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不同规范下横场与纵场的特性分析

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光信息物理基础 第1章 数学基础 第3讲

光信息物理基础 第1章 数学基础 第3讲

旋度
Az Ay A A Ay Az R ex ( ) ey ( x z ) ez ( ) y z z x x y
梯度的方向就是标量场变化 率最大的方向，其模就是变 化率的最大值。 在给定点，梯度沿任意方向 的投影就是沿这个方向的标 量场的方向导数。
n lim
A dl S
L 0
lim S 0 S
为矢量场在点M 处沿方向 n的环量面密度。 特点：其值与点M 处的方向 n有关。
环量面密度的计算公式
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
C 0
（C 是常矢量）
(uC ) u C （u 是标量场） (uF ) u F u F （F 是矢量场） (F G) F G ( F G ) G F F G （矢量场的旋度的散度 恒为零） ( F ) 0 ( u ) 0
10
利用积分中值定理：
Ax Az Az Ay [( ) cos(n , x) ( ) cos( n , y ) y z z x Ax ( ) cos(n , z )] S x y M
因此环量面密度为：
Ay
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
（1）矢量场的环量 矢量场A沿任一闭合曲线L的积分,称为环量。

横波势函数和纵波势函数

横波势函数和纵波势函数

横波势函数和纵波势函数
横波和纵波是机械波的两种基本类型，它们的性质和传播规律有所不同。

横波是沿垂直于波传播方向的方向振动的波，而纵波则是沿波传播方
向的方向振动的波。

横波的势函数（波函数）通常表示为y(x,t)，表示波的位移与时间
和位置相关。

对于机械横波，势函数可以表示为：
y(x, t) = A sin(kx - ωt + φ)。

其中A表示波的振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。

类似地，纵波的势函数通常表示为u(x,t)，它可以表示为：
u(x, t) = A sin(kx - ωt +φ)。

其中A表示波的振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。

注意，与横波不同的是，纵波的振动方向与波传播方向相同，因此u(x,t)的波峰和波谷不再表示为y(x,t)中所示的上下方向，而是表示为沿x轴
的压缩和膨胀。

总结：横波势函数和纵波势函数的形式相同，但它们代表的物理量和
振动方向不同。

总结静电场的特性与应用

总结静电场的特性与应用

总结静电场的特性与应用静电场是一种在物体表面或空间中存在的电场。

它是由电荷的正负相互作用引起的，具有独特的特性和广泛的应用领域。

本文将总结静电场的特性和应用，并探讨其在科学、工程和日常生活中的重要性。

一、静电场的特性静电场的特性可以总结为以下几点：1. 非接触性：静电场是一种非接触性的力场，它能够通过电荷的相互作用在物体之间传递力，而无需物体之间直接接触。

2. 距离效应：静电场的力大小与距离的平方成反比，即力随距离呈指数级下降。

这意味着在较短的距离内，静电力可以非常强大。

3. 无方向性：静电场的力线是正负电荷之间的虚拟曲线，没有具体的方向。

这是与磁场的一个重要区别。

4. 叠加原理：静电场的叠加原理指出，当存在多个电荷时，它们各自产生的电场独立存在且可以叠加。

5. 趋肤效应：静电场对导体的作用主要出现在表面附近，这种现象称为趋肤效应。

导体内部几乎没有静电场的存在。

二、静电场的应用静电场的特性使其在多个领域得到广泛应用，以下是一些主要的应用领域：1. 静电喷涂：通过静电场的作用，可以使涂料颗粒获得相同的电荷，并通过引力吸附在被涂物体表面。

