露天矿生产的车辆安排

2003年B题《露天矿生产的车辆安排》题目、论文、点评露天矿生产的车辆安排丁余良胡海林...本文研究了露天矿生产的车辆安排最优化问题。

利用主要目标法将多目标最优化问题转化为单目标最优化问题，根据主要目标(总运量)列出最小费用函数，将次要目标最小卡车数转化为约束条件，然后逐步简化，将非线性规划转化为线性整数规划，并通过SAS软件编程遍历120个线性规划子问题，经过比较得出最优解，最后在最优解基础上运用贪心算法求出所用的最少卡车数并给出了一个班次的运输方案。

对于问题一，得到最小总运量为85628．62吨公里，此时7台电铲分别放在第1．2，3．4，8，9，10铲点，所需卡车最少为13辆。

对于问题二，利用类似于问题一的解法，在充分利用现有卡车和铲车的条件下，求得最大的产量为103334吨，20辆车完全利用，相应的铲点为：1，2，3．4，8，9，10。

最小运输量为147792．26吨公里，相应的岩石产量为49280吨，矿石产量为54054吨。

我们还讨论了一辆卡车在不同的路线运输所产生的转移时间差和两辆卡车发生等待的条件，为解决等待问题提供了一种很好的方法。

露天矿生产的车辆安排.pdf (207.99 KB)露天矿生产的车辆安排于浚泊肖川...如何利用最小的资源消耗取得理想的产量要求，是本文讨论的重点问题。

文章采用两种方法——贪心法和线性规划建立模型，针对两个目标进行安排。

第1阶段：采用贪心法按距离、产量、品位等要求依次取得最优、次优……等若干较优的铲位，获得一些铲位的组合方案。

第2阶段：对这些组合进行线性规划：以车次为变量，根据不同目标建立目标函数，根据产量等条件限制建立约束方程，然后求整数解，在这些解中取最优者。

第3阶段：根据每条路线上的车次数再次利用贪心法进行具体的车辆安排。

露天矿生产的车辆安排(1).pdf (156.6 KB)露天矿生产的车辆安排苏勇潘信峰...本文以总运量最小为目标建立整数规划模型，求解中用连续松弛把该问题转化为线性规划模型，使解题难度降低。

2采用尽可能少、尽可能短的邮路可以减少邮政部门车辆和人员等的投入，从而显着降低全区邮政运输网的总运行成本。考虑投入车况较好的邮车，通常每条邮路只需要一辆邮车即能满足运载能力要求，试问应如何构建该地区的邮政运输网络（县的划分不能变更），请你给出邮路规划和邮车调度方案。请注意邮车的调度必须满足上文中有关该地区的邮政运输流程及时限规定。（每条邮路的运行成本为3元/公里）
3考虑到部分县与县交界地带的支局，其邮件由邻县县局负责运送可能会降低全区的运行成本，带来可观的经济效益。若允许在一定程度上打破行政区域的限制，你能否给出更好的邮路规划和邮车调度方案（在此同样不必考虑邮车的运载能力的限制，每条邮路的运行成本为3元/公里）
4县局选址的合理与否对构建经济、快速的邮政运输网络起到决定性的作用。假设图2中县局X1，……，X5均允许迁址到本县内任一支局处，同时原来的县局弱化为普通支局。设想你是该地区网运部门负责人，请你重新为各个县局选址，陈述你的迁址理由并以书面材料形式提交省局网运处。
3如果调度室在列车到达前两小时能够获取列车的相关信息，请利用这些信息制定可行的列车编组调度方案，使每班的中时尽量少，发出的车辆尽量多。
4如果因自然灾害导致S3以南的铁路中断，需要将有关的车辆转向东方向经E4向南绕行，请你们给出相应的调度方案，并计பைடு நூலகம்相应每班的中时。
5假设编组完成的列车都能及时发出，按照你们的编组调度方案分析研究该编组站一天24小时最多能编组完成多少车辆，相应每班的中时是多少即根据所建立模型进一步分析该编组站能否再提高资源的利用率和运行效率。
2008
C
货运列车的编组调度问题
经济类
（规划设计类）
1试设计快速自动实现车辆编组调度方案的优化模型或算法，并给出附件2中车辆可行的编组方案（包括解体程序、轨道编号、车辆数量、集结程序、新列车的组成等），主要使每班的中时尽量地少。

B题露天矿生产的车辆安排钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。

许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。

提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。

露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。

一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。

每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。

每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。

卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。

从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5% 1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。

从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。

卡车的平均卸车时间为3分钟。

所用卡车载重量为154吨，平均时速28hkm。

卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。

发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。

卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。

电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。

卡车每次都是满载运输。

每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60m的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。

一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。

一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。

露天矿生产的车辆安排摘要针对本问题的分析，我们按照“规划铲位到卸点的最优路线和次数→规划卸点回到铲位所需最优车辆资源数→根据以上两个规划寻求最优卡车调度方案”—三步走的方式，针对原则一和原则二分别建立数学模型如下：原则一：第一步：我们用整数规划的方法求取满足最优目标的由铲位到卸点的运输次数和路线，解决岩石和矿石的最优运输问题。

