（3）判断是否为“好集合”.若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由.【答案】（1），，，（2）证明见解析（3）不是“好集合”；是“好集合”，且满足,,,,的好数阵有四个：；；；．【解析】【分析】（1）直接根据新定义解出未知量的值；（2）先证是不同于的“好数阵”，再证、，列举两个“好数阵”，即可证明；（3）假设为“好集合”，根据新定义可得，证明不是偶数即可求解.【小问1详解】由“好数阵”的定义，知，，，,,,,4,5,，故，，，,,，进一步得到，，从而，，，．【小问2详解】如果是一个“好数阵”，则，.从而，.故也是一个“好数阵”.由于是偶数，故，从而.所以数阵和的第1行第2列的数不相等，故是不同的数阵.设全体“好数阵”构成的集合为S，并定义映射如下：对，规定.因为由中元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合.而，即，从而是满射，由是有限集，知也是单射，故是一一对应.对于“好数阵”，已证数阵和是不同的数阵，故.同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则.所以，当且仅当.最后，对，由，称2元集合为一个“好对”.对，若属于某个“好对”，则或，即或.由于，故无论是还是，都有.所以每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个.【小问3详解】设是集合的一个“好数阵”，由题意得；，相加得：，即，当时，，与矛盾；所以不是“好集合”．当时，，若,,,,，因为,,,,，,,,,，所以,,,,只有以下两种可能：,5,9,8,和,5,9,7,，（i）若,,,,,5,9,8,，则,,,,,2,4,6,，使的只有，使的有两种可能：，或，情形一：时，只有，，，可得；情形二：时，只有，，，可得；（ii）若,,,,,5,9,7,，则,,,,,2,3,6,，使的只有，使的有两种可能：，或，情形一：时，只有，，，可得，情形二：时，只有，，，可得，综上，不是“好集合”；是“好集合”，且满足,,,,的好数阵有四个：；；；．【点睛】方法点睛：学生在理解相关新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.。

2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}13,Z M x x x =-<≤∈{}1,0,1,2N =-M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}12x x -<≤{}1,0,1,2-{}0,1,2{}1,0,1,2,3-【答案】C【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可.M 【详解】因为，{}13,Z M x x x =-<≤∈所以，又，{}0,1,2,3M ={}1,0,1,2N =-所以.{}0,1,2M N = 故选：C.2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i 为虚数单位）i1i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（ ）A ．B ．C ．0D ．13-1-【答案】B【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．z a 【详解】，222(1i)i i 1i ((1i i 1i 1i))111a a a z a a a a a a +-+-==+-==++++-复数为“等部复数”，i1i z a =-，22111a a a -∴=++1a ∴=-故选：B ．3．攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天20233612气预报数据，下列说法错误的是（ ）A ．这天的单日最大温差为度的有天7172B ．这天的最高气温的中位数为度729C ．这天的最高气温的众数为度729D ．这天的最高气温的平均数为度729【答案】D【分析】确定这天的单日最大温差为度的日期，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 717选项；利用众数的概念可判断C 选项；利用平均数公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A 对；7173103112对于B 选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），728282929293031C故这天的最高气温的中位数为度，B 对；729对于C 选项，这天的最高气温的众数为度，C 对；729对于D 选项，这天的最高气温的平均数为，D 错.728229330312042977⨯+⨯++=>故选：D.4．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x 的取值范围是()f x []3,2-（ ）A ．B ．[]4,1-[]2,4-C ．D ．[]1,4-[]1,2-【答案】B【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩数值域，可求得答案.【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，该函数解析式为 ，2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩输出的函数值在区间 内 ，[]3,2-必有当时，，，1x >20log 2x <≤14x ∴<≤当 时 ，，，1x ≤310x -≤-≤21x ∴-≤≤即得 ．[2,4]x ∈-故选∶B ．5．若角的终边上有一点，则（ ）β()2,1P tan 2β=A ．B ．C ．D ．4343-4545-【答案】A【分析】根据正切函数的定义及二倍角的正切公式求解.【详解】因为角的终边上有一点，β()2,1P 所以，1tan 2β=所以，22tan 14tan 211tan 314βββ===--故选：A6．对于直线m 和平面，，下列命题中正确的是（ ）αβA ．若，，则B ．若，，则//m α//αβ//m βm β⊥αβ⊥//m αC ．若，，则D ．若，，则m α⊥//αβm β⊥m α⊂αβ⊥m β⊥【答案】C【分析】根据线面关系和面面关系逐项判断可得出答案.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；//m α//αβ//m βm β⊂对于B ，若，，则或，故B 错误；m β⊥αβ⊥//m αm α⊂对于C ，若，，则，故C 正确；m α⊥//αβm β⊥对于D ，若，，则与相交或或，故D 错误.m α⊂αβ⊥m β//m βm β⊂故选：C.7．已知，，，，若“p 且q ”是真命题，则实数a:[1,2]p x ∀∈20x a -≥0:q x ∃∈R 200220x ax a ++-=的取值范围是（ ）A ．B ．C ．或D ．且2a ≤-1a ≤2a ≤-1a =2a >-1a ≠【答案】C【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解p qa 【详解】若p 真，则；若q 真，则或．又因为“p 且q ”是真命题，所以或1a ≤2a ≤-1a ≥2a ≤-．1a =故选：C ．8．已知，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）0.0232log 8,π==a b A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b【答案】D【分析】由对数的运算法则求出a ,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b ,c 进行放缩，最后求得答案.【详解】由题意，，，533223log 8log 20.65a ====0.020ππ1b =>=，则.