解决分数问题的利器--一图八式

分式运算技巧点点通江苏 何春华分式运算是令同学们比较头痛的一种运算，因此如何巧妙地进行分式运算便成了同学们最关心的事情，下面归纳了几种常见的运算技巧，希望对同学们的学习有所帮助．一、巧用乘法公式例1 计算2211a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 分析：本题符合平方差公式（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2的特征，可应用平方差公式进行计算． 解：原式1111a a a a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-+-+ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭ 242a a a b a b==++． 二、巧用分解因式例2 计算2222222222x xy y x xy y x y xy x y xy -+++--+． 分析：本题每个分式的分子、分母都是多项式，故可先因式分解，约去公因式，然后进行计算．解：原式22()()()()x y x y xy x y xy x y -+=--+ x y x y xy xy-+=- 22y xy x -==-． 三、巧用乘法分配律例3 化简1122x y x y x x y x +⎛⎫---- ⎪+⎝⎭．分析：本题按分配律先把1x y+与括号里的项相乘，则会使计算简便． 解：原式111()22x y x y x x y x x y+=-++++ 11122x x =-+ =1．四、巧设k 值例4 已知234x y z ==，求2222323x y z xy yz xz -+++的值． 分析：本题与比例有关，可以通过设中间量来达到化简求值的目的．解：设234x y z k ===，则x =2k ，y =3k ，z =4k ． 所以原式222(2)2(3)3(4)(2)(3)2(3)(4)3(2)(4)k k k k k k k k k -+=++ 223454k k= 1727=． 五、巧用整体思想 例5 已知113a b -=，求2322a ab b a ab b +---的值． 分析：将已知条件变形可得a -b =-3ab ，然后代入原式即可．解：∵113a b-=，∴3a b ab -=-． 代入2322a ab b a ab b +---，得 原式2()3()2a b ab a b ab-+=-- 6332ab ab ab ab-+=--35=． 总之，在进行分式的运算时，我们需要根据题目的具体情况，找出分式的特点，采用巧妙灵活的方法进行求解，最后达到事半功倍的效果．牛刀小试：1．化简2211()a b a b a b ⎛⎫-- ⎪+-⎝⎭． 2．已知2231x x x =-+，求2421x x x -+的值． 3．已知1b c c a a b a b c+++===，求()()()abc a b b c c a +++的值． 参考答案：1．-2b ； 2437．（提示：可将231x x x -+变形为1213x x=-+，得172x x +=，进而求解）；3．1．。

小学六年级数学解决问题中“图解辅助法”的应用方法作者：颜远来源：《学习与科普》2019年第12期摘要：解决问题是学习的关键，是探究新知识路上的利器。

所以，文章以小学六年级数学教学为例，对“图解辅助法”在解决问题中应用的内容展开了细致的剖析与探究。

关键词：小学六年级；数学解决问题；图解法；应用分析在深入推动了教育教学改革后，我们对小学数学教学也有了全新的认识，即学生思维能力的培养，以及解题技巧的锻炼。

所以，为了迎合这种教学和培养方式，自然需要相应教学方法的引入，其中，图解辅助法就是一个很好的选择。

一、研究背景在平时的小学数学授课中，我们灵活的通过“图解辅助法”施教，将思维导图为学生直观呈现出来，分析所学知识，将各个数理间的关系捋顺清楚，将其融合起来，逐层推进，从而将一个问题解决的系统构建起来。

通过“图解辅助法”并与老师讲授结合，可以将学生的听觉、视觉调动起来，在学生头脑中形象、鲜明的刻印重难点知识。

在小学六年级数学教学中应用“图解辅助法”看似比较容易，但是它可以逐层剖析，找出核心点，为学生更好的学习奠定基础。

二、授课探究1、利用图解辅助法解决具体问题“解决问题”是小学六年数学中的一个重要内容，学好这些知识内容，对提升学生数学思维能力、知识水平都将发挥重要作用。

然而，在解决问题中，尤其是解题技巧方面，学生容易暴露问题和缺陷，例如，没有认真、细致的审查题干，甚至题意模糊的情况大有存在，所以，他们就很难找到解题的切入点，进而会渐渐加剧学习压力。

在辅助学生解决问题时，“图解辅助法”展现出了巨大的应用价值，这种方法在应用中，学生需要先弄清题干所讲，然后将相应的图例绘制出来，通过纸上绘制简图，让学生明确题目中已知条件和未知条件的关联性，使得题干的意思更好的被学生所了解，而且，还能够将问题的突破口找出来，这样学生的思维将会被打开，方便了学生解决问题。

