2009年全国高考理科数学试题及答案-天津卷【整理版】

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国2卷）全解全析一、选择题 1、102ii-= （A ）-2+4i (B) -2-4i (C) 2+4i (D)2-4i 【答案】A【解析】运用复数基本运算化为复数代数形式2、设集合A=｛x ｜3>x ｝，B ＝｛x ｜041<--x x ｝则A B= （A ）∅ （B ） （3，4） （C ） （-2，1） （D ） （4+∞）【答案】B【解析】解分式不等式并求交集3、已知 ABC 中，cotA=125-,则cosA= （A ）1213 （B ）513 （C ）513- (D)1213-【答案】D【解析】由cotA=125-,知，ππ<<A 2，排除（A ）、（B ）；若135cos -=A ，则1312sin =A 则125sin cos cot -==A A A 与题设不符，排除（C ），故选D 或由cotA=125-1213tan 1sec 125tan 2-=+-=⇒-=⇒A A A ， ∴1312sec 1cos -==A A 【易错提醒】同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号 4、.曲线y=21xx -在点（1，1）处的切线方程为 （A ）x-y-2=0 (B)x+y-2=0 (C)x+4y-5=0 (D)x-4y-5=0 【答案】B 【解析】22)12(1)12(2)12(1'--=-⋅--⋅=x x x x y ，切线的斜率1)112(1'21-=-⨯-===x y k ∴切线方程为02)1(1=-+⇒--=-y x x y5.、已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为（A (B) 15 (C) (D) 35【答案】C【解析】如图，取DD 1的中点F ，连接CF ，则CF ∥BE ， ∴∠D 1CF 为所求。

2009年普通高等学校招生考试新课标理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=Λ 其中x 为样本平均数柱体体积公式V ＝Sh,其中S 为底面面积,h 为高 锥体体积公式Sh V 31=,其中S 为底面面积,h 为高球的表面积、体积公式S ＝4πR 2,334R V π=,其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{1,3,5,7,9},B ＝{0,3,6,9,12},则A ∩B 等于( ) A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3}2.复数iii i 32233223+---+等于 ……( ) A.0 B.2 C.－2i D.2i 3.对变量x,y 有观测数据(x i ,y i )(i ＝1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v 有观测数据(u i ,v i )(i ＝1,2,…,10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )图1 图2A.变量x 与y 正相关,u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关,u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关,u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关,u 与v 负相关4.双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为（ ）A.32B.2C.3D.15.有四个关于三角函数的命题: p 1:∃x ∈R,212cos 2sin 22=+x x p 2:∃x,y ∈R,sin(x －y)＝sinx －siny p 3:∀x ∈［0,π］,x xsin 22cos 1=- p 4:sinx ＝cosy 2π=+⇒y x其中的假命题是( )A.p 1,p 4B.p 2,p 4C.p 1,p 3D.p 2,p 36.设x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,22,1,42y x y x y x 则z ＝x+y( )A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列.若a 1＝1,则S 4等于( )A.7B.8C.15D.168.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且22=EF ，则下列结论中错误的是（ ）A.AC ⊥BEB.EF ∥平面ABCDC.三棱锥A —BEF 的体积为定值D.异面直线AE ，BF 所成的角为定值9.已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内,且||||||==， 0||||||=++，||||||||||||•=•=•，则点O,N,P 依次是△ABC 的（ ） A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心)10.如果执行下边的程序框图,输入x＝－2,h＝0.5,那么输出的各个数的和等于（）A.3B.3.5C.4D.4.511.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为（）A.22448+ 48+ B. 2 12C. 236+24 1236+ D. 2 12.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)＝min{2x,x+2,10－x}(x≥0),则f(x)的最大值为（）A.4B.5C.6D.7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_________________.14.已知函数y＝sin(ωx+φ)(ω＞0,－π≤φ＜π)的图像如图所示,则φ＝_______.15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有__________种(用数字作答). 16.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m－1+a m+1－a m2＝0,S2m－1＝38,则m＝________________.:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤..18.(本小题满分12分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人).现用分层抽样方法(按A类,B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数).(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙为B类工人;(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.表1:表2:①先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)图1 A类工人生产能力的频率分布直方图图2 B类工人生产能力的频率分布直方图②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 19.(本小题满分12分)如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD ⊥平面PAC,求二面角PACD 的大小.(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E,使得BE ∥平面PAC?若存在,求SE ∶EC 的值;若不存在,试说明理由.20.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程;(2)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,λ=||||OM OP ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线 . 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x . (1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H,∠B ＝60°,F 在AC 上,且AE ＝AF.(1)证明B,D,H,E 四点共圆; (2)证明CE 平分∠DEF.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1:⎩⎨⎧+=+-=t y t x sin 3,cos 4(t 为参数),C 2:⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 8y x (θ为参数).(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C 1上的点P 对应的参数为2π=t ,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线C 3:⎩⎨⎧+-=+=ty t x 2,23(t 为参数)距离的最小值..24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段OM 上的动点.设x 表示C 与原点的距离,y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和.(1)将y 表示为x 的函数;(2)要使y 的值不超过70,x 应该在什么范围内取值?。

