高中数学双曲线离心率求法专题

高中数学专题 双曲线中的离心率问题限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.32.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.4333.已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.2334.如图，双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.235.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,26.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+27.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.5210.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.211.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.13312.已知F 1、F 2是双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2=13F2B，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=22x，则其离心率是.14.已知双曲线方程为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，左焦点F关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F c,0，直线l:x=c与双曲线C交于A,B两点，与双曲线C的渐近线交于D,E两点，若DE=2AB，则双曲线C的离心率是．16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．18.已知椭圆C1:x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0，有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2=4PF2，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2-e1的取值范围.19.已知双曲线T：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)离心率为e，圆O：x2+y2=R2R>0．(1)若e=2，双曲线T的右焦点为F2,0，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求b2a2的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有∠AOB=π2，求离心率e的取值范围．20.已知点P是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，PF1=(2+3)PF2，∠F1PF2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R、r分别是△F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，AF2-AF1=2b．(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线AD,BD与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，且x1x2=1，求双曲线C的方程．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.高中数学专题 双曲线中的离心率问题答案解析限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.3【解析】设AF 2 =t ，因为AB ⊥x 轴，则点A 、B 关于x 轴对称，则F 2为线段AB 的中点，因为△ABF 1为等边三角形，则∠AF 1F 2=30°，所以，AF 1 =2AF 2 =2t ，所以，AF 1 -AF 2 =AF 2 =t =2a =2，则AF 1 =2AF 2 =2t =4，所以，2c =F 1F 2 =AF 12-AF 2 2=42-22=23，则c =3，因此，该双曲线C 的离心率为e =ca= 3.故选：D .2.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.433【解析】双曲线C 的渐近线方程为y =±a b x ，直线y =±ab x 被圆x 2+y -2 2=4所得截得的弦长为23，则圆心0,2 到直线y =±ab x 的距离为d =22-3 2=1，由点到直线的距离公式可得d =21+ab2=1，解得a 2b 2=3，则b 2a2=13，因此，双曲线C 的离心率为e =ca =1+b a2=1+13=233.故选：B .3.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.233【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ,CF ，因为AF ⋅FB =0，所以AF ⊥FB ，因为OA +OB =0，所以OA =OB ，因为OF =OF ，所以四边形AFBF 为矩形，设BF =t (t >0)，则FC =3t ，BF =2a +t ,CF =2a +3t ，在Rt △CBF 中，BC 2+BF 2=CF 2，所以4t 2+2a +t 2=2a +3t 2，化简得t 2-at =0，解得t =a ，在Rt △BFF 中，BF 2+BF 2=FF 2，所以t 2+2a +t 2=4c 2，所以a 2+9a 2=4c 2，所以10a 2=4c 2，得10a =2c ，所以离心率e =c a =102，故选：B4.如图，双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.23【解析】因为F 1Q ⋅F 2Q =0，则QF 1⊥QF 2，所以△F 1F 2Q 是直角三角形，又因为O 是F 1F 2的中点，所以OQ 是直角△F 1F 2Q 斜边中线，因此F 1O =OQ ，而点P 是线段F 1Q 的中点，所以△F 1OQ 是等腰三角形，因此∠F 1OP =∠POQ ，由双曲线渐近线的对称性可知中：∠F 1OP =∠F 2OQ ，于是有：∠F 1OP =∠POQ =∠F 2OQ =π3，因为双曲线渐近线的方程为：y =±b ax ，因此有：ba=tan π3⇒b a =3⇒b 2=3a 2⇒c 2-a 2=3a 2⇒c =2a ⇒e =2，故选：B .5.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,2【解析】设PF 1与y 轴交于Q 点，连接QF 2，则QF 1=QF 2,∴∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，因为∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，故P 点在双曲线右支上，且∠PF 2Q =∠PQF 2=2∠PF 1F 2，故|PQ |=|PF 2|，而|PF 1|-|PF 2|=2a ，故|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，在Rt △QOF 1中，|QF 1|>|OF 1|，即2a >c ，故e =ca<2，由∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，且三角形内角和为180°，故∠PF 1F 2<180°4=45°，则cos ∠PF 1F 2=|OF 1||QF 1|>cos45°，即c2a>22，即e =c a >2，所以C 的离心率的取值范围为2,2 ，故选：A6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+2【解析】由于F 1F 2 =3MN ，所以x M =-2c ×13×12=-c 3，则-c32a2+y 2Mb 2=1，解得y M =b 3ac 2-9a 2，由于F 1M ⊥F 2M ，所以2c 3，b 3ac 2-9a 2 ⋅-4c 3，b3a c 2-9a 2 =0，整理得c 4-18a 2c 2+9a 4=0，两边除以a 4得e 4-18e 2+9=0，由于e >1，e 2>1，故解得e =6+ 3.故选：B7.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞【解析】如图，过点F 2作渐近线的垂线，垂足为E ，设|F 1F 2|=2c ，则点F 2到渐近线y =±abx 的距离EF 2 =bca 2+b2=b .由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a ，故MF 1 =MF 2 +2a ，所以MD +MF 1 =|MD |+MF 2 +2a ≥EF 2 +2a =b +2a ，即MD +MF 1 的最小值为2a +b ，因为MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，所以|MD |+MF 1 >F 1F 2 恒成立，即2a +b >2c 恒成立，所以，b >2c -2a ，即b 2>4c 2+4a 2-8ac ，即c 2-a 2>4c 2+4a 2-8ac ，所以，3c 2+5a 2-8ac <0，即3e 2-8e +5<0，解得1<e <53.故选：A .8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3【解析】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为F 1,F 2，连接DE ,DB ，因为线段AB 的中点E 在圆O :x 2+y 2=a 2上，所以DE ⊥AB ，所以△ADE ≌△BDE ，所以AD =BD =2a ，因为OB =7OA ，所以OB =7a ，在△ODB 中，由余弦定理得cos ∠ODB =OD2+DB 2-OB 22OD ⋅DB =a 2+4a 2-7a 24a 2=-12，因为∠ODB ∈0,π ，所以∠ODB =2π3，所以∠BDF 2=π3，过B 作BF ⊥x 轴于F ，则BF =3a ,DF =a ，所以B 2a ,3a ，所以4a 2a 2-3a 2b 2=1，得a 2=b 2，所以a 2=c 2-a 2，2a 2=c 2，所以c =2a ，所以离心率e =ca=2，故选：A二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.52【解析】∵e 1+e 2 2=e 21+e 22+2e 1e 2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2+2×a 2+b 2a×a 2+b 2b=2+b 2a 2+a 2b2+2a 4+b 4+2a 2b 2a 2b 2=2+b 2a 2+a 2b 2+2a 2b 2+b 2a 2+2≥2+2+22+2=8，当且仅当b 2a 2=a 2b2即a =b 时取等号，所以e 1+e 2≥22.故选：CD .10.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.2【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是y -2=k (x -2)，由x 2-y 2a2=1y -2=k (x -2) 得(a 2-k 2)x 2+4k (k -1)x -4(k -1)2-a 2=0，显然a 2-k 2=0时，所得直线只有一条，不满足题意，所以k ≠±a ，由Δ=0得16k 2(k -1)2+4(a 2-k 2)[4(k -1)2+a 2]=0，整理为3k 2-8k +4+a 2=0，由题意此方程有两不等实根，所以Δ1=64-12(4+a 2)>0，a 2<43，则c 2=1+a 2<73(c 为双曲线的半焦距)，e =c 1=c <213，即1<e <213，k =±a 代入方程3k 2-8k +4+a 2=0，得a =±1，此时e =2，综上，e 的范围是1,2 ∪2,213.故选：AC 11.已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.133【解析】当点M ,N 同时在双曲线C 的左支上时，设切点为P ，则OP ⊥MN ，OP =a ,OF 1 =c ,PF 1 =c 2-a 2=b .作F 2Q ∥OP 交MN 于点Q ，则F 2Q ⊥MN ，而O 为F 1F 2的中点，则P 为QF 1的中点，故F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ -QF 1 =8a 3-2b ，所以NF 2 =NF 1 +2a =8a 3-2b +2a =10a 3，则2a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+232=133.当点M ,N 在双曲线的两支上时，仍有F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ +QF 1 =8a 3+2b ，所以NF 2 =NF 1 -2a =8a 3+2b -2a =10a 3，则4a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+432=53，故选：AD12.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2=13F 2B ，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5【解析】当AF 2 =13F 2B时，设∠F 2OA =α，则∠AOB =2α，设a =1，如图，双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，即tan α=b a ，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=ba ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即有t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=4b ，tan α=b a =b ，tan2α=4ba=4b ，代入得tan2α=2tan α1-tan 2α=2b 1-b 2=4b ，即2=4-4b 2，解得b =22，则e =c a =a 2+b 2=1+12=62，A 正确；当F 2A =13F 2B 时，设∠F 2OA =α，∠AOB =β，设a =1，如图，则∠F 2OB =α+β，∠F 1OB =π-(α+β)，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=b a ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=2b ，tan α=b a =b ，tan β=2ba=2b ，而tan ∠F 1OB =tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=tan α，即tan (α+β)=tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-tan α，因此b +2b1-b ⋅2b=-b ，即3=2b 2-1，解得b =2，则e =c a =a 2+b 2=3，C 正确.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =22x ，则其离心率是.【解析】由题意知ba=22，又因为在双曲线中，c 2=a 2+b 2，所以e 2=c 2a 2=1+b 2a2=32，故e =62(负舍)14.已知双曲线方程为C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【解析】如图：设F 关于渐近线y =bax 对称的点A 在渐近线y =-b a x 上，FA 的中点B 在渐近线y =bax 上，则∠FOB =∠BOA ，又∠FOB =∠AOx ，所以∠FOB =∠BOA =∠AOx =60°，所以tan60°=ba=3，所以e =c a =a 2+b 2a 2=1+b a2=1+3=2.15.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为Fc ,0 ，直线l :x =c 与双曲线C 交于A ,B 两点，与双曲线C 的渐近线交于D ,E 两点，若DE =2AB ，则双曲线C 的离心率是．【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y =±ba x ，∵直线l :x =c ，∴AB 为双曲线的通径，则由x =cx 2a2-y2b 2=1得x =cy =±b 2a，则AB =2b 2a，由x=cy=±bax得x=cy=±bca，则DE =2bca，由DE=2AB得：2bca=4b2a即c=2b，所以a=c2-b2=3b，所以离心率e=ca=23316.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】依题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=ba x，由y=baxx2+y2=c2，得：x=ay=b或x=-ay=-b，所以Q(a,b),P(-a,-b)，双曲线的左顶点为A，则A(-a,0)，所以AQ=(a+a)2+b2=4a2+b2，AP=(-a+a)2+b2=b，因为AQ≥3AP，所以4a2+b2≥3b，化简得a2≥2b2，所以a2≥2(c2-a2)，所以e2=a2c2≤32，所以e ≤62，又e>1，所以e∈1,62.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．【解析】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，∴PF1-PF2=2a,PF1=2a+PF2，∴PF12PF2=2a+PF22PF2=4a2PF2+4a+PF2≥8a，当且仅当4a2PF2=PF2，即PF2=2a时取等号，∴PF1=2a+PF2=4a，∵PF 1 -PF 2 =2a <2c ，PF 1 +PF 2 =6a ≥2c ⇒e =ca≤3，∴e ∈1,3 ，故双曲线的离心率e 的取值范围为：1,3 ..18.已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 ，有相同的左、右焦点F 1，F 2，若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且F 1F 2 =4PF 2 ，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，求e 2-e 1的取值范围.【解析】设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，由椭圆的定义可得m +n =2a 1，由双曲线的定义可得m -n =2a 1，解得m =a 1+a 2，n =a 1-a 2，由F 1F 2 =4PF 1 ，可得n =12c ，即a 1-a 2=12c ，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得1e 1-1e 2=12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 2-e 1=e 2-2e 22+e 2=e 222+e 2，设2+e 2=t 3<t <4 ，则e 222+e 2=t -2 2t =t +4t-4，由于函数f t =t +4t -4在3，4 上递增，所以f t ∈13，1 ，即e 2-e 1的取值范围为13，1.19.已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a 2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【解析】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，则c =2，ca =2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则OA=c，∠AOF=45°，则A22c,22c，代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，可得b2a2-a2b2=2，令x=b2a2x>0，则x-1x=2，解得x=1+2，即b2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且R=1，则圆心到直线l距离为mk2+1=1，化简得m2=k2+1，①又∠AOB=π2，设A x1,y1,B x2,y2，则k OA⋅k OB=-1，即y1x1⋅y2x2=-1，则k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=-1，②联立y=kx+mx2a2-y2b2=1得b2-a2k2x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，则x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1x2=-a2m2+b2b2-a2k2，③联立①②③，得k2+1a2+a2b2-b2=0，则a2+a2b2-b2=0，又c2=a2+b2，则c2a2=c2-a2+2=b2+2>2，则e=ca>2，即离心率e的取值范围为2,+∞.20.已知点P 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，PF 1=(2+3) PF 2 ，∠F 1PF 2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R 、r 分别是△F 1PF 2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．【解析】(1)由P 为双曲线的右支上一点，可得|PF 1|-|PF 2|=2a ，又PF 1=(2+3) PF 2 ，可得PF 1 =(3+1)a ，PF 2 =(3-1)a ，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得4c 2=(4+23)a 2+(4-23)a 2-2(3+1)(3-1)a 2⋅12=8a 2-2a 2=6a 2，即c =62a ，可得e =c a =62；(2)由2R =2csin60°=6a32=22a ，即R =2a ；因为S △PF 1F 2=12PF 1⋅ PF 2 ⋅sin60°=12(3+1)(3-1)a 2⋅32=32a 2，又S △PF 1F 2=12PF 1+ PF 2 +2c r =12(23a +6a )r ，所以r =323+6a =2-22a ，所以R r =222-2=2+22．21.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线C 左支上一点，AF 2 -AF 1 =2b ．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设点A 关于x 轴的对称点为B ，D 为双曲线C 右支上一点，直线AD ,BD 与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2，且x 1x 2 =1，求双曲线C 的方程．【解析】(1)由于A 为双曲线C 左支上一点，由双曲线的定义可知AF 2 -AF 1 =2a =2b ，所以2a 2=b 2=c 2-a 2．整理，得3a 2=c 2，所以ca=3，所以双曲线C 的离心率为3．(2)由(1)可设双曲线C 的标准方程为x 2a 2-y 22a2=1．设A x3,y3，B x3,-y3，D x4,y4．直线AD的方程为y-y3=y3-y4x3-x4x-x3．令y=0，则x1=-x3y4-x4y3y3-y4．直线BD的方程为y+y3=-y3-y4x3-x4x-x3，令y=0，则x2=x3y4+x4y3y3+y4．所以x1x2=-x3y4-x4y3y3-y4⋅x3y4+x4y3y3+y4=x23y24-x24y23y23-y24．因为A x3,y3，D x4,y4满足方程x2a2-y22a2=1，所以x23=a2+y232，x24=a2+y242,所以x1x2=x23y24-x24y23y23-y24=a2+y232y24-a2+y242y23y23-y24=a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y22=1．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，由题意得x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,所以x21-x22a2-y21-y22 b2=0，y21-y22x21-x22=b2a2,y1-y2x1-x2∙y1+y22x1+x22=b2a2,k AB=y1-y2x1-x2,k OM=y1+y22x1+x22，∴k AB⋅k OM=b2a2，即b2a2=34，a2=43b2,c2=a2+b2=73b2,e2=c2a2=74，∴e=72；(2)因为双曲线的右顶点N 2,0 ，所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 23=1，因为k AB ⋅k OM =34，所以直线l 的斜率一定存在，并且k ≠±32(如果k =±32，则k OM =±32,AB ⎳OM ，这不可能)，设直线l 的方程为y =kx +m ，联立方程y =kx +m x 24-y 23=1 得：3-4k 2 x 2-8kmx -4m 2-12=03-4k 2≠0 ，所以Δ=64k 2m 2-43-4k 2-4m 2-12 >0，即m 2-4k 2+3>0，所以x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1⋅x 2=-4m 2-123-4k 2.因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以NA ⊥NB ，所以NA ⋅NB =0，又因为NA =x 1-2,y 1 ,NB =x 2-2,y 2 ，所以NA ⋅NB =x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=x 1x 2-2x 1+x 2 +4+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，所以NA ⋅NB =k 2+1 x 1x 2+km -2 x 1+x 2 +m 2+4=0，即k 2+1 ×-4m 2-123-4k 2+km -2 ×8km 3-4k 2+m 2+4=0，化简得m 2+16km +28k 2=0，即m +14k m +2k =0，解得m =-14k 或m =-2k ，且均满足m 2-4k 2+3>0，当m =-2k 时，y =kx -2k =k x -2 ，因为直线l 不过定点N 2,0 ，故舍去；当m =-14k 时，y =kx -14k =k x -14 ，所以直线l 恒过定点E 14,0 ；综上，e =72，直线l 恒过定点E 14,0 .·15·。

