双星与多星问题

微专题27双星与多星问题【核心要点提示】(1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r ，以此列向心力方程进行求解．【微专题训练】【例题1】(2018·全国Ⅰ卷，20)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s 时，它们相距约400km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度BC[两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm 1m 2l 2＝m 1ω2r 1①Gm 1m 2l 2＝m 2ω2r 2②l ＝r 1＋r 2③由①②③式得Gm 1＋m 2l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得v 1＝ωr 1④v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算．质量之积和各自自转的角速度无法求解．]【变式1】(2017·吉林长春调研)2016年2月12日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”。

双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的轨道半径)，则()A ．b 星的周期为l －Δrl ＋ΔrT B ．a 星的线速度大小为πl ＋Δr T C ．a 、b 两颗星的半径之比为l l －Δr D ．a 、b 两颗星的质量之比为l ＋Δr l －Δr[解析]a 、b 两颗星是围绕同一点运行的双星系统，故周期T 相同，选项A 错误；由r a －r b ＝Δr ，r a ＋r b ＝l ，得r a ＝l ＋Δr 2，r b ＝l －Δr 2，所以r a r b ＝l ＋Δrl －Δr ，选项C 错误；a 星的线速度v ＝2πr a T＝πl ＋Δr T，选项B 正确；由m a ω2r a ＝m b ω2r b ，得m a m b ＝r b r a ＝l －Δrl ＋Δr，选项D 错误。

万有引力应用二——双星及多星问题1、（多选）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两颗星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为l ，质量之比约为m 1：m 2=3：2，则可知（ ）A ．m 1：m 2做圆周运动的线速度之比为2：3B ．m 1：m 2做圆周运动的角速度之比为1：1C ．m 1做圆周运动的半径为53l D ．m 2做圆周运动的半径为53l 答案及解析：.ABD解：双星围绕连线上的O 点做匀速圆周运动，彼此间万有引力提供圆周运动向心力，可知双星做圆周运动的周期和角速度相等．令星m 1的半径为r ，则星m 2的半径为l ﹣r则有：据万有引力提供圆周运动向心力有：即m 1r=m 2（l ﹣r ）又∵ ∴ 则星m 2的半径为，故C 错误，D 正确又因为v=rω可知，两星做圆周运动的线速度之比等于半径之比即：，所以A 正确．双星运动的角速度相同，故B 正确．故选：ABD ．2、(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( )A ．这两颗恒星的质量必定相等B ．这两颗恒星的质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1D ．其中必有一颗恒星的质量为4π2R 1＋R 23GT 2BC [对m 1有：Gm 1m 2R 1＋R 22＝m 1R 14π2T 2，解得m 2＝4π2R 1R 1＋R 22GT2，同理可得m 1＝4π2R 2R 1＋R 22GT2，故两者质量不相等，故选项A 错误；将两者质量相加得m 1＋m 2＝4π2R 1＋R 23GT 2，故选项B 正确；m 1∶m 2＝R 2∶R 1，故选项C 正确；两者质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2，则不可能其中一个的质量为4π2R 1＋R 23GT 2，故选项D 错误．]3、（单选）我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G ．由此可求出S 2的质量为（ ）A. B.C. D.答案及解析：D 解：设星体S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2， 星体S 1做圆周运动的向心力由万有引力提供得：解得 m 2=，故D 正确、ABC 错误．故选：D ．4、(单选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，下列说法正确的是( ) A ．每颗星做圆周运动的角速度为3GmL 3B ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍C 任意两星间的万有引力F ＝G m 2L2，对任一星受力分析，如图所示．由图中几何关系和牛顿第二定律可得：3F ＝ma ＝mω2L 3，联立可得：ω＝3Gm L 3，a ＝ω2L 3＝3Gm L 2，选项A 、B 错误；由周期公式可得：T ＝2πω＝2πL 33Gm，当L 和m 都变为原来的2倍，则周期T ′＝2T ，选项C 正确；由速度公式可得：v ＝ωL 3＝GmL ，当L 和m 都变为原来的2倍，则线速度v ′＝v ，选项D 错误．]5、(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图所示，四颗质量均为m 的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a ，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗都在同一平面内绕正方形对角线的交点O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，则( ) A ．每颗星做圆周运动的线速度大小为1＋24Gm aB ．每颗星做圆周运动的角速度大小为Gm 2a3 C ．每颗星做圆周运动的周期为2π2a3GmD ．每颗星做圆周运动的加速度与质量有关AD [由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r ＝22a ，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：Gm 22a2＋2G m 2a 2cos45°＝m v 222a，解得v ＝1＋24Gma，角速度为ω＝vr ＝2＋22Gm a 3，周期为T ＝2πω＝2π2a34＋2Gm，加速度a ＝v 2r ＝22＋1Gm2a 2，故选项A 、D 正确，B 、C 错误．]珠”的奇观．假设火星和木星绕太阳做匀速圆周运动，周期分别是T 1和T 2，而且火星离太阳较近，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面内，若某一时刻火星和木星都在太阳的同一侧，三者在一条直线上排列，那么再经过多长的时间将第二次出现这种现象( )A.T 1＋T 22B.T 1T 2C.T 1T 2T 2－T 1D.T 21＋T 222C [根据万有引力提供向心力得：GMm r 2＝m 4π2r T 2，解得T ＝2πr 3GM，火星离太阳较近，即轨道半径小，所以周期小．设再经过时间t 将第二次出现这种现象，此为两个做匀速圆周运动的物体追及相遇的问题，虽然不在同一轨道上，但是当它们相遇时，运动较快的物体比运动较慢的物体多运行2π弧度．所以2πT 1t －2πT 2t ＝2π，解得t ＝T 1T 2T 2－T 1，选项C 正确．] 7、宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已知双星系统中星体1的质量为m ，星体2的质量为2m ，两星体相距为L ，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G .求该双星系统运动的周期． 2πLL3Gm解析 双星系统围绕两星体间连线上的某点做匀速圆周运动，设该点距星体1为R ，距星体2为r 对星体1，有G 2mm L 2＝m 4π2T 2R 对星体2，有G 2mm L 2＝2m 4π2T2r根据题意有R ＋r ＝L ，由以上各式解得T ＝2πLL 3Gm。

