宁波市海曙区九年级上期末数学试卷(有答案)-精品

2017-2018学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（）A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．：12．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为（）A．30°B．50°C．20°D．40°4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm，则此圆弧长为（）A．πcm B．2πcm C．4πcm D．6πcm5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．6．（4分）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°7．（4分）把抛物线y＝（x+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+4）2+1 D．y＝（x+4）2+58．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（）A．B．C．D．10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（）①sin∠BAC＝a，②cos∠BAC＝b，③tan∠BAC＝．A．0个B．1个C．2个D．3个11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．12．（4分）定义符号min {a ，b }的含义：当a ≥b 时，min {a ，b }＝b ；当a ＜b 时，min {a ，b }＝a ，如min {1，﹣4}＝﹣4，min {﹣6，﹣2}＝﹣6，则min {﹣x 2+2，﹣2x }的最大值为（ ）A ．2﹣2B ． +1C ．1﹣D ．2+2二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是 ．14．（4分）若线段c 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝4厘米，b ＝25厘米，则c ＝ 厘米．15．（4分）已知△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，r 为半径画圆，使得点A 在⊙C 内，点B 在⊙C 外，则半径r 的取值范围是 ．16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为 ．17．（4分）如图，⊙A 的圆心A 在⊙O 上，O 的弦PQ 与⊙A 相切于点B ，若⊙O 的直径AC ＝10，AB ＝2，则AP •AQ 的值为 ．18．（4分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 为射线BC 上一动点（不与C 重合），△CDE 的外接圆交AE 于P ，若CP ＝CD ，则AP 的值为 ．三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题14分，共78分）19．（6分）（1）tan60°﹣cos45°；（2）若＝，求的值．20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C 都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin E＝，求AB：EF的值．24．（10分）我们定义：三边之比为1：：的三角形叫神奇三角形．（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做x只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与x的关系式为R＝500+30x，P＝170﹣2x，设她家每日获得的利润为y元．（1）销售x只蛋糕的总售价为元（用含x的代数式表示），并求y与x的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣3）与x轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求⊙P的半径；（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．2017-2018学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（）A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．：1【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：若两个相似三角形的面积比为2：1，则它们的相似比为：1．故选：D．【点评】此题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似【分析】直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水，是必然事件，故此选项正确；B、任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1，是随机事件，故此选项错误；C、在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是随机事件，故此选项错误；D、在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似，是随机事件，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为（）A．30°B．50°C．20°D．40°【分析】根据旋转的性质可得∠BAB'＝∠CAC'＝50°，即可求∠∠B′AC的度数．【解答】解：∵旋转∴∠BAB'＝50°，且∠BAC＝30°∴∠B'AC＝20°故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm，则此圆弧长为（）A．πcm B．2πcm C．4πcm D．6πcm【分析】根据弧长公式l＝进行解答．【解答】解：此圆弧长为l＝＝cm，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．6．（4分）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°【分析】连接OC，由的度数等于120°知∠AOC＝60°，根据OC＝OA可得△AOC是等边三角形，从而知∠ACO＝60°，再根据PC切⊙O于C知∠PCO＝90°，据此可得答案．【解答】解：如图，连接OC，∵的度数等于120°，∴∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵PC切⊙O于C，∴∠PCO＝90°，∴∠ACP＝30°，故选：C．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质．7．（4分）把抛物线y＝（x+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+4）2+1 D．y＝（x+4）2+5【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：把抛物线y＝（x+1）2+3的图象先向右平移3个单位，得到：y＝（x﹣2）2+3再向下平移2个单位，所得的图象解析式是：y＝（x﹣2）2+1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°【分析】连接OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠BPD的范围，即可解答．【解答】解：连接OD、OB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB＝180°﹣∠DAB＝40°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠DCB＝80°，∴40°≤∠BPD≤80°，∴∠BPD不可能为90°，故选：D．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（）A．B．C．D．【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠EAF＝∠FAB，在Rt△ADE中，AE＝2DE，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠DAE＝30°，进而解答即可．