目标为总运量最小；第二步：根据第一步规划求得的运输路线及次数规划出卸点到铲位所需最优车辆资源数。

目标为空载时间最短，最小为吨公里；第三步：根据以上两个规划指导和求取相应调度问题。

目标为总发车次数最少。

对题目中的实际问题求得结果为：最少发车次数为13辆，铲车数为7。

原则二：目标1：最大的产量，并且满足产量、质量要求，同时优先考虑岩石产量并且总运量最小；由于问题已确定了车辆数，所以无需对车辆数范围的规划目标2：具体安排在解第二问时我们采用了一个快速算法，虽然不能保证每辆车都不等待，但避免了，大规模整数规划，所以我们认为这种简化是合理的。

最后，结合模型分析对模型进行了评价。

所用铲车数为7，卡车数为20，总运量：103488吨.一、问题的分析在满足对矿山采运资源的限制条件下，我们将该问题的两个目标转化为最优规化问题。

经分析后我们采用三步规划的方法，在可解的条件下，将问题划归为三个整数规划问题。

为达到问题的两个最优目标，我们采用目标到调度的逆向分析方法，以“规划铲位到卸点的最优路线和次数→规划卸点回到铲位所需最优车辆资源数→根据以上两个规划指导和求取相应调度问题”三步走的方式求解问题的最终目标。

首先我们用整数规划的方法求取满足最优目标的由铲位到卸点的运输次数和路线，解决岩石和矿石的最优运输问题。

其次，再根据第一步规划求得的运输路线及次数规划出卸点到铲位所需最优车辆资源数。

最后，根据前两步结果，指导和安排相应车辆的调度，达到第一步对最优目标的规划。

二、模型的假设及说明在已满足题目中所有假设条件的前提下，我们补充两点如下：1). 模型只考虑满足题目要求的调度计划本身，而不考虑如何保证一个计划的内容在现实过程中实现；2). 卡车在一个班次中始终保持正常运行，不出故障；3). 电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。

数学建模案例精选知到章节测试答案智慧树2023年最新济南大学第一章测试1.在商人过河问题中，如果设彼岸的人数情况为案例中的变量，则状态转移函数变为（）参考答案:s k+1=s k +（-1）k+1 d k2.下面哪一个不是商人过河允许的状态（）参考答案:(2,1)3.关于商人过河问题，下面说法错误的是（）参考答案:商人过河要保证每一岸的商人数和随从数一样多4.关于路障间距设计问题，说法不正确的（）参考答案:不可以假设汽车做匀速运动5.关于机理分析说法不正确的是（）参考答案:将研究对象看做一个黑箱第二章测试1.Lingo软件不可以直接求解哪一类优化模型（）.参考答案:多目标规划2.在露天矿生产的车辆安排问题中，已知铲位1到岩石漏距离为5.26km,车辆平均速度为28km/h,请问这条线路上运行一个周期平均所需时间Tij为（）(请保留两位小数).参考答案:8.38;30.54;19.273.在露天矿生产的车辆安排问题中，基本假设不变，若某天线路上的T ij=19分钟，车辆开始工作的时间可以不同，工作后车辆不会发生等待，则该线路上最多可以安排（）辆卡车？参考答案:44.在露天矿生产的车辆安排问题中，基本假设不变，若某天线路上的Tij=17分钟，安排3辆车在该线路上工作，开始工作的时间可以不同，开始工作后车辆不会发生等待，则三辆车在一个班次内的最大运算趟数是（）？参考答案:28,27,275.在露天矿生产的车辆安排问题中，基本假设不变，车辆开始工作的时间可以不同，开始工作后车辆不会发生等待，若可以安排3辆车在同一条线路上工作，则三辆车在一个班次（8小时）内的工作时间（分钟）不可能是（）.参考答案:479,471,474第三章测试1.假设快速喝下1瓶啤酒，酒精从肠胃向体液的转移速度与胃肠中的酒精含量x成正比，比例系数为k，则得到的微分方程为？（）。

参考答案:2.模型中有未知参数，给定了测试数据，确定参数的最佳方法为（）。

一、生产计划问题的Matlab 求解某工厂拥有A 、B 、C 三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四种产品。

每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：如何安排生产使利润最大。

二、工厂-销售点配置问题生产厂 顾客需求销售点问题: 为使经营成本最低,应开设那些工厂及销售点?三、选址问题某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里),水泥日用量di (单位：吨）记(x j,y j),j=1,2, 日储量e j各有20吨。

目标：制定每天的供应计划，即从A, B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。

四、最短路问题求各点到T的最短路五、钢管下料问题问题1. 如何下料最节省 ?问题2. 客户增加需求：由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。

如何下料最节省？六、露天矿生产的车辆安排问题露天矿里铲位已分成矿石和岩石: 平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。

每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。

每个铲位至多安置一台电铲，电铲平均装车时间5分钟。

矿石卸点需要的铁含量要求都为29.5% 1%(品位限制），搭配量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。

