2014年高考数学一轮复习-热点难点精讲精析-5.2数列综合应用

第5讲 数列的综合应用分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.答案 162．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为________.2 4 12xyz解析 由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故第四列的公比为12，所以y ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝58，同理z ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，故x ＋y ＋z ＝2. 答案 23．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析 由x 2－x ＜2nx (n ∈N *)，得0＜x ＜2n ＋1， 因此知a n ＝2n .∴S 100＝1002＋2002＝10 100.答案 10 1004．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为________．解析 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n 是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4,7，…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×10×1＋282＋72×10＝470. 答案 4705．对正整数n ，若曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为________． 解析 由题意，得y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，故曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线的斜率为k ＝n 2n －1－(n ＋1)2n，切点为(2，－2n)，所以切线方程为y ＋2n＝k (x －2)．令x ＝0得a n ＝(n ＋1)2n ，即a nn ＋1＝2n，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－26．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列； ②{(－1)n}是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析①正确，因为a 2n －a 2n ＋1＝p ，所以a 2n ＋1－a 2n ＝－p ，于是数列{a 2n }为等差数列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n }为等方差数列．③正确，因为a 2kn－a 2kn ＋k ＝(a 2kn －a 2kn ＋1)＋(a 2kn ＋1－a 2kn ＋2)＋(a 2kn ＋2－a 2kn ＋3)＋…＋(a 2kn ＋k －1－a 2kn ＋k )＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 答案①②③二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2009·某某)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项． 解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0. 由a 22＋a 23＝a 24＋a 25知2a 1＋5d ＝0.①又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝n a 1＋a n 2＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝a m ＋2－4a m ＋2－2a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数，又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2. 经检验，符合题意的正整数只有m ＝2.8．在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23. (1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值． 解 (1)由a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)－44.∴a n ＋2－a n ＝2，又a 2＋a 1＝2－44，∴a 2＝－19.同理得：a 3＝－21，a 4＝－17.故a 1，a 3，a 5，…是以a 1为首项、2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以a 2为首项、2为公差的等差数列．从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －24n 为奇数，n －21n 为偶数.