北京市门头沟区2012年高三年级抽样测试(理数)

与曲线 c 交于不同的两点 M、N，直线 y=1 与直线 BM 交于点 G．求证：A， G，N 三点共线．
第 5页（共 27页）
20．（13 分）设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝 对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s（m，n）为所有这样的数表构成的集 合．对于 A∈S（m，n），记 ri（A）为 A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A） 为 A 的第 j 列各数之和（1≤j≤n）；记 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…， |Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表 A，求 K（A）的值；
1
1
﹣0.8
0.1
﹣0.3
﹣1
（2）设数表 A∈S（2，3）形如
（1）求证：A1C⊥平面 BCDE； （2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； （3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
17．（13 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃 圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的
结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（ ）
A．5
B．7
C．9
第 2页（共 27页）
D．11
二.填空题共 6 小题．每小题 5 分．共 30 分.
点 E．则（ ）
A．CE•CB=AD•DB

丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习 2012.1高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合A={x ∣x<4}，B={x ∣x2<4}，则(A) A ⊆B(B) B ⊆A(C) A ⊆R Bð(D) B ⊆R Að2．在复平面内，复数2i1+i 对应的点位于(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限3．已知命题p ：x R ∃∈，2lg x x ->，命题q ：x R ∀∈，20x >，则(A) 命题p q ∨是假命题 (B) 命题p q ∧是真命题 (C) 命题()p q ∨⌝是假命题(D) 命题()p q ∧⌝是真命题4．若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A) 23 (B) 43(C) 2 (D)65．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)nn P P k k =+>-，其中Pn 为预测人口数，P0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1<k<0，那么这期间人口数(A) 呈上升趋势 (B) 呈下降趋势 (C) 摆动变化 (D) 不变 6．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为(A) 252(41)3-(B) 262(41)3-(C) 5021-(D) 5121-7．若函数21()log ()f x x a x =+-在区间1(,2)2内有零点，则实数a 的取值范围是(A) 25(log ,1]2--(B)25(1,log )2侧视图正视图(C) 25(0,log )2 (D)25[1,log )28．如图，P 是正方体ABCD —A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是(A)(B)(C)(D)第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S5= a8+5，S6= a7+ a9-5，则公差d 等于 ． 10．若过点A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y+2=0平行，则m 的值为 ． 11．曲线y=3-3x2与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．12．已知平面向量(4,3)a =r ，2(2,2)a b -=-r r ，则a r 与b r 的夹角余弦值等于 ．13．在面积为S 的矩形ABCD 内随机取一点P ，则△PBC 的面积小于4S的概率是 ．14．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()()2f x f x x xf x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x ；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有满足条件的函数的序号）1A三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()2cos 2xf x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值．16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC ，AC=BC=2，AB =CC1=4，M 是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别是CC1，AB 的中点，求证：CN //平面AB1M ；（Ⅲ）若132C M =，求二面角A-MB1-C 的大小．17.（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的． （Ⅰ）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．A B CA 1B 1C 1MN18.（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)N 的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与曲线W 交于A ，B 两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，使得OQ OA OB =+u u u r u u u r u u u r，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．19.（本小题共14分）设函数x bx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．20.（本小题共13分） 若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k ，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，…，m-1)，则称数列{an}为k 的m 阶数列． （Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若312222+2(l b b b b k l N =+++∈L ，且2)l ≥，求 m 的最小值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012.01 高三数学（理科）答案及评分参考9．510．8- 11．412．2425 13．12 14． ①②（只写出一个给2分）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()2cos 2xf x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值． 