ππsinsin1sin 43c <<⇒<<a c b <<故选：D.9．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．32π2π1285π【答案】D【分析】计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率.【详解】设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.HC AF P AF M ,OM AO 则，设，则，故，OM AF ⊥AP a =222354222a a a ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭285a =而题设中空白部分的面积为，22214342a a ⎫⨯⨯⨯+=⎪⎪⎭故点落在白色部分的概率是，22484ππ5πa a ==故选：D.10．已知双曲线，A 为双曲线C 的左顶点，B 为虚轴的上顶点，直线l 垂()2222:10,0x y C a b a b -=>>直平分线段，若直线l 与C 存在公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）AB A ．B ．C ．D．)+∞)+∞(【答案】B【分析】先根据题意求得直线l 的斜率，再根据直线l 与C 存在公共点，只需直线l 的斜率大于渐近线的斜率即可求解.ba -【详解】依题意，可得，则，()(),0,0,A a B b -00AB b bk a a -==+又因为直线l 垂直平分线段，所以，AB l a k b =-因为直线l 与C 存在公共点，所以，即，a b ba ->-22a b <则，即，解得222a c a <-2222,2c e a <>e >所以双曲线C 的离心率的取值范围是.)+∞故选：B11．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()12f x >ω图象的一条对称轴为（ ）()f x A ．B ．π8x =3π16x =C ．D ．π2x =3π4x =【答案】A【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3ππ3383x ωω<+<+1()2f x >3ππ83ω+出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案.ωω43【详解】，,3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0ω>，ππ3ππ3383x ωω∴<+<+，1()2f x >，π3ππ5π3836ω∴<+≤，所以的最大值为，403ω∴<≤ω43当时，令，43ω=4π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4πππ,Z 332x k k +=+∈解得，π3π,Z 84x k k =+∈当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.0k =π8x =故选：A12．定义在R 上的连续函数满足，且为奇函数.当时，()f x ()()11f x f x -=+()42y f x =+(]2,3x ∈，则（ ）()()()3232f x x x =---(2022)(2023)f f +=A ．B ．C ．2D ．01-2-【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期()()2=f x f x -()()22f x f x -+=-+()f x 为，再根据求解即可.4()()20233f f =【详解】因为函数满足，所以关于对称，()f x ()()11f x f x -=+()f x 1x =即①.()()2=f x f x -又因为为奇函数，所以，()42y f x =+()()4242f x f x -+=-+即②.()()22f x f x -+=-+由①②知，()()2=-+f x f x 所以，()()()24f x f x f x +=-+=-即，所以函数的周期为，()()4f x f x =+()f x 4所以，()()()2023505433f f f =⨯+=,()()()2022505422=⨯+=f f f 因为时，，(]2,3x ∈()()()3232f x x x =---所以，3(3)(32)3(32)2f =---=-又为奇函数，所以当时，，(42)y f x =+0x =(2)0f =所以，(2022)(2023)022f f +=-=-故选：B.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为___________.010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+【答案】2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】作出约束条件对应的平面区域，如图所示，010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩由，可得直线，2z x y =+122z y x =-+当直线过点A 时，此时直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，122zy x =-+y z 又由，解得，010x x y =⎧⎨+-=⎩(0,1)A 所以的最大值为.z 0212z =+⨯=故答案为：2.14．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则2:4C y x =________.OA OB ⋅=【答案】3-【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一AB 元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.126x x +=121=x x 1212OA OB x x y y ⋅=+【详解】抛物线的焦点为，24y x =()1,0设A ，B 两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，11(,)x y 22(,)x y AB 1y x =-将直线和抛物线联立，可得，241y x y x ⎧=⎨=-⎩2610x x -+=其中，364320∆=-=>则，，126x x +=121=x x .1212OA OB x x y y ⋅=+()()121211x x x x +--=()121221x x x x =-++21613=⨯-+=-故答案为：3-15．如图，圆台中，O 在线段上，上下底面的半径分别为12O O 12O O =12OO ，________.11r =2r =【答案】69π5【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.【详解】设外接球半径为R，，=26920R =所以外接球表面积为，269π4π5R =故答案为：.69π516．如图，四边形中，与相交于点O ，平分，ABCD AC BD AC DAB ∠，，则的值_______.π3ABC ∠=33AB BC ==sin DAB ∠【分析】由余弦定理求出AC =sin BAC ∠=【详解】在中，，ABC π,3,13ABC AB BC ∠===由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯，2213123172=+-⨯⨯⨯=所以.AC =由正弦定理得，sin sin BC ACBAC ABC =∠∠即sin sin BC ABC BAC AC ∠∠⋅===cos BAC ∠=又因为平分，所以.AC DAB∠sin 2sin cos DAB BACBAC ∠∠∠==三、解答题17．