这种技术广泛应用于汽车、家具等行业中的涂装工艺，提高了涂层的均匀性和附着力。

2. 静电除尘：利用静电场的力将空气中的微小颗粒带电并吸附到带有电荷的收集器上，从而去除空气中的尘埃、烟雾等有害物质。

这种技术被广泛应用于工业生产、空气净化等领域。

3. 静电复印：静电复印机利用静电的感应和复制作用，将图像信息通过静电粉末吸附和传输，从而实现图像的复印和打印。

这种技术在办公、教育等领域得到广泛应用。

4. 静电除湿：通过在湿度较高的环境中产生静电场，将空气中的水分子带电并吸附到带有相反电荷的材料上，从而实现除湿的效果。

这种技术在家庭、仓储等场所中被广泛应用。

5. 静电净化：利用静电场的特性，可以去除空气中的静电荷和有害物质，从而提高环境质量。

这种技术在医疗、实验室等场所的净化中得到应用。

弹性介质中横波与纵波的传播

弹性介质中横波与纵波的传播

弹性介质中横波与纵波的传播当我们谈论声音的传播时，我们通常会想到纵波。

然而，在弹性介质中除了纵波，还存在着横波。

这两种波动模式不仅在物理上有所差异，也在声音传播的特性上有所不同。

让我们一起来探索弹性介质中横波与纵波的传播。

首先，我们需要了解弹性介质的基本特性。

弹性介质是指可以通过力而恢复原状的物质，比如固体和液体。

而无法通过力来恢复原状的物质，比如气体，不存在弹性介质的传播。

在弹性介质中，横波是指介质中的粒子振动方向与能量传播方向垂直的波动模式。

简而言之，振动在介质中的传播方向与粒子的振动方向垂直。

这种波动形式常常出现在固体介质中，例如水波和电磁波。

与之相反，纵波是指介质中的粒子振动方向与能量传播方向平行的波动模式。

这意味着振动在介质中的传播方向与粒子的振动方向相同。

纵波是一种沿着介质传播的压缩-膨胀波动，经典的例子是音波。

纵波和横波的传播特性是不同的。

纵波在传播过程中，介质中的粒子沿着波的传播方向以周期性的压缩和膨胀运动。

这种压缩和膨胀的运动使得纵波在介质中的传播速度相对较慢，而且能量损耗较小。

正因为如此，当我们听到声音时，能够清晰地分辨出声音的源头。

与之不同的是，横波的传播速度相对较快，但是能量损耗较大。

这是因为横波的振动方向垂直于能量传播方向，导致介质中粒子的振动更加复杂。

这也是为什么水波和其他液体中的横波往往比纵波更难以感知。

它们经常呈现出一种波纹的形式，不同波纹之间存在相位差，这使得横波的传播变得复杂而困难。

弹性介质中的横波与纵波在不同的物理现象中具有不同的应用。

纵波在声音传播中起到重要的作用，使我们能够听到和识别声音。

而横波在水波中扮演着重要的角色，给我们带来了水面上美丽的波纹。

此外，横波还广泛应用于工程领域，如地震波的传播研究以及地震波对建筑物的影响分析。

总结起来，弹性介质中的横波与纵波的传播具有不同的特性和应用。

纵波在介质中的传播速度较慢，能量损耗较小，广泛应用于声音传播。

而横波的传播速度较快，但能量损耗较大，呈现出复杂的波纹形式。

【电动力学课件】5-1 电磁场的矢势与标势

【电动力学课件】5-1 电磁场的矢势与标势

18
例：讨论单色平面电磁波的势。 单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播 的，因而势的方程（达朗贝尔方程）变为齐次方程： 2 1 ∂ ϕ 2 ∇ ϕ− 2 2 =0 c ∂t 2 A ∂ 1 2 ∇ A− 2 2 = 0 c ∂t 其平面波解为： A = A0 e i ( k ⋅ x −ωt )
从数学上来说，之所以存在规范变换自由度，是由于在 势的定义式中，只给出了A的旋度，而没有给出A的散度。 所以，欲得到具体的势，必须给定 A 的散度，即规范条 件。 电磁场 E和 B 本身对 A 的散度没有任何限制。因此，作为 确定势的辅助条件，我们可以取∇∙A为任意的值。 每一种选择对应一种规范。从计算方便考虑，在不同问 题中可以采用不同的辅助条件。应用最广泛的是以下两 种规范条件。
这种规范也有明显的物理意义，而且在处理 波动问题时，势的基本方程化为特别简单的 对称形式。 这种规范在基本理论以及解决实际辐射问题中 是特别方便的。
14
三、 达朗贝尔(d’Alembert)方程
1. A和ϕ所满足的微分方程
Β = ∇× Α
∂D +J ∇× Η = ∂t
∂Α Ε = −∇ϕ − ∂t
此时， B = ik × A
ϕ=
(k ⋅ A = 0)
c2
ω
k⋅A= 0
E = i ωA
*因为 ∇ ⋅ A = ik ⋅ A， 所以 k ⋅ A = 0 就是满足库仑规范的解。 因此，库仑规范下平面波的矢势A只有横向分量，刚好足 够描述电磁波的两种独立偏振，这是库仑规范的一个优点 采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变为
1 ∂ϕ ∇⋅ Α+ 2 =0 c ∂t
ϕ
17
离开电荷电流分布区域以后，矢势和标势都以 波动形式在空间中传播，由它们导出的电磁场 E和B也以波动形式在空间中传播。 注意：两种规范，方程不同，所得的矢势和标 势当然不同，但由它们所求得的 E 和 B 是完全 相同的，即 E 和 B 的波动性质是和规范无关的。