解：（Ⅰ）因为 ()1cos f x x x =+ ……………………1分12cos()3x π=++， ……………………2分 所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-． ……………………4分（Ⅱ）因为1()33f πα-=， 所以112cos =3α+，即1cos 3α=-． ……………………5分因为 222cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααα-=+-- ……………………8分 (cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )ααααααα+-=-cos sin 2cos ααα+=， ……………………10分又因为α为第二象限角， 所以sin 3α=． ……………………11分所以原式1cos sin 13322cos 23ααα-++-===-． ……………………13分16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC ，AC=BC=2，AB =CC1=4，M 是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别是CC1，AB 的中点，求证：CN //平面AB1M ；（Ⅲ）若132C M =，求二面角A-MB1-C 的大小． 证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC ，所以CC1⊥BC ． ……………………1分 因为AC=BC=2，AB =，所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………2分 因为AC ∩CC1=C ，所以BC ⊥平面ACC1A1． ……………………3分 因为AM ⊂平面ACC1A1，所以BC ⊥AM ． ……………………4分（Ⅱ）连结A1B 交AB1于P ． ……………………5分 因为三棱柱ABC-A1B1C1， 所以P 是A1B 的中点．因为M ，N 分别是CC1，AB 的中点， 所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形， ……………………6分 所以CN//MP ． ……………………7分因为CN ⊄平面AB1M ，MP ⊂平面AB1M ， ………………8分 所以CN //平面AB1M ． ……………………9分 （Ⅲ）因为BC ⊥AC ，且CC1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．PN MC 1B 1A 1CBAABCA 1B 1C 1MN因为132C M =，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-u u u r，13(0,2,)2B M =--u u u u r． ……………………10分设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0n AM ⋅=r u u u u r，10n B M ⋅=r u u u u r ．即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩， ……………………11分 令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-r．又平面MB1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA u u u r，所以cos ,>=2||||n CA n CA n CA ⋅<=r u u u rr u u u r r u uu r ． ………………12分 由图可知二面角A-MB1-C 为锐角，所以二面角A-MB1-C 的大小为4π． ……………………14分17.（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的． （Ⅰ）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设“甲、乙两人都选择A 社区医院”为事件A ，那么 ……………………1分111()339P A =⨯=． ……………………3分 所以甲、乙两人都选择A 社区医院的概率为19． ……………………4分（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B ，那么 ……………………5分111()3333P B =⨯⨯=， ……………………7分zM所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是2()1()3P B P B =-=． ……………………8分（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4．那么 ……………………9分044216(0)()381P C ξ==⨯=； 1341232(1)()3381P C ξ==⨯⨯=； 22241224(2)()()3381P C ξ==⨯⨯=； 334128(3)()()3381P C ξ==⨯⨯=； 44411(4)()381P C ξ==⨯=． （错三个没分）所以ξ的分布列为……………………12分1632248140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………13分（方法二）依题意1(4,)3B ξ:, ……………………10分所以ξ的分布列为4444122()()()3381k k k k kP k C C ξ--==⨯⨯=⨯，0,1,2,3,4k =．即……………………12分所以14433E ξ=⨯=． ……………………13分 18.（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)N 的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与曲线W 交于A ，B 两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，使得OQ OA OB =+u u u r u u u r u u u r，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)P x y ，依题意，||1||2PM PN =， ……………………1分即= ……………………3分 化简得224x y +=． 所以动点P 的轨迹W 的方程为224x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）因为直线l ：3y kx =+与曲线W 相交于A ，B 两点，所以2O l d -=<，所以k >或k <． ……………………7分 假设存在点Q ，使得OQ OA OB =+u u u r u u u r u u u r． ……………………8分 因为A ，B 在圆上，且OQ OA OB =+u u u r u u u r u u u r，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ 与AB 互相垂直且平分， ……………………9分所以原点O 到直线l ：3y kx =+的距离为1||12d OQ ==． ……………………10分即1O l d -==，解得28k =，k =±，经验证满足条件． ……………………12分所以存在点Q ，使得OQ OA OB =+u u u r u u u r u u u r． ……………………13分19.（本小题共14分）已知函数x bx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()1a bf x x x '=--， ……………………2分 由(1)0f '= 得 a b -=1． ……………………3分（Ⅱ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞， ……………………4分由（Ⅰ）可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x -------'=--==．