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初中实数性质知识点总结一、实数的基本性质1. 实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，无理数是不能表示为有理数的数。
2. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数包括整数、分数以及可以表示为分数的小数，无理数包括无穷不循环小数和无穷循环小数。
3. 实数的有序性：实数集合中的任意两个数都可以进行大小比较，即两个实数之间存在大小关系，这就是实数的有序性。
4. 实数的稠密性：实数集合中任意两个不相等的实数之间一定存在一个实数，这就是实数的稠密性。
5. 实数的无后继性和无穷性：任意一个实数都有比它大的实数，实数集合是无穷的。
6. 实数的运算封闭性：实数集合中任意两个实数进行加、减、乘、除运算的结果仍然是一个实数。
7. 实数的运算性质：实数集合中的运算满足交换律、结合律、分配律等。
二、实数的代数性质1. 实数的加法性质：（1）交换律：对于任意实数a和b，有a+b=b+a；（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)；（3）加法单位元：对于任意实数a，有a+0=a；（4）加法逆元：对于任意实数a，有a+(-a)=0。
2. 实数的减法性质：减法可以看成加上一个数的相反数，所以减法的性质和加法的性质相同。
3. 实数的乘法性质：（1）交换律：对于任意实数a和b，有a×b=b×a；（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a×b)×c=a×(b×c)；（3）乘法单位元：对于任意实数a，有a×1=a；（4）乘法逆元：对于任意非零实数a，有a×(1/a)=1。
4. 实数的除法性质：（1）除法分配律：对于任意实数a、b和c，有a÷(b+c)=a÷b+a÷c；（2）除法与乘法结合：对于任意实数a、b和c，有a÷(b×c)=a÷b÷c。
数学中的实数与复数在数学中，实数和复数是两个重要的数学概念。
它们具有不同的性质和表示方式，对于数学研究和实际应用具有极大的意义。
本文将介绍实数和复数的定义、性质以及在数学和科学领域的应用。
一、实数的定义和性质实数是最基本也是最常见的数。
简单来说，实数是可以用于测量和计算的数，包括正数、负数和零。
实数可以用有理数和无理数来表示。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数等。
而无理数无法表示为整数的比值，如根号2、圆周率π等。
实数的性质包括封闭性、比较性和连续性等。
实数的封闭性指的是实数进行加、减、乘、除运算的结果仍然是实数。
比较性是指实数之间可以进行大小比较，满足大小关系的传递性、反对称性和完备性等。
实数的连续性是指实数可以填满数轴上的任意两个实数之间的间隙，不存在跳跃或间断的情况。
二、复数的定义和性质复数是由实部和虚部组成的数，形如a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i表示虚数单位，满足i²=-1。
复数有两种表示方式，一种是代数形式，即a+bi；另一种是三角形式，即r(cosθ + isinθ)。
复数的性质包括加法性、乘法性、除法性和共轭性等。
复数的加法性和乘法性分别满足交换律、结合律和分配律。
复数的除法性表示复数相除可以通过将分子和分母同时乘以分母的共轭来实现，以消除分母的虚部。
复数的共轭性是指复数的共轭是将虚部取负得到的数，即a-bi为a+bi的共轭。
三、实数和复数的应用实数和复数在数学和科学领域有广泛的应用。
实数广泛应用于几何、代数、概率与统计等领域，如解方程、函数图像的绘制和数学推理。
复数在电气工程、物理学等领域也有重要应用。
电气工程中，复数可用于描述交流电流和电压的振幅和相位差；物理学中，复数可用于描述波动和量子力学等现象。
总结：实数和复数作为数学中的两个重要概念，在数学理论和实际应用中都发挥着重要作用。
实数是最基本的数，包括有理数和无理数，具有封闭性、比较性和连续性等性质。
数学实数知识点总结归纳一、实数的基本概念1．有理数有理数包括整数、分数和负数。
整数包括自然数和零，是没有小数部分的数；分数是一个整数除以另一个整数得到的数，可以用分数形式表示；负数是小于零的数，可以表示为“-”加上一个正数。
2．无理数无理数是不能表示为有理数的数，如根号2、圆周率π等。
这些数不能用有限小数表示，并且不能被表示为两个整数的比例。
3．实数的表示实数可以用小数表示，包括有限小数和无限循环小数。
有限小数是小数部分有限位数的实数，可以用有限位数的小数表示；无限循环小数是小数部分无限位数的实数，可以用循环小数形式表示。
二、实数的运算1．加法和减法实数的加法和减法规则和有理数的运算规则相同，即同号相加、异号相减。
加法和减法的结果仍然是实数。
2．乘法和除法实数的乘法和除法规则和有理数的运算规则相同，即同号相乘得正数，异号相乘得负数。
乘法和除法的结果仍然是实数。
3．乘方和开方实数的乘方和开方是实数的特殊运算，乘方是指一个数自身相乘若干次，开方是指一个数的平方根。
乘方和开方的结果仍然是实数。
三、实数的性质1．实数的代数性质实数包括有理数和无理数，它们满足代数运算的基本性质，如交换律、结合律、分配律等。
2．实数的比较性质实数可以进行大小比较，满足大小比较的基本性质，如传递性、反对称性、三角不等式等。