2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）一、选择题： 1.10i2-i=A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2.设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A.∅B.()3,4 C.()2,1-D.()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=.故选B. 3.已知ABC ∆中，12cot5A =-，则cos A = A.1213 B.513 C.513-D.1213-解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.12cos 13A ===-故选D. 4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A.20x y --=B.20x y +-=C.450x y +-=D.450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B.5.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB=，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.10B.15C.10D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。

在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。

故选C6.已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =A.C.5D.25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科综合物理部分理科综合共300分，考试用时150分钟物理试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共120分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、单项选择题（每小题6分，共30分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1. 物块静止在固定的斜面上，分别按图示的方向对物块施加大小相等的力F ，A中F垂直于斜面向上。

B中F垂直于斜面向下，C中F竖直向上，D中F竖直向下，施力后物块仍然静止，则物块所受的静摩擦力增大的是D【解析】四个图中都是静摩擦。

A图中sinAf Gθ=；B图中sinBf Gθ=；C图中()sinCf G Fθ=-；D图中()sinCf G Fθ=+。

2.下列关于电磁波的说法正确的是GfF NGfF NGfF NGfF NA.电磁波必须依赖介质传播B.电磁波可以发生衍射现象C.电磁波不会发生偏振现象D.电磁波无法携带信息传播B 【解析】电磁波在真空中也能传播，A 错；衍射是一切波所特有的现象，B 对；电磁波是横波，横波能发生偏振现象，C 错；所有波都能传递信息，D 错。

3.为探究小灯泡L 的伏安特性，连好图示的电路后闭合开关，通过移动变阻 器的滑片，使小灯泡中的电流由零开始逐渐增大，直到小灯泡正常发光。

由电流表和电压表得到的多组读数描绘出的U-I 图象应是C 【解析】灯丝电阻随电压的增大而增大，在图像上某点到原点连线的斜率应越来越大。

C 正确。

4.如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R ，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F 作用下加速上升的一段时间内，力F 做的功与安培力做的功的代数和等于 A.棒的机械能增加量 B.棒的动能增加量 C.棒的重力势能增加量 D.电阻R 上放出的热量A 【解析】棒受重力G 、拉力F 和安培力A F 的作用。

（新课标）2009年高考理科数学试题一、选择题（1）已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =I （ ）(A) }{1,5,7 (B) }{3,5,7 (C) }{1,3,9 (D) }{1,2,3 (2) 复数32322323i ii i+--=-+（ ） （A ）0 （B ）2 （C ）-2i (D)2（3）对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关（4）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）（A）（B ）2 （C（D ）1 （5）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（ ）（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p（6）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（ ）（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值（7）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若1a =1，则4s =（ ） （A ）7 （B ）8 （3）15 （4）16（8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ） （A ）AC BE ⊥ （B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）异面直线,AE BF 所成的角为定值（9）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且P A P B P B P C P C P A ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（ ）（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于（ ） （A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设f （x ）=min{2x, x+2,10-x} (x ≥ 0), 则f （x ）的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}AB =，{4,7,9}(){3,5,8}U A BC A B =∴=故选A 。

也可用摩根律：()()()U U U C AB C A C B =（2）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。