1双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a =>，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -=(a >)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为 .3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .4．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 .6．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 .8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线12222=-by a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 .10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．方法二、构造,a c 的齐次式，解出e1．过双曲线22221x y a b-=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．2．设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________．3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形1．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________．2．双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________．3．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________．4．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为________．6．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，离心率为e ，若12||||PF e PF =，此离心率的取值范围为________．方法四、双曲线离心率取值范围问题例1.(本题需要使用双曲线的第二定义解决)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．例2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．例 4.已知点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上，双曲线两焦点为12,F F ，2221||||PF PF 最小值是8a ，则此双曲线的离心率的取值范围是 ． 例 5.双曲线2222222211x y y x a b b a-=-=与的离心率分别是12,,e e 则12e e +的最小值为 ．与准线有关的题目1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 .2．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 . 3.设点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支上，双曲线两焦点为12,F F ，已知1PF 是点P 到左准线l 的距离d 和2PF 的比例中项，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．4．已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是_______.。

双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。

高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。

修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。

2.理解数形结合的思想。

3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。

一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。

点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。

2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。

点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。

双曲线的通径为 $2a$。

3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。

专题13 双曲线目录一览2023真题展现考向一 双曲线的离心率真题考查解读近年真题对比考向一 双曲线的渐近线方程命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 双曲线的离心率1．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，→F 1A ⊥→F 1B ，→F 2A =−23→F 2B ，则C 的离心率为 ．解：（法一）如图，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），B （0，n ），设A （x ，y ），则→F 2A =(x−c ，y)，→F 2B =(−c ，n)，又→F 2A =−23→F 2B ，则x −c =23c y =−23n，可得A(53c ，−23n)，又→F 1A ⊥→F 1B ，且→F 1A =(83c ，−23n)，→F 1B =(c ，n)，则→F 1A ⋅→F 1B =83c 2−23n 2=0，化简得n 2＝4c 2．又点A 在C 上，则259c 2a 2−49n 2b 2=1，整理可得25c 29a2−4n 29b 2=1，代n 2＝4c 2，可得25c 2a 2−16c 2b 2=9，即25e 2−16e 2e 2−1=9，解得e 2=95或15（舍去），故e（法二）由→F 2A =−23→F 2B ，得|→F 2A ||→F 2B |=23，设|→F 2A |=2t ，|→F 2B |=3t ，由对称性可得|→F 1B |=3t ，则|→AF 1|=2t +2a ，|→AB |=5t ，设∠F 1AF 2＝θ，则sin θ=3t5t =35，所以cos θ=45=t ＝a ，所以|→AF 1|=2t +2a =4a ，|→AF 2|=2a ，在△AF 1F 2 中，由余弦定理可得cos θ45，即5c 2＝9a 2，则e【命题意图】考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，M 的轨迹不存在．(2)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线．(3)当||MF 1|－|MF 2||＝0，即|MF 1|＝|MF 2|时，M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于1||MF与2||MF 的大小.①若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支;②若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点1F 的那一支.二、双曲线的方程及简单几何性质F (－c,0)，F (c,0)F (0，－c )，F (0，c )双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)双曲线的定义：aPF PF 2||||||21=-(2)余弦定理：221||F F ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，重要结论：S △PF 1F 2=2tan2θb 推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||-|||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（|））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=+-2122||||1cos b PF PF θ=-由三角形的面积公式可得S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sincos12sin 22sin 21cos 1cos 2sin tan22b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===--四、直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．2、弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则===（k 为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B两点，则弦长ab AB 22||=.考向一 双曲线的渐近线方程2．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为　．【解答】解：∵双曲线的方程是，∴双曲线渐近线为y＝又∵离心率为e＝＝2，可得c＝2a∴c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，可得b＝a由此可得双曲线渐近线为y＝故答案为：y＝查考近几年真题推测以小题出现，常规题，难度中等．双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，一．双曲线的标准方程（共5小题）1．（2023•郑州模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．x±y＝0B．C．D．2x±y＝0【解答】解：∵双曲线的方程是（a＞0，b＞0），∴双曲线渐近线为y＝±x．又∵离心率为e＝＝2，∴c＝2a，∴b＝＝a，由此可得双曲线渐近线为y＝±x＝±x，即：故答案为：．故选：C．2．（2023•宝山区校级模拟）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是 ．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；又因为双曲线经过点，代入方程可得，λ＝﹣1；故这条双曲线的方程是；故答案为：．3．（2023•通州区模拟）双曲线的焦点坐标为（ ）A．（±1，0）B．（±，0）C．（±，0）D．（±，0）【解答】解：双曲线，可知a＝，b＝1，c＝，所以双曲线的焦点坐标为（，0）．故选：C．4．（2023•西山区校级模拟）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2【解答】解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则tan＝，所以该条渐近线方程为y＝x；所以＝，解得a＝；所以c＝＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝．故选：A．5．（2023•青羊区校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点，则双曲线C的方程为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程：y＝x，因为A（，）在渐近线上，故＝所以a＝，又A在以OF为直径的圆上，所以OA⊥AF，所以AF2+OA2＝OF2，即（﹣c）2+（）2+（）2+（）2＝c2解得：c＝2，a＝，b＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1，故选：C．二．双曲线的性质（共33小题）6．（2023•天山区校级模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A．2B．C．D．【解答】解：已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，此时|AF1|＝|BF1|，且∠AF1B＝90°，因为∠AF1F2＝∠BF1F2＝45°，而|AF2|＝|F1F2|，则，即b2＝2ac，①又b2＝c2﹣a2，②联立①②，解得，因为e＞1，所以．故选：C．7．（2023•朝阳区一模）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．或2【解答】解：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，则，所以，故选：B．8．（2023•博白县模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F 1PF2＝60°，＝ac，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2【解答】解：设PF 1＝m，PF2＝n，则＝＝ac，∴mn＝4ac，由余弦定理可得：|F1F2|2＝4c2＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn，由双曲线的定义可知m﹣n＝2a，∴4c2＝4a2+4ac，即c2﹣a2＝ac，∴e2﹣e﹣1＝0，解得e＝或e＝（舍）．故选：A．9．（2023•郑州模拟）点（4，0）到双曲线Γ：的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．5【解答】解：由题意可得双曲线的一条渐近线为：ay﹣bx＝0，所以（4，0）到ay﹣bx＝0的距离为，不妨设b＝4m（m＞0），则．故选：C．10．（2023•武鸣区校级二模）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标为（ ）A．（±1，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（0，±1）【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，其中a＝1，b＝，其焦点在x轴上，则c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（±，0）；故选：C．11．（2023•河南模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段PF1的中点M在另一条渐近线上．若∠PF2F1＝45°，则双曲线C 的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解答】解：因为M，O分别是PF1，F1F2的中点，所以MO∥PF2，又∠PF2F1＝45°，所以∠MOF1＝45°，即，所以a＝b，故．故选：A．12．（2023•源汇区校级模拟）已知F1、F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为2c，c＝，则该双曲线的离心率是（ ）A．3B．4C．D．【解答】解：由双曲线的性质可得|PF1|＝2a+|PF2|，所以|PF1|2＝4a2+4a|PF2|+|PF2|2，所以＝|PF2|++4a≥2+4a＝8a，由题意可2c＝8a，即c＝4a，所以双曲线的离心率为e＝＝4．故选：B．13．（2023•四川模拟）已知双曲线C：x2﹣＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C 上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．若∠PAB＝∠PBM，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【解答】解：设P（m，n），可得m2﹣＝1，双曲线C：x2﹣＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．∠PAB＝∠PBM，过P作x轴的垂线，垂足为N，所以△PAN∽△BPN，可得，结合m2﹣＝1，可得b＝1，又a＝1，所以双曲线的离心率为：e＝＝．故选：A．14．（2023•贺兰县校级模拟）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2﹣y2＝1，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F1F2P的余弦值大小为（ ）A．B．C．D．【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m﹣n＝2，m2+n2＝，解得m＝+1，n＝﹣1，∴cos∠F1F2P＝＝，故选：D．15．（2023•海淀区校级模拟）若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝±x，即ax±2y＝0，由圆（x﹣2）2+y2＝4的方程可得圆心C（2，0），半径r＝2，可得d＝，所以可得弦长2＝2＝，解得a2＝，可得离心率e＝＝＝＝，故选：B．16．（2023•广西模拟）双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y 轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解答】解：由题意知双曲线左顶点为A（﹣a，0），设P（x0，y0），则Q（﹣x0，y0），则有，又，将代入中，得，即a2＝4b2，所以，故，故选：A．17．（2023•未央区模拟）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则＝（ ）A．B．2C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线为y＝，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则|PF2|＝b，则|OP|＝a，cos∠PF2O＝，在△PF1F2中，cos∠PF2O＝＝，得|PF1|2＝4c2﹣3b2＝4（a2+b）2﹣3b2＝4a2+b2，∵e＝，得＝1+＝3，得＝2，则＝＝＝＝＝，故选：A．18．（2023•贵阳模拟）已知双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0）的离心率为，虚轴长为4，则C 的方程为（ ）A．3x2﹣4y2＝1B．C．D．【解答】解：由双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0），得，可得a＝，b＝，c＝，∵双曲线的离心率为，虚轴长为4，∴，解得．∴C的方程为．故选：D．19．（2023•郑州模拟）已知双曲线的左焦点为F，过原点O的直线与C交于点A，B，若|OF|＝|OA|，则|AF||BF|＝（ ）A．2B．4C．8D．16【解答】解：双曲线，则a＝2，b＝1，，由|OF|＝|OA|可得AF⊥BF，设A为右支上一点，F2为右焦点，连接AF2、BF2，则四边形AFBF2为矩形，所以|AF2|＝|BF|，设|AF|＝m，|BF|＝n，则m﹣n＝4，m2+n2＝20，所以．故选：A．20．（2023•蕉城区校级二模）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点．点M满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：如下图所示，取线段BF1的中点E，连接AE，因为，则，因为E为BF1的中点，则AE⊥BF1，且∠ABF1＝∠AF1B，由双曲线的定义可得2a＝|AF1|﹣|AF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|BF2|，所以|BF1|＝|BF2|+2a＝4a，则|BE|＝|EF1|＝2a，由余弦定理可得＝＝，所以，因此该双曲线的离心率为．故选：C．21．（2023•凉山州模拟）已知以直线y＝±2x为渐近线的双曲线，经过直线x+y﹣3＝0与直线2x﹣y+6＝0的交点，则双曲线的实轴长为（ ）A．6B．C．D．8【解答】解：由，解得，则双曲线过点（﹣1，4）．若双曲线的焦点在x轴，设为，由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得，即b＝2a，将（﹣1，4）代入方程，得，有，无解，不符合题意；若双曲线的焦点在y轴，设为，由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得，即a＝2b，将（﹣1，4）代入方程，得，有，解得，所以双曲线的实轴长为．故选：C．22．（2023•滨海新区校级三模）点F是抛物线x2＝8y的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）A．2B．4C．8D．16【解答】解：抛物线x2＝8y的焦点为（0，2）．设A为双曲线C：的左顶点（﹣2，0），渐近线方程为y＝±x，因为直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，所以＝，解得b＝4，故选：B．23．（2023•恩施市校级模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：的左右焦点，且F1到渐近线的距离为1，过F2的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且l⊥AF1，则下列说法正确的为（ ）A．△AF1F2的面积为2B．双曲线C的离心率为C．D．【解答】解：设双曲线C的半焦距为c＞0，因为双曲线C的焦点在x轴上，且a＝2，则其中一条渐近线方程为，即bx﹣2y＝0，且F1（﹣c，0），则F1到渐近线的距离为，可得，对于A：因为|AF2|﹣|AF1|＝4且，可得，解得|AF1|⋅|AF2|＝2，所以△AF1F2的面积为，故A错误；对于B：双曲线C的离心率为，故B错误；对于C：因为，可得，所以•＝•＝•（•+）＝2+•＝2＝10﹣4，故C错误；对于D：设|BF 2|＝m，则，因为，即，解得，所以＝+＝，故D正确．故选：D．24．（2023•郑州模拟）已知F1，F2分别是双曲线Γ：的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，BF2平分∠F1BC，则双曲线Γ的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：因为，则CB∥F2A，所以△F1AF2∽△F1BC，设|F1F2|＝2c，则|F2C|＝8c，设|AF1|＝t，则|BF1|＝5t，|AB|＝4t．因为BF2平分∠F1BC，由角平分线定理可知，，所以|BC|＝4|BF1|＝20t，所以，由双曲线定义知|AF2|﹣|AF1|＝2a，即4t﹣t＝2a，，①又由|BF1|﹣|BF2|＝2a得|BF2|＝5t﹣2a＝2t，在△ABF2中，由余弦定理知，在△F1BF2中，由余弦定理知，即，化简得c2＝6t2，把①代入上式得，解得．故选：A．25．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上一点P向y轴作垂线，垂足为Q，若|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线焦距为2c，不妨设点P在第一象限，由题意知PQ∥F1F2，由|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直可知，四边形PQF1F2为菱形，且边长为2c，而△QF1O为直角三角形，|QF1|＝2c，|F1O|＝c，故∠F1QO＝30°，∴∠QF1O＝60°，则∠F1QP＝120°则，|PF2|＝2c，故，即离心率．