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宜春市2017～2018学年第二学期期末统考高二年级理科答案一、选择题1-5 ABBCC 6-10 DBACB 11-12 BB 二、填空题(13-16小题,每小题5分,共20分)13. 4314. 14 15. 2 16.2三、解答题(17题10分,18,19,20,21,22题各12分;共70分) 17.（本小题10分）已知函数()12f x x x =-++. （1）解不等式()4f x ≥；（2）任意,()x R f x a ∈≥恒成立，求a 的取值范围.解:(1) 21,2()3,2121,1x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩,解集为}5322x x x ⎧≤-≥⎨⎩或…………5分（2）因为|x-1|+|x+2|≥3,所以3a ≤。
…………………………………10分 18．（本小题12分）已知函数()3239f x x x x a =--+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为8，求它在该区间上的最小值. 解：(1)由题知： ()()()2369331f x x x x x =--=-⋅+' 令()0f x '〉，则x<-1或x>3; 令()0f x '〈，则-1<x<3所以减区间为（-1，3），增区间()()--13∞+∞，，，.……………………6分 (2)由(1)知f(x)在[]-2-1，上为增函数，在[]-12，上为减函数. 所以()()max 11398f x f a =-=--++=,解得a=3 , …………8分 则()21f -=, ()219f =-,所以f(x)在[]-22，上的最小值为-19. …………………12分19．（本小题12分）某食品店为了了解气温对某食品销售量的影响，记录了该店1月份中某5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C ︒）的数据，如下表：（1）根据表中数据，已经求得线性回归方程为ˆ0.56yx a =-+，求a ，并预测最低气温为0C ︒时的日销售量；（2）设该地1月份的日最低气温()2,X N μσ~，其中μ近似为样本平均数x ，2σ=10，试求(3.816.6)P X <<.3.2≈，1.8≈，若()2,X N μσ~，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=， (33)0.9974P X μσμσ-<<+=.解：（1）由题意得()125891175x =++++=，()1121088795y =++++=，90.56712.92ˆˆay bx =-=+⨯=，故回归方程是0.5612.ˆ92y x =-+ 将0x =代入回归方程可预测该店当日的销售量ˆ12.92y=千克……………6分（2）由（1）知7x μ==，∴ 3.2σ==，所以(3.816.6)(7 3.273 3.2)P X P X <<=-<<+⨯ (3)P X μσμσ=-<<+()(3)P X P X μσμμμσ=-<<+≤<+ 110.68260.99740.8422=⨯+⨯=， 即(3.816.6)0.84P X <<=.………………………………………………………………12分20. （本小题12分）已知函数()()()32111*32n f x x n x x n N =-++∈，数列{}n a 满足()1n n n a f a +'=， 13a =.（1）求234,,a a a 的值; （2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 解：由2()(1)1n f x x n x '=-++*n N ∈()2113,11,n n n a a a n a +∴==-++又 2211214,a a a ∴=-+=2322315,a a a ∴=-+=2433416,a a a ∴=-+=猜想2n a n =+. ……………………………………………………6分 用数学归纳法证明1n =时显然成立. ②假设当猜想成立，则则当()*1n k k N =+∈时()()()()221112121k k k a a k a k k k +=-++=+-+++= ()312k k +=++1n k ∴=+当时，猜想成立由①②可知对一切*,2n n N a n ∈=+成立………………………………12分 21. （本小题12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，若所抽取的3个题目全部作答正确，则进入下一轮比赛．已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的． （1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两位同学中哪位同学进入下一轮比赛的可能性更大？解：（1）由题意可知，甲、乙两位同学总共正确作答3个题目包含：甲正确作答1个、乙正确作答2个，甲正确作答2个、乙正确作答1个，甲正确作答3个、乙正确作答0个， 故所求概率12213221203424243333336662121131()()()33333135C C C C C P C C C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=…………4分 （2）设甲正确作答题目的个数为X ，则X 的所有可能取值为1，2，3，因为1242361(1)5C C P X C ===, 2142363(2)5C C P X C ===,3042361(3)5C C P X C === 所以的分布列为故131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=……… 7分设乙正确作答题目的个数为Y ，则2~(3,)3Y B ，所以2212()32,()33333E Y D Y =⨯==⨯⨯=， (10)分所以()(),()()E X E Y D X D Y =<，所以甲同学进入下一轮比赛的可能性更大．……………12分22．（本小题12分）已知函数()()ln 1f x x a x =--， a R ∈. （1）求函数()f x 在点()()1,1f 点处的切线方程；（2）当1x ≥时， ()ln 1xf x x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 解：（1）由题()11ax f x a x x'-+=-=，所以()11f a '=-，所以切线方程为： ()()110a x y ---=…………………………………………4分 （2）()()2ln 1ln 11x x a x x f x x x ---=++，令()()()2ln 11g x x x axx =--≥，()ln 12g x x ax +'=-，令()()ln 12F x g x x ax ==+-'， ()12axF x x-'=………6分 （1）若0a ≤， ()0F x '>， ()g x '在[)1,+∞递增， ()()1120g x g a ≥=-'>' ∴()g x 在[)1,+∞递增， ()()10g x g ≥=，从而()ln 01xf x x -≥+，不符合题意 （2）若102a <<，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()0F x '>，∴()g x '在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭递增， 从而()()112g x g a '=-'>，以下论证同（1）一样，所以不符合题意…………10分 （3）若12a ≥， ()0F x '≤在[)1,+∞恒成立， ∴()g x '在[)1,+∞递减， ()()1120g x g a ≤=-'≤'， 从而()g x 在[)1,+∞递减，∴()()10g x g ≤=， ()ln 01xf x x -≤+，综上所述， a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.…………………………………………12分。
2017-2018学年江西省宜春市丰城中学高二（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．关于下列几何体，说法正确的是（）A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台2．用一个平面去截一个圆柱，得到的图形不可能是（）A．B．C． D．3．下列说法正确的是（）A．正方形的直观图可能是平行四边形B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线4．下列说法正确的是（）A．若长方体的长、宽、高各不相同，则长方体的三视图中不可能有正方形（以长×宽所在的平面为主视面）B．照片是三视图中的一种C．若三视图中有圆，则原几何体中一定有球体D．圆锥的三视图都是等腰三角形5．下列说法正确的个数有（）（1）三角形、梯形一定是平面图形；（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；（3）三条平行线最多可确定三个平面；（4）平面α和β相交，它们只有有限个公共点；（5）若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合．A．2 B．3 C．4 D．56．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条（）A．相交 B．异面 C．相交或异面D．平行7．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的平面β（）A．只能作一个B．不存在C．至多可以作一个D．至少可以作一个9．下列结论正确的是（）A．若直线a∥平面α，直线b⊥a，b⊊平面β，则α⊥βB．若直线a⊥直线b，a⊥平面α，b⊥平面β，则α⊥βC．过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D．过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直10．以等腰直角三角形ABC斜边AB的中线CD为棱，将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则AC与BC的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．不确定11．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为（）A．4：9 B．9：4 C．4：27 D．27：412．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是异面直线，AC和A1D的公垂线，则EF和BD1的关系是（）A．相交但不垂直 B．垂直 C．异面 D．平行二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，则a=．14．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．15．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确命题的序号是．16．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．某个几何体的三视图如图所示（单位：m）（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．18．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD，DA上的点．且满足==，==2．（1）求证：四边形EFGH是梯形；（2）若BD=a．求梯形EFGH的中位线的长．19．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．20．正三棱锥V﹣ABC的底面边长是a，侧面与底面成60°的二面角．求（1）棱锥的侧棱长；（2）侧棱与底面所成的角的正切值．21．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．22．在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，点M是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线CM与平面PCD所成角的正弦值．