令()0f x '=，则11=x ，12-=a x ． ……………………6分因为1=x 是)(x f 的极值点， 所以21x x ≠，即2≠a ． ……………………7分 所以当2>a 时，11>-a ，所以单调递增区间为)1,0(，),1(+∞-a ，单调递减区间为)1,1(-a ． ……………………8分 当21<<a 时，110<-<a ，所以单调递增区间为)1,0(-a ，),1(+∞，单调递减区间为)1,1(-a ． ……………………9分（Ⅲ）当3>a 时，)(x f 在1[,1)2上为增函数，在(1,2]为减函数，所以)(x f 的最大值为02)1(<-=a f ． ……………………10分因为函数)(x g 在1[,2]2上是单调递增函数，所以)(x g 的最小值为0341)21(2>+=a g ． ……………………11分 所以)()(x f x g >在1[,2]2上恒成立． ……………………12分 要使存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，只需要9)1()21(<-f g ，即9)2(3412<--+a a ，所以48<<-a ． …………………13分 又因为3>a ， 所以a 的取值范围是(3,4)a ∈． ……………………14分20.（本小题共13分）若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k ，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，…，m-1)，则称数列{an}为k 的m 阶数列．（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若312222+2(l b b b b k l N =+++∈L ，且2)l ≥，求m 的最小值．解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． ……………………2分 （Ⅱ）由已知在数列{an}中 an+1= an+1或an+1=2an ，当m a 为偶数时，1(2)2m m m a a a -=≥，或11m m a a -=-． 因为12m m a a -≤ (2)m a ≥，所以在数列{an}中 12mi a a ≤≤中i 的个数不多于11j m a a -≤≤中j 的个数，要使项数m 最小，只需 1(2)2m m m a a a -=≥． ……………………5分当am 为奇数时，必然有 11(2)m m m a a a -=-≥，1m a -是偶数，可继续重复上面的操作．所以要使项数m 最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．因为312222+2l b b b b m a k ==+++L ，且1230l b b b b <<<<L ≤，只需除以1b 次2，得到31121122+2l b b b b b b ---+++L 为奇数； 减1，得到3112122+2l b b b b b b ---++L 为偶数， 再除以21b b -次2，得到322122l b b b b --+++L ； 再减1，得到32222l b b b b --++L 为偶数， …………，最后得到12l l b b --为偶数， 除以1l l b b --次2，得到1，即为1a ．所以121321()()+()(1)1l l m b b b b b b b l -=+-+-+-+-+L =l b l +． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

门头沟区2012年高三年级抽样测试数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷(选择题40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U R=，集合{}2340A x x x=--≤，{}23B x x x=<->或，则集合AUB等于(A){}24x x-≤≤(B){}21x x-≤≤-(C){}13x x-≤≤(D){}34x x<≤2．在等差数列{}n a中，13a=，32a=，则此数列的前10项之和10S等于(A)55.5(B)7.5(C)75(D)15-3．己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为(A)8 (B) 44．在ABC∆中，已知4Aπ∠=，3Bπ∠=，1AB=，则BC为2012.3主视图左视图俯视图（A 1 （B 1（C（D5．极坐标2cos ρθ=和参数方程2sin cos x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）所表示的图形分别是(A) 直线、圆(B) 直线、椭圆(C) 圆、圆(D) 圆、椭圆6．在ABC ∆所在平面内有一点O ，满足20OA AB AC ++= ，1OA OB AB ===，则CA CB 等于(C) 3(D)327．已知点P 在抛物线24y x =上，则点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =- 的距离之和的最小值为（A ）3716(B ）115（C ）2（D ）38．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为12AA =，点M 是BC 的中点，P 是平面11A BCD 内的一个动点，且满足2PM ≤，P 到11A D 和AD 的距离相等，则点P 的轨迹的长度为(A)π(B)23π(C)(D)2第Ⅱ卷(非选择题110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1a ii+-为纯虚数，则a = ． 10．曲线3y x =与直线1x =及x 轴所围成的图形的面积为 ．11．某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试，再按笔试成绩择优取40名参加面试，随机抽查了20名笔试者，统计他们的成绩如下：13．在平面上有两个区域M 和N ，其中M 满足002y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，N 由1t x t +≤≤ 确定，当0t =时，M 和N 公共部分的面积是 ；当01t ≤≤时，M 和N 的公共部分面积的最大值为 ． 14．给出定义：若1122m x m -≤<+(其中m 为整数)，则m 叫离实数x 最近的整数，记作[]x m =，已知[]()f x x x =-，下列四个命题：①函数()f x 的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ②函数()f x 是R 上的增函数；③函数()f x 是周期函数，最小正周期为1； ④函数()f x 是偶函数， 其中正确的命题是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知：函数2()sincos222xxxf x ωωω=+(0)ω>的周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，2AB EF =，090AED ∠=，AE ED =，H 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：//EH 平面FAC ； （Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角A FC B --的大小．17．（本小题满分13分）将编号为1，2，3，4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数． （Ⅰ）求1号球恰好落入1号盒子的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望ξE ．18．