柯西不等式的应用技巧

柯西不等式常见题型摘要：一、柯西不等式的概述二、柯西不等式的应用范围三、柯西不等式的常见题型四、柯西不等式的解题技巧五、柯西不等式的意义和价值正文：一、柯西不等式的概述柯西不等式，是由法国数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的流数问题时得到的。

然而，从历史的角度来看，该不等式应当称为柯西- 布尼亚科夫斯基- 施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式是一个非常重要的不等式，它的应用范围广泛，可以解决许多复杂的数学问题。

二、柯西不等式的应用范围柯西不等式在数学中有着广泛的应用，包括证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题。

此外，柯西不等式在物理学、工程学、经济学等领域也有着广泛的应用。

三、柯西不等式的常见题型柯西不等式在数学竞赛和考试中经常出现，常见的题型包括：1.证明两个向量的数量积大于等于它们的模长之积。

2.已知两个实数a 和b，证明(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) >= (ac -bd)^2。

3.求解一个三角形的最大面积，已知三角形的三个顶点坐标。

4.求解一个函数的最小值，已知函数的表达式和约束条件。

5.解方程组，已知方程组中的系数矩阵是正定矩阵。

四、柯西不等式的解题技巧解决柯西不等式的问题，通常需要灵活运用不等式的性质和一些数学方法。

以下是一些常用的解题技巧：1.利用柯西不等式的定义，将问题转化为求解一个不等式。

2.利用向量的数量积和模长的关系，将问题转化为求解一个向量问题。

3.利用三角函数的性质，将问题转化为求解一个三角函数问题。

4.利用线性规划的方法，将问题转化为求解一个线性规划问题。

5.利用二次型的性质，将问题转化为求解一个二次型问题。

五、柯西不等式的意义和价值柯西不等式在数学中有着重要的意义和价值，它为我们解决许多实际问题提供了一个强大的工具。

柯西不等式在解析几何方面的几个应用
柯西不等式是19世纪最重要的数学原理之一，它由法国数学家柯西提出，是一个用于解析几何中的基本定理。

柯西不等式将几何图形分解为组合形状，其目的是用最小面积描述最大面积。

在计算几何中，它也有多种应用，甚至被证明可以用来解决许多数学问题。

首先，柯西不等式在多边形的绘制方面有着重要的应用。

它强调，在绘制多边形时，每个角都必须同时小于某一个大致限制值，这种限制值由柯西不等式来提供，从而使多边形具有自动绘制的功能，可以很大程度上提高多边形绘制的效率。

其次，柯西不等式可用于求解多边形的重心和多边形的面积。

这里的原理是，根据柯西不等式，每个多边形都可以分解成几个小的多边形，然后根据这些小的多边形的重心和面积的性质，可以求出整个多边形的重心和面积。

此外，柯西不等式也可以用于求解几何学中的最近点对问题。

其原理是，将几何图形分解为多个组合图形，使用柯西不等式来求解最近点对问题，即求两个点之间的最短距离。

柯西不等式可以给出一个有用的结论，即任何两个点之间的最短距离都是某两个点之间的最大面积。

最后，柯西不等式还可以用于求解最小生成树问题。

这种问题的基本思想是，在给定的图形中，找到一条路径，使得路径上的所有边的长度之和最小，即最小生成树问题。

柯西不等式可以用来求解这种问题，即通过使用柯西不等式，确定几何图形中的某些特定点，这些
特定点之间的连接线就是最小生成树，也就是说可以确定一个最佳路径。

以上就是柯西不等式在解析几何方面的几个应用，它的应用非常广泛，可以帮助解决许多几何问题，也可以用来绘制多边形，求解多边形的重心和面积，求解最近点对问题，以及求解最小生成树问题。

柯西不等式的凑系数技巧嘿，朋友们！咱今天来聊聊柯西不等式的凑系数技巧。

柯西不等式这玩意儿，就像一座神秘的城堡，想要顺利进入并拿到宝藏，凑系数的技巧那可是关键的钥匙。

比如说，你面对一个不等式问题，就像在黑暗中摸索着找出口。

如果能巧妙地凑好系数，那瞬间就像是点亮了一盏明灯，前路一下子清晰起来。

咱来举个例子，假设给了你这样一个式子：(a^2 + b^2)(c^2 +d^2) >= (ac + bd)^2 。

这时候，如果盲目地去尝试，那可就像无头苍蝇乱撞。

但要是能找准系数，就如同给箭安上了精准的箭头，一射一个准！那怎么凑呢？这可得有点小心思。

就好比做菜，调料放得恰到好处，这菜才能美味可口。

凑系数也是同样的道理，要根据已知条件和目标式子，去精心调配。

比如说，已知 a + b = 1 ，要证明某个和柯西不等式相关的式子。

这时候，你就得琢磨了，怎么把 1 这个条件巧妙地融合进去？是不是可以把 a 变成 a/1 ，b 变成 b/1 ？然后再根据柯西不等式的形式去调整，这难道不像在拼图，找到最合适的那几块拼在一起？再比如说，式子中有一些根号啊，分式啊，别慌！把它们看作是调皮的小精灵，你得想办法驯服它们。