(2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n －1)－44] ＝2[1＋3＋…＋(n －1)]－n 2·44＝n 22－22n ，故当n ＝22时，S n 取得最小值－242. 当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝a 1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n －1)－44]＝a 1＋2[2＋4＋…＋(n －1)]＋n －12·(－44)＝－23＋n ＋1n －12－22(n －1)＝n 22－22n －32. 故当n ＝21或n ＝23时，S n 取得最小值－243.综上所述：当n 为偶数时，S n 取得最小值为－242；当n 为奇数时，S n 取最小值为－243.分层训练B 级 创新能力提升1．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.解析 由题意知{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，四项－24,36，－54,81成等比数列，公式为q ＝－32，6q ＝－9.答案 －92．(2012·某某调研一)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________.解析 (1)当公比q ＝1时，2×9a 1＝3a 1＋6a 1，则a 1＝0，舍去． (2)当公比q ≠1时，2×a 11－q 91－q ＝a 11－q 31－q ＋a 11－q 61－q，∴2q 6＝1＋q 3，则2a 2q 6＝a 2＋a 2q 3，即2a 8＝a 2＋a 5，从而m ＝8. 答案 83．(2012·某某模拟)若数列{a n }，{b n }的通项公式分别是a n ＝(－1)n ＋2 010·a ，b n ＝2＋－1n ＋2 011n，且a n ＜b n 对任意n ∈N *恒成立，则常数a 的取值X 围是________．解析 由a n ＜b n ，得(－1)n·a ＜2－－1nn.若n 为偶数，则a ＜2－1n对任意正偶数成立，所以a ＜2－12＝32；若n 为奇数，则a ＞－2－1n 对任意正奇数成立，所以a ≥－2.故－2≤a＜32. 答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 4．(2012·某某师大附中模拟)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 x 1y 1x 2y 2x 3y 3x 4y 4x 5y 5x 6y 6按如此规律下去，则a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝________.解析 观察发现，a 2n ＝n ，且当n 为奇数时，a 2n －1＋a 2n ＋1＝0，所以a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝0＋2 0102＝1 005.答案 1 0055．定义一种新运算*，满足n *k ＝nλk －1(n ，k ∈N *，λ为非零常数)．(1)对于任意给定的k 值，设a n ＝n *k (n ∈N *)，求证：数列{a n }是等差数列； (2)对于任意给定的n 值，设b k ＝n *k (k ∈N *)，求证：数列{b k }是等比数列； (3)设＝n *n (n ∈N *)，试求数列{}的前n 项和S n . (1)证明 因为a n ＝n *k (n ∈N *)，n *k ＝nλk －1(n ，k ∈N *，λ为非零常数)，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)*k －n *k ＝(n ＋1)λk －1－nλk －1＝λk －1.又k ∈N *，λ为非零常数，所以{a n }是等差数列． (2)证明 因为b k ＝n *k (k ∈N *)，n *k ＝nλk －1(n ，k ∈N *，λ为非零常数)，所以b k ＋1b k＝n *k ＋1n *k ＝nλknλk －1＝λ.又λ为非零常数，所以{b k }是等比数列．(3)解 ＝n *n ＝nλn －1(n ∈N *，λ为非零常数)，S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋＝λ0＋2λ＋3λ2＋…＋nλn －1，①当λ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12；当λ≠1时，λS n ＝λ＋2λ2＋3λ3＋…＋nλn.② ①－②，得S n ＝1－λn1－λ2－nλn1－λ. 综上，得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12λ＝1，1－λn1－λ2－nλn1－λλ≠1.6．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若＝a n ·b n ，求证：＋1＜.(1)解 由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列．(3)证明 由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .∴＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴＋1－＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)＜0，∴＋1＜.。