【解答】解：∵纸片ABCD为矩形，∴AB＝CD，∵矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，∴AE＝AB，∠EAF＝∠FAB，而E为DC的中点，∴AE＝2DE，在Rt△ADE中，AE＝2DE，∴∠EAD＝30°，∴sin∠EAD＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（）①sin∠BAC＝a，②cos∠BAC＝b，③tan∠BAC＝．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据题意和图形可以得到∠BDC的三角函数值，然后根据圆周角相等，即可得到∠BAC的三角函数值，即可解答本题．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC，BC＝a厘米，CD＝b厘米，⊙O的直径为1厘米，∴sin∠BDC＝a，cos∠BDC＝b，tan∠BDC＝，∴sin∠BAC＝a，故①正确，cos∠BAC＝b，故②正确，tan∠BAC＝，故③错误，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】过O 点作两切线的垂线，垂足分别为A 、B ，连接OP ，如图，利用切线的性质得OA ＝OB ＝r ，根据切线长定理得到∠APO ＝∠BPO ＝30°，则AP ＝OA ＝r ，再利用四边形内角和计算出∠AOB ＝120°，接着利用扇形面积公式得到S ＝（﹣π）r 2（r ＞0），然后根据解析式对各选项进行判断．【解答】解：过O 点作两切线的垂线，垂足分别为A 、B ，连接OP ，如图，则OA ＝OB ＝r ，∠APO ＝∠BPO ＝30°，∴AP ＝OA ＝r ，∵∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝180°﹣α＝180°﹣60°＝120°，∴S ＝S 四边形AOBP ﹣S 扇形AOB＝2×r •r ﹣＝（﹣π）r 2（r ＞0），故选：C ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了二次函数的图象．12．（4分）定义符号min {a ，b }的含义：当a ≥b 时，min {a ，b }＝b ；当a ＜b 时，min {a ，b }＝a ，如min {1，﹣4}＝﹣4，min {﹣6，﹣2}＝﹣6，则min {﹣x 2+2，﹣2x }的最大值为（ ）A ．2﹣2B ． +1C ．1﹣D ．2+2【分析】根据题意和题目中的新定义，利用分类讨论的方法，可以求得min {﹣x 2+2，﹣2x }的最大值，本题得以解决．【解答】解：当﹣x2+2≥﹣2x时，解得，1﹣≤x≤1+，∴当1﹣≤x≤1+时，min{﹣x2+2，﹣2x}＝﹣2x，此时，当x＝1﹣时，﹣2x取得最大值﹣2+2；当﹣x2+2≤﹣2x时，解得，x≤1﹣或x≥1+，∴当x≤1﹣或x≥1+时，min{﹣x2+2，﹣2x}＝﹣x2+2，此时，当x＝1﹣时，﹣x2+2取得最大值﹣2+2；由上可得，min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值为2﹣2，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质、新定义、实数大小比较，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是．【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．【解答】解：∵箱子里有7个白球、3个红球，∴从中随机摸出一球是白球的概率是＝．故答案为．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（4分）若线段c是线段a、b的比例中项，且a＝4厘米，b＝25厘米，则c＝10 厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×25，解得c＝±10（线段是正数，负值舍去），∴c＝10cm，故答案为：10【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．15．（4分）已知△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是3＜r＜4 ．【分析】根据勾股定理得到AC＝＝5，点A在⊙C外，点B在⊙C内，则r的取值范围是3＜r＜4．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴r的取值范围是3＜r＜4．故答案为：3＜r＜4【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d ＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．判断这三点与圆的位置关系是解决本题的关键．16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为 2 ．【分析】如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF＝AE，BD＝BE问题即可解决．【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；其中AC＝8，BC＝6；连接OD、OF；则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF；∵∠C＝90°，∴四边形ODCF为正方形，∴CD＝CF＝R（R为⊙O的半径）；由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝36+64＝100，∴AB＝10；由切线的性质定理的：AF＝AE，BD＝BE；∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4，∴R＝2，它的内切圆半径为2．【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答．17．（4分）如图，⊙A的圆心A在⊙O上，O的弦PQ与⊙A相切于点B，若⊙O的直径AC＝10，AB＝2，则AP•AQ的值为20 ．【分析】连接QC，根据圆周角定理、切线的性质定理得到∠ABP＝∠AQC，证明△ABP∽△AQC，根据相似三角形的性质定理计算即可．【解答】解：连接QC，∵PQ与⊙A相切于点B，∴∠ABP＝90°，∵AC为⊙O的直径，∴∠AQC＝90°，∴∠ABP＝∠AQC，又∠APB＝∠ACQ，∴△ABP∽△AQC，∴＝，∴AP•AQ＝AB•AC＝20，故答案为：20．【点评】本题考查的是圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为射线BC上一动点（不与C重合），△CDE的外接圆交AE于P，若CP＝CD，则AP的值为．【分析】连接PD，如图，利用圆周角定理证明∠EPD＝90°，∠CDP＝∠CED，再证明∠AEB＝∠CED，则可判断△ABE≌△DCE，所以BE＝CE＝BC＝3，再利用勾股定理计算出AE，然后证明Rt△ADP∽Rt△EAB，从而利用相似比可计算出AP的长．【解答】解：连接PD，如图，∵∠ECD＝90°，∴DE为直径∴∠EPD＝90°，∵CP＝CD，∴∠CDP＝∠CED，∵∠AEB＝∠CDP，∴∠AEB＝∠CED，∵AB＝CD，∠B＝∠ECD，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝CE＝BC＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝5，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∴Rt△ADP∽Rt△EAB，∴＝，即＝，∴AP＝．故答案为．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了矩形的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题14分，共78分）19．（6分）（1）tan60°﹣cos45°；（2）若＝，求的值．【分析】（1）将三角函数值代入计算可得；（2）由＝知y＝3x，代入计算可得．【解答】解：（1）原式＝×﹣×＝3﹣1＝2；（2）∵＝，∴y＝3x，则原式＝＝．【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握实数的运算与比例的基本性质．20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C 都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．【分析】（1）根据概率公式直接填即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；（2）画树状图如右图：结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光的概率是．