2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二（上）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．关于下列几何体，说法正确的是（）A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆柱、圆锥、圆台的定义直接求解．【解答】解：∵图①的上下底面既不平行又不全等，∴图①不是圆柱，故A错误；∵图②的母线长不相等，故图②不是圆锥，故B错误；∵图④的上下底面不平行，∴图④不是圆台，故C错误；∵图⑤的上下底面平行，且母线延长后交于一点，∴图⑤是圆台，故D正确．故选：D．2．用一个平面去截一个圆柱，得到的图形不可能是（）A．B．C． D．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】结合图形判断截面的位置，即可．【解答】解：用一个平面去截一个圆柱，截面与底面平行，可得A；截面与底面不平行，不经过底面时，可得C；截面平行圆柱的母线时，可得B，不能得到D．故选：D．3．下列说法正确的是（）A．正方形的直观图可能是平行四边形B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据直观图的做法，在做直观图时，原来与横轴平行的与X′平行，且长度不变，原来与y轴平行的与y′平行，长度变为原来的一半，且新的坐标轴之间的夹角是45度，根据做法，得到四个说法的正误．【解答】解：根据直观图的做法，在做直观图时，原来与横轴平行的与X′平行，且长度不变，原来与y轴平行的与y′平行，长度变为原来的一半，且新的坐标轴之间的夹角是45度，∴原来垂直的画出直观图不一定垂直，原来是对边平行的仍然平行，故选A．4．下列说法正确的是（）A．若长方体的长、宽、高各不相同，则长方体的三视图中不可能有正方形（以长×宽所在的平面为主视面）B．照片是三视图中的一种C．若三视图中有圆，则原几何体中一定有球体D．圆锥的三视图都是等腰三角形【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据简单几何体的三视图，逐一分析四个命题的真假，可得结论．【解答】解：若长方体的长、宽、高各不相同，则长方体的三视图中不可能有正方形（以长×宽所在的平面为主视面），正确；照片不能客观的反映几何体的真实情况，不是三视图中的一种，错误；若三视图中有圆，则原几何体中不一定有球，如圆锥，圆柱等，错误；圆锥的三视图有两等腰三角形一个圆，错误；故选：A．5．下列说法正确的个数有（）（1）三角形、梯形一定是平面图形；（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；（3）三条平行线最多可确定三个平面；（4）平面α和β相交，它们只有有限个公共点；（5）若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由平面图形的概念判断（1）正确；由公理1判断（2）正确；画出说明（3）正确，（5）错误；由公理3说明（4）错误．【解答】解：（1）三角形、梯形一定是平面图形，正确；（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则两对角线可以确定一个平面，由公理1可知四边形四条边在平面内，该四边形是平面图形，正确；（3）如图，三条平行线最多可确定三个平面，正确；（4）由公理3可知，平面α和β相交，它们有无数个公共点，故（3）错误；（5）若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合，错误，如图：∴正确的结论是3个，故选：B．6．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条（）A．相交 B．异面 C．相交或异面D．平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】因为直线与两条平行线中的一条直线成为异面直线，故它与另一条直线不可能平行，由此可得另一条直线与该直线可能相交，也可能异面．然后可以在正方体模型中，找出符合题意的位置关系，从而得到正确答案．【解答】解：举例说明：给出正方体模型，如右图①直线AB与直线A1B1平行，且直线BC与直线A1B1异面此时，直线BC与直线AB相交；②直线AB与直线A1B1平行，且直线CC1与直线A1B1异面此时，直线BC与直线AB异面；综上所述，一条直线与两条平行线中的一条异面，则它与另一条可能相交，也可能异面．故选C7．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】直线的一般式方程．【分析】先把Ax+By+C=0化为y=﹣，再由AC＜0，BC＜0得到﹣，﹣，数形结合即可获取答案【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为，又AC＜0，BC＜0∴AB＞0，∴，∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．故答案选C．8．a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的平面β（）A．只能作一个B．不存在C．至多可以作一个D．至少可以作一个【考点】平面的基本性质及推论；平面与平面平行的性质．【分析】由平面与平面平行的性质得这样的平面β有且只有1个【解答】解：当a∥α时，过a作平面β，使得β∥α，由平面与平面平行的性质得：这样的平面β有且只有1个．a与α相交时，设平面为β，a与α交点为P，根据题意P∈β，P∈α，则α∩β=l且P∈l，这与α∥β矛盾，∴这样的β不存在．综上所述，过平面α外一条直线a与α平行的平面的个数为至多1个．故选：C．9．下列结论正确的是（）A．若直线a∥平面α，直线b⊥a，b⊊平面β，则α⊥βB．若直线a⊥直线b，a⊥平面α，b⊥平面β，则α⊥βC．过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D．过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于A判断α，β的关系，判断正误；对于B，判断是否满足平面与平面垂直的判定定理即可判断正误．对于C说明，直线与平面的关系，判断正误；对于D，利用平面与平面垂直的平面判断正误即可．【解答】解：对于A，若直线a∥平面α，直线b⊥a，b⊊平面β，如果b∥β，则α∥β，所以A不正确；对于B，若直线a⊥直线b，a⊥平面α，b⊥平面β，则α⊥β，满足平面与平面垂直的判定定理，所以B正确；对于C，过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直，如果这些与平面垂直，则有无数个平面与已知平面垂直，所以C不正确；对于D，过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂平行，不是垂直，平面的平面有无数个．故选：B．10．以等腰直角三角形ABC斜边AB的中线CD为棱，将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则AC与BC的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．不确定【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先判断折叠后△ACD ，△BCD ，△ABD 的形状，进而判断出△ABC 的形状，从而可得答案．【解答】解：如图所示：折叠后∠ACD=∠BCD=45°，AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，则∠ADB 为二面角A ﹣CD ﹣B 的平面角，又平面ACD ⊥平 面BCD ，所以∠ADB=90°，所以△ADB 为等腰直角三角形， 设AD=1，则AC=BC=AB=，所以△ABC 为正三角形， 所以∠ACB=60°． 故选：B ．11．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为（ ）A ．4：9B ．9：4C ．4：27D ．27：4【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用圆锥的体积和球的体积相等，通过圆锥的底面半径与球的半径的关系，推出圆锥的高与球半径之比． 【解答】解：V 圆锥=，V 球=，V 圆锥=V 球∵r=3R ， =，∴=．故选A ．12．如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线，AC 和A 1D 的公垂线，则EF 和BD 1的关系是（ ）A ．相交但不垂直B ．垂直C ．异面D ．平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】建立以D 1为原点的空间直角坐标系D 1﹣xyz ，设正方形的边长为1，利用向量法，我们易求出BD 1与A 1D 和AC 都垂直，根据共垂线的性质，可以得到两条线段平行． 【解答】解：建立以D 1为原点的空间直角坐标系D 1﹣xyz ，且设正方形的边长为1所以就有D1（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C （0，1，1）所以=（﹣1，0，1），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣1，1）所以•=﹣1+1=0 所以A1D⊥BD1，•=1﹣1=0 所以AC⊥BD1，所以BD1与A1D和AC都垂直又∵EF是AC、A1D的公垂线，∴BD1∥EF故选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，则a=2．【考点】三点共线．【分析】利用三点共线，结合向量平行，求解即可．【解答】解：三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，可得，=（1﹣a，3），=（1，﹣a﹣1），可得3=（1﹣a）（﹣a﹣1），a∈N，解得a=2．故答案为：2．14．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27π．【考点】球的体积和表面积．【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，则l==3，故答案为：27π．15．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确命题的序号是①⑤．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据正方体中取对应的对角线构成的四面体是正四面体．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥；③当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱；④一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体．【解答】解：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点正确，如图四面体B1﹣ACD1是正四面体；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，如图所示，若AB=BC=AC=V A，且V A⊥平面ABC，但三棱锥V﹣ABC表示正三棱锥，∴②错误；③当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，∴③错误；④一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直，否则，这两条侧棱互相平行，∴④错误；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直，如②中图形，∴⑤正确；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，∵各相邻侧面并不一定都互相垂直，∴⑥错误．故答案为：①⑤16．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住棱长为1的正方体．【解答】解：把5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住棱长为1的正方体，而这个形状可以用边长为2的正方形来覆盖，而这个正方形面积为8，∴所需包装纸的最小面积为8．故答案为：8．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．