比如，在学习“圆”的知识内容中，图解辅助法就可以派上场，把学生思维打开，引导他们在图例中寻找圆的信息，让他们快速搜集和认识问题。

判断分数应用题中单位“1”的专项练习欧阳家百（2021.03.07）【基本原则】一、基本思路：分数的意义，“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫分数”。

所以单位1的判定，就是看把谁平均分了，就把谁看作单位1.谁的几分之几，谁就把谁看作单位1。

.如一桶油用去14，男生占全班的25，桃树棵数相当于梨树棵树的34，一台电视机降价15。

男生比女生多全班的18.把全班人数看作单位1。

.在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。

例如：六（2）班男生比女生多12。

理解为男生比女生多女生的12，所以把女生人数为标准，看作单位“1”，看在谁的基础上增加或减少，那个基础量就是单位“1”例如，水结成冰后体积增加了110，把水看作单位“1”，冰融化成水后，体积减少了112。

把冰看作单位“1”二、单位“1”的应用题：单位1的量×分率=分率对应量；分率对应量÷分率=单位1的量三、说明单位“1”在“是”、“比”、“占”，“相当于”后，分率前。

已知单位“1”用乘法，未知单位“1”用除法，用具体数÷对应分率=单位“1”的量。

【详细说明】正确找准单位“1”，是解答分数（百分数）应用题的关键。

每一道分数应用题中总是有关键句（含有分率的句子）。

如何从关键句中找准单位“1”，我觉得可以从以下这些方面进行考虑。

一、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。

例如我国人口约占世界人口的1/5，世界人口是总数，我国人口是部分数，所以，世界人口就是单位“1”。

再如，食堂买来100千克白菜，吃了2/5，吃了多少千克？在这里，食堂一共买来的白菜是总数，吃掉的是部分数，所以100千克白菜就是单位“1”。

解答这类分数应用题，只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。

二、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。

数学解题利器之方块图数学讲究的是严谨的逻辑思维，但形象思维能帮助孩子更容易理解数学定理和找到解题思路。

在小学数学中，在使用未知数和方程之前，线段图和方块图是一把解题利刃。

如果是涉及到加/减或者简单的倍数关系时，线段图能很好的帮助孩子理解题目，从而找到解题思路。

如果涉及到了乘/除，则使用方块图可以表达出题目的内容涉及到乘法的典型题目有:（1）被除数、除数、商的问题（2）行程问题（3）物品的单价、数量和总价问题下面以三个例题来演示方块图的解题方法（一）有个小马虎在计算一道除法算式时，把除数25看成了28，从而导致商比原来正确结果少了3，但是余数没有变化仍然是13，请问小马虎道题的被除数和商各是多少？被除数除÷除数=商……余数 => 被除数-余数=除数×商，除法是乘法的反运算，所以经过转换，就有了乘法，这个问题可以用方块图来帮助我们解题。

方块图的两边分别用来表示除数和商，面积则用来表示他们的积25 （ D A’B’如上图所示AD 表示原来的除数25，B ’C 表示看错后的除数28，所以A ’E=28-25=3CD 表示正确的商，CD ’表示除数看错后的商。

（1）由于看错后商比原来结果少了3，所以DD ’=3。

由于余数13不变，被除数不变，所以除数看错（变大）后导致商产生了变化（变小），在此题中，（被除数-13）=长方形ABCD 的面积=长方形A ‘B ’CD ‘的面积，长方形ABCD 和长方形A ‘B ’CD ‘有公共的区域EBCD ’，所以 长方形AEDD ’的面积=长方形A ’B ’BE ，从而25×3=3×CD ’=>CD’=25, 所以CD=CD ’+3=28，所以原来的商是28，原来的被除数是：25×28+13 = 25×4×7+13 = 100×7+13 = 713（二）甲乙两机器人同时、同地出发去同一目的地，甲的速度为28千米/时，乙的速度为25千米/时，途中甲机器人故障停了4小时，结果甲比乙迟到1小时到达目的地。

1.认识分数综合能力训练【能力点一】用画辅助线法解决分数意义问题例1仔细观察图形，说出图中的阴影部分占长方形的几分之一?分析要想知道阴影部分占长方形的几分之一，可以在原图上添加几条辅助线(如下图)，从图中可以看出把长方形平均分成了8份，阴影部分占其中的一份。

