高中数学 第三章 直线与方程习题课学案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学学案

第三章 直线与方程习题课

目标定位 1.了解直线和直线方程之间的对应关系.2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式，能根据条件熟练地求出直线的方程.3.能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式转化为一般式，知道这几种形式的直线方程的局限性.

1.经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为( )

A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6

解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.

答案 B

2.直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )

A.－2 B.2 C.－3 D.3

解析 由已知得m2－4≠0，且2m2－5m＋2m2－4＝1，

解得：m＝3或m＝2(舍去).

答案 D

3.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则( )

A.C＝0，B>0 B.A>0，B>0，C＝0

C.AB<0，C＝0 D.AB>0，C＝0

解析 通过直线的斜率和截距进行判断.

答案 D

4.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于( )

A.－3 B.3 C.13 D.－13

解析 由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－13.

答案 D

5.已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为( )

A.－6 B.6 C.－45 D.45

解析 直线2x＋3y＋5＝0的斜率为k＝－23，则a≠0，直线(a－2)x＋ay－1＝0的斜率为k1＝－a－2a，∴－a－2a＝－23，解得a＝6.

答案 B

6.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________.

解析 当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；

当a≠－1时，直线l的斜率为－aa＋1，只要－aa＋1>1或者－aa＋1<0即可，

解得－10.

综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞).

答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)

题型一 由含参一般式方程求参数的值或取值范围

【例1】 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________.

(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.

①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.

(1)解析 若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.

解方程组m2＋5m＋6＝0，m2＋3m＝0，得m＝－3.

所以m≠－3时，方程表示一条直线.

答案 m≠－3

(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，

所以此直线的斜率是1，所以－2m2＋m－3m2－m＝1，

所以m2－m≠0，2m2＋m－3＝－（m2－m），

解得m≠0且m≠1，m＝－1或m＝1.所以m＝－1.

②因为已知直线在x轴上的截距为1，

令y＝0得x＝4m－12m2＋m－3，所以4m－12m2＋m－3＝1， 所以2m2＋m－3≠0，4m－1＝2m2＋m－3，解得m≠1且m≠－32，m＝－12或m＝2.

所以m＝－12或m＝2.

规律方法 已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤

【训练1】 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围.

(1)证明 直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1，

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).

(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，解之得k＞0；

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.

故k的取值范围为{k|k≥0}.

题型二 利用直线系方程求直线方程

【例2】 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′方程，

(1)过点(－1，3)，且与l平行；

(2)过点(－1，3)，且与l垂直. 解 法一 由题设l的方程可化为y＝－34x＋3，∴l的斜率为－34.

(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－34.

又∵l′过(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－34(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.

(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为43，

又过(－1，3)，由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)，

即4x－3y＋13＝0.

法二 (1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.

将点(－1，3)代入上式得m＝－9.

∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.

(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.

将(－1，3)代入上式得n＝13.

∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.

规律方法 一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧.

【训练2】 已知A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0.

求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；

(2)过点A和直线l垂直的直线方程.

解 (1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，

又过点A(2，2)，

所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.

所求直线方程为3x＋4y－14＝0.

(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，

又过点A(2，2)，

所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，

所以直线方程为4x－3y－2＝0.

题型三 直线的平行与垂直问题 【例3】 a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.

(1)平行；(2)垂直.

解 当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；

当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝－1＋a2，b1＝2；

直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝1a，b2＝－1a.

(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，

得1a＝－1＋a2，a≠－12，解得a＝－1或a＝2.

(2)当两直线垂直时，(a－1)×1＋(－2)×(－a)＝0，解得a＝13.

规律方法 1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法

(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合.

(2)可直接采用如下方法：

一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.

这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.

2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法

(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.

(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

第二种方法可避免讨论，减小失误.

【训练3】 (1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.

(2)已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a为( )

A.－1 B.1 C.±1 D.－32

(1)解 法一 ∵l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0，∴当m＝0时，显然l1不平行于l2. 当m≠0时，若l1∥l2，则有2m＝m＋13≠4－2，即m2＋m－6＝0.

解得m＝2或m＝－3.显然m＝2或m＝－3符合条件.

法二 若l1∥l2，则2×3－m(m＋1)＝0，

解得m＝2或m＝－3.当m＝2或m＝－3时，

(m＋1)×(－2)－3×4＝－2m－14≠0，

∴m＝2或m＝－3为所求.

(2)解析 ∵两直线垂直，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.

答案 C

[课堂小结]

1.直线方程五种形式的比较

名称 方程 常数的几何意义 适用条件

点斜式 一般情况 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴

斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴

两点式 一般情况 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴

截距式 xa＋yb＝1 a，b分别是直线在x轴、y轴上的两个非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点

一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B为系数 任何情况

特殊直线 x＝a(y轴：x＝0) 垂直于x轴且过点(a，0) 斜率不存在

y＝b(x轴：y＝0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0

2.关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意：

(1)直线斜率往往是求直线的关键，若不能断定直线有无斜率，必须分两种情况讨论；

(2)在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离”；

(3)当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点