故选：B．26．（2023•林芝市二模）已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，双曲线C上有两点A，B满足，且，若四边形F1AF2B的周长l与面积S满足，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：不妨设|AF1|＝m，|AF2|＝n（m＞n），由双曲线的定义可知，m﹣n＝2a，则m2+n2﹣2mn＝4a2①，又，所以由余弦定理可得m2+n2+mn＝4c2②，由①②可得，所以．又四边形F1AF2B为平行四边形，故四边形F1AF2B的周长l＝2（m+n），则，面积，因为，所以，整理得2c2＝3a2，故双曲线C的离心率为，故选：A．27．（2023•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支相交于点P，过点O，F2作ON⊥PF1，F2M⊥PF1，垂足分别为N，M，且M为线段PN的中点，|ON|＝a，则双曲线C的离心率为（ ）A．2B．C．D．【解答】解：因为F1，F2为双曲线C的左、右焦点，所以|F1F2|＝2c，因为ON⊥PF1，F2M⊥PF1所以ON∥F2M，又O为线段F1F2的中点，所以N为线段F1M的中点，且，又M为线段PN的中点，所以，在Rt△OF1N中，|ON|＝a，|OF1|＝b，所以，所以|PF1|＝3b，|MP|＝b，因为点P在双曲线的右支上，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，故|PF2|＝3b﹣2a，在Rt△MF2P中，|MF2|＝2a，|MP|＝b，|PF2|＝3b﹣2a，由勾股定理可得：（2a）2+b2＝（3b﹣2a）2，所以8b2＝12ab，即2b＝3a，所以4b2＝9a2，又b2＝c2﹣a2，故4c2＝13a2，所以，故选：D．28．（2023•长沙模拟）已知双曲线4x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足•＝0，点N是线段F1F2上一点，满足＝λ．现将△MF1F2沿MN折成直二面角F1﹣MN﹣F2，若使折叠后点F1，F2距离最小，则λ＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：易知双曲线中，，则，又，即，又，∴，如图，设∠NMF2＝θ，F2G⊥MN，F1H⊥MN，则，∴＝4sin2θ+（2cosθ﹣3sinθ）2+9cos2θ＝13（sin2θ+cos2θ）﹣12sinθcosθ＝13﹣6sin2θ，由三角函数知识可知，当时，F1F2取得最小值，此时MN为△MF1F2的角平分线，由角平分线性质可知，此时，则，∴．故选：C．29．（2023•濠江区校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l：y＝k（x﹣c），联立方程，消去y得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2（k2c2+b2）＝0，则可得，则，设线段AB的中点M（x0，y0），则，即，且k≠0，线段AB的中垂线的斜率为，则线段AB的中垂线所在直线方程为，令y＝0，则，解得，即，则，由题意可得：，即，整理得，则，注意到双曲线的离心率e＞1，∴双曲线的离心率取值范围是．故选：A．30．（2023•洛阳模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B，且|F1F2|＝2|OB|（O为坐标原点）．下列四个结论正确的是（ ）①；②若，则双曲线C的离心率；③|BF1|﹣|BF2|＞2a；④．A．①②B．①③C．①②④D．①③④【解答】解：如图，∵|F1F2|＝2|OB|，O为F1F2的中点，∴|OF1|＝|OF2|＝|OB|，得BF1⊥BF2，则，即|BF1|＝，故①正确；设∠BOF2＝θ，则tanθ＝，cosθ＝，sinθ＝，作AA1⊥x轴，垂足为A1，BB1⊥x轴，垂足为B1，则|OB1|＝|OB|cosθ＝c•＝a，|BB1|＝|OB|sinθ＝c•＝b，∵，∴＝，得|AA1|＝b，|A1F1|＝（a+c），则A（（a﹣2c），b），∴，得（2c﹣a）＝a，则e＝，故②正确；设直线l与C右支的交点为M，则|MF1|﹣|MF2|＝2a，∵||MB|﹣|MF2||＜|BF2|，∴|MB|﹣|MF2|＞﹣|BF2|，则|MF1|﹣|MF2|＝|BF1|+|MB|﹣|MF2|＞|BF1|﹣|BF2|，则|BF1|﹣|BF2|＜2a，故③错误；设A（x0，y0），则|AF1|＝＝＝＝||，得|AF1|＝﹣（+a），由题意可知，0＜y0＜|BB1|＝b，则a2＜＝a2（1+）＜2a2，则﹣a＜x0＜﹣a，故c﹣a＜|AF1|＝﹣﹣a＜c﹣a，故④正确．故选：C．31．（2023•江西二模）已知双曲线E：，其左右顶点分别为A1，A2，P在双曲线右支上运动，若∠A1PA2的角平分线交x轴于D点，A2关于PD的对称点为A3，若仅存在2个P使直线A3D与E仅有一个交点，则E离心率的范围为（ ）A．B．C．D．（2，+∞）【解答】解：设直线PA1的倾斜角为α，直线PA2的倾斜角为β，由题设可得P不为右顶点．设P（x0，y0），则．双曲线在P（x0，y0）处的切线斜率必存在，设切线方程为y＝k（x﹣x0）+y0，由可得，整理得到：，故，整理得：即，故，故切线方程为：即．因为存在2个P使直线A3D与E仅有一个交点，故由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，此时α，β均为锐角且存在唯一的P满足题设条件．故直线PD与渐近线平行或与双曲线相切或．若直线PD与渐近线平行，则，而PD为∠A1PA2的平分线，故其倾斜角γ满足γ﹣α＝β﹣γ，故，故，故，但，故，而，由基本不等式可得，当且仅当tanα＝tanβ即α＝β时等号成立，此时PA1∥PA2，这不可能，故直线PD与渐近线不平行．若直线PD与双曲线相切，且切点为P（x0，y0），双曲线在P的切线方程为：，故且该切线的斜率为，所以直线A3D的斜率为．此时，而，即，故a2＝a2+b2，矛盾．故直线，所以，而直线A3D的倾斜角为α+β，因为直线A3D与双曲线有且只有一个交点，且D在OA2之间，故，由P在第一象限内的唯一性可得存在唯一的α，β，使得，而，故，所以即b2＞3a2，所以，故选：D．32．（2023•江西模拟）双曲线的左焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为（ ）A．B．C．±1D．【解答】解：由题意可知：F（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为P，过点A，B，M的圆的圆心坐标为G（0，t），则，由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x＝my﹣2，联立方程组化简整理可得，（m2﹣3）y2﹣4my+1＝0，则m2﹣3≠0，Δ＝16m2﹣4（m2﹣3）＝12m2+12＞0，，故AB的中点P的纵坐标，横坐标，则，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以，化简整理可得：①，则圆心G（0，t）到直线AB的距离，，，即，将①代入可得：，即，整理可得：m4﹣5m2+6＝0，则（m2﹣2）（m2﹣3）＝0，因为m2﹣3≠0，所以m2﹣2＝0，解得，所以．故选：A．33．（多选）（2023•宜章县模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C的渐近线在第一象限部分上的一点，线段PF2与双曲线交点为Q，且|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A．|OP|＝2aB．双曲线C的离心率e＝C．|QF1|＝aD．若△QF1F2的内心的横坐标为3，则双曲线C的方程为＝1【解答】解：对于A，如图，过F2作F2H⊥PO，垂足点为H，∵F2（c，0）到直线y＝x的距离d＝＝b，∴|F2H|＝b，又|OF2|＝c，tan∠POF2＝，∴易得|OH|＝a，又|F1F2|＝2|PF2|＝2|OF2|，∴|PF2|＝|OF2|，∴H为PO的中点，∴|OP|＝2|OH|＝2a，故A正确；对于B，设∠POF2＝θ，则tanθ＝，∴cosθ＝，sinθ＝，又由A知|OP|＝2a，∴P（2a cosθ，2a sinθ），即P（，），又F1（﹣c，0），|F1P|＝|F1F2|＝2c，∴＝2c，两边平方化简，可得4a4+c4+4a2c2+4a2b2＝4c4，∴4a4+c4+4a2c2+4a2（c2﹣a2）＝c4，∴8a2＝3c2，∴e2＝＝，∴e＝，故B错误；对于C，设|QF1|＝t，则QF2|＝t﹣2a，又|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|＝2c，∴cos∠QF2F1＝＝，∴在△QF2F1中，由余弦定理，可得＝，∴t＝，又由B知c＝a，∴t＝＝，故C正确；对于D，设△QF1F2的内心为I，且内切圆I与F1F2切于点E，则根据双曲线的定义及内切圆的几何性质，可得|QF1|﹣|QF2|＝|F1E|﹣|F2E|＝2a，又|F1E|+|F2E|＝2c，∴|F1E|＝c+a，|F2E|＝c﹣a，∴切点E为右顶点，又△QF1F2的内心的横坐标为3，∴a＝3，又由B知e＝，∴c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝24﹣9＝15，∴双曲线C的方程为＝1，故D正确，故选：ACD．34．（2023•万州区校级模拟）已知F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F1作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P，直线PF2与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF1，如图，若△PQF1内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2＝ ；双曲线的离心率e ＝ ．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），如图可得△QF1F2为等腰三角形，则△PQF1的内切圆圆心I在y轴上，又I恰好落在以F1F2为直径的圆上，可设I（0，c），双曲线的一条渐近线方程设为bx+ay＝0，则直线PF1的方程设为ax﹣by+ac＝0，则I到直线PF1的距离为＝|a﹣b|，由图象可得a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a，设Q（0，t），且t＞c，则直线QF2的方程为tx﹣cy+tc＝0，由内心的性质可得I到直线QF2的距离为b﹣a，即有＝b﹣a，化简可得abt2﹣tc3+abc2＝0，由Δ＝c6﹣4a2b2c2＝c2（a2﹣b2）2，解得t＝或＜c（舍去），则Q（0，），直线QF2的斜率为＝﹣，可得直线QF2与渐近线OM：bx+ay＝0平行，可得∠F1PF2＝，由F1到渐近线OM的距离为＝b，|OM|＝＝a，由OM为△PF1F2的中位线，可得|PF2|＝2|OM|＝2a，|PF1|＝2|MF1|＝2b，又|PF1|﹣|PF2|＝2a，则b＝2a，e＝＝＝．故答案为：，．另解：设由F1向渐近线y＝﹣x所作垂线的垂足为M，△PQF1的内心为I，由于|QF1|＝|QF2|，所以内心I在y轴上．又内心I在以线段F1，F2为直径的圆上，所以|OF1|＝|OF2|＝c，连接IF1．IF2，则∠IF1O＝∠IF2O＝45°，设∠QF1I＝∠QF2I＝α，则∠IF1P＝∠QF1I＝α，因此∠PF1F2＝45°﹣α，而∠PF2F1＝∠QF2I+∠IF2O＝45°+α，因此∠PF1F2+∠PF2F1＝45°﹣α+45°+α＝90°，故∠F1PF2＝90°．又F1M⊥OM，所以OM∥PF2，所以M为PF的中点，易求得|OM|＝a，于是|PF2|＝2a．由双曲线定义可得|PF1|＝2a+2a＝4a，在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，于是c2＝5a2，故得双曲线的离心率e＝．故答案为：，．35．（2023•淮北一模）已知双曲线C：过点，则其方程为 ，设F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|ME|﹣|NE|的取值范围是 ．所以双曲线C的方程为．②如图：设△AF1F2的内切圆与AF1，AF2，F1F2分别切于H，D，G，所以|AH|＝|AD|，|HF1|＝|GF1|，|DF2|＝|GF2|，所以|AF1|﹣|AF2|＝|AH|+|HF1|﹣|AD|﹣|DF2|＝|HF1|﹣|DF2|＝|GF1|﹣|GF2|＝2a，又|GF1|+|GF2|＝2c，所以|GF1|＝a+c，|GF2|＝c﹣a，又|EF1|＝a+c，|EF2|＝c﹣a，所以G与E（a，0）重合，所以M的横坐标为a，同理可得N的横坐标也为a，设直线AB的倾斜角为θ．则，，＝＝＝＝，当时，|ME|﹣|NE|＝0，当时，由题知，a＝2．c＝4，．因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴．且，，综上所述，．故答案为：；．36．（多选）（2023•芜湖模拟）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，过F2的直线交双曲线C的右支于M，N两点，且M（x1，y1）在第一象限，△MF1F2，△NF1F2的内心分别为I1，I2，其内切圆半径分别为r1，r2，△MF1N的内心为I．双曲线C在M处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ）A．点I1、I2均在直线x＝3上B．直线MI的方程为C．D．【解答】解：由双曲线得a＝3，b＝4，c＝5，设△MF1F2的内切圆I1与MF1，MF2，F1F2分别切于点A，B，H，则|MA|＝|MB|，|F1A|＝|F1H|，|F2B|＝|F2H|，所以|MF1|﹣|MF2|+|F1F2|＝|F1A|+|MA|﹣|F2B|﹣|MB|﹣|F1H+F2H|＝2a+2c＝16，又|OF1|＝5，所以|OH|＝3，即圆I1与x轴的切点是双曲线的右顶点，即I1在直线x＝3上，同理可得圆I2与x轴的切点也是双曲线的右顶点，即I2也在直线x＝3上，故选项A正确；因为△MF1N的内心为I，所以MI平分∠F1MF2，根据双曲线的光学性质，双曲线C在M处的切线就平分∠F1MF2，故直线MI的方程为，故B正确；设△NF1F2的内切圆I2与MN切于点D，连接I1B，I2D，I1F2，I2F2，设∠I2I1F2＝θ，∠I1I2F1＝α，因为IB⊥MN，I2D⊥MN，所以I1B∥I2D，所以2θ+2α＝π，即，所以tanθ•tanα＝1，又|F2H|＝2，所以tan，tan，即tan＝1，所以r1r2＝4，故C不正确；由B可得MI的方程为，①设N（x2，y2），同理可得NI的方程为，②联立①②可得x＝，可设MN的方程为x＝my+5，可得x1＝my1+5，x2＝my2+5，则x＝＝，所以I在直线x＝上，所以I到I1I2的距离为d3＝3﹣＝，F2到I1I2的距离为d4＝5﹣3＝2，所以＝＝．故D正确．故选：ABD．37．（多选）（2023•广东模拟）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆记为圆I，圆I的半径为r，过F1作PI的垂线，交PI的延长线于Q，则（ ）A．动点I的轨迹方程为x＝4（y≠0）B．r的取值范围为（0，3）C．若r＝1，则tan∠F1PF2＝D．动点Q的轨迹方程为x2+y2＝16（x≠4且x＞﹣）【解答】解：设Ⅰ（x，y），设△PF1F2的内切圆分别与边PF1，PF2，F1F2切于A，B，C三点，如图所示，对于A：由题知，a＝4，b＝3，c＝5，F1（﹣5，0），F2（5，0），8＝|PF1|﹣|PF2|＝（|PA|+|F1A|）﹣（PB|+|F2B|）＝|F1A|﹣|F2B|＝|F1C|﹣|F2C|，所以（x+5）﹣（5﹣x）＝8，x＝4，显然y≠0，故A正确；对于B：根据对称性，不妨假设P点在x轴上方，根据A选项可设Ⅰ（4，r），双曲线的一条渐近线为，考虑P点在无穷远时，直线PF1的斜率趋近于，此时PF1的方程为，圆心到直线的距离为＝3，所以r的取值范围为（0，3），故B正确；对于C：r＝1时，|IB|＝|IC|＝1，|F2C|＝1，此时PF2⊥F1F2，所以，，因为|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，所以，故C错误；对于D：分别延长F1Q，PF2交于点M，因为PQ过内切圆圆心I，所以PQ为角平分线，且PQ⊥F1M，所以|PF1|＝|PM|，且Q为F1M的中点，所以|PF1|﹣|PF2|＝|PM|﹣|PF2|＝|MF2|＝8，又因为点O为F1F2的中点，Q为F1M的中点，所以，所以动点Q的轨迹方程为x2+y2＝16，显然x≠4，又考虑P点在无穷远时，此时直线OP趋近于渐近线，直线F1Q为，联立方程组，解得，则，所以点Q的横坐标，动点Q的轨迹方程为，故D正确；故选：ABD．38．（2023•赤峰模拟）初中时代我们就说反比例函数的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把的图象顺时针旋转可以得到双曲线．已知函数，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：对函数，其定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，用﹣x，﹣y替换x，y，方程不变，故其图象关于原点对称．又当x＞0，且x趋近于0时，y趋近于正无穷，当x趋近于正无穷时，趋近于0，此时的图象与y＝无限靠近，故的两条渐近线为y轴与y＝，为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴x′，y′必须平分两条渐近线的夹角，又y＝，其斜率为k＝，此时其在原坐标系中其倾斜角为30°，与y轴夹角为60°，故新坐标系中，x′轴与x轴的夹角应为60°，故x′轴所在直线在原坐标系中的方程为y＝x，y′轴与其垂直，在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，联立，可得x2＝3，y2＝9，则a2＝x2+y2＝12，又在新坐标系下，双曲线的渐近线x＝0与x轴的夹角为30°，故＝，即，故在新坐标系下双曲线方程为．故选：A．三．直线与双曲线的综合（共22小题）39．（2023•射洪市校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，点A（0，m），若直线AF与C 只有一个交点，则m＝（ ）A．±2B．C．D．±4【解答】解：双曲线的右焦点为F（4，0），点A（0，m），双曲线的渐近线方程：y＝x，直线AF与C只有一个交点，可得，解得m＝．故选：B．40．（2023•赤峰三模）2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0）F2（a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C．已知P（x0，y0）是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（ ）A．双纽线C关于原点O成中心对称B．C．双曲线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个D．|OP|的最大值为【解答】解：对于A，因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0），距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C，所以，用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y），原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，所以A正确；对于B，根据三角形的等面积法可知＝，即|y0|＝sin∠F1PF2，所以，所以B正确；对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x＝0，所以，得y＝0，所以这样的点P只有一个，所以C错误；对于D，因为，所以||2＝（﹣cos∠F1PF2+），由余弦定理得4a2＝﹣cos∠F1PF2+，所以||2＝a2+cos∠F1PF2＝a2+a2cos∠F1PF2≤2a2，所以|PO|的最大值为，所以D正确．故选：C．41．（2023•淮北二模）已知A（﹣2，0），B（2，0），过P（0，﹣1）斜率为k的直线上存在不同的两个点M，N满足：．则k的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：因为，所以M，N是以A（﹣2，0）、B（2，0）为焦点的双曲线的右支上的两点，且c＝2，，所以，∴双曲线方程为，则过P（0，﹣1）斜率为k的直线方程为y＝kx﹣1，由，消去y整理得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6＝0，所以，解得，即k的取值范围为．故选：C．42．（2023•河南模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段F1B与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且F2M⊥AB，若∠AF1F2＝30°，则双曲线E的离心率为（ ）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），∠AF1F2＝30°，可得AB的方程为：y＝（x+c），代入双曲线方程化简可得：（3b2﹣a2）x2﹣2a2cx﹣a2c2﹣3a2b2＝0，所以x M＝，y M＝（+c），＝，解得a2＝b2，所以双曲线的离心率为：e＝＝＝．故选：D．43．（2023•天津模拟）双曲线的左右焦点分别是F1，F2，离心率为e，过点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点．若△MF2N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|＝m，因为△MNF2是以M为直角顶点的等腰直角三角形，所以|MN|＝m，|NF2|＝m，|MF1|＝，|NF1|＝m﹣，由双曲线的定义知，|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，又|MF1|＝m﹣2a，|NF1|＝m﹣2a，，解得m＝2a，则，解得，双曲线的离心率为e，可得e2＝5﹣2．故选：A．44．（2023•让胡路区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF1的中点，且BF1⊥BF2，则C 的离心率为（ ）A．B．2C．D．3【解答】解：由题意可知，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，A为线段BF1的中点，当交点在x轴上方或x轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图．根据双曲线可得，F1（﹣c，0），F2（c，0），两条渐近线方程，∵BF1⊥BF2，O为F1F2的中点，∴BO＝OF1＝OF2＝c，又∵A为线段BF1的中点，∴OA垂直平分BF1，可设直线BF1为①，直线BF2为②，直线BO为③，由②③得，交点坐标，点B还在直线BF1上，∴，可得b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，所以双曲线C的离心率，故选：B．。

