【数学】2015-2016年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

绝密★启用前2015届北京市朝阳区高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：173分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设连续正整数的集合，若是的子集且满足条件：当时，，则集合中元素的个数最多是（ ） A ．B ．C ．D ．2、点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是（ ）A ．B ．3C ．D ．23、在中，，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．4、表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，，，则“∥”是“∥且∥”的（ ）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是（ ）A ．B ．C ．D ．6、设函数的图象为，下面结论中正确的是（ ）A ．函数的最小正周期是B ．图象关于点对称C ．图象可由函数的图象向右平移个单位得到D ．函数在区间上是增函数A． B． C． D．无法确定8、设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、已知函数．下列命题：①函数既有最大值又有最小值；②函数的图象是轴对称图形；③函数在区间上共有7个零点；④函数在区间上单调递增．其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）10、在锐角的边上有异于顶点的6个点，边上有异于顶点的4个点，加上点，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．11、有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间．12、设不等式组表示平面区域为，在区域内随机取一点，则点落在圆内的概率为．13、双曲线（）的离心率是；渐近线方程是．14、角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 ．三、解答题（题型注释）15、（本小题满分13分）已知函数，，，,且． （Ⅰ）当，，时，若方程恰存在两个相等的实数根，求实数的值；（Ⅱ）求证：方程有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程的两个实数根是，试比较与的大小并说明理由．16、（本小题满分14分）已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由．17、（本小题满分13分）设函数．（Ⅰ）当时,求函数的单调区间；（Ⅱ）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围．18、（本小题满分13分） 若有穷数列，，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”．例如，和都是“对称数列”．（Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列．求的所有项和；（Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列．求的前项和，.19、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，点是的中点，点在边上移动．（Ⅰ）若为中点，求证：//平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由.20、（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案1、C2、A3、D4、5、A6、B7、C8、D9、①②③10、12011、11；11.12、13、14、15、（1）或；（2）证明详见解析；（3）.16、（1）；（2）.17、（1）函数的单调增区间为，；单调递减区间为；（2）.18、（1）；（2）.19、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）点F为边BC上靠近B点的三等分点.20、（1）48岁；（2）分布列详见解析，.【解析】1、试题分析：集合T中不能有满足7倍关系的两个数，因此我们将I中的数分成三类：第一类：1，7,49；2,14,98；3,21,147；4,28,196；共4组，每组最多只能有两个数在集合T中，即集合T中至少需要排除其中4个元素：7,14,21,18；第二类：5,35；6,42；8,56；…；34,238,；共30-4=26组；每组最多只能有一个数在集合T中，即集合T中至少需要排除其中的26个元素；第三类：不在上面两类中的所有数：36,37,38，…，237，它们不是7的倍数，且它们的7倍不在集合I中，所以这组中所有数都可以在集合T中；所以集合T中最多可以有238-4-26=208个元素.考点：排列组合问题.2、试题分析：延长BO交AC于点P，如图所示：∵，得，即，∴，∴. 考点：向量的运算.3、试题分析：，∵，∴，∴当时，取得最大值.考点：三角函数的最值.4、试题分析：充分性：∵，∴，，∵，，，∴，；必要性：过作平面交于直线，∵，∴，若n与m重合，则；若n与m不重合，则，∵，∴，又∵，，∴，∴.考点：充分必要条件.5、试题分析：三棱锥的直观图如图所示：由三视图可知平面ABC，平面PAB，且，，∴，，，∴，，∴全面积为.考点：三视图.6、试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.7、试题分析：中点到抛物线准线的距离为6，则A,B到准线的距离之和为12，即考点：直线与抛物线相交问题8、试题分析：，∴复数所对应的点为，∴复数在复平面内对应的点所在的象限是第四象限.考点：复数的运算.9、试题分析：对于①：，当且仅当时，取到等号，∴有最大值.当时，；当时，；当时，；而在上存在最小值m，且，∴m亦为在定义域上的最小值.对于②：∵，∴为的对称轴；对于③：，即，即，∴在区间上有共7个零点；对于④：，∴不可能单调递增.考点：函数的零点、最值、单调性.10、试题分析：分两种情况：第一种：三角形顶点不包括点，在OA上取两点在OB上取一点，或者在OA上取一点在OB上取两点，此时可构成的三角形个数为；第二种：三角形顶点包括点，然后在OA、OB上各自取一点，此时可构成的三角形个数为.∴以这11个点为顶点共可以组成个三角形.考点：排列组合问题.11、试题分析：大钟报时时最多可响12声，12点的报时，大钟会响12声，∴某人从第一声响开始计时时，需要至少等待11秒才能听到第十二声响，确定这时是12点；11点的报时，大钟会响11声，当某人经过10秒听到第11声响时，不能确定这时就是11点，他必须再等待1秒确定会不会有第12声响起，才能确定这时是11点还是12点，所以11点的报时，此人需等待至少11秒才能确定时间.考点：函数问题.12、试题分析：画出区域D和圆：区域D的面积为4，区域D在圆中的部分面积为，∴点P落在圆内的概率为.考点：几何概型.13、试题分析：∵，∴，∴，，，∴，∴渐近线方程为.考点：双曲线的离心率和渐近线方程.14、试题分析：∵角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，∴，.