通过凑系数，让这些小精灵乖乖听话，为你服务。

有时候，凑系数还得有点大胆创新的精神。

别被常规束缚住了手脚，大胆地尝试不同的组合和变形。

这就好像在探险，不走寻常路，说不定就能发现新大陆！总之，柯西不等式的凑系数技巧可不是一蹴而就的，需要咱们多琢磨、多练习。

每次遇到问题，都当成是一次挑战，别怕失败，多尝试几次，说不定就柳暗花明又一村啦！相信只要咱们掌握了这个技巧，柯西不等式这座城堡里的宝藏就都能被咱们收入囊中！。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是数学中一个重要的不等式，具有广泛的应用。

本文将列举一些柯西不等式的应用，并对这些应用进行详细讲解。

应用一：向量内积的最大值柯西不等式给出了两个向量内积的最大值。

具体表述为：对于任意两个n维向量a和b，它们的内积满足：|a·b| ≤||a|| ||b|| ，其中||a||和||b||分别表示向量a和b的范数（长度）。

利用柯西不等式，我们可以得到向量内积的最大值。

当两个向量a和b线性相关时，内积达到最大值；当两个向量a和b正交时，内积达到最小值。

应用二：函数内积的最大值在函数空间中，柯西不等式同样适用。

给定两个定义域为[a,b]的函数f(x)和g(x)，它们的内积满足：|∫f(x)g(x) dx| ≤ (∫f^2(x) dx)^(1/2) (∫g^2(x) dx)^(1/2)。

利用柯西不等式，我们可以得到函数内积的最大值。

当两个函数f(x)和g(x)线性相关时，内积达到最大值；当两个函数f(x)和g(x)正交时，内积达到最小值。

应用三：平均值与均方差的关系柯西不等式可以用来证明平均值与均方差的关系。

具体表述为：对于任意n个实数x1,x2,…,xn，它们的平均值avg和均方差sd满足：avg^2 ≤ sd^2，其中avg = (x1+x2+…+xn)/n，sd = [(x1-avg)^2 + (x2-avg)^2 + … + (xn-avg)^2]/n。

利用柯西不等式，我们可以得到均方差的最小值。

当n个实数x1,x2,…,xn相等时，均方差达到最小值；当n个实数x1,x2,…,xn分别与极值相等时，均方差达到最大值。

应用四：不等式约束条件下的最优化在最优化问题中，柯西不等式可以用来求解不等式约束条件下的最优解。

具体表述为：对于一组实数x1,x2,…,xn和正实数a1,a2,…,an，满足不等式约束条件：(x12/a12) + (x22/a22) + … + (xn2/an2) ≤ 1，以及目标函数f(x1,x2,…,xn)。

柯西不等式在解析几何方面的几个应用
柯西不等式是十九世纪七十年代意大利数学家费米尔柯西提出的，他在解析几何的理论中发挥了重要的作用，同时在抽象代数几何方面也有着深远的影响。

柯西不等式可以说是几何学中最重要的数学定理之一，它指出一个三角形内部最大内角和最小外角之和是180度。

它是解析几何中一个重要的基础定理，有着多种应用。

首先，对角线分割三角形。

如果对一个三角形进行分割，则研究者可以用柯西不等式来求解分割后的各个三角形的最大内角和最小
外角之和。

另外，通过柯西不等式可以判断一个角的类型，比如：如果三角形的两个内角之和大于180度，则该角是钝角；反之，如果小于180度，则该角是锐角。

另外，柯西不等式也可以用来求解各边长和角度之间的关系，或者说求解三角形的边长。

由于柯西不等式是解析几何中的基础定理，因此，它也可以用于求解几何中的其他问题，比如：如何画出一个四边形的平行四边形，或者求出一个多边形的中间点。

此外，柯西不等式也可以用来解决三角形的几何问题，比如：计算三角形的垂直角高，计算三角形的面积，以及计算三角形的长度。

例如，三角形的垂直角高可以利用柯西不等式来求解，而求解三角形面积则要使用海伦公式，这也是柯西不等式的一种应用。

最后，柯西不等式在微积分学中也有应用，它可以用来求解关于三角形的一些函数的积分，比如求解多边形的面积，求解复杂几何形状的面积等。

总之，柯西不等式在解析几何方面有着多种应用，可以用来解决三角形、多边形和复杂几何形状的各种问题，此外，它还可以用于微积分学中的积分求解。

柯西不等式是一个非常强大的数学定理，它在解析几何中十分重要，因此，许多学者也都将研究它的应用作为研究的重点。

柯西不等式及应用武胜中学高2009级培优讲座- 2 - 柯西不等式及应用武胜中学周迎新柯西不等式：设a1,a2,…a n,b1,b2…b n均是实数，则有（a1b1+a2b2+…+a n b n）2≤（a12+a22+…a n2）（b12+b22+…b n2）等号当且仅当a i=λb i(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取到。