电动力学第五章—

电动力学第五章—
第五章 电磁波的辐射
19
电动力学
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
尔方程化为：
1 2 1 2 Q(t ) (r ) (r ) 2 2 2 r 0 r r c t
＊
1 2 1 2 当 r 0 时， 2 (r ) 2 0 2 r r r c t 2 2 u 1 u u (r , t ) 2 2 0 令 (r , t ) 2 r c t r
2、达朗贝尔方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
• 本章难点： 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
第五章 电磁波的辐射
17
电动力学
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间 变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源 向外运动，这被称为电磁波的辐射。
A E A t t 引入标量势函数 A E t
第五章 电磁波的辐射
A (E ) 0 t A E t
22
电动力学
5- 1
电磁场的矢势和标势
二．规范变换和规范不变性
第五章 电磁波的辐射
24
A A A E ( ) t t t t t

电动力学第五章 电磁辐射


•• 2
P 32π ε 0 c
2 3
∫
2π
0
dϕ ∫
π
0
4 1 2π ⋅ = sin θ dθ = 2 3 32π ε 0 c 3 4πε 0 3c3
3
P
P
例1. P165
ɺ 解：由于P = I ∆l = Re I 0e−iωt ∆lez = I 0 cos ωt ∆lez ɺ = I e−iωt ∆le , P
z
k B
P
E
注意：这里 ∇ ⋅ E = 0 ，磁场必须是闭合的。且由于只 1 ∇ 不需作用到 1 上， 保留 R 的最低次项，因此算符 R i ( kR −ω t ) 仅需作用到相因子 e 上。 四、辐射能流，角分布，辐射功率 辐射能流，角分布， ① 电偶极的平均能流密度为
2 1 c c * * S = Re( E × H ) = [Re( B × n ) × B ] = B n 2 2 µ0 2 µ0
1 ∂2 A 1 ∂ 2ϕ ∇ A − 2 2 − ∇ (∇ ⋅ A + 2 ) = − µ0 j c ∂t c ∂t
2
（7） （8）
1 ∂ 2ϕ ∂ 1 ∂ϕ ρ ∇ 2ϕ − 2 2 + (∇ ⋅ A + 2 )=− c ∂t ∂t c ∂t ε0
若取库仑规范，则（7）（8）方程变为
1 ∂2A 1 ∂2∇ϕ ∇2A − 2 2 − 2 = −µ0 j c ∂t c ∂t ρ 2 ∇ ϕ= − ε0
S V
f
为洛伦兹力密度
二、电磁场的动量密度和动量流密度 洛伦兹力密度公式： f
ρ = ε 0∇ ⋅ E
j= 1
= ρE + j × B (1)