【点评】本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，主要考查概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可；【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．∵的度数为120°，AO＝BO，∴∠BOH＝×120°＝60°，∴AH＝BH＝，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，∴OB＝2，即圆洞门⊙O的半径为2；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．∵Rt△BOH中，OH＝1，∵EH＝，易证四边形OMEH是矩形，∴OM＝EH＝，ME＝OH＝1，在Rt△OMC中，CM＝＝，∴CE＝ME+CM＝1+＝，∴立柱CE的长度为．【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．【分析】作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图，设CN＝x，在Rt△BCE中利用正切定义得到BN＝CN＝x，在Rt△ACN中，利用∠A的正切得到＝tan30°＝，解得x＝700+700，然后计算CN+MN即可．【解答】解：作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图，则MN＝600，AB＝1400，∠NAC＝30°，∠NBC＝45°，设CN＝x，在Rt△BCE中，∵tan∠NBC＝tan45°＝，∴BN＝CN＝x，在Rt△ACN中，tan∠NAC＝，∴＝tan30°＝，解得x＝700+700，∴CM＝CN+MN＝700+700+600＝700+1300．答：海底C点处距离海面DF的深度为（700+1300）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin E＝，求AB：EF的值．【分析】（1）先判断出∠CBA为直角，再判断出∠F为直角，进而得出AB与EF平行，再由D为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，即可得出结论；（2）根据角E的正弦值，设出OD＝OC＝OB＝OA＝5x，则得出CA＝10x，CE＝13x，进而得出CE＝18x，最后判断出△ABC∽△ECF即可得出结论．【解答】解：（1）直线EF与圆O相切，理由为：连接OD，如图所示：∵AC为圆O的直径，∴∠CBA＝90°，又∵∠F＝90°，∴∠CBA＝∠F＝90°，∴AB∥EF，∴∠AMO＝∠EDO，又∵D为的中点，∴＝，∴OD⊥AB，∴∠AMO＝90°，∴∠EDO＝90°，∵EF过半径OD的外端，则EF为圆O的切线，（2）在Rt△ODE中，sin E＝＝，设OD＝OC＝OA＝5x，∴CA＝10x，OE＝13x，∴CE＝18x，∵EF∥AB，∴△ABC∽△ECF，∴＝＝【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．24．（10分）我们定义：三边之比为1：：的三角形叫神奇三角形．（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．【分析】（1）利用勾股定理分别计算出BC、AB、AC的长度，计算出三边的比例可得答案；（2）根据相似三角形作图可得．【解答】解：（1）由勾股定理得BC＝＝、AB＝2、AC＝＝，∴BC：AB：AC＝：2：＝1：：，∴△ABC是神奇三角形，∠ABC＝135°；（2）如图所示：【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理与相似三角形的定义．25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做x只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与x的关系式为R＝500+30x，P＝170﹣2x，设她家每日获得的利润为y元．（1）销售x只蛋糕的总售价为（﹣2x2+170x）元（用含x的代数式表示），并求y与x的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？【分析】（1）利用总售价＝销售单价×销售数量可得，再根据每日利润＝总售价﹣做x只蛋糕的成本可得y关于x的解析式；（2）求出y＝1500时x的值即可得；（3）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）销售x只蛋糕的总售价为（170﹣2x）x＝﹣2x2+170x（元），根据题意，得：y＝（﹣2x2+170x）﹣（500+30x）＝﹣2x2+140x﹣500，故答案为：（﹣2x2+170x）；（2）当y＝1500时，得：﹣2x2+140x﹣500＝1500，解得：x1＝20、x2＝50，∵x≤40，∴x＝20，即当每日做20只蛋糕时，每日获得的利润为1500元；（3）y＝﹣2x2+140x﹣500＝﹣2（x﹣35）2+1950，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝35时，y取得最大值，最大值为1950，答：当每日做35只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是1950元．【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关系销售收入＝售价×数量的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣3）与x轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求⊙P的半径；（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．【分析】（1）分别代入y＝0、x＝0求出与之对应的x、y的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；（2）连接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP的值，此题得解；（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，利用勾股定理可求出y值，进而可得出：当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，根据旋转的性质可找出点C′的坐标及∠AC′O′＝45°，进而可找出线段C′O′所在直线的解析式，由点E在CO上可得出点F在C′O′上，过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时OF的长，此题得解．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣（x+1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（3，0）；当x＝0时，y＝﹣（0+1）×（0﹣3）＝3，∴点C的坐标为（0，3）；∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1．（2）连接CP、BP，如图1所示．在Rt△BOC中，BC＝＝．∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，∴CP＝BP＝BC＝，∴⊙P的半径为．（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，BD2+CD2＝BC2，∴[（﹣1﹣1）2+（0﹣y）2]+[（0﹣1）2+（3﹣y）2]＝10，整理，得：y2﹣3y+2＝0，解得：y1＝1，y2＝2，∴当1＜y＜2时，∠BDC＞90°．（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，如图2所示．∵AC＝＝3，∠ACO＝45°，∴点C′的坐标为（3﹣3，0），∠AC′O′＝45°，∴线段C′O′所在直线的解析式为y＝﹣x+3﹣3．∵点E在线段CO上，∴点F在线段C′O′上．过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值．∵△OC′F为等腰直角三角形，∴OF＝OC′＝（3﹣3）＝3﹣．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；（2）利用圆周角定理找出∠BPC＝90°；（3）利用极限值法求出点D纵坐标；（4）利用点到直线之间垂直线段最短确定点F的位置．。

