1.2.1任意角的三角函数课件(一)_第一课时 (1)

1.2.1任意角的三角函数（新授课）【教学目标】1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

4.掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

5.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；.【教学重点】任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）【教学难点】任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解..【教学过程】 一、知识回顾初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b===．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、预习自学1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； （3）y x叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x xα=≠.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r=,那么sinα=cosα=,tanyxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r==>，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinyrα=；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cosα，即cosxrα=；（3）比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanyxα=；2．三角函数的定义域、值域三.典型例题例1.求53π的正弦、余弦和正切值.例2．已知角α的终边过点0(3,4)P--，求角α的正弦、余弦和正切值.例3．求证：当且仅当不等式组sin0{tan0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.四、课堂练习6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：五、课堂小结、本节课你学了哪些知识？有哪些收获？你已经正确理解、掌握它们了吗？六、课后作业1.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1)cos 250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan 3π2.求下列三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos 4π; (3)11tan()6π-。

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1．B.2．C.3．C.4．-1485°=-5³360°+315°.5．{-240°,120°}.6．{α|α=k²360°-490°,k∈Z}；230°；-130°；三.7．2α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上，α2的终边在第二、四象限．集合表示略.8.（1）M={α|α=k²360°-1840°,k∈Z}.(2)∵α∈M,且-360°≤α≤360°,∴-360°≤k²360°-1840°≤360°.∴1480°≤k²360°≤2200°,379≤k≤559.∵k∈Z,∴k=5,6,故α=-40°,或α=320°.9．与45°角的终边关于x轴对称的角的集合为{α|α=k²360°-45°,k∈Z}，关于y轴对称的角的集合为{α|α=k²360°+135°,k∈Z}，关于原点对称的角的集合为{α|α=k²360°+225°,k∈Z}，关于y=-x对称的角的集合为{α|α=k²360°+225°,k∈Z}.10.(1){α|30°+k²180°≤α≤90°+k²180°,k∈Z}.(2){α|k²360°-45°≤α≤k²360°+45°,k∈Z}．11．∵当大链轮转过一周时，转过了48个齿，这时小链轮也必须同步转过48个齿，为4820＝2.4（周），即小链轮转过2.4周.∴小链轮转过的角度为360°³2 4=864°.1．1．2弧度制1．B.2．D.3．D.4．αα=kπ+π4,k∈Z.5．-5π4.6．111km.7．π9,7π9,13π9．8．2π15,2π5,2π3,4π5．9．设扇形的圆心角是θrad，∵扇形的弧长是r θ，∴扇形的周长是2r+rθ，依题意，得2r+rθ=πr，∴θ=π-2，∴扇形的面积为S=12r2θ=12(π-2)r2.10.设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r，由已知得l=π2R,R=2lπ．又∵2r+r=R，∴r=R2+1=(2-1)R=2(2-1)πl，∴内切圆的面积为S=πr2=4(3-22)πl2．11．设圆心为O，则R=5,d=3，OP=R2-d2=4，ω=5rad/s，l=|α|R,α=ωt=25rad,l=4³25=100（cm）．1．2任意角的三角函数1．2．1任意角的三角函数（一）1．B.2．B.3．C.4．k.5．π6,56π.6．x|x≠2kπ+32π,k∈Z.7．-25．8．2kπ+π2,2kπ+π，k∈Z.9．α为第二象限角．10．y=-3|x|=-3x(x≥0)，3x(x＜0)，若角α的终边为y=3x(x＜0)，即α是第三象限角，则sinα=-31010,tanα=3；若角α的终边为y=-3x(x≥0)，即α是第四象限角，则sinα=-31010,tanα=-3．11．f(x)=-(x-1)2+4(0≤x≤3)．当x=1时，f(x)max=f(1)=4，即m=4；当x=3时，f(x)min=f(3)=0，即n=0．∴角α的终边经过点P(4,-1)，r=17，sinα+cosα=-117+417=31717．