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相关性与回归分析在我们的日常生活和各种科学研究中，经常会遇到需要分析两个或多个变量之间关系的情况。
这时候，相关性与回归分析就成为了非常有用的工具。
它们能够帮助我们理解变量之间的相互影响，预测未来的趋势，以及为决策提供有力的依据。
让我们先来聊聊相关性。
相关性主要是用来衡量两个变量之间线性关系的紧密程度。
比如说，我们想知道一个人的身高和体重之间有没有关系，或者学习时间和考试成绩之间是不是存在关联。
相关性分析会给出一个数值，这个数值通常在－1 到 1 之间。
如果相关性数值接近 1，那就表示两个变量之间存在很强的正相关关系，也就是说，一个变量增加，另一个变量也会随之增加。
相反，如果相关性数值接近－1，就是很强的负相关关系，一个变量增加，另一个变量会减少。
而当相关性数值接近 0 时，则表示两个变量之间几乎没有线性关系。
举个例子，我们发现气温和冰淇淋销量之间存在正相关关系。
天气越热，人们购买冰淇淋的数量往往就越多。
但是要注意，相关性并不意味着因果关系。
虽然气温和冰淇淋销量高度相关，但气温升高并不是导致人们购买冰淇淋的唯一原因，可能还有其他因素，比如人们的消费习惯、促销活动等。
接下来，我们再深入了解一下回归分析。
回归分析实际上是在相关性分析的基础上更进一步，它不仅能够告诉我们变量之间的关系强度，还能建立一个数学模型来预测一个变量的值，基于另一个或多个变量的值。
比如说，我们通过收集数据，发现房子的面积和价格之间存在一定的关系。
然后，我们可以使用回归分析建立一个方程，比如“价格＝ a×面积＋b”，其中 a 和 b 是通过数据分析计算出来的系数。
这样，当我们知道一个房子的面积时，就可以用这个方程来预测它大概的价格。
回归分析有很多种类型，常见的有线性回归和非线性回归。
线性回归假设变量之间的关系是直线的，就像我们刚才提到的房子面积和价格的例子。
但在很多实际情况中，变量之间的关系并不是直线，而是曲线，这时候就需要用到非线性回归。
相关与回归的区别与联系相关与回归是统计学中常见的两个概念，它们在数据分析和建模中起着重要的作用。
虽然相关与回归都涉及到变量之间的关系，但它们在实际应用中有着不同的含义和用途。
本文将从相关与回归的定义、计算方法、应用领域等方面进行详细的比较，以便更好地理解它们之间的区别与联系。
相关是指两个或多个变量之间的关联程度，用相关系数来衡量。
相关系数的取值范围在-1到1之间，0表示无相关，1表示完全正相关，-1表示完全负相关。
相关系数的计算可以采用皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数等方法。
相关分析主要用于描述和衡量变量之间的线性关系，帮助我们了解变量之间的相互影响程度。
回归分析则是一种建立变量之间关系的数学模型的方法。
回归分析可以分为线性回归、多元回归、逻辑回归等不同类型，用于预测和解释变量之间的关系。
回归分析通过拟合数据点来找到最佳拟合线或曲线，从而建立变量之间的函数关系。
回归分析广泛应用于经济学、社会学、生物学等领域，帮助研究人员进行数据建模和预测。
相关与回归之间的联系在于它们都是用来研究变量之间的关系的方法。
相关分析可以帮助我们初步了解变量之间的相关程度，为后续的回归分析提供参考。
而回归分析则可以更深入地探究变量之间的函数关系，帮助我们建立预测模型和解释变量之间的因果关系。
因此，相关与回归在数据分析中常常是相辅相成的。
然而，相关与回归之间也存在一些区别。
首先，相关分析更注重描述变量之间的关系，而回归分析更注重建立变量之间的函数关系。
其次，相关系数的取值范围在-1到1之间，而回归系数则可以是任意实数。
最后，相关分析不涉及因果关系，而回归分析可以用来解释变量之间的因果关系。
综上所述，相关与回归在统计学中有着不同的含义和用途，但又有着密切的联系。
通过对相关与回归的区别与联系进行深入理解，我们可以更好地运用它们来分析数据、建立模型，为科学研究和决策提供有力支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解相关与回归的概念和应用，提升数据分析能力和研究水平。
回归分析和相关分析的联系和区别回归分析(Regression)：Dependant variable is defined and can be forecasted by independent variable.相关分析(Correlation)：The relationship btw two variables. --- A dose not define or determine B.回归更有用自变量解释因变量的意思，有一点点因果关系在里面，并且可以是线性或者非线形关系；相关更倾向于解释两两之间的关系，但是一般都是指线形关系，特别是相关指数，有时候图像显示特别强二次方图像，但是相关指数仍然会很低，而这仅仅是因为两者间不是线形关系，并不意味着两者之间没有关系，因此在做相关指数的时候要特别注意怎么解释数值，特别建议做出图像观察先。