2020-2021学年宁波市海曙区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.二次函数y=2(x+1)2−3的图象的对称轴是()A. 直线x=−1B. 直线x=1C. 直线x=−3D. 直线x=32.如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为()A. 6mB. 8.8mC. 12mD. 30m3.如图，⊙O中，弦AC与BC时两条弦，∠C=35°，则∠O的度数是()A. 25°B. 35°C. 65°D. 70°4.下列说法正确的是()A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B. 通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的C. “367人中至少有2人生日相同”是必然事件D. 四张分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中．心对称图形的概率是125.若为锐角，且，那么……………………………【】A. B.C. D.6.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是()A. ①和②B. ②和③C. ①和③D. ②和④7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，连接EO，AC=8，BD=6，则△DEO的周长是()A. 14B. 13C. 9D. 88.如图，点O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是()A. 3B. 4C. 2+√2D. 2√29.根据图中所示的程序计算：若输入的x为−13，则输出的结果y为()A. 1B. 19C. 53D. 7310.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，CE⊥BD于E，AG⊥BD于G，AF平分∠BAD交BC于点N，交EC延长线于点F，则下列说法中正确的有()个①BE=DG②BN=12 AD③MN=√2④BD=CF⑤AG2=BG⋅DGA. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.如图，在半径为R的⊙O中，ÂB和ĈD度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为(用含有R的代数式表示)．12.某学校的初三(1)班，有男生20人，女生23人．现随机抽一名学生，则：抽到一名男生的概率是______．13.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=12，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点B′，连接BC，当△B′MC为直角三角形时，BM的长为______．14.二次函数y=−4(x−3)2−2图象的顶点是______．15.已知直线y=−x+1与抛物线y=x2+k一个交点的横坐标为−2，则k=______．16.边长为2的正六边形的边心距为．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.计算：√8−2sin45°+|√2−2|−(12)−2+(√3−1)0．四、解答题（本大题共7小题，共74.0分）18.如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，点A、B、C都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中A(5,6)，B(3,6)，C(2,7)．(1)已知△ABC与△DEF(点D、E、F都是格点)成位似图形，则位似中心M的坐标是______；(2)△ABC外接圆半径是______；(3)请在网格图中画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△DEF，且相似比为1：2．19.二次函数的图象经过A(0.−3)、B(2,−3)、C(−1,0)三点(1)求该二次函数的解析式；(2)直接写出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．20.如图，⊙O的半径OA=5，点C是弦AB上的一点，且OC⊥AB，OC=BC.求AB的长．21.为发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用．从今年l月1日开始，该单位每月再生资源处理量y(吨)与月份x之间成如表格所示的一次函数关系．y2−20y+月处理成本P(元)与每月再生资源处理量y(吨)之间的函数关系可近似地表示为：P=12 700，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元．(1)求月处理成本P与月份x的函数关系式；(2)在今年内该单位哪个月获得利润达到5700元？(3)随着人们环保意识的增加，该单位需求的可再生资源数量受限．今年三、四月份的再生资源处理量都比二月份减少了m%，该新产品的产量也随之减少，其售价都比二月份的售价增加了0.6m%.五月份，该单位得到国家科委的技术支持，使月处理成本比二月份的降低了20%.如果该单位五月份在保持三月份的再生资源处理量和新产品售价的基础上，其利润和二月份的利润一样，求m 的值．(m保留整数)(参考数据：，，22.为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A.趣味数学；B.博乐阅读；C.快乐英语；D.硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩(百分制)分成六组，绘制成频数分布直方图．(1)已知70≤x<80这组的数据为：72，73，74，75，76，76，79.则这组数据的中位数是______；众数是______；(2)根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x<90的总人数；(3)该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是______；(4)该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．23.已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC为直径，AD⊥BC于点D，点E为DA延长线上一点，连接BE，交⊙O于点F，连接CF，交AB、AD于M、N两点．(1)若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2−2mx+n2−mn+54m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；(2)若AN=158，DN=98，求DE的长；(3)若在(1)的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2−16ky+10k2+5=0的两个实数根，求直径BC的长．24.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A的⊙O分别交AB、AC于D、E两点，且AD=AE，连接CD交⊙O于F，连接AF交BC于G．(1)求证：CD=√2AG；(2)连接EF并延长交BC于M，过A作AH⊥CD于H，延长AH交BC于N，求证：BN=MN；AF，⊙O的半径为√2，求CF的长．(3)在(2)的条件下，若FG=23参考答案及解析1.答案：A解析：解：二次函数y=2(x+1)2−3，是二次函数的顶点式，对称轴是直线x=−1．故选：A．二次函数的顶点式为：y=a(x−ℎ)2+k，其中a的正负确定抛物线的开口方向，对称轴是x=ℎ，顶点坐标是(ℎ,k)．本题考查的是二次函数的性质，把二次函数化为顶点式，根据顶点式可以知道二次函数的开口方向，对称轴以及顶点坐标．2.答案：C解析：解：如图，AD=8m，AB=30m，DE=3.2m；由于DE//BC，则△ADE∽△ABC，得：AD AB =DEBC，即830=3.2BC，解得：BC=12m，故选：C．竹竿、旗杆以及经过竹竿和旗杆顶部的太阳光线正好构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得旗杆的长．本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，建立适当的数学模型来解决问题．3.答案：D解析：此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理可得∠O=2∠C，进而可直接得到答案．解：∵∠C=35°，∴∠O=2∠C=70°，故选D．4.答案：C解析：解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，所以A选项错误；B、通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，所以B选项错误；C、“367人中至少有2人生日相同”是必然事件，所以C选项正确；D、四张分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形的概率是34，所以D选项错误．故选：C．