2023年高考数学---《离心率问题》解题方法讲解1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）ABC ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y − 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+−+−+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a −=， 所以()2221222114b a x ax a −=−+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =−故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅−=−，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=−，故2214b a = 所以椭圆C的离心率ce a= A. 2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =−，令x c =−，则22221c y a b−=，解得2b y a =±，所以22bAB a =,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bca =c =，所以222212a c b c =−=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+−=−+−=−++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b −≤≤，当32b b c−≤−，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 0e <≤当32b b c −>−，即22b c <时， 42222maxb PB a bc =++，即422224b a b b c ++≤，化简得， ()2220c b −≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ）A B ．32C D 【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ， 所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支， OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 21NF NF 2a −=532222a a b a ⎛⎫−−= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=， 选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 所以OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=， 由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==， 12NF NF 2a −=352222a b a a +−=， 所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a =选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y −=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49−=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ， 若,M N 分别在左右支， 因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 又OG a =，1OF c =，1GF b =， 设12F NF α∠=，21F F N β∠=， 在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+， 故()122sin sin sin NF NF cαββα−=+−即()sin sin sin a c αββα=+−，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+−，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=， 代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a =若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=−， 故()212sin sin sin NF NF cβαβα−=−+即sin sin cos cos sin sin a c βαβαβα=−−，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故e =故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =−=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+−=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE直线DE 的方程：x c =−，代入椭圆方程22234120x y c +−=，整理化简得到：221390y c −−=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =−==⨯⨯⨯=， ∴ 138c =， 得1324a c ==， ∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=， 联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫− ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b −=，解得：228124c a =，所以离心率e =7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________． 【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以=c e a又因为1e >，所以1e <故答案为：2（满足1e <≤。

