【推荐下载】高二数学上学期《命题与量词》学案

《1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 巩固学生对全称量词命题与存在量词命题的理解和掌握；2. 让学生能够正确地写出全称量词命题与存在量词命题的否定；3. 培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。

二、作业内容1. 针对课本上的例题，要求学生自行完成否定命题的书写，并进行对照和反思；2. 给学生提供一些具有代表性的全称量词命题与存在量词命题，让学生进行改写并写出否定形式；3. 自行设计一个实际问题，用全称量词命题和存在量词命题进行描述，并写出其否定形式。

三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭；2. 书写规范，逻辑清晰，表述准确；3. 针对每个问题，都需要写出自己的理解和思考过程；4. 每个问题对应的答案页数后面附上相应的页码以便老师查阅和批改。

四、作业评价1. 教师对学生作业进行批改，查看学生的书写是否规范、逻辑是否清晰、表述是否准确，以及是否能够正确写出否定命题；2. 教师根据学生的作业情况进行评价，分为优秀、良好、一般和待提高四个等级；3. 对作业中存在的问题进行总结和归纳，为后续教学提供参考。

五、作业反馈1. 学生根据教师的评价，对自己的作业进行反思，找出自己的不足和需要改进的地方；2. 学生可以向教师提出疑问或分享自己的学习心得，以便教师更好地了解学生的学习情况；3. 教师根据学生的反馈，对教学内容和方法进行改进，以提高教学效果。

通过本次作业，学生能够进一步巩固对全称量词命题与存在量词命题的理解和掌握，提高逻辑推理能力和抽象思维能力。

同时，教师也能够更好地了解学生的学习情况，对教学内容和方法进行改进，以提高教学效果。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标通过本课时学习，学生应能够：1. 熟练掌握全称量词命题与存在量词命题的否定形式；2. 能够正确运用否定符号对命题进行否定，理解否定的逻辑规则；3. 能够在实际问题中运用所学知识进行判断和推理。

§1.2.1 命题与量词一、选择题1．已知下列语句:①一束美丽的花;②3x >;③2是一个偶数;④若2x =,则2560x x -+=.其中是命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①陈述句，但未表示判断；②表示判断，但是缺少必要的陈述条件；③是陈述句有判断，是命题；④是陈述句，也有判断，是命题.故选B.2．下列命题中为真命题的是（ ）A ．平行直线的倾斜角相等B ．平行直线的斜率相等C ．互相垂直的两直线的倾斜角互补D ．互相垂直的两直线的斜率互为相反数【答案】A【解析】∵当两直线平行时，它们与x 轴的夹角相等，即直线的倾斜角相等，故A 成立． ∵当两平行直线都与x 轴垂直时，直线的倾斜角都为90°，斜率都不存在，故B 不成立． ∵互相垂直的两直线，当其中一条和x 轴垂直，另一条和x 轴平行时，它们的倾斜角一个为90度，另一个为0度，并不互补，故C 不成立．∵互相垂直的两直线，当其中一条和x 轴垂直，另一条和x 轴平行时，它们的斜率一个为0，另一个不存在，故D 不成立．故选 A ．3．下列命题中是全称量词命题的是（ ）A ．圆有内接四边形B >C ．存在()00,1x ∈，使021x =D ．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形【答案】A【解析】含有存在量词“有些”“至少”“存在”的命题都是特称命题；含有全称量词“任意”“所有”“全部”的命题都是全称量词命题.A 中命题即为所有的圆都有内接四边形，是全称量词命题.其余三个命题均不是全称量词命题.故选A.4．下列全称量词命题中真命题的个数是（ ）①末位是0或5的整数，可以被5整除；②钝角都相等；③三棱锥的底面是三角形.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①正确；②错误，钝角不一定都相等，如120︒，150︒是钝角，但不相等；③正确，三棱锥四个面都是三角形.5．下列存在量词命题中真命题的个数是（ ） ①；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； ③。

全称命题与特称命题课程目标知识提要全称命题与特称命题∙全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量的语句用，，，来表示，变量的取值范围用表示，那么，全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为．∙特称量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“ ”表示．含有特称量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在中元素，使成立”可用符号简记为．全（特）称命题的概念与真假判断∙全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量的语句用，，，来表示，变量的取值范围用表示，那么，全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为，．∙特称量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“ ”表示．含有特称量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在中元素，使成立”可用符号简记为，．全（特）称命题的否定∙全称命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题，，其否定为．全称命题的否定是特称命题．