课时作业(三十二) [第32讲 数列的综合应用](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[教材改编试题] 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．－102．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg0.97＝－0.013 2，lg0.5＝－0.301 0)( )A ．22B ．23C ．24D ．253．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为正奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 6＝( )A ．11B ．17C ．22D ．234．[2012·长春调研] 各项都是正数的等比数列{a n }中，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 10＋a 12a 8＋a 10＝( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9能力提升5．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列通项a n ＝( )A.1nB.2nC ．－1nD ．－2n6．[2012·红河州检测] 若一等差数列{a n }的首项a 1＝－5，其前11项的平均值为5，又若从中抽取一项，余下的10项的平均值为4，则抽去的是( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 117．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝1－1a n －1(n ≥2)，则a 2 012＝( ) A ．－12 B ．－23C.35D.528．[2012·开封模拟] 已知数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )A ．9B ．10C ．11D ．129．[2012·郑州检测] 已知函数f (x )＝15x 5＋x 3＋4x (x ∈R )，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负10．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．11．已知数列{a n }中，a 201＝2，a n ＋a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则a 2 012＝________．12．[2012·日照一中月考] 已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，对于函数y ＝ln x －x ，当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于________．13．[2012·宁波荆州区适应性考试] 对于正项数列{a n }，定义H n ＝n a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，若H n ＝2n ＋2，则数列a n 的通项公式为________．14．(10分)[2012·湖州二模] 已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的n 的最小值．15．(13分)[2012·浙江五校联考] 设公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝8，S 2＝48，数列{b n }满足b n ＝4log 2a n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求正整数m 的值，使得b m ·b m ＋1b m ＋2是数列{b n }中的项．难点突破16．(12分)[2012·江西八校联考] 已知等差数列{a n }的首项为正整数，公差为正偶数，且a 5≥10，S 15<255.(1)求通项a n ；(2)若数列a 1，a 3，ab 1，ab 2，ab 3，…，ab n ，…，成等比数列，试找出所有的n ∈N *，使c n ＝b n －14为正整数，说明你的理由．课时作业(三十二)【基础热身】1．B [解析] ∵a 1a 4＝a 23，∴(a 2－2)(a 2＋4)＝(a 2＋2)2.∴2a 2＝－12.∴a 2＝－6.2．B [解析] 依题意有(1－3%)n <0.5，所以n >lg0.5lg0.97≈22.8.故选B. 3．C [解析] 逐项计算得该数列的前6项依次为：2，4，8，10，20，22，故选C.4．D [解析] 由已知a 3＝3a 1＋2a 2，于是q 2＝3＋2q ，由数列各项都是正数，解得q ＝3，所以a 10＋a 12a 8＋a 10＝q 2＝9.故选D.【能力提升】5．C [解析] 已知变形为1a n ＋1－1a n＝－1，设b n ＝1a n ，则{b n }是等差数列，b 1＝－1，b n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以a n ＝－1n.故选C.6．D [解析] S 11＝11a 1＋11×102d ＝11×5，可得d ＝2.由S 11－a n ＝40，得a n ＝15，即a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15.∴n ＝11.故选D.7．B [解析] 由递推公式得a 2＝－23，a 3＝52，a 4＝35，a 5＝－23，…，所以数列{a n }是周期数列，周期为3，于是a 2 012＝a 2 010＋2＝a 2＝－23.故选B. 8．C [解析] ∵log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1，∴log 2a n ＋1a n ＝1，∴a n ＋1a n＝2，所以，数列{a n }是以1为首项，公比为2的等比数列，所以S n ＝1－2n1－2＝2n －1>1 025，∴2n >1 026.