注：二维柯西不等式：（一）、柯西不等式的证明柯西不等式有多种证明方法，你能怎么吗？证法一：判别式法：令f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+（a n x+b n）2=(a12+a22+…+a n2)x2+2(a1b1+a2b2+…+a n b n)x+(b12+b22+…+b n2)∵ f(x)≥0 ∴△≤0 即（a1b1+a2b2+…+a n b n）2≤(a12+a22+…+a n2)(b12＋b22+…+b n2) 等号仅当 a i=λb i时取到。

证法二：武胜中学高2009级培优讲座- 3 -（二）、柯西不等式的应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。

使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。

1．证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。

如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，（1）巧拆常数：武胜中学高2009级培优讲座- 4 -例1：设a、b、c为正数且各不相等。

求证：cbaaccbba????????9222分析∵a、b、c均为正∴为证结论正确只需证：9]111)[(2????????accbbacba而)()()()(2accbbadba????????又2)111(9???（2）重新安排某些项的次序：例2：a、b为非负数，a+b=1，??Rxx21,求证：212121))((xxaxbxbxax???分析：不等号左边为两个二项式积，，每个两项式可以使柯西????RxxRba21,,,不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。

柯西不等式的证明、推广及应用2 柯西不等式的推广2.1 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。

证明：∑∑==ni i n i i b a 1212, 收敛，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立。

2.2 命题2[3]若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，且对N n ∈∀有∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221，则对定义在[]b a ,上的任意连续函数()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222证明：因为函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x fx g x f 22、、与在[]b a ,上可积，将[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：()()()()()()()()xg dx x g x f dx x f xg dx x g x f dx x f i ni n bai ni n bani in bani in ba∆=∆=∆=∆=∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰=∞→=∞→=∞→=∞→ξξξξ12212211lim ,lim lim ,lim令()()12211221,ξξg bfa ==，则∑∑==ni i n i i b a 1212与收敛，由柯西不等式得()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===ni i n n i i n ni i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 121221121221lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222。

柯西不等式中取等条件的妙用设,,,,,321n a a a a n b b b b ,,,,321 是实数，则))((2222122221n n b b b a a a ++++++ 22211)(n n b a b a b a +++≥ ，当且仅当),,2,1(0n i b i ==或存在一个数k ，使得),,2,1(n i kb a i i ==时，等号成立.以上不等式就是选修4-5《不等式选讲》中所介绍的柯西不等式（简记为“方和积不小于积和方”）,其应用十分广泛和灵活，善于挖掘等号成立的条件具有的潜在功能，可用于求代数式的值、解方程、证明等式、判断三角形的形状、确定点的位置等.下面分类例析，旨在探索题型规律，揭示解题方法。

一、妙用取等条件求代数式的值例1 设0abc ≠,且()()22222314a b c a b c ++=++，求b c a c a b a b c +++++的值。

解析:构造两组实数,,a b c ；1,2,3.由柯西不等式，得()()()222222212323a b c a b c ++++≥++，即()()22221423a b c a b c ++≥++，上式等号成立的充要条件是.123a b c== 令123a b ck ===，则a k =，2b k =,3.c k = 所以5438.23b c a c a b k k k a b c k k k+++++=++=点评：本题若直接求解，过程较繁.借助柯西不等式，顺利地实现了从不等到相等的转化，干净利落.其中不等式等号成立的条件及其适当的变形是实现这一转化的桥梁。

二、妙用取等条件解方程例2 解方程1521234=-++x x .分析： 利用二维形式的柯西不等式把x x y 21234-++=变形后求最值,取“="号时x 的值即为原方程的根。