∙特称命题的否定一般地，对于含有一个量词的特称命题，，其否定为．特称命题的否定是全称命题．精选例题全称命题与特称命题1. 命题“ ，”的否定为．【答案】，2. 若命题，，则命题为．【答案】，3. 命题，的否定为．【答案】，4. 命题“ ，使得”的否定是．【答案】5. 已知命题，则是．【答案】，6. 下列命题中，假命题的序号是．，；，；，能被和整除；，．【答案】④7. 命题：存在实数，使得关于的方程有实数根，则，命题的真假是．【答案】对一切实数，关于的方程没有实数根；假【分析】（1）原命题为存在性命题，故为全称命题；（2）间接考查的真假．8. 若命题一元一次不等式的解集一定是，命题关于的不等式的解集一定是，则“ ”，“ ”及“ ”形式的复合命题中的真命题是．【答案】【分析】为假命题（因为可以不大于），也是假命题．因为，的大小关系未知，所以“ ”“ ”为假命题，“ ”为真命题．9. 若命题” 使”是假命题，则实数的取值范围为．【答案】10. 命题“ ，使得”的否定是．【答案】，11. 写出下列命题的否定：(1)若是锐角三角形，则的任何一个内角是锐角；【解】若是锐角三角形，则中存在某个内角不是锐角．(2)所有可以被整除的整数，末位数字都是；【解】存在一个可以被整除的整数，末位数字不是．(3)，；【解】，．(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．【解】对于所有四边形，它的对角线不互相垂直或不平分．12. 用符号“ ”与“ ”表示下列命题，并判断真假：(1)不论取什么实数，方程必有实根；【解】，方程必有实根．假命题；(2)存在一个实数，使．【解】，．真命题．13. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；【解】命题中隐含了全称量词“所有的”，原命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；【解】命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在性命题，真命题．(3)，；【解】命题中含有全称量词“ ”，是全称命题，真命题．(4)，．【解】命题中含有存在量词“ ”，是存在性命题，真命题．14. 命题：二次函数的图象与轴相交，命题：二次函数的图象与轴相交，判断由，组成的新命题“ ”的真假．【解】：二次函数与轴相交，易知图象过点，故为真．：二次函数的图象与轴相交，而，故为假，所以为假命题．15. 设集合边形，：内角和为．试用不同的表述写出全称命题：‘’‘’．【解】任意边形的内角和都为．16. 判断命题" ，则方程有解"是全称命题还是特称命题，并写出它的否定．【解】由于表示是任意实数，即命题中含有全称量词"任意的"，因而是全称命题；其否定是：" ，使方程无解"．17. 写出下列命题的否定．(1) ，；【解】，使得；(2) ，是有理数；【解】，使得不是有理数；(3) 使；【解】都有；(4) 使得．【解】都有．18. 指出下列语句中的全称量词或存在量词：(1)每个人都喜欢体育锻炼；【解】全称量词：每个．(2)有的等差数列是等比数列；【解】存在量词：有的．(3)有些相似三角形是全等三角形；【解】存在量词：有些；(4)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【解】全称量词：任意．19. 写出下列命题的非，并指出其真假：（1）至少有一个实数，使；（2）；（3）；（4）若与是对顶角，则．【解】（1）任意实数，使；真（2）；假（3）；假（4）若与是对顶角，则；假．20. 用量词符号" ， "表示下列命题，并判断下列命题的真假．(1)任意实数都有，；【解】；假命题，时，结论不成立；(2)存在实数，；【解】；假命题，时，；(3)存在一对实数，使成立；【解】；真命题，如，；(4)有理数的平方仍为有理数；【解】；真命题；(5)实数的平方大于．【解】；假命题，．(6)有一个实数乘以任意一个实数都等于．【解】，有；真命题，即满足．全（特）称命题的概念与真假判断1. 已知命题：“ ，，”，且命题是假命题，则实数的取值范围为．【答案】【分析】命题是假命题，则命题是真命题，即关于的方程有实数解，而，所以．2. 若命题" ， "是真命题，则实数的取值范围是．【答案】3. 命题" "的否定形式是．【答案】4. 对于语句（1）；（2）；（3）（4）；其中正确的命题序号是．（全部填上）【答案】5. 判断下列存在性命题的真假：（1），；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）是无理数，是无理数．【答案】（1）真；（2）真；（3）真6. 下列四个命题：，使得；，；，；，．其中的真命题是．【答案】【分析】由，得，故错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知，错误；因为恒成立，所以正确．7. （1）任意属于，有成立，用符号语言可简记为；（2）符号语言：，，读作．【答案】（1），则成立（2）存在实数使不等式成立．8. 给出下列四个命题：①偶数都能被整除；②实数的绝对值大于；③存在一个实数，使④，为第一象限的角，则．其中即使全称命题又是假命题的是．（写出所有符合要求的序号）【答案】②④9. 下列命题中真命题的个数有个①②③使【答案】【分析】①③正确．10. 若命题 " 不成立 " 是真命题，则实数的取值范围是．【答案】【分析】该命题等价于：对恒成立．当时，恒成立；当时，解得．综上，．11. 判断下列命题的真假：(1)，；【解】因为时，成立，所以，“ ，”是真命题；(2)，；【解】因为时，不成立，所以，" ，“是假命题；(3)，；【解】因为使成立的数只有与，但它们都不是有理数，所以，“ ，”是假命题；(4)，．【解】因为对任意实数，都有成立，所以，” ，“是真命题．12. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)有的质数是偶数；【解】存在性命题．(2)与同一平面所成的角相等的两条直线平行；【解】全称命题．