考点：三角函数的定义、诱导公式.15、试题分析：本题主要考查方程的根的问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将代入到中，将方程转化为，有2种情况：第一种：是一元二次方程的一个实数根，第二种：一元二次方程有两个相等的实数根，分别讨论求解；第二问，展开表达式，对求导，而方程的恒成立，所以可证得方程有两个不相等的实数根；第三问，将代入中，可计算得，而，解不等式即得.试题解析：（1）当时，.当时，.依题意，若方程恰存在两个相等的实数根，包括两种情况：（ⅰ）若是一元二次方程的一个实数根，则时，方程可化为，恰存在两个相等的实数根0（令一根为3）. （ⅱ）若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式，解得，此时方程恰存在两个相等的实数根（另一根为0）.∴当或时，方程恰存在两个相等的实数根.（2）由，可得，，∴.此一元二次方程的判别式，则.由，可得，恒成立，∴方程有两个不等的实数根.（3）∵，得即，由，得.考点：方程的根的问题.16、试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，椭圆过定点及离心率组成方程组解出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，利用第一问的结论，数形结合可知直线AM和直线AN的斜率存在且不为0，设出直线AM的方程，与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，可得到M点的横坐标，代入直线AM的方程中，再得到M点的纵坐标，同理，得到N点坐标，从而得到直线MN的方程，直接观察可知D点坐标.试题解析：（1）由已知得，解得.∴椭圆的标准方程为.（2）由（1）可知椭圆右顶点.由题意可知，直线AM和直线AN的斜率存在且不为0.设直线AM的方程为.∵，得.成立.∴，∴.∴.∴.∵直线AM和直线AN的斜率乘积为，故可设直线AN的方程为. 同理，易得.∴.∴当时，即时，.直线MN的方程为.整理得：.显然直线MN过定点.（点M、N关于原点对称）当，即时，直线MN显然过定点.综上所述，直线MN过定点.考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理.17、试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将代入，利用导数除法的运算法则计算，令解出函数的增区间，令解出函数的减区间；第二问，先写出解析式，由于函数的图象总在的图象的上方，所以，转化为在恒成立，继续转化为恒成立，构造函数，通过求导判断函数的单调区间，求出的最小值，最后解出a的取值范围.试题解析：（1）当时，.∵，得，解得或；∵，得，解得.∴函数的单调增区间为，；单调递减区间为.（2）∵.又∵函数的图象总在的图象的上方，∴，即在恒成立.又∵，∴，∴.又∵，∴.设，则即可.∵.∵，，解得；∵，，解得.∴在区间单调递增，在区间单调递减.∴的最小值为或.∵，，作差可知，∴.∴a的取值范围是.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.18、试题分析：本题主要考查等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，通过对称数列的定义域，得出，，…，，所以，然后利用等比数列的前n项和公式计算即可；第二问，由于数列为50项的对称数列，所以当n小于25时，就是从开始的等比数列，不存在对称，可以直接求和，当n 大于25时，除了前25项的和以外，还有多出来的几项的和.试题解析：（1）依题意，，，…，.∴，，…，.∴.（2）依题意，，∵是50项的“对称数列”.∴，，…，.∴当时，；当时，，.综上，.考点：等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式.19、试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，在中，E、F分别是BP、BC中点，利用中位线的性质得，再根据线面平行的判定得出结论；第二问，由正方形ABCD得出，利用面面垂直的性质，得平面PAB，利用线面垂直的性质，得，再从中证出，利用线面垂直的判定得平面PBC，所以AE垂直面PBC内的线PF；第三问，利用已知的这些条件整理出AD、AB、AP两两垂直，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得出向量坐标，分别求出平面AEF和平面ABF的法向量，利用夹角公式列出表达式，求出m，即得到BF的长，从而得到点F的位置.试题解析：（1）在中，∵点E是PB中点，点F是BC中点，∴，又∵平面PAC，平面PAC，∴平面PAC．（2）∵底面ABCD是正方形，∴.又∵侧面PAB底面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，且平面ABCD，∴平面PAB.∵平面PAB，∴，由已知，点E是PB的中点，∴，又∵，∴平面PBC.∵平面PBC，∴.（3）点F为边BC上靠近B点的三等分点.∵，，∴，由（2）可知，平面PAB.又，∴平面PAB，即，∴两两垂直.分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系（如图）.不妨设，则，. ∴，.设平面AEF的一个法向量为，∵，得，取，则，，得. ∵，，，∴平面ABCD.即平面ABF的一个法向量为.∴，解得.∵，∴，即点F为边BC上靠近B点的三等分点.考点：线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、二面角、向量法.20、试题分析：本题主要考查平均值、频率分布直方图、二项分布、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，用该区间中点值来代替每一组数据的平均值，再乘以每一组数据的频率，得到600人的平均年龄；第二问，先由频率分布直方图确定“老年人”所占的频率为，再利用二项分布的概率计算公式，计算出每一种情况的概率，列出分布列，最后利用计算数学期望.试题解析：（1）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为.（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为.∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为.依题意，X 的可能取值为0,1,2,3. ；；；.∴随机变量X 的分布列如下表：∴随机变量X 的数学期望.考点：1.平均值；2.频率分布直方图；3.二项分布；4.随机变量的分布列和数学期望.。