解析: 2152= ])21()232[(]2)2[(2222x x -++⋅+≤15256)21232(6=⨯=-++≤x x 。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~不等式柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录1方法技巧与总结 12题型归纳与总结 2题型一:柯西不等式之直接套公式型 2题型二:柯西不等式之根式下有正负型 3题型三:柯西不等式之高次定求低次型 4题型四:柯西不等式之低次定求高次型 5题型五:柯西不等式之整式与分式型 6题型六:柯西不等式之多变量型 7题型七:柯西不等式之三角函数型 8题型八:Aczel 不等式 9题型九:权方和不等式之整式与分式综合型 10题型十:权方和不等式之三角函数型 11题型十一:权方和不等式之杂合型 123过关测试 131方法技巧与总结1、柯西不等式(Cauchy 不等式)(1)二元柯西不等式：对于任意的a ,b ,c ,d ∈R ，都有(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)．(2)n 元柯西不等式：(a 21+a 22+⋯+a 2n )(b 21+b 22+⋯+b 2n )≥(a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n )2，取等条件：a i =λb i 或b i =λa i (i =1,2,⋯,n )．2、Aczel 不等式(反柯西不等式)设a 1,a 2,⋯,a n ；b 1,b 2,⋯,b n 均为实数，a 21-a 22-⋯-a 2n >0或b 21-b 22-⋯-b 2n >0，则有(a 21-a 22-⋯-a 2n )(b 21-b 22-⋯-b 2n )≤(a 1b 1-a 2b 2-⋯-a n b n )2．当且仅当a k ，b k 成比例时取等．3、权方和不等式(1)二维形式的权方和不等式对于任意的a ,b ,x ,y >0，都有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ．当且仅当a x =by时，等号成立．(2)一般形式的权方和不等式若a i >0，b i >0，m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n ≥(a 1+a 2+⋯a n )m +1(b 1+b 2+⋯b n )m，当a i =λb i 时等号成立．2题型归纳与总结题型一:柯西不等式之直接套公式型1已知x ,y ,z ∈R +且x +y +z =1则x 2+y 2+z 2的最小值是()A.1B.13C.23D.2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：x 2+y 2+z 2 ×12+12+12 ≥x +y +z 2=1，即3x 2+y 2+z 2 ≥1所以x 2+y 2+z 2≥13，当且仅当x =y =z x +y +z =1 即x =y =z =13时取等号，故x 2+y 2+z 2的最小值为13，故选：B ．2若a 21+a 22+⋯+a 2n =8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为()A.25B.8C.-8D.-25【答案】C【解析】由柯西不等式，得(a 21+a 22+⋯+a 2n -1+a 2n )(a 22+a 23+⋯+a 2n +a 21)≥(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2，∴(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2≤8×8，∴-8≤a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1≤8，当a 1a 2=a 2a 3=a 3a 4=⋯=a n -1a n =a n a 1=-1且a 21+a 22+⋯+a 2n =8时，即a 1 =a 2 =a 3 =⋯=a n -1 =a n =22nn，且a 1,a 3,a 5,⋯与a 2,a 4,a 6,⋯异号时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1=-8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为-8.选：C .3已知a ，b ，c ∈R ，满足a +2 2+b 2+c +1 2=12，则a +b +c 的最大值为()A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】设a +2=w ，b =v ，c +1=u ，可得w 2+v 2+u 2=12，所以a +b +c =w +v +u -3．因为w +v +u 2≤12+12+12 w 2+v 2+u 2 =36，所以-6≤w +v +u ≤6，当且仅当w =v =u =2，w +v +u 取得最大值6，此时a +2=b =c +1=2，所以a +b +c 的最大值为6-3=3．故选：B4(2024·高三·山东青岛·期中)柯西不等式(Caulhy -Schwarz Lnequality )是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：a 2+b 2c 2+d 2≥ac +bd 2，当且仅当a c =b d时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f x =34-3x +3x -2的最大值为()A.25 B.23 C.12 D.20【答案】A 【解析】由4-3x ≥03x -2≥0，解得23≤x ≤43，所以函数f x 的定义域为23,43，由柯西不等式得，f x =34-3x +3x -2≤32+12 4-3x +3x -2=25，当且仅当34-3x=13x -2，即x =1115时等号成立，所以f x 的最大值为25.故选：A .5柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 ,由a ⋅b≤a b 得到(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0,b ≥0,a +b =5,则2a +2+b +3的最大值为()A.18B.9C.23D.33【答案】D【解析】因为(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),令x 1=2,y 1=1,x 2=a +1,y 2=b +3,又a ≥0,b ≥0,a +b =5,所以2a +2+b +3 2=2⋅a +1+1⋅b +3 2≤2 2+12 ⋅a +1+b +3 =27,当且仅当2⋅b +3=1⋅a +1即a =5,b =0时等号成立,即2a +2+b +3≤33,故选:D .6(2024·浙江·模拟预测)已知x >0，y ∈R ，且x 2+xy -x +5y =30，则2-x +30-3y 的最大值为()A.3 B.6C.26D.32【答案】C【解析】由x 2+xy -x +5y =30可得x 2-x -30+xy +5y =0，即x +5 x +y -6 =0.由x >0可知x +y =6，所以2-x +30-3y =2-x +12+3x =2-x +3⋅4+x .由x >0，2-x ≥0可得0<x ≤2，由柯西不等式得2-x +3⋅4+x 2≤12+3 2⋅2-x 2+4+x 2=24，所以2-x +3⋅4+x ≤26，当4+x3=2-x 1即x =12时，取等号.所以2-x +30-3y 的最大值为26.