(3)有的三角形三个内角成等差数列；【解】存在性命题．(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．【解】全称命题．13. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)对数函数都是单调函数；【解】全称命题，真命题；(2)至少有一个整数，它既能被整除又能被整除；【解】存在性命题，真命题；(3) ，使．【解】存在性命题，真命题．(1)设，判断命题" ， "的真假；【解】取，则，显然，，因此，此时．故这个命题是假命题．(2)设，判断命题" ， "的真假．【解】由，得．因为，，所以，成立．因此，" ， "是真命题．15. 写出下列命题的否定，并判断其真假，写出理由．(1)：任意两个第一象限角和，有；【解】：存在两个第一象限角和，有此为真命题．(2)：存在一个函数，既是奇函数又是偶函数．【解】：对所有函数，不能既是奇函数又是偶函数．此为假命题，如，．16. 已知，命题：" ， "命题：" "． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围；【解】由命题为真命题，，．(2)若命题为假命题，求实数的取值范围．【解】由命题为假命题，所以为假命题或为假命题为假命题时，由．为假命题时，综上．17. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．①是整数( )；②对所有的实数，；③对任意一个整数，为奇数；④末位是的整数，可以被整除；⑤角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；⑥正四面体中两侧面的夹角相等；⑦有的实数是无限不循环小数；⑧有些三角形不是等腰三角形；⑨有的菱形是正方形．【解】①⑥是全称命题，⑦⑨是存在性命题；③⑨是真命题，①②是假命题．18. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；【解】全称命题；(2)负数的平方是正数；【解】全称命题；(3)有些三角形不是等腰三角形；【解】存在性命题；(4)有些菱形是正方形．【解】存在性命题．19. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1) ，；【解】，（真命题）．(2) ，；【解】，（假命题）．(3)集合是集合或的子集；【解】存在集合既不是集合的子集，也不是的子集（假命题）．(4) 是异面直线，，，使，．【解】，是异面直线，，，有既不垂直于，也不垂直于（假命题）．20. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)任何实数的平方都是非负数；【解】全称命题；(2)任何数与相乘，都等于；【解】全称命题；(3)任何一个实数都有相反数；【解】全称命题；(4)有些三角形的三个内角都是锐角．【解】存在性命题全（特）称命题的否定1. 命题：“ ”的否定是．【答案】2. 命题：“ ，”的否定是．【答案】，3. 已知命题：，，则为．【答案】，4. 若：" "，则"非 "为．【答案】，使5. 已知命题，则命题的否定是．【答案】6. 命题 " " 的否定是．【答案】．7. 命题：，的否定是．【答案】，8. 命题：，的否定是．【答案】，；9. 已知命题，，则命题的否定．【答案】，10. 已知命题：，则为．【答案】11. 写出下列命题的否定：(1)中学生的年龄都在岁以上；【解】有的中学生年龄不在岁以上；(2)有的三角形中，有一个内角是直角；【解】任意三角形中’所有内角都不是直角；(3)锐角都相等；【解】有些锐角不相等；(4)我们班上有的学生不会用电脑．【解】我们班上所有的学生都会用电脑．12. 写出下列特称命题的否定：，使．【解】，都有．13. 写出下列命题的否定：(1)三角形的内角和是；【解】存在三角形的内角和不是；(2)所有的等边三角形都全等；【解】存在两个等边三角形不全等；(3)实系数一元二次方程有实数解；【解】有的实系数一元二次方程没有实数解；(4)有的实数没有平方根．【解】所有的实数都有平方根．14. 已知命题：存在一个实数，使．当时，非为真命题，求集合．【解】非为真，故" ， "为真即．从而，所求的集合．15. 命题：对任意实数，有或，其中，是常数．(1)写出命题的否定；【解】命题的否定：对某些实数，有且，其中，是常数．(2)实数，满足什么条件时，命题的否定为真？【解】要使命题的否定为真，就是要使关于的不等式组的解集不为空集．通过画数轴可以看出：，应满足的条件是．16. 设函数．求证：，，中至少有一个不小于．【解】假设，，都小于，则有即由，得，即，与矛盾，故假设不成立．即，，中至少有一个不小于．17. 写出下列命题的否定：(1)所有人都晨练；【解】“所有人都晨练”的否定是“有的人不晨练”．(2)，＞；【解】，的否定是‘‘ ，”．(3)平行四边形的对边相等；【解】“平行四边形的对边相等”是指任意—个平行四边形的对边相等’它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”．(4)，＝．【解】‘‘ ，”的否定是‘‘ ， "．课后练习1. 请补充条件，使命题成为全称命题．2. 若命题“ ，”是假命题，则实数的取值范围是．3. 设集合四边形，：“对角线互相垂直平分”．试用不同的表述方法写出存在性命题：“ ，”．4. 关于的函数，有以下命题：①，；②，使；③，都不是偶函数；④，使是奇函数．其中假命题的序号是．5. 使’’的非命题是．6. 已知命题，，命题，，若命题“ ”是真命题，则实数的值为．7. 已知命题，，则该命题的否定是．8. 命题“ ，”的否定是．9. 命题“ ，”的否定是．10. 命题“ ，”的否定是．11. 给出下列命题：①，使得；②曲线表示双曲线；③，的递减区间为④对，使得其中真命题为（填上序号）12. 由命题“ ，”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是．