2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}2．（5分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm33．（5分）设i为虚数单位，如果复数z满足（1﹣2i）z=5i，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i4．（5分）已知m∈（0，1），令a=log m2，b=m2，c=2m，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b5．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C． D．[ln2，+∞）7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1 B．C．3 D．68．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A．①B．②C．③D．④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B=30°，C=105°，a=4，那么b=．10．（5分）在平面向量，中，已知=（1，3），=（2，y）．如果•=5，那么y=；如果|+|=|﹣|，那么y=．11．（5分）已知x，y满足满足约束条件，那么z=x2+y2的最大值为．12．（5分）如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a=；f（﹣t）=．13．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为．14．（5分）数列{a n}满足：a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n（n＞1，n∈N*）成立；﹣1②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．上述命题正确的．（写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）等比数列，4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和s4=15．（Ⅰ）求数列b n=，（n=1，2，3…）的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n+2n，（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四象限角，且，求的值．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥CD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．18．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|•|F2B|的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=﹣a（x﹣lnx）．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．20．（13分）已知曲线C n的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C n所围成的图形的面积；（Ⅱ）若S n（n∈N*）表示曲线C n所围成的图形的面积，求证：S n（n∈N*）关于n是递增的；（Ⅲ）若方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C n （n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，∴∁U A={2}，∴（∁U A）∩B={2}．故选：A．2．（5分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，∴V=××3×1×3=．故选：A．3．（5分）设i为虚数单位，如果复数z满足（1﹣2i）z=5i，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【解答】解：由（1﹣2i）z=5i，得．∴z的虚部为1．故选：B．4．（5分）已知m∈（0，1），令a=log m2，b=m2，c=2m，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵m∈（0，1），则a=log m2＜0，b=m2∈（0，1），c=2m＞1，那么a，b，c之间的大小关系为a＜b＜c．故选：C．5．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线l的倾斜角为α，斜率为k，当＞，∴k=tanα＞；当时，k=tanα＜0．∵“”是“”的必要而不充分条件，故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C． D．[ln2，+∞）【解答】解：作函数f（x）=与y=k的图象如下，，∵ln2，∴结合图象可知，k≥；故选：B．7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1 B．C．3 D．6【解答】解：如图，作BN⊥准线l，AM⊥l，AC⊥BN，∴|BF|=|BN|，|AF|=|AM|，∵，∴cos∠BCF==，∵|BF|=3，∴|AF|=1，故选：A．8．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，∴EN∥MF，同理：FN∥EM，∴四边形EMFN为平行四边形，故正确；②MENF的面积s=f（x）=（EF×MN），当M为BB′的中点时，即x=时，MN最短，此时面积最小．故正确；③连结AF，AM，AN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以AEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形AEF的面积是个常数．M，N到平面AEF的距离和是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常数函数，故正确．④多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x）=V ABCD=为常数函数，故错误；﹣A′B′C′D′故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B=30°，C=105°，a=4，那么b=．【解答】解：在△ABC中，∵B=30°，C=105°，∴A=45°．由正弦定理可得：，∴b====，故答案为：2．10．（5分）在平面向量，中，已知=（1，3），=（2，y）．如果•=5，那么y=1；如果|+|=|﹣|，那么y=﹣．【解答】解：∵•=5，∴1×2+3y=5，解得y=1．∵|+|=|﹣|，∴⊥，∴1×2+3y=0，解得y=﹣．故答案为．11．（5分）已知x，y满足满足约束条件，那么z=x2+y2的最大值为58．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组，解得：A（3，7）；联立方程组，解得：B（6，4）．|OA|=，|OB|=．坐标原点O到直线x+y=10的距离d=．∴z=x2+y2的最大值为58．故答案为：58．12．（5分）如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a= 1；f（﹣t）=0．【解答】解：∵函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2，∴，解得a=1，t2sint=1，∴f（﹣t）=t2sin（﹣t）+a=﹣t2sint+1=﹣1+1=0．故答案为：1，0．13．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为x﹣y+1=0．【解答】解：∵k AB==﹣1，线段AB的中点为，两点A（a ﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，∴k L=1，其准线方程为：y﹣=x﹣，化为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．