故选：C .7设a ，b ，c 为正数，且a 2+b 2+c 2=1，则a (a +b +c )的最大值为()A.3+12B.2+12C.32D.22【答案】A【解析】解法一根据题意，有a (a +b +c )≤a 2+λa 2+1λb 22+μa 2+1μc 22=1+λ2+μ2 a 2+12λb 2+12μc 2，其中λ,μ>0，令1+λ2+μ2=12λ=12μ，解得λ=μ=3-12，于是a (a +b +c )≤12λa 2+b 2+c 2 =3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法二令a =cos φ,b =sin φsin θ,c =sin φcos θ，其中0≤φ≤π,0≤θ<2π，则a (a +b +c )=cos 2φ+sin φcos φ(sin θ+cos θ)≤cos 2φ+2sin φcos φ=22sin2φ+12cos2φ+12≤3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法三根据题意，有a (a +b +c )≤a a +2b 2+c 2 =a 2+2a 21-a 2 =a 2-12 2+2⋅14-a 2-12 2+12≤3+12，等号当b 2=c 2，且14a 2-12 2=2a 2-12 2即a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．故选：A .8(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A9已知实数a i i =1,2,3,4,5 满足(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2=1，则a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值是()A.22B.25C.5D.10【答案】D【解析】设c =a 1-a 2,b =a 2-a 3,c =a 3-a 4,d =a 4-a 5，则条件为a 2+b 2+c 2+d 2=1，所以a 1-2a 2-a 3+2a 5=a -b -2c -2d ≤12+-1 2+-2 2+-2 2⋅a 2+b 2+c 2+d 2=10，等号当a 1=b -1=c-2=d -2且a >0时取得，因此所求代数式的最大值为10．故选：D10若实数a ，b ，c ，d 满足ab +bc +cd +da =1，则a 2+2b 2+3c 2+4d 2的最小值为()A.1B.2C.3D.以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有ab +bc +cd +da =1⇒(a +c )(b +d )=1，而a 2+3c 2 1+13 ≥a +c 2，当且仅从a =3c 时等号成立.同理2b 2+4d 2 12+14≥b +d 2，当且仅当2b =4d 式等号成立，记题中代数式为M ，于是M =a 2+3c 2 +2b 2+4d 2≥(a +c )21+13+(b +d )212+14=34(a +c )2+43(b +d )2≥2(a +c )(b +d )=2，等号当a c =3,b d =2,a +c b +d =43,⇒a :b :c :d =3:2:1:1时取得，因此所求代数式的最小值为2．故选：B .11已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【解析】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12=x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z 2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为3.故选：B12已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c =5，则a 2+2b 2+c 2的最小值为()A.5B.1C.2D.52【答案】C【解析】由三维柯西不等式：a 12+a 22+a 32b 12+b 22+b 32 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 2b 2 2当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3时取等,所以12+222+12 a 2+2b 2+c 2 ≥1×a +22×2b +c ×1 2=a +b +c 2=5所以a 2+2b 2+c 2≥552=2，当且仅当a 1=2b 22=c1时取等,所以a 2+2b 2+c 2的最小值为：2故选：C题型五:柯西不等式之整式与分式型13(2024·高三·浙江台州·期末)已知正实数a ,b 满足a +2b =1，则a 4b+32b 4a 的最小值为．【答案】12/0.5【解析】由柯西不等式a 4b +32b 4a =a 4b+32b 4a (2b +a )≥(2a 2+42b 2)2=2(a 2+4b 2)2而a 2+4b 2=12(a 2+4b 2)(1+1)≥12(a +2b )2=12，所以a 4b+32b 4a ≥2a 2+4b 2 2≥12，a =12,b =14时等号成立，故答案为：12.14已知a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，则1a +12b+13c 的最小值为.【答案】9【解析】因为a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，所以，1a +12b+13c =a +2b +3c 1a +12b +13c ≥a a +2b 2b +3c 3c 2=9，当且仅当a =2b =3c =13时，等号成立，故1a +12b+13c 的最小值为9.故答案为：9.15已知a ,b ,c ∈(0,1)，且ab +bc +ac =1，则11-a +11-b+11-c 的最小值为()A.3-32B.9-32C.6-32D.9+332【答案】D【解析】因为a ,b ,c ∈(0,1)且ab +bc +ac =1，∴(a +b +c )2≥3(ab +bc +ca )=3，∴a +b +c ≥3，因为11-a +11-b +11-c(1-a +1-b +1-c )≥1+1+1 2所以11-a +11-b +11-c ≥9(1-a +1-b +1-c )≥93-3=9+332，当且仅当a =b =c =33时，11-a +11-b+11-c 的最小值为9+332.故选：D .题型六:柯西不等式之多变量型16已知x ,y ,z >0且x +y +z =1，a ，b ，c 为常数，则a 2x +b 2y +c 2z的最小值为()A.a 2+b 2+c 2B.3a 2+b 2+c 2C.(a +b +c )3D.前三个答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z=(a +b +c )2，等号当a x =b y =cz >0时取得，因此所求最小值为(a +b +c )2．故选：D .17已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e =8,a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16, 则e 的取值范围是()A.[-2,2]B.[0,1]C.[0,2)D.以上答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有-4⋅a 2+b 2+c 2+d 2≤a +b +c +d ≤4⋅a 2+b 2+c 2+d 2，从而|8-e |≤216-e 2⇒0≤e ≤165，因此e 的取值范围是0,165．