某企业从生产的一批产品中抽取个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结100果制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；100x(2)用频率代替概率，按分层抽样的方法从质量指标值位于、内的产品中随机抽取[)15,25[)35,45个，再从这个产品中随机抽个，求这个产品质量指标值至少有一个位于内的概率.6622[)35,45【答案】(1)平均数为，中位数为25x =23.75(2)35【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出，利用x 中位数的定义可求得样本的中位数；（2）分析可知质量落在有个，分别记为、、、，质量落在有个，分别[)15,254A B C D [)35,452记为、，列举出所有的事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可a b 求得所求事件的概率.【详解】（1）解：由已知得．100.01510200.04010300.02510400.0201025x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=因为．设中位数为，则，0.150.40.5+>x ()15,25x ∈则，解得．()0.015100.04150.5x ⨯+⨯-=23.75x =（2）解：质量指标值位于、内的产品的频率分别为，[)15,25[)35,450.04100.4⨯=，其中，0.02100.2⨯=0.4:0.22:1=所以用分层抽样的方法抽取的个产品中，质量落在有个，6[)15,254分别记为、、、，质量落在有个，分别记为、，A B C D [)35,452a b 则从这个产品中随机抽个，共种情况，如下：、、、、、、6215AB AC AD Aa Ab BC 、、、、、、、、，这种情况发生的可能性是相等的.BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 15设事件为从这个产品中随机抽个，M 62这个产品质量指标值至少有一个位于内，2[)35,45有、、、、、、、、，共种情况.Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab 9则.()93155P M ==18．已知等差数列的公差为，前n 项和为，现给出下列三个条件：①成等{}n a ()0d d ≠n S 124,,S S S 比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.432S =()6632S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，且，设数列的前n 项和为，求证：.()122n n n b b a n --=≥13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 1132n T ≤<【答案】(1)42n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）先分析条件①②③分别化简，若选①②，①③，②③，联立化简后条件求首项与公差得出通项公式即可；（2）由，利用累加法求出求出，再由裂项相消法求出的前n 项和，结()122n n n b b a n --=≥n b 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭合的单调性可得证.n T 【详解】（1）由条件①得，因为，，成等比数列，则，1S 2S 4S 2214S S S =即，又，则，()()2111246a d a a d +=+0d ≠12d a =由条件②得，即，414632S a d =+=13162a d +=由条件③得，可得，即.()6632S a =+()11615352a d a d +=++12a =若选①②，则有，可得，则；1122316d a a d =⎧⎨+=⎩124a d =⎧⎨=⎩()1142n a a n d n =+-=-若选①③，则，则；124d a ==()1142n a a n d n =+-=-若选②③，则，可得，所以.1343162a d d +=+=4d =()1142n a a n d n =+-=-（2）由，且，()12284n n n b a n b n -=--=≥13b =当时，2n ≥则有()()()()1213213122084n n n b b b b b b b b n -=+-+-++-=++++- ()()2841213412n n n -+-=+=-又也满足，故对任意的，有，13b =241n b n =-*n ∈N 241n b n =-则，()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以，21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦ 由于单调递增，所以，21n n T n =+113n T T ≥=综上：.1132n T ≤<19．如图1，圆O 的内接四边形中，，，直径.将圆沿折ABCD 45DAC ∠=︒60CAB ∠=︒2AC =AC 起，并连接、、，使得为正三角形，如图2.OB OD BD BOD(1)证明：图2中的平面；AB ⊥BCD (2)在图2中，求三棱锥的体积.D OBC -【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理证明，然后结合可证；AB BD ⊥AB BC ⊥（2）利用可求答案.12D OBC O BCD A BCDV V V ---==【详解】（1）由题意得到，.1AB BD ==AD =222AD AB BD =+所以.AB BD ⊥因为为直径所对的圆周角，所以.ABC ∠AB BC ⊥又，平面，平面，BD BC B ⋂=BD ⊂BCD BC ⊂BCD 平面.∴AB ⊥BCD （2）因为平面，平面，AB ⊥BCD CD ⊂BCD所以，因为，，AB CD ⊥AD CD ⊥AB AD A ⋂=所以平面，因为平面，所以，DC ⊥ABD BD ⊂ABD DC BD ⊥所以1122D OBC O BCD A BCD V V V AB BD DC ---===⋅⋅20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.C ()12,0F -()22,0F G ⎛ ⎝(1)求椭圆的标准方程；C (2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆上，动点在椭圆上，直线、C M N A 221x y +=B C MA 的斜率分别为、，且.证明：、、三点共线.MB 1k 2k 125k k =N A B 【答案】(1)2215x y +=(2)证明见解析【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标c a b C 准方程；（2）计算得出，结合已知条件可得出，即可证得结论成立.15BM BN k k ⋅=-AN BN k k =【详解】（1）易知椭圆的.2c =点在椭圆上，且G 12GF GF +==∴2a a =⇒=由得，椭圆的标准方程为：.222a b c =+1b =∴C 2215x y +=（2）设，()22,B x y因为.22222222222211111555BM BNy y y y k k x x x y -+--⋅=⋅===--由得.125k k =21115BN k k k =-=-为圆的直径，所以，，.MN 221x y +=NA MA ⊥∴11AN BN k k k =-=故、、三点共线.N A B 【点睛】关键点点睛：本题考查三点共线的证明，解题的关键在于根据椭圆的方程计算得出，以及由圆的几何性质得出，结合斜率关系来进行证明.15BM BN k k ⋅=-NA MA ⊥21．已知函数在处的切线方程为.