又210<1 026<211，∴n >10，∴n min ＝11.故选C.9．A [解析] 因为函数f (x )＝15x 5＋x 3＋4x 是奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a 3)>f (0)＝0，又数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 5＝2a 3>0，∴a 1>－a 5，所以f (a 1)>f (－a 5)，即f (a 1)＋f (a 5)>0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)>0.故选A. 10.104－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x )10＝4，所以x ＝104－1.11．－2 [解析] 由已知得a n ＋1＝－a n ，所以a 202＝－2，a 203＝2，a 204＝－2，…，可以看出，奇数项为2，偶数项为－2，所以a 2 012＝－2.12．－1 [解析] 对函数求导得y ′＝1x －1＝1－x x(x ∈(0，＋∞))，当0<x <1时，y ′>0，当x >1时，y ′<0，所以当x ＝1时，函数有极大值为y ＝ln1－1＝－1，所以b ＝1，c ＝－1.因为实数a ，b ，c ，d 成等比数列，所以ad ＝bc ＝－1.13．a n ＝2n ＋12n [解析] 由题意得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n （n ＋2）2，则na n ＝n （n ＋2）2－（n －1）（n ＋1）2＝2n ＋12，则a n ＝2n ＋12n. 14．解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2（a 3＋2），即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（2＋q 2）＝3a 1q ， ①a 1（q ＋q 3）＝2a 1q 2＋4. ② 由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2.当q ＝1时，不合题意，舍；当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以，a n ＝2·2n －1＝2n .故所求数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n . 所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n )＝2（1－2n ）1－2－n （1＋n ）2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0， 即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10.因为n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.15．解：(1)设{a n }的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 2＝8，a 1＋a 1q ＝48⇒q ＝12或q ＝－13(舍)． 则a 1＝8q 2＝32，a n ＝32·⎝⎛⎭⎫12n －1＝26－n ， b n ＝4log 2a n ＝4log 226－n ＝－4n ＋24.即数列{a n }的通项公式为a n ＝26－n ，{b n }的通项公式为b n ＝－4n ＋24.(2)∵b m ·b m ＋1b m ＋2＝（24－4m ）（20－4m ）（16－4m ）＝4（6－m ）（5－m ）（4－m ），令t ＝4－m (t ≤3，t ∈Z )，所以b m ·b m ＋1b m ＋2＝4（6－m ）（5－m ）（4－m ）＝4（2＋t ）（1＋t ）t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＋3＋2t ， 如果b m ·b m ＋1b m ＋2是数列{b n }中的项，设为第m 0项，则有4⎝⎛⎭⎫t ＋3＋2t ＝4(6－m 0)，那么t ＋3＋2t 为小于等于5的整数，所以t ∈{－2，－1，1，2}．当t ＝1或t ＝2时，t ＋3＋2t＝6，不合题意； 当t ＝－1或t ＝－2时，t ＋3＋2t＝0，符合题意． 所以，当t ＝－1或t ＝－2时，即m ＝5或m ＝6时，b m ·b m ＋1b m ＋2是数列{b n }中的项． 【难点突破】16．解：(1)因为S 15＝15a 8，设{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ≥10，①a 1＋7d <17，② 由①得－a 1－4d ≤－10，③②＋③有3d <7⇔d <73，所以d ＝2. 将d ＝2代入①、②有a 1≥2且a 1<3，所以a 1＝2.故a n ＝2＋(n －1)×2，即a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)可知a 1＝2，a 3＝6，∴公比q ＝a 3a 1＝3， ab n ＝2·3(n ＋2)－1＝2·3n ＋1.又ab n ＝a 1＋(b n －1)×2＝2b n ，∴2·3n ＋1＝2b n ，即b n ＝3n ＋1，故c n ＝3n ＋1－14. 此时当n ＝1，3，5时符合要求；当n ＝2，4时不符合要求． 由此可猜想：当且仅当n ＝2k －1，k ∈N *时，c n 为正整数．证明如下：逆用等比数列的前n 项和公式有：c n ＝12×1－3n ＋11－3＝12(1＋3＋32＋…＋3n )． 当n ＝2k ，k ∈N *时，上式括号内为奇数个奇数之和，为奇数，此时c n ∉N *； 当n ＝2k －1，k ∈N *时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时c n ∈N *. 故满足要求的所有n 为n ＝2k －1，k ∈N *.。