3．实数的稠密性质实数满足稠密性质，即在任意两个不相等的实数之间，都可以找到一个实数。
四、实数的应用1．实数在数学中的应用实数在数学中的应用非常广泛，涉及到各种数学问题和计算中，如代数、几何、概率、统计等。
2．实数在物理中的应用实数在物理中的应用也非常广泛，涉及到各种物理问题和计算中，如力学、热力学、光学、电磁学等。
3．实数在工程中的应用实数在工程中的应用也非常广泛，涉及到各种工程问题和计算中，如土木工程、机械工程、电子工程、通信工程等。
总之，实数是数学中的一个重要概念，包括有理数和无理数两个部分。
实数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，掌握实数的相关知识对于提高数学水平和解决实际问题是非常重要的。
数学关于实数知识点总结实数是数学中一个重要的概念，无论是在代数，几何，微积分等数学分支中都有着非常重要的作用。
实数的概念是代数学中一个非常重要的概念，实数不仅是计算的基础，还是计算机科学中很重要的概念。
实数的基本概念与定义：实数的基本概念包括有理数和无理数。
有理数是可以表示成两个整数的比值的数，也就是可以写成分数形式的数。
有理数包括所有整数、正整数、负整数和0，还包括所有的分数。
无理数是指不能写成有理数的形式的数，即不能写成 a/b（其中 a、b 是整数），如、和2。
实数是有理数和无理数的统称，即所有的有理数加上所有的无理数。
实数概念历史：实数的概念起源于古代希腊。
在古代希腊，《几何原本》中提出了更为应用的实数的概念。
在这本著作中，欧几里得提出了实数的概念以及有理数与无理数的性质，从而奠定了实数的基本概念和定义。
实数的性质：实数有很多基本性质，包括交换律、结合律、分配律等。
实数还有很多特性，例如连续性，稠密性，有界性等。
下面来详细介绍一些实数的性质。
1. 有限性：实数集合中包括有限数和无限数，有限数是指可以用有限位数来表示的数字，而无限数是无限长的数字。
2. 连续性：实数的连续性指的是实数集合中没有间隙，任何两个实数之间都可以找到有限个实数。
3. 稠密性：实数的稠密性指的是在实数集合中，任意两个不相等的实数之间都可以找到其他无限多个实数。
4. 有界性：实数的有界性指的是实数集合中有界数，即存在某个实数，使得实数集合中的每一个实数都不大于这个数，也不小于这个数。
实数运算：实数是可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算的。
实数的运算是数学中的基本运算，实数包括有理数和无理数。
下面介绍一些实数的运算性质。
1. 加法：实数的加法是指两个实数之间的加法运算，即把两个实数相加得到一个新的实数。
2. 减法：实数的减法是指两个实数之间的减法运算，即把一个实数减去另一个实数得到一个新的实数。
3. 乘法：实数的乘法是指两个实数之间的乘法运算，即把两个实数相乘得到一个新的实数。
实数知识点一：无理数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；3、判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．4等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．二、知识点+例题+练习一、无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】0；3227；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为02273π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．【变式训练1-1】在，–2018，π这四个数中，无理数是A ．B ．–2018CD ．Π【答案】D1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2、实数的分类： （1）实数按定义分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数( 2 )按正负分类：227227例题精讲二、实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．【例1】在5π131401232，，，.，，----中，其中__________是整数，__________是无理数，__________是有理数.【答案】01-；π5131401322，，；，，.，---- 【例2】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|负数集合｛ …｝；分数集合｛…｝；非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5| 分数集合｛122-，3.2…｝； 非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝；无理数集合｛0.01001001…，【变式训练2-1】判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ）（5）若x =x =（ ）【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【变式训练2-2】下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【答案】D【变式训练2-3】下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【答案】A【变式训练2-4】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、12、7.0、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝．【答案】（1）－1 3.14-、12、7.0、0（2-、（3）－10；（4、π、127.0 ；（5）－1、 3.14-、（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．一、相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例1的相反数是A ．BC ．D 【答案】A【解析】根据相反数的定义可知：2的相反数是2-，故选A ． 【例2】3-π的绝对值是 A ．3-π B ．π-3 C ．3 D ．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．【例3】 A ．相反数 B ．倒数 C ．绝对值 D ．算术平方根【答案】A【解析】A ．【变式训练3-1的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【答案】【变式训练3-2】3.141π-＝______；=-|2332|______．【答案】-3.141π；【变式训练3-3】若||x =x ＝______；若||1x ，则x ＝______．【答案】1或11 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点． 2、两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．【例1】如图，数轴上点P 表示的数可能是AB ．C ．–3.2D ．【答案】B≈2.65 3.16，设点P 表示的实数为x ，由数轴可知，–3<x <–2，∴符合题意的数为．故选B ．【例2】和数轴上的点成一一对应关系的数是A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D ．【例3】已知实数m 、n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A ．m <0B ．n ＞0C ．n ＞mD ．n <m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m <0<n ，所以m <0，n ＞0，n ＞m 都正确，即选项A ，B ，C 判断正确，选项D 判断错误．故选D ．【变式训练4-1】已知数轴上A 、B 两点表示的数分别为–3A 、B 间的距离为__________． 【解析】A 、B 两点表示的数分别为–3和A 、B 间的距离为3），故答案为：．【变式训练4-2】如图，点A 、B 、C 在数轴上，O 为原点，且BO ：OC ：CA =2：1：5． （1）如果点C 表示的数是x ，请直接写出点A 、B 表示的数； （2）如果点A 表示的数比点C 表示的数两倍还大4，求线段AB 的长．【解析】（1）∵BO ：OC ：CA =2：1：5，点C 表示的数是x ， ∴点A 、B 表示的数分别为：6x ，–2x ；（2）设点C 表示的数是y ，则点A 表示的数为6y ， 由题意得，6y =2y +4， 解得：y =1，∴点C 表示的数是1，点A 表示的数是6，点B 表示的数是–2， ∴AB =8． 二、比较大小【例4】 ） A ．7～8之间 B ．8.0～8.5之间 C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【答案】C【例5】 实数2.6 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6<【答案】B【变式训练4-3】一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ） A ．4～5cm 之间 B ．5～6cm 之间 C ．6～7cm 之间 D ．7～8cm 之间【答案】A【变式训练4-4】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， ，34-，【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 【例1】计算下列各式：（1）221．【解析】（1=-．（2）原式21=1=．【变式训练5-1】计算题（1）32716949+- （2） 233)32(1000216-++【解析】（1）32716949+-71333=-+=-； （2）233)32(1000216-++226101633=++=． 【答案】（1）3-；（2）2163．1．在下列实数中，属于无理数的是 A ．0BC ．3D ．2．在每两个1之间依次多一个中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3的值在 A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间4．下列四个数中，最小的一个数是 A ．5的绝对值是A ．3B ．6．下列说法中，正确的个数有 ①不带根号的数都是有理数； ②无限小数都是无理数；③任何实数都可以进行开立方运算；1313.140.231.131331333133331(3π-，，，，……3)B 3-．