13. 已知命题：存在，使得，命题：指数函数是上的增函数，若命题“ 且”是真命题，则实数的取值范围是．14. 已知命题：；：．若且为真，则的取值范围是．15. 有下列四个命题：①对任意实数均有．②不存在实数使．③方程至少有一个实数根．④使．其中假命题是．（填相应序号即可）16. 下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题的序号是．17. 若存在，使，则实数的取值范围是．18. 若方程和中至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是．19. 下列命题中，是真命题的有．①；②；③；④．20. 命题"存在 "为假命题，则实数的取值范围为．21. 命题 "对任意，都有 "的否定是-----．22. 由命题"存在，使 "是假命题，求得的取值范围是，则实数的值是．23. 命题 " " 的否定是．24. 命题“ ，或”的否定为．25. 命题＂，＂的否定是．26. 已知命题，，则命题是．27. 命题"存在实数，使得 "的否定是．28. 命题“至少有一个数，使”的否定是．29. 命题 " "的否定是．30. 已知命题，则命题的否定是．31. 已知，，若使得，求正实数的取值范围．32. 用符号“ ”，“ ”表达下列命题：(1)实数的平方大于等干；(2)存在一个实数，使；(3)存在一对实数对，使成立．33. 已知命题对任意的，都成立．判断此命题是全称命题还是存在性命题，并写出它的否定．34. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1) 等圆的面积相等，周长相等；(2) 对任意角，都有；(3) 存在实数，使得或．35. 已知集合，函数的定义域为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．36. 用符号‘’ ‘’与‘’ ‘’表示下面含有量词的命题：(1)自然数的平方大于零；(2)存在一对整数，使．37. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；(3) 是无理数，是无理数；(4) ，．38. 设语句．(1)写出，并判断其真假；(2)写出“ ，”并判断命题的真假．39. “ 是的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的，都有，则称”，请用数学语言表达“ 不是的子集”．40. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2) 是无理数，是无理数；(3) ，．41. 设语句，写出" "，并判断它是不是真命题．42. 用符号" "，" "表达下列命题：(1)实数的平方大于等于；(2)存在一个实数，使；(3)存在一个实数对，使成立．43. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对于第一象限角，，都有：时，；(2)对于圆上的点的坐标，有的不能使方程成立；(3)对于中的元素，都有．44. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)，使；(3)，；(4)集合是集合或的子集．45. 判断下列命题的真假：(1)已知，，，，若，或，则；(2) ，；(3)若，则方程无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．全称命题与特称命题-出门考姓名成绩1. 命题：" "的否定是．2. 已知命题，；命题，，若命题“ 且”是真命题，则实数的取值范围为．3. 命题：“存在，使”为假命题，则实数的取值范围是．4. 命题“ ，”的否定是．5. 给出下列四个命题：①；②矩形都不是梯形；③，；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于．其中全称命题是．6. 写出下列命题的否定：①有的平行四边形是菱形，②存在质数是偶数．7. 命题“ ”的否定是命题．（填“真”或“假”之一）8. 已知命题，，则为．9. 命题“ ，”的否定是．10. 已知命题：“ ”，则：．11. 已知命题．如果命题是真命题，那么实数的取值范围是．12. 若“ ，”是真命题，则实数的取值集合是．13. 命题：，：，则命题为 (填： "真"或"假")．14. “存在，，使”是命题（填“全称”或“特称”），该命题是（填“真”或“假”）命题．15. 若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是．16. 若命题 "对 "是真命题，则实数的取值范围是．17. 下列命题既是全称命题，又是真命题的个数有个．（1）对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；（3）对于任意的无理数，是无理数；（4）存在一个整数，使得．18. " ，使 "是真命题，则实数的取值范围是．19. 若命题" ，使得 "是真命题，则实数的取值范围是．20. 已知命题：；命题：中，，则．则命题 " 且 " 的真假性的是．21. 命题：，的否定是．22. “ 是的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的，都有，则称”．那么“ 不是的子集”可用数学语言表达为．23. 命题" ， "的否定形式是．24. 命题" "的否定．25. 命题" ， "的否定是．26. 命题"对任何 "的否定是．27. 已知命题，则．28. 命题"若，则 "的否命题是．29. 若命题"存在实数，使 "的否定是真命题，则实数的取值范围为．30. 命题" ， "的否定是31. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1)等边三角形都是等腰三角形；(2) ，使；(3) ，有．32. 判断下列命题是否是全称命题或特称命题．