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：选修系列<第3部分：几何证明选讲）一、相似三角形地判定及有关性质<一）平行线<等）分线段成比例定理地应用〖例〗如图，F为边上一点，连DF交AC于G，延长DF交CB地延长线于E.求证：DG·DE=DF·EG思路解读：由于条件中有平行线，考虑平行线<等）分线段定理及推论，利用相等线段<平行四边形对边相等），经中间比代换，证明线段成比例，得出等积式.解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，AD=BC，∵AD∥BC，∴，又∵AB∥DC，∴∴，即DG·DE=DF·EG.<二）相似三角形判定定理地应用〖例〗如图，BD、CE是⊿ABC地高，求证：⊿ADE∽⊿ABC.解答：<三）相似三角形性质定理地应用〖例〗⊿ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形地一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形地边长.思路解读：利用相似三角形地性质定理找到所求正方形边长与已知条件地关系即可解得.解答：设正方形PQMN为加工成地正方形零件，边QM在BC上，顶点P、N 分别在AB、AC上，⊿ABC地高AD与边PN相交于点E，设正方形地边长为xcm，∵PN∥BC，∴⊿APN∽⊿ABC.∴∴.解得x=4.8(cm>.答：加工成地正方形零件地边长为4.8cm.<四）直角三角形射影定理地应用〖例〗如图，在Rt⊿ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：AD3=BC·BE·CF.思路解读：题目中有直角三角形和斜边上地高符合直角三角形射影定理地两个条件，选择合适地直角三角形是解决问题地关键.解答：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=900，在Rt⊿ADB中，∵DE⊥AB，由射影定理得BD2=BE·AB，同理CD2=CF·AC，∴BD2·CD2= BE·AB·CF·AC ①又在Rt⊿ABC中，AD⊥BC，∴AD2=BD·DC ②由①②得AD4= BD2·CD2 =BE·AB·CF·AC= BE·AB·AD·BC∴AD3=BC·BE·CF二、直线与圆地位置关系<一）圆周角定理地应用〖例〗如图，已知⊙是⊿ABC地外接圆，CD是AB边上地高，AE是⊙地直径.求证：AC·BC=AE·CD.解答：连接EC，∴∠B=∠E.∵AE是⊙地直径，∴∠ACE=900.∵CD是AB边上地高，∴∠CDB=900.在⊿AEC与⊿CBD中，∠E=∠B，∠ACE=∠CDB，∴⊿AEC∽⊿CBD.∴，即AC·BC=AE·CD.<二）圆内接四边形及判定定理地应用〖例〗如图，已知AP是⊙地切线，P为切点，AC是⊙地割线，与⊙交于B，C两点，圆心在∠PAC地内部，点M是BC地中点.<1）证明：A，P，，M四点共圆；<2）求∠OAM+∠APM地大小.思路解读：要证A、P、、M四点共圆，可考虑四边形APOM地对角互补；根据四点共圆，同弧所对地圆周角相等，进行等量代换，进而求出∠OAM+∠APM地大小.解答：<1）连接OP，OM，因为AP与⊙相切于点P，所以OP⊥AP，因为M是⊙地弦BC地中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA+∠OMA=1800.由圆心在∠PAC地内部，可知四边形APOM地对角互补，所以A，P，O，M四点共圆.<2）由<1）得A，P，，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM，由<1）得OP⊥AP，由圆心在∠PAC地内部，可知∠OPM+∠APM=900，所以∠OPM+∠APM=900.<三）圆地切线地性质及判定地应用〖例〗已知AB是⊙地直径，BC是⊙地切线，切点为B，OC平行于弦AD<如图）.求证：DC是⊙地切线.解答：连接OD.∵OA=OD，∴∠1=∠2，∵AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4.又OB=OD，OC=OC，∴⊿OBC≌⊿ODC，∴∠OBC=∠ODC.∵BC是⊙地切线，∴∠OBC=900，∴∠ODC=900，∴DC是⊙地切线.<四）与圆有关地比例线段〖例〗如图所示，已知⊙与⊙相交于A、B两点，过点A作⊙地切线交⊙于点C，过点B作两圆地割线，分别交⊙、⊙于点D、E，DE与AC相交于点P.<1）求证：AD∥EC；<2）若AD是⊙地切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD地长.解答：<1）连接AB，∵AC是⊙地切线，∴∠BAC=∠D.又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC.<2）设BP=x,PE=y.∵PA=6，PC=2，∴由相交弦定理得PA·PC=BP·PE，xy=12 ①∵AD∥EC,∴②由①②可得，，∴DE=9+x+y=16.∵AD是⊙地切线，DE是⊙地割线，∴AD2=DB·DE=9×16，∴AD=12.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