C -．D π-．3-1C 3．1D 3-．④不是分数． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．下列各组数中互为相反数的一组是 A ．-|-2|B ．-4与C ．与D ．8．如图，数轴上点P 表示的数可能是AB．C ． 3.4-D．92-的相反数是__________，绝对值是__________． 10．计算：+-=__________．11__________． 12=__________（=__________． 13．把下列各数填入相应的集合内：4230.15，-7.5，-π，0，23.． ①有理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④负实数集合：｛…｝．14．已知：x 是|-3|的相反数，y 是-2的绝对值，求2x 2-y 2的值．515．已知ab的小数部分，|c，求a -b +c 的值．16．已知5的小数部分分别是a 、b，则（a +b ）（a–b ）=__________．17．6的整数部分是a ，小数部分是b ．（1）a =__________，b=__________．（2）求3a –b 的值．18．如图，点A ，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B 所表示的数为n ．（1）求n的值；（2）求|n +1|+（n –2）的值．答案：1．【答案】B【解析】0、3、是无理数．故选B ． 2．【答案】C【解析】，π，1.131331333133331……（每两个1之间依次多一个3）是无理数，故选C ． 3．【答案】B【解析】∵<2的值在：1和2之间．故选B ．4．【答案】D【解析】∵7<8<9<π2，3<π，∴＞–π，∴最小的一个数是–π．故选D ． 13<<3--5．【答案】A．–3的绝对值是3．故选A．6．【答案】C【解析】①不带根号的数不一定是有理数，如π，错误；②无限不循环小数是无理数，错误；③任何实数都可以进行开立方运算，正确；不是分数，正确；故选C．8．【答案】B【解析】由图可知，P点表示的数在之间，故选B．9．【答案】22；--2-的相反数是2-，绝对值是2-，故答案为：22；--10．【答案】【解析】(35+-=+-，故答案为．11．【答案】【解析】它们互为相反数，分别是故答案为：121）3（1-13-1．3=-13．【解析】有理数集合：｛4，230.15，-7.5，0，23.…｝；，π-…｝；4，230.15，23.…｝； ④负实数集合：｛-7.5，π-…｝．14．【解析】∵x 是|−3|的相反数，∴x 是3的相反数−3，即x =−3．∵y 是−2的绝对值，∴y =2．∴22229414x y -=⨯-=．15．【解析】∵<3，∴a =2，b-2，∵|c，∴c当ca -b +c =4；当c =a -b +c =4-．16．【答案】5【解析】∵与5a 、b ，∴a =（–2，b=（5）–2=3，∴（a+b ）（a –b ）=–2+32–5．故答案为：5．17．【解析】（1）∵，∴<3．∴–23．∴6–2＞66–3，∴4＞63．∴a =3，b =3（2）3a –b =3×3–（3=9–1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=± （3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A A ′的坐标为 ．【答案】(2--四、课后作业4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）． 【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =．【答案】21x x x>>5.计算:（1（2）2(2)-【解析】（111213333-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=． 【答案】（1） 13- ； （2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a =，求11a a -++的值．【解析】0a ，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：，且12<<的整数部分为1；23<2；=34<的整数部分为3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【解析】n2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+，1n n ∴<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【解析】（5（6【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-，b a ∴≥，2,4a b ∴==，．。
实数的名词解释实数是数学中的一个重要概念，它是指包括有理数和无理数在内的一类数。
在数轴上，实数代表了所有可能的点，它们既可以是有理数上的点，也可以是无理数上的点。
本文将对实数进行名词解释，从数学定义到实际应用进行探究。
一、实数的定义和性质实数的定义可以从两个角度来考虑。
从数学上看，实数是一种无限的数集，包括有理数和无理数。
有理数是可以用两个整数的比例表示的数，如正整数、负整数、分数。
无理数则是无法被有理数表示为比例的数，如无限不循环小数等。
