2018年高考数学(理科)模拟试卷(一)
编号：A061003
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()
A.6
B.5
C.4
D.3
2.若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝()
A.1＋2i
B.1－2i
C.－1＋2i
D.－1－2i
3.某四棱锥的三视图如图，该四棱锥最长棱的棱长为()
A.1
B. 2
C. 3
D.2
4.曲线y＝x3－2x＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为()
A.π
6
B.
π
3
C.
π
4
D.
π
2
5.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n 的最大值是()
A.3
B.4
C.5
D.6
6.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
7.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是()
A.10
B.11
C.12
D.13
8.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料.已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，
如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( ) A.12万元
B.16万元
C.17万元
D.18万元
9.定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数.若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( ) A.18个
B.16个
C.14个
D.12个
10.已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sinωx －1
2
(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦
⎤0，18 B.⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎭
⎫5
8，1 C.⎝⎛⎦
⎤0，5
8 D.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦
⎤14，58 11.四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为243π16
的同一球面上，则PA ＝( ) A.3
B.7
2
C.2 3
D.92
12.已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若OA →·OB →
＝6(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AOF 面积之和的最小值为( ) A.4
B.3 13
2
C.17 2
4
D.10
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝____. 14.设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C
的离心率为____.
15.在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为____.(用数字作答)
16.在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sinx ≤1
2”发生的概率为____.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和.
18.(本小题满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.
19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝1
2AD ，E 为边
AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.
(1)在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；
(2)若二面角P -CD -A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)设函数f (x )＝lnx －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；
(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1ln x (3)设c >1，证明当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x .
21.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2，0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；
(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由. 22.(本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程
已知曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、
B 的极坐标分别为A (2，π)、B ⎝⎛⎭⎫2，4π
3. (1)求直线AB 的直角坐标方程；
(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；
(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围.