若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数，；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数，，方程恰有唯一解；(4)存在实数，使得．33. 下列语句是不是全称命题或者是特称命题．(1)有一个实数，不能取对数；(2)所有不等式的解集为，都有；(3)有的向量方向不定；(4)正弦函数都是周期函数吗？34. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；(3) ，．35. 判断下面对结论的否定是否正确，如果不正确，请写出正确的否定结论：(1)至少有一个是；否定：至少有两个或两个以上是；(2)最多有一个是．否定：最少有一个是；(3)全部都是．否定：全部的都不是．36. 判断下列命题的真假：(1)，；(2)，；(3)，使；(4)，使为的约数．37. 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)菱形的对角线互相垂直；(2)二次函数的图象与轴有公共点．38. 写出下列命题的否定，并判断真假：(1)质数都是奇数；(2) ，；(3) （为全集），是集合的真子集．39. 判断下列命题是全称命题，还是存在性命题．(1)平面四边形都存在外接圆；(2)有些直线没有斜率；(3)三角形的内角和等于；(4)有一些向量方向不定；(5)所有的有理数都是整数；(6)实数的平方是非负的．40. 用符号“ ”与“ ”表达下列命题．(1)对任意角，都有；(2)存在正整数，，对任意小的正数，当时，；(3)存在实数，使得．。

全称量词命题与存在量词命题的否定【学习目标】一．全称量词命题的否定一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．【小试牛刀】思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．( )(2)∃x ∈M ，使x 具有性质p (x )与∀x ∈M ，x 不具有性质p (x )的真假性相反．( ) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p (x )”同时否定．( ) (4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．( )【经典例题】题型一 全称量词命题的否定 点拨：1.对全称量词命题否定有两个方面（1）改变量词：把全称量词换为存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∀)． （2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．2.若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题.例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)等圆的面积相等；(3)每个三角形至少有两个锐角．【跟踪训练】1 写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)∀x ∈R ，|x |≥x ； (3)∀x ∈R ＋，x 为正数．题型二 存在量词命题的否定 点拨：1.对存在量词命题否定有两个方面（1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∀)――→改为全称量词(∀)． （2）否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．2.由于命题与命题的否定一真一假，所以如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断.例2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.【跟踪训练】2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)有的素数是偶数；(2)∃x ∈R ，使x 2＋x ＋14<0；(3)至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.题型三 全称量词命题与存在量词命题的综合应用例3 (1)已知对任意的x ∈{x |1≤x ≤3}，都有m ≥x ，求实数m 的取值范围；(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围．【跟踪训练】3 由命题“∀x∀R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．【当堂达标】1.命题“∀x∀[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.∀x∀(－∞，0)，x3＋x<0B.∀x∀(－∞，0)，x3＋x≥0C.∀x0∀[0，＋∞)，x30＋x0<0D.∀x0∀[0，＋∞)，x30＋x0≥02.(多选)对下列命题的否定，其中说法正确的是()A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∀x≥3，x2－2x－3<0B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形D．p：∀x∀R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∀R，x2＋2x＋2>03..命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________________________．4.