不过，无论回归还是相关，在做因果关系的时候都应该特别注意，并不是每一个显著的回归因子或者较高的相关指数都意味着因果关系，有可能这些因素都是受第三，第四因素制约，都是另外因素的因或果。
对于此二者的区别，我想通过下面这个比方很容易理解：对于两个人关系，相关关系只能知道他们是恋人关系，至于他们谁是主导者，谁说话算数，谁是跟随者，一个打个喷嚏，另一个会有什么反应，相关就不能胜任，而回归分析则能很好的解决这个问题回歸未必有因果關係。
回歸的主要有二：一是解釋，一是預測。
在於利用已知的自變項預測未知的依變數。
相關係數，主要在了解兩個變數的共變情形。
如果有因果關係，通常會進行路徑分析(path analysis)或是線性結構關係模式。
我觉得应该这样看，我们做回归分析是在一定的理论和直觉下，通过自变量和因变量的数量关系探索是否有因果关系。
楼上这位仁兄说“回归未必有因果关系……如果有因果关系，通常进行路径分析或线性结构关系模式”有点值得商榷吧，事实上，回归分析可以看成是线性结构关系模式的一个特例啊。
第一节相关分析和回归分析的意义及种类一、相关分析和回归的概念1、变量间的依存关系（1）函数关系：变量保持着严格的依存关系，呈现出一一对应的特征。
（2）相关关系：变量保持着不确定的依存关系，即“若即若离”也。
2、相关分析主要研究：借助于若干分析指标（如相关系数、相关指数等）对变量间的依存关系的紧密程度作测定的过程。
3、回归分析主要研究：对具有相关关系的一些变量，用函数表达式来表达各变量之间的相互关系形式的研究过程。
二、相关关系的种类1、按相关的性质可分为正相关和负相关。
正相关：自变量与因变量之间的变动方向同步。
负相关：自变量与因变量之间的变动方向呈现逆向运动。
2、按相关形式可分为线性相关和非线性相关。
线性相关：如果变量之间存在着相关关系，因变量又近似表现为自变量的一次函数。
（以两个变量为例的散点图）非线性相关：如果变量之间存在着相关关系，因变量不能近似地表现为自变量的一次函数。
（以两个变量为例的散点图）3、按相关程度可分为完全相关、不完全相关和完全不相关。
完全相关：变量的所有值都完全满足一个方程。
如：圆面积S与半径r有关系式不完全相关：变量之间存在不严格的依存关系如：若把两个骰子同时投掷100次，其每次投出的相应点之间没有任何关系（除非这些投掷是负重的）。
完全不相关：自变量与因变量之间彼此互不影响。
如：身高的体重间则存在的关系。
●●下面是不完全相关的散点图4、按自变量的多少可以分为单相关和复相关。
三、相关关系的测定1、定性判断2、相关表：用表格反应现象之间的相关关系。
3、相关图：将观数据放在坐标系中，以观察有无相关关系及相关关系的紧密程度。
4、相关系数判断法:在直线相关条件下,说明两个变量之间相关关系密切程度的统计指标.相关系数计算公式:式中 2 变量的协方差；表示自变量的标准差；表示因变量的标准差。
由于变量的总体方差和标准差是不容易得到的，因此一般是有样本数据来求得到它们的估计量。
四、相关系数的性质:⑴取值范围：|r| ≤1⑵相关方向：0<r<1时，表示ς与 之间存在着正相关；-1<r<0时表示ς与 之间存在着为负相关。
相关分析与回归分析
一、相关分析
相关分析是研究两个或两个以上随机变量之间的相互依存关系的紧密程度的。
相关系数r 是表明两个定距或定比变量间关系程度的量数，其取值范围在-1到+之间。
当r 为负值时，说明变量X 与变量Y 的变化方向相反。
即当X 增大时，Y 减少；当X 减少时，Y 增大；当r 为正值时，说明两变量的变化方向相同。
|r|=1时，称X 与Y 完全相关；r=0时，则称二者完全不相关；|r|越接近1，说明关系强度越大，越接近0，则说明关系强度越小。
相关系数r 的计算公式为：
∑∑∑∑∑∑∑-∙-∙-=
]
)([])([)()(2
2
2
2
Y Y n X X n Y X XY n r (公式1-1)
下面我们举例说明相关系数r 的计算方法：
代入公式得：
986.0)
127017730010()115177910(1270
11517270102
2
≈-⨯⨯-⨯⨯-⨯=
r
说明说明这10名工人的工龄与收入之间存在着非常强的正相关关系。
下面介绍一下如何在Excel 上求得相关系数。
[1]首先进行原始数据的录入，并将工作表保存为“相关分析1”（见图1）。
[2]在单元格A12输入“合计”；选中单元格B2——B11，之后鼠标点击自动求和按钮（如图2所示）。
[3] 用鼠标选中B12——F12区后，点击编辑菜单下的“填充”项，再点击“向右填充”，得到如图3所示的结果。