从几何上看，实数是数轴上的点，每一个点都对应一个实数，反之亦然。
实数的性质是实数理论的基石之一。
首先，实数满足加法和乘法的封闭性，即两个实数相加或相乘的结果仍为实数。
其次，实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
再者，实数集上有一种次序关系，可以通过大小比较来对实数进行排序，这被称为实数的次序性。
最后，实数上存在着完备性，即实数集中的任何非空有上界的子集都有一个上确界，也就是实数集中的“空隙”被填满。
二、实数的应用实数不仅仅是数学中的概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
首先，实数在科学研究中扮演着重要的角色。
例如，在自然科学中，测量和观测往往涉及到无限小数的计算，而无限小数就是无理数的一种表现形式。
这使得实数成为物理学、化学、生物学等学科中不可或缺的工具。
同时，实数还广泛应用于金融领域，用来计算利息、汇率等经济指标。
此外，实数还在信息科学、工程技术等领域中有重要的应用，如信号处理、图像压缩等。
三、实数的伊辛堡-格登瓦定理伊辛堡-格登瓦定理是实数理论中的一项重要成果，它指出实数是不可数的。
这一定理的证明十分巧妙，依赖于对实数的分割和二进制表示。
简单来说，这个定理通过构造一个递归的过程，将实数集分割成若干段，每一段中都不存在实数，从而说明实数的数量无穷无尽。
这个结果反直觉，因为实数似乎是可以通过有理数的组合得到的，有理数是可数的。
但实数的无穷性和稠密性使得它与有理数有着本质的区别。
实数的性质和计算实数是数学中的一个重要概念，它包括整数、有理数和无理数。
实数具有很多独特的性质和特点，并且可以通过各种计算方法进行运算。
本文将探讨实数的性质以及如何进行实数的计算。
一、实数的性质1. 实数集的无缝连接性：实数集包含了整数、有理数和无理数，而且在实数轴上不存在任何间隙，可以无限接近任意一个实数。
2. 排序性：实数集具有可比性，任意两个实数可以通过比较大小来确定它们的相对顺序。
3. 密度性：在任意两个不等的实数之间，一定存在另一个实数。
换句话说，实数集中的任意一个区间都包含无穷多个实数。
4. 有界性：实数集可以分为有界集和无界集。
有界集是指存在上界和下界的实数集，无界集则是指不存在上界或下界的实数集。
二、实数的计算1. 实数的加法：实数的加法运算是指将两个实数相加得到一个新的实数。
加法满足交换律、结合律和分配律。
2. 实数的减法：实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数得到一个新的实数。
3. 实数的乘法：实数的乘法运算是指将两个实数相乘得到一个新的实数。
乘法也满足交换律、结合律和分配律。
4. 实数的除法：实数的除法运算是指将一个实数除以另一个非零实数得到一个新的实数。
5. 实数的乘方：实数的乘方运算是指将一个实数自乘若干次得到一个新的实数。
6. 实数的开方：实数的开方运算是指将一个非负实数开方得到一个新的非负实数。
除了基本运算外，实数还有其他的计算方法，如绝对值、倒数、平均数等。
三、实数的应用实数的概念和计算方法在数学中广泛应用于各个领域，如代数、几何、概率等。
实数的性质和计算方法是数学建模以及解决实际问题的重要基础。
在代数中，实数的四则运算是代数运算的基础，通过实数的计算可以解决方程、不等式等数学问题。
在几何学中，实数的性质可以用来描述点、线、面等几何对象的位置，实数的计算方法可以用来计算长度、角度等几何量。
在概率论中，实数的计算方法被广泛应用于计算概率、期望、方差等统计量，帮助理解和分析随机事件。
实数知识点归纳实数是我们日常生活中经常涉及到的一个重要概念，从小学算术加减乘除到大学各种复杂的数学分析，都需要实数知识点的支持。
为了方便大家学习和掌握实数知识点，下面将对实数的定义、性质、函数等几个方面进行归纳。
一、实数的定义从最基础的定义开始，实数可以定义为所有可以用无限小数表示的数的集合。
这个定义看起来比较抽象，但是实际上意义很明确。
所谓无限小数，就是小数的位数可以无限延伸，例如pi、e等等。
实数的集合包括整数、有理数和无理数三个部分。
整数是指正数、负数和0，其中正数表示数量，负数表示相反数，0表示没有数量。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，例如1/2、3/4等等。
而无理数则是不能表示为两个整数之比的数，我们熟知的例如pi、e、根号2等。
二、实数的性质实数具有以下性质：1. 实数是有序的：即对于任意两个实数a和b，要么a>b，要么a<b，或者a=b。
2. 实数满足加法和乘法的封闭性：即对于任意两个实数a和b，a+b和ab也是实数。
3. 实数满足加法和乘法的交换律和结合律：即对于任意三个实数a、b和c，有a+b=b+a，ab=ba，a+(b+c)=(a+b)+c，a(bc)=(ab)c 等。
4. 实数满足分配律：即对于任意三个实数a、b和c，有a(b+c)=ab+ac，(a+b)c=ac+bc等。
5. 0和1分别是实数加法和乘法的单位元素，即对于任意实数a，有a+0=a，a×1=a。
三、实数的函数1. 实数函数的定义：实数函数是指一个实数集合到另一个实数集合的映射，通常写作f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示对应的函数值。
2. 实数函数的性质：（1）实数函数的定义域和值域：函数的定义域是指自变量可能取的值的集合，值域是指函数各个取值组成的集合。