天体运动的双星和多星问题解析，要求有标题
运动的双星与多星：追随宇宙深处的秘密
任何太阳系里的天体，不管它的外形大小和其他有关特征，总是以我们地球太阳系坐标系为参照，在其中特有的轨道运行的。

这个运动的规律被称为“天体运动规律”。

根据这个规律，一般而言，当天空中有两个特殊的天体出现时，其运行就围绕着某一焦点而进行，这个运动称为双星运动；若有多个天体出现，则它们之间也会相互产生影响，发生“大陆碰撞”，因而形成多星运动。

双星运动首先可分为向心运动和远心运动两种。

当两个天体存在时，它们会围绕着一个活动焦点（例如太阳）进行双星运动，而运动的方向则可分两种。

第一种是双星围绕活动焦点的向心运动，即运动轨迹以活动焦点为中心在一定范围内呈圆形；第二种是双星围绕活动焦点的远心运动，即运动轨迹以活动焦点为中心，运动方向沿正多边形状移动，而不是圆形。

而多星运动则比双星运动更加复杂，从抽象意义上来说，它是宇宙中某一空间属性量度下所有天体运动的组合，在它们间有着良好的关系，它也随着周期性的重现。

只有当人们发现宇宙的深处，构建起既能说明双星和多星间的运动关系、又能预测它们运动情况的科学框架后，人们才能真正洞察到双星与多星的深远奥秘。

因此，我们每个人都应该把握住双星和多星的机会，去研究、去追寻宇宙中深处的秘密，以发掘出更多的天体运动规律。

宇宙中的双星及多星问题一、双星问题在银河系中，双星的数量非常多，估计不少于单星。

研究双星，不但对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义，而且对于了解银河系的形成和演化，也是一个不可缺少的方面。

双星系统具有如下特点：(1)它们以相互间的万有引力来提供向心力。

(2)它们共同绕它们连线上某点做圆周运动。

(3)它们的周期、角速度相同。

二、三星问题三星问题有两种情况：第一种情况三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；《第二种情况三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，三颗星运行周期相同。

【深入学习】例题1：（2008•宁夏）天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为G）】例题2：（2013•山东）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（）1、第一种情况：例题3：宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m的小星体和一个质量为M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r．关于该三星系统的说法中正确的是（）A．在稳定运行的情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力B．在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧2、第二种情况：:例题4：宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统．其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，三角形边长为R．忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G．则（）【课堂检测】1．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．那么S1、S2做匀速圆周运动的（）A. 角速度与其质量成反比B. 线速度与其质量成反比C. 向心力与其质量成反比D. 半径与其质量的平方成反比2．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的()~A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍物理限时练一、单项选择题1．2013年2月15日中午12时30分左右，俄罗斯车里雅宾斯克州发生天体坠落事件．一块陨石从外太空飞向地球，到A 点刚好进入大气层，由于受地球引力和大气层空气阻力的作用，轨道半径渐渐变小，则下列说法中正确的是( ) A ．陨石正减速飞向A 处B ．陨石绕地球运转时角速度渐渐变小C ．陨石绕地球运转时速度渐渐变大&D ．进入大气层陨石的机械能渐渐变大2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积3．(2015·福建卷)如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( ) ＝r2r1 ＝r1r2＝(r2r1)2 ＝(r1r2)24．(2015·天津卷)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是( ) 、A ．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大B ．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C ．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D ．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小5．(2015·四川卷)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( )行星 半径/m质量/kg 轨道半径/m 地球 } ×106 ×1024 ×1011 火星×106×1023×1011A.火星的公转周期较小 B ．火星做圆周运动的加速度较小 C ．火星表面的重力加速度较大 D ．火星的第一宇宙速度较大6．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T,S 1到C 点的距离为r 1,S 1和S 2的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出S 2的质量为 （ ）{A.212)(4GTr r r 2π B.2312π4GTrC.232π4GTrD. 2122π4GT r r7．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。