()e ln x f x x a x=-1x =()2e 1y x b =+-(),a b R ∈(1)求实数a ，b 的值；(2)当时，恒成立，求正整数m 的最大值.1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2e 0x f x x m --+<【答案】(1)，1a =-e 1b =+(2)3【分析】（1）求出导数，根据题意列出方程组求解即可得解；（2）分离参数转化为的最小值，利用导数判断单调性及极值确定最小值()()2e ln x g x x x x=-+-+为，根据单调性求出的范围即可得解.()00212g x x x =-++()0g x 【详解】（1）定义域为，.()0,∞+()()1e x af x x x '=+-由题意知，()()12e 2e 112e 1e f a f b ⎧=-=+⎪⎨=+-='⎪⎩解得，.1a =-e 1b =+（2）由题意有恒成立，即恒成立()2e ln 0x x x x m -+-+<()2e ln x m x x x <-+-+设，，.()()2e ln xg x x x x =-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()11e x g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭当时，，∴112x ≤≤10x -≥令，其中，则()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()21e 0x h x x '=+>所以函数在上单调递增()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，，所以存在唯一，1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()1e 10h =->01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得，即，可得.()0001e 0x h x x =-=001e x x =00ln x x =-当时，，此时函数单调递减，012x x <<()0g x '>()g x 当时，，此时函数单调递增.01x x <<()0g x '<()g x ，∴()()()()00000000min 00122ln 2212x g x g x x e x x x x x x x ==-+-+=-+⋅+=-++，由对勾函数性质知函数在递减，21122(1y x x x x =-++=+-()0,1x ∈，.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()()0002123,4g x x x =-++∈当时，不等式对任意恒成立，∴3m ≤()2e ln xm x x x <-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦正整数m 的最大值是3.∴【点睛】关键点点睛：第一个关键点首先要分离参数，将问题转化为恒成立，()2e ln x m x x x<-+-+第二个关键在于求取函数的最小值，需结合零点存在性定理得出隐零点()()2e ln x g x x x x=-+-+，分析的范围.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000212g x x x =-++22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），曲线xOy 1C 11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.()222:24C x y -+=(1)求，的极坐标方程；1C 2C (2)若射线分别与曲线，相交于A ，B 两点，求的面积.()π06θρ=≥1C 2C 2C AB △【答案】(1)，2cos 24ρθ=4cos ρθ=【分析】（1）两式平方相减消去参数即可得出曲线普通方程；利用将直角坐标方程1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义，求得的长，利用直线与夹角为及的长，求得AB 2OC π6θ=π62OC 边上的高，从而求得面积.AB 【详解】（1）依题意得，化简整理得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩224x y -=令，，化简得.cos x ρθ=sin y ρθ=2cos 24ρθ=对于，化简得：.()22222440x y x y x -+=⇒+-=4cos ρθ=（2）设，(),A A ρθ(),B B ρθ依题意得，解得2cos 24π6ρθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩A ρ=，解得，4cos π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩Bρ=∴B A AB ρρ=-=-设到射线的距离为d ，2C π6θ=，解得，2πsin6d OC =1d =∴(21122C AB S AB d =⋅==△23．已知函数.()13f x x x =-+-(1)解不等式；()1f x x ≤+(2)设函数的最小值为c ，正实数a ，b 满足，求的最小值.()f x a b c +=111a b ++【答案】(1)[]1,5(2)43【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式得c 的值，再利用基本不等式求的最小值.111a b ++【详解】（1）当时，不等式可化为，，1x <4211x x x -≤+⇒≥x ∈∅当时，不等式可化为，得，即.13x ≤≤21x ≤+1x ≥13x ≤≤当时，不等式可化为，得，即.3x >241x x -≤+5x ≤35x <≤综上所述，原不等式的解集为.[]1,5（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=所以，即.2c =2a b +=所以.()1111111412131313b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取到等号，21a b a b +=⎧⎨=+⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的最小值为.111a b ++43。

2024届重庆市普通高中高三第三次教学质量检测试题考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦2．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45- 3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．4．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1D ．1-6．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形8．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<D ．{|1e}AB x x =-<<9．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-10．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1B ．2C ．3D ．511．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 12．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．51二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届江苏省南通等六市高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=2．