写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)菱形是平行四边形；(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)∃x∈R，使得x2＋x＋1≤0.5.已知命题“∀x∀R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．【课堂小结】1.知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定.(2)命题真假的判断.(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反.【参考答案】【自主学习】∃x 0∈M ，¬p (x 0) 存在量词命题 ∀x ∈M ，¬p (x ) 全称量词命题 【小试牛刀】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 【经典例题】例1解：(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m )＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程x 2＋x －m ＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题．(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知原命题的否定是假命题．(3)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题．【跟踪训练】1 (1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题． (2)原命题的否定为“∃x ∈R ，使|x |<x ”，这个命题是假命题． (3)原命题的否定为“∃x ∈R ＋，使x ≤0”，这个命题是假命题.例2 解：(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”．当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，因此命题的否定是假命题．【跟踪训练】2 (1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．(2)题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋14≥0”．这个命题是真命题，因为当x ∈R 时，x 2＋x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0. (3)题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x ＝－1时，x 3＋1＝0. 例3 (1)由于对任意的x ∈{x |1≤x ≤3}都有m ≥x ，故只需m 大于或等于x 的最大值，即m ≥3. (2)由于存在实数x ∈{x |1≤x ≤3}，使m ≥x ，故只需m 大于或等于x 的最小值，即m ≥1.【跟踪训练】3解：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >98解析： 因为命题“∀x ∀R,2x 2＋3x ＋a ≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∀R,2x 2＋3x ＋a >0”是真命题，等价于方程2x 2＋3x ＋a ＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a <0，解得a >98.故实数a 的取值范围是a >98. 【当堂达标】1. C 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.否定形式为：∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0.2.ABD 解析：若p ：有的三角形为正三角形，则p 的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C 错误．3. B 解析：选项A ，当x <0时，x ＋1x ≥2不成立，所以A 错；选项C ，绝对值恒大于等于0，故C 错；选项D ，当x ＝－1时，|x ＋1|＝0，所以D 错，故选B.3.任意一个三角形都有外接圆 解析：该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否定则是“任意一个三角形都有外接圆”．4.解：(1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题．(2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线；这个命题为假命题． (3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题． (4)题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”，这个命题为真命题．因为x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋14＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0. 5. 解：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∀x ∀R ，使ax 2＋2x ＋1＝0”为真命题，即关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有实数根． 所以a ＝0，或⎩⎨⎧a ≠0，4－4a ≥0，即a ＝0，或a ≤1且a ≠0，所以a ≤1.所以实数a 的取值范围是{a |a ≤1}．。