某个几何体的三视图如图所示（单位：m）（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，（1）利用三视图的数据求出几何体的表面积；（2）利用组合体的体积求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体是由半球和正四棱柱组成，棱柱是正方体棱长为：2，球的半径为1，（1）该几何体的表面积=正方体的表面积+半球面面积﹣球的底面积．∴S=6×2×2+2π×12﹣π×12=24+π（m2）．（2）该几何体的体积为正方体的体积+半球的体积，V=2×2×2+×π×13=8+π（m3）18．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD，DA上的点．且满足==，==2．（1）求证：四边形EFGH是梯形；（2）若BD=a．求梯形EFGH的中位线的长．【考点】直线与平面平行的性质；平行线分线段成比例定理．【分析】（1）利用比例关系，求出EH∥BD，FG∥BD，EH=，FG=BD，即可证明四边形EFGH是梯形；（2）EH==，FG=BD=a，即可求梯形EFGH的中位线的长．【解答】（1）证明：∵==，==2，∴EH∥BD，FG∥BD，EH=，FG=BD．∴EH∥FG，EH≠FG，∴四边形EFGH是梯形；（2）解：∵BD=a，∴EH==，FG=BD=a，∴梯形EFGH的中位线的长为．19．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD20．正三棱锥V﹣ABC的底面边长是a，侧面与底面成60°的二面角．求（1）棱锥的侧棱长；（2）侧棱与底面所成的角的正切值．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）过顶点V做VO⊥平面ABC，过O做OD⊥AB，垂足为D，连接VD，则∠VDO为侧面与底面成的二面角，从而∠VDO=60°，分别求出OD、VD的长，由此利用勾股定理能求出棱锥的侧棱长．（2）连结BO，∠VBO是侧棱与底面所成的角，由此能求出侧棱与底面所成的角的正切值．【解答】解：（1）过顶点V做VO⊥平面ABC∵V﹣ABC是正三棱锥，∴O为△ABC中心，过O做OD⊥AB，垂足为D，连接VD，则∠VDO为侧面与底面成的二面角，∵侧面与底面成60°的二面角，∴∠VDO=60°，∵△ABC的边长是a，∴OD===，∴cos∠VDO===，解得VD=，∴VA===．∴棱锥的侧棱长为．（2）连结BO，∵VO⊥底面ABC，∴∠VBO是侧棱与底面所成的角，∵OB=2OD=，VO===，∴tan∠VBO===．∴侧棱与底面所成的角的正切值为．21．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）欲证AM∥平面BEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AM与平面BEC内一直线平行，取EC中点N，连接MN，BN，根据中位线定理和条件可知MN∥AB，且MN=AB，从而得到四边形ABNM为平行四边形，则BN∥AM，BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，满足定理所需条件；（2）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；（3）过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC，从而点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，在直角三角形BDE中，利用等面积法即可求出DG，从而求出点D 到平面BEC的距离．【解答】解：（1）证明：取EC中点N，连接MN，BN．在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且．由已知AB∥CD，，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四边形ABNM为平行四边形．所以BN∥AM．又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，所以AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得．在△BCD中，，所以BD2+BC2=CD2．所以BC⊥BD．所以BC⊥平面BDE．（3）由（2）知，BC⊥平面BDE又因为BC⊂平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度在直角三角形BDE中，所以所以点D到平面BEC的距离等于．22．在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，点M是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线CM与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）只要证明PM⊥面ABCD利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）过点M作MH⊥CD，连结HP，得到CD⊥平面PMH进一步得到平面PMH⊥平面PCD；过点M作MN⊥PH，得到∠MCN为直线CM与平面PCD所成角，通过解三角形得到所求．【解答】（1）证明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB，又因为PM⊥CD，且AB∩CD，所以PM⊥面ABCD，…且PM⊂面PAB．所以，面PAB⊥面ABCD．…（2）解：过点M作MH⊥CD，连结HP，因为PM⊥CD，且PM∩MH=M，所以CD⊥平面PMH，又由CD⊂平面PCD，所以平面PMH⊥平面PCD，平面PMH∩平面PCD=PH，过点M作MN⊥PH，即有MN⊥平面PCD，所以∠MCN为直线CM与平面PCD所成角．…在四棱锥P﹣ABCD中，设AB=2t，则，，，∴，，从而，即直线CM与平面PCD所成角的正弦值为．…2016年12月9日。
2017-2018学年江西省宜春市上高二中高三（下）月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁U P=（）A．[，+∞）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）2．已知=1﹣ni，其中m，n∈R，i为虚数单位，则m+ni=（）A．1+2i B．2+i C．1﹣2i D．2﹣i3．已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=sinx，当x∈[2，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）+f（4）=（）A． B．1 C．3 D．4．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）A．k＜7？B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？5．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上，则f（x）=（）A．B．C．D．6．二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（）A．3或B．C．3 D．3或7．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）A．10+4+4B．10+2+4C．14+2+4D．14+4+48．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．2809．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．5010．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+11．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11πB．7πC．D．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，且与共线，则x的值为．14．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，ς2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=．15．已知函数f（x）=+2ax﹣lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin∠BAD=．三、解答题（共6个题，共70分）17．已知单调递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•log2a n，其前n项和为S n，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．18．国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．（1）求三棱锥S ﹣FAC 的体积；（2）求直线BD 与平面FAC 所成角的正弦值．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x ﹣y +=0相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求•的取值范围；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点． 21．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2（e 是自然对数的底数a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）若k 为整数，a=1，且当x ＞0时，f ′（x ）＜1恒成立，其中f ′（x ）为f （x ）的导函数，求k 的最大值．请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4几何证明选讲]22．如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧上，点A 为弧的中点，做AD ⊥BC 于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ． （Ⅰ）证明：AE=BE（Ⅱ）若AC=9，GC=7，求圆O 的半径．[选修4-4极坐标与参数方程]23．已知曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ+ρcos θ=10．曲线 c 1：（α为参数）．（Ⅰ）求曲线c 1的普通方程；（Ⅱ）若点M 在曲线C 1上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．[选修4-4不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三（下）5月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁U P=（）A．[，+∞）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）【考点】对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算．【分析】先求出集合U中的函数的值域和P中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．【解答】解：由集合U中的函数y=log2x，x＞1，解得y＞0，所以全集U=（0，+∞），同样：P=（0，），得到C U P=[，+∞）．故选A．2．已知=1﹣ni，其中m，n∈R，i为虚数单位，则m+ni=（）A．1+2i B．2+i C．1﹣2i D．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求得m，n的值，则答案可求．【解答】解：∵==1﹣ni，∴，解得．∴m+ni=2+i．故选：B．3．已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=sinx，当x∈[2，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）+f（4）=（）A． B．1 C．