卸点在一个班次内不变。

卡车载重量为154吨，平均时速28km,平均卸车时间为3分钟。

卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。

问题：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次 ?原料钢管:每根19米 4米50根6米20根8米15根5米10根七、食谱问题的Lingo求解小李的食谱由四种食品组成:果仁巧克力,冰淇淋,可乐,奶酪，水果.一块果仁巧克力价格为30 美分,一杯冰淇淋价格为10美分, 一瓶可乐价格为20美分, 一块奶酪价格为50美分，一个水果12美分.我每天的营养最低需求: 600 卡路里,8八、用Matlab和Lingo求解生产问题。

基础题：1．目标规划问题最近，某节能灯具厂接到了订购16000套A 型和B 型节能灯具的订货合同，合同中没有对这两种灯具的各自数量做要求，但合同要求工厂在一周内完成生产任务并交货。

根据该厂的生产能力，一周内可以利用的生产时间为20000min ，可利用的包装时间为36000min 。

生产完成和包装一套A 型节能灯具各需要2min ；生产完成和包装完成一套B 型节能灯具各需要1min 和3min 。

每套A 型节能灯成本为7元，销售价为15元，即利润为8元；每套B 型节能灯成本为14元，销售价为20元，即利润为6元。

厂长首先要求必须按合同完成订货任务，并且即不要有足量，也不要有超量。

其次要求满意销售额达到或者尽量接近275000元。

最后要求在生产总时间和包装总时间上可以有所增加，但过量尽量地小。

同时注意到增加生产时间要比包装时间困难得多。

试为该节能灯具厂制定生产计划。

解：将题中数据列表如下：根据问题的实际情况，首先分析确定问题的目标级优先级。

第一优先级目标：恰好完成生产和包装完成节能灯具16000套，赋予优先因子p1；第二优先级目标：完成或者尽量接近销售额为275000元，赋予优先因子p2； 第三优先级目标：生产和包装时间的增加量尽量地小，赋予优先因子p3； 然后建立相应的目标约束。

在此，假设决策变量12,x x 分别表示A 型，B 型节能灯具的数量。

（1） 关于生产数量的目标约束。

用1d -和1d +分别表示未达到和超额完成订货指标16000套的偏差量，因此目标约束为1111211min ,..16000z d d s t x x d d -+-+=+++-=要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小（2） 关于销售额的目标约束。

用2d -和2d +分别表示未达到和超额完成满意销售指标275000元的偏差值。

因此目标约束为221222min ,..1520-275000.z d s t x x d d --+=++=要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，(另外：d +要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小) （3） 关于生产和包装时间的目标约束。

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-5-
2003 年“高教社杯”全国二等奖
li , j ---------第 i 个铲位到第 j 个卸点间的路程（单位：公里） ； f = (li , j ) = (l1,1 , l2,1 ,……,lm ,1 , l1， 2 , l2， 2 , ……,lm ,2 , ……,l1, n , l2, n , ……lm , n ) ------ 铲位 到 卸点 间的路程向量 xi , j --------第 i 个铲位到第 j 个卸点间线路的流量（单位：车） x = ( xi , j ) = ( x1,1 , x2,1 , ……xm,1 , x1， 2 , x2， 2 , ……,xm ,2 , ……,x1,n , x2, n , …… xm , n ) ------ 铲位 到 卸 点间的流量向量 ai ---------第 i 个铲位矿石的铁含量 Q j --------第 j 个卸点要求的产量（单位：车） amax j ------第 j 个卸点要求的矿石品位限制上界； amin j ------第 j 个卸点要求的矿石品位限制的下界； R1,i -------第 i 个铲位的矿石量； R2,i -------第 i 个铲位的岩石量； b1 ---------铲位工作的上限即电铲不停息地工作可装载的车数； b2 ---------卸点处工作的上限即自卸卡车不停息地工作可卸载的车数； v ---------卡车行驶的速度（单位： km / h ） ； T ---------一个班次的总时间（单位：小时） ； t1 ---------电铲装车的时间（单位：小时） ； t2 ---------自卸卡车的卸车时间（单位：小时） ； U --------卡车的载重量（单位：吨）

14
试构造一个运输方案， 使总的运输成本最小。 cij 。
运输问题数据表
销地 产地
B1 c11 c21
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n
产量
┇
A1 A2
┇
┇
Am
销量
cm1 d1
cm2 d2
┇ ┇ … cmn
┇
s1 s2
sm
… dn
15
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 运输变量表。
12
一般数学模型
以 x1 、 x2 、 x3 分别表示生产 A、B、C 三种产品的量， 称之为决策变量
max s.t.
z 2 x1 4 x2 3x3
目标函数利润最大化） (
3x1 4 x2 2 x3 60 2 x1 x2 2 x3 40 x1 3x2 2 x3 80 x1 , x2 , x3 0
f x* f x 则称 x * 是最优化问题的整体最优解。
局部最优解：若 x D，存在某邻域 N ( x* ) ，使得对于一切 * x N ( x* ) D ，恒有 f x f x 则称 x * 是最优化问题的局部 最优解。其中 N ( x* ) { x | x x* , 0}
2
2001 2002 2003
A B A B A B
血管的三维重建 公交车调度 车灯线光源的优化设计 彩票中的数学 SARS 的传播 露天矿生产的车辆安排
2004
A 奥运会临时超市网点设计 B 电力市场的输电阻塞管理
3
2005
A B A