解答阴影部分占长方形的18。

总结可以先用添加辅助线的方法帮助理解，再看看阴影部分相当于把这个图形平均分成多少份当中的一份(或几份)。

【能力点二】用画直观图法解决表示分数问题例2仔细观察下图，想一想图中涂色部分可以用哪几个分数来表示?分析用分数表示涂色部分，也就是把这些图形看作一个整体，平均分成多少份，分母就是几，而涂色部分是其中的几份，分子就是几。

上图中共有16个○，可以每一个○都单独划分为1份，平均分成16份，其中涂色的占4份，用分数416表示(如图1)；也可以每2个O划分为1份，平均分成8份，其中涂色的占2份，用分数28表示(如图2)；还可以每4个○划分为1份，平均分成4份，其中涂色的占土份，用分数14表示(如图3)。

解答可以用416表示，或者用28表示，还可以用14表示。

总结分数最重要的就是平均分，平均分成多少份，分母就是多少；取其中的几份，分子就是几。

图1 图2 图31．（探究题）阴影部分分别占大正方形的几分之一。

2．（创新题）你能用三个不同的分数表示下面图形中的阴影部分吗？3．（潜能开发题）你能用分数表示下面各题的阴影部分吗?1．分析：要想知道阴影部分分别占大正方形的几分之一，图①很容易能看出来。

图②、③、④可以在原图上添加几条辅助线，从图中可以看出把正方形分别平均分成了4份、8份、16份，阴影部分占其中一份。

解答：图①阴影部分占大正方形的12，图②阴影部分占大正方形的14，图③阴影部分占大正方形的18，图④阴影部分占大正方形的116。

2．分析：用分数表示阴影部分，就是把这些图形看作一个整体，平均分成多少份，分母就是几；而阴影部分是其中的几份，分子就是几。

应用题中利用画图的策略，发展学生的数学思维作者：倪建毅来源：《天津教育·中》2022年第01期在小学数学应用题学习中，画图策略是一项学生必须重视并加以掌握的技巧。

一方面，小学生的想象力丰富、逻辑能力不足，利用画图可以将抽象的问题具体化、直观化，达到“四两拨千斤”的效果，帮助小学生真正解决较为困难的应用题;另一方面，数学本身就是一门与图形、图形密不可分的学科，在应用题中这一特点更是体现得淋漓尽致，很多应用题需要学生去画线段图、平面图、立体图、集合图、统计图，然后据此分析题目、理解数量关系、解决实际问题。

为了进一步发挥画图策略在应用题教学中的价值，教师应该从将知识化静为动、将知识化繁为简、实现数形结合、增强学生画图兴趣四个维度出发，让学生掌握画图这种策略，直观、正确地解决问题。

一、利用画图策略，将知识化静为动小学时期的学生正是汲取数学基础知识的起步阶段，他们善于观察，直观思维占据主要的地位。

小学阶段，随着数学学习的深入，越来越多的应用题会以纯文字形式呈现，这些问题在语言表述上言简意赅、逻辑性强，以至于直观思维占据主要地位的小学生经常读不懂题意，进而走进误区，即便最后解决了应用题，也走了很多弯路。

因而，在数学实际问题的教学时，教师要基于学生的形象直观思维特点建构数学理解活动的过程，促进学生的数学直观思维向抽象理性思维发展。

俗话说：“授人以鱼，不如授之以渔。

”教师不能只教学生如何解题，还要交给其解题的方法，这就需要引导学生在草稿纸上进行画图，利用示意图等形式将抽象的问题具象化，在画图中体会方法、学习逻辑，从而还原应用题的本来面目，让学生更容易地解读题目，把握其中的重点和难点。

例如，在教学“比……多（或少）”的数学实际问题时，有的学生往往会形成习惯性思维——“遇到了多就加，遇到了少就减。

”但是二者之间也是存在转化关系的。

例如，在教授“小灰兔有10只，小灰兔的只数比小白兔的只数少5只，那么小白兔有多少只呢？”首先，教师让学生对题目进行两遍阅读，而后找出已知条件：①小灰兔的只数是10只;②比小白兔少5只，问题：小白兔有多少只。

谈复杂分数应用题的八种解题方法
谭子山镇五塘完小蒋爱春
内容摘要：较复杂的分数应用题，题型广博，变化多端。

在教学中，我们应适应地教给学生一些解题方法，以拓宽思路，提高解题能力。

关键词：对应分率标准量假设推算不变量转化法消元法
一、从确定对应分率入手找出解题方法
分数应用题中有一个“量率对应”的明显特点，对一个单位“1”来说，每个分率都对应着一个具体的数量，而每一个具体的数量，也同样对应着一个分率，因此，正确地确定“量率对应”是解题的关键。