(本小题满分13分）EDABCFH已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． （Ⅰ）当102a <≤时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()24g x x bx =-+，当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f x g x ≥恒成立，求实数b 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A ，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求BM BN的取值范围．20．（本小题满分13分）数列{}n a 满足21121,(1,2,)31n n n n a a a n a a +===-+ ． （Ⅰ）求2a ，3a ；(Ⅱ) 求证:n a a a +++ 2111121n n a a ++=--； （Ⅲ）求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- ． 门头沟区2012年高三年级抽样测试数学试卷（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，两个空的第一空２分，第二空３分，共30分．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知：函数2()sincos222xxxf x ωωω=+(0)ω>的周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.解：（Ⅰ）1()cos )sin 22f x x x ωω=-+ ……………………………4分()sin()32f x x πω=-+ …………………………… 6分因为函数的周期为π所以2ω= ……………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()s i n (2)3f x x π=-+……………………………8分当 222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 时函数单增 (10)分5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ……………………………12分所以函数()f x 的单增区间为5[,]1212k k ππππ-+，其中k Z ∈ ………………………13分16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，2AB EF =，090AED ∠=，AE ED =，H 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：//EH 平面FAC ； （Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角A FC B --的大小（Ⅰ）证明：AC BD O = ，连结HO ，FO 因为ABCD 为正方形，所以O 是AC 中点， 又H 是AD 中点， 所以1//,2OH CD OH CD =，1//,2EF AB EF AB =， 所以//EF OH 且EF OH =， 所以四边形EHOF 为平行四边形， 所以//EH FO ，又因为FO ⊂平面FAC ，EH ⊄平面FAC ． 所以//EH 平面FAC ．……………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AE ED =，H 是AD 的中点， 所以EH AD ⊥……………………………6分 又因为//AB EF ，EF EA ⊥，所以AB EA ⊥ 又因为AB AD ⊥ 所以AB ⊥平面AED ，因为EH ⊂平面AED ，所以AB EH ⊥，……………………………8分 所以EH ⊥平面ABCD ．………………………9分（Ⅲ）AC ，BD ，OF 两两垂直，建立如图所示的坐标系，设1EF =， 则2AB =，B，(C ，(0,0,1)F ……………10分设平面BCF 的法向量为1(,,)n x y z = ，(BC CF ==，110,0n BC n CF ⋅=⋅=所以1(n =- ……………………………11分 平面AFC 的法向量为2(0,1,0)n =……………………………12分1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>==⋅． ……………………………13分二面角A FC B --为锐角，所以二面角A FC B --等于3π．……………………………14分17．（本小题满分13分）将编号为1，2，3，4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数． （Ⅰ）求1号球恰好落入1号盒子的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望ξE ．（Ⅰ） 设事件A 表示 “1号球恰好落入1号盒子”，33441()4A P A A ==所以1号球恰好落入1号盒子的概率为14…………5分 （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2， 4…………6分44333(0)8P A ξ⨯=== 44421(1)3P A ξ⨯=== 22441(2)4C P A ξ=== 4411(4)24P A ξ===（每个1分）……………………10分所以ξ的分布列为……………………11分 数学期望311101248342E ξ=⨯+⨯ …………………13分 18．（本小题满分13分）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． （Ⅰ）当102a <≤时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()24g x x bx =-+，当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f x g x ≥恒成立，求实数b 的取值范围．解：（Ⅰ）2/2211(1)()a ax x a f x a x x x --+--=--= …………………2分2[(1)](1)(0)ax a x x x---=->令/()0f x = 得121,1ax x a-== …………………3分当12a =时，()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞上单减 ………………4分当102a <<时，11a a->， 在(0,1)和1(,)aa-+∞上，有()0f x '<，函数()f x 单减，在1(1,)a a-上， ()0f x '>，函数()f x 单增 …………………6分（Ⅱ）当14a =时，13a a -=，13()ln 144f x x x x=-+-由（Ⅰ）知，函数()f x 在(0,1)上是单减，在(1,2)上单增 所以函数()f x 在(0,2)的最小值为1(1)2f =-…………………8分 若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f x g x ≥恒成立， 只需当[1,2]x ∈时，max 1()2g x ≤-即可 所以1(1)21(2)2g g ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，…………………11分代入解得 114b ≥所以实数b 的取值范围是11[,)4+∞． …………………13分 19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l与椭圆交于不同的两点,M N ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求BM BN的取值范围．