14．（5分）数列{a n}满足：a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立；②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．上述命题正确的①④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：由a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），得a n+1﹣a n＞a n﹣a n﹣1（n＞1，n∈N*）或a n﹣1﹣a n＞a n﹣a n+1（n＞1，n∈N*）．即数列函数{a n}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，或数列函数{a n}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大．对于①，若a2＞a1，则数列函数{a n}为增函数，∴a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立，正确；对于②，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于③，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于④，∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＞（n﹣1）（a2﹣a1）+a1；取d=a2﹣a1，即可说明命题正确．故答案为：①④．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）等比数列，4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和s4=15．（Ⅰ）求数列b n=，（n=1，2，3…）的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n+2n，（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）的等比数列，∴．∵4a1，3a2，2a3成等差数列，∴6a2=4a1+2a3，即q2﹣3q+2=0．解得q=2，q=1（舍）．又它的前4和S4=15，得，解得a1=1．∴．（Ⅱ）∵b n=a n+2n=2n﹣1+2n，∴数列{b n}的前n项和=+=2n﹣1+n（n+1）．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四象限角，且，求的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知=．∴最小正周期；由，得．故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）∵α为第四象限角，且，∴．∴==．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥CD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．因为AD⊥CD，AD∩AP=A，所以CD⊥面PAD．由于AE⊂面PAD，所以有CD⊥AE．…（4分）（Ⅱ）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设AB=AP=2，可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．由E为棱PD的中点，得E（0，1，1）．=（0，1，1）向量，．设为平面PBD的法向量，则=0，即∫﹣2x+2y=0．不妨令y=1，可得=（1，1，1）为平面PBD的一个法向量．设直线AE与平面PBD所成角为θ，则sinθ===，所以，直线AE与平面PBD所成角的正弦值为．…（11分）（Ⅲ）解：向量，，．由点M在棱PC上，设．故．由FM⊥AC，得=0，因此，（1﹣2λ）×2+（2﹣2λ）×2=0，解得．所以．…（13分）18．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|•|F2B|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为，由题意知解得．所以椭圆的标准方程为．…（5分）（Ⅱ）因为F2（1，0），当直线的斜率不存在时，，，则，不符合题意．当直线y=k（x﹣1）的斜率存在时，直线y=k（x﹣1）的方程可设为y=k（x﹣1）．由消（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0（*）．设，，则、是方程（*）的两个根，所以，．所以，所以所以==当k2=0时，|AF2|•|F2B|取最大值为3，所以|AF2|•|F2B|的取值范围．又当k不存在，即AB⊥x轴时，|AF2|•|F2B|取值为．所以|AF2|•|F2B|的取值范围．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=﹣a（x﹣lnx）．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，f′（1）=0，f（1）=e﹣1．∴方程为y=e﹣1．（Ⅱ）==．当a≤0时，对于∀x∈（0，+∞），e x﹣ax＞0恒成立，令f′（x）＞0⇒x＞1，令f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，则f′（x）==0在（0，1）内有解，∴e x﹣ax=0在（0，1）内有解，即y=e x和y=ax在（0，1）上有交点，如图示：，x=1时，y=e x=e，故a＞e．20．（13分）已知曲线C n的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C n所围成的图形的面积；（Ⅱ）若S n（n∈N*）表示曲线C n所围成的图形的面积，求证：S n（n∈N*）关于n是递增的；（Ⅲ）若方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C n （n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．【解答】（Ⅰ）解：当n=1，2时，曲线C1、C2的方程分别为|x|+|y|=1和x2+y2=1，其图象分别如图：由图可知，S 2=π；（Ⅱ）证明：要证是关于n递增的，只需证明：．由于曲线C n具有对称性，只需证明曲线C n在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．，现在考虑曲线C n与C n+1∵|x|n+|y|n=1（n∈N*）…①，∵|x|n+1+|y|n+1=1（n∈N*）…②，在①和②中令x=x0，x0∈（0，1），当x0∈（0，1），存在y1，y2∈（0，1）使得，成立，此时必有y2＞y1．∵当x0∈（0，1）时，∴．两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）这就得到了y2＞y1，从而是关于n递增的；（Ⅲ）证明：由于x n+y n=z n（n＞2，n∈N）可等价转化为，反证：若曲线上存在一点对应的坐标（x，y），x，y全是有理数，不妨设，p，q，s，t∈N*，且p，q互质，s，t互质．