（2）实数函数的奇偶性：如果对于任意x，有f(-x)=f(x)，则该函数是偶函数；如果对于任意x，有f(-x)=-f(x)，则该函数是奇函数。
小学数学重点认识实数和数轴的概念在小学数学的学习中，认识实数和数轴的概念是非常重要的。
实数是指能够用有理数或无理数表示的数，而数轴是用来表示和比较实数的一种工具。
本文将介绍实数和数轴的概念，并探讨它们在数学中的重要性。
一、实数的概念及性质实数是数学中最基本的数，包括整数、有理数和无理数。
整数是不带小数部分的正数、负数和零，有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不能用有理数表示，如根号2、圆周率等。
实数的性质包括四则运算性质和比较性质。
四则运算性质指实数之间的加减乘除都遵循一定的规则，比如加法交换律、乘法结合律等。
比较性质则指实数之间可以进行大小比较，如大于、小于等于等。
实数的概念及性质对于小学生来说可能较为抽象，但是通过日常生活中的例子，可以帮助他们理解实数的概念和性质。
比如，将冰淇淋分成几份，让学生计算每份分到的量，就可以引导他们理解有理数的概念和四则运算性质。
二、数轴的概念及表示数轴是表示实数的一种工具，它是一条直线，上面的每一个点都和一个实数对应。
数轴上通常会选择一个点作为原点，用0表示，然后在其左侧和右侧按照一定的间距标出其他实数。
数轴上的点按照从左到右依次对应着逐渐增大的实数，比如在数轴上，点A对应的实数比点B对应的实数小，而点C对应的实数比点B对应的实数大。
数轴的表示可以帮助学生直观地理解实数的大小关系和相对位置，比如对于小学生来说，可以通过数轴帮助他们理解“3小于5”或“-2小于0”等概念。
三、实数和数轴在数学中的重要性实数和数轴在数学中有着广泛的应用和重要性。
它们为数学的其他分支提供了基础，如代数、几何等。
在代数中，实数和数轴可以帮助我们解方程、化简表达式等。
比如，在解一元一次方程时，可以通过在数轴上表示解的位置，帮助学生找到方程的解。
在几何中，实数和数轴则可以帮助我们研究线段、角度等几何图形的性质。
比如，用数轴表示线段的长度，可以帮助学生比较不同线段的大小关系。
此外，实数和数轴还在物理学、经济学等学科中有着广泛的应用。
实数的概念及性质篇一：实数的有关概念和性质以及实数的运算实数的概念实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。
实数集通常用黑正体字母R 表示。
而表示n 维实数空间。
实数是不可数的。
实数是实数理论的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
实数的运算法则1、加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即：2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
即a-b=a+(-b)3、乘法法则：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。
（3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：．②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即：。
③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：．4、除法法则：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
即（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。
5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。
无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
实数计算的常见类型及方法一、实数的运算(1)加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。
取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数。
(2)减法a-b=a+(-b)(3)乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即(4)除法(5)乘方(6)开方如果x2＝a且x≥0，那么＝x；如果x3=a，那么在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．3．实数的运算律(1)加法交换律a+b＝b+a(2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)(3)乘法交换律ab＝ba．(4)乘法结合律(ab)c=a(bc)(5)分配律a(b+c)=ab+ac其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．一、加法运算中的方法与技巧例1 计算：分析：（１）题的关键是确定运算顺序，有括号的还应先计算括号内的；（2）题的关键是求出绝对值符号中式子的值，进而求出整个式子的值．进行有理数的混合计算时,小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用【小结】巧用加法的交换律与结合律，以达到简化的目的，同时注意交换加数位置时，一定要连同前面的符号一起移动.