1．2．1任意角的三角函数（二）1．B.2．C.3．B.4．334.5．2.6．1.7．0.8．x|2kπ+π≤x＜2kπ+32π,或x=2kπ,k∈Z.9．（1）sin100°²cos240°＜0.（2）tan-11π4-cos-11π4＞0.（3）sin5+tan5＜0.10．（1）sin25π6=sin4π+π6=sinπ6=12.（2）cos-15π4=cos-4π+π4=cosπ4=22.（3）tan13π3=tan4π+π3=tanπ3=3．11．（1）∵cosα＞0，∴α的终边在第一或第四象限，或在x轴的非负半轴上；∵tanα＜0，∴α的终边在第四象限．故角α的集合为α2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z.（2）∵2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z，∴kπ-π4＜α2＜kπ,k∈Z ．当k=2n(n∈Z)时，2nπ-π4＜α2＜2nπ,n∈Z,sinα2＜0,cosα2＞0,tanα2＜0；当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+3π4＜α2＜2nπ+π,n∈Z,sinα2＞0,cosα2＜0,tanα2＜0. 1．2．2同角三角函数的基本关系1．B.2．A.3．B.4．-22.5．43.6．232.7．4-22．8．α2kπ+π2＜α＜2kπ+3π2,或α=kπ,k∈Z．9．0.10．15.11．3+12．1．3三角函数的诱导公式（一）1．C.2．A.3．B.4．-1-a2a．5．12．6．-cos2α．7．-tanα．8．-2sinθ．9．32．10．-22+13.11.3．1．3三角函数的诱导公式（二）1．C.2．A.3．C.4．2+22．5．-33．6．13．7．-73．8．-35．9．1.10．1+a4.11．2+3.1．4三角函数的图象与性质1．4．1正弦函数、余弦函数的图象1．B.2．C.3．B.4．3;-3.5．2.6．关于x轴对称.7．（1）取(0,0),π2,1,(π,2),3π2,1,(2π,0)这五点作图.（2）取-π2,0，0,12，π2,0，π,-12，3π2,0这五点作图．8．五点法作出y=1+sinx的简图，在同一坐标系中画出直线y=32，交点有2个．9．（1）（2kπ,(2k+1)π）(k∈Z).(2)2kπ+π2,2kπ+32π(k∈Z).10．y=|sinx|=sinx(2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z)，-sinx(π+2kπ＜x＜2π+2kπ,k∈Z)，图象略．y=sin|x|=sinx(x≥0),-sinx(x＜0),图象略．11．当x＞0时，x＞sinx；当x=0时，x=sinx；当x＜0时，x＜sinx，∴sinx=x只有一解．1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（一）1．C.2．A.3．D.4．4π.5．12,±1.6．0或8．提示：先由sin2θ+cos2θ=1，解得m=0，或m=8．7．（1）4.（2）25π.8．（1）π.（2）π.9．32,2.10．（1）sin215π＜sin425π.(2)sin15＜cos5.11.342.1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（二）1．B.2．B.3．C.4．＜.5．2π.6．3，4，5，6.7．函数的最大值为43，最小值为-2．8．-5．9．偶函数．10．f(x)=log21-sin2x=log2|cosx|．（1）定义域：xx≠kπ+π2,k∈Z.（2）值域：（-∞,0］. （3）增区间：kπ-π2,kπ（k∈Z），减区间：kπ,kπ+π2（k∈Z）.（4）偶函数.（5）π．11．当x＜0时，-x＞0,∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=-x2-sinx.1．4．3正切函数的性质与图象1．D.2．C.3．A.4．5π.5．tan1＞tan3＞tan2.6．kπ2-π4,0(k∈Z).7．2kπ+6π5＜x＜2kπ+3π2,k∈Z .8．定义域为kπ2-π4,kπ2+π4，k∈Z,值域为R，周期是T=π2，图象略．9．（1）x=π4.（2）x=π4或54π.10.y|y≥34.11．T=2π，∴f99π5=f-π5+20π=f-π5，又f(x)-1是奇函数，∴f-π5-1=-fπ5-1 f-π5=2-fπ5=-5,∴原式=-5．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）1．A.2．A.3．B.4．3.5．-π2.6．向左平移π4个单位.7．y=sinx+2的图象可以看作是将y=sinx图象向上平移2个单位得到，y=sinx-1的图象可以看作是将y=sinx图象向下平移1个单位而得到.8．±5．9．∵y=sin3x-π3=sin3x-π9，∴可将y=sin3x的图象向右平移π9个单位得到.10.y=sin2x+π4的图象向左平移π2个单位，得到y=sin2x+π2+π4，故函数表达式为y=sin2x+5π4．11．y=-2sinx-π3，向左平移m(m>0)个单位，得y=-2sin(x+m)-π3，由于它关于y轴对称，则当x=0时，取得最值±2，此时m-π3=kπ±π2，k∈Z，∴m的最小正值是5π6．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）1．D.2．A.3．C.4．y=sin4x.5．-2a；-310a+2ka(k∈Z)；-2a.6．y=3sin6x+116π.7．方法1y=sinx横坐标缩短到原来的12y=sin2x向左平移π6个单位y=sin2x+π6=y=sin2x+π3.方法2y=sinx向左平移π3个单位y=sinx+π3横坐标缩短到原来的12y=sin2x+π3．8．(1)略.(2)T=4π,A=3,φ=-π4.9．（1）ω=2,φ=π6.(2)x=12kπ+π6(k∈Z),12kπ-112π,0(k∈Z).10.（1）f(x)的单调递增区间是3kπ-5π4,3kπ+π4(k∈Z).(2)使f(x)取最小值的x的集合是x|x=7π4+3kπ,k∈Z.11．