则由|x|n+|y|n=1可得，．即|qs|n+|pt|n=|ps|n．这时qs，pt，ps就是x n+y n=z n（n＞2，n∈N*）的一组解，这与方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N*），xyz≠0，没有正整数解矛盾，∴曲线上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2015．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知集合{}21A x x =>，集合{}(2)0B x x x =-<，则AB =A ．{}12x x << B. {}2x x > C ． {}02x x << D ． {1x x ≤，或}2x ≥ 【答案】A【解析】由不等式21x >得1x <-或1x >，即{1A x =<-或}1x >;由不等式(2)0x x -<得02x <<，即{}02B x x =<<，所以{}12A B x x =<<，故选A【考点】 集合运算;一元二次不等式 【难度】 22. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值是A ．7B ．10C ．66D ．166【答案】B【解析】初始值：S ＝1，n ＝1第一次循环：4n =，21417S =+= 第二次循环：7n =，217766S =+=第三次循环：10n =，26610166100S =+=>，输出10n =，故选B 【考点】算法与程序框图 【难度】 23. 设i 为虚数单位，m R ∈，“复数(1)+i m m -是纯虚数”是“1m ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】“复数(1)+i m m -是纯虚数”等价于(1)0m m -=，所以0m =或1m =;所以“复数(1)+i m m -是纯虚数”是“1m”的必要不充分条件，故选B【考点】 充分条件与必要条件 【难度】 24.已知平面上三点,,A B C 满足=6AB ，=8AC ，=10BC ，则++AB BC BC CA CA ABA. 48B. 48C.100D. 100 【答案】D【解析】因为=6AB ，=8AC ，=10BC ，所以AB AC ⊥，以A 为原点，AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立坐标系，则有(6,0)AB =，(0,8)AC =，所以(6,8)BC =- ，(0,8)CA =-， 所以++(6,0)(6,8)(6,8)(0,8)(0,8)(6,0)AB BC BC CA CA AB 36640100故选D【考点】 平面向量运算 【难度】 25.已知函数()2sin()25f x x ππ=+.若对任意的实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是 A. 2 B.4 C. π D. 2π 【答案】A【解析】依题意1()f x 是函数的最小值，2()f x 是函数的最大值，所以12x x -的最小值为半个周期2，故选A 【考点】 三角函数的图象与性质 【难度】 26.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程为 A. 12y x =±B. 2y x =±C. y =D.y = 【答案】C【解析】由抛物线方程可知(,)F 10，因为52PF =，所以P 点横坐标为53122-=，所以纵坐标为 因为点P 为交点，且有公共焦点，所以222296141a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得221434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以渐近线方程为by x a=±=，故选C 【考点】 双曲线;抛物线 【难度】 37.已知函数e e()2xxf x ，x R ，若对任意π(0,]2，都有(sin )(1)0f m f m 成立，则实数m 的取值范围是A. 0,1B. 0,2C. ,1D. ,1【答案】D【解析】因为ee e e ()()22xx xxf x f x ，所以()f x 为奇函数;又因为1'()(e e )02x x f x ，所以()f x 为增函数，由(sin )(1)0f m f m 得(sin )(1)(1)f m f m f m所以sin 1m m 对于π(0,]2恒成立，即11sinm 恒成立， 因为π(0,]2，所以sin 0,1，所以1110m，故选D 【考点】 函数的性质 【难度】 48. 如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD 折叠，使得点B 始终落在边AD 上，则折起的部分的面积最小值为A. 14B. 38 C. 25 D. 12【答案】B【解析】如图，设折痕为ME ，过E 作EF AB⊥于F ，连接'BB 交ME 于N ，根据对称性可知'BB M E ⊥，且1'2BN BB =，所以'AB B NMB ∆∆∽，所以'BN BMAB BB =，即'BNBM BB AB= 设'AB x =，则'BB ，BN 21(1)2BM x =+又因为EF AB ⊥，所以'M EF B BA ∠=∠，而EF AB =，所以'M EF B BA ∆∆≌，所以'MF B A x == 所以21(1)2BF BM MF x x =-=+-，即21(1)2EC x x =+-所以折起部分的面积22211(1)(1)122(1)222x x xBM EC S BC x x +++-+=⨯==-+ 因为01x ≤≤，所以当12x =时min 38S =，故选D 【考点】 函数的应用 【难度】 4ACBB 1(B )D C 1(C )NM F E C'B'D A CB第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 41(1)3x展开式中含3x 项的系数是 . 【答案】427【解析】二项展开式通项为114411()()33r r rr r r T C x C x --+=-=-令3r =得3x 项的系数是33414()327C -=-【考点】 二项式定理及性质 【难度】 210.已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，且和两条直线0x y +=和120x y +-=都相切，则圆C 的标准方程是 .【答案】()223(3)18x y -+-=【解析】 设圆心(,)C a b ，因为圆心在直线0x y -=上，所以a b =，即(,)C a a因为和两条直线0x y +=和120x y +-==，解得3a =所以半径为r ==所以圆的标准方程为()223(3)18x y -+-=【考点】 直线与圆的位置关系;圆的标准方程 【难度】 211. 如图，已知圆B 的半径为5，AMN 与ADC 为圆B 的两条割线，且割线AMN 过圆心B .若2AM，60CBD ，则AD = .【答案】3 【解析】因为60CBD，所以5CD =，由割线定理AD AC AM AN ⋅=⋅，即(5)21224AD AD ⋅+=⨯=所以25240AD AD +-=，解得3AD = 【考点】 割线定理 【难度】 212.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为______.A正视图侧视图俯视图【答案】239【解析】四棱锥的直观图如图所示，底面ABCD 为边长为1的菱形，高PO 为3，顶点P 在底面的射影O 为菱形中心，过O 作OE BC ⊥于E ，则32OE =，所以斜高392PE =，所以侧面积为1139424239222BC PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=【考点】 几何体的三视图与直观图 【难度】 313.