相似三角形
一、知识概述
1.平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的定义
对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．
4.相似三角形的基本性质
①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．
②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比
④面积比等于相似比的平方
温馨提示：
①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC
的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．
③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．
5. 相似三角形的判定定理
①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；
②三边对应成比例的两个三角形相似；
③两角对应相等的两个三角形相似；
④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：
（1）判定三角形相似的几条思路：
①条件中若有平行，可采用判定定理1；
②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；
③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必
须是成比例两边的夹角对应相等．
④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。
（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
6. 位似
①定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．
②性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
注意：（1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上
7.三角形的重心
①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍
二、相似三角形解题思路：
1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧
正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：
(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；
(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．
2、常见的相似三角形的基本图形：
学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：
(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；
(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；
(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．
温馨提示：
从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．
A C
D
B
E A
B
C D
E
相似三角形专题分类练习讲解
题型一：线段的比、黄金分割
1.在比例尺1：10000的地图上，相距2cm 的两地的实际距离是（ ） A ．200cm B ．200dm C ．200m D ．200km
2.若则下列各式中不正确的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3.若52
=
-y
y x ，则
y x
=_______；已知3
2=y
x ，则
y x y x +-=________；已知6
53z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。
4.若045=-y x 且0≠xy ，则x ∶y =_________。
5.2和8的比例中项是_________；线段2㎝与8㎝的比例中项为_________。
6.已知a ：b ：c ＝2 ：3 ：4，且2a ＋3b －2c ＝10，求a ， b ，c 的值。
题型二：相似的性质
1.如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。
2.已知△ABC ∽△DEF ，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为
3.如图,DE ∥BC ，AD ∶BD=2∶3，则ΔADE 的面积∶四边形DBCE 的面积=_________。
4.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：_____个
5.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，△ADE 与△BCE 面积之比为4 ：9，那么△ADE 与△ABE 面积之比为________
6.平行四边形ABCD 中，AB=28，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE=EF=FC ，DE 交AB 于点M ，MF 交CD 于点N ，则CN=_________。 第3题 第4题 第5题 第6题
7.如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 边的中点，DE 交AC 于点F ，AC ，DE 把平行四边形ABCD 分成的