函数f (x )＝21xx e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．3．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A 6B 6C ．32π D ．23π4．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2π C ．πD ．32π 5．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．1106．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --= B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=7．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）8．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．1369．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos 5θ=，则该双曲线的离心率为（ ）A 5B 5C ．2D ．410．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 11．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年柳州市高三数学第三次模拟考试卷（考试时间120分钟满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．70%B ．60%C ．50%D ．40%2．已知i 是虚数单位，若()()1i a i ++为实数，则实数a 的值为A ．1B ．-2C ．-1D ．03．已知AB=(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅ =A ．-3B ．-2C ．2D ．34．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为mk 的星的亮度为Ek （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种6．已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上四点，ABC 934则三棱锥-P ABC 体积的最大值为（）A 33B 934C ．33D 1537．椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为e ，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x和2x ，则点()12,P x x （）A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．与圆222x y +=的关系与e 有关8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的x ，R y ∈，都有()()y x x f f y -<-.若函数()()g x f x x -=，则不等式()()2220g x x g x -+-<的解集是（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),12,-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若a b >，则（）A ．330a b ->B ．()ln 0a b ->C ．e 1a b ->D ．0a b ->10．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的,a b S ∈，对于有序元素对(),a b ，在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应）.若对任意的,a b S ∈，有()**a b a b =，则对任意的,a b S ∈，下列等式中恒成立的是（）A ．()**a b a a =B ．()()****a b a a b a ⎡⎤=⎣⎦C ．()**b b b b=D ．()()****a b b a b b⎡⎤=⎣⎦11．正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当0λ=，1μ=时，AP 与平面ABC 所成角为π4B ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥C ．当1λ=，12μ=时，平面1AB P ⊥平面1A AB D ．若1AP =，则点P 的轨迹长度为π2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若()f x ＝πsin()4a x +＋π3sin()4x -是偶函数，则实数a ＝______．13．已知过原点O 的一条直线l 与圆C ：()2223x y ++=相切，且l 与抛物线()220y px p =>交于O ，P两点，若4OP =，则p =．14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2π3ABC ∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则4a c +的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，F 是PB中点，(1)求证：AF ⊥平面PBC ；(2)求二面角P AC F --的余弦值.16．已知数列{}n a 满足：112333n nn a a a n -+++=⋅ ，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对任意*N m ∈．将数列{}n a 中落入区间()22,2m m内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m T ．17．某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据()(),1,2,3,4,5,6i i x y i =，如下表所示：试销单价x （百元）123456产品销量y （件）9186p 787370附：参考公式：()()()1122211nni ii ii i n niii i x x yyx y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$．参考数据：611806i i y y ===∑，611606i i i x y ==∑，62191i i x ==∑．(1)求p 的值；(2)已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （百元）的线性回归方程y bx a=+$$$（计算结果精确到整数位）；(3)用 i y 表示用正确的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值．当销售数据(),i i x y 的残差的绝对值1i i y y -<时，则将销售数据称为一个“有效数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数ξ的分布列和期望．18．已知函数()1ln e xxf x +=．(1)求函数()f x 在点()()1,f x 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()f x '为()f x 的导函数，设()()()2g x x x f x '=+．证明：对任意0x >，()21e g x -<+．19．M 是一个动点，1MM 与直线52y =垂直，垂足1M 位于第一象限，2MM 与直线52y x =垂直，垂足2M 位于第四象限，且122081MM MM ⋅= ．