（1）M=1，m=-1，T=10|k|π.（2）由T≤2，即10|k|π≤2得|k|≥5π，∴最小正整数k 为16．1．6三角函数模型的简单应用（一）1．C.2．C.3．C.4．2sinα.5．1s.6．k²360°+212 5°(k∈Z).7．扇形圆心角为2rad时，扇形有最大面积m216．8．θ=4π7或5π7．9．（1）设振幅为A，则2A＝20cm，A=10cm．设周期为T,则T2=0.5,T=1s,f=1Hz.（2）振子在1T内通过的距离为4A，故在t=5s=5T内距离s=5³4A=20A=20³10=200cm=2(m).5s末物体处在点B，所以它相对平衡位置的位移为10cm.10.(1)T=2πs.(2)12π次.11．（1）d-710=sint-1.8517.5π.（2）约为5.6秒.1．6三角函数模型的简单应用（二）1．D.2．B.3．B.4．1-22.5．1124π.6．y=sin52πx+π4.7．95．8．12sin212，1sin12+2．9.设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+b.由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A=2002=100,ω=2π12=π6,b=800,又7月1日种群数量达最高，∴π6³6+φ=π2.∴φ=-π2.∴种群数量关于时间t的函数解析式为y=800+100sinπ6(t-3).10.由已知数据，易知y=f(t)的周期T=12，所以ω=2πT=π6.由已知，振幅A=3,b=10，所以y=3sinπ6t+10.11.（1）图略.（2）y-12.47=cos2π(x-172)365，约为19.4h.单元练习1．C.2．B.3．C.4．D.5．C.6．C.7．B.8．C.9．D.10．C.11．5π12+2kπ,13π12+2kπ(k∈Z).12．4412.13．-3,-π2∪0,π2.14．1972π.15.原式=(1+sinα)21-sin2α-(1-sinα)21-sin2α=1+sinα|cosα|-1-sinα|cosα|=2sinα|cosα|. ∵α为第三象限角，｜cosα｜=-cosα,∴原式＝-2tanα.16.1+sinα+cosα+2sinαcosα1+sinα+cosα=sin2α+cos2α+2sinαcosα+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)2+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)·(1+sinα+cosα)1+sinα+cosα=sinα+cosα. 17.f(x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x2-2sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=1-sin2xcos2x2(1-sinxcosx)-12sinxcosx+14cos2x=12+12sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=12+14cos2x.∴T=2π2=π,而-1≤cos2x≤1,∴f(x)max=34,f(x)min=14.18.∵Aπ3,12在递减段上，∴2π3+φ∈2kπ+π2,2kπ+3π2.∴2π3+φ=5π6,φ=π6.19.(1)周期T=π,f(x)的最大值为2+2，此时x∈x|x=kπ+π8,k∈Z;f(x)的最小值为2-2，此时x ∈x|x=kπ-38π,k∈Z；函数的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.（2）先将y=sinx（x∈R）的图象向左平移π4个单位，而后将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标扩大成原来的2倍，最后将所得图象向上平移2个单位.20.（1）1π.（2）5π或15.7s.(3)略.。

1.2.1任意角三角函数（命题人：乔更云 审题人：郑伟锋自主预习认真阅读教材P 11－14，回答下列问题： 1．任意角的三角函数(1)单位圆：在直角坐标系中，称以 为圆心，以 为半径的圆为单位圆．(2)锐角的三角函数：如图所示，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，OA ＝a ，AB ＝b ，OB ＝r ，设∠BOA ＝α，则有：示，α是任意角，以α的顶点O 坐标原点，以α的始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．设P (x ，y )是α的终边与单位圆的交点，则有：(4)定义：当a ＝ (k ∈Z )时，tan α无意义．除此之外，对于每一个确定的α，都分别有 确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角α为 ，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数统称为，分别记作y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x .典例讲解[例1] 已知角的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．变式1 （1）求2π3的正弦、余弦和正切值．（2）已知角α的终边经过点P (3,4)，求sin α，cos α，tan α.（3）已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，求sin α－cos α的值．[例2]确定下列各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)sin 7π8·tan7π8；(3)cos6·tan6.变式2. （1）若sinθ>0且tanθ<0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角（2）判断下列三角函数值的符号：(1)in(－670°)cos1230°；(2)sin8·cos8.[例3]求下列各式的值．