利用随机事件和必然事件的定义对A、C进行判断；利用比较两事件的概率的大小判断游戏的公平性对B进行判断；利用中心对称的性质和概率公式对D进行判断．本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了随机事件．5.答案：C解析：先根据tan45°=1，tan60°=，然后根据正切函数随角的度数的增大而增大即可求得结果．解：∵tan45°=1，tan60°=，正切函数随角的度数的增大而增大，又∵，∴，故选C．6.答案：C解析：试题分析：本题主要应用两三角形相似的判定定理，有两个对应角相等的三角形相似，即可完成题目．∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、√2、√10；由勾股定理求出③的各边长分别为2√2、2、2√5，∴2√2=√22√10 2√5=√22，即2√2=√22=√102√5，∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C．7.答案：D解析：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=12AC=4，DO=12BD=3，∴∠AOD=90°，∴AD=√AO2+DO2=5，又∵点E是AD的中点，∴OE=12AD=52，DE=12AD=52，∴△DEO的周长=DE+OE+DO=52+52+3=8，故选：D．利用菱形的对角线互相垂直平分即可得到AO，DO以及AD的长，进而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EO的长，即可得出结论．本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质．关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．8.答案：C解析：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长．解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点，∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上，∴DF=DE，OF⊥DC，∴GF⊥DC，∴OG⊥AB，∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径．在等腰直角三角形DEH中，DE=2，∴EH=DH=√2=AE．∴AD=AE+DE=√2+2．故选C．9.答案：B解析：解：根据题意可知，∵输入x=−1，3∴−1≤x≤1，∴把x=−1代入y=x2，3得y=1．9故选：B．根据输入x=−1，即−1≤x≤1，代入y=x2即可求出答案．3本题主要考查函数值得计算，根据题意判断自变量x得范围选择函数解析式计算函数值是解决本题得关键．10.答案：D解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABG=∠CDE，∵CE⊥BD于E，AG⊥BD于G，∴∠AGB=∠CED=90°，∴△AGB≌△CED(AAS)，∴BG=DE，∴BE=DG，故①正确，∵∠BAD=90°，FA平分∠BAD，∴∠BAN=45°，∵∠ABN=90°，∴∠ANB=45°，∴AB=BN，∵AB=3，AD=BC=6，∴BC=2AB，∴BN=12AD，故②正确，∵AB=NB=3，∴AN=3√2，∵BN//AD，∴NMAM =BNAD=12，∴MN=13AN=√2，故③正确，连接AC，易证∠ECB=∠BAC，∵∠ECB=45°+∠F，∠BAC=45°+∠CAF，∴∠F=∠CAF，∴CA=CF，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∵BD=CF，故④正确，∵∠BAD=90°，AG⊥BD，∴△AGB∽△DGA，可得AG2=BG⋅DG，故⑤正确，故选：D．根据BC=2AB，H为BC中点，可得△ABH为等腰直角三角形，HE=BH=HC，可得△CEH为等腰三角形，又∠BCD=90°，CE⊥BD，利用互余关系得出角的相等关系，根据基本图形判断全等三角形，特殊三角形进行判断．此题主要考查了等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定．解答该题的关键是证明等腰三角形，全等三角形．本题综合性较强，难度比较大．11.答案：R解析：试题分析：先作OM⊥AB于M，连接OA，根据垂径定理得出AM=BM，∠AOM=18°，求出AB=2AM=2⋅OA⋅sin∠AOM，同理得出CD=2Rsin54°，两者进行相减，再进行整理即可得出答案．作OM⊥AB于M，连接OA，则AM=BM，∠AOM=18°，AB=2AM=2⋅OA⋅sin∠AOM=2Rsin18°，同理可得：CD=2Rsin54°，则CD−AB=2Rsin54°−2Rsin18°=2R(sin54°−sin18°)=4Rcos36°sin18°=2Rcos36°sin36°÷cos18°=Rsin72°÷cos18°=R．故答案为：R．12.答案：2043．解析：解：抽到一名男生的概率是2043随机抽取一名学生总共有20+23=43种情况，其中是男生的有20种情况．利用概率公式进行求解即可．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概．率P(A)=mn13.答案：5或103解析：解：当△B′MC为直角三角形时，①当∠B′CM=90°时，∵N为AB中点，AB=10，∴AN=BN=B′N=12AB=5，∵NB′<AD，即5<12，点B的对应点B′不能落在CD所在直线上，∴∠BCM<90°，故该情况不存在；②如图，当∠CMB′=90°时，∠BMB′=90°，由折叠的性质得：∠BMN=∠B′MN=45°，∵∠B=90°，∴∠BNM=∠B′MN=45°，得BM=BN=12AB=5；③如图，当∠CB′M=90°时，∴∠NB′M=∠CB′M=90°，故N，B′，C三点共线，设BM=B′M=x，则CM=12−x，在Rt△NBC中，NC=√NB2+BC2=√52+122=13，则B′C=NC−B′N=8，在Rt△B′MC中，由勾股定理可得B′M2+B′C2=MC2，即x2+82=(12−x)2，解得x=103，即BM=103．综上所述，满足条件的BM的值为5或10．3．故答案为：5或103分情况讨论：当∠B′CM=90°时，当∠CMB′=90°时，当∠CB′M=90°时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案．本题考查翻折的性质，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．14.答案：(3,−2)解析：解：二次函数y=−4(x−3)2−2的图象的顶点坐标是(3,−2)．故答案为(3,−2)．因为y=−4(x−3)2−2是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的顶点坐标为(ℎ,k)．15.答案：−1解析：解：将x=−2代入直线y=−x+1得，y=2+1=3，则交点坐标为(−2,3)，将(−2,3)代入y=x2+k得，3=4+k，解得k=−1．故答案为：−1．根据交点的横坐标，代入直线解析式，可得交点的纵坐标，把交点的坐标代入抛物线解析式，可得二次函数解析式中的k值．本题考查了二次函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求二次函数的解析式，比较简单．16.答案：√3解析：试题分析：连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵OM⊥AB，∴AM=BM=1，在△OAM中，由勾股定理得：OM=√OA2−AM2=√3．故答案为：√3．17.答案：解：原式=2√2−2×√2+2−√2−4+1=−1．2解析：原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.答案：解：(1)(3,10)；(2)√5；(3)△A1B1C1如图所示．解析：本题考查作图−位似变换，三角形的外接圆与外心，作图−相似变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．(1)作出位似坐标，写出坐标即可；(2)作出三角形的外接圆的圆心，求出半径即可；(3)根据相似三角形的性质画出图形即可(答案不唯一)．解：(1)位似中心M的坐标为(3,10)，故答案为(3,10)；(2)△ABC的外接圆的半径为CN=√5，故答案为√5；(3)见答案．19.答案：解：(1)设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得{c=−34a+2b+c=−3 a−b+c=0，解得{a=1b=−2 c=−3．所以这个二次函数的解析式为y=x2−2x−3；(2)∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，a=1>0，∴该二次函数图象的开口向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1,−4)．