3 D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据f （x ）为偶函数，便有f （﹣）=f （），而根据f （x ）的解析式即可得出答案．【解答】解：∵∈[0，2），4∈[2，+∞），∴根据f （x ）的解析式及f （x ）为偶函数得：f （﹣）+f （4）=f （）+f （4）=sin +log 24=+2．故选：D ．4．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M 为（ ）A ．k ＜7？B ．k ≤6？C ．k ≤8？D ．k ＜8？【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=2；第二次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=3；第三次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=4；第四次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=5；第五次执行循环体，S=1，不满足结束循环的条件，故k=6；第六次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=7；第七次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=8；第八次执行循环体，S=，满足结束循环的条件， 故退出的循环的条件，应为：k ＜8？， 故选：D5．如图所示，函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x 2+x +1上，则f （x ）=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，令y=0，求出点（﹣，0）在函数f （x ）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f （x ）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f （x ）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f （x ）离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得﹣x 2+x +1=0，解得x=﹣或x=1；∴点（﹣，0）在函数f （x ）的图象上，∴﹣ω+φ=0，即φ=ω①；又令ωx +φ=，得ωx=﹣φ②；把①代入②得，x=﹣③；令y=1，得﹣x 2+x +1=1，解得x=0或x=；即﹣=，解得ω=π，∴φ=ω=，∴f（x）=sin（x+）．故选：C．6．二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（）A．3或B．C．3 D．3或【考点】二项式系数的性质．【分析】二项式（a＞0）的展开式的通项公式T2==a2x2．由于第二项的系数为﹣，可得=﹣，即a2=1，解得a，再利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：二项式（a＞0）的展开式的通项公式T2==a2x2．∵第二项的系数为﹣，∴=﹣，∴a2=1，a＞0，解得a=1．当a=1时，则dx===3．故选：C．7．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）A．10+4+4B．10+2+4C．14+2+4D．14+4+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出几何体的直观图，再根据面积公式求解．【解答】解：根据几何体的三视图，几何体为四棱锥，直观图如图：底面是上、下底边长分别为2、4，高为2的梯形，=（2+4）×2=6；S梯形=×2×2+×2×2+×4×2+×2×=4+4+2，S侧面=10+4+2．S全故选B8．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有×A33=90种所以共有150种不同的方法．故选：A．9．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．==．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又=c代入化简得c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故选：C．11．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11πB．7πC．D．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．则有该三棱锥的外接球的半径R==，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】题中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．【解答】解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：则图中阴影部分的面积即为答案，由定积分的知识得S=﹣×1×1=故选：A二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，且与共线，则x的值为﹣2．【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据平面向量的坐标运算以及两向量共线的坐标表示，列出方程求出x的值．【解答】解：∵向量，∴﹣=（2﹣x，2），又与共线，∴（2﹣x）×（﹣1）﹣2x=0，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．14．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，ς2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=0.16．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，ς2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴μ=2，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，ς2），∴μ=2，∵P（ξ≤4）=0.84，∴P（ξ≥4）=1﹣0.84=0.16，∴P（ξ≤0）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16，故答案为：0.16．15．已知函数f（x）=+2ax﹣lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是a≥．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意，f（x）在区间上是增函数可化为在恒成立，从而再化为最值问题．【解答】解：∵f（x）在区间上是增函数，∴在恒成立，即在恒成立，∵﹣x+在上是减函数，∴，∴即．故答案为：a≥．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin∠BAD=．【考点】正弦定理．【分析】由已知及，可得AC=CD，由余弦定理可解得CD，进而可求AC，即可得解sinB，由正弦定理即可计算ADsin∠BAD=BDsinB的值．【解答】解：∵∠DAC=90°，=，可得：AC=CD，又∵AB=6，，∴在△ABC中，由余弦定理可得：36=（CD）2+（+CD）2﹣2×CD×（+CD）×，∴整理可得：CD2+2CD﹣90=0，解得：CD=3，AC=6，∵AB=AC=6，∴sinB=sinC==，∴在△ABD中，由正弦定理可得：ADsin∠BAD=BDsinB=×=．故答案为：．三、解答题（共6个题，共70分）17．已知单调递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•log2a n，其前n项和为S n，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和；对数的运算性质；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设出等比数列{a n}的首项和公比，由已知列式求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b n=a n•log2a n，利用错位相减法求得S n，代入（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1），分离变量m，由单调性求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的{a n}首项为a1，公比为q．由题意可知：，解得：或，∵数列为单调递增的等比数列，∴a n=2n；（Ⅱ）b n=a n•log2a n =n•2n，∴S n=b1+b2+…+b n=1•21+2•22+…+n•2n，①2S n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②①﹣②，得：﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）•2n+1+2﹣n﹣1]=m[（n﹣1）•2n+1+1﹣n]对于n≥2恒成立，即=对于n≥2恒成立，∵=，∴数列{}为递减数列，则当n=2时，的最大值为．∴m≥．则实数m得取值范围为[，+∞）．18．国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）求出物理与化学的平均值，代入回归直线方程，然后求解即可．（2）推出ξ的可能值，求出概率，即可得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）由已知可得，，因为回归直线y=1.5x﹣35过点样本中心，所以，∴3m﹣2n=80，又m+n=160，解得m=80，n=80．（2）在每场比赛中，比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ的可能值为：0，1，2，3．获得一枚荣誉奖章的概率P=1﹣=，ξ～B（3，），P（ξ=0）==；P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，ξ故预测Eξ=nP=3×=．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．（1）求三棱锥S﹣FAC的体积；（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．【分析】（1）由题意，三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半，取AB的中点O，连接SA，利用体积公式求三棱锥S﹣FAC的体积；（2）求出D到平面AFC的距离，即可求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．【解答】解：（1）由题意，三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半．取AB的中点O，连接SO，则SO⊥底面ABCD，SO=，==，∵S△DAC∴三棱锥S﹣FAC的体积==；（2）连接OD，OC，则OC=OD=，∴SC=SD=3，△SAD中，SA=AD=2，F为SD的中点，∴AF==．