(1)cos 253π＋tan(－154π)；(2)sin810°＋tan765°－cos360°.变式3求下列三角函数值：(1)cos(－1050°)；(2)tan19π3；(3)sin(－31π4)．[例4]已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．例5已知sinα＝12，求出角α的取值集合．变式5.利用单位圆，求使下列不等式成立的x的取值范围：(1)sin x≤12；(2)tan x≤1；(3)cos x≥22.1.2.1任意角三角函数 课后作业 1．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若角α的终边过点(－3，－2)，则( )A ．sin αtan α>0B ．cos αtan α>0C ．sin αcos α>0D ．sin αcos α<0 3．cos1110°的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32 4．已知P (2，－3)是角θ终边上一点，则tan(2π＋θ)等于( )A.32B.23 C ．－32 D ．－23 5.cos 2201.2°可化为( ) A ．cos201.2° B ．－cos201.2° C ．sin201.2° D ．tan201.2°6．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114 C ．－4 D ．4P 在第二或三象限，所以m <0，则m ＝－4.7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α的值为( )A.104B.64C.24 D ．－1049．如果α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 10．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是( )A ．{－1,1,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．R 11.已知11π6的正弦线为MP ，正切线为AT ，则有( )A ．MP 与AT 的方向相同B ．|MP |＝|AT |C ．MP >0，AT <0D ．MP <0，AT >012已知sin α>0，tan α<0，则α的( ) A ．余弦线方向向右，正切线方向向下 B ．余弦线方向向右，正切线方向向上 C ．余弦线方向向左，正切线方向向下 D ．余弦线方向向上，正切线方向向左 13．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第________象限角．14．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α>0，求实数a 的取值范围．15．求下列各式的值： (1)sin 25π3＋tan(－23π4)；(2)sin 1170°＋cos360°－tan 125°.16．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．18．(2011～2012·黑龙江五校联考)已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值．1.2.1任意角三角函数（第一课时）1.（1）原点，单位长度（2） （3）y, x y/x (4) 唯一，自变量，三角函数例 1 [解析] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝(－1)2＋(－2)2＝5，得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2. 变式1（1） 因为角2π3的终边与单位圆的交点为(－12，32)，所以sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，tan 2π3＝－ 3.（2）x ＝3，y ＝4，得 由r ＝32＋42＝5.∴sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝43. （3）由正切函数定义得： a 5＝－125，∴a ＝－12，r ＝52＋(－12)2＝13 ∴sin α＝a 13＝－1213，cos α＝513 ∴sin α－cos α＝－1213－513＝－1713.π2＋k π例2(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，∴sin105°>0，cos230°<0. 于是sin105°·cos230°<0. (2)∵π2<7π8<π，∴7π8是第二象限角，则sin 7π8>0，tan 7π8<0. ∴sin7π8·tan 7π8<0. (3)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．变式2（1）B,(2) (1)∵－670°＝－2×360°＋50°，∴－670°是第一象限角，∴sin(－670°)>0.又1230°＝3×360°＋150°， ∴1230°是第二象限角，∴cos1230°<0，∴sin(－670°)cos1230°<0. (2)∵52π<8<3π，即8 rad 的角是第二象限角，∴sin8>0，cos8<0.∴sin8·cos8<0.例3(1)∵－670°＝－2×360°＋50°，∴－670°是第一象限角，∴sin(－670°)>0.又1230°＝3×360°＋150°， ∴1230°是第二象限角，∴cos1230°<0，∴sin(－670°)cos1230°<0. (2)∵52π<8<3π，即8 rad 的角是第二象限角，∴sin8>0，cos8<0.∴sin8·cos8<0.变式3(1)∵－1050°＝－3×360°＋30°， ∴cos(－1050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan(3×2π＋π3)＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin(－31π4)＝sin(－4×2π＋π4)＝sin π4＝22.