实数加法运算中通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加—“相反数结合法”；符号相同的数先相加—“同号结合法”；分母相同的数先相加—“同分母结合法”；几个数相加得到整数先相加—“凑整法”；整数与整数，小数与小数相加—“同形结合法”.二、乘、除运算中的方法与技巧例2：计算：分析：（１）这里没有用括号规定运算顺序，所以我们应先算乘方，再算除法，最后算除法．（2）用括号规定运算顺序，所以应先算括号内的，再按顺序进行．另外也可以利用乘法对加法的分配律去掉括号，然后再按顺序进行．点评：在进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序的正确；二要注意符号的变化；三要注意在运算性质时不要出现错误．三、幂的运算【例3】计算：【小结】表示4个-2相乘，负数的偶次方是正数，而表示的相反数，结表示的相反果为负数，两者意义不同，注意区别.同理，表示3个-2相乘，数，表示3个相乘，表示除以5的商的相反数，两者意义不同，注意观察，当底数是分数时，底数要加括号.四、在混合运算中灵活运用运算律【小结】此题利用分配律计算非常简便，但同时是同学们在计算时容易出错的地方.第一种方法是把括号中的式子看作和的形式，分别相乘，再相加.第二种方法是先定符号，后面注意整体思想.第三种方法，第一部分相乘时先定符号，后定值.【小结】善于观察，寻求解决问题的策略，是至关重要的.灵活使用交换律和分配律，使解决本题的步骤变得简捷明快.篇二：实数的有关概念和性质2019一、选择题1. （2019福建泉州，1,3）－7的相反数是（）A．－7 B．7 C．－11D．77考点解剖：本题主要考查了相反数的求法，准确掌握相反数的定义是关键；解题思路：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数；解答过程：与－7只有符号不同的数是7，故应选B. 【答案】B规律总结：求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上负号即可. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0. 关键词：相反数；2. （2019广东广州，1，3分）实数3的倒数是（* ）A．?11B．C．－3 D．3 33【答案】B考点解剖：本题考查了求实数的倒数．掌握求倒数的方法是解题的关键．解题思路：求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一．解答过程：解：∵3是一个整数，∴3的倒数就是1．故选B．3规律总结：（1）求一个整数（或整式）的倒数，就是写成这个整数（或整式）分之一；（2）求一个分数（或分式）的倒数，就是调换分子和分母的位置．求出倒数之后，如果分母中含有根号，则需要分母有理化．关键词：实数；倒数3. （2019广东省，1，3分）－5的绝对值是（）A．5B．－5C．1 5D．－1 5【答案】A考点解剖：本题考查了求实数的绝对值．掌握求绝对值的代数方法是解题的关键．解题思路：－5是一个负数，根据―正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数‖可以直接求得答案．解答过程：解：∵－5一个负数，它的绝对值等于它的相反数，而－5的相反数是5，∴－5的绝对值是5．故选A．规律总结：求一个整数的绝对值通常有代数方法和几何方法，其中代数方法就是直接依据定义，即―正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数‖；几何方法就是通过数轴，直接根据绝对值的定义在数轴上画出相应的结合长度即可得知答案．关键词：绝对值4. （2019广西桂林，1，3分）2019的相反数是（） A.2019B.－2019C.∣-2019∣D.12019考点解剖：本题考查了相反数的概念，解答本题的关键是理解相反数的意义.解题思路：可直接根据相反数的意义求解，方法一：数a的相反数是－a；方法二：在数轴上分居原点左右两侧且到原点的距离相等的两个数互为相反数.解答过程：方法一：2019的相反数是－2019；方法二：2019在原点的右边且到原点的距离为2019个单位长度，所以它的相反数在原点的左边，到原点的距离也是2019个单位，故这个数是－2019，选择答案B. 答案：B规律总结：一般地，我们确定一个数的相反数时，只需在这个数前面加上负号即可，即数a的相反数是-a，此题属于基础题.关键词：相反数5. （2019广西桂林，2，3分）下面是几个城市某年一月份的平均温度，其中平均温度最低的是（） A.桂林市11.2℃ B.广州13.5℃C.北京-4.8℃D.南京3.4℃考点解剖：此题考查的是有理数的大小比较，直接比较这四个数的大小即可找到答案. 解题思路：根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数可知，此四个数中，－4.8最小. 解答过程：因为13.5＞11.2＞3.4＞－4.8，所以均温度最低的是北京-4.8℃，选择C. 答案：C规律总结：有理数大小比较的法则是：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．关键词：有理数的大小比较12019贵州安顺，1，3分）在，0，1，,－2这四个数中，最小的数是（）21A．B．0 C．1 D．