(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 解：验x=-1即可。

2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析一选择题： 1. 解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2. 解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=I .选B. 3.解：已知ABC ∆中,12cot 5A =-,(,)2A ππ∴∈. 12cos 13A ===-故选D. 4. 解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B. 5.解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D Q ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角.在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos A BE ∠=.故选C 6.解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g ||5b ∴=r.故选C7.解：322log 2log 2log 3b c <<∴>Q2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A. 8.解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x πππππωωω⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位164()662k k k Z ππωπωπ+=∴=+∈∴-, 又min 102ωω>∴=Q .故选D 9.解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , 由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则1||||2OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为22022(1,22)1(2)3k -∴==--, 故选D 10.解：用间接法即可.22244430C C C ⋅-=种. 故选C 11.解：设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N ,BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为3,知直线AB 的倾斜角为16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=, 由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-u u u r u u u r 11||(||||)22AB AF FB ==+u u ur u u u r .又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴=u u u r u u u r Q 故选A12.解：展、折问题.易判断选B第II 卷（非选择题,共90分）二、13.解：()4224()x y y x x y x y -=-,只需求4()x y -展开式中的含xy 项的系数：246C = 14. 解：{}n a Q 为等差数列,9553995S a S a ∴== 15.解：设球半径为R ,圆C 的半径为r ,2277.444r r ππ==,得由 因为22224R OC R ==.由2222217()484R R r R =+=+得22R =.故球O 的表面积等于8π. 16.解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+. 四边形ABCD 的面积222212121||||2(4)8()52S AB CD d d d d =⋅=-≤-+=)(4- 三、解答题17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,3cos()cos 2A CB -+=,2b ac =,求B . 分析：由3cos()cos 2A CB -+=,易想到先将()B AC π=-+代入3cos()cos 2A C B -+=得3cos()cos()2A C A C --+=.然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4A C =；又由2b ac =,利用正弦定理进行边角互化,得2sin sin sin B A C =,进而得sin B =.故233B ππ=或.大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当23B π=时,由1cos cos()2B AC =-+=-,进而得3cos()cos()212A C A C -=++=>,矛盾,应舍去. 也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23B π=.不过这种方法学生不易想到.评析：本小题考生得分易,但得满分难. 18（I ）分析一：连结BE,111ABC A B C -Q 为直三棱柱, 190,B BC ∴∠=︒E Q 为1B C 的中点,BE EC ∴=.又DE ⊥平面1BCC ,BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC , AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）.分析二：取BC 的中点F ,证四边形AFED 为平行四边形,进而证AF∥DE ,AF BC ⊥,得AB AC =也可.分析三：利用空间向量的方法.具体解法略.（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角,只需求点1B 到面BDC 的距离即可.作AG BD ⊥于G ,连GC ,则GC BD ⊥,AGC ∠为二面角A BD C --的平面角,60AGC ∠=︒.不妨设23AC =,则2,4AG GC ==.在RT ABD ∆中,由AD AB BD AG ⋅=⋅,易得6AD =.设点1B 到面BDC 的距离为h ,1B C 与平面BCD 所成的角为α.利用11133B BC BCD S DE S h ∆∆⋅=⋅,可求得h =23,又可求得143B C =11sin 30.2h B C αα==∴=︒ 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.︒分析二：作出1B C 与平面BCD 所成的角再行求解.如图可证得BC AFED ⊥面,所以面AFED BDC ⊥面.由分析一易知：四边形AFED为正方形,连AE DF 、,并设交点为O ,则EO BDC ⊥面,OC ∴为EC 在面BDC 内的射影.ECO ∴∠即为所求.以下略.分析三：利用空间向量的方法求出面BDC 的法向量n r,则1B C 与平面BCD 所成的角即为1B C u u u r与法向量n r 的夹角的余角.具体解法详见高考试题参考答案.总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况.命题人在这里一定会兼顾双方的利益. 19解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+,有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+,．．．① 则当2n ≥时,有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-Q ,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅,113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n n a是首项为12,公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-,2(31)2n n a n -=-⋅ 评析：第（I ）问思路明确,只需利用已知条件寻找1n n b b -与的关系即可． 第（II ）问中由（I ）易得11232n n n a a -+-=⋅,这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,n n n a pa q p q +=+为常数),主要的处理手段是两边除以1n q +．总体来说,09年高考理科数学全国I 、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I 还考查了利用错位相减法求前n 项和的方法）,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式.具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用.也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 20分析：（I ）这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可.另外要注意此分层抽样与性别无关.（II ）在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难.从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率1146210815C C P C ⋅==（III ）ξ的可能取值为0,1,2,31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=, 21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=,31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-== 分布列及期望略.评析：本题较常规,比08年的概率统计题要容易.在计算(2)P ξ=时,采用分类的方法,用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变通的能力.（21）（本小题满分12分）解:(I ）设(,0)F c ,直线:0l x y c --=,由坐标原点O 到l 的距离为22则222=,解得 1c =.又3,3,2c e a b a ==∴==. （II ）由(I ）知椭圆的方程为22:132x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y由题意知l 的斜率为一定不为0,故不妨设 :1l x my =+ 代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=,显然0∆>.由韦达定理有：1224,23m y y m +=-+1224,23y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P,使OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立,则其充要条件为：点1212P (,)x x y y ++的坐标为,点P 在椭圆上,即221212()()132x x y y +++=. 整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又A B 、在椭圆上,即22221122236,236x y x y +=+=.故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212m =1222y y ∴+=-,12x x +=22432232m m -+=+,即3(,22P ±.当3,(,:12222m P l x y =-=+;当3,(:12m P l x y ==+. 评析：处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够.所谓“算”,主要讲的是算理和算法.算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质.有时候算理和算法并不是截然区分的.例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算？在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点. 22.解: （I ）()2222(1)11a x x af x x x x x++'=+=>-++ 令2()22g x x x a =++,其对称轴为12x =-.由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根,其充要条件为480(1)0a g a ∆=->⎧⎨-=>⎩,得102a << ⑴当1(1,)x x ∈-时,()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵当12(,)x x x ∈时,()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；⑶当2,()x x ∈+∞时,()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数； （II ）由（I ）21(0)0,02g a x =>∴-<<,222(2)a x x =-+2()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2设()()221(22)1()2h x x x x ln x x =-++>-,则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴当1(,0)2x ∈-时,()0,()h x h x '>∴在1[,0)2-单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时,()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减.()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时 故()22122()4In f x h x -=>．。