解析：(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A(0.−3)、B(2,−3)、C(−1,0)三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式；(2)根据二次函数解析式可知抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．20.答案：解：∵点C是弦AB上的一点，且OC⊥AB，∴AC=BC=12AB，∵OC=BC．∴OC=AC，在Rt△OAC中，有勾股定理得：2AC2=OA2，∵OA=5，∴AC =52√2 ∴AB =2AC =5√2．解析：根据垂径定理得出AB =2AC =2BC ，由于OC =BC ，即可得出OC =AC ，根据勾股定理求出AC ，代入AB =2AC 求出即可．本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是求出AB =2AC 和求出AC 长．21.答案：解：(1)将(1,40)，(2,50)代入y =kx +b ，得：{40=k +b 50=2k +b， 解得：{k =10b =30故每月再生资源处理量y(吨)与x 月份之间的关系式为：y =10x +30，则月处理成本P 与月份x 的函数关系式为：P =12(10x +30)2−20(10x +30)+700，=50x 2+100x +550，(2)利润S =100y −P =−50x 2+900x +2450，当S =5700时，−50x 2+900x +2450=5700，解得：x 1=5，x 2=13(不合题意舍去)，当x =5时，月获得利润达到5700元；(2)二月处理量：50吨，二月价格：100元/吨，二月成本：950元，二月利润：4050元，三月、四月、五月处理量：50(1−m%)吨，三月、四月、五月价格：100(1+0.6m%)元，五月成本：950(1−20%)元，五月利润：100×50(1−m%)(1+0.6m%)−950×(1−20%)=4050，令m%=a ，则a =−2±√15756， a 1=−2+√15756≈0.08，a 2=−2−√15756≈−0.75(舍)，∴m ≈8．解析：(1)首先根据表格求出y与x的函数关系式，然后利用已知条件即可得到P与x的函数关系式；(2)根据(1)所求可以进而得到利润与x之间的函数关系式，即可求解；(3)首先根据已知条件和(1)中的函数关系式可以分别求出：二月处理量、二月价格、二月成本、二月利润、三月、四月、五月处理量、三月、四月、五月价格、五月成本，接着利用已知条件即可列出方程100×50(1−m%)(1+0.6m%)−950×(1−20%)=4050，解方程即可解决问题．22.答案：757614解析：解：(1)在72，73，74，75，76，76，79这组已经按从小到大排列好的数据中，中位数为75，众数为76；故答案为：75，76；(2)观察直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x<90范围内选取A课程的有9人，所占比为9，30=30(人那么估计该年级100名学生，学生成绩在80≤x<90范围内，选取A课程的总人数为100×930)；(3)因为学校开设了四门校本课程供学生选择，小乔随机选取一门课程，则他选中课程D的概率为1；4；故答案为：14(4)因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列树状图如下：等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，．所以，他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是29(1)根据中位数和众数的定义求解即可；(2)利用样本估计总体的方法即可估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x<90的总人数；(3)直接利用概率公式计算；(4)画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他俩第二次选课相同的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．23.答案：(1)证明：△=(−2m)2−4(n 2−mn +54m 2)=−(m −2n)2≥0， ∴(m −2n)2≤0，∴m −2n =0，∴△=0∴一元二次方程x 2−2mx +n 2−mn +54m 2=0有两个相等实根，∴AM =AN ．(2)解：∵BC 为直径，∴∠BAC =90°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =∠ADB =90°，∴∠DAC =∠DBA ，∴△ADC∽△BDA ，∴AD BD =DCAD ，∴AD 2=BD ⋅DC ，∵CF ⊥BE ，∴∠FCB +∠EBD =90°，∵∠E +∠EBD =90°，∴∠E =∠FCB ，∵∠NDC =∠EDB =90°，∴△EBD∽△CND ，∴ED CD =BDDN ，∴BD ⋅DC =ED ⋅DN ，∴AD 2=ED ⋅DN ，∵AN =158，DN =98，∴AD =DN +AN =3，∴32=98DE ，∴DE =8．(3)解：由(1)知AM =AN ，∴∠AMN =∠ANM∵∠ACM +∠CAN =90°，∠DNC +∠NCD =90°，∴∠ACM =∠NCD∵∠BMF +∠FBM =90°，∠AMC +∠ACM =90°，∴∠ACM =∠FBM由(2)可知∠E =∠FCB ，∴∠ABE =∠E ，∴AB =AE过点M 作MG ⊥AN 于点G由MG//BD 得MG BD =AM AB ， ∴S △AMN S △ABE =12AN⋅MG 12AE⋅BD =AM AB 22=964， ∴AM AB =38， ∴AN AE =AM AB =38， 过点A 作AH ⊥EF 于点H ，由AH//FN ，得EH HF =AE AN =83，设EH =8a ，则FH =3a ，∵AE =AB ，∴BH =HE =8a ，∴BF =5a ，EF =11a ，由根与系数关系得，{BF +EF =16a =165k BF ⋅EF =55a 2=2k 2+1， 解得：a =±√55， ∵a >0，a =√55， ∴BF =√5，由∠ACM =∠MCB ，∠DAC =∠DBA 可知△ACN∽△BCM ，∴AC BC =AN BM =35设AC=3b，则BC=5b在Rt△ABC中，有AB=4b．∴AM=3 2 b.在Rt△ACM中，有MC=3√52b由△ACM∽△FCB得BCBF =CMAM，∴BC√5=3√52b32b，∴BC=5．解析：(1)根据根的判别式得出△=0，进而判断出AM=AN，(2)首先判断出△ADC∽△BDA，△ADC∽△BDA，再利用相似三角形的性质解答，(3)根据面积比等于相似比的平方解答．此题综合考查一元二次方程的根与系数的关系，三角形相似的判定及性质的应用，此题综合性强，难度大，有利于培养同学们对知识综合运用的能力．24.答案：(1)证明：如图1中，作AH⊥CD于H，交BC于N，过点G作GP⊥AG交AN的延长线于P，连接PB、PG．∵∠DAE=90°，AD=AE，∴∠ADE=∠AED=∠AFH=45°，∵AH⊥CD，∴∠AHF=90°，∴∠HAF=45°=∠APG，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABN=∠GPN，∵∠ANB=∠PNG，∴△ANB∽△GNB，∴BNPN =ANGN，∴BNAN =PNGN，∵∠BNP=∠ANG，∴△BNP∽△ANG，∴∠PBN=∠NAG=45°，∴∠ABP=90°=∠CAD，∵∠BAP+∠CAH=90°，∠CAH+∠ACD=90°，∴∠BAP=∠ACD，∵AB=AC，∴△ABP≌△CAD，∴AP=CD，∵AP=√2AG，∴CD=√2AG．(2)证明：如图2中，在图1的基础上，延长BP交EM的延长线于K．由(1)可知△ABP≌△CAD，∴BP=AD=AE，∵∠KBA+∠BAC=180°，∴AE//BK，∵∠DAE=90°，∴DE是直径，∴∠DFE=90°，∴∠AHF+∠DFE=180°，∴AP//EK，∴四边形APKE 是平行四边形， ∴AE =PK =PB ， ∵PN//KM ， ∴PBPK =BNMN =1， ∴BN =NM ．(3)解：如图3中，设AF =3a ，FG =2a ，则AG =PG =5a ，AP =CD =5√2a ，AH =HF =3√22a ，由(2)可知，∵DE =2√2， ∴AD =AE =PB =2，在Rt △ABP 中，AB =AC =√(5√2a)2−22， ∵∠BAP =∠ACH ，∠ABP =∠AHC ， ∴△ABP∽△CHA ， ∴PBAP =AH AC=ABCH ，∴5√2a =3√22√(5√2a)2−22，CH =√2a)2232√2a ，整理得225a 4−200a 2+16=0， ∴(45a 2−4)(5a 2−4)=0， ∵a >0， ∴a =√445或√45， ∴CF =CH −FH =√2a)2232√2a 32√2a =23√2a，∴把a =√445或√45代入得CF =245√2或81√24．