△SCD中，SC=SD=3，CD=2，∴9+4CF2=2（9+4），∴CF=，△FAC中，cos∠AFC==，∴sin∠AFC=，=×××=∴S△AFC设D到平面AFC的距离为h，则，∴h=，∴直线BD与平面FAC所成角的正弦值÷=20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B 两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求•的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求解（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，然后代入=x1x2+y1y2==中即可得关于k的方程，结合k的范围可求的范围（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，﹣y2），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求【解答】（1）解：由题意知，，即b=又a2=b2+c2∴a=2，b=故椭圆的方程为（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4）由可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0设A（x1，y1），B （x2，y2），则△=322k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0∴∴x1+x2=，x1x2=①∴=x1x2+y1y2====∵∴∴∴）（3）证明：∵B，E关于x轴对称∴可设E（x2，﹣y2）∴直线AE的方程为令y=0可得x=∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）∴==1∴直线AE与x轴交于定点（1，0）21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2（e是自然对数的底数a∈R）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若k为整数，a=1，且当x＞0时，f′（x）＜1恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的增区间；（2）运用参数分离可得k＜+x，令g（x）=+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣a．若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，若a＞0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．综上，当a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f（x）的增区间为（lna，+∞）；（2）由于a=1，所以f′（x）＜1⇔（k﹣x）（e x﹣1）＜x+1，当x＞0时，e x﹣1＞0，故（k﹣x）（e x﹣1）＜x+1⇔k＜+x﹣﹣﹣﹣①，令g（x）=+x（x＞0），则g′（x）=+1=函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，即g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为a，则a∈（1，2）．当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；所以，g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0可得e a=a+2，所以，g（a）=a+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（a）．故整数k的最大值为2．请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4几何证明选讲]22．如图，BC是圆O的直径，点F在弧上，点A为弧的中点，做AD⊥BC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G．（Ⅰ）证明：AE=BE（Ⅱ）若AC=9，GC=7，求圆O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）证明：∠ABF=∠BAD，即可证明AE=BE（Ⅱ）由△ABG∽△ACB，求出AB，直角△ABC中由勾股定理知BC，即可求圆O的半径．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB，∵点A为弧的中点，∴=，∴∠ABF=∠ACB…又∵AD⊥BC，BC是圆O的直径，…∴∠BAD=∠ACB，∴∠ABF=∠BAD，∴AE=BE …（Ⅱ）由△ABG∽△ACB知AB2=AG•AC=2×9∴AB=3…直角△ABC中由勾股定理知BC=3…∴圆的半径为…[选修4-4极坐标与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线c1：（α为参数）．（Ⅰ）求曲线c1的普通方程；（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；两点间的距离公式．【分析】（1）用x，y表示出cosα，sinα利用cos2α+sin2α=1消参数得到曲线C1的普通方程；（2）先求出曲线C的普通方程，使用参数坐标求出点M到曲线C的距离，得到关于α的三角函数，利用三角函数的性质求出距离的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴cosα=，sinα=，∴曲线C1的普通方程是：．（Ⅱ）曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0．点M到曲线C的距离为，（）．∴α﹣φ=0时，，此时．[选修4-4不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数的值域．【分析】（1）由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|，即|m﹣2|=4，解得实数m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集M=（﹣∞，m﹣2]或[m+2，+∞），结合[2，4]⊆M，可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|因为函数f（x）的值域为[﹣4，4]，所以|m﹣2|=4，即m﹣2=﹣4或m﹣2=4所以实数m=﹣2或6．…（2）f（x）≥|x﹣4|，即|x﹣m|﹣|x﹣2|≥|x﹣4|当2≤x≤4时，|x﹣m|≥|x﹣4|+|x﹣2|⇔|x﹣m|≥﹣x+4+x﹣2=2，|x﹣m|≥2，解得：x≤m﹣2或x≥m+2，即原不等式的解集M=（﹣∞，m﹣2]或M=[m+2，+∞），∵[2，4]⊆M，∴m+2≤2⇒m≤0或m﹣2≥4⇒m≥6所以m的取值范围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）．…2016年11月24日。
宜春中学、丰城中学、樟树中学、高安中学 2017-2018学年高二联考数学（理）试卷一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合(){}(){}22|40,|log 1A x x x B x x x =-≤=->，则AB =（ ）A ．(]2,4B ．[]2,4C ．()[],00,4-∞D ．()[],10,4-∞-2．设i 是虚数单位，复数iia +-1为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．21D ．2-3．12a log 2= ,121log 3b = ,0.31c 2=（）,则（ ） A.a b c << B.a c b << C.b a c << D.b c a <<4．已知α，β是两个不重合的平面，直线m α⊥，直线n β⊥，则“α，β相交”是“直线m ，n 异面”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知3sin 5ϕ=，且(,)2πϕπ∈，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为（ ）A ．35-B ．45-C ．35 D.456．ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ,若a =，2A B =，则cos B 等于( ) A.65B.35C.45D.557．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ） A ．2cm 2 B3 C．3 D ．3cm 3 8．已知0x >，由不等式221442,3,22x x x x x x x +≥=+=++≥=我们可以得出推广结论：()1n ax n n N x++≥+∈，则a =（ ） A ．2n B ．2n C ．3n D ．n n9．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为( ) A.12B. 1C. 2D. 4 10．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1611．函数xa x f =)(与)1(log )(>=a x x g a 的图像交点个数为（ ）A.没有交点B.一个交点C. 两个交点D.以上都不对12．已知函数()()()()22sin 23410f x x x x R f y y f x x =+∈-++-+≤，且，则当1y ≥时，11x y x +++的取值范围是( )A ．57,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．57,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量(1,2)a m =，(1,1)b m =+，若0a b ⋅=，则m =_____________.14．已知直线21//l l ，A 是21,l l 之间的一个交点，并且A 点到21,l l 的距离分别为1,2，B 是直线2l 上一动点，作AB AC ⊥且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆的面积最小值为________15．若实数d c b a ,,,满足ab=3,c+3d=0则22)()(d b c a -+-的最小值为 16．以下四个：①若函数xy e mx =- ()m R ∈有大于零的极值点，则实数1m >；②“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则a b 的值为-2或23-. 其中真的序号为_____________(写出所有真的序号)．Y输出i三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()...,2,112=-=n a S n n . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()2,...,2,111==+=+b n b a b n n n ，求数列{}n b 的通项公式. 18．（本小题满分12分）网店为促销，拿出A,B,C 三件商品进行抢拍。
江西省宜春市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2017 高二上·莆田月考) 设斜率为 2 的直线 过抛物线（）和 轴交于点 ，若（ 为坐标原点）的面积为 4，则抛物线方程为（ ）的焦点 ，且A.B.C.D.2. （2 分） (2018 高二上·哈尔滨月考) 过点 A. B. C. D.且垂直于直线的直线方程为（ ）3. （2 分） (2019·大庆模拟) 设命题 数，则下列命题中真命题是（ ）A.在定义域上为减函数；命题为奇函B.C.D.4. （2 分） “”是 “”的 （ ）第 1 页 共 12 页A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2 分） 已知向量 =（﹣1，x，3）， =（2，﹣4，y），且 ∥ ， 那么 x+y 等于（ ） A . -4 B . -2 C.2 D.46. （2 分） 已知双曲线 A . 16的一个焦点坐标是(5,0)，则 b 等于（ ）.B.8C.5D.47. （2 分） (2017·息县模拟) 某几何体的三视图如图所示，当 xy 最大时，该几何体的体积为（ ）A.2 B.3 C.4第 2 页 共 12 页D.6 8. （2 分） 过点 P（0，﹣1）且和圆 C：x2+y2﹣2x+4y+4=0 相切的直线方程为 （ ） A . y+1=0 或 x=0 B . x+1=0 或 y=0 C . y﹣1=0 或 x=0 D . x﹣1=0 或 y=09. （2 分） 若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点， 则椭圆方程是（ ）A.B.C.D. 10. （2 分） 论正确的是A . =1B.是边长为 2 的等边三角形，已知向量 , 满足 =2 , =2 + ， 则下列结C . . =1D.二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)11.