ｆ ｉ 第 个铲位的品位
Ｓ 。 公里 ｌ 个 ｉ Ｉ 第ｉ 铲位到第ｊ 个卸点的距离
２ 模型的建立与法的设计
此采矿运输 问题宏 观 上可 看作 全 局物 流 的调 度 问 题。记铲位 是流的源 点 ， 共有 Ｍ个 ； 卸点 是流 的汇 点 ， 共 有 Ｎ个 ； 运输 线路 是流的通道 ； 每条线路的石料运量记为 每 个 流 通 道 上 的 流量 。 我们考虑在 物 流概 念 的基础 上 建立模 型和 求解 算 法： 先确定流量 ， 再考虑 每个流量 的具体 操作 （ 即确 定各 个运输线路上卡车数量 ） 这样可 以较好避免同时考虑运 ， 输量 和卡 车数量 的分配 问题 ， 得模 型简练 ， 使 算法快捷 。 ２ １问 题 １的求 解 。 ． ２ １１模 型 Ｉ ．． 的建 立 。 根据 问题 分 析 和假 设 ， 原 则 １下 建 立 模 型 ， 要 考 在 需 虑在一个班次结束 时 ， 在保证没有 出现卡车 等待、 足卸 满 点需求量和矿石品位的情况 下 ， 出动最少 的卡车 ， 同时得 到最小的总运量 ， 于是 可 得 以下 结 果 。 个班次的总运量 Ｆ＝∑ ｉ Ｔｉ Ｓ ｘ
一 一
个班次所用 的实 际铲车总数量 ｐ： （ Ｔ ） ∑
其 函 ｆ）ｆ 中 数 ： ｘ
一
．
第 ｋ 矿 石 卸 点 在 一 个 班 次 结 束 后 卸 下 的 矿 石 的 品 个
∑Ｔ。 ×Ｗ ｉ
位 ｗｋ ＝
～， ２ ｋ∈Ｉ．
亍ｉ ｊ
Ｍ Ｎ Ｐ Ｐ Ｑ Ｑ Ｉ Ｉ １ Ｉ ２ 个 个 辆 辆 辆 辆 铲 位总数 卸点总数 铲车总数 实 际所 用 的铲 车数 量 卡 车 总 数 实 际 所 用 的 卡 车数 量 所有卸点的集合 所有岩石卸点的集合 所 有 矿 石 卸 点 的集 合

4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分: 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型 、 图论模型、统计回归模型、数学规划模型等.
5）按建模目的分:
描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控 制模型等.
6）按对模型结构的了解程度分:
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等.
结果的正确性，表述的清晰性。
宗旨 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争
年份 2019 2019 2019 2019
2019 2019
2019-2019年数学建模竞赛题目
A题
B题
C题
D题
SARS的传播 露天矿生产的 SARS的传 抢渡长江
车辆安排
播
奥运会临时超 电力市场的输 饮酒驾车 公务员招聘 市网点设计 电阻塞管理
(1,1)
(1,1)循环
(2,0) (0，2)
(0,1) (0,3)
S8 (0,2) d8 ((10,,02)) S9 ((10,,24))
(1,1)
(1,3)
(2,0) (3，2)循环
(0,1)
(0,2)循环
S9 (0,3) d9 ((10,,02)) S10 ((0,11,)3)
(1,1)
数学建模的概念和方法
参 考 教 材
参 考 教 材
1. 数学建模的概念和步骤
1.1. 数学建模的概念 1.2. 数学建模的步骤 1.3. 一个数学建模实例 1.4. 数学模型的分类 1.5. 数学建模竞赛介绍
1.1 数学建模的概念
•数学建模，简单地讲就是用数学的知识和方法去解 决实际问题. •一个简单的例：甲乙两地相距750公里，船从甲到 乙顺水航行要30 小时，从乙到甲逆水航行要50 小时 ，问船速、水速是多少？