2019高中数学精讲精练 第五章 数列【知识图解】【方法点拨】1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证． 2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．第1课 数列的概念【考点导读】1． 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2． 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系； 3． 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n 项和的问题。

【基础练习】1.已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =3-。

函 数数 列一般数列通项前n 项 和特殊数列等差数列等比数列通项公式 中项性质前n 项和公式 通项公式中项性质前n 项和公式分析:由a 1=0,)(1331++∈+-=N n a a a n n n 得⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-=,0,3,3432a a a 由此可知:数列}{n a 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: .3220-==a a2．在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 2n-1 。

3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1(31)()2n n a S n N -=∈ ，且454a =，则1a =____2__.4．已知数列{}n a 的前n 项和(51)2n n n S +=-，则其通项n a = 52n -+． 【范例导析】例1．设数列{}n a 的通项公式是285n a n n =-+，则 （1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？ （2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象； （3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？分析：70是否是数列的项，只要通过解方程27085n n =-+就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

2014届高三数学一轮复习精讲精练：5.1数列的概念法、迭乘法等．5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．第1课 数列的概念【考点导读】1． 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数； 2． 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；3． 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n 项和的问题。

【基础练习】 1.已知数列}{na 满足)(133,0*11N n a a a an n n ∈+-==+，则20a =3-。

分析:由a 1=0,)(1331++∈+-=N n a a an n n 得⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-=,0,3,3432a a a由此可知: 数列}{na 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: .3220-==a a2．在数列{}na 中，若11a=，12(1)n n aa n +=+≥，则该数列的通项na = 2n-1 。

3．设数列{}na 的前n 项和为nS ，*1(31)()2n n a S n N -=∈ ，且454a=，则1a =____2__.4．已知数列{}na 的前n 项和(51)2nn n S+=-，则其通项na =52n -+．【范例导析】例1．设数列{}na 的通项公式是285nan n =-+，则（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？（2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？分析：70是否是数列的项，只要通过解方程27085n n =-+就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

解：（1）由27085nn =-+得：13n =或5n =-所以70是这个数列中的项，是第13项。

（2）这个数列的前5项是2,7,10,11,10-----；（图象略） （3）由函数2()85f x xx =-+的单调性：(,4)-∞是减区间，(4,)+∞是增区间，所以当4n =时，na 最小，即4a 最小。

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 选修系列（第5部分：矩阵与变换）一、 线性变换与二阶矩阵 （一）矩阵相等的应用 〖例〗已知A=32ad b c ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，B=542b c a d +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，若A=B ，求a ，,,b c d 。

思路解析：由矩阵相等的定义，知矩阵A ，B 对应元素相等，列出方程组后求解。

解答：由矩阵相等的定义知53422a b c d b c a d=⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪+=+⎩，解得15,10,7, 4.a b c d ===-= （二）二阶矩阵与平面向量乘法的应用〖例〗在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程。

思路解析：由已知矩阵可得坐标变换公式，从而得到椭圆上点与曲线上F 上点坐标间的关系，再代入椭圆方程即可得F 的方程。

解答：设000(,)P x y 是椭圆上任意一点，点P 在矩阵A=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦的作用下的像为00(,)P x y '''。

∵A=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴坐标变换公式'0'002,x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴'0'00,2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩∵点P 在椭圆上，故220041x y +=， ∴'2'200()()1x y +=，∴曲线F 的方程为221x y +=。

（三）线性变换性质的应用〖例〗二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变成点（-1，-1）与（0，-2）。

（1）求矩阵M ；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线: 4.m x y -=求直线l 的方程。

思路解析：由已知条件下可利用待定系数法求矩阵M ，再通过矩阵M 对应的坐标变换公式确定直线l 与直线m 上点坐标间的关系，即可求直线l 的方程。

解答：1120(1),.1112120,,122120,.1221212,34a b a b a b M c d c d c d a b a b c d c d a b a b c d c d a b M c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=--+=⎧⎧⎨⎨-=--+=-⎩⎩=⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪=⎩设则有，也就是所以且解得所以.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦122(2),,3434(,):4(2)(34)4,20,20.x x y M y x y x y m x y x y x y x y l x y '=+⎡⎤⎧=∴⎨⎢⎥'=+⎣⎦⎩''-=∴+-+=++=∴++=坐标变换公式为是直线上的点.即直线的方程为 二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵 （一）与矩阵乘法的相关问题〖例〗⊿ABC 的顶点为A （0，0），B （0，0），C （0，1）。

