(A)
p1
(B)
p
1
(C) 1 p 2
(D)
p2
4x
,
22
f (x,y)
2 2 , x 2 y 2
xy
7数
0, 22
xy
在原点间断 ,
中南民族大
学
06、07微积分（下）试卷及参考
答案
f （x
1、已知
y, y
) x 2
x 2
y
,则 f (x,y)
2、已知 , 则
1
x 2e
dx
e x
dx
f(x, y)
3、函数
x 2
xy
2
y 2 y
1
在 点取得极值 .
4、已知
f (x, y) (x
arctan y) arctan y
, 则
f x (1,0) .
5、以 y
3x
（C 1 C 2x ）e 3x （C 1,C 2为任意常数 ）为通解的微分方
、选择题 （ 每小题 3分, 共15分）
e dx 与
e
dx
1
xln p 1x 均收敛 ,
则常数 p
的取值范围是 （
).
(A) 在原点无定义
(B) 在原点二重极限不存在
(C) 在原点有二重极限 , 但无定义
(D)
在原点二重极限存在 , 但不等于函数
值
10、设 n 1 a n 收敛，则 n1( 1) a n
(
3
2
(A) 绝对收敛 (B)
条件收敛 (C) 发散
(D)
不定
三、计算题 ( 每小题 6分, 共60分)
I 1
8、若
I 3
x 2
3
1 x
2 y 2dxdy 1
3
1 x 2
y 2 dxdy
y 2 4
I 2 3 1 x 2 y 2 dxdy
1 x
2 y 2 2
, 则下列关系式成立的是 ( ).
(A) (C)
I 1
I 1
9、方程 y (A) (C)
I 2 I 3
I 2 I 3
(B) (D)
I 2 I 1
I 3
I 2
I 1
I 3
6y y ax b y (ax 2
9y 5(x
bx)e 3x
1)e
具有特解 ( y (ax (ax 3
bx 2 )e
3x
).
(B) (D)
3x
b)e
2 3x
).
所围图形绕 y
轴旋转的旋转体的体
积
11、求由y x2, x 4, y
13、z z(x,y)由z e z xy确定，求2z
12、求二重极限
22
l x y im00 x2 y2 1 1
xy
22
14、用拉格朗日乘数法求z x2 y2 1在条件x y 1下的极值.
x 1y
y
1dy 2 e dx
15、计算 2 y2
围成的在第一象限内的区域
16、计算二重积
分 (x 2 y 2) dxdy
D
， 2
其中 D 是由y
轴及圆周
x
2
2
y 2
1
所
17y y x
18、判别级数n 1( n 1n 1)的敛散性.
1
19、将函数 3 x 展开成 x 的幂级数 , 并求展开式成立的区间
20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 . 根
据统计资料 , 销售收入 R （万元 ）与电台广告费用 x
1 （万元）的及报 纸广告费用 x
2（万元） 之间的关系有如下的经验公式 :
22
R 15 14x 1 32x 2 8x 1x 2 2x 12 10x 22
，
求最优广告策略
.
四、证明题 （ 每小题 5分, 共10分）
答案
、填空题 （每小题 3分,共15分）
评
分
评阅
人
11
21、设 z ln( x 3 y 3 ) ，证明：
u n
22、若 n 1
与
都收敛 , 则 (u
1
v n )2
收敛.
2
x 2(1 y) 1 2
( , )
1、 1 y
. 2 、 . 3 、 3 3 . 4 、1. 5 、
y" 6y' y 0
.
二、选择题 (每小题 3分,共15分)
6、(C ). 7 、 (B). 8 、(A ) . 9
、(D). 10 、(D).
三、计算题 (每小题 6分,共60分)
3
11、求由 y x
2 , x 4, y 0
所围图形绕 y
轴旋转的旋转体的体积 .
32 23
解： y x2
的反函数为 x y 3,y 0。且x 4时， y 8。于是
(3分)
13、 z z(x,y)由 z e z xy 确定，求 x y .
解：设
F(x,y,z) z e z xy
，则
F x
y ，
F y
x ，
F z 1 e z
8 2
84 8
2
V
(42
y 3)
2
dy 16 (8 0)
0 y 3
dy
3
8
3 7
128
3
7
y 7
128
(83 0)
7
7
512
7
2
x
2
y
12、求二重极限
1)
(3 (6
l i xy
m 00 i xy
解：原式
2 y
2