文 章 编 号 ：０ ６ ４ １ （０ ０）６ ０ ３ — １ １０ — ３ １２ １ １— １０ ０
１ 问题 重 述 ４３考 虑 到 卡 车 等待 的费 用相 当可 观 ，故 我们 力求 保 证 卡 车 满 ． 对 于 露 天 开采 的现 代 化 铁 矿 ，它 的 生 产 主 要 是 由 电 铲 装车 、 卡 足不等待条件。 考虑在 同～条运输 线上卡车不必等待 ， 因为从铲位 ｉ
关键词 ： 露天 矿 生产； 辆安 排； 究 车 研
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ：ｏ ｎ ｐｔｍｉｅ ｐ ｏ ｃｉｎ ｖ ｈ ｃｅ ｒａ ｇ ｍｅ ｔ ｒｓ ａ ｃ ｄｓ ｐｅ ｉ ｎ ｒｄｕ ｔｏ ； ｅ ｉｌｓａ ｒｎ ｅ ｎ ； ｅ ｅ ｒｈ
中 图分 类 号 ：Ｄ Ｔ５
文 献 标 识 码 ： Ａ
Ａ ｂ ｔａｃ ：Ｔｈｓｐａ ｒｃ ｍｂ ｎ ｄ ｏ ｒ ｃｉａ ｘ ｅ ｉｎ ｅ ｘ ｌｒｄ ｖ ｈｉｌ ｒａ ｇ ｍｅ ｔ ｎ ｏ ｅ ｐｉ ｍｉ ｅ ｐ ｏ ｃｉｎ ｕ ｄ ｒｔ ｒ ｍｉｅ ｆｒ ｓ ｕ ｃ ｓｒ ｔ ｉ ｐｅ ｏ ｉ ｅ ｆｐ ａ ｔｃ ｌｅ ｐ ｒｅ ｃ ，ｅ ｐｏｅ ｅ ｃｅ ａｒ ｎ ｅ ｎｓｉ ｐ ｎ～ ｔ ｎ ｒｄｕ ｔｏ ｎ ｅ ｗｏ ｐ ｅ ｓ ｓｏ ｅ ｏ ｒｅ ｐｏｅ ｔ ｎ ａ ｄ ｍａ ｉ ｍ ｃ ｎ ｍｉ ｆ ｃｅ ｙ ｒｔｃｉ ｎ ｘ ｍｕ ｅ ｏ ｏ ｃｅ ｉｎｃ ． ｏ ｉ
・１０ ・ ３
价值 工程
露 天 矿 生产 的车 辆 安 排模 型
Ｏｐｅ ｔＭ ｉ ｏｄ ｔｏ Ｖｅ ｃｅ ｒ ｎｇ ｍ ｅ ｏ ｅ ｎ Ｐｉ ｎｅ Ｐｒ ｕｃ ｉ ｎ ｈｉ ｌｓＡｒ ａ ｅ ｎｔＭ ｄ ｌ
张伟 Ｚ ａ ｇＷ ｅ； 智 鹏 Ｚ ａ ｇＺ ｉｅ ｇ ｈ ｎ ｉ张 ｈ ｎ ｈｐｎ

案例四：2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B题露天矿生产的车辆安排钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。

许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。

提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。

露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。

一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。

每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。

每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。

卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。

从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5%1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。

从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。

卡车的平均卸车时间为3分钟。

所用卡车载重量为154吨，平均时速28。

卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。

发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。

卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。

电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。

卡车每次都是满载运输。

每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。

一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。

一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。

4
cy i
10000
/
154
,
i
1,,10（4）铲位储量约束
10
xij q j /154, j 1,,5
（5）产量任务约束
i 1
x p 10
i1 10
(
ij
i 30.5) 0, j 1,2,5
x p ( 28.5) 0
ij
i
i1
（6）铁含量约束
.
（7）电铲数量约束
10
f 7 i i1
露天矿生产的车辆安排(CUMCM-2003B)
露天矿里铲位已分成矿石和岩石: 平均铁含量不低于 25%的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数 量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。 每个铲位至多安置一台电铲，电铲平均装车时间5分钟 矿石卸点需要的铁含量要求都为29.5%1%(品位限 制），搭配量在一个班次（8小时）内满足品位限制即 可。卸点在一个班次内不变。卡车载重量为154吨，平 均时速28km,平均卸车时间为3分钟。
• 空载与重载的速度都是28km/h，耗油相差很大； • 卡车可提前退出系统，等等。
如理解为严格不等待，难以用数学规划模型来解
个别参数队找到了可行解 （略）
符号
• xij ：从i铲位到j号卸点的石料运量 （车）
单位： 吨；
• cij ：从i号铲位到j号卸点的距离
公里；
• Tij :从i号铲位到号j卸点路线上运行一个周期平均时间 分；
铲位3 4.21 1.90 5.61 1.27 3.72
铲位4 铲位5 4.00 2.95 1.13 1.27 4.56 3.51 1.83 2.74 3.16 2.25
铲位6 2.74 2.25 3.65 2.60 2.81

关于露天矿生产的车辆安排的报告曾坤陈晨周朴（国防科技大学，湖南长沙410073）一、摘要露天矿生产的车辆安排问题是一个有约束的规划问题。

依据题目要求，本文将运输成本最小和产量最大两个优化目标的实现都转化为两阶段的求解过程：第一阶段应用线性规划模型，得到优化的线路流量规划；第二阶段利用计算机模拟，动态调度车辆实现目标的最优。

求解运输成本最小问题时，我们得到了以总运量最小为目标的优化流量，并给出所需卡车数量的上下限及理论估计值，提出卡车数量与总运量之间存在一定的正相关关系；本文还运用理论方法简要证明了同时满足产量要求、品质限制以及卡车不等待要求的车辆调度计划并不存在，且给出一实例加以验证，因此本文给出的生产计划允许卡车等待，但从仿真统计的等待时间看，等待时间相对一个班次是可以接受的。

求解产量最大问题时，我们利用卡车数量与总运量之间的正相关性，将总运量（吨公里）作为约束条件放入线性规划模型中求解，利用优选法得到分别以总产量和岩石产量为目标的流量规划，同样利用计算机仿真完成车辆的优化调度。

本文的主要结论：运输成本最小问题铲位选择：1,2,3,4,8,9,10；出动卡车：14辆；最小总运量：8.8205万吨公里；平均每车次的等待时间：9.2秒；车辆调用见模型建立与求解部分；产量最大问题铲位选择：1，2，3，7，8，9，10；出动卡车：20 辆：最大产量：8.7538万吨；最大岩石产量：4.9280 万吨；总运量（万吨公里）：11.6882；平均每车次的等待时间：33.5秒；车辆调用见模型建立与求解部分。