06 双星与多星—万有引力与航天双星与三星及四星，是天体物理的重要而奇特的现象。

对于天体物理学家来说，双星和三星及四星是能提供最多信息的天体，从双星可以得到比单个恒星更多的信息和恒星演化的秘密。

在浩瀚的银河系中，我们发现的半数以上的恒星都是双星体，它们之所以有时被误认为单个恒星，是因为构成双星的两颗恒星相距得太近了，它们绕共同的质量中心作圆形轨迹运动，以至于我们很难分辨它们，这其中包括著名的第一亮星天狼星。

双星与多星模型，有以下规律：1.变中有不变（1）变：双星系统、三星系统、四星系统物理模型是不同的，不同的是：双星系统是两颗星，相互的万有引力等于各自做圆周运动的向心力；三星系统是三颗星，或者在同一条直线上，两端的两颗星围绕之间的星做圆周运动，则两端的两颗星所受另外两颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，或者三颗星在等边三角形的三个顶点位置，都围绕三角形中心做圆周运动，则每一颗星所受另外两颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，四星系统也有两种形式，或者是三颗星在等边三角形的三个顶点位置，都围绕处于三角形中心的第四颗星做圆周运动，则每一颗星所受另外三颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，或者是四颗星在正方形的四个顶点位置，都围绕正方形的中心做圆周运动，则每一颗星所受另外三颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，（2）不变：做题的关键都是：做圆周运动的星所受其他星的万有引力的合力等于向心力。

2.不变中有变（1）都是三星系统，两种形式也不同，两种形式的不同处在于前者是同一直线上的两个力求合力，后者是不同直线上的两个力（两个力夹角为600）求合力。

都是四星系统，两种形式也不同，两种形式的不同处在于前者是互成600的两个力的合力与第三个力求合力，后者是三个互成角度的力求合力。

（2）都是三角形模型，三星系统的三角形的中心没有星，只是三颗星做圆周运动的圆心，所以求合力是二力合成；四星系统的三角形的中心还有一颗星，它对其他三颗星也有万有引力，所以求合力是三力合成。

双星与多星问题双星模型1、模型构建在天体运动中,将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上得某点做周期相同得匀速圆周运动得行星称为双星。

2、模型条件①两颗星彼此相距较近。

②两颗星靠相互之间得万有引力做匀速圆周运动。

③两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3、模型特点如图所示为质量分别就是m １与ｍ2得两颗相距较近得恒星。

它们间得距离为L 、此双星问题得特点就是:(1)两星得运行轨道为同心圆，圆心就是它们之间连线上得某一点。

（2)两星得向心力大小相等，由它们间得万有引力提供。

(3)两星得运动周期、角速度相同。

(4）两星得运动半径之与等于它们间得距离,即r 1+ｒ2=Ｌ、4、 双星问题得处理方法双星间得万有引力提供了它们做圆周运动得向心力，即 错误!=m １ω2r １＝m 2ω2r 2。

5、 双星问题得两个结论(1)运动半径:ｍ1r 1=m 2r ２,即某恒星得运动半径与其质量成反比。

(2)质量之与:由于ω=错误!,ｒ１＋r 2＝L ,所以两恒星得质量之与m 1＋m 2=错误!。

【示例1】２0１６年２月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦1００年前得预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失得“拼图”、双星得运动就是产生引力波得来源之一,假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成,这两颗星绕它们连线得某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得a 星得周期为T ,a 、b 两颗星得距离为l ，a 、b 两颗星得轨道半径之差为Δr (a 星得轨道半径大于b 星得轨道半径),则( )A 、b 星得周期为＼ｆ（l -Δr,l +Δr )TB 、ａ星得线速度大小为π(l ＋Δr )TC 、a 、b 两颗星得半径之比为错误!D 、a 、b 两颗星得质量之比为错误!规律总结解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)双星问题得“两等”：①它们得角速度相等。

②双星做匀速圆周运动得向心力由它们之间得万有引力提供,即它们受到得向心力大小总就是相等得。

双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。