高压输电线路电场分布特性与规律研究

高压输电线路电场分布特性与规律研究电力输送是现代社会运转的重要支柱之一，高压输电线路作为输送电力的主要通道，其安全性和稳定性被广泛关注。

其中，电场分布特性是高压输电线路安全问题研究中的重点之一。

一、高压输电线路电场分布特性的研究背景高压输电线路的安全性涉及到许多方面，其中电击危险是其中一个重要的影响因素。

电场分布特性是评估电击危险的重要因素之一，也是高压输电线路安全问题研究的重点之一。

二、高压输电线路电场分布特性的影响因素1.输电线路的电气参数输电线路的电气参数会对电场分布特性产生影响。

通常情况下，输电线路的线路电阻和线路电感较小，因此线路电流较大，导致电场分布特性较为复杂。

2.输电线路的导线布局方式输电线路的导线布局方式也会对电场分布特性产生影响。

常见的导线布局方式有单回线、双回线和多回线。

在单回线中，电场分布比较集中，而在多回线中，电场分布则比较均匀。

3.输电线路支架的结构形式输电线路支架的结构形式也会对电场分布特性产生影响。

在支架接地电阻较大的情况下，电场分布较为复杂，可能导致电场梯度大，对人体产生更高的电击危险。

三、高压输电线路电场分布特性的规律研究1.利用电位法研究电场分布特性电位法是研究电场分布特性的常用方法之一。

该方法利用测量的电位数据，通过计算和分析，得出电场分布特性的规律和特点。

电位法的不足之处在于需要使用大量的电位测量仪器，在实际应用中较难推广。

2.利用有限元法研究电场分布特性有限元法是计算电场分布特性的重要方法之一。

该方法通过划分物体为多个小单元，建立数学模型，进行仿真计算。

有限元法可以准确地模拟输电线路的电场分布特性，但计算时需要消耗大量的计算资源。

3.电场分布安全评估为了评估高压输电线路的电击危险程度，需要将电场分布特性和人体模型相结合进行评估。

电场分布安全评估可以帮助了解电场梯度变化的规律和人体受到电击的可能性，为行业制定相应的安全标准和建立相应的防护措施提供依据。

四、总结高压输电线路电场分布特性是电力输送领域的重点之一，其安全问题不仅涉及到技术问题，还涉及到人类健康问题。

电磁场的矢势和标势


r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )
Q(r,
t
R c
)
4 0R
其中 R r r
由叠加原理，一般电荷分布所激发标势为
r,t
V
(r, t 4
R) c dV
0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
r,t
V
(r,t R )
c dV
§1、电磁场的矢势和标势
引入矢势 的物理意义
在任一时刻，矢量 沿任一闭合回路的线积 分等于该时刻通过回路内的磁通量
是无旋场，引入标势
电磁势 和
和 完全由电磁势决定
a)此处的标势 与静电场中的电势不能混为一谈。 因为在非稳恒的情况下， 不再是保守力场，不存 在势能的概念.因此，在高频系统中，电压的概念 失去确切的意义
c dV
4 0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内的变化电荷和变化电 流在空间任意点激发的标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中的时刻是t R c，而不是 t 这说明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生的场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一个传输时
线性方程 ---- 叠加原理 对于源分布在有限体积内的势，可先求出场 源中某一体积元所激发的势，然后对场源区 域积分，即可得出总的势
设坐标原点处有一假想变化电荷
2
1 c2
2
t 2
1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2
1 c2
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物理与工程Ｖｏ１．２４　Ｎｏ．４　２０１４　摘　要　关键词　

不同规范下横场与纵场的特性分析　崔　明　李建华　崔元顺　（　淮阴工学院人事处，江苏淮安　２２３００３；　淮阴师范学院物理与电子电气工程学院，江苏淮安　２２３３００）　

文章按照矢量场分解为横场和纵场的方法，采用亥姆霍兹定理，研究电磁场的性质与　结构．对不同规范下电磁场的横场和纵场特性进行分析与比较，讨论电磁场与源之间　的对应关系．结果表明，电磁场问题由电荷场和电磁波动场两个相互独立的问题组成，　远区辐射场由横场部分决定，纵场部分并不辐射出去；电磁势函数存在过多自由度可　以归因于纵场分量的不唯一性，标量势所满足的方程并不独立于各自对应的矢量势所　满足的方程．　规范条件；横场；纵场；特性分析　