二、问题重述钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。

许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。

提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。

露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。

郝全 明， 陈丽 林 ， 孟祥 铭
（ 内蒙 古科技 大 学 矿 业工 程学 院 ， 内蒙 古 包 头市 摘 ０４１） １０ ０ 要 ： 天矿 采矿 生产 的车辆 安排是 一 个 大规 模 的优 化调 度 问题 ， 助运 筹 学 中的非 线 露 借
性规 划理论 和 方法 ， 实际情 况 出发 ， 立 了车辆 安排 调 度 应该 遵循 的原 则 ， 从 确 并根 据 这 些
产计 划和相应 的总运量及 矿石岩 石产量 。
（ ）对 于不 同线 路上 的卡 车是否会 等待 同一 台 ５
铲车来 装车 的问题 ， 以通 过宏 观 控制 的方式 力争 可
加 Ｈ 避免 ， 每台铲 车每 ５ｍｎ装 １车 ， 多装 ９ ｉ ８ｈ最 ６车 ，
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由该 问题 分析可知 ， 要实现经 济效益 的最 大化 ， 必 须满足 以下 ２个 条件 ： （ ）卡 车 的 总 运 量 最 小 ， 时 卡 车 不 存 在 等 １ 同 待 Ｊ 象 ， 现 即卡车一 直处于运 行状态 。 （ ）各卸 点的产量要求 必须满 足 。 ２ 在条件 （ ） ， １ 下 首先 以总运 量 最 小 以 及各 卸 点 的产量要 求为 目标使 运输 车辆数量最 小 。
到选 矿 厂 、破碎 站 或 矿场 ， 剥 离 的岩 土运 送 到 排 把
１ ， 个 每个卸 点都 有各 自的产量 要求 ， 体数 据见 具
图 １表 １表 ２ 、 、 。
土场， 将生 产 中所需 的人 员 、设 备 和 材料 运 送 到 工 作地 点 。 我 国 自卸卡 车 目前 已由 ２ ０世 纪 的载 重 不 到 ２ ０ ｔ 发展 到今 天 的载重 ２ ０ ｔ载 重量 越 大 的 自卸 卡 车 ０ ， 损耗越 大 。 因此 ， 于 载重 量 日益 变 大 的卡 车 的合 对

