代数几何综合问题(2)课后练习

代数几何综合问题(2)专项练习

1. 如图，已知二次函数2

3y x bx =++与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点A ，O 为坐标原点，P 是二次函数2

3y x bx =++图象上的一个动点，点P 的横坐标是m ，且m ＞3，过点P 作PM 垂直x 轴，PM 交直线AB 于点M 。

（1）求二次函数的解析式；

（2）若以AB 为直径的⊙N 恰好与直线PM 相切，求此时点M 的坐标；

（3）在点P 的运动过程中，△APM 能否为等腰三角形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说出理由。

2. 如图，已知二次函数

()

2

0y x bx c c =-++>的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），

与y 轴交于点C ，且OB=OC=3，顶点为M 。

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ=m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；

（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由。

3. 将抛物线c 1：y=2

+x 轴翻折，得抛物线c 2，如图所示。

（1）请直接写出抛物线c 2的表达式.

（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E 。

①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；

②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m

的值；若不存在，请说明理由。

代数几何综合问题(2)专项练习

参考答案

1. 解：（1）将点B （3，0）代入y=x 2

+bx+3得：0=9+3b+3，解得b=-4， ∴二次函数的解析式为y=x 2

-4x+3；

（2）令x=0，则y=3，∴A 点坐标为A （0，3）， 直线AB 的解析式为y=-x+3，

C 为⊙C 的圆心，CA=CB=

∴D 点坐标为(3

31,2

2⎛⎫ ⎪⎝⎭

(3

12M x =+

将(312M x =+代入y=-x+3得(3

12

M y =

∴点M 的坐标为((331,122⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

（3）若△APM 为等腰三角形，进行分类讨论：

若(

)

2

43

P m m m -+，，则()3M m m -+，

，2

3PM m m =-，PA =，

AM ==；

①当PA=PM 时，可得

23m m -=，

解得m=4，2

433m m -+=，则P 点坐标为()43P ，

②当PA=AM =，解得m=3，或m=5，

当m=3时，m 2

-4m+3=0，由题意可知m ＞3，故m=3不合题意；[来源:学科网]

当m=5时，2438m m -+=，故点P 坐标为()58P ，，

③当PA=AM 时，23m m -=

，解得3m =+或3m =

由题意可知m ＞3，故3m =

当3m =时，2432m m -+=，故点P 坐标为(3P +。

综上所述：()43P ，

、()58P ，、(32P ++ 2. 解：（1）∵OB=OC=3， ∴B（3，0），C （0，3）

∴0933b c

c =-++⎧⎨

=⎩

解得23

b c =⎧⎨=⎩

∴二次函数的解析式为y=-x 2

+2x+3；[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]

（2）()11••2

2

AOC

ACPQ PQOC AO CO PQ CO OQ S S

S +

+=+=

四边形梯形

()()21193

1326313222

2m m m

m m =⨯⨯+-++⋅=-++≤<（3）设

N 点坐标为

()

,x y

CM =

，

CN =

，

MN =

[来源:]

①当CM=NC 时，此时71655N ⎛⎫

⎪⎝⎭，

②当CM=MN 时，此时14

N +

⎛

⎝

③当CN=MN 时，此时()22N ，

。 综上所述：71655N ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

、14N +

⎛

⎝

、()22N ，

3. （1）

2

y = （2

）①令20+=，得1211x x =-=，

则拋物线c 1与x 轴的两个交点坐标为()()1010-，，，。

∴()()1010A m B m ---，

，，。 同理可得：()()1010D m E m -++，

，，。 当13

AD AE =

时，[来源:学|科|网Z|X|X|K]

()()()()1

11113m m m m -+---=+---⎡⎤⎣⎦，

∴12m =。

当13AB AE =时，()()()()1

11113

m m m m ---+

=+---⎡⎤

⎣⎦，∴m=2。 故当B ，D 是线段AE 的三等分点时，

12m =

或2。 ②存在。

连接AN ，NE ，EM ，MA 。依题意可得：((M m N m -，，

。 即M ，N

关于原点O 对称，∴OM=ON。[来源:学科网ZXXK] ∵

()()

1010A m E m --+，，，，∴A，E 关于原点O 对称，∴OA=OE

∴四边形ANEM 为平行四边形。 ∵

()2

2

2

14

AM m m =-+++

=，