ＣＨＡＲＡＣＴＥＲＩＳＴＩＣ　ＡＮＡＬＹＳＩＳ　ＯＦ　ＴＨＥ　ＴＲＡＮＳＶＥＲＳＥ　ＡＮＤ　ＬｏＮＧＩＴＵＤＩＮＡＬ　ＦＩＥＬＤ　ＵＮＤＥＲ　ＤＩＦＦＥＲＥＮＴ　ＧＡＵＧＥＳ　

Ｃｕｉ　Ｍｉｎｇ　Ｌｉ　Ｊｉａｎｈｕａ　Ｃｕｉ　Ｙｕａｎｓｈｕｎ　（　Ｐｅｒｓｏｎｎｅｌ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｈｕａｉｙｉｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｕａｉ’ａｎ，Ｊｉａｎｇｓｕ　２２３００３；　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕａｉｙｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｉ’ａｎ，Ｊｉａｎｇｓｕ　２２３３Ｏ０）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ａｎｄ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓ—　ｖｅｒｓｅ　ａｎｄ　ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ　ｐａｔｔｅｒｎｓ　ａｒｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ　ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓ—　ｔｉｃｓ　ｏｆ　ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ　ａｎｄ　ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ　ｆｉｅｌｄ　ａｒｅ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ｕｎｄｅｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｇａｕｇｅｓ．Ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｆｉｅｌｄ　ａｎｄ　ｓｏｕｒｃｅ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｐｒｏｂ—　ｌｅｍ　ｉｓ　ｃｏｍｐｏｓｅｄ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｓｅｐａｒａｔｅ　ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ，ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｔｈｅ　ｃｈａｒｇｅ　ｆｉｅｌｄ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｏ—　ｍａｇｎｅｔｉｃ　ｗａｖｅ　ｆｉｅｌｄ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅ　ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ｆｉｅｌｄ　ｉｎ　ｆａｒ　ｚｏｎｅ　ｉｓ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ　ｆｉｅｌｄ，ａｎｄ　ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａ１　ｆｉｅｌｄ　ｄｏｅｓｎ’ｔ　ｒａｄｉａｔｅ．Ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｈａｖｅ　ｔｏｏ　ｍａｎｙ　ｄｅｇｒｅｅｓ　ｏｆ　ｆｒｅｅｄｏｍ，ｗｈｉｃｈ　ｍｕｓｔ　ｂｅ　ｄｕｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—ｕｎｉｑｕｅ　ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ　ｆｉｅｌｄ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ．　Ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｓａｔｉｓｆｉｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｃａｌａｒ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌｓ　ａｒｅ　ｎｏｔ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｓａｔｉｓｆｉｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅｉｒ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｖｅｃｔｏｒ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌｓ　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　ｇａｕｇｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ；ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ　ｆｉｅｌｄ；ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ　ｆｉｅｌｄ；ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ　

不论是在经典场论，还是在量子场论以及粒　子物理中，规范的电磁场理论都有着广泛的研究　与应用背景　］．为了深入理解电磁场的性质及特　征，人们从麦克斯韦方程组出发，按照矢量场的有　源无源性、相对论中的类电类磁性、电磁尺寸的远　近区、内秉的横场与纵场特性等对电磁场进行分　类，试图寻求对电磁场的内在结构获得深入的唯　象认识与形象刻画　。］．由于纵场的无旋性和横场　的无散性，将一个矢量场分解为纵场与横场的叠　加往往显得更加优越，因而人们更关注电磁场的　横场与纵场的特性分析　；通过把矢量场进行横　场和纵场的分解，使得电磁学中的各种方程的内　

收稿日期：２０１４—０２—２１　基金项目：江苏省高校自然科学研究项目（批准号：１３ＫＪＢ１４０００２）；　江苏省“精品课程”项目资助．　作者简介：崔明，男，主要从事机电理论研究．ｃｍ８５０５３０＠　ｌ６３．ｔｏｍ　物理与工程Ｖｏ１．２４　Ｎｏ．４　２０１４　在含义更加清晰地体现出来．本文基于亥姆霍兹　定理，比较与分析了不同规范下电磁场的横场与　纵场的特性．　

１　亥姆霍兹定理与电磁场方程　对于矢量场Ｋ（ｒ，　），如果满足无源性　・Ｋ（ｒ，￡）一０，则称Ｋ—Ｋ　为横场；如果满足无　旋性　×Ｋ（ｒ，　）：０，则称Ｋ—Ｋ　为纵场．按照矢　量场论的这种横场与纵场内秉属性的分类，亥姆　霍兹定理指出Ｆ＿ｌｌ￣，任一矢量场Ｋ（ｒ，ｆ）若满足有　界、连续、二阶可导和无限远处为零的条件或在所　研究区域　之外为零，则可分解为　Ｋ—ＫＬ＋ＫＴ：一　西十　×Ｇ　（１）　其中，（　，Ｇ）为连续、可导且满足无限远条件的任　意标函数与矢函数，该分解具有唯一性．　依据横场、纵场定义及亥姆霍兹定理，可以得　到如下结论与关系．因为　Ｖ・（　×Ｇ）一　ｃＩ）・　×Ｇ＋　・（　×Ｇ）　一　・　×Ｇ一一ＫＩ．・Ｋｒ　所以　

ｊＪｊ　’ＫＪｒｄＶ＇＝－－Ｊ』ｊ　ｖ　・（　×Ｇ）ｄＶ　

一一（口）　（　×Ｇ）・ｄＳ　一０　即分解矢量场得到的横场、纵场两个部分不但具　有唯一性，而且还具有正交性．　再者，对式（１）两边分别取散度和旋度，并利　用矢量场论中的公式与结果　・（　×Ｇ）一０、　ｘ　（　）一０及　×（　ｘ　Ｇ）一　（　・Ｇ）一　。Ｇ，有　ｆ　—Ｋ　。西　｛　ｘ　Ｋ—ｖ（　．Ｇ）一　ｚＧ　