山东省枣庄五中2015届高考数学五模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={y|y=e x，x∈R}，则A∩B=( )A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（1，2）2．已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi﹣y=﹣1+i，则（1+i）x+y的值为( )A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i3．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=( )A．138 B．135 C．95 D．234．已知t＞0，若（2x﹣2）dx=8，则t=( )A．1 B．﹣2 C．﹣2或4 D．45．函数f（x）=的图象大致是( )A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是( )A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6} 7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A．B．C．D．8．已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有( )A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是( )A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z B．[6k﹣3，6k]，k∈ZC．[6k，6k+3]，k∈Z D．无法确定10．命题p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．（0，4] B．[0，4] C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为( )A．5 B．C．D．12．已知函数f（x）=下列是关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的4个判断：①当k＞0时，有3个零点；②当k＜0时，有2个零点；③当k＞0时，有4个零点；④当k＜0时，有1个零点．则正确的判断是( )A．①④B．②③C．①②D．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．求曲线所围成图形的面积__________．14．已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=__________．15．若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是__________．16．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B， C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．18．已知各项均为正数的等比数列{a n}，首项a1=，前n项和为S n，且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB 的中点，PA=AD=2．（Ⅰ）求证：PD∥平面AMC；（Ⅱ）若AB=1，求二面角B﹣AC﹣M的余弦值．20．某市为了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．21．已知f（x）=﹣ax2+x﹣ln（1+x），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在上[0，+∞）的最大值是0，求a的取值范围．22．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C 于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．山东省枣庄五中2015届高考数学五模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={y|y=e x，x∈R}，则A∩B=( )A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），由B中y=e x＞0，得到B=（0，+∞），则A∩B=（0，3），故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi﹣y=﹣1+i，则（1+i）x+y的值为( ) A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由复数相等的条件求出x，y，然后直接代入求值．解答：解：由xi﹣y=﹣1+i，得：，所以，x=1，y=1，所以x+y=1+1=2，所以（1+i）x+y=（1+i）2=2i．故选D．点评：本题考查了复数相等的充要条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题．3．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=( ) A．138 B．135 C．95 D．23考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．解答：解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选C点评：在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．4．已知t＞0，若（2x﹣2）dx=8，则t=( )A．1 B．﹣2 C．﹣2或4 D．4考点：定积分．专题：函数的性质及应用．分析：先求出一次函数的f（x）=2x﹣2的原函数，然后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可．解答：解：∫0t（2x﹣2）dx=（x2﹣2x）|0t=t2﹣2t=8，（t＞0）∴t=4或t=﹣2（舍）．故选：D．点评：此题考查定积分的性质及其计算，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数，属于基础题．5．函数f（x）=的图象大致是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C、D，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，从而得到答案A．解答：解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）=，==f（x），∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，．∴其图象关于y轴对称，可排除C，D；又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，∴f（x）→+∞．故可排除B；而A均满足以上分析．故选A．点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是( )A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6}考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a的不等式组，解不等式组可得正整数a的可能取值的集合．解答：解：输入a值，此时i=0，执行循环体后，a=2a+3，i=1，不应该退出；再次执行循环体后，a=2（2a+3）+3=4a+9，i=2，应该退出；故，解得：1＜a≤5，故输入的正整数a的可能取值的集合是{2，3，4，5}，故选：C点评：本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于a的不等式组，是解答的关键．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可又分析出该几何由一个底面半径为1，高为的半圆锥，和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成，分别代入圆锥的体积公式和棱锥的体积公式，可得该几何体的体积．解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1，高为的半圆锥和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成故这个几何体的体积V=+=故选A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及底面半径，底面棱长，高等几何量是解答的关键．8．已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可解答：解：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α，∴l⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时， 一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时， 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；故选B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是( ) A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z B．[6k﹣3，6k]，k∈ZC．[6k，6k+3]，k∈Z D．无法确定考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：三角函数的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，至少提供两个方面的信息：1，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；2，第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值或最小值．从这两个方面考虑可求得参数ω，φ，进而利用三角函数的单调性求区间．解答：与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8知函数的周期为T==8﹣2，求得ω=．再由三角函数的图象与直线y=b（0＜b＜A）知：2与4的中点必为函数的最大值的横坐标，由五点法知×3+φ=得φ=﹣．令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，求得得x∈[6k，6k+3]（k∈Z），故选：C．点评：本题主要考查函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象特征，由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．10．命题p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．（0，4] B．[0，4] C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）考点：全称命题．专题：不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：将条件转化为ax2+ax+1＜0成立，检验a=0是否满足条件，讨论a＞0以及a＜0时，不等式的解集情况，从而求出a的取值范围．解答：解：命题p的否定是￢p：∃x∈R，ax2+ax+1＜0成立，即ax2+ax+1＜0成立是真命题；当a=0时，1＜0，不等式不成立；当a＞0时，要使不等式成立，须a2﹣4a＞0，解得a＞4，或a＜0，即a＞4；当a＜0时，不等式一定成立，即a＜0；综上，a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．故选：D．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，也考查了不等式成立的问题和分类讨论思想，是基础题．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为( )A．5 B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1）、B（x2，y2），算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x可得y2﹣y﹣4=0，利用根与系数的关系算出y1y2=﹣4．根据|AF|=5利用抛物线的抛物线的定义算出x1=4，可得y1=±4，进而算出|y1﹣y2|=5，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△AOB的面积．解答：解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）．设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x﹣1），由消去x，得y2﹣y﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由根与系数的关系可得y1y2=﹣4．根据抛物线的定义，得|AF|=x1+=x1+1=5，解得x1=4，代入抛物线方程得：y12=4×4=16，解得y1=±4，∵当y1=4时，由y1y2=﹣4得y2=﹣1；当y1=﹣4时，由y1y2=﹣4得y2=1，∴|y1﹣y2|=5，即AB两点纵坐标差的绝对值等于5．因此△AOB的面积为：S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|•|y1|+|OF|•|y2|=|OF|•|y1﹣y2|=×1×5=．故选：B点评：本题给出抛物线经过焦点F的弦AB，在已知AF长的情况下求△AOB的面积．着重考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．12．