我们要引导学生学会和掌握“明确对应，找准对应分率”的解题方法。

例：某修路队修一条公路，第一天修了全程1/2，第二天修了全程的1/6，还剩360千米没修，这条公路共有多少千米？
把这条公路看作单位“1”，要求这条公路共有多少千米，就要求出剩下的360千米的对应分率。

根据已知条件，第一、二天修了全程的(1/12+1/6)，还剩下360千米的对应分率是(1―1/12―1/16)，求这条公路共有多少千米，就是已知单位“1”的(1―1/12―1/16)是360千米，求单位“1”。

于是列式为：360÷(1―1/12―1/16)=480(千米)
二、通过逆推找出解题方法
有些分数应用题，如果按从始至终的先后顺序去分析，很难达到解决问题的目的，甚至陷入绝境。

不妨“反过来想一想”进行逆推，便容易打开思路，顺利解题。

195教育视窗2020年第8期高中数学课堂是重要的科学之一，其在教学上的重要性不言而喻，是高考必考的科目之一。

高中数学教学方式的创新和改革是教学中重要发展内容，在传统教学中，很多学生对高中数学存在力不从心感受，对数、图、形基本是一篇模糊，而图形计算则是数学教学利器，可以非常巧妙有效解决这一困难问题。

图形计算器应用于数学教学中是数学教学中的新形式，可以将数学中的一些函数绘制图像、方程组等进行准确计算，而且功能非常强大，所含括的范围比较广，在图形计算器上可以同时显示多行文本的功能。

另外图形计算器还具备符号代数、几何操作以及数据分析系统等，能将各个图形更直观绘制出来，是数学学习的重要工具。

本人认为图形计算器是高中数学教学的利器，主要是图形计算器具有小巧便捷的特点，利于数学课堂上的应用开展，助推数学进一步发展，为数学教学提供了更大工具性支持。

1 图形计算器的功能及特点1.1 图形计算器的功能数学课堂教学中图形计算器提供一种更直观的教学手段和研究环境，尤其是数学符号上，可以更直观、准确的借助图形计算的基本功能。

图形计算器可以快速进行数学的实践和应用，提高教学研究的效率。

图形计算器主要功能体现在其的数值预算、作图、统计、金融、程序、计算应用等多种功能。

在数学课堂上，还可以提供更直观的教学研究，引导学生能更深入理解数学的一些结论、定义或是法则，理解到数学知识的本质内容，并不断给学生创设更好自主学习的教学环境，通过自主学习合作探究，获取更多的知识和运用能力。

1.2 图形计算器的特点图形计算器在数学中的应用具有几个特点。

（1）便携性：图形计算器是针对数理研究学习的工具，其本身的就特点就需要够方便、体积不大，这样携带起来比较便捷。

数学教学可以作为课堂的必备教材工具之一，可以在课堂上随时体验它的价值和意义。

（2）网络性：可以通过端口连接，可以展示计算器之间的数据交互特点，利于数据的整合运用。

（3）专业性：图形计算器是针对数理应用的新型技术产物，可以通过收集、分析、分类进行各个学科研究，比如数学、物理、化学、生物等的研究，更显其专业的特性。

活用八种思维导图解决复杂问题根据不同情况选择思维导图帮助孩子发展思维能力:一、圆圈图，提升联想发散能力：圆圈图可以帮助我们联想并记录我们在头脑风暴中想出来的各种灵感和点子。

经常使用圆圈图，可以帮助我们打开思路，扩展思维，让我们在想问题时思考得更加全面。

圆圈图是八个思维工具中的基础工具，它可以和其他思维工具结合使用。

圆圈图的基本画法1.在纸的中间画一个小圆，在小圆外面画一个大圆，大圆和小圆之间留出一定的空间。

2.将用来联想的中心词写在小圆内，也可以在小圆内画图。

3.将由中心词联想得到的关键词写在两圆之间，建议图文结合。

【注意】联想到的关键词要尽量涵盖多个不同的角度关键词要尽量精练在有意义的联想价值的前提下，联想到的关键词越多越好适当画图可以更好地促进联想。

【关于画圆圈图的几个建议】1.先联想具体事物，再联想抽象事物除了联想具体事物，我们也可以练习联想一些抽象事物，比如我们可以一起对“幸福”展开联想。

你可以想一想，提起“幸福”，你能想到什么人？什么东西让你感到幸福？你经历过或者听说过关于幸福的哪些事情？幸福能让你想到什么颜色？幸福是一种什么样的感觉……2.反向推导练习圆圈图的基本用法是基于一个中心词展开联想，但其实我们也可以反过来练习，即通过看大圆和小圆中间的内容，来猜中心词是什么，这样做可以锻炼我们的归纳能力。

