高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2

新知探究
题型探究
感悟提升
解
(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60° . 如图，延长AB至点D，使AB＝BD， → → 则AB＝BD， → → ∴∠DBC为向量AB与BC的夹角． ∵∠DBC＝120° ， → → ∴向量AB与BC的夹角为120° .
(2)∵E为BC的中点， ∴AE⊥BC， → → ∴AE与EC的夹角为90° .
新知探究 题型探究 感悟提升
1 → → → → → 1→ BC＝FD＝AD－AF＝AD－2AB＝a－2b， → → → → → → 1→ EF＝DF－DE＝－FD－DE＝－BC－2DC
1 1 1 1 ＝－a－2b－2×2b＝4b－a.
新知探究
题型探究
感悟提升
类型二 向量的夹角问题
→ → → → 提示 不相同，它们互补.AC与AB的夹角为∠CAB，而CA与AB 的夹角为π－∠CAB.
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类型一
用基底表示向量
【例1】 如图，四边形OADB是以 → → OA＝a，OB＝b为边的平行四边形， 1 1 又BM＝3BC，CN＝3CD，试用a、b → → → 表示OM、ON、MN.
【例2】 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹
角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ [思路探索] 以a，b为邻边作平行四边形，则a＋b，a－b分别表示 对角线向量，利用平行四边形的知识求解．
新知探究
题型探究
感悟提升
解
→ → 如图所示，作 OA ＝a， OB ＝b，且∠
AOB＝60° . → → 以 OA ， OB 为邻边作平行四边形OACB，则 → → OC＝a＋b，BA＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝ → → → → 60° ，所以OC与OA的夹角为30° ，BA与OA的夹角为60° . 即a＋b与a的夹角是30° ，a－b与a的夹角是60° .

求：（1）AB与AC夹角 ___6_0_0_____
A
600
800
B
400
（1）AB与BC夹角 __1_0_0_0_____ （3）BC与AC夹角 ___4_0_0_____
C
三、平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做 把向量正交分解
在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的 两单位向量i 、j 作为基底，任一向量a ，用这组基底表 示，有且只有一对实数x、y，使得a =xi + yj．
2.3平面向量的基本定理及 坐标表示（第1课时）
一、平面向量的基本定理
设 e1 和 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平
面内的任何一个向量 a ， 有且只有一对实数1和2 使
a 1e1 2e2
注意：①平面内任何一个向量 都能用该平面内的一组基底表示。 ② 这种表示是唯一的， 即若 1e1 2 e2 1e1 2 e2,则1 1且2 2 ③基底:非零、不共线、不唯一
直线AB，AC于不同的两点M,N,若AB m AM , AC n AN ,
A
则m+n
。 B
N
O
C
M
3.已知圆C:(x-3)2 ( y 3)2 4及点A(1,1),
M 为圆C上的任意一点, 点N 在线段MA的延长线上，
且MA 2AN，求点N的轨迹方程。
3.已知圆C:(x-3)2 ( y 3)2 4及点A(1,1), M 为圆C上的任意一点, 点N 在线段MA的延长线上， 且MA 2AN，求点N的轨迹方程。
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
A

其中正确的说法是( B )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②
【解析】因为不共线的两个向量都可以作为一组基 底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和 任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本 题中，①错，②、③正确，故选 B.
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
r ur uur 即 a 1e1 +2 e2.
e1
e2
a
N A
B
C O
uuur uuuur uuur
如图, OC OM ON,
M
uuuur uuur ur uuur uuur uur
因为OM 1OA 1e1,
uuur ur uur
ON 2 OB 2 e2,
所以OC 1e1 2 e2,
数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① ②
areur1是，e平uur2 面是内两的个任不意共向线量的；向量；
③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
我们把不共线的向量
ur e1
，euur2
叫做这一平面内所有向量
的一组基底.
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角
来表示.关于向量的夹角,我们规定:
那么对于这一平面内的任意向量 有且只有
一对实数
使
.
不共线的向量 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
r ur uur
即 a 1e1 +2 e2.
r ur uur
a 1e1 +2e2
这就是说平面内任 r
一向量a都可以表示 ur uur ur uur
成1e1 2 e2 (e1, e2 不共线)的形式.

复习引入
平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量 e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的 一组 基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量 a在给出基底 e1、e2的条件下进行分解；
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量 e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的 一组 基底 .
课堂小结
平面向量的坐标运算.
第十九页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课后作业
1. 阅读教材P.93到P.96；
2.2. 《习案》作业二十.
第二十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
A(2, 1)， B(－1, 3)， C(3, 4)，求点 D的坐标使这四点构成平行四边形的 四个顶点.
第十六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例： 例3. 已知三个力F1(3, 4), F2 (2, 5), F ( x, y)的合力F1 F2 F3 0, 求F3 的坐标.
第十七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
1. 若M (3, 2), N (5, 1)且MP 1 MN , 2
求P点的坐标.
2. 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4), 则
AB 2BC
.
3. 已知四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, 3), 求证 :四边形ABCD是梯形.
第十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
向量 AB 的坐标与以原点为始点、 点P为终点的向量的坐标是相同的.
第十四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例1. 已知a (2, 1), b (3, 4), 求 a b, a b, 3a 4b的坐标.