－22考点解剖：本题考查了有理数的大小比较.掌握有理数大小比较方法是关键. 解题思路：有理数中，负数小于0，负数小于正数，所以最小的是-2. 解答过程：解：∵-2＜0＜1＜1，∴最小的数是-2．故选D．2规律总结：有理数大小比较的一般方法：①正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小；②在数轴上表示的数，右边的总比左边的大. 关键词：有理数比较大小?1?，π，22）7. （2019贵州安顺，8，3分）在实数：3.14159 ，1.010010001, 4.27A．1个B．2个C．3个D．4个考点解剖：本题考查了无理数的判别，正确理解无理数的概念是解题的关键．解题思路：根据无理数的概念逐个进行识别．?1?是无限循环小数，所以也不是无理解答过程：解：∵3.14159，1.010010001是有限小数，所以是有理数，4.2数，64?4是有理数，22是分数，是有理数，只有π是无限不循环小数，所以是无理数的就1个，故选A. 7规律总结：无理数是无限不循环小数，在中学阶段常见的无理数包括三种情况：①含有根号，但开方开不出来；②含有π的式子；③人为构造的且有一定规律的数，且后面要加上省略号，如1.010010001?（后面每2个1之间多一个0）. 关键词：无理数8. （2019贵州贵阳，1，3分）下列整数中，小于－3的整数是（）A. －4B. －2 C. 2 D.3考点解剖：本题考查整数的比较大小.根据有理数大小的比较方法：―正数大于负数‖；―两个负数，绝对值大的反而而小‖，不难解答.解题思路：用排除法.由―正数大于负数‖可排除选项C、D，由|－3|＞|－2|，得－3＜－2，∴选项B也不正确.故选A.解答过程：∵|－4|＞|－3|，∴－4＜－3，故选A.规律总结：有理数大小的比较：―正数大于负数‖；―两个负数，绝对值大的反而而小‖. 关键词：有理数比较大小（2019贵州铜仁，1，4分）－2的相反数是（）11B．－错误！未找到引用源。
B．－2 22考点解剖：本题考查相反数，正确理解相反数的概念是解题的关键．解题思路：相反数是绝对值相同，符号不同的两个数．A．解答过程：解：－2的相反数是?(?2)?2；故选D．B．2规律总结：根据相反数的概念，以及在数轴上的特征进行判断，在形式上看只有符号不同，在数轴上表现为位于原点的两侧，并且到原点的距离相等，另外，互为相反数的两个数的和为0．关键词：相反数10. （2019河南，1，3分）下列各数中，最小的是（）（A）-2 (B)-0.1 (C)0 (D) -考点解剖：本题考查的是绝对值和有理数的大小比较，该考点应注意的是比较两个负数的大小，关键点就在于负数绝对值的求法及理解和掌握比较有理数大小的方法.解题思路：首先求出?1=1，这样4个数中有正、负数和零，由于要求最小的数所以只需要比较出负数中最小的数就可以了，得最小的数是﹣2.解答过程：解：∵?1=1，∴?＞0＞﹣0.1＞﹣2，∴最小的数是﹣2.故选A规律总结：绝对值的求法：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；有理数比较大小的方法：正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小.关键词：有理数有理数的相关概念绝对值有理数的比较大小11. （2019湖北黄冈，1，3分）下列实数中是无理数的是（）A．4B．C．?D．2考点解剖：本题考查了无理数的概念.根据概念求解是解决问题的根本.解题思路：∵4＝2，4是有理数；∵8＝2＝2，8是有理数；∵π0＝1，?是有理数；∵2中，被开方2为无理数.解答过程：解：∵4＝2，∴A是有理数；∵8＝2＝2，∴B是有理数；∵π0＝1，∴C2中，被开方数开方开不尽，∴D为无理数，故选D．规律总结：常见的几种无理数①与π有关的，如3333?，??3等；②根号型：2，等开方开不尽得数；③无2限不循环小数：如1.121121112…；④三角函数：如tan30°等. 关键词：无理数12. （2019湖南长沙，1，3分）+3相反数是（）A．1 3B．-3C．-1 3D．3【答案】D考点剖析：本题考察了相反数的概念，需要学生掌握相反数的概念才能够获得正确答案．解题思路：根据相反数的概念求解.解答过程：由互为相反数的概念：数字相同，符号相反可求解.∴－3的相反数是3.所以本题选项为D．规律总结：（1）a的相反数是－a，当a≠0时，a≠－a；当a=0时，a=－a；(2)若a与b互为相反数，则a＋b=0；(3) a和它的相反数在数轴上对应的点，与原点的距离相等.关键词：相反数13. （2019湖南常德，9，3分）若a与5互为倒数，则a＝（）A．11 B．5 C．－5D．- 55考点解剖：本题考查了倒数的求法，做题时注意与求绝对值、相反数区分．解题思路：若a与b互为倒数，则ab＝1．解答过程：解：a与5互为倒数，而5的倒数是故选A．规律总结：求一个整数的倒数，直接写成这个数分之一即可．求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求一个小数的倒数，可以先把这个小数化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先化为假分数再求其倒数．特别注意0没有倒数，但0有相反数．关键词：有理数倒数14. (2019湖南衡阳，1，3分)－3的绝对值是( ) A．11，所以a＝．5511B．－3 C．3 D．? 33考点解剖：本题考查绝对值的概念，关键在于理解绝对值的意义．解题思路：根据绝对值的意义，求一个负数的绝对值就是求这个负数的相反数。