[4]在单元格C13、C15、 C16分别输入“分子项”、“分母项”、“相关系数”，在单元格D13输入公式“=A11*D12-B12*C12”，在单元格D14、E14分别输入公式“=A11*E12-B12^2”、“=A11*F12-C12^2”，在单元格D15、D16中分别输入“=(D14*E14)^(1/2)”、=ROUND(D13/D15,3)，执行后结果如图4所示。
图1 原始数据录入
图2 数据列求和
图3
图4相关系数求算结果
二、回归分析
回归分析是研究某一随机变量（因变量或被解释变量）与其他一个或几个普通变量（自变量或解释变量）之间的数量变动关系的，由回归分析求出的关系式是回归模型。
相关分析
研究的都是随机变量，并且不分自变量与因变量，回归分析研究的变量要定出自变量与因变量，并且自变量是确定的普通变量，因变量是随机变量。
在实际工作中，根据相关系数的大小对变量进行筛选，剔除不相关或相关性小的变量，然后再进行回归分析，建立回归模型，进行预测。
[一]原理阐释
如果涉及的变量只有两个（因变量与自变量）则称为一元回归分析，如果涉及的变量有多个，就属于多元回归分析。
在回归方程中，如果因变量是诸种自变量的一次函数关系，那么就是线性回归方程。
限于篇幅，仅介绍一元线性回归分析中的样本回归直线、回归直线方程的确定，回归方程的系数等问题。
假设，我们得到n 组观察数据（X i ，Y i ）（i=1，2……n ），以X i 作为自变量，Y i 作为因变量，用坐标图式方法，可将每对数据（X i ，Y i ）在坐标系中用相应的点表示，就可以形成坐标散点图。
并且在坐标散点图上求出一条与各点相配合的估计线。
该估计线方程可写为：
x b b Y
10ˆ+=（式2-1） 这样得出的直线叫样本回归直线，它是y 对x 的回归线，表现的是y 对x 的平均关系。
式2-1中：
X ——自变量，在研究时需要事先选定的数值。
bo ——样本回归直线的截距，又称回归系数，是样本回归直线通过纵轴的点时y 的坐标。
b 1——样本回归直线的斜率，又称回归系数，表示当x 增加一个单位时，y 的平均增加数量。
根据散点图可知，其实在坐标系上是可以作出很多条直线来表示两个变量之间的关系的。
但不同回归直线的差别是比较大的，总有一条直线是最适合实际的，即该直线的误差最小。
该直线正是我们所要寻求的。
我们知道，对任意一个给定的x i ,根据2-1式，可得y 的估计值为：
i i Y
x b b 10ˆ+= （式2-2） 这样求得的数值与实际值y 之间存在一定误差：
εi = Y
ˆ-i Y ˆ =Yi-b 0-b 1X i (式2-3) 根据最小二乘法的原则，欲使2-3式最接近于实际数据，必须使这些误差的平方和最小，
即： Q=∑ε2i =∑( Yi -b 0-b 1X i )2
(式2-4)
为最小。
根据微分极值的原理，欲使式2-4最小，须使
0b Q 0=∂∂，0b1
Q
=∂∂ 即
=∂∂0
b Q
2∑( Yi -b 0-b 1X i )（-1） =-2∑( Yi-b 0-b 1X i )=0 (式2-5)
=∂∂b1
Q
2∑( Yi -b 0-b 1X i )（- X i ） =-2∑X i ( Yi-b 0-b 1X i )=0 (式2-6)
根据式（2-5）和式（2-6），可改写为：
∑∑=+Yi X b nb i 10 (式2-7)
∑∑∑
=+i i i o Y X i
b X b X 2
1 (式2-8)
对以上两个方程求解得：
X b Y n
X b n i Y b i
11
-=-
=∑∑ （式2-9）
∑∑∑∑∑-
-
=
n
X X n
Y X Y
X b i
i 2
21)())(( （式2-10）
由此，即可确定回归方程。
[二] 例子
下面我们根据上述例子来求解一下回归方程。
首先看看如何求回归系数b1。
在上述Excel 文件中，在单元格H7、H8、H9、H10中分别输入“回归分子项”、“回归分母项”、“回归系数”、“截距”在单元格I7、I8、I9、I10中分别输入“ =D12-B12*C12/A11”、“=E12-B12^2/A11”、“=ROUND(I7/I8,2)”、“=ROUND(C12/A11-I9*B12/A11,2)”，计算结如
图5
所示。
图5，回归模型求解
由上可知，其直线回归方程为：Y=59.84+5.84X
我们有了上述线性回归直线方程，就可以对不同年龄的工人的收入进行预测。
比如： 工龄为6年，那么收入)(88.94684.584.59元=⨯+=Y 工龄为14年，那么收入)(6.1411484.584.59元=⨯+=Y
当然，预测所得到的数值与实际数值之间肯定会有些误差。
这些误差是由于其它变量对因变量产生影响所造成的。
三、作业
试用Excel求算该单位科研经费投入与经济效益之间的相关系数及线性回归方程。
并预测2005年、2006年科研预算投入为32万、40万的预期经济效益。