专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。

专题求离心率题型一利用几何性质求解题型二利用坐标法求解题型三利用第一定义求解题型四利用第二定义求解题型五利用第三定义求解题型六与斜率乘积相关题型七焦点三角形双余弦定理模型题型八焦点弦与定比分点题型一利用几何性质求解1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，两个焦点为1F ，2F ，线段2BF 的垂直平分线过点1F ，则椭圆的离心率为．【答案】12/0.5【分析】求出线段2BF 的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得224a c =，再结合222a b c=+可求得离心率.【详解】如图，设2BF 的垂直平分线与2BF 交于点H ，由题，()1,0F c -，()2,0F c ，()0,B b ，则,22c b H ⎛⎫⎪⎝⎭，()10232F Hb b kc c c -∴==--，200BF b b k c c -==--，121F H BF k k ⋅=- ，13b b c c ⎛⎫∴⨯-=- ⎪⎝⎭，化简得，223b c =，由222a b c =+，解得224a c =，22214c e a ∴==，即12e =.故答案为：12.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为()1,0F c -，坐标原点为O ，若在双曲线右支上存在一点P 满足1PF =，且PO c =，则双曲线C 的离心率为.1【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.【详解】如图，因为12||||PO c FO F O ===，所以1122,PF O OPF PF O OPF ∠=∠∠=∠，所以1212π2OPF OPF F PF ∠+∠=∠=，则2222221212||||||,32)4PF PF F F c a c +=∴+-=，22240c a -+=，220e -+=，解得1e =.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且212PF F F ⊥，过P 作1F P 的垂线交x 轴于点A ，若212AF c =，记椭圆的离心率为e ，则2e =.【分析】由题意可得22122PF F F AF =⋅，从而可求得2PF c =，根据勾股定理可求得1PF ，利用椭圆离心率的定义即可求得结果.【详解】如下图所示：因为212PF F F ⊥，1AP PF ⊥，所以122PF F APF ，可得22122P F F A F F PF =，即222212122P F A F c F c c F =⋅=⋅=，可得2PF c =；又在12Rt PF F 中，1PF ==，由椭圆定义可得122PF PF a +=2c a +=，所以12c e a ===，可得22e ==⎝⎭4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为()()12,0,,0,F c F c M -是椭圆上一点，且满足120F M F M ⋅= .则椭圆离心率e 的取值范围为（）A ．22⎡⎢⎣⎦B ．22⎛ ⎝⎭C ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．2⎫⎪⎪⎣⎭【答案】D【分析】根据给定条件，可得12F M F M ⊥，进而得出||MO c b =≥，再求出离心率范围即得.【详解】由点M 满足120F M F M ⋅=，得12F M F M ⊥，即12F MF △是直角三角形，原点O 是斜边12F F 的中点，因此||MO c =，又点M 在椭圆上，则c b ≥，即2222c b a c ≥=-，整理得2212c a ≥，即212e ≥，而01e <<，因此212e ≤<，所以椭圆离心率e 的取值范围为22⎫⎪⎪⎣⎭.故选：D5．点P 在椭圆上，且在第一象限，过右焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OA =，则该椭圆的离心率为．【答案】3【分析】延长2F A ，交1PF 于点Q ，根据PA 是12F PF ∠的外角平分线，得到2||=AQ AF ，2||PQ PF =，再利用椭圆的定义求解.【详解】延长2F A ，交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO ∴∥，且12||QF OA ==.又1112||2QF PF PQ PF PF a =+=+=，2a ∴=，222233()a b a c ∴==-，则62a c =，∴离心率为c a =故答案为：36．如图，A B C ，，是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三个点，AB 经过原点O AC ，经过右焦点F ，若BF AC⊥且3BF CF =，则该椭圆的离心率为.【答案】2【分析】设椭圆的左焦点为()1,0F c -，连接111,,AF BF CF ，设CF m =，利用对称性得到13AF BF m ==，23AF a m =-，12CF a m =-，再根据BF AC ⊥，分别在1AF C △和1R t AF F 中，利用勾股定理求解.【详解】解：如图所示：设椭圆的左焦点为()1,0F c -，连接111,,AF BF CF ，设CF m =，由对称性知：13AF BF m ==，23AF a m =-，12CF a m =-，因为1//AF BF ，所以1AF AC ⊥，在1AF C △中，22211AF AC CF +=，即()()2229222m a m a m +-=-，解得3a m =，在1R t AF F 中，()()2229232m a m c +-=，将3a m =代入上式，得22c e a ==，故答案为：22题型二利用坐标法求解7．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，平行于x 轴的直线l 分别交C 的渐近线和右支于点A ，B ，且90OAF ∠=︒，OBF OFB ∠=∠，则C 的离心率为（）A．2BC ．32D【答案】B【分析】设(),B m n ，联立方程组求得,an A n b ⎛⎫⎪⎝⎭，根据90OAF ∠=︒，得到1AF OA k k ⋅=-，求得ab n c =，再由(),B m n 在双曲线C 上，化简得到22422a c am c+=，结合OB OF =，化简得到222a c =，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±.设(),B m n ，联立方程组b y x a y n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得,an A n b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为90OAF ∠=︒，所以1AF OAk k ⋅=-，即1n ban a c b⋅=--，可得ab n c=.又因为点(),B m n 在双曲线C 上，所以22221m na b-=，将ab n c =代入，可得22422a c a m c +=，由OBF OFB ∠=∠，所以OB OF =，所以222m n c +=，即22422222a c a a bc c c++=，化简得222a c =，则ce a==.故选：B.8．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（）AB C ．2D【答案】D【分析】设P 的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设00(,)P x y ，双曲线的半焦距为c ，则有0||x a ≥，2200221x y a b-=，12(,0),(,0)F c F c -，于是200100(,),(,)PF c x y PF c x y =--=---，因此22222222222222220210000222(1)x c c PF PF x c y x b c x b c a b c b a a a⋅=-+=+--=⋅--≥⋅--=- ，当且仅当0||x a =时取等号，则222a b -≥-，即222b a ≥，离心率c e a ==≥，故选：D9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ADB ∠为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（）A．(B．C．)2D．)+∞【答案】D【分析】根据双曲线的性质求出,,A B D 的坐标，写出向量,DA DB，根据∠ADB 为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1(,0)F c -，令x c =-，得2by a=±，可设22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由对称性，不妨设(0,)D b ，可得2,b DA c b a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，2,b DB c b a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由题意知,,A D B 三点不共线，所以∠ADB 为钝角0DA DB ⇔⋅<，即为2220b b c b b a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入化简得4224420e a c a -+>，由ce a=，可得42420e e -+>，又1e >，解得22e >e ，综上，离心率的取值范围为)+∞．故选：D.10．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P ﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为.【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a ⋅=-= ，ce a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得e =故答案为：622．11．已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点1F 作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点,A B （,A B 在同一象限内），且满足1F A AB =．联结2AF ，满足21AF BF ⊥．若该双曲线的离心率为e ，求2e 的值．【答案】12-【分析】设点()0000,()0,0A x y x y <>，由21AF BF ⊥，A 在双曲线上，1F A AB =得到B 的坐标，然后根据B在渐近线b y x a =-上列方程，解方程得到a b =，然后求离心率即可.【详解】不妨设()0000,()0,0A x y x y <>，由21AF BF ⊥得00001y y x c x c⋅=--+，化简得222000y x c +-=（1），A 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002a y x a b =+，代入（1）解得20b y c=，1F A AB = ，()002,2B x c y ∴+，又B 在渐近线by x a=-上，()0022by x c a∴=-+，即0022bx ay bc +-=．两边平方得222222000444b x a y b c abcy =++（2），将2222002a y x a b =+和20b y c =代入（2）得242422322224444a b a b b c ab a b c c++=+，化简得22340a ab b --=，解得a =或a b =（舍去），即)222a c a =-，化简得212e =-.故答案为：12-.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 斜率为43的直线与C 的右支交于点P ，若线段1PF 与y 轴的交点恰为1PF 的中点，则C 的离心率为（）A ．13B C ．2D ．3【答案】D【分析】求得P 点坐标，根据直线1PF 的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】由于线段1PF 与y 轴的交点恰为1PF 的中点，且O 是12F F 的中点，所以212PF F F ⊥，由22221c y a b -=解得2P by a=，则2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，而()1,0F c -，所以1222242223PF b b c a a k c ac ac -====，2222833,3830ac c a c ac a =---=，两边除以2a 得23830e e --=，解得3e =或13e =-（舍去）.故选：D13．直线2y x =与椭圆C ：22221x y a b+=的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为（）A1BC1D．12【答案】A【分析】根据A 在椭圆上和直线2y x =上列方程，整理后求得椭圆的离心率.【详解】设在第一象限的交点为A ，右焦点为(),0F c ，根据题意：AF x ⊥轴，A 在椭圆上，由22221c y a b +=解得2A b y a =，则2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 在直线2y x =上，则(),2A c c ，所以22b c a=，22b ac =，222-=a c ac ，所以()221001e e e +-=<<，解得1e =.故选：A题型三利用第一定义求解14．已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>分别是C 的左，右焦点，P 为C 上一点，若线段1PF 的中点在y 轴上，12π6PF F ∠=，则C 的离心率为（）AB ．23CD．2【答案】A【分析】根据中点关系可得2PF x ⊥轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解.【详解】由于线段1PF 的中点M 在y 轴上,O 是12F F 的中点，所以22//,MO PF PF x ∴⊥轴，122F F c =，12π6PF F ∠=，所以1221212112tan ,cos 32F F PF F F PF F PF PF F =∠=∠，2a a e ⇒=⇒=故选：A15．1F ，2F 是椭圆E ：()222210 x y a b a b+=>>的左，右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N 在x 轴上，满足1245FM N F MN ∠=∠=︒，1234NF NF =，则椭圆E 的离心率为.【答案】57【分析】根据1245FM N F MN ∠=∠=︒，得到12F M F M ⊥，且MN 是12F MF ∠的角平分线，再结合1234NF NF =和角平分线定理得到1243F M F M=，然后在12Rt F MF △中，利用勾股定理求解.【详解】解：因为1245FM N F MN ∠=∠=︒，所以12F M F M ⊥，则MN 是12F MF ∠的角平分线，所以1122F M F N F MF N=，又因为1234NF NF =，所以1243F M F M=，设124,3F M F x M x ==，由椭圆定义得122F M F M a +=，即432x x a +=，解得27x a =，则1286,77F M F M a a ==，则22286477a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222549c a =，则57c e a ==，故答案为：5716．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，经过2F 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，O 为坐标原点，且()2220,2OP OF PQ PF F Q +⋅==，则椭圆C 的离心率为.【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率.【详解】因为()2220,2OP OF PQ PF F Q +⋅== ，所以()22302OP OF PF +⋅=，即()()22302OP OF OF OP +⋅-=，所以21OP OF OF c === ，所以12π2F PF ∠=.设2F Q x =，则22PF x =，所以1122,2PF a x QF a x =-=-，由22211||PF PQ QF +=得222(22)(3)(2)a x x a x -+=-，所以3a x =，所以2124,33a PF a PF ==，在12Rt PFF △中，由2221212PF PF F F +=，得22224(2)33a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以53c e a ==.故答案为:17．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N = ，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A ．34B ．23C D 【答案】C【分析】设1NF n =，结合椭圆的定义，在2Rt MNF △中利用勾股定理求得3an =，12Rt MF F △中利用勾股定理求得223620c a =，可求椭圆C 的离心率.【详解】连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =-，22NF a n =-，在2Rt MNF △中22222N M MF NF +=，即()()()2223222n a n a n +-=-，22222948444n a an n a an n ∴+-+=-+，2124n an ∴=，3an =，123a MF ∴=，243a MF =，在12Rt MF F △中，2221212MF MF F F +=，即222416499a a c =+，223620c a ∴=，2205369e ==，又()0,1e ∈ ，e ∴=故选：C.18．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12120F PF ∠=，124PF PF =，则C 的离心率为（）AB ．215C D 【答案】A【分析】根据124PF PF =，12120F PF ∠=，利用余弦定理可得2c =，再由双曲线定义可得32m a =，由离心率定义可得c e a ==.【详解】如下图所示：根据题意可设21,4,0PF m PF m m ==>，易知122F F c =；由余弦定理可知2222112212212221741cos 24P m PF F F F P c F PF m m F PF +-∠=⋅==--⋅，可得22214c m =；即212c =，由双曲线定义可知可知1232PF PF m a -==，即32m a =；所以离心率213c e a ==.故选：A19．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 倾斜角为30 的直线与双曲线的左，右两支分别交于点,A B .若22AF BF =，则双曲线C 的离心率为（）AB C ．2D ．【答案】A【分析】设22AF BF m ==，利用双曲线的定义及题中几何关系将m 用a c 、表示，再利用几何关系建立关于a c 、齐次方程，从而求出离心率.【详解】如图，过2F 作2AB F N ⊥与N,设22AF BF m ==，则12AF m a =-，12BF a m =+，∴114AB BF AF a =-=，2AN a =，1F N m =，由题意知1230BF F ︒∠=，∴在12Rt F NF 中，212sin 30F N F F c ︒==，112cos30F N F F ︒==，∴m =，在2Rt ANF 中,22222AN NF AF +=,即())2222a c +=解得c a=双曲线C.故选：A.题型四利用第二定义求解20．已知直线1y x =-与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则a b的值为．【答案】【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法可求ab的值.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,M x y ，故2211222211ax by ax by ⎧+=⎨+=⎩，所以()()()()111122220a x y x y b x y x y -++-+=即()()1201200a x x x b y y y -+-=，所以0121200y y y a b x x x -+⨯⨯=-.因为过原点和线段AB中点的直线的斜率为002y x =-.由:1AB y x =-+可得12121y y x x -=--，所以()102a b ⎛⎫+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以2a b =-.故答案为【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.21．已知椭圆C 的左右焦点分别为1F ，2F ，P ，Q 为C 上两点，2223PF F Q =，若12PF PF ⊥ ，则C 的离心率为（）A ．35B ．45CD【答案】D【分析】根据椭圆的焦点三角形，结合勾股定理即可求解.【详解】设23PF m =，则22QF m = ，123PF a m =- ，122QF a m =- .5PQ m =在1PQF △中得：()()222232522a m m a m -+=-，即215m a =.因此225PF a = ，185PF a = ，212F F c = ，在12PF F △中得：22264442525a a c +=，故221725a c =，所以175e =.故选：D22．设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若113MF F N =，且24cos 5MNF ∠=，则椭圆C 的离心率为.【分析】如图，设1F N x =，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得3ax =，后在12NF F △由余弦定理可得12F F ，即可得答案.【详解】如图，设1F N x =，则13MF x =，4MN x =.又由椭圆定义可得2223,2MF a x F N a x =-=-.则在2MNF 中，由余弦定理可得:()()()222222222162234425825MN NF MF x a x a x MN NF x a x +-+---=⇒=⋅-()222288410101681868253x ax a x ax ax x x ax x x a x +⇒=⇒+=-⇒=⇒=-.则125,33a aF N NF ==，则在12NF F △由余弦定理可得：12F F a=.又12222c F F c c e a =⇒=⇒==.故答案为：2223．已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为2F ，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于,G H 两点，且222GF F H = ，则椭圆的离心率为（）A ．12BC ．23D【答案】C【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与222GF F H =构建出关于a 、b 、c 的齐次方程，根据离心率公式即可解得.【详解】设()2,0F c ，()11,G x y ，()22,H x y ，过点2F 做倾斜角为π3的直线斜率k =直线方程为)y x c =-，联立方程)22221x y a by x c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得22224123033a b y b cy b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，根据韦达定理：21222233cy y a b+=-+，4122233b y y a b =-+，因为222GF F H =，即()()1122,2,c x y x c y --=-，所以122y y =-，所以()22121242112221222323y y y y b y y y y a b⎛ +⎝⎭+=-=-=---+，即2224132c a b =+，所以22238a b c +=，联立22222238a b c a b c ⎧+=⎨=+⎩，可得2249a c =，24293e e =⇒=.故选：C.24．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1F ，过左焦点1F 作倾斜角为π6的直线交椭圆于A ，B 两点，且113AF F B =，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．23CD【答案】C【分析】联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而根据向量共线的坐标运算可得22239a b c +=，进而结合222a b c =+求解离心率.【详解】设()1,0F c -，()11,A x y ，()22,B x y ，过点1F 所作直线的倾斜角为π6所以直线方程可写为x c =-，联立方程22221x y a b x c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222430a b y cy b +--=，()()22422043cb a b =++>∆，根据韦达定理：12y y +=412223b y y a b =-+，因为113AF F B =，即()()1122,3,c x y x c y ---=+，所以123y y =-，所以()2222212124211222233122333c a b y y y y b y y y y a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭+=-=-=---+，即2223133c a b =+，所以22239a b c +=，联立22222239a b c a b c ⎧+=⎨=+⎩，可得223a c =，2133e e =⇒=.