例4因为点P 的坐标是(4t ，－3t )且t ≠0， 所以r ＝|PO |＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |. 当t >0时，α是第四象限角，r ＝|PO |＝5t .sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，α是第二象限角，r ＝|PO |＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34. 例5[解析] 已知角α的正弦值，可知MP ＝12，则P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点(0，12)，过这点作x 轴的平行线y ＝12，交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是角α的终边，因而角α的集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z }，如图：变式5[解析] (1)如图所示，在0～2π内作出正弦值等于12的角：π6和56π.在图中所示的阴影区域内的每一个角x ，其正弦值都满足sin x ≤12，所以不等式sin x ≤12的解集为：{x |5π6＋2k π≤x ≤136π＋2k π，k ∈Z }．(2)如图所示，在0～2π内作出正切值等于1的角：π4和5π4，则在图中所示的阴影区域内的每个角x (不包括终边在y 轴上的角)均满足tan x ≤1.课后作业答案1. C [解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或四象限，又tan α>0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．2 C [解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)，∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，∴sin αcos α>0，故选C.3 B [解析] cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝32. 4 C [解析] tan(2π＋θ)＝tan θ＝－32＝－32. 5 B [解析] ∵201.2°是第三象限角，∴cos201.2°<0，6 C [解析] 由题意得cos α＝mm 2＋9＝－45，解得m ＝±4.又cos α＝－45<0，则α的终边在第二或三象限，则点P 在第二或三象限，所以m <0，则m ＝－4.7. C [解析] 由于点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ<0，sin θcos θ>0，所以有sin θ<0，cos θ<0，所以θ是第三象限角．8 A [解析] ∵|OP |＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5＝24x ，又因为α是第二象限角，∴x <0，得x ＝－ 3∴sin α＝5x 2＋5＝104，故选A.9 C [解析] ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32.10 C [解析] ∵该函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π2，k ∈Z}，∴当x 是第一象限角时，y ＝3；当x 是第二象限角时，y ＝1－1－1＝－1；当x 是第三象限角时，y ＝－1－1＋1＝－1；当x 是第四象限角时，y ＝－1＋1－1＝－1.综上，函数的值域是{－1,3}． 11[答案] A[解析] 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP ＝sin 11π6<0，AT ＝tan11π6<0.12[答案] C[解析] ∵sin α>0，tan α<0，∴α是第二象限角．∴cos α<0.∴余弦线方向向左，正切线方向向下．13 一或二，12 －33， 13 ±2在角α终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝x ，当x >0时，r ＝x 2＋y 2＝2x ，sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝22＋22＝2，当x <0时，r ＝x 2＋y 2＝－2x ，sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－22－22＝－ 2.，14 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，∵α终边过(3a －9，a ＋2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0a ＋2＞0，∴－2<a ≤3. 15(1)sin25π3＋tan(－23π4)＝sin(8π＋π3)＋tan(－6π＋π4)＝sin π3＋tan π4＝32＋1＝3＋22.(2)sin1170°＋cos360°－tan1125° ＝sin(3×360°＋90°)＋cos(0°＋360°)－tan(3×360°＋45°)＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.16(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角．由lgcos α有意义可知cos α>0， ∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角．综上可知角α是第四象限的角． (2)∵|OM |＝1，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.18 (1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0； (2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153.。