渐开线齿轮几何参数学习总结
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渐开线齿轮几何参数学习总结
一．渐开线
1.1 渐开线的形成
一条动直线（发生线）沿着一个固定圆（基圆）作纯滚动时，和该动直线固连点的轨迹线称渐开线。由图一可知，固连点在动直线上的位置可分为A，B，C三种情况。A点的轨迹线称缩短渐开线；C点的渐开线称延伸渐开线；若C点与基圆圆心重合，则延伸渐开线演变成了阿基米德螺旋线；B点的轨迹线称圆的渐开线，简称渐开线。三种渐开线总称广义渐开线。
ABC发生线基圆 图一 基圆的形成
现在工业上常用的渐开线齿轮齿形是圆的渐开线。如未特别说明，下面提到的渐开线均指此类渐开线。
1.2 与渐开线有关的各种名称
（1） 基圆—直线在其上滚动的定圆称为渐开线的基圆。基圆的半径与直径分别用br，bd表示。
（2） 发生线—沿基圆作纯滚动的直线称为渐开线的发生线
（3） 压力角—渐开线齿形上任意一点K的受力方向线与速度方向线之间的夹角称为K点的压力角
（4） 渐开角—渐开线上任意一点K的向量半径与渐开线的起点的向量半径之间的夹角
1.3 渐开线的性质
（1） 发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度。即：
⌒ANKN （2） 渐开线上任一点的法线一定是基圆的切线。
（3） 同一基圆所生成的任意两条反向渐开线间的公法线处处相等。
（4） 发生线与基圆的切点N是渐开线K点曲率中心，而发生线NK是渐开线上K点的曲率半径。渐开线离基圆越圆的部分，其曲率越小，即渐开线越平直，渐开线越靠近基圆，其曲率越大，即渐开线越弯曲，曲率半径越小。
（5） 渐开线的形状与基圆大小有关。基圆半径相等则渐开线完全相同，基圆半径越小，则渐开线越弯曲，基圆半径越大，则渐开线越平直，基圆半径为无穷大时，则渐开线变为一条直线。
（6） 基圆内无渐开线。
A1A2B1B2N1N212 图二 渐开线的公法线
1.4 渐开线的方程
(1) 渐开线的极坐标方程
kkkinvkkbrktancosr
（2）渐开线的直角坐标方程 coscoscossinxbrkinvybr
图三
1.5 基于MATLAB的渐开线齿轮齿廓建模
（1）程序流程图： 输入ra,m,z,x,alpha将每个齿形视为三部分求出每部分极角范围采用极坐标分别绘制每段齿形采用循环绘制Z个齿
（2）源程序
function y=getinvolute(ra,m,z,x,alpha)
rb=m*z*cosd(alpha)/2;
for theta=0:0.1:2*pi
polar(theta,rb);
end
hold on
alpha1=acos(rb/ra);
theta1=tan(alpha1)-alpha1;
for i=0:z
for alpha2=0:0.01:alpha1
theta2=tan(alpha2)-alpha2;
rx=rb/cos(alpha2);
polar(theta2+2*i*pi/z,rx);
end
end
hold on
faib=(pi+4*x*tand(alpha))/z+2*(tand(alpha)-alpha/180*pi);
x1=ra*cos(theta1);
y1=ra*sin(theta1); x2=ra*cos(faib-theta1);
y2=ra*sin(faib-theta1);
k=(y2-y1)/(x2-x1);
b=y1-k*x1;
for i=0:z
for theta3=theta1:0.001:(faib-theta1)
rzx=b/(sin(theta3)-k*cos(theta3));
polar(theta3+2*i*pi/z,rzx);
hold on
end
end
for i=0:z
for alpha4=0:0.01:alpha1
theta4=faib-(tan(alpha4)-alpha4);
rx2=rb/cos(alpha4);
polar(theta4+2*i*pi/z,rx2);
end
end
hold on
axis tight
end
（3）渐开线生成实例
利用程序绘制的齿数为20，齿顶圆半径为22，模数为2，变位系数为0，压力角为20的齿轮齿廓曲线如下：
二．渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数及几何计算 2.1 齿轮的基本参数
齿轮的基本参数为：齿数Z，模数m,压力角α，齿顶高系数ah，径向间隙系数c，根据上述基本参数可推算出齿轮的几何尺寸。
（1）齿数Z
齿数Z即齿轮齿的数目，它是根据齿轮传动的转速比要求选定的。
（2）模数m
模数m是齿轮尺寸计算的一个主要参数。对于齿数相同的齿轮，若模数越大，则轮齿及齿间的尺寸相应加大。需要注意的是，齿轮模数已经标准化。