(1)求动点M 的轨迹方程E ；(2)设()12,0A -，()22,0A ，过点()3,0的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），P 为直线1A A ，2A B 的交点，当点P 的纵坐标为106时，求直线l 的方程．1．C【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可．【详解】由题意可得如下所示韦恩图：所求比例为：60%80%90%50%+-=．故选：C ．2．C【分析】先由复数的乘法运算将复数整理，再由复数的基本概念即可求出结果.【详解】()()()111i a i a a i ++=-++ 为实数，10a ∴+=，得1a =-．答案：C 【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的基本概念，属于基础题型.3．C【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=- ，221(3)1BC t =+-= ，得3t =，则(1,0)BC = ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．4．A【解析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-,()10.111212222lg(1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.5．C【详解】根据题意，分3步进行：①从5名志愿者中选派4人参加活动，有45C 5=种选法；②将4人分为2组，有2242C C 32=种分法；③将2组进行全排列，对应星期六和星期日，有22A 2=种情况，则共有53230⨯⨯=，故选C.6．B【分析】由正弦定理可求得ABC 外接圆半径r ，进而可得球心O 到平面ABC 的距离，结合球的性质可知三棱锥-P ABC 的高的最大值，从而得解.【详解】设ABC 的边长为a ，则24s n 19360i 2ABC S a =︒=△，所以3a =，设ABC 的外接圆的圆心为M ，半径为r ，则32sin 60r =︒，得3r =，则球心O 到平面ABC 的距离22222(3)1O O M r B =--=，当,,P O M 共线且O 位于,P M 之间时，三棱锥-P ABC 的高最大，为123+=，此时三棱锥D ABC -的体积也最大，最大值为193933344=故选：B ．7．A【分析】由恒等式()2221212122x x x x x x +=+-以及韦达定理即可得到2212x x +关于e 的表达式，然后证明2212x x +一定小于2，即可得到A 正确.【详解】根据题目条件有222b a c =-，ce a=.由1x 和2x 是方程20ax bx c +-=的两个根，故由韦达定理得12b x x a+=-，12cx x a =-，从而()2222212121222222b c b acx x x x x x a a a ++=+-=+=()222222222112212a c ac c c e e e a a a-+==+-=+-=--<.这表明点()12,P x x 一定在圆222x y +=内，A 正确.故选：A.8．D【分析】由()f x 的奇偶性可判断()g x 也为奇函数，然后结合|()()|||f x f y x y -<-，及单调性的定义可判断()g x 单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．【详解】()()g x f x x -= ，()()g x f x x ∴=+，由于()f x 是定义在R 上的奇函数，即()()0f x f x +-=，()()()()g x f x x f x x g x ∴-=--=--=-，故()g x 为奇函数，对于任意的x ，R y ∈，有|()()|||f x f y x y -<-，()()()()||g x x g y y x y ∴---<-，当x y ≠时，有()()()1g x g y x y ---<-，即()()11g x g y x y--<-，()()02g x g y x y-∴<<-，()g x ∴单调递增，2(2)(2)0g x x g x -+-< ，2(2)(2)(2)g x x g x g x ∴-<--=-，222x x x ∴-<-，整理可得，2320x x -+>，解可得，2x >或1x <，故选：D 9．AC【分析】利用幂函数、对数函数、指数函数的性质，结合特殊值法即可得解.【详解】对于A ，因为3y x =在R 上单调递增，a b >，所以33a b >，即330a b ->，故A 正确；对于B ，取1,0a b ==，满足a b >，但()ln ln10a b -==，故B 错误；对于C ，因为a b >，所以0a b ->，则0e e 1a b ->=，故C 正确；对于D ，取0,1a b ==-，此时10a b -=-<，故D 错误.故选：AC.10．BCD【分析】根据已知中*(*)a b a b =，对四个答案的结论逐一进行论证，即可求解结论．【详解】根据条件“对任意的a ，b S ∈，有*(*)a b a b =”，则：A 中，无法确定()**a b a a =是否一定成立，故A 错误；B 中，[*(*)]*(*)]*(*)a b a a b b a b a ==，一定成立，故B 正确；C 中，*(*)b b b b =，一定成立，故C 正确；D 中，将*a b 看成一个整体，则*a b S ∈，故()()****a b b a b b ⎡⎤⎦=⎣，故D 正确.故选：BCD ．11．AC【分析】利用线面夹角定义直接判断选项A ，结合平面基本定理和勾股定理即可判断选项B ，建立空间直角坐标系，利用向量法判断面面垂直，即可判断选项C ，结合长度关系，判断点P 轨迹，即可判断选项D.【详解】当0λ=，1μ=时，P 与1B 重合，由已知得，1B B ⊥平面ABC ，所以1B AB ∠就是1AB 与平面ABC 所成的角，因为11AB AA ==，所以11tan 1BB B AB AB∠==，所以1π4B AB ∠=，即AP 与平面ABC 所成角为π4，A 正确；当12λ=时，取线段11,BC B C 中点分别为1,M M ，连接1MM ，因为112BP BC BB μ=+ ，即1MP BB μ= ，所以1MP BB ∥，则点P 在线段1MM 上，设()01MP x x =≤≤，则11PM x =-，则2222212BP BM MP x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()22221111312A P A M PM x =+=+-，212A B =，若1A P BP ⊥，则22211A B BP A P =+，则()22132144x x =+++-，则()10x x -=，所以1x =或0x =，则点P 与M 、1M 重合时，1A P BP ⊥，即当12λ=时，存在两个点P使得1A P BP⊥，故B错；当1λ=，12μ=时，112BP BC BB=+，则112C BP B=，所以P是1CC中点，取BC中点Q，11B C中点H，建立空间直角坐标系，如图，则32A⎫⎪⎪⎝⎭，10,,02B⎛⎫⎪⎝⎭，110,,12B⎛⎫⎪⎝⎭，110,,22P⎛⎫-⎪⎝⎭，所以31,02AB⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()10,0,1BB=，131,,122AB⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，311,,222AP⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面1A AB和平面1AB P的一法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z==，则11113102AB m x yBB m z⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，12222223102311022AB n x y zAP n x y z⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，解得1113yz⎧=⎪⎨=⎪⎩，2222312x zy z⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令11x=，22z=，可得()3,0m= ，)3,1,2n=-，因为330m n⋅==，所以m n⊥，即平面1AB P⊥平面1A AB，C正确；若1AP =，因为1BP BC BB λμ=+，所以点P 在平面11BCC B 上，又11AB AA ==，所以点P 只能落在,B C 两点上，故D 错.