故选：C25．设12,F F 分别为椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左右焦点，M 为椭圆上一点，直线12,MF MF 分别交椭圆于点A ，B ，若11222,3MF F A MF F B ==，则椭圆离心率为（）ABC ．37D【答案】D【分析】设出()00,M x y ，根据向量的定比分点，将,A B 两点的坐标表示成含00,x y 的式子，再代入椭圆方程联立即可解得2237a c =，即可求得离心率.【详解】如下图所示：易知()()12,0,,0F c F c -，不妨设()00,M x y ，()()1122,,,A x y B x y ，易知2200221x y a b+=，由112MF F A = 可得()()01012020c x x c y y ⎧--=+⎪⎨-=-⎪⎩，即0101322c x x y y --⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩同理由223MF F B = 可得0202433c x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；将()()1122,,,A x y B x y 两点代入椭圆方程可得22002222002232214331c x y a bc x y a b ⎧--⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎨-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=⎪⎩；即222000222220002296144168199c x cx y a bc x cx y a b ⎧+++=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，又2200221x y a b +=，整理得220220322c cx a c cx a ⎧+=⎨-=⎩解得2237a c =，所以离心率217c e a==；故选：D26．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，过左焦点F 且不与x 轴垂直的直线l 交E 于P 、Q 两点，若直线2a x c =-上存在点T ，使得PQT △是等边三角形，则E 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【分析】设直线PQ 的方程为x my c =-，其中0m ≠，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出PQ 的长以及等边PQT △的高，根据几何关系可得出a c 该椭圆离心率的取值范围.【详解】知点(),0F c -，设直线PQ 的方程为x my c =-，其中0m ≠，设点()11,P x y 、()22,Q x y，联立22221x my cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22222420a b m y b cmy b +--=，()()422422224244410b c m b a b m a b m ∆=++=+>，由韦达定理可得2122222b cmy y a b m +=+，412222b y y a b m=-+，所以，()2222221ab m PQ a b m+=+，设线段PQ 的中点为()00,M x y ，则21202222y y b cm y a b m +==+，22200222222b cm a cx my c c a b m a b m=-=-=-++，因为PQT △为等边三角形，则TM PQ ⊥，且直线TM 的斜率为m -，所以，()32220222a b a TM x c c a b m =+=+，且πtan3TM PM ==，即TM=，即()()322222222221a b m a b m c a b m +=++，整理可得(a c =1ca<<，故选：D.题型五利用第三定义求解27．双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线方程作差有:()()()()1112121222x x x x y y y y a b -+-+=，有2121221212()()2()()y y y y b a x x x x -+==-+，所以223c a=，e =故选：B ．【点睛】本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.28．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（）A ．2BC ．3D【答案】A【解析】设()()1122,,,B x y D x y ，得22112222222211x y a b x y ab ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得到()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，代入条件即可计算离心率．【详解】设()()1122,,,B x y D x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a -=可得2ce a==．故选：A.【点睛】直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题，其解法可以利用“点差法”．29．已知椭圆，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．2B ．12C ．14D．2【答案】A【分析】点差法解决中点弦问题.【详解】由题意，设椭圆方程为22221x y a b+=，有(),0F c -，()0,P b -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，122x x ∴+=，121y y +=．//PF l ，1212PF l y y b k k c x x -∴==-=-．由2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，即1212221212()()()()x x y y a y y b x x +-=-+-，∴222a cbb =，可得：22bc a =，22244()c a c a ∴-=，化为：424410e e -+=，解得212e =，01e <<，e ∴=故选：A ．30．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别为双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，直线l ：x y c b +=1与C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于T （﹣5c ，0），则C 的离心率为（）ABCD【答案】D【分析】设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为S (x 0，y 0)，运用点满足双曲线方程，作差，结合中点坐标公式和平方差公式，以及直线的斜率公式，两直线垂直的条件，以及双曲线的离心率公式，计算可得所求值．【详解】设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为S (x 0，y 0)，联立方程组2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减可得b 2(x 12﹣x 22)=a 2(y 12﹣y 22)，可得b 2(x 1﹣x 2)(x 1+x 2)=a 2(y 1﹣y 2)(y 1+y 2)，可得2b 2(x 1﹣x 2)x 0=2a 2(y 1﹣y 2)y 0，所以kMN 20122120b x y y b c x x a y -=-==-，即b c -2020y b x a⋅=（1），由kMN ⋅kST =-1，可得b c -⋅005y x c =-+1（2），由（1）（2）可得x 025a c =-，y 0=5b ，即S (25a c -，5b )，又S 在直线l 上，所以225a c-+5＝1，解得e c a ==故选：D ．【点睛】本题考查了双曲线的方程和性质，考查了点差法和方程思想、运算求解能力，属于中档题．31．（多选）已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B ．椭圆CC ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为c e a ==，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()222121224F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．32．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点M ，点F 为右焦点，点P 为下顶点，2FP MF = ，则椭圆的离心率为.【分析】过M 作MN x ⊥轴于N ，根据相似关系确定3,22c b M ⎛⎫⎪⎝⎭，代入方程计算得到答案.【详解】如图所示：过M 作MN x ⊥轴于N ，2FP MF = ，则122b MN OP ==，122c NF FO ==，故3,22c b M ⎛⎫⎪⎝⎭，则222291441c b a b+=，整理得到29344e =，故33e =.题型六与斜率乘积相关33．已知A ，B 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点，F 是C 的焦点，点P 为C 的右支上位于第一象限的点，且PF x ⊥轴.若直线PB 与直线PA 的斜率之比为3，则C 的离心率为（）ABC ．2D ．3【答案】C【分析】由已知可得A ,B ,P 的坐标，求得PA ,PB 所在直线的斜率，再由直线PB 与直线PA 的斜率之比为3列式求双曲线C 的离心率．【详解】由题意可得，(,0)A a -，(,0)B a ，P 点的横坐标为c ，代入22221c y a b-=，又0P y >，所以2(,)b P c a ，2PAb a kc a =+，2PBb a kc a =-，则3PBPAk c a kc a +==-，可得2ca=．即双曲线的离心率为2．故选：C ．34．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，点A 满足3OA OF = ，点P 、Q 在双曲线上，且2AQ AP = ．若直线PQ ，PF 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为．【详解】如图，取P ，Q 的中点为M ，连接OM ，PF，则由题意可得，2PA PM =，2AF FO =，所以APF ，AMO 相似，所以PF MO ∥，因为直线PQ ，PF 的斜率之积为13，所以13PQ OM k k =⋅，设()11P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭,且22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=,即()()()()2121221212y y y y b x x x x a +-=+-，即2213PQ OMb k a k ==⋅，即2213b a =，所以双曲线的离心率为233e ===．35．设椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为(),0F c ，点()3,0A c 在椭圆外，P 、Q 在椭圆上，且P 是线段AQ 的中点.若直线PQ 、PF 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为.【答案】2【分析】取线段PQ 的中点M ，连接OM ，推导出//OM PF ，可得出12OM PQ PF PQ k k k k ==-，利用点差法可求得22b a的值，由此可求得椭圆Γ的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，点(),0E c -为椭圆Γ的左焦点，因为点()3,0A c 、(),0F c ，易知点F 为线段AE 的中点，又因为P 为AQ 的中点，所以，//PF QE ，取线段PQ 的中点M ，连接OM ，则2AP AF PMOF==，所以，//OM PF ，所以，OM PF k k =，故12OM PQ PF PQ k k k k ==-，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差可得22221212220x x y y a b --+=，可得2221222212y y b x x a -=--，所以，122221212222121212012202OM PQy y y y y y b k k x x x x x x a +---=⋅==-=-+---，所以，椭圆Γ的离心率为2c e a ====.故答案为：22.36．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为2c ，左焦点为F ，直线l 与C 相交于A ，B 两点，点P 是线段AB 的中点，P 的横坐标为13c ．若直线l 与直线PF 的斜率之积等于316-，则C 的离心率为．【答案】12/0.5【分析】设()()1111,,,A x y B x y ，求出PF 的斜率，利用点差法求出直线l 的斜率，在根据题意求出,,a b c 之间的关系即可得解.【详解】(),0F c -，设()()1111,,,A x y B x y ，因为点P 是线段AB 的中点，P 的横坐标为13c ，所以12122,,332y y c c x x P +⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()121212123224832PFy y y y y y k x x c c c+++===++，由直线l 与C 相交于A ，B 两点，得2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得2222112222220x y x y a b a b+--=，即()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+，即212122l k y y x x b a⋅=++-，所以()222221211223l x x c y y b b k a y a y +=-=-⋅+⋅+，则()()2212122233623841l PFy y b b k a c y y k c a +⋅=-⋅⋅=-=-+，所以2234b a =，所以离心率12c e a ===.故答案为：12.37．双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点为A ，点,M N 均在C 上，且关于y 轴对称.若直线AM ，AN的斜率之积为54-，则C 的离心率为（）A ．32B C ．2D 【答案】A【分析】根据已知条件列方程，化简求得22b a，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意(),0A a -，设(),M m t ，则(),N m t -，m a >且222222222222221,m t a b t a t a m a a b b b+-===+，而22254AM ANt t t k k m a m a a m ⋅=⋅==-+-+-，()222222222225455t a t a t m a a a b b ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，2254b a =，所以32c e a ==.故选：A38．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，P 、Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，若直线AP ，AQ 的斜率之积为25-，则C 的离心率为（）A B C D 【答案】A【分析】根据题意结合椭圆方程整理得22AP AQ b k k a⋅=-，进而可求离心率.【详解】由题意可知：(),0A a ，设()()000,0P x y y ≠，则()00,Q x y --，可得000000,AP AQ y y y k k x a x a x a -===---+，则200022000AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅=-+-，又因为点()00,P x y 在椭圆上，则2200221x y a b +=，整理得()2222002b y a x a=-，可得()222220202222200APAQb a x y b a kk x a x a a-⋅===---，即2225b a -=-，所以C的离心率155e ===.故选：A.39．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 是C 上的任意两点，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为19，则C 的离心率为（）AB．3CD【答案】C【分析】设00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，根据斜率公式结合题意可得19AP AQ k k ⋅=，再结合2200221x y a b+=可求出离心率.【详解】由题意得(,0)A a -，设00(,)P x y ，因为点P ，Q 是C 上的任意两点，且关于y 轴对称，所以00(,)Q x y -，2200221x y a b +=，所以0000,AP AQ y yk k x a a x ==+-，所以20002200019AP AQy y y k k x a a x a x ⋅=⋅==+--，因为2200221x y a b +=，所以2222002()b a x y a-=，所以2220222220()19b a x b a a x a -==-，所以离心率c e a =====，故选：C题型七焦点三角形双余弦定理模型40．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线在第一象限与双曲线相交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且2232AF F B =，1AF AB = ，则双曲线的离心率为.【分析】根据题意，设()230AF t t => ，利用由双曲线的定义，求得23AF a = ，22F B a = ，15AF AB a == ，分别在12AF F △和1AF B △中，由余弦定理，列出方程，求得,a c 关系式，即可求解.【详解】因为2232AF F B =且1AF AB = ，可设()230AF t t => ，则212,5F B t AF AB t === ，由双曲线的定义，可得1222AF AF t a -==，所以t a =，所以23AF a = ，22F B a = ，15AF AB a ==，分别在12AF F △和1AF B △中，可得()()()()()()222222532552cos 253255a a c a a a A a aa a+-+-==⨯⨯⨯⨯，整理得：285c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以双曲线的离心率为5..41．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点．过1F 作双曲线Γ一条渐近线的垂线，垂足为D ，若2DF OD =，则双曲线Γ的离心率为．【分析】先由已知双曲线方程得出一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出1DF ，进而求出OD ，2DF ，再利用余弦定理得出a 与c 的关系，进而求出离心率.【详解】由双曲线2222:1(0,0)x y a b a b Γ-=>>的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为b y x a =-，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c .由1F 作该渐近线的垂线，则由点到直线的距离公式可得1DF b =，所以OD a ==，所以2DF =，由于1FOD ∠与2F OD ∠互补，所以12cos cos 0F OD F OD ∠+∠=，即2222228022a c b a c a ac ac+-+-+=，可得225c a =，则离心率c e a ==42．已知1F ，2F 分别是双曲线Γ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，25CB F A =uu r uuu r，2BF 平分1F BC ∠，则双曲线Γ的离心率为（）A B C D ．83【答案】A【分析】因为25CB F A =uu r uuu r，所以12F AF ∽1F BC △，设122F F c =，则28F C c =，设1AF t =，则15BF t =，4AB t =．由角平分线的性质可得24AF t =，由双曲线的定义可得23at =，22BF t =，再结合余弦定理可得226c t =，从而可求解.【详解】因为25CB F A =uu r uuu r，则2//CB F A ，所以12F AF ∽1F BC △，设122F F c =，则28F C c =，设1AF t =，则15BF t =，4AB t =．因为2BF 平分1F BC ∠，由角平分线定理可知，11222841BF F F c BCF Cc ===，所以1420BC BF t ==，所以2145AF BC t ==，由双曲线定义知212AF AF a -=，即42t t a -=，23at =，①又由122BF BF a -=得2522BF t a t =-=，在2ABF △中，由余弦定理知2222222222164161cos 22424AB BF AF t t t ABF AB BF t t +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，在12F BF 中，由余弦定理知22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅，即222125444252t t c t t +-=⨯⨯，化简得226c t =，把①代入上式得22249a c =，解得c e a ==故选：A ．43．已知双曲线E ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与E 交于A ，B两点（B 在x 轴的上方），且满足1117AF F B =．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．72C ．52D ．32【答案】D【解析】设1,F B k = 则117AF k = ,由双曲线的定义知,2212,27F A a k F B a k =+=+，在12AF F ∆和12BF F ∆中分别利用余弦定理,然后两式相减即可求解.【详解】设1,F B k = 则117AF k = ,则122F F c =,由双曲线的定义知,2212,27F A a k F B a k =+=+,在12AF F ∆中,由余弦定理可得,22221121122cos 60AF AF F F AF F F =+-⋅⋅ ，即()222111122227772a k k c k c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在12BF F ∆中,由余弦定理可得,22221121122cos120BF BF F F BF F F =+-⋅⋅即()()222122222a k k c k c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭两式相减可得,843a c =,所以离心率32c e a ==.故选:D【点睛】本题考查双曲线及其性质、直线与双曲线的位置关系,及三角形中的余弦定理;考查运算求解能力和转化与化归能力;双曲线定义的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.44．已知12,F F 分别为双曲线()2222100x yC a b a b-=>>：，的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线左支交于,A B 两点，且113AF BF =，以O 为圆心，2OF 为半径的圆经过点B ，则C 的离心率为（）A ．3B ．2CD 【答案】B【分析】设1BF m =，利用双曲线定义表示出22,BF AF 的长，再利用勾股定理可得()()22222m m a c ++=，在12BF F △和12AF F △中，分别利用余弦定理可得223b m a =，联立两式即可得离心率e ==【详解】如下图所示，连接22,BF AF ，易知以O 为圆心，2OF 为半径的圆经过点1F ，即12F F 为圆O 的直径，所以12BF BF ⊥；不妨设()1,0BF m m =>，则13AF m =，由双曲线定义可得222,32,BF m a AF m a =+=+所以2221212||||BF BF F F +=，即()()22222m m a c ++=，整理得2222m am b +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①在12BF F △中可得，()2222124244cos 224m c m a b am BF F m c mc+-+-∠==⋅；在12AF F △中可得，()2222129432412cos 23212m c m a b am AF F m c mc+-+-∠==⋅⋅；又易知1212cos cos 0BF F AF F ∠+∠=，可得223b m a=⋅⋅⋅⋅⋅⋅②联立①②可得，2232a b =，则双曲线的离心率为e ==故选：B45．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线3y x =与双曲线C 交于A ，B两点（点A 在第二象限），且12AB F =.则双曲线C 的离心率为（）A BC ．13+D 【答案】A【分析】根据直线斜率可得倾斜角，作焦点三角形，利用余弦定理，结合双曲线的定义，可得答案.【详解】因为12AB F F =，所以OA =因为AB k =130AOF ∠=︒.所以。