（3）压力角α
渐开线齿廓上各点的压力角是不等的，通常所说的压力角是指齿轮分度圆上的压力角α。压力角的大小对齿轮的轮齿强度及传动力的大小均有影响。
2.2 啮合齿轮副相关参数
（1）啮合线
一对齿廓啮合时，两齿廓啮合接触点的轨迹称作啮合线。还要明确的是，当一对齿廓啮合时，两齿廓啮合点的实际轨迹—实际啮合段。
（2）节圆和啮合角
啮合线和两轮中心连线的交点称为节点P，通过节点P，分别以两齿轮的中心与P的连线为半径所作的圆称作节圆。节圆实际上就是啮合过程中作纯滚动的圆。节圆是在啮合传动时存在的，对于单个齿轮，并不存在节圆仅有分度圆。
2.3 渐开线变位齿轮的原理及参数
（1）变位齿轮原理
用范成法加工齿轮，齿条刀具的中线和齿坯的分度圆相切时，加工出来的齿轮称为标准齿轮，若其它条件不变，仅使齿坯的分度圆不再与刀具的中线相切（变成分离或相交），这样加工出来的齿轮称为变位齿轮。
刀具中线与齿坯分度圆切线的距离称为变位量，其值用xm表示，x为变位系数，变位系数即变位量与模数的比值。
刀具中线移远齿轮坯中心，即齿条刀具中线与被加工齿轮的分度圆分离时，称正变位，x为正值，所切出来的齿轮为正变位齿轮。对于正变位齿轮来说，由于模数m,齿数Z与标准齿轮一样，所以其分度圆（mZd）不变。切齿时，节线仍与分度圆相切作纯滚动，这样，节圆就是分度圆，所以分度圆的压力角仍为20。但正变位齿轮的分度圆齿厚s增大，齿间减小，齿根变宽，齿顶变窄。另外，由于刀具在变位后，节线到齿顶的高度减小，所以被切齿轮的齿根高也就减小，这种正变位齿轮的根圆半径增大了。当然，此时的齿顶高要比标准齿轮的齿顶高增大一些，其外径也比标准齿轮的外径大一些。刀具中线移近齿轮坯中心时，即齿条刀具中线与被加工齿轮的分度圆相交时，称为负变位，x为负值，所切出来的齿轮为负变位齿轮。它与正变位齿轮的情况正好相反，分度圆齿厚减小，齿间增大，齿根变窄，齿顶变宽，由于刀具节线到齿顶的高度加大，故被切齿轮齿根高增大，齿轮根圆半径减小，而齿顶高要比标准齿顶高减小一些，其外径也比标准齿轮外径小一些。
变位齿轮与标准齿轮比较示意图
（2）变位齿轮传动的类型
根据两个相互啮合的变位齿轮的变位系数之和，变位齿轮传动可分为下列两个类型，高度变位齿轮传动和角度变位齿轮传动。
高度变位齿轮传动：其变位系数和为021xxx，即21xx，又称等移距变位，采用高度变位的主要目的在于：避免根切，减小机构的主要尺寸和重量，改善齿轮副的磨损情况，以及提高其承载能力。
由于啮合副中的小齿轮采用正变位（01x），当其齿数比12/zzu的值一定时，可以使小齿轮的齿数min1zz而不产生根切现象，从而可以减小齿轮的外形尺寸和重量。同时由于小齿轮采用正变位，其齿根厚度增大，齿根的最大滑动率减小，故可改善磨损情况和提高承载能力。
采用高度变位虽可改善行星齿轮传动的性能，但有一定的限度，故在行星齿轮传动中较为广泛的采用的是角变位传动。
角度变位齿轮传动：角度变位齿轮传动或称不等移距齿轮传动，其变位系数和021xxx。当0x时，称为正传动，当0x时，称为负传动，采用较多的是正传动。
采用角度变位正传动的目的在于：凑中心距，避免齿轮根切，减小齿轮机构尺寸，减少齿面磨损，提高承载能力，还有避免干涉等。
由于采用正变位可以使齿轮副中的小齿轮齿数min1zz而不产生根切，从而可使机构的尺寸减小，由于啮合齿轮副中的两齿轮均可采用正变位，即01x，02x，从而增大其啮合角和轮齿齿根厚度，这样可改善其耐磨性，提高其承载能力。此外，只要适当选取变位系数，可获得齿轮副的不同啮合角，从而配凑它们的中心距。
2.4 内啮合齿轮传动
内啮合齿轮传动是一个内齿轮与一个外齿轮进行啮合传动，标准内啮合齿轮传动的外齿轮的尺寸计算与计算外啮合齿轮传动的齿轮一样，而内齿轮有些不同，变位内啮合齿轮传动，不仅内齿轮尺寸计算不同，外齿轮的尺寸计算也与外啮合齿轮传动的齿轮尺寸计算不同。
（1）标准直齿内齿轮
标准直齿内齿轮的几何尺寸参数，与标准外齿轮相比较，有以下几个不同点：
1.内齿轮的齿厚相当于外齿轮的齿间，而其齿间相当于外齿轮的齿厚，所以内齿轮的轮齿形状与具有相同参数（m,α,Z）的外齿轮的齿槽形状一样，而其齿槽相状与该外齿轮的轮齿形状一样。
2.内齿轮的齿顶圆和齿根圆的位置与外齿轮相反，齿顶圆半径2ar小于齿根圆半径2fr。
3.为了保证在齿顶高范围内的齿廓曲线全部为渐开线，内齿轮的齿顶圆必须大于基圆。否则，由于基圆内无渐开线，将造成齿顶部分有一段为非渐开线齿廓，这就不能保证正确啮合传动。为此应使：22barr或cos22rhraa
cos1*222*2)cos1(22cos22*222ahZmahmZmZmahmZ
（2）内啮合齿轮传动的特点
1.内啮合齿轮传动时，小齿轮放在内齿轮里面，所以两轮中心1O及2O均在啮合节点P的同侧，两轮中心距为：