观察下方的圆圈图，你能猜到中心词是什么吗？对了，就是交通工具！这样的练习就叫“反向推导”。

3.发挥想象力在画圆圈图时，我们可以充分发挥自己的想象力，通过图像的刺激，联想出更多内容。

二、气泡图，提升描述表达能力气泡图可以帮助我们对某个事物进行深度了解，让我们对事物的认识更加全面。

经常使用气泡图进行描述，可以非常有效地锻炼我们对事物的观察能力，以及对事物基本特征的提炼能力和对事物关键特征的抓取能力。

【气泡图的基本画法】1.在纸的中间画一个圆，在圆内写上中心词。

2.在这个圆的周围再画出一个个小圆，并用直线连接，在这些小圆里写上描述性词。

小学数学高效得分解题法！家长替孩子收藏！01小学数学到底学什么学过数学的人都知道，思维方式的运用在学习数学这一科目上的重要性，小学阶段的数学主要培养的是孩子的逻辑思维能力，是从形象思维逐步过度到抽象思维的过程，如果在小学阶段没有将基础打牢，那么等孩子上初中后面对更复杂的学习内容，就会变得更吃力。

可以这样说，审题是对题目进行初步的感知，特别是应用题，而理解题意这个环节，决定你考了问题的角度，确定你考虑问题的方法，因此，这是做题中的重要环节。

小学数学“画图”解题立竿见影根据审题的内容画图，把该题的条件、问题在图上表明，借助线段图或实物图把抽象的数学问题具体化，还原本来的面目，从而找到解决问题的方法，从图中一下子就可以找到答案，而且通过画图也能很快找到自己的错误。

很多小学生做应用题，就知道看题目，草稿纸也不用，紧盯着啊看啊......能看出花来？光看题，又不是看小说。

借助画图帮助孩子理解题意，是至关重要的一步借助画图解题，它是孩子打开解决问题大门的一把“金钥匙”，很多问题都可以很快速的求解，比如几何问题、路程问题，如果光靠想是很难想出答案的画图就一目了然，下面我们举几个栗子来看看。

02平面图对于题目中条件比较抽象、不易直接根据所学知识写出答案的问题，可以借助画平面图帮助思考解题。

如，有两个自然数A和B，如果把A增加12，B不变，积就增加72；如果A不变，B增加12，积就增加120，求原来两数的积。

根据题目的条件比较抽象的特点，不妨借用长方形图，把条件转化为因数与积的关系。

先画一个长方形，长表示A，宽表示B，这个长方形的面积就是原来两数的积。

如图（l）所示。

根据条件把A增加12，则长延长12，B不变即宽不变，如图（2）；同样A不变即长不变，B 增加12，则宽延长12，如图（3）。

从图中不难找出：原长方形的长（A）是120÷12＝10原长方形的宽（B）是72÷12＝6则两数的积为10×6＝60借助长方形图，弄清了题中的条件，找到了解题的关键。

分数的butterfly method
分数的butterflymethod是一种计算分数加减乘除的方法。

它类似于小学时学习的'竖式计算'，但更加简便和高效。

首先，将两个分数的分子和分母分别写在两个竖列中，中间用'+'或'-'或'×'或'÷'连接起来。

然后，将两个竖列对齐，如下图所示： a/b + c/d
a/b - c/d
a/b × c/d
a/b ÷ c/d
接下来，将分数相乘或相除的结果计算出来，写在竖式下的中间一行。

例如，如果是相乘，就将a×c写在分子上，b×d写在分母上；如果是相除，就将a×d写在分子上，b×c写在分母上。

最后，将中间一行的结果约分化简，即可得到最终答案。

如果是加减法，则需要将两个分数的分母通分，然后按照通分后的分子相加或相减，得到的结果同样需要约分。

分数的butterfly method可以帮助我们快速、准确地计算分数加减乘除，尤其是对于较大的分数计算更为实用。

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