（1 分）(2017 高一上·上海期中) 已知 x∈R，命题“若 2＜x＜5，则 x2﹣7x+10＜0”的否命题是________．12. （1 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知空间向量，第 3 页 共 12 页，若，则________．13. （1 分） (2016 高一下·徐州期末) 已知直线 l1：ax+2y+6=0 与 l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0 平行，则实数 a 的取值是________．14. （1 分） (2017 高三上·赣州期中) 在△ABC 中，a，b，c 为∠A，∠B，∠C 的对边，a，b，c 成等比数列，，则=________．15. （1 分） (2020·榆林模拟) 如图，抛物线点 ，依次交于四点，则和圆 的值是________．，直线 经过 的焦16. （1 分） (2017 高二上·平顶山期末) 平面内到定点 F（0，1）和定直线 l：y=﹣1 的距离之和等于 4 的动 点的轨迹为曲线 C，关于曲线 C 的几何性质，给出下列四个结论：①曲线 C 的方程为 x2=4y； ②曲线 C 关于 y 轴对称 ③若点 P（x，y）在曲线 C 上，则|y|≤2； ④若点 P 在曲线 C 上，则 1≤|PF|≤4 其中，所有正确结论的序号是________．第 4 页 共 12 页三、 解答题 (共 5 题；共 50 分)17. （10 分） (2017 高一下·孝感期末) 已知圆 C 的圆心在直线 3x+y﹣1=0 上，且 x 轴，y 轴被圆 C 截得的弦 长分别为 2 ，4 ，若圆心 C 位于第四象限（1） 求圆 C 的方程；（2） 设 x 轴被圆 C 截得的弦 AB 的中心为 N，动点 P 在圆 C 内且 P 的坐标满足关系式（x﹣1）2﹣y2= ，求 的取值范围．18.（10 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 所有的棱长为 2，B1 在底面上的射影 D 在棱 BC 上，且 A1B∥平面 ADC1 ．（1） 求证：平面 ADC1⊥平面 BCC1B1； （2） 求平面 ADC1 与平面 A1AB 所成的角的正弦值．19. （10 分） (2017 高二下·新乡期末) 已知右焦点为 F（c，0）的椭圆 M： 且椭圆 M 关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点．=1（a＞b＞0）过点，（1） 求椭圆 M 的方程；（2） 过点（4，0）且不垂直于 y 轴的直线与椭圆 M 交于 P，Q 两点，点 Q 关于 x 轴的对称原点为 E，证明：直 线 PE 与 x 轴的交点为 F．20. （10 分） (2016 高二下·赣榆期中) 如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=，AB=1，BD=PA=2，M 为 PD 的中点．第 5 页 共 12 页（1） 求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值； （2） 求二面角 A﹣MC﹣D 的平面角的余弦值． 21. （10 分） (2016 高二上·辽宁期中) 已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F 并且经过点 A（1，﹣2）． （1） 求抛物线 C 的方程； （2） 过 F 作倾斜角为 45°的直线 l，交抛物线 C 于 M，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 的面积．第 6 页 共 12 页一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 5 题；共 50 分)17-1、 17-2、第 8 页 共 12 页18-1、18-2、第 9 页 共 12 页19-1、 19-2、第 10 页 共 12 页20-1、20-2、21-1、21-2、。
2019届高二上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意。
）1. 计算:=--+i i i 21)1)(2(2（)A ．2B ．2-C ．i 2D ．i 2- 2．由曲线y ＝x 2,y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ）A. 错误!B. 错误! C 。
错误! D 。
错误!3．已知椭圆与双曲线112422=-y x 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于（ ）A. 错误!B. 错误!C. 错误!D. 错误!4．已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k,那么“α>错误!”是“k 〉错误!”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5． 函数)(x f y =的图象如下图所示，则导函数)('x f y =的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列各图是正方体和正四面体，P,Q,R ，S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是（ ）7．已知f （x )＝x 3－ax 在(－∞，－1］上递增，则a 的取值范围是( ）A ．a 〉3B ．a ≥3C ．a <3D ．a ≤38．对任意实数λ,直线0:1=--+n m y x l λλ与圆C ：x 2＋y 2＝r 2总相交于两不同点，则直线22:r ny mx l =+与圆C 的位置关系是( ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定9．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21l n fx x f x '=+，则()1f '=（ ）A 。
1-B 。
e - C. 1 D 。
e10．如图所示，某几何体的正视图(主视图）是平行四边形,侧视图(左视图）和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( ）A ．6 3B ．9错误!C ．12错误!D ．18311. 已知错误！未找到引用源.为单位圆上不重合的两定点,错误！未找到引用源。
江西省宜春市高二上册期末数学试题与答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题：，的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．根据特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是：，．故选：C．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础．2.若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D,不正确，当a=1,b=-2.不满足条件；故选项不对.B当a=1,b=-2,不满足.故选项不正确。
C ,当c=0时，，故选项不正确.D 当，构造函数是增函数，故当，.故选项正确.故答案为：D.3.在中，若，，，则A. B. C. D.【答案】B试题分析：在中，由正弦定理可知，∴.考点：正弦定理的应用.4.设为等差数列的前n项和，已知，，则公差A. 1B.C. 2D.【答案】B利用等差数列前n项和公式直接求解．为等差数列的前n项和，，，，解得公差．故选：B．本题考查等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.5.已知双曲线的一条渐近线为，则实数a的值为A. 2B.C.D.【答案】A焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，结合题意可得答案．双曲线的焦点在x轴上，其渐近线方程为，又由双曲线的一条渐近线为，即，则；故选：A．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，当双曲线焦点在x轴上，其渐近线方程为，焦点在y轴上，渐近线方程为．6.已知数列的通项公式为，设其前n项和为，则使成立的正整数n有A. 最小值64B. 最大值64C. 最小值32D. 最大值32 【答案】C根据数列的通项公式求出其前n项和的的表达式，然后令即可求出n的取值范围，即可知n有最小值．由题意可知；，设的前n项和为，，即，成立的正整数n有最小值为32，故选：C．本题考查数列与函数的综合应用，考查学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．7.若函数在点处的切线平行于直线，则A. B. 1 C. D.【答案】D求导数，可得处的切线斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a．函数的导数为，在点处的切线平行于直线，可得，即，故选：D．本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则A. B. C. D.【答案】A根据题意，求抛物线的焦点坐标，则有椭圆的焦点坐标，据此可得，，，结合椭圆的离心率公式可得m的值，计算可得n的值，分析可得答案．根据题意，抛物线的焦点为，则椭圆的焦点也为，焦点在y轴上，则有，，又由椭圆的离心率为，即，则，则，则；故选：A．本题考查椭圆、抛物线的性质，注意椭圆离心率公式的应用，属于基础题．9.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A. B. C. D.【答案】C由余弦定理可得，变形得，根据余弦定理可求得答案．根据题意，若，则有：，整理得：，可得：，又在中，，．故选：C．本题考查三角形中的几何计算，考查了余弦定理的应用，属于基础题．10.已知函数为R上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【答案】D求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状．函数的导数，则，则，则，则，，，，即，则，得，，即，则，则，则，则，即是等腰钝角三角形，故选：D．本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数和的解析式是解决本题的关键．11.已知点在椭圆上，点为平面上一点，O为坐标原点，则当取最小值时，椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C点在椭圆上，得到a，b关系，然后通过基本不等式可得最小值，且求出取最小值时a，b的值，然后求解离心率．点在椭圆上，可得，为平面上一点，O为坐标原点，则当，当且仅当，可得，，，可得．故选：C．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查利用基本不等式求最值问题，考查转化思想以及计算能力．12.已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数x从小到大排成数列，，则数列的通项公式是A. B.C. D.【答案】B先求解的所有正数根，然后根据函数的导数以及三角函数求值求解.函数，由，即，解得，从而2，3，，，故选：B．本题考查导数的运算，三角函数方程的求解，以及数列通项公式的求法，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式的解集是______．【答案】或利用移项通分，转化为整式不等式组，即得答案．，，．．或，或．不等式的解集是或．故答案为：或．本题考查分式不等式的解法，属于简单题.14.已知等比数列的前n项和为，若，，则______．【答案】14由等比数列的性质得：，，成等比数列，即2，4，成等比数列，由此能求出．等比数列的前n项和为，，，由等比数列的性质得：，，成等比数列，，4，成等比数列，，解得．故答案为：14．本题考查等比数列性质的应用，已知数列为等比数列，则，，也成等比数列．15.已知抛物线的焦点F和，点P为抛物线上的动点，则的周长取到最小值时点P的坐标为______，【答案】求周长的最小值，即求的最小值设点P在准线上的射影为D，可知因此问题转化为求的最小值，当D、P、A三点共线时最小，由此即可求点P坐标．抛物线的焦点为，点，求周长的最小值，即求的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知因此，的最小值，即的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时最小，P的纵坐标为：2，可得，解得．