故选：D .18已知a ,b ,c ∈R +，且(a +b -c )1a +1b-1c =3，则a 4+b 4+c 4 1a 4+1b 4+1c4 的最小值是()A.417+2403B.417-2403C.417D.以上答案都不对【答案】A【解析】由(a +b -c )1a +1b-1c=3可得a 2+b 2ab ×1a +b =c ×1ab+1c ，由对称性可设ab =1，则条件即(a +b -c )a +b -1c =3即c +1c =a 2+b 2a +b，从而a 2+b 2a +b≥2⇒a +b ≥1+3，根据柯西不等式a 4+b 4+c 4 a 4+b 4+1c4 ≥a 4+b 4+1 2=(a +b )4-4(a +b )2+32≥417+2403，等号当c =1,a +b =1+3时取得．因此所求最小值为417+2403．故选：A .题型七:柯西不等式之三角函数型19函数3+23cosθ+cos2θ+5-23cosθ+cos2θ+4sin2θ的最大值为()A.2+3B.22+3C.2+23D.前三个答案都不对【答案】D【解析】题中代数式为3+cosθ+10-(3cos+1)2=3cosθ+13+10-(3cosθ+1)2+23≤13+1×10+23=210+23，等号当10-(3cosθ+1)23cosθ+1=3⇒cosθ=10-223时可以取得，因此所求最大值为210+23．故选：D.20(2024·浙江·一模)若sin x+cos y+sin x+y=2，则sin x的最小值是() A.0 B.2-3 C.3-7 D.12【答案】C【解析】由已知sin x+cos y+sin x cos y+cos x sin y=2整理得2-sin x=sin x+1cos y+cos x sin y，由柯西不等式得sin x+1cos y+cos x sin y≤1+sin x2+cos2x⋅cos2y+sin2y=2+2sin x，当sin x+1sin y=cos y cos x时取等号，所以2-sin x2≤2+2sin x，即sin2x-6sin x+2≤0，解得3-7≤sin x≤1，所以sin x的最小值为3-7.故选：C．21函数y=2cos x+31-cos2x的最大值为()A.22B.5C.4D.13【答案】A【解析】利用柯西不等式进行求最值.y=2cos x+31-cos2x=2cos x+32sin2x ≤cos2x+sin2x22+(32)2=22当且仅当cos xsin2x=232，即tan x=±322时，函数有最大值22.故选：A.题型八:Aczel 不等式22f (x )=5x -4-x -4的最小值为．【答案】855【解析】f (x )=5x -4-x -4=5⋅x -45-1⋅x -4≥(5-1)x -45 -(x -4)=4×165=85当且仅当x -45x -4=51即x =245时取等号，故f (x )=5x -4-x -4的最小值为855．23为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维)；当向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 时，有a ⋅b 2≤a 2b 2，即x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：x 1x 2-y 1y 2 2≥x 21-y 21 x 22-y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x ∈R 时，12x 2+1-2x 2+1的最小值是．【答案】-1【解析】由题意得12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2，则12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 =12x 2+1 2-22x 2+222x 2+1 2-2x 2+2 2 ≤12x 2+1⋅2x 2+1-22x 2+2⋅2x 2+22=1，当且仅当12x 2+1⋅2x 2+2=22x 2+2⋅2x 2+1，即x =0时，等号成立，即12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 ≤1，则-12x 2+1-42x 2+2 ≤1，所以12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2≥-1，最小值为-1，此时x =0．故答案为：-1.题型九:权方和不等式之整式与分式综合型24已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y的最小值为【答案】13【解析】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.25权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f (x )=2x+91-2x 0<x <12的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <12，即1-2x >0，于是得f (x )=222x +321-2x ≥(2+3)22x +(1-2x )=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取“=”，所以函数f (x )=2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故选：B26已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +4b +9c =4，则1a +1+1b +1+1c +1的最小值为.【答案】2【解析】由权方和不等式，可知1a +1+1b +1+1c +1=1a +1+44b +4+99c +9≥1+2+3 2a +1 +4+4b +9c +9=3618=2，当且仅当a =2,b =12,c =0时等号成立，所以1a +1+1b +1+1c +1的最小值为2.故答案为：2.27已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y2的最小值.【答案】27【解析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y2的最小值为27.故答案为：2728已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【解析】1sin θ+8cos θ=132sin2θ12+432cos2θ12≥1+4 32sin2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5529(2024·四川·模拟预测)“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设a n >0,b n >0,n ∈N *,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m3+⋯+a m +1n b m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a nm +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m，当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=a n b n 时，等号成立．根据权方和不等式，若x ∈0,π2 ，当33sin x +1cos x取得最小值时，x 的值为()A.π12 B.π6 C.