2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：6.5 数列的综合应用一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12C.1－52D.5－12或5＋12解析：设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.答案：B2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟解析：设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n n －d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.答案：C3．数列{a n }中，a n ＝3n －7(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2，且n ∈N *)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在，且不唯一D ．不一定存在解析：依题意，b n ＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13. 若a n ＋log k b n 是常数，则3＋3log k 13＝0.即log k 3＝1，∴k ＝3. 答案：B4．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n －1＝2a n ，n ≥2，点O 是平面上不在l 上的任意一点，l 上有不重合的三点A 、B 、C ，又知a 2OA →＋a 2 009OC →＝OB →，则S 2 010＝( )A ．1 004B ．2 010C ．2 009D ．1 005解析：如图所示， 设AB →＝λAC →，则a 2OA →＋a 2 009OC →＝OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →)． 故(a 2－1＋λ)OA →＝(λ－a 2 009)OC →.又∵A 、B 、C 三点不重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＋λ＝0，λ－a 2 009＝0，∴a 2＋a 2 009＝1.又∵a n ＋1＋a n －1＝2a n ，n ≥2，∴{a n }为等差数列．∴S 2 010＝a 1＋a 2 0102＝a 2＋a 2 0092＝1 005.答案：D5．抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交点分别为A n ，B n (n ∈N *)，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|的值是( )A.2 0092 010 B.2 0102 011 C.2 0112 012D.2 0122 013解析：令y ＝0，则(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0. 设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1n 2＋n .解得x 1＝1n ，x 2＝1n ＋1∴|A n B n |＝1n －1n ＋1，∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|＝2 0102 011.答案：B6．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64解析：依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列．而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案：D 二、填空题7．已知等比数列{a n }中，a 2＞a 3＝1，则使不等式⎝⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 3－1a3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是__________．解析：∵a 2＞a 3＝1，∴0＜q ＝a 3a 2＜1，a 1＝1q2＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 1－q n1－q －1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q＝a 1－q n1－q－q －qna 1－q q n ≥0， ∴a 1－q n1－q≥q －qna 1－q qn . ∵0＜q ＜1，化简，得a 21≥1qn －1，q 4≤qn －1，∴4≥n －1，n ≤5，所以n 的最大值为5. 答案：58．已知函数f (x )＝sin x ＋tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝__________时，f (a k )＝0.解析：由于f (x )＝tan x ＋sin x ，显然该函数为奇函数．若a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，可以得出等差数列{a n }的这27项在0的两侧对称分布，所以处在中间位置的a 14＝0⇒f (a 14)＝0.答案：149．在各项均为正数的数列{a n }中，S n 为前n 项和，na 2n ＋1＝(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1且a 3＝π，则tan S 4＝__________.解析：由na 2n ＋1＝(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1. 可得(a n ＋a n ＋1)(na n ＋1－na n －a n )＝0. ∵数列{a n }各项都为正数，∴a n ＋a n ＋1＞0，∴na n ＋1－na n －a n ＝0. ∴a n a n ＋1＝n n ＋1. ∴a 3a 4＝34，a 4a 5＝45，…，a n －1a n ＝n －1n . 各式相乘，得a 3a n ＝3n.∵a 3＝π，∴a n ＝n π3.∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝π3＋2π3＋3π3＋4π3＝10π3.∴tan S 4＝tan 10π3＝tan π3＝ 3.答案： 3 三、解答题10．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M更新，证明：须在第9年初对M 更新．解析：(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ＞6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ， n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6， n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3428＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3439＝767996＜80.所以须在第9年初对M 更新．11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，(n ∈N *)． (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式．解析：(1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2n16n 2a －4nb ＝0.解之得a ＝12，b ＝2n ，即f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由1a n ＋1＝1a n＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n .由累加得1a n －14＝n 2－n ，∴a n ＝4n －2(n ∈N *)．12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n∈N *)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2.若对于一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解析：(1)由x ＞0，y ＞0,3n －nx ＞0，得0＜x ＜3. ∴x ＝1，或x ＝2.∴D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记直线y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与直线x ＝1、x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2. 则y 1＝－n ＋3n ＝2n ，y 2＝－2n ＋3n ＝n . ∴a n ＝3n (n ∈N *)．(2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝3nn ＋2，∴T n ＝n n ＋2n，∴T n ＋1－T n ＝n ＋n ＋2n ＋1－n n ＋2n＝n ＋－n2n ＋1，∴当n ≥3时，T n ＞T n ＋1，且T 1＝1＜T 2＝T 3＝32.于是T 2，T 3是数列{T n }中的最大项，故m ≥T 2＝32.。