则的周长取到最小值时点P的坐标为故答案为：．考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时最小，是解题的关键．16.随着人工智能的兴起，越来越多的事物可以用机器人替代，某学校科技小组自制了一个机器人小青，共可以解决函数、解析几何、立体几何三种题型已知一套试卷共有该三种题型题目20道，小青解决一个函数题需要6分钟，解决一个解析几何题需要3分钟，解决一个立体几何题需要9分钟已知小青一次开机工作时间不能超过90分钟，若答对一道函数题给8分，答对一道解析几何题给6分，答对一道立体几何题给9分该兴趣小组通过合理分配题目可使小青在一次开机工作时间内做这套试卷得分最高，则最高得分为______分【答案】140由题意及不等式的知识可列不等式组，由简单的线性规划知识画出不等式组所对应的可行域，再观察图象即可得解，设函数、解析几何、立体几何三种题型的题数分别为：x，y，z，则，x，y，，则有，化简得：，由题意可列不等式组，目标函数，不等式所对应的可行域为三角形ABC边界及其内部，由简单的线性规划及图象可得：当直线过点，即时，目标函数m取最大值140，故答案为：140．本题考查了不等式及简单的线性规划知识，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.命题p：的定义域为R；命题q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．若命题p为真，求实数m的取值范围；若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2），．命题p为真命题等价不等式恒成立，进行求解即可．根据复合命题真假关系，判断p，q 的真假即可．解：若命题p为真，则，为真，．若命题q为真，则，又“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题或，，或，的取值范围是，．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，若．求角C；若，，求角B．【答案】（1）；（2）.利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求，结合范围，可求C 的值．由已知利用正弦定理可求，利用大边对大角可求，进而可求A的值，根据三角形内角和定理可求B的值．解：，，，，，可得，，，，，由，可得：，，可得，，本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.已知函数，．在答题卡中的平面直角坐标系里作出的图象；求满足的x的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.根据绝对值的应用将函数转化为分段函数形式进行作图即可．作出两个函数的图象，利用图象法进行求解即可．解：(1)f(x)=|x+1|+|x-2|，，则对应的图象如图：，作出和的图象如图：若，则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件．此时对应的x满足或，即不等式的解集为．本题主要考查函数图象的应用，结合绝对值的意义转化为分段函数形式是解决本题的关键．20.已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．求数列和的通项公式；令，求数列的前n项和．【答案】（1）；；（2）.利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，，，，，，，，．．，．．．数列的前n项和，，本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.设椭圆，B为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，已知的最小值与最大值之和为4，且离心率，抛物线的通径为4．求椭圆和抛物线的方程；设坐标原点为O，A为直线与已知抛物线在第一象限内的交点，且有．试用k表示A，B两点坐标；是否存在过A，B两点的直线l，使得线段AB的中点在y轴上？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）椭圆方程为，抛物线方程为；（2）①，，；②不存在.根据|的最小值与最大值之和为4，可求出a=2，再根据离心率求出c，再求得，则椭圆方程可得，根据抛物线的通径为4，可得，即可求出抛物线方程，设直线OA方程为，与抛物线方程联立，解得即可求出点A的坐标，根据设直线OB方程为，将直线OB与椭圆联立，解得即可求出点B的坐标，根据的结论，利用线段AB的中点在y轴上，若求出k的值，在存在，否则不存在解：为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，的最小值与最大值之和为4，，，，，椭圆方程为，抛物线的通径为4，，抛物线的方程为．设直线OA方程为，显然，将直线OA与抛物线联立：得，，，，，设直线OB方程为，将直线OB与椭圆联立：得，当时，，，，，当时，，，，，综上，，，当时，，的中点在y轴上，即，此时方程无解，当时，，，即，此时方程无解，综上可知，不存在这样的直线l，使得AB的中点在y轴上．本题考查了椭圆方程的几何性质和直线与抛物线和直线和椭圆的交点坐标，考查了运算能力，属于中档题．22.已知函数当时，求函数的极值；求函数的单调递增区间；当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）的极小值是，无极大值；（2）；（3）.代入a值，求函数的导数，解导数不等式得到函数的单调区间，即可求极值；求函数的导数，通过讨论a的范围，解导数不等式得函数的递增区间；问题转化为，令，根据函数的单调性求最大值，从而求a的范围．解：时，，，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，而在处无定义，故的极小值是，无极大值；，当时，解得：或，故函数在，递增，当时，解得：，故函数在递增；，，令，则，，令，解得：，在递增，在递减，即，故．本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，综合性较强．。
江西省宜春市2016-2017学年第一学期期末统考高二年级数学试卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题2000:,460p x R x x ∃∈++<，则p ⌝为（ ）A ．2,460x R x x ∀∈++≥B ．2000,460x R x x ∃∈++>C ．2,460x R x x ∀∈++> D ．2000,460x R x x ∃∈++≥2. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1,2,30a c B ===，则 ABC∆的面积为（ ）A ．12 B ．2C ．1D 3. 不等式201xx -≥+的解集为（ ） A ．{}|02x x <≤ B ．{}|12x x -<≤ C ．{}|1x x >- D ．R 4. 在等比数列{}n a 中，若45627a a a =，则19a a =（ ）A ．3B ．6 C.27 D ．9 5. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ）A ．若2x >，则()()210x x -+>B ．若224x y +≥，则2xy = C. 若2x y +=，则1xy ≤ D ．若a b ≥，则22ac bc ≥6. 如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在线段OA 上，2,OM MA N =是BC 的中点，则MN = （ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C.112223a b c +- D ．221332a b c +- 7. 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ） A ．1629 B ．1627 C.1113D ．1329 8. 已知双曲线221(-=∈my x m R)与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x = C.13y x =± D ．3y x =±9. 实系数一元二次方程20++=x ax b 的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上，则23ba--的取值范围是 （ ）A ．()2,+∞B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0).若12θθ=，则动点P 的轨迹为（ ）A ．直线的一部分B ．圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D ．抛物线的一部分11. 如图，焦点在x 轴上的椭圆()222103x y a a +=>的左、右焦点分别为12,,F F P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若14FQ =，则该椭圆的离心率为 （ ）A ．14 B ．12 C. 4 D ．412. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()11,sin cos sin 2b B B C C ==+，则当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为 （ ）A ．3B ． 22．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 不等式134x x +--≤的解集为 ．14. 空间直角坐标系中，已知()()()2,3,1,2,6,2,1,4,1A B C --，则直线AB 与AC 的夹角为 ．15. 设,A B 是抛物线2y x =上两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则下列结论正确的有 ．①2OA OB ≥ ②OA OB +≥③直线AB 过抛物线2y x =的焦点 ④O 到直线AB 的距离小于或等于116. 对于正整数k ,记()g k 表示k 的最大奇数因数，例如()()()11,21,105g g g ===.设()()()()123...2n n S g g g g =++++.当2,n n N *≥∈时，1n n S S --= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >.解不等式()20ax am b x bm -++<.18. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2cos 2a B c b =-. （1）求角A 的大小；（2）若2c b =，求角B 的大小.19. 设命题:p 实数a 满足不等式39a≤，命题()2:3390q x a x +-+≥的解集为R .已知“p q ∧” 为真命题，并记为条件r ，且条件:t 实数a 满足a m <或12a m >+,若r 是t ⌝的必要不充分条件，求正整数m 的值.20. 如图所示，在三棱锥P ABC -中，已知PC ⊥平面ABC ，点C 在平面PBA 内的射影D 在直线PB 上.（1）求证:AB ⊥ 平面PBC ；（2）设AB BC =，直线PA 与平面ABC 所成的角为45，求二面角C PA B --的余弦值. 21. 若数列{}n a 的前n 项和n S 满足:22n n S a =- ，记2log n n b a =. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足nn nb c a =,它的前n 项和为n T ，求n T ； （3）求证:222121117 (4)n b b b +++<. 22.如图，已知圆(22:16E x y +=，点)F,P 是圆E 上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE 相交于Q.（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >），OAB ∆的面积为S ，以,O A O B 为直径的圆的面积分别为12,S S ，若12,,k k k 依次构成等比数列，求12S S S+的取值范围.宜春市2016～2017学年第一学期期末统考高二年级理科数学答案二.填空题（每小题5分，共20分）13. R 14.60 15.①②④ 16. n 14-三.解答题17.