π3D.5π12【答案】C【解析】由题意得，sin x >0,cos x >0，则33sin x +1cos x=332sin 2x 12+132cos 2x 12≥(3+1)32sin 2x +cos 2x 12=432=8，当且仅当3sin 2x =1cos 2x ，即cos x =12时等号成立，所以x =π3．故选：C ．30已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】由题意得，1=1x +22y =132x 2 12+232y 2 12≥1+2 32x 2+y 212=33x 2+y 2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m ,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y =1 ，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3331已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【解析】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6032求f x =x 2-3x +2+2+3x -x 2的最大值为【答案】22【解析】f (x )=x 2-3x +2+2+3x -x 2=x 2-3x +2 121-12+2+3x -x 2 121-12≤x 2-3x +2+2+3x -x 2 121+1-12=22当且仅当x 2-3x +2=2+3x -x 2，即x =0或x =3时取等号故答案为：2 2.3过关测试33(2024·吉林白山·一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立．则函数f x =3x +161-3x 0<x <13的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】D【解析】因为a ，b ，x ，y ，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <13，即1-3x >0，于是得f x =323x +421-3x ≥3+4 23x +1-3x =49，当且仅当1x =41-3x ，即x =17时取“=”，所以函数的f x =3x +161-3x 0<x <13最小值为49．故选：D34已知a ，b ，c 均大于1，log a 3+log b 9+log c 27=12，则ab 2c 3的最小值为()A.243B.27C.81D.9【答案】B【解析】由log a 3+log b 9+log c 27=12得log a 3+2log b 3+3log c 3=12，所以log 3ab 2c 3 =log 3a +log 3b 2+log 3c 3=log 3a +2log 3b +3log 3c =112log 3a +2log 3b +3log 3c log a 3+2log b 3+3log c 3 ≥112log 3a ⋅log a 3+2log 3b ⋅2log b 3+3log 3c ⋅3log c 3 2=1121+2+3 2=3，当且仅当log 3a log a 3=log 3b log b 3=log 3clog c 3时取等，所以log 3ab 2c 3 ≥3=log 327，所以ab 2c 3≥27，即ab 2c 3的最小值为27，故选：B35(2024·福建·模拟预测)设p 、q ∈R +，x ∈0,π2，则psin x+qcos x的最小值是()A.p 35+q 3553B.p 45+q4554C.p 12+q 122 D.p 14+q144【答案】B 【解析】设f =psin x+q cos x，因为x ∈0,π2 ，则0<sin x <1且0<cos x <1，因为sin 2x +cos 2x =1，构造数字式5=1+4=1+4p f sin x +qf cos x=4p f sin x +sin 2x +4q f cos x+cos 2x≥55p f sin x4⋅sin 2x +55q f cos x4⋅cos 2x =5⋅5p 4+5q 45f4，所以，5f 4≥5p 4+5q 4=p 45+q 45，故f ≥p 45+q 4554，当且仅当p f sin x =sin 2x q f cos x =cos 2x ，即当tan x =pq25时，等号成立，因此，psin x+q cos x的最小值是p 45+q 45 54.故选：B .36由柯西不等式，当x +2y +z =4时，求x +y +z 的最大值为()A.10 B.4C.2D.10【答案】D【解析】由柯西不等式，得(x +2y +z )(4+2+4)≥(2x +2y +2z )2，当且仅当x 4=2y 2=z 4，即x =z =82,y =25时，等号成立.因为x +2y +z =4，所以(x +y +z )2≤10，则x +y +z ≤10，故x +y +z 的最大值为10.故选：D37已知3x +2y +z =3，则x 2+y 2+2z 2的取最小值时，xyz 为()A.7B.83C.3D.73【答案】B【解析】由柯西不等式得：3=3x +2y +z ≤32+22+122⋅x 2+y 2+2z 2则x 2+y 2+2z 2≥23．则根据等号成立条件知3x +2y +z =33x =2y =12z⇒x =23，y =49，z =19，所以xy z =23×4919=83故选：B38已知：a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，则ax +by 的取值范围是()A.0,2B.-1,1C.-2,2D.0,1【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得1≥ax +by 2,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得a 2+b 2=1,1=a 2+b 2 x 2+y 2 ≥ax +by 2，解得-1≤ax +by ≤1.故选:B39实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，则z =2x +3y 的最小值是()A.-5B.-6C.3D.4【答案】A【解析】∵实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，∴x 24+y 23=1，∴x 24+y 2316+9 ≥2x +3y 2，-5≤2x +3y ≤5，当且仅当33x =8y 时取等号，∴z =2x +3y 的最小值是-5.故选：A .40已知a ，b >0，a +b =5，则a +1+b +3的最大值为()A.18B.9C.32D.23【答案】C【解析】由题意，a +1+b +3 2≤1+1 a +1+b +3 =18，当且仅当a +1=b +3时等号成立，∴当a =72，b =32时，故a +1+b +3的最大值为3 2.故选：C .41若实数x +2y +3z =1，则x 2+y 2+z 2的最小值为()A.14B.114C.29D.129【答案】B【解析】根据柯西不等式：x 2+y 2+z 2 1+4+9 ≥2+2y +3z =1，即x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =114，y =17，z =314时等号成立.故选：B .42函数y =x 2-2x +3+x 2-6x +14的最小值是A.10B.10+1C.11+210D.210【答案】B【解析】y =x 2-2x +3+x 2-6x +14=(x -1)2+2+(3-x )2+5根据柯西不等式，得y 2=(x -1)2+2+(3-x )2+5+2(x -1)2+2 (3-x )2+5 ≥(x -1)2+2+(3-x )2+5+2[(x -1)(3-x )+10]=[(x -1)+(3-x )]2+2+5+210=11+210当且仅当x -13-x =25，即x =210-13时等号成立.