故选：AC 12．3-【分析】由函数()f x 是R 上的偶函数，则())π44(πf f =-，代入计算并验证即可求出a .【详解】函数()f x 是R 上的偶函数，则()π44(πf f =-，4()πf -＝ππsin(44a -+＋ππ3sin()44--＝πsin 0+3sin()=32a --，()π4f ＝ππsin(44a +＋ππ3sin()44-＝πsin 3sin 02a a +=，故3a =-，即()3sin()3sin(3(sin cos cos sin )3(sin cos cos sin )444444f x x x x x x x ππππππ=-++-=-++-()32f x x ⇒=-，因为()32)32()f x x x f x -=--=-=，所以函数()32f x x =-是偶函数，3a =-符合题意，故答案为：3-13．3【分析】根据直线与圆相切可得3k =，进而联立直线与抛物线方程，可得223,33p P ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，即可根据两点间的距离公式求解.【详解】由于圆心为()2,0C -，半径为3r =，故直线l 一定有斜率，设l 方程为y kx =2231k k =+3k =±，故直线l 方程为3y =，联立3y =与()220y px p =>可得23200x px x -=⇒=或23p x =，故223,33p p P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故22223443333p p OP p p ⎛⎫⎛⎫=+±=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：314．18【分析】利用三角形面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则ABC 的面积为3111sin 2si i 2ππn π33n 2s 222ac a c =⋅+⋅，则22ac a c =+，所以1112a c +=，显然,0a c >，故11444(4)22525218c a c a a c a c a c a c a c ⎛⎛⎫⎛⎫+=++⨯=⨯++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当41112c a a c a c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即63a c =⎧⎨=⎩时取等号.所以4a c +的最小值为18.故答案为：18.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用角平分线与三角形面积公式得到,a c 的关系式1112a c +=，从而得解.15．(1)证明见解析63【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质依次证得CB ⊥平面PAB ，AF ⊥平面PBC ，从而得证；（2）依题意建立空间直角坐标系，假设PA AB AD a ===，分别求得平面FAC 与平面PAC 的法向量，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）PA ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PA BC ∴⊥，四边形ABCD 为正方形，CB AB ∴⊥，又,,PA AB A PA AB ⋂=⊂平面PAB ，CB ∴⊥平面PAB ，又AF ⊂ 平面,PAB AF BC ∴⊥，,PA AB F = 为PB 中点，AF PB ∴⊥，又,,BC PB B BC PB ⋂=⊂平面PBC ，AF ∴⊥平面PBC .（2）易知,,PA AB AD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA AB AD a ===，则()()()()()0,0,0,0,0,,0,,0,0,,,,,0,,0,022a a A P a B a F C a a D a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()0,,,,,0,0,0,22aa AF AC a a AP a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，设平面FAC 的法向量(),,n x y z = ，则002200a aAF n y z AC n ax ay ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪+=⎩⎩ ，令1x =，则1,1y z =-=，故()1,1,1n =- ，设平面PAC 的法向量(),,m s r t = ，则000AP m at as ar AC m ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，令1s =，则1,0r t =-=，故()1,1,0m =- ，设二面角P AC F --的余弦值为θ，结合图形可知θ为锐角，所以26cos cos ,332m n m n m n θ⋅===⨯所以二面角P AC F --6.16．(1)21n a n =+(2)m T 214233m m =⨯-+【分析】（1）根据,n n a S 的关系，作差即可求解，（2）根据114222m mm b =⨯-⨯，即可由等比求和公式求解.【详解】（1）当1n =时，由1133a ==，得13a =当2n ≥时，112333n nn a a a n -+++=⋅ ()211213313n n n a a a n ---∴+++=-⋅ 两式相减，得()()1113313321n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+21n a n ∴=+当1n =时，1213a =+=综上可知，21n a n =+（2）由题意22212m mn <+<2212122m m n --∴<<,故222222m m n -≤≤，2222,22m m-∈∈N N ,2222111422222m mm mm b -∴=-+=⨯-⨯()()41421211214212m m m T --∴=⨯-⨯--214233m m =⨯-+17．(1)82p =(2) 495y x =-+(3)见解析【分析】（1）根据平均数的计算即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解，（3）由超几何分布的概率公式即可求解.【详解】（1）由611806i i y y ===∑，得9186787370806p +++++=，解得82p =．（2）1234563.56x +++++== ，而6662111180160691,6,i i i i i i i y y x y x =======∑∑∑，216066 3.580744916 3.517.5b -⨯⨯-∴==≈--⨯ ，7480 3.594.89517ˆ.5a -⎛⎫=-⨯=≈ ⎪⎝⎭，所求的线性回归方程为： 495y x =-+；（3）由（2）可知， 12345691,87,83,79,75,71y y y y y y ======，故有效数据为()1,91，ξ的取值可能为0，1，()2526C 20C 3P ξ===，()115126C C 11C 3P ξ===，则ξ的分布列为ξ01P 2313()13E ξ=.