第18讲 双曲线离心率常考题型总结【知识点梳理】椭圆的离心率()10<<=e ac e ，222222221a b a b a a c e +=+== 【题型目录】题型一：利用双曲线的定义、几何性质求离心率的值 题型二：双曲线的离心率范围范围问题题型三：椭圆和双曲线共焦点离心率之间的关系（利用定义或者焦点三角形面积公式） 题型四：利用中点弦公式（点差法）求离心率 【典型例题】题型一：利用双曲线的定义、几何性质求离心率的值【例1】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，M 是双曲线C 上一点，若120MF MF ⋅=，2212OM OF c ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 3B 31 C 2D 21【答案】B【分析】根据双曲线的定义及几何性质结合向量的数量积直接可得离心率. 【详解】()()22121221111242OM OF MO F F MF MF MF MF c ⎛⎫⋅=-⋅=-+⋅-= ⎪⎝⎭，则222122MF MF c -=，又因为120MF MF ⋅=，12MF MF ⊥，即222124MF MF c +=， 所以13MF c =，2MF c =， 所以1223a MF MF c c =-=-， 则31e =+， 故选：B.【例2】（云南省三校2023届高三上学期高考备）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（ ） A 21 B ．2C 3D 2【答案】A【分析】由题可得112F M F F =，从而可建立方程，即可得出双曲线的离心率.【详解】由题可得:MN x c =-，代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，解得2b y a=±，又22MF NF ⊥，∴112F M F F =，即22b c a =，222c a ac ∴-=， 2210e e ∴--=，12e ∴=±，1e >， 21e ∴=+. 故选：A【例3】（2022·陕西省安康中学高三阶段练习（文））设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F O为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足1222MF MO MF ==，则双曲线的离心率为（ ） A ．6 B ．3C 6D 3【答案】C【分析】判断M 点位置，过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，可得22cAF =，132c AF =，设2MF m =，利用勾股定理表示出2||MA ，可得2232m c =，结合双曲线定义可得2m a =，即可求得a,c 的关系，进而求得离心率.【详解】因为1222MF MO MF ==,则2MO MF =， M 在双曲线右支上， 过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，则A 为2OF 的中点，所以22cAF =，132c AF =， 设2MF m =，则12MF m =，故在1Rt MAF △中，2229||44MA m c =-.在Rt 2MAF 中，222||4c MA m =-，则22229444c m c m -=-，即2232m c =.因为122MF MF a -=，则2m a =，所以223(2)2a c ⨯=，即226c a =， 所以6ce a==， 故选：C.【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点，A ，B 是C 右支上的两点，且直线AB 经过点2F ．若222AF BF =，以12F F 为直径的圆经过点B ，则C 的离心率为（ ） A 17 B 2C 5D 15+ 【答案】A【分析】由以12F F 为直径的圆经过点B 得1290F BF ∠=︒，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.【详解】由题意得1290F BF ∠=︒，设2BF m =，则12BF m a =+，22AF m =，122AF m a =+，||3AB m =，在1Rt ABF 中，由勾股定理得()()()2222322m a m m a ++=+，解得23m a =， 则223BF a =，183BF a =， 在12Rt F BF 中，由勾股定理得()22228233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22179c a =，所以C 的离心率173c e a ==， 故选：A.【例5】（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 3l 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B 3C 5D ．2【答案】A【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线l 的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅=，所以2F D MN ⊥. 因为D 为MN 的中点，所以22F M F N =.设22F M F N t ==，因为212MF MF a -=，所以12MF t a =-. 因为122NF NF a -=，所以12NF t a =+. 所以114MN NF MF a =-=.因为D 是MN 的中点，11F D F M MD =+，所以12,MD ND a F D t ===. 在Rt 12F F D 中，2224F D c t =-； 在Rt 2MF D 中，2224F D t a =-.所以222244c t t a -=-，解得22222t a c =+. 所以22222122,22F D c a F D t a c =-==+. 因为直线l 的斜率为33， 所以22212221223tan 322F D c a DF F F D a c∠-===+，所以2222221,23c a c a a c -==+， 2c a =，所以离心率为2ca=. 故选：A【点睛】求双曲线离心率的方法有：（1）直接法：利用已知条件将,a c 求出，从而求得离心率e ；（2）方程法：利用已知条件列出关于,a c 或,a b 的方程，化简求得离心率.【例6】（2022·江苏南通·高二期末）已知双曲线2221y x b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 、Q 是双曲线上关于原点对称的两点，1OP OF =，四边形12PFQF 的面积为2，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C ．2 D 5【答案】A【分析】分析可知四边形12PFQF 为矩形，利用勾股定理结合双曲线的定义可得出2122PF PF b ⋅=，利用三角形的面积公式可求得b 的值，即可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由已知12OP OF OF ==，所以，11OPF OFP ∠=∠，22OPF OF P ∠=∠， 所以，1122122OPF OF P OPF OF P F PF π∠+∠+∠+∠=∠=，可得122F PF π∠=，由勾股定理可得222212124PF PF F F c +==， 由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 所以，()222212121224PF PF PF PF PF PFb ⋅=+--=，由双曲线的对称性可知，四边形12PFQF 为矩形，所以，12212112F PF S PF PF b =⋅==△， 所以，222c a b =+=，故该双曲线的离心率为2ce a==.故选：A.【例7】（2022·陕西安康·高二期末（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的左顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且2π3PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B 2C 3D 21【答案】D【分析】由圆的对称性，并联立渐近线方程求P 、Q 坐标，结合已知易得2π6PAF ∠=，根据2tan 2b PAF a∠=得到齐次方程求参数关系，即可得离心率.【详解】设以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，且P 、Q 关于原点对称，由222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∴(),P a b ，(),Q a b --． ∴(),0A a -，2π3PAQ ∠=， ∴2π6PAF ∠=， ∴23tan 32bPAF a∠==， ∴2234b a =，即()22234c a a -=，∴2273c a =， ∴213c e a ==． 故选：D【例8】（2022·辽宁·高三期中）已知双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若112,.F A AB F B F B =＝0，则C 的离心率为（ ） A 3B 51 C ．3 D ．2【答案】D【分析】本题首先可结合题意绘出图像，结合已知条件得出1OA F B ⊥、1OF OBc 以及直线1F B 的方程为()ay x c b=+，然后联立直线1FB 的方程与渐近线方程，求出B 点坐标，再然后根据22OB c =得出223b a =，最后根据222c a b -=以及离心率计算公式即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出图像：因为1F A AB =，120F B F B ⋅=，O 是12F F 中点， 所以A 是1F B 中点，12F B F B ⊥，1OA F B ⊥，1OF OBc ，因为直线OA 是双曲线22221x y a b-=的渐近线，所以OA b k a=-，1F B a k b =，直线1F B 的方程为()ay x c b =+，联立()ay x c bb y xa⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 则4222222222222()()a c abc OB c b a b a =+=--，整理得223b a =，因为222c a b -=，所以224a c =，2ce a==， 故选：D.【例9】（2022·浙江·温岭中学高二期末多选）设双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作圆D 的切线与C 交于M ､N 两点，且124cos 5F NF ∠=，则C 的离心率可以为（ ）A 5B ．53C 34D 13 【答案】BD【分析】当直线与双曲线交于两支时，设过1F 的切线与圆222:D x y a +=相切于点P ，从而可求得1PF ，过点2F 作2F Q MN ⊥于点Q ，由中位线的性质求得12,FQ QF ，在2Rt QNF 中，可求得2,NF NQ ，利用双曲线的定义可得,a b 的关系，再由离心率公式求解即可，当直线与双曲线交于同一支时，同理可求得离心率 【详解】当直线与双曲线交于两支时，设过1F 的切线与圆222:D x y a +=相切于点P ，则1,OP a OP PF =⊥，因为1OF c =，所以222211PF OF OP c a b =-=-=，过点2F 作2F Q MN ⊥于点Q ， 所以OP ∴2F Q ， 因为O 为12F F 的中点，所以1122FQ PF b ==，222QF OP a ==， 因为124cos 5F NF ∠=，12F NF ∠为锐角， 所以1212231cos sin 5F NF F NF ∠∠=-=，所以22122103sin 35QF a a NF F NF ===∠， 所以2121048cos 353a aNQ NF F NF =∠=⨯=， 所以11823aNF NQ FQ b =+=+， 因为122NF NF a -=， 所以8102233a a b a +-=，化简得34b a =， 所以43b a =， 所以离心率为22451133c b e a a ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当直线与双曲线交于一支时，记切点为A ，连接OA ，则1,OA a F A b ==， 过2F 作2F B MN ⊥于B ，则22F B a =， 所以2211222BF F F BF b =-=，因为124cos 5F NF ∠=，所以12F NF ∠为锐角， 所以1212231cos sin 5F NF F NF ∠∠=-=，所以22122103sin 35BF a aNF F NF ===∠，2121048cos 353a a NB NF F NF =∠=⨯=， 所以11823aNF NB F B b =-=-, 所以211082233a a NF NF b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，化简得32b a =， 所以23b a =， 所以离心率为222131133c b e a a ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上，双曲线的离心率为53或133，故选：BD【例10】（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） A 3B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由重心坐标求得I 的坐标，再利用圆的切线长定理和双曲线的定义得到G 的坐标，再根据IG 与x 轴平行，由I G y y =求解. 【详解】解：如图所示：由题意得：()()2121,0,,0,,b Fc F c P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2,33c b G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由圆的切线长定理和双曲线的定义得122AF AF a -=， 所以(),0A a ，则(),I a a ， 因为IG 与x 轴平行， 所以I G y y =，即23b a a=，则223b a =，即224c a =， 解得2e =， 故选：B 【题型专练】1.（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于M ，N 两点，且2OM ON =，则C 的离心率为（ ）A ．43B 3C 23D 6【答案】C【分析】通过图形，利用圆、双曲线的几何性质，根据题设得到,,a b c 的等量关系，算出双曲线的离心率． 【详解】过点A 作AP MN ⊥于点P ，则点P 为线段MN 的中点，因为点A 为(,0)a ，渐近线方程为by a=±，所以点A 到渐近线b y x a =的距离为20||1⋅-==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ba ab aAP c b a ，在Rt OAP △中，22222||||||⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ab a OP OA AP a c c ，在Rt NPA 中，22222||||||⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ab b NP AN AP b c c ，因为2OM ON =，所以||||||2||||3||=+=+=OP ON NP NP NP NP ， 所以223=⨯a b c c，即223a b ，所以离心率223e 13⎛⎫==+= ⎪⎝⎭c b a a ．故A ，B ，D 错误.故选：C ．2.（2022·河北保定·高一阶段练习）已知12F F 、是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1212120,3F PF PF PF ∠=︒=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 7B 13C 7D 13【答案】B【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为12120F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos120a c a a a =+-⨯⋅⋅︒， 整理可得22413c a =， 所以222134a c e ==，即132e =. 故选：B3.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线()22:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 3C 5D 6【答案】C【分析】由双曲线定义可得21,MF MF ，根据平行关系可知12cos aF F M c∠=，由余弦定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】设:bl y x a=，则点M 位于第四象限， 由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=； 设过点2F 且与l 平行的直线的倾斜角为α，则tan b a α=，22cos a a ca b α∴==+， 12cos aF F M c∴∠=； 在12F F M △中，由余弦定理得：222122112122cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，225c e a ∴==. 故选：C.4.（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B 6C 2D ．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用直角三角形勾股定理及面积公式列式，再结合双曲线定义即可计算作答. 【详解】依题意，12PF PF ⊥，令1(,0)F c -，2(,0)F c ，则有22221212||||||4PF PF F F c +==，由212||(12||)PF PF S +=得：21211222||2||||6||||||PF PF PF PF PF PF =++，即有212||||PF PF c =，而222221221214(||)||2||2||||||a PF PF PF PF PF c PF =-=+-=，所以2ce a==. 故选：C【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a -＝，得到a ，c 的关系．5.（2023·全国·高三专题练习）如图，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F M 为双曲线右支上一点，直线1MF 与圆222x y a +=相切于点Q ，2MQ MF =，则双曲线的离心率为（ ）A 5B 6C 5D 6【答案】A【分析】由已知结合双曲线定义可得12FQ a =，在1Rt FQO 中利用勾股定理即可求出. 【详解】由题可得11FQ MF MQ =-，因为2MQ MF =，所以1122FQ MF MF a =-=， 则在1Rt FQO 中，222(2)a a c +=，即5c a =，即5ce a==. 故选：A.6．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知双曲线2222x y C a b-： = 1 (00)a b >>，的右焦点F ，过点F 作一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，若l 与另一条渐近线交于点N ，且满足5MF MN =，则该双曲线C 的离心率为（ ） A 210B 10C 26D 6【答案】A【分析】作图，利用图中的直角三角形和双曲线的几何关系求出a 与b 的关系即可.【详解】设坐标原点为O ，M 点在第一象限，则22c a b =+，则OF c =， 渐近线1l 的方程为0bx ay -= ，(),0F c ， 运用点到直线的距离公式22bc MF b a b ==+ ，22OM OF MF a ∴=-= ，因为5MF MN =，∴44NF MF b ==，∴4OMFONFS S=，1sin 2OMFSOM OF MOF =∠ ，1sin 2ONFS ON OF NOF =∠ ， 因为x 轴平分∴MON ， 所以44ON OM a ==，又因为OM MN ⊥，所以222OM MN ON +=，即2222516a b a +=， 得22153255b a ==， 设C 的离心率为e ，则22222815c b e a a ==+=，所以821055e ==； 故选：A.7．