此时，y min =11+210=10+1 2=10+1，故选：B .43若x 2+4y 2+9z 2=4，则x +y +3z 的最大值()A.3 B.6C.9D.27【答案】A【解析】根据柯西不等式可得：(x +2y +3z )2≤(x 2+4y 2+9z 2)12+122+12 =4×94=9∴x +y +3z ≤3，当且仅当x =4y =3z ，即x =43,y =13,z =49时，等号成立.故选:A .44函数y =x -5+26-x 的最大值是()A.3B.5C.3D.5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因为y =x -5+26-x ≤x -5 2+6-x 212+22 =5当且仅当x -5=6-x 2，即x =265时，取等号.故选：B45已知a 21+a 22+⋯+a 2n =1，x 21+x 22+⋯+x 2n =1，则a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 2≤a 21+a 22+⋯+a 2n x 21+x 22+⋯+x 2n =1×1=1，当且仅当x 1a 1=x 2a 2=⋯=xn a n=1时取等号.∴a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是1故选：A46函数f x =1-cos2x +cos x ，则f x 的最大值是()A.3B.2C.1D.2【答案】A【解析】将f x 化为f x =2sin 2x +cos x ，利用柯西不等式即可得出答案.因为f x =1-cos2x +cos x所以f x =2sin 2x +cos x ≤2+1 sin 2x +cos 2x=3当且仅当cos x =33时取等号.故选：A47(2024·高三·河北衡水·期末)已知a ，b ，c >0，且a +b +c =1，则3a +1+3b +1+3c +1的最大值为()A.3B.32C.18D.9【答案】B【解析】由柯西不等式得：3a +1+3b +1+3c +1 2≤12+12+12 3a +1 2+3b +1 2+3c +1 2=3×3a +b +c +3 =18，所以3a +1+3b +1+3c +1≤32，当且仅当a =b =c =13时，等号成立，故选B .48已知x ，y 均为正数，且x +y =2，则x +4xy +4y 的最大值是()A.8 B.9C.10D.11【答案】C【解析】x +4xy +4y =x +2y 2≤x +2y 2+2x -y 2=5x +y =10当且仅当2x =y ，即x =25,y =85时，等式成立.故选：C49(2024·广西南宁·二模)设实数a ,b ,c ,d ,e 满足关系：a +b +c +d +e =8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16，则实数e 的最大值为A.2 B.165C.3D.25【答案】B【解析】根据柯西不等式知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，当且仅当a =b =c =d 时等号成立，所以4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2，所以5e 2-16e ≤0，解得0≤e ≤165，即实数e 的最大值为165.故选：B .50(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【解析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：651若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.【答案】305/1530【解析】由柯西不等式的变形可知5x +y =x215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y1，即y=25x时等号成立，则k的最小值为30 5.故答案为：30 552已知x，y，z>0，且x+y+z=9，则x2+4y2+z2的最小值为．【答案】36【解析】由柯西不等式可得x2+4y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以94x2+4y2+z2≥81，即x2+4y2+z2≥36，当且仅当x1=2y12=z1即x=4y=z也即x=4,y=1,z=4时取得等号，故答案为:36.53(2024·高三·江苏苏州·开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 254在锐角△ABC中，tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A的最小值是．【答案】6+22+23+26【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A= 1，于是M=tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A≥(1+2+3)2cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=(1+2+3)2=6+22+23+26，等号当tan A tan B =2tan B tan C =3tan C tan A ⇒tan A :tan B :tan C =2:3:1时取得，因此所求最小值为6+22+23+26故答案为：6+22+23+2655函数f (x )=2020-x +x -2010的最大值与最小值之积为．【答案】102【解析】函数f (x )的定义域为[2010,2020]，一方面，2020-x +x -2010≥(2020-x )+(x -2010)=10，等号当x =2010,2020时取得；另一方面，2020-x +x -2010≤2⋅(2020-x )+(x -2010)=20，当且仅当x =2015时等号成立，于是最大值为20，最小值为10，所求乘积为102．故答案为：10 2.56(2024·高三·天津南开·期中)已知正实数a ，b 满足a +b =1，则1a +2a b +1的最小值为.【答案】52/2.5【解析】由题设，a =1-b ，则1a +2a b +1=1a +2-2b b +1=1a +4b +1-2，又(a +b +1)1a +4b +1 =a ⋅1a +b +1⋅2b +12=9，∴1a +4b +1≥92，当且仅当a =b +12时等号成立，∴1a +2a b +1≥92-2=52，当且仅当a =b +12=23时等号成立.∴1a +2a b +1的最小值为52.故答案为：52.57已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=b a -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：858已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】解法一：设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1)12x +y +1y +1 -32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y，1=12x +y +33y +3≥(1+3)22x +4y +3⇒2x +4y +3≥4+23，所以x +2y ≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．。