导数应用题

高二（文科）导数应用题

例题：

时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的

关系式y=m

x−2

+4(x−6)2，其中2

可售出套题21千套.

（1）求m的值；

（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点）

试题分析：（1）直接代入点（4，21）即可求出m=10；（2）先建立利润函数模型

f(x)=(x−2)[10

x−2

+4(x−6)2]=10+4(x−6)2(x−2)=4x3−56x2+240x−278(2< x<6)，然后由导数确定函数的单调性，求出函数的最值及条件.

试题解析：（1）因为x=4时，y=21，

代入关系式y=m

x−2+4(x−6)2，得m

2

+16=21，2分

解得m=10. 4分

（2）由（1）可知，套题每日的销售量y=10

x−2

+4(x−6)2，6分

所以每日销售套题所获得的利润

f(x)=(x−2)[10

x−2

+4(x−6)2]=10+4(x−6)2(x−2)=4x3−56x2+240x−278(2< x<6)从而f′(x)=12x2−112x+240=4(3x−10)(x−6)(2

令f′(x)=0，得x=10

3,且在(2,10

3

)上,，函数单调递增；在(10

3

,6)上，

，函数单调递减，10分

所以x=10

3

是函数在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，11分

所以当x=10

3

≈3.3时，函数取得最大值. 12分

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.

考点：1.利用导数处理函数的最值；2.函数模型的应用

练习题

一、单选题

1．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

2．现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（）

A. 1m

B. 1.5m

C. 0.75m

D. 0.5m

二、填空题 3．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 等速率缩短，而长度以每秒20cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________cm ．

4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．

三、解答题

5．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以

往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3

1

10v ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

（升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均

速度为

2

v

（米/单位时间），每单位时间用氧量为 1.5（升），记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升）.

（1）求y 关于v 的函数关系式；

（2）求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.

6．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m 元(m 为常数，且2≤m ≤3)，设每个水杯的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．

(1)求该工厂的日利润y (元)与每个水杯的出厂价x (元)的函数关系式；

(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值．

7．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x－5 000(单位：万元)．

(1)求利润函数P(x)；(提示：利润＝产值－成本)

(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

8．某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求

60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500

5

x k L

x

⎛⎫

-+

⎪

⎝⎭

，其中k为常

数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L. （1）求k的值；

（2）求该汽车每小时油耗的最小值．

9．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()()01025

k

c x x x =

≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值.

10．现有一张长为108cm ，宽为cm a （108a <）的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角上剪下一块边长为()cm x 的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，

用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为()cm y ，体积为()

3

cm V .

（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式； （Ⅱ）求该铁皮容器体积V 的最大值.