如果选取　（　・Ｇ）一０［”］，则可以给出（　，Ｇ）所　满足的泊松型方程为　Ｖ。　一一　・Ｋ，　Ｖ　Ｇ一一Ｖ　Ｘ　Ｋ　（３）　表明，在给定矢量场Ｋ（ｒ，ｆ）后，可由式（３）求出　（　，Ｇ），进一步可以由式（１）确定出分解函数　（Ｋ　，Ｋ　）的具体样式．类比静电场、静磁场中势　方程　一一ｌ。／ｅ、　Ａ一一　的特解，在无界条　件下，可以给出式（３）的特解为　ｆ　一　Ⅲ　ａｖ　

ｌＧ一　ＪＩ『　华　其中，ｒ为源点（Ｊｃ　，３，　，ｚ　）至场点（ｚ，　，ｚ）的距　

离．如果非无界空间，式（４）还应包括面积分项．由　式（４）不难验证Ｖ（　・Ｇ）一０，表明在得到式（３）　的过程中所选用的条件能够使理论自洽．实际上，　对式（２）中的第二式两边取散度并结合式（３），有　

・［　（　・Ｇ）］一０，且　×［　（Ｖ・Ｇ）］一０，又　Ｇ　ｌ，一一０，故矢函数　（　・Ｇ）的结果应为零．　现基于横场、纵场的定义及亥姆霍兹定理，研　究电磁场方程的性质及其与场源的关联．麦克斯　韦方程组为　・Ｂ一０　・Ｄ—Ｄ　×Ｅ一～＿ＯＢ　ｄ￡　×Ｈ—Ｊ＋＿ＯＤ　ｔ　

（５）　

其中，对于简单介质有Ｄ一￡Ｅ、曰一　．由式（５）　中的第一式可知Ｂ三Ｂ　或Ｈ三Ｈ　，即磁场始终　（不管静态或动态、近区或远区等）都只是一个纯　横场；由式（５）中的第二式可知电场并非如此，即　有Ｅ—Ｅ　＋Ｅ１１或Ｄ—Ｄ　＋ＤＴ，故式（５）中的第　二、三式实际上是　・ＤＬ—Ｐ，　×ＥＴ一一８ＢＴ／ａ￡　（６）　式（５）中的第４式涉及电流Ｉ，一Ｊ　４－Ｊ　，电荷守　恒定律可以写为　・．，Ｌ一￣ｐ／３ｔ　（７）　此外，数学上　・（Ｖ×Ｈ）一０，即　×Ｈ—　Ｖ　ＸＨ　为纯横场，可将式（５）中的第四式写为　

×Ｈ１＿一（Ｊ．ｒ＋ｔ，　）＋÷（ＤＴ＋ＤＬ）　口　

而横场、纵场具有相互独立性，由上式给出两个无　

耦合方程　Ｘ　ＨＴ—ｔ，Ｔ＋ＯＤＴ／ａ　（８）　Ｉ，Ｌ＋ＯＤＬ／ａ￡一０　（９）　可见，式（６）表明纵电场与电荷有关，横电场　决定于时变的横磁场；磁场无纵向分量，式（８）显　示出横磁场的涡旋源由横电流与时变的横电场　（位移电流中的一部分）构成；式（９）反映出纵电流　与时变的纵电场相互抵消，两者对磁场的合贡献　为零，它们各自的横分量不参与式（９）之中．此外，　将式（９）两边取散度并结合式（６）中的第一式，即　给出式（７）的电荷守恒定律，式（６）、式（９）显现涉　及电荷的矢量场与纵场关联．式（６）中的第二式与　式（８）联合则表明，在波场区内时变的横电场、横　磁场相互激发形成电磁波．　对于由式（５）给出的自由空间中波动方程的　物理与工程Ｖｏ１．２４　Ｎｏ．４　２０１４　平面波解　ｆＥ（ｒ，　）：Ｅｏｅｘｐ［ｉ（ｋ・ｒ—ｃｏｔ）］　一．　（１０）　【Ｂ（，，ｔ）一￣／　￡ｋ×Ｅ（ｒ，￡）　