解析：(1)如图1中，作AH ⊥CD 于H ，交BC 于N ，过点G 作GP ⊥AG 交AN 的延长线于P ，连接PB 、PG.由△ANB∽△GNB ，推出BNPN =ANGN ，由此BNAN =PNGN ，由∠BNP =∠ANG ，推出△BNP∽△ANG ，推出∠PBN =∠NAG =45°，由△ABP≌△CAD ，推出AP =CD ，由AP =√2AG ，即可推出CD =√2AG ．(2)如图2中，在图1的基础上，延长BP 交EM 的延长线于K.由△ABP≌△CAD ，推出BP =AD =AE ，只要证明四边形APKE 是平行四边形，即可推出AE =PK =PB ，由PN//KM ，推出PBPK =BNMN =1，即可推出BN =NM ．(3)如图3中，设AF =3a ，FG =2a ，则AG =PG =5a ，AP =CD =5√2a ，AH =HF =3√22a ，由△ABP∽△CHA ，得PBAP =AH AC=ABCH，推出5√2a =3√22√(5√2a)2−22，CH =√2a)2232√2a ，整理得225a 4−200a 2+16=0，解得a =√445或√45，推出CF =CH −FH =√2a)2232√2a 32√2a =23√2a，把a =√445或√45代入即可解决问题．本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程，本题体现了数形结合的数学思想，属于中考压轴题．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（）A．（x-3）2=-3 B．（x-3）2=6 C．（x-3）2=3D．（x-3）2=12【答案】B【解析】试题分析：移项，得x2－1x＝－3，等式两边同时加上一次项系数一半的平方(－3)2，得x2－1x＋(－3)2＝－3＋(－3)2，即(x－3)2＝1．故选B．点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．2．下列事件属于必然事件的是（）A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B．掷一次骰子，向上一面的点数是6C．任意画一个五边形，其内角和是540°D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【答案】C【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【详解】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件．B、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件．C、任意画一个五边形，其内角和是540°，是必然事件．D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件．故选：C．【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A． B．C．D．【答案】B【解析】根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可.【详解】y=2x2向右平移2个单位得y=2（x﹣2）2，再向上平移3个单位得y=2（x﹣2）2+3.故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．4．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A．310B．15C．12D．710【答案】A【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是3 10．故选A．【点睛】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【答案】D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选D．点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．6．抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣1，3）【答案】A【解析】分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．详解：∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，∴顶点坐标为（1，1）．故选A．点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．7．一根水平放置的圆柱形输水管横截面积如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（）A．4米B．5米C．6米D．8米【答案】B【详解】解：∵OC⊥AB，AB=8米，∴AD=BD=4米，设输水管的半径是r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=1．故选B．【点睛】本题考查垂径定理的应用；勾股定理．8．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．【答案】D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．9．计算97a b aa ab bb +++个个＝() A ．97a bB ．97a b C ．79a b D ．97a b【答案】C 【解析】分析：分子根据合并同类项计算，分母根据同底数幂的乘法计算.详解：原式=79a b . 故选C.点睛：本题考查了合并同类项和同底数幂的乘法计算，合并同类项的方法是系数相加，字母和字母的指数不变；同底数的幂相乘，底数不变，把指数相加.10．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）A ．水涨船高B ．水中捞月C ．一箭双雕D ．拔苗助长 【答案】A【解析】必然事件就是一定会发生的事件,依据定义即可解决【详解】A.水涨船高是必然事件,故正确;B. 水中捞月,是不可能事件,故错误；C.一箭双雕是随机事件,故错误D.拔苗助长是不可能事件,故错误故选:A【点睛】此题考查随机事件，难度不大11．如图，四边形ABCD 内接于O , E 为CD 延长线上一点,若110B ∠=，则ADE ∠的度数为（ ）A ．35B ．55C ．70D ．110【答案】D【分析】根据圆内接四边形的对角互补，先求出∠ADC 的度数，再求∠ADE 的度数即可. 【详解】解：四边形ABCD 内接于, 110O B ∠=180ADC ∴∠=-70B ∠=,180110ADE ADC ∴=-∠=．故选: D ．【点睛】本题考查的是内接四边形的对角互补，也就是内接四边形的外角等于和它不相邻的内对角.12．关于x 的一元二次方程2310kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．94k ≤-B ．94k ≥-且0k ≠C ．94k ≥-D ．94k >-且0k ≠ 【答案】B【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．关于x 的一元二次方程kx 2+3x-1=1有实数根，则△=b 2-4ac≥1．【详解】解：∵a=k ，b=3，c=-1，∴△=b 2-4ac=32+4×k×1=9+4k≥1，94k ≥-， ∵k 是二次项系数不能为1，k≠1，即94k ≥-且k≠1． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置，∠A=20°，∠C=15°，E 、B 、C 在同一直线上，则旋转角度是_______．【答案】35°【分析】根据旋转角度的概念可得∠ABE 为旋转角度，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：由题意得：∠ABE 为旋转角度，∵∠A=20°，∠C=15°，E 、B 、C 在同一直线上，∴∠ABE=∠A+∠C=35°；故答案为35°．【点睛】本题主要考查旋转及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，4），B （4，1），以原点O 为位似中心，在点O 的异侧将△OAB 缩小为原来的12，则点B 的对应点的坐标是________.【答案】 (－2，12-) 【分析】平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心且在点O 的异侧，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k -解答．