注：若第（2）问代整数计算：()804 3.94ˆ5a =--⨯=所求的线性回归方程为： 494y x =-+由（2）可知， 12345690,86,82,78,74,70y y y y y y ======，故有效数据为()()()()2,86,3,82,4,78,6,70ξ的取值可能为0,1,2()0226C 10C 15P ξ===()114226C C 81C 15P ξ===()2426C 62C 15P ξ====则ξ的分布列为ξ012P 115815615()18640121515153E ξ=⨯+⨯+⨯=18．(1)1ey =(2)单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，可得切点处的导数值，即可求解直线方程，（2）求导，判断导函数的正负即可求解函数单调性，（3）构造函数()1ln F x x x x =--和()()e 1x G x x =-+，利用导数求解函数的单调性，进而可求解最值，即可求证.【详解】（1）()()()211e 1ln e 1ln e e x x x x x x x x f x -+--='=，()()10,1ef x f ='=，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为：1ey =.（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，令()()2211111ln ,x h x x h x x x x x+=--=--=-'，当0x >时，()0h x '<，故()h x 在()0,∞+单调递减，()10h = ，∴当01x <<时，()()()0,0,h x f x f x >'>单调递增,当1x >时，()()()0,0,h x f x f x <'<单调递减,()f x ∴的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,∞+.（3）()()()()()()()222211ln 1ln 11ln e e e x x x x x x x x x x g x x x f x x x x x x ----++=+=+--'==，令()()1ln ,2ln F x x x x F x x '=--=--，当20e x -<<时，()()0,F x F x '>单调递增；当2e x ->时，()()0,F x F x '<单调递减，()()22e 1e F x F --∴≤=+，令()()()e 1,e 1x x G x x G x '=-+=-，当0x >时，()()0,G x G x '>单调递增，故()()00G x G >=，1e 10,1e x x x x +∴>+><，，()()211ln 1e ex x g x x x x -+∴=--<+.【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19．(1)()22:1245x y E x -=≥(2)310320x y =+【分析】（1）根据二倍角公式以及诱导公式可得121cos 9M MM ∠=，进而根据点到直线的距离公式，即可根据数量积求解，（2）联立直线与曲线方程得韦达定理，进而根据点斜式求解直线的方程，即可求解交点，进而可得4510,36P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,进一步可得()6,210A ，即可求解.【详解】（1）设(),M x y ，直线52y x =的倾斜角为θ，则5tan 2θ=121222tan tan tan2450,1tan M OM M OM θθθ∠===-<∠-为钝角，121cos 9M OM ∴∠=-()1212121cos cos πcos 9M MM M OM M OM ∠=-∠=-∠=，122255525222,33551122x y x y x y x yMM MM --==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎭=⎝++=所以12525212033981x yx y MM MM -⋅=⋅⨯= +由于1M 位于第一象限，2M 位于第四象限，所以M 的轨迹方程()22:1245x y E x -=≥（2）设()()1122:3,,,,l x my A x y B x y =+联立：223145x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简得：()225430250m y my -++=则()221212223025,,9001005405454my y y y m m m m -+==∆=-->--，直线()111:22y AA y x x =++，直线()222:22y BA y x x =--联立消去y 得：()()()()()()()()122112211212122112211222152522222155y x y x y my y my my y y y x y x y x y my y my y y -+++++++=-=-=---++-+-又()121256y y y y m =-+()12121212121255254322553y y y y my y y y x y y y y -+++++∴=-=-=--故点4510,36P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线1AA 的斜率为：5101064423=+联立()221024145y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去x 化简得：22100y y -=故11210,6y x ==，故()6,210A ,3331020210x m y -===直线l 的方程为310320x y =+。

黑龙江大庆市第三十五中学2024届高三下学期第三次月考（5月）数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3πB ．4π C ．2π D ．π2．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =-3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．B ．2C ．1-D ．15．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( ) A ．33B ．23C ．22D ．16．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3B ．32C ．6D ．627．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6 D ．88．函数52sin ()([,0)(0,])33x xx xf x x -+=∈-ππ-的大致图象为A ．B ．C ．D ．9．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞10．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1411．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则M N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞12．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A ．21+B ．31+C ．2D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。