横场条件　・Ｅ：０、　・Ｂ一０即演变为横波条件：　

盘・Ｅ一０、　・Ｂ一０，其中七一姒／２兀为波矢，忌代　表波传播方向单位矢．　

２两种规范下横场纵场特性分析与比较　由式（５）中的第一式、第三式引出势函数（　，Ａ）　Ｂ—　×Ａ，Ｅ一～　一ＯＡ／Ｏｔ　（１１）　对于一定频率的电磁场，可由式（５）导出均匀介质　中势函数所满足的微分方程为　ｆ（　。～　ｓ著）Ａ—　（　・Ａ＋　ｅ　）一一　

］　ｚ　＋丢（　．Ａ）＝－－ｐ／￡　２　

在洛伦兹规范下，Ｖ・Ａ＋　ｅ　Ｏｔ—Ｏ，式（１２）给出　达朗贝尔方程　ｆ（　一　ｅ著）Ａ一一　

ｉ（　乙　ｓ差）　一Ｐ／￡　而对于库仑规范，　・Ａ一０，则式（１２）简化为　』（　～　ｅ著）Ａ一　＋　ｅ—ｏｔ…　

ｌ　一一ｌＤ／　在式（１１）中分解Ａ—Ａ　＋ＡＴ，因磁场Ｂ　一０，而　本身为纯纵场，则　Ｂｒ—　Ｘ　Ａ—　×（ＡＬ＋Ａｒ）＝＝＝　×Ａｒ（１５）　Ｅｒ一一ＯＡｒ／￣ｔ，Ｅ１．一一　一ＯＡ￣．／Ｏｔ　（１６）　下面按照不同规范条件分别给予研究：　１）洛伦兹条件下，关于势函数（　，Ａ）的微分　方程异常对称，具有相对论的协变性．洛伦兹条件　可以写为Ｖ・Ａ　一一　￡　Ｏｔ，虽然　・Ａ．ｒ—Ｏ但Ａ　、　≠０，对于时谐场（取ｅ　），有　一一—１．　．ＡＬ　（１７）　一一　Ｖ‘　即只用矢势的纵分量就可确定电标势　，可见涉　及标势的矢量场与纵场相关．同时，式（１３）中的第　一式可成为各自横场、纵场及对应源的解耦形式　（Ｖ　２＿　ｅ蒡）Ａｒ一一　－ｒ　（１８）　（　一　）ＡＬ一～　（１９）　这是洛伦兹条件下给出的势方程的突出优点．　２）库仑条件下，　・Ａ一０，规定了Ａ，　一０，　即Ａ—Ａ　为纯横场，此时式（１１）的电场表示恰好　是按照纵场、横场进行的完整分解，清楚地表现出　电荷场与电磁波场的两个相互独立成分．即横场　ＥＴ一一ＯＡＪｒｌｏｔ，由ＡＴ完全决定；而纵场Ｅ　一　～　，仅与瞬时库仑势　有关，代表着准稳态的　近场，在研究远区辐射问题时可令　一０而专注于　考察Ａ　的波动，这在量子光学等领域中得到应　用，因为在量子化光场中横场相当于真正的光　子￣３－１５］．此时，从式（１４）中的第一式，即势函数　（　，Ａ）混合于一体的表示式，可以得到　（Ｖ　一　ｅ嘉）ＡＴ一～　（ｔ，Ｔ＋．，ｆＪ）＋　￡丢（　）　即　，　２１２、　（　一　ｄ）ＡＴ一一　Ｔ　（２０）　ＪＬ—ｅ　（　）一０　（２１）　类似于式（８）、（９）的解释，库仑规范下，式（２０）表　明横矢势（或磁场）仅由．，ｔ决定，而式（２１）则显示　电流的纵分量Ｊ　是“专门对付”标势一阶时空变　化率￡　（　）的，以使两者对矢势的合贡献相消．　比较两种规范条件下得到的横场部分所满足　的方程式（１８）、式（２０），可见两者形式完全相同，　均有电流的横场部分激发矢势Ａ的横场波动的结　论．此外，尽管两种规范中，一个造就一对势方程　异常对称，一个使得其中之一的方程非常简单，但　式（１３）、（１４）两组方程中关于标势　的方程可以　分别由对应的式（１９）、（２１）导出ｌ＿１６］．例如，对式　（１９）、式（２１）两边分别取散度，有　，　２３２、　（　～　）（　ＡＬ）一～　ｔ，Ｌ（２２）