已知点11(,1)A a ，22(,2)A a ，…，(,)n n A a n （N *n ∈）都在函数13log y x =的图象上.则数列{}n a 的通项公式为_________；设O 为坐标原点，点(,0)n n M a （N *n ∈），则11OA M ∆，22OA M ∆，…，n n OA M ∆中，面积的最大值是_________. 【答案】13nna ;16. 【解析】因为点(,)n a n 在函数13log y x =的图象上，所以13log n n a =，即1()3n n a =;设n n OA M ∆的面积111()223n n n S na n ==，则1111()(1)23n n S n ++=+所以111111()(1)()2323n n n n S S n n ++-=+-1112()233n n-=因为N *n ∈所以10n n S S +-<， 所以当1n =时n S 最大，为16【考点】 等比数列;数列综合运用 【难度】 3 14．设集合123(,,)2,0,2,1,2,3iA m m m m i ，集合A 中所有元素的个数为 ;集合A 中满足条件“12325m m m ”的元素个数为 .【答案】27;18【解析】集合A 中所有元素的个数为11133327C C C =个;因为0i m =或2，所以1m ，2m ，3m 三个数字中只有两种情况（1）一个０，两个2，此时123(,,)m m m 有11132212C C C =种（2）两个０，一个2，此时123(,,)m m m 有11326C C =种共有1８种元素 【考点】 排列组合 【难度】 4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在梯形ABCD 中，AB CD ，2CD ，120ADC ，57cos 14CAD. （Ⅰ）求AC 的长; （Ⅱ）求梯形ABCD 的高. 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）在ACD 中，因为57cos 14CAD，所以21sin 14CAD ， 由正弦定理得，sin sin AC CDADC CAD，即32sin 227sin 21CD ADC ACCAD. ……………………………………6分（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理得，22422cos120AC AD AD =+-⨯⨯，整理得22240AD AD +-=，解得4AD =(舍负). 过点D 作D E AB ⊥于E ，则DE 为梯形ABCD 的高. 因为AB CD ，120ADC ，所以60BAD .在直角ADE 中，sin 6023DEAD .即梯形ABCD 的高为【考点】 解斜三角形【难度】 316．（本小题满分13分）某学科测试中要求考生从,,A B C 三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试.选择,,A B C 三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答卷中抽出若干份答卷，其中从选择A 题的答卷中抽出了3份，则应分别从选择,B C 题的答卷中抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，,,A B C 三题答卷得优的份数都是2.从被抽出的,,A B C 三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷恰有1份得优的概率;（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B 题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望EX ． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：应分别从,B C 题的答卷中抽取5份，2份.（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优. 依题意131()1355P M =⨯⨯=． （Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===;11451280(1)()()33243P X C ===;22351280(2)()()33243P X C ===;33251240(3)()()33243P X C ===;44151210(4)()()33243P X C ===;5505121(5)()()33243P X C ===．随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【考点】 古典概率;随机变量的分布列与期望 【难度】 317．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：FA BC ⊥;（Ⅱ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值;（Ⅲ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段,FD AD 上的点（都不与点D 重合）.若直线FD平面MNH ，求MH 的长.【答案】见解析【解析】 证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF平面ABCD AB =，所以FA ⊥平面ABCD ， 由于BC ⊂平面ABCD ， 所以FA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥， 由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）． 因为112AD DC AB ===， 则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，ADHCBEFMN ADH CBEN M所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-， 设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ， 因为(1,2,0)BD =-，所以1sin cos ,3BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅n n n . 所以直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值为15． (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系Axyz 中，(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设01DMk k DF， 即DMkDF .,0,DMk k ，则(1,0,)M k k ，1(,1,)2MHkk ，(1,0,1)FD .若FD平面MNH ，则FDMH .即0FD MH .102kk ，解得14k. 则11(,1,)44MH，324MH . 【考点】立体几何综合 【难度】 318．