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：选修系列（第2部分：不等式选讲）一、绝对值不等式（一）绝对值三角不等式性质定理的应用〖例〗“|x-a|＜m,且|y-a|＜m 是“|x-y|＜2m ”(x,y,a,m ∈R)的（A ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件 思路解析：利用绝对值三角不等式，推证||||x a m y a m -<⎧⎨-<⎩与|x-y|＜2m 的关系即得答案。

解答：选A 。

|||()()|||||2,||,||||23,1,2, 2.5,||252,||5,|| 2.5,||||||2.x y x a y a x a y a m m m x a m y a m x y m x y a m x y m x a x a m x a m y a m x y m -=---≤-+-<+=∴-<-<-<===-=-=<=-=-<=-<-<-<Q 且是的充分条件.取则有但不满足故且不是的必要条件（二）绝对值不等式的解法〖例〗解下列不等式： 2(1)1|2|3;(2)|25|7;(3)|9|3;(4)|1||2| 5.x x x x x x x <-≤+>+-≤+-++<思路解析：（1）利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式。

（2）利用公式法转化为不含绝对值的不等式。

（3）利用绝对值的定义或|()|(0)|()|f x a a a f x a ≤>⇒-≤≤去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解。

（4）不等式的左边含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，此题亦可利用绝对值的几何意义去解。

解答：（1）方法一：原不等式等价于不等式组|2|1,|2|3x x ->⎧⎨-≤⎩即13,15x x x <>⎧⎨-≤≤⎩或 解得-1≤x ＜1或3＜x ≤5,所以原不等式的解集为{x|-1≤x ＜1或3＜x ≤5}.（2）由不等式|25|7x x +>+， 可得250257x x x +≥⎧⎨+>+⎩或250,25(7)x x x +<⎧⎨+<-+⎩解得x>2或x<-4.∴原不等式的解集是{x| x<-4或x>2}.（3）原不等式⇔①229093x x x ⎧-≥⎪⎨-≤+⎪⎩或②2290,93x x x ⎧-<⎪⎨-≤+⎪⎩ 不等式①⇔3333 4.34x x x x x ≤-≥⎧⇔=-≤≤⎨-≤≤⎩或或 不等式②⇔332 3.32x x x x -<<⎧⇔≤<⎨≤-≥⎩或∴原不等式的解集是{x|2≤x ≤4或x=-3}.(4)分别求|x-1|,|x+2|的零点，即1，-2。

5 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 选修系列（第2部分：不等式选讲）

一、绝对值不等式 （一）绝对值三角不等式性质定理的应用 〖例〗“|x-a|＜m,且|y-a|＜m是“|x-y|＜2m”(x,y,a,m∈R)的（A）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件 思路解析：利用绝对值三角不等式，推证||||xamyam与|x-y|＜2m的关系即得答案。 解答：选A。 |||()()|||||2,||,||||23,1,2,2.5,||252,||5,||2.5,||||||2.xyxayaxayammmxamyamxymxyamxymxaxamxamyamxym且是的充分条件.取则有但不满足故且不是的必要条件

（二）绝对值不等式的解法 〖例〗解下列不等式：

2(1)1|2|3;(2)|25|7;(3)|9|3;(4)|1||2|5.xxxxxxx

思路解析：（1）利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式。（2）利用公式法转化为不含绝对值的不等式。（3）利用绝对值的定义或|()|(0)|()|fxaaafxa去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解。（4）不等式的左边含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，此题亦可利用绝对值的几何意义去解。

解答：（1）方法一：原不等式等价于不等式组|2|1,|2|3xx即13,15xxx或 解得-1≤x＜1或3＜x≤5, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x＜1或3＜x≤5}. （2）由不等式|25|7xx， 5

可得250257xxx或250,25(7)xxx 解得x>2或x<-4. ∴原不等式的解集是{x| x<-4或x>2}