（Ⅰ）解:，可设,2c a t ==，则b = 因为22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A所以2241142t t +=，解得232t =，所以226,3a b == 椭圆方程为22163x y += …………………4分（Ⅱ）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-，直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,),(,)M x y N x y …………………5分由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消元整理得：2222(12)121860k x k x k +-+-= (7)分2222(12)4(12)(186)0k k k ∆=-+-> 得201k ≤< …………………8分21221212k x x k +=+，212218612k x x k-=+…………………9分 BM BN11221212(3,)(3,)(3)(3)x y x y x x y y =--=--+…………………10分21212(1)[3()9]k x x x x =+-++223(1)12k k =+⨯+231(1)212k=++………11分因为201k ≤<，所以2312(1)3212k <+≤+所以BM BN的取值范围是(2,3]．…………………14分20．（本小题满分13分）数列{}n a 满足21121,(1,2,)31n n n n a a a n a a +===-+ ． （Ⅰ）求2a ，3a ；(Ⅱ) 求证:n a a a +++ 2111121n n a a ++=--； （Ⅲ）求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- ． （Ⅰ）解：217a =，3143a =…………………2分 （Ⅱ）证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知111121+-=+n n n a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a ． （1） 所以211,111n n n n n n na a aa a a a ++==---- 即 1111n n n n n a aa a a ++=---． …………………5分 从而 n a a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a ． …………………7分 (Ⅲ) 证明n n n a a a 2212312131211-<+++<-- 等价于证明n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-， 即 n n n n a a 21123131<-<++- ． （2） …………………8分当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ，即1n =时，（2）成立．设)1(≥=k k n 时，（2）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-． 当1+=k n 时，由（1）知k k k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++； …………………11分 又由（1）及311=a 知 )1(1≥-n a a n n 均为整数， 从而由k k k a a 21131<-++ 有 131211-≤-++k k k a a 即kk a 2131≤+ ， 所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ， 即（2）对1+=k n 也成立． 所以（2）对1≥n 的正整数都成立， 即n n n a a a 2212312131211-<+++<-- 对1≥n 的正整数都成立． …………………13分注：不同解法请教师参照评标酌情给分．。

北京市门头沟区2012年高三年级3月抽样数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷 (选择题40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合}032|{2=--=x x x A ，那么满足A B ⊆的集合B 有(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个2. 向量的模为4，向量)2,0(=b ，若⊥+)(，则向量与的夹角的大小是(A)65π(B)32π (C)3π (D)6π3. 己知某几何体的三视图如右图所示， 则其体积为 (A) 4 (B) 84. 已知31)4tan(=-πα，则α2sin 等于(A) 32(B) 31(C) 54 (D)52 5. 函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的图象经过点)1,2(-，函数x b y =（0>b 且1≠b ）的图2012.3主视图左视图俯视图象经过点)2,1(，则下列关系式中正确的是 (A) 22b a >(B) ba 22>(C) b a )21()21(> (D) 2121b a >6. 某高中校三个年级人数见下表：通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，现在从答卷中随机抽取一张，恰好是高三学生的答卷的概率是 (A) 101(B)401 (C)32 (D)52 7. 下列直线方程，满足“与直线x y =平行，且与圆01622=+-+x y x 相切”的是(A) 01=+-y x (B) 07=-+y x (C) 01=++y x(D) 07=+-y x8. 给出定义：若1122m x m -≤<+(其中m 为整数)，则m 叫离实数x 最近的整数，记作[]x m =，已知[]()f x x x =-，下列四个命题：①函数()f x 的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ②函数()f x 是R 上的增函数；③函数()f x 是周期函数，最小正周期为1； ④函数()f x 是偶函数， 其中正确的命题的个数是 (A) 4 (B) 3 (C) 2(D) 1第Ⅱ卷（非选择题110分）二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分． 9. 复数ii-+11在复平面内对应的点的坐标是 ． 10. 在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，7=c ，则ABC ∆的面积是 ．11. 已知平面区域M 满足条件⎩⎨⎧≤-+-≤-+.4)2()2(;0622y x y x 则平面区域M 的面积是 ． 12.如右图所示的程序框图输出的结果是 ．13. 某公司对下属员工在龙年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如下的直方图， 如果该公司共有员工200人，则收到125条 以上的大约有 人．14. 过抛物线221x y =焦点的直线与抛物线交于B A 、两点，O 是坐标原点． 则=⋅OB OA ；若该抛物线上有两点M 、N ，满足ON OM ⊥， 则直线MN 必过定点 ． 三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）已知向量)1,(sin -=x a ，)2,cos 3(x b =，函数2)()(b a x f +=． （I ）求函数)(x f 的最小正周期；数值频率/组距1451251058565452550.0090.0120.01050.00750.0060.003（II ）若]2,4[ππ-∈x ，求函数)(x f 的值域．16. （本小题满分13分）已知函数1)(23-++=bx ax x x f 在1=x 处有极值1-．（I ）求实数b a ，的值；（II ）求函数x ax x g ln )(+=的单调区间．17. （本小题满分13分）已知边长为2的正方形ABCD 所在平面外有一点P ，⊥PA 平面ABCD ，且2=PA ，E 是PC 上的一点．（I ）求证：AB //平面PCD ；（II ）求证：平面⊥BDE 平面PAC ； （III ）线段PE 为多长时，⊥PC 平面BDE ？18. （本小题满分13分）甲、乙两名考生在填报志愿的时候都选中了A 、B 、C 、D 四所需要面试的院校，但是它们的面试安排在同一时间了。