（本小题满分13分）已知点M 为椭圆22:3412C x y +=的右顶点，点,A B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标;（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点？若是，求出定点坐标;若否，说明理由． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b 1c =． 故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-．（Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m =2248(43)0k m .所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14， 所以12121224y y x x ⋅=--， 所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=， 所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++， 化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-． 4m k =代入判别式大于零中，解得1122k. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去． 故直线AB 过定点(4,0)-． 【考点】 圆锥曲线综合 【难度】 419.（本小题满分14分）已知函数2()()e xf x x a =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）若在区间1,2上存在不相等的实数,m n ，使()()f m f n 成立，求a 的取值范围;（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：212()()4e f x f x -<.【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-.当(,2)x ∈-∞-时，f '(x)＞0，f (x)单调递增;当(2,0)x ∈-时，f '(x)＜0，f (x)单调递减;当(0,)x ∈+∞时，f '(x)＞0，f (x)单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-（Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()x f x x a =-在1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a ，(2)8g a .因为函数()g x 在1,2上为增函数， 当(1)30(2)80g a g a ，即当38a 时，函数()g x 在1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x 时，()0g x <，即()0f x ，()f x 为减函数; 当0(,2)x x 时，()0g x >，即()0f x ，()f x 为增函数，满足在1,2上不为单调函数. 当3a 时，(1)0g ，(2)0g ，所以在1,2上()g x 0成立（因()g x 在1,2上为增函数），所以在1,2上()0f x '>成立，即()f x 在1,2上为增函数，不合题意.同理8a时，可判断()f x 在1,2上为减函数，不合题意. 综上38a. (Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x 有两个不同的零点，即方程220x x a 的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=-此时122x x +=-，12x x a =-.随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()x x f x f x x a x a =-⨯-12222221212=e [()]x x x x a x x a +-++{}122222121212=e [()2]x x x x a x x x x a +-+-+222=e [(42]a a a a --++）2=4e .a --因为1a >-，所以224e 4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．【考点】 导数的综合应用【难度】 420.（本小题满分13分）已知数列n n a a a A ,,,:21 2,n n N 是正整数n ,,3,2,1 的一个全排列.若对每个{}2,3,,∈k n ，都有12--=k k a a 或3，则称n A 为H 数列．（Ⅰ）写出满足55=a 的所有H 数列5A ;（Ⅱ）写出一个满足)403,,2,1(55 ==k k a k 的H 数列2015A 的通项公式;（Ⅲ）在H 数列2015A 中，记5(1,2,,403)k k b a k ==.若数列{}k b 是公差为d 的等差数列，求证：5d =或5-． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5;与2，4，1，3，5．…… 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55 ==k k a k 的H 数列2015A 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1 =k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1 =k ） （Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾． （ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈． 于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =. 由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ． 把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-． 所以5d =或5-.【考点】 数列综合【难度】 5。