解：（1）因为不等式2320-+>ax x 的解集为{|1x x <或}x b >所以121,x x b ==是方程2320ax x -+=的两个解所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩.（2） 由（1）知原不等式为()2220x m x m -++<，即()()20x m x --<，当2m >时，不等式解集为{}|2x x m << 当2m =时，不等式解集为∅当2m <时，不等式解集为{}|2x m x <<.18.解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得，222cos 2a c b B ac+-=，2222cos 2,2a c b a B c b c b c +-=-∴=-，即222b c a bc +-=，2221cos ,223b c a A A bc π+-∴==∴=．（2）2c b =，由正弦定理得sin 2sin C B =， 即()2sin 2sin 2sin sin 3C A C C C C ππ⎛⎫=--=-=+⎪⎝⎭， cos 0C ∴=，故2C π=，326B AC πππππ∴=--=--=．19.解：由39a ≤，得2a ≤，即:2p a ≤．()293490a ∆=--⨯≤，解得15a ≤≤，即:15q a ≤≤．∵“p q ∧”为真命题，∴21215a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩．又:t a m <或12a m >+，从而1:2t m a m ⌝≤≤+． r 是t ⌝的必要不充分条件，即t ⌝是r 的充分不必要条件，1122m m ≥⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩，解得31,,12m m N m *≤≤∈∴=. 20.试题分析：(1)PC ⊥平面,ABC AB ⊂平面ABC ，.AB PC ∴⊥点C 在平面PBA 内的射影D 在直线PB 上，CD ∴⊥平面PBA .又AB ⊂平面,PBA AB CD ∴⊥.又CDPC C =，AB ∴⊥平面PBC .(2)PC ⊥平面ABC ，PAC ∴∠为直线PA 与平面ABC 所成的角．于是45PAC ∠=，设1AB BC ==，则PC AC ==B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()(0,0,0,0,1,0,1,0,0,B A C P ， 取AC 的中点E ，连接BE ，则11,,0,,22BE AB BC BE AC ⎛⎫==∴⊥ ⎪⎝⎭.又∵平面PCA ⊥平面ABC ，BE ∴⊥平面.PAC BE ∴是平面PAC 的法向量．设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则由n BA n AP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得00y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩取1z =，得0y x =⎧⎪⎨=⎪⎩ ()2,0,1n ∴=- .于是cos ,323n BE n BE n BE===- 。
江西省宜春市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 在中，若，则是（ ）A . 有一内角为 30°的直角三角形B . 等腰直角三角形C . 有一内角为 30°的等腰三角形D . 等边三角形2. （2 分） 已知数列{an}满足， 其中 为实常数，则数列{an}（ ）A . 不可能是等差数列，也不可能是等比数列B . 不可能是等差数列，但可能是等比数列C . 可能是等差数列，但不可能是等比数列D . 可能是等差数列，也可能是等比数列3. （2 分） (2017 高二上·长春期中) 椭圆 x2+my2=1 的焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值为 （）A.B. C.2 D.4 4. （2 分） (2018 高二上·抚顺期中) 下列说法错误的是（ ） A . 命题“若 x2－4x＋3＝0，则 x＝3”的逆否命题是：“若 x≠3，则 x2－4x＋3≠0” B . “x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件第 1 页 共 12 页C . 若 p 且 q 为假命题，则 p、q 均为假命题 D . 命题 p：“∃ x0∈R 使得 ＋x0＋1<0”，则 p：“∀ x∈R，均有 x2＋x＋1≥0”5. （2 分） 已知向量与垂直，则实数 的值为（ ）A.-B.C.-D.6. （2 分） 已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点，线 与双曲线的一条渐近线平行，椭圆 与双曲线 的离心率分别为， 椭圆的一个短轴端点为 ， 直 ， 则 取值范围为（ ）A.B.C.D.7. （2 分） (2018·荆州模拟) 下列命题正确的是（ ）A . 命题“”为假命题，则命题 与命题 都是假命题；B . 命题“若，则”的逆否命题为真命题；C.“”是“”成立的必要不充分条件；D . 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.8. （2 分） (2019 高三上·静海月考) 已知 是数列 A . 72的前 项和，且第 2 页 共 12 页，则（ ）．B . 88C . 92D . 989. （2 分） 在中，角 、 、 所对的边分别为，若，A.，则 （ ）B.C.D.10. （2 分） (2017·张掖模拟) 等差数列{an}中， （）是一个与 n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为A.1B.C.D.11. （2 分） 已知正项等比数列 值为（ ）满足。
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．74．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．238．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．311．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2acosA=ccosB +bcosC ． （1）cosA 的值；（2）若b 2+c 2=4，求△ABC 的面积．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．7【解答】解：函数，其定义域为{x|3≤x≤4}，显然存在最大值是大于0的，则，当=0时，y取得最大值为1．故选：B．4．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，∴设双曲线方程为，a＞0，∵是双曲线的一条渐近线，∴=，解得a2=4，∴双曲线方程为．故选D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，=﹣2，不可能使l∥α；在B中，=1+0+5=6，不可能使l∥α；在C中，=﹣1，不可能使l∥α；在D中，=0﹣3+3=0，有可能使l∥α．故选：D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+1【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．8．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），且函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度．故选：D．9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：若，，则cosα+sinα=2（cos2α﹣sin2α），即1=4（cosα﹣sinα），平方可得1=16（1﹣sin2α），∴sin2α=，故选：A．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得A（1，2），则k OA==2，即的最大值为2．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值是4．故答案为：4．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为12．【解答】解：+=（﹣2，y﹣1，5），∵⊥（+），∴•（+）=﹣4﹣（y﹣1）+15=0，则y=12．故答案为：12．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是2a．【解答】解：设P（x0，y0），⇒化为b2x02=a2（b2﹣y02）直线B1P的方程为：y=x+b，可得M（，0）；直线B2P的方程为：y=x﹣b，可得N（，0）．则|OM|•|ON|==（定值）则|OM|+|ON|≥2=2a．故答案为：2a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于p：设f（x）=x2﹣2x+a．该二次函数图象开向上，对称轴为直线x=1，所以，所以0＜a＜1；对于q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，所以（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0，解得或．因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，所以p，q一真一假．①当p真q假时，有，所以；②当p假q真时，有，所以或a≤0．所以实数a的取值范围是．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=a n知=•，【解答】解（1）证明：由a n+1∴{}是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知{}是首项为，公比为的等比数列，∴=（）n，∴a n=，∴S n=++…+，①则S n=++…+，②①﹣②得S n=+++…+﹣=1﹣，∴S n=2﹣．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC 中，2R=2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ⇒bc=b 2+c 2﹣a 2=4﹣3=1．…（10分） ∴．…（12分）20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆E的方程是．（2）当k变化时，m2为定值．证明如下：由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，（*）因为直线OP，直线OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，所以，得2kx1x2=m（x1+x2），将（*）代入解得，经检验知成立．故当k变化时，m2为定值．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）设BD的中点为O，分别连接AO，EO．又因为AB=AD，所以AO⊥BD．因为E为BC的中点，O为BD的中点，所以EO∥CD．又因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．又因为OA∩OE=O，OA，OE⊂平面AOE，所以BD⊥平面AOE．又因为AE⊂平面AOE，所以BD⊥AE，即AE⊥BD．解：（2）由（1）求解知AO⊥BD，EO⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为EO⊂平面BCD，所以AO⊥EO．所以OE，OD，OA两两相互垂直．因为CD⊥BD，BC=4，CD=2，所以．因为O为BD的中点，AO⊥BD，AD=2，所以，．以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，0，1），，，，所以，，．设平面ABC的一个法向量为，则，．所以，取，解得．所以是平面ABC的一个法向量．同理可求平面ADC的一个法向量．设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则．因为0＜θ＜π，所以，所以二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．。