已知函数f（x）=下列是关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的4个判断：①当k＞0时，有3个零点；②当k＜0时，有2个零点；③当k＞0时，有4个零点；④当k＜0时，有1个零点．则正确的判断是( )A．①④B．②③C．①②D．③④考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由y=0得f[f（x）]=﹣1，利用换元法将函数分解为f（x）=t和f（t）=﹣1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f[f（x）]+1=0得f[f（x）]+1=0，即f[f（x）]=﹣1，设f（x）=t，则方程f[f（x）]=﹣1等价为f（t）=﹣1，①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）=﹣1，∴此时方程f（t）=﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）=t2，＜0，知此时x有两解，由f（x）=t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，即函数y=f[f（x）]+1有4个零点．②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）=﹣1，∴此时方程f（t）=﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，由f（x）=t1∈（0，1）知此时x只有1个解，即函数y=f[f（x）]+1有1个零点．综上：只有③④正确，故选：D．点评：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．求曲线所围成图形的面积．考点：定积分．分析：先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．解答：解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．点评：利用定积分求图形的面积是通法，一定要熟练掌握其方法步骤．14．已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积的性质即可得出．解答：解：∵向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=．∴=，化为=10，化为，∵，解得||=．故答案为：．点评：本题考查了数量积的性质，属于基础题．15．若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2]．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，可得圆心（0，2）到渐近线的距离≥半径r，解出即可．解答：解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．点评：熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式是解题的关键．16．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为8．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系式，然后利用基本不等式求+的最小值．解答：解：由约束条件作可行域如图．由图可知，使目标函数数z=ax+2by（a＞0，b＞0）取得最大值的点为B（1，1），∴a+2b=1，则+（当且仅当a=2b时取等号），由，解得：．∴+的最小值为．故答案为：8．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据正弦定理和已知条件求得sinB的值，进而求得B，最后利用三角形内角和求得C．（Ⅱ）用余弦定理列出关于b的表达式，整理求得b．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理=，∴sinB=sinA=×=，∴B=或，∵b＜a，∴，∴．（Ⅱ）依题意，，即．∴b2﹣2b﹣8=0，又b＞0，∴b=4．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．灵活运用正弦和余弦定理解三角形问题．18．已知各项均为正数的等比数列{a n}，首项a1=，前n项和为S n，且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和的意义即可得出；（Ⅱ）由（ I）知，na n=，利用错位相减法求数列的前n项和即可得出．解答：解：：（Ⅰ）设正项等比数列{a n}（n∈N*）的公比为q（q＞0），又a1=，∴a n=•q n﹣1，∵S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列，∴2（S5+a5）=（S3+a3）+（S4+a4），即2（a1+a2+a3+a4+2a5）=（a1+a2+2a3）+（a1+a2+a3+2a4），化简得4a5=a3，∴4a1q4=a1q2，化为4q2=1，解得q=±∵q＞0，∴q=，∴a n=（ II）由（ I）知，na n=，则T n=，①T n=，②…①﹣②得：T n=﹣=﹣=1﹣，所以T n=2﹣．…点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB 的中点，PA=AD=2．（Ⅰ）求证：PD∥平面AMC；（Ⅱ）若AB=1，求二面角B﹣AC﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间角．分析：（Ⅰ）连接BD，交AC于O，连接OM，利用三角形中位线性质，证明OM∥PD，即可证明PD∥平面AMC；（Ⅱ）取AB中点N，作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，证明∠MEN为二面角B﹣AC﹣M的平面角，即可求得二面角B﹣AC﹣M的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于O，连接OM∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点∵M是BP的中点，∴OM∥PD∵OM⊂平面AMC，PD⊄平面AMC∴PD∥平面AMC；（Ⅱ）解：取AB中点N，作NE⊥AC，垂足为E，连接ME∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，BC⊥PA∵PA⊥AB，AB∩BC=B∴PA⊥平面ABCD∵M为PB的中点，N为AB的中点，∴MN∥PA∴MN⊥平面ABCD∵NE⊥AC，∴ME⊥AC，∴∠MEN为二面角B﹣AC﹣M的平面角∵BC=2，AB=1，∴AC=∵△ABC∽△AEN，∴NE=∵MN=1，∴ME==∴二面角B﹣AC﹣M的余弦值为==．点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．某市为了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0. 14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9. 5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；几何概型；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）利用频率分布直方图求出第6小组的频率，然后求解此次测试总人数．（II）判断X=0，1，2，求出成绩不合格的概率，得到X～．求出概率，得到分布列，然后求解期望．（III）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为，事件A甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x＞y，利用几何概型求解即可．解答：（本小题满分12分）解：（I）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，∴此次测试总人数为：（人）．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．…（II）X=0，1，2此次测试中成绩不合格的概率为，∴X～．，，．所求分布列为X 0 1 2P…E（X）=np=2×=；…（III）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为，事件A甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x＞y，如图所示．∴由几何概型．则甲比乙投掷远的概率是．…点评：本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，几何概型的求法，考查计算能力．21．已知f（x）=﹣ax2+x﹣ln（1+x），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在上[0，+∞）的最大值是0，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，再分别讨论①当0＜a＜1时，②当a=1时③当a＞1时的情况，从而求出函数的递减区间；（Ⅱ）讨论①当0＜a＜1时，②当a≥1时的函数的单调性，从而求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）（a＞0）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=﹣，令f′（x）=0 得x1=0，x2=﹣1，①当0＜a＜1时，x1＜x2，f（x）与f′（x）的变化情况如表x （﹣1，0）0 （0，﹣1）﹣1 （﹣1，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）减f（0）增f（﹣1）减所以f（x）的单调递减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞）；②当a=1时，x1=x2=0，f′（x）=﹣≤0，故f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）；③当a＞1时，﹣1＜x2＜0，f（x）与f′（x）的变化情况如下表x （﹣1，﹣1）﹣1 （﹣1，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）减f（﹣1）增f（0）减所以f（x）的单调递增减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞）．综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞）；当a＞1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞）；当a=1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知①当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），但f（﹣1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合题意；②当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）≤f（0），可得f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意．∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是{a|a≥1}．点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．22．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C 于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．考点：椭圆的应用；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题意知，能够导出．再由可以导出椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，再由根与系数的关系证明直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．（Ⅲ）分MN的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x﹣1），且M（x M，y M），N（x N，y N）在椭圆C上．由得（4m2+3）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0．再由根据判别式和根与系数的关系求解的取值范围；当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1，易得M、N的坐标，进而可得的取值范围，综合可得答案．解答：解：（Ⅰ）由题意知，所以．即．又因为，所以a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1）．直线AE的方程为．令y=0，得．将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入，整理，得．②由①得，代入②整理，得x=1．所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．（Ⅲ）当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x﹣1），且M（x M，y M），N （x N，y N）在椭圆C上．由得（4m2+3）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0．易知△＞0．所以，，．则=．因为m2≥0，所以．所以．当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1．解得，N（1，）或M（1，）、N（1，﹣）．此时．所以的取值范围是．点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．。