2016年北京市朝阳区高三理科上学期人教A版数学期末考试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知全集，集合，，则A. B.C. D.2. 在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是A. B. C. D.4. 若，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 从，，，，中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A. B. C. D.6. 某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A. B. C. D.7. 在中，，点是边上的动点，且，，，则当取得最大值时，的值为A. B. C. D.8. 某校高三（1）班名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为人和人，这两项成绩均不合格的有人，则这两项成绩均合格的人数是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则等于______．10. 已知等差数列的前项和为．若，，则 ______， ______．11. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为______．12. 在中，已知，，则 ______．13. 设为不等式组表示的平面区域，对于区域内除原点外的任一点，则的最大值是______，的取值范围是______．14. 若集合满足：，都有，，则称集合是封闭的．显然，整数集、有理数集都是封闭的．对于封闭的集合，是从集合到集合的一个函数，①如果都有，就称是保加法的；②如果都有，就称是保乘法的；③如果既是保加法的，又是保乘法的，就称在上是保运算的．在上述定义下，集合 ______ 封闭的（填“是”或“否”）；若函数在上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数 ______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．16. 甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取次，记录如下：甲：乙：（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适?并说明理由；（3）若对甲同学在今后的次测试成绩进行预测，记这次成绩中高于分的次数为（将甲次成绩中高于分的频率视为概率），求的分布列及数学期望．17. 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为直角梯形，且，，平面平面，．（1）求证： 平面；（2）若二面角为直二面角，（i）求直线与平面所成角的大小；（ii）棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18. 已知椭圆：上的动点与其顶点，不重合．（1）求证：直线与的斜率乘积为定值；（2）设点，在椭圆上，为坐标原点，当，时，求的面积．19. 已知函数，，其中，为自然对数的底数．（1）若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值；（2）若在上为单调递增函数，求实数的取值范围；（3）当时，对于满足的两个实数，若存在，使得成立，试比较与的大小．20. 设，是正整数，数列：，，，，其中是集合中互不相同的元素．若数列满足：只要存在，使，总存在有，则称数列是“好数列”．（1）当，时，（ⅰ）若数列：，，，，，是一个“好数列”，试写出，的值，并判断数列：，，，，，是否是一个“好数列”?（ⅱ）若数列：，，，，，是“好数列”，且，求，，，共有多少种不同的取值?（2）若数列是“好数列”，且是偶数，证明：．答案第一部分1. B2. D3. D4. A5. C6. B7. C8. B第二部分9.10. ；11.12.13. ；14. 是；第三部分15. （1）．所以．（2）因为，所以．所以．当时，函数取到最小值，当时，函数取到最大值．16. （1）作出茎叶图如下：（2）派甲参赛比较合适．理由如下：甲乙甲乙因为甲乙，甲乙，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得分以上（含分）的频率为，乙获得分以上（含分）的频率为．因为，所以派乙参赛比较合适．（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于分”为事件，．随机变量的可能取值为，，，，且．所以，．所以变量的分布列为：．（或．）17. （1）连接，设，为正方形，所以为中点．设为的中点，连接，，则，且．由已知，且，所以，．所以四边形为平行四边形．所以，即．因为平面，平面，所以 平面．（2）（i）由已知，，，所以．因为二面角为直二面角，所以平面平面．所以平面，所以，．四边形为正方形，所以．所以，，两两垂直．以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系（如图）．，所以，，，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，由得即取，得．设直线与平面所成角为，则，因为，所以．即直线与平面所成角的大小为．（ii）假设棱上存在点，使得平面．设，则．设，则，因为，所以．所以，，，所以点坐标为．因为，所以．又，，所以解得．因为，所以上存在点，使得平面，且．（另解）假设棱上存在点，使得平面．设，则．设，则，因为，所以．所以，，，所以点坐标为．因为，所以．设平面的一个法向量为，则由，，得取，得．由，即，可得解得．因为，所以上存在点，使得平面，且．18. （1）设，则．所以直线与．（2）依题直线，的斜率乘积为．①当直线的斜率不存在时，直线，的斜率为，设直线的方程是，由得，．取，则．所以的面积为．②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，由得．因为，在椭圆上，所以，解得．设，，则，．设点到直线的距离为，则．所以的面积为因为，，直线，的斜率乘积为，所以．所以由，得由，得综上所述，．19. （1）因为，所以．则，．所以函数的图象在点处的切线为：．因为切线过坐标原点，所以，即．所以．（2），要使在上为单调递增函数，只要，令，①当时，，在内，所以，函数在上为单调递增函数．②当时，是开口向上的二次函数，其对称轴为，所以在上递增，为使在上单调递增，必须，而此时，产生矛盾．所以此种情况不符合题意．③当时，是开口向下的二次函数，为使在上单调递增，必须，即在上恒成立，所以又，所以．综合①②③得实数的取值范围为．（3），．因为对满足的实数，存在，使得成立，所以，即，从而<br>\（\[\begin{split}\ln {x_0} - \ln {x_1}& = \dfrac{{{x_1}\ln {x_1} - {x_2}\ln {x_2}}}{{{x_1} -{x_2}}} - 1 - \ln {x_1}\\& = \dfrac{{{x_2}\ln {x_1} - {x_2}\ln {x_2} + {x_2} - {x_1}}}{{{x_1} -{x_2}}}\\&= \dfrac{{\ln \dfrac{x_1}{x_2} + 1 - \dfrac{x_1}{x_2}}}{{\dfrac{x_1}{x_2} - 1}}.\end{split}\]\）<br>设，其中，则，则，因而在区间上单调递增，，因为，所以，从而，又．所以，即．20. （1）（ⅰ）因为，，数列：，，，，，是一个“好数列”，所以，，或，，数列：，，，，，也是一个“好数列”．（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含，两项，若剩下两项从，，，中任取，则都符合条件，有种；若剩下两项从，，，中任取一个，则另一项必对应，，，中的一个，有种；若取，则，，“好数列”必超过项，不符合；若取，则，另一项可从，，，中任取一个，有种；若取，则，，“好数列”必超过项，不符合；若取，则，符合条件，若取，则易知“好数列”必超过项，不符合；综上，，，，共有种不同的取值．（2）由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．又“好数列”，，，各项互不相同，所以，不妨设．把数列配对：，，，，只要证明每一对和数都不小于即可．用反证法，假设存在，使，因为数列单调递增，所以，又因为“好数列”，故存在，使得，显然，故，所以只有个不同取值，而有个不同取值，矛盾．所以，，，，每一对和数都不小于，故，即．。