2009年高考天津数学(文)试题及参考答案2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）参考公式：。

如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。

棱柱的体积公式V=sh。

其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

i是虚数单位，=（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i （2）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6 （B）7 （C）8 （D）23（3）命题“存在R，0”的否定是（A）不存在R, >0 （B）存在R, 0（C）对任意的R, 0 （D）对任意的R, >0（4）设函数则A在区间内均有零点。

B在区间内均无零点。

C在区间内有零点，在区间内无零点。

D在区间内无零点，在区间内有零点。

（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A 26B 35C 40D 57(6）设若的最小值为A 8B 4C 1 D（7）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A 向左平移个单位长度B 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度D 向右平移个单位长度（8）已知函数若则实数的取值范围是A B C D（9）．设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的成面积之比=（A）（B）（C）（D）（10）.0＜b＜1+a,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则（A）-1＜a＜0 （B）0＜a＜1 （C）1＜a＜3 （D）3＜a ＜6二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。

已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。

全国统一高考试卷试题22. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9. 2009年全国统一高考数学试卷（理科）、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） (5分) 101A .— 2+4iB .— 2 — 4i C. 2+4i (5分) A . © (5分) A . 12 13 (5分) 设集合 A={ x|| x| > 3} , B={x| v0}，贝U A n B=(C. ( — 2, 1) B . (3, 4) ——，贝U cosA=( 5已知△ ABC 中，cotA=- B . 5 C.函数尸 H 在点（1 ,2x-l1）处的切线方程为（A . x — y — 2=0B . x+y — 2=0C. x+4y — 5=0（5 分）已知正四棱柱 ABCD- A 1B 1C 1D 1 中，AA 1=2AB, 直线BE 与CDi 所形成角的余弦值为（ A .10）c •仁 （5分）已知向量a= （2， 1），电*b =10，| *b | =冈耳， B . A . 口B . | C. 5 (5 分)设 a=log 3 n b=loQ 施，c=log •、他，贝U() A . a >b >c B . a >c >b C. b >a >c （5分）若将函数y=tan （ 3（3>0）的图象向右平移 （全国卷n ）D . D .D .D . 2 — 4i121.3x — 4y+3=0 E 为AA 1中点，则异面 D•一则 IM=()D . 25D . b >c >a K y个单位长度后, 与函数y=tan ( 3 的图象重合，贝U 3的最小值为（） D •丄 A 丄 A. !'（5分）已知直线y=k （x+2） （k > 0 ）与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若| FA=2| FB ，则k=（ 1 3 A . B .C. —J10. （5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（全国统一高考试卷试题2 2C＞冷Z严1〔工＞0* b＞0）的右焦点为F,过F且斜率邑2 b?为护［的直线交C于A、B两点，若AT=4FE，则C的离心率为（）12. （5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标△”的面的方位（）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. _______________________________________________ （5分）（乂旳-Mi）4的展开式中讨的系数为____________________________ .14. （5分）设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a5=5a a,则八= _______ .15. （5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于罟，则球O的表面积等于______ .A. 6种B. 12 种C. 24 种D. 30 种C. D.11. （5分）已知双曲线B.北C•西D.下全国统一高考试卷试题16. (5分)求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.三、解答题(共6小题，满分70 分)17. (10分)设厶ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为 a b 、c , cos (A -C )18. (12分)如图，直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，AB 丄AC, D 、E 分别为AA i 、B 1C 的中点，DE 丄平面BCG . (I )证明：AB=AC(U)设二面角A -BD- C 为60°求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小.19. (12分)设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ,已知 a 1=1，S n +1=4a n +2 (n € N *). (1) 设b n =a n +1 - 2a n ，证明数列｛b n ｝是等比数列； (2) 求数列｛a n ｝的通项公式.+cosB 壬,b 2=ac,求B.全国统一高考试卷试题20. （12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人, 其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（n）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（川）记E表示抽取的3名工人中男工人数，求E的分布列及数学期望.21. （12分）已知椭圆。

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。