（2022·河南·高三开学考试（文））设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线的左､右两支分别交于,M N 两点，且()22220,0F M F N F M F N MN ⋅=+⋅=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3【分析】根据已知条件作出图形，设D 为MN 的中点，连接2F D ，再根据向量的线性运算以及两向量垂直数量积为0得出2MF N 为等腰直角三角形，再利用双曲线的定义列出方程组，求出2MF 、2NF 和1MF 的长，进而利用几何关系列出关于离心率的齐次式求得双曲线的离心率. 【详解】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D ，易知2222F M F N F D +=，∴()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅=， ∴2F D MN ⊥，又D 为MN 的中点，∴22F M F N =，220F M F N ⋅=，∴22F M F N ⊥，∴2MF N 为等腰直角三角形，设22MF NF m ==，由双曲线的定义知11222m MF am MF m a ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得22m a =，∴()1221MF a =-，又122MD MN a ==， ∴1122F D MF MD a =+=.在12Rt F F D 中，122F F c =，22DF MD a ==， ∴2224(22)(2)c a a =+，化简得223c a=，即23e =，又()1,e ∈+∞，∴3e =. 故答案为：3.8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若225AF F B =，则双曲线C 的离心率e 为______． 【答案】153【分析】联立直线方程可得点A ，B 的坐标，结合225AF F B =，可得22b a，进而可得离心率.【详解】由题意，双曲线C 的渐近线为by x a=±，若过2F 的直线l 与直线b y x a =-垂直，垂足为A ，直线l 与直线by x a=交于B ，()2,0F c ， 因为225AF F B =，所以2F 在A ，B 之间，如图所示，直线l 的方程为()ay x c b=-，由()a y x c b b y xa ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22222,a c abc A ab a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由()ay x c bb y x a⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22222,a c abc B a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，由225AF F B =，可得22225abc abc a b a b -=+-，所以222251a b a b =+-，所以2223b a =，所以双曲线C 的离心率222151133b e a =+=+=．同理，过2F 的直线l 与直线b y x a =垂直时，双曲线C 的离心率153e =．综上所述，双曲线C 的离心率e 为153，故答案为：153. 9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线()22:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且2BF AF =，则双曲线C 的离心率是________．【答案】3【分析】连接AF '，BF '，结合双曲线定义及余弦定理解三角形，可得离心率.【详解】设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '，由条件可得22BF AF AF AF AF AF a '-=-=-=，则2AF a =，4BF a =，60F AF '∠=︒，所以2222cos FF AF AF AF AF F AF ''''=+-⋅⋅∠， 即222214164162c a a a =+-⨯，即22412c a =，3c a = 所以双曲线的离心率为：3==ce a， 故答案为3.10．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知点A ，B 是双曲线()22:10,0x y C a b a b-=>>的左､右顶点，过点B 作倾斜角为3π的直线l 交C 于点P ，点M 是线段AP 的中点.若OM OA =，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 31【答案】A【分析】先由中位线结合OM OA =求得2PB a =，进而求出P 点坐标，代入双曲线C 的方程，求得22b a =，即可求出离心率.【详解】易得O 是线段AB 的中点，又点M 是线段AP 的中点，则OM PB ，又OM OA =，则2AB PB a ==，作PQ x ⊥轴于点Q ，又3PBQ π∠=，则,3BQ a PQ a ==，则(2,3)P a a ，代入C 可得2222431a a a b -=，解得22b a =，故离心率为2212c b a a=+=.故选：A.题型二：双曲线的离心率范围范围问题【例1】设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 【答案】A【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba33b a <∴21()33b a <≤，241()43ba<+≤，2231()2b a <+，又双曲线的离心率为21()c b e a a ==+232e <≤． 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（ ） A ．()1,2 B ．()1,4C ．)2,2D ．()2,4【答案】B【分析】根据角平分线的性质得出15PF a =，23PF a =，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.【详解】设双曲线的半焦距为()0c c ＞， 离心率为e ， 由214OQ OF =，则154QF c =，234QF c =，因为PQ 是12F PF ∠的平分线， 所以12:5:3PF PF =,C O O 06011A B 22A B 1122A B A B =1A 1B 2A 2B C 23(,2]323[,2)33()3+∞3[)3+∞又因为122PF PF a -=， 所以125,3PF a PF a ==，所以53222a a c a c +>⎧⎨<⎩，解得14c a <<，即14e <<，所以双曲线的离心率取值范围为(1,4). 故选：B【例3】（2022四川成都七中高三开学考试（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，1A ，2A 是实轴顶点，F是右焦点，(0,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得12(1,2)i P A A i =△构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）．A ．612,+⎭B ．512,+⎭C ．51⎛+ ⎝⎭D ．51⎫++∞⎪⎪⎝⎭【答案】B【分析】将题意转化为以1A ，2A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点，再数形结合列不等式化简求解即可.【详解】以1A ，2A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点， 所以b a >，2222b c a a =->， 解得2c e a=>；且圆心(0,0)到直线BF ：0bx cy bc +-=的距离22bc d a b c =<+，化简得2b ac <，所以22c a ac -<，210e e --<， 又1e >，解得1512e +<<， 所以双曲线离心率的取值范围是1522e +<<． 故选：B【例4】（2022河南高三开学考试（文））已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(]2,3C ．(]1,3D ．(]1,2【答案】C【分析】由双曲线定义221PF PF ()2112PF a PF +=，变形后由基本不等式得最小值，从而得12PF a =，再利用双曲线中的范围有1PF c a -，由此结合可得离心率的范围．【详解】1F ，2F 是左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，所以212PF PF a -=，代入221PF PF 得()2222121111112444248PFa PF a a PF a PF a a PF PF PF PF +==++⨯+=，当且仅当12PF a =时取等号，即12PF a =，又点P 是双曲线左支上任意一点，所以1PF c a -，即23a c a e -⇒，13e <.故选：C ．【例5】（2022·湖南·高二期末）已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线上存在点P （点P 不与左、右顶点重合），使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线C 的离心率的可能取值为 （ ） A 6B 3C 10D ．2【答案】BC【分析】由0b a >>可得2e >，记∴PF 1F 2=α ，利用正弦定理结合双曲线及离心率的定义，利用分比定理以及三角恒等变换公式化简离心率.然后利用余弦函数的性质得到离心率的取值范围，进而做出判定.【详解】∴0b a >>，则离心率2212b e a=+>，则排除A ；记()12045PF F αα∠=︒<<︒，1PF m =，2PF n =， 则213,2PF F m n a α∠=-=，由正弦定理结合分比定理可知：22sin 3sin sin 4sin 3sin sin 3sin m n c m n aααααααα-====--， 则()()()sin 42sin 2cos 22cos 2,2sin 3sin sin 2sin 2e αααααααααα===∈-+--， 所以B ，C 是正确的，D 不正确. 故选：BC. 【题型专练】1．2022·江西上饶·高二期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为122,,c F F 为其左右两个焦点，直线l 经过点(0,)b 且与渐近线平行，若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线C 离心率的取值范围为（ ） A ．2) B ．(2,3) C ．3) D ．(2,)+∞【答案】A【分析】根据题意分析满足122PF PF b -=的点P 的轨迹，再根据此轨迹与直线l 有交点，结合渐近线的性质求解即可；【详解】因为满足122PF PF b -=的所有点在以12,F F 为焦点，长轴长为2b ，短轴长为2222c b a -=的双曲线，即22221x y b a -=上.故若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线22221x y b a-=与直线l 有交点即可.又直线:b l y x b a =±+，数形结合可得，当b a <或22221x y b a -=的经过一象限的渐近线的斜率a b b a > 即可，两种情况均有2222a b c a >=-，故222c a<，故离心率(1,2)e ∈故选：A2.（2022·全国·高二专题练习）设双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，双曲线C 的一条渐近线为l ，以F 为圆心的圆与l 交于点M ，N 两点，MF NF ⊥，O 为坐标原点，()37OM ON λλ=≤≤，则双曲线C 的离心率的取值范围是______． 【答案】5524⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】取直线l 的方程为by x a=，过点F 作FE l ⊥于E ，则有EF b =，MNF ∴△为等腰直角三角形，所以||OE a =,||OM a b ,||ON a b ,由OM ON λ=，可得11b a λλ-=+，即可得211()1e λλ-=++，即可得出离心率的取值范围.【详解】解：由题可知，点()0F c ，，如图所示，不妨取直线l 的方程为by x a=，过点F 作FE l ⊥于E ，则F 到直线l 的距离22||1bca EFb b a==+，MF NF ⊥，且||||MF NF =， MNF ∴△为等腰直角三角形，||2||2MN EF b ∴==，||||ME NE b ==，2222||OE OF EF c b a ∴=-=-=，||||||OM OE ME a b =+=+，|||||ON OE NE a b －|－==，OM ON λ=，()a b a b λ∴+=－，即11b a λλ-=+， ∴离心率2211()1()1c b e a a λλ-==+=++， 令()12111f λλλλ-==-++，[]37λ∈，，则()()()37f f f λ⎡⎤∈⎣⎦，，即()13[24f λ∈，]， 5524e ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，．故答案为：5524⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.3.（2022·全国·模拟预测（文））已知点F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A ．若∴OAF （点O 为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率3,5e ⎡∈⎣，则2a 的取值范围为（ ）A ．2,22⎡⎤⎣⎦B ．4,2⎡⎣C ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据∴OAF 的面积得到8ab =，然后利用离心率的取值范围得到关于2a 的不等式，求解即可. 【详解】取双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=. 则F 到渐近线的距离即22bc FA b a b ==+，2222OA OF FA c b a =-=-=，142OAF S ab ∆∴==，即8ab =. 又3,5e ⎡⎤∈⎣⎦，[]2222222213,5c a b b e a a a +∴===+∈，易得22224a b a ≤≤，即22282()4a a a≤≤，解得24,42a ⎡⎤∈⎣⎦. 故选：B.4.（2022·山西·模拟预测（理））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点为(),3,0A Q a 在x 轴上，若C 上存在一点P （异于点A ）使得AP PQ ⊥，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,+∞B ．()2,+∞C ．(2D ．(2【答案】D【分析】设(),P x y ，则由已知可得P 点的轨迹方程为222(2)x a y a -+=(),3x a x a ≠≠，与双曲线方程联立可求出P 点横坐标32223a ab x a b -=+，由题意知点P 在双曲线的右支上，32223a ab a a b->+，化简可得22a b >，从而可求出离心率的取值范围 【详解】设(),P x y ，(,0)A a ∴AP PQ ⊥，P ∴点的轨迹方程为222(2)x a y a -+=(),3x a x a ≠≠.联立()222222221x a y a x y a b ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩得()2223422430a b x a x a a b +-+-=，解得x a =（舍去），32223a abx a b-=+， 由题意知点P 在双曲线的右支上，即x a >， 故32223a ab a a b->+，化简得22a b >， 因为221b e a =+，所以12e <<，故选：D.5.（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于M ，N 两点，且110NF MF ⋅<，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________. 【答案】()21,++∞【分析】表达出M ，N 两点坐标，进而利用向量数量积列出不等式，求出离心率的取值范围. 【详解】当x c =时，22221c y a b-=，解得：2b y a =±，不妨设22,,,b b M c N c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22421122,2,40b b b NF MF c c c a a a ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2222ac b c a <=-，不等式两边同除以2a 得：2e 2e 10-->， 解得：e 21>+ 故答案为：()21,++∞6．（2022·全国·高二课时练习）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率分别为1e ，2e 25，则1e 的取值范围为______，2e 的取值范围为______． 【答案】 5,15⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭351,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于255，即可得出0<2245b a <,由此即可求出1e 、2e 的取值范围. 【详解】设椭圆和双曲线的焦距分別为12c ，22c ，由题意，得双曲线的渐近线方程为by x a=±，所以2505b a <<，则0<2245b a <， 所以211251,15c b e a a ⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，22223511,5c b e a a ⎛⎫==+∈ ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：5,15⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；351,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭题型三：椭圆和双曲线共焦点离心率之间的关系（利用定义或者焦点三角形面积公式）【例1】（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ）A ．43B 43C ．4D 46【答案】B【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知，设1PF m =，2PF n =，122F F c =， 椭圆和双曲线的离心率分别为1c e a=，21c e a =，因P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则由余弦定理可得：22242cos3c m n mn π=+-……∴在椭圆中，由定义知2m n a +=，∴式化简为：22443c a mn =-……∴在双曲线中，由定义知12m n a -=，∴式化简为：22144c a mn =+……∴由∴∴两式消去mn 得：222116412c a a =+，等式两边同除2c 得2212234a a c c =+， 即2212134e e =+， 由柯西不等式得2221212*********e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1211433e e ∴+≤.故选：B【例2】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=，双曲线2C 和椭圆1C 有相同的焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点．若12π3F PF ∠=，则（ ） A ．212e e = B ．123e e =C ．221252e e += D ．22211e e -= 【答案】BD【分析】先由条件120MF MF ⋅=得出12MF F △为等腰直角三角形，即可得出椭圆长半轴长a ，短半轴b ，长半焦距c 的关系，从而得出椭圆的离心率1e ；然后在焦点三角形12PF F △中，利用余弦定理得出双曲线实半轴长为2a ，半焦距为c 的关系，从而得出双曲线的离心率2e ，依次对选项验证即可。