【详解】以O 为位似中心且在点O 的异侧，把△OAB 缩小为原来的12， 则点B ()41，的对应点的坐标为114122⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，， 即122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 故答案为：122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 【点睛】 本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．15．如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO ，若∠A=30°，则劣弧BC 的长为 cm ．【答案】2π．【解析】根据切线的性质可得出OB ⊥AB ，从而求出∠BOA 的度数，利用弦BC ∥AO ，及OB=OC 可得出∠BOC 的度数，代入弧长公式即可得出答案：∵直线AB 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB （切线的性质）．又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°（直角三角形两锐角互余）．∵弦BC ∥AO ，∴∠CBO=∠BOA=60°（两直线平行，内错角相等）．又∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形（等边三角形的判定）．∴∠BOC=60°（等边三角形的每个内角等于60°）．又∵⊙O 的半径为6cm ，∴劣弧BC 的长=606=2180ππ⋅⋅（cm ）． 16．设二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ，B ，其顶点坐标为C ，则△ABC 的面积为_____．【答案】1【解析】首先求出A 、B 的坐标，然后根据坐标求出AB 、CD 的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，设y ＝0，∴0＝x 2﹣2x ﹣3，解得：x 1＝3，x 2＝﹣1，即A 点的坐标是（﹣1，0），B 点的坐标是（3，0），∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，＝（x ﹣1）2﹣4，∴顶点C 的坐标是（1，﹣4），∴△ABC 的面积＝12×4×4＝1， 故答案为1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．17．不透明的口袋里有除颜色外其它均相同的红、白、黑小球共计120个，玲玲通过多次摸球实验后发现，摸到红球和黑球的概率稳定在50%和30%，那么口袋中白球的个数极有可能是_______个．【答案】1【分析】由摸到红球和黑球的概率稳定在50%和30%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出白球个数即可．【详解】设白球个数为：x 个，∵摸到红球和黑球的概率稳定在50%和30%左右，∴口袋中得到白色球的概率为1−50%−30%＝20%， ∴120x ＝20%， 解得：x ＝1，即白球的个数为1个，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 18．二次函数22y x x c =-+图象与x 轴交于点(2,0)A -，则与图象x 轴的另一个交点B 的坐标为__．【答案】(4,0) 【分析】确定函数的对称轴为：12b x a=-=，即可求解． 【详解】解：函数的对称轴为：12b x a =-=，故另外一个交点B 的坐标为(4,0)， 故答案为(4,0)．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点和函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为A （6,4），B （4,0），C （2,0）. （1）在y 轴左侧，以O 为位似中心，画出111A B C ∆，使它与ABC ∆的相似比为1:2；（2）根据（1）的作图，111tan A B C ∠= .【答案】（1）见解析；（2）-2【分析】（1）连接AO 并延长至1A ，使1AO 2AO =，同理作出点B ，C 的对应点，再顺次连接即可； （2）先根据图象找出三点的坐标，再利用正切函数的定义求解即可．【详解】（1）如图；（2）根据题意可得出()13,2A --，()12,0B -，()11,0C -， 设11A B 与x 轴的夹角为α，∴()111tan tan 180αtan α2A BC ∠=-=-=-．【点睛】本题考查的知识点是在坐标系中画位似图形，掌握位似图形的关于概念是解此题的关键．20．某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．（1）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，填写下表． 时间第一个月 第二个月 每套销售定价（元）销售量（套）（2）若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套多少；（3）求当4≤x≤6时第二个月销售利润的最大值．【答案】（1）52；52+x ；180；180-10x ；（2）1元；（3）2240元【分析】（1）本题先设第二个月的销售定价每套增加x 元，再分别求出销售量即可；（2）本题先设第二个月的销售定价每套增加x 元，根据题意找出等量关系列出方程，再把解得的x 代入即可．（3）根据利润的表达式化为二次函数的顶点式，即可解答本题．【详解】解：（1）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，填写下表：时间第一个月 第二个月 销售定价（元） 52 52+x销售量（套） 180 180-10x故答案为：52；52+x ；180；180-10x（2）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，根据题意得：（52-40）×180+（52+x-40）（180-10x ）=411，解得：x 1=-2（舍去），x 2=8，当x=-2时，52+x=50（舍去），当x=8时，52+x=1．答：第二个月销售定价每套应为1元．（3）设第二个月利润为y 元．由题意得到：y=（52+x-40）（180-10x ）=-10x 2+1x+211=-10（x-3）2+2250∵-10＜0∴当4≤x≤6时，y 随x 的增大而减小，∴当x=4时，y 取最大值，此时y=2240，∴52+x=52+4=56，即要使第二个月利润达到最大，应定价为56元，此时第二个月的最大利润是2240元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 21．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1，0）和B （0，3），其顶点为D ．设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若△DPH 与△AOB 相似（1）求抛物线的解析式（2）求点P 的坐标【答案】（1）y=x 2-4x+3；（2）（5，8）或（73，-89）． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）设P（x，x2-4x+3）（x＞2），则H（2，x2-4x+3），分别表示出PH和HD，分PH HDOA OB=时，PH HDOB OA=时两种情况分别求出x即可.【详解】解：（1）把A（1，0）和B（0，3）代入y=x2+bx+c得103b cc++=⎧⎨=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；（2）抛物线的对称轴为直线x=2，设P（x，x2-4x+3）（x＞2），则H（2，x2-4x+3），∴PH=x-2，HD=x2-4x+3-（-1）=x2-4x+4，∵∠PHD=∠AOB=90°，∴当PH HDOA OB=时，△PHD∽△AOB，即224413x x x--+=，解得x1=2（舍去），x2=5，此时P点坐标为（5，8）；当PH HDOB OA=时，△PHD∽△BOA，即224431x x x--+=，解得x1=2（舍去），x2=73，此时P点坐标为（73，-89）；综上所述，满足条件的P点坐标为（5，8）或（73，-89）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定；会利用待定系数法求二次函数解析式，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．22．2019年9月30日,由著名导演李仁港执导的电影《攀登者》在各大影院上映后,好评不断,小亮和小丽都想去观看这部电影,但是只有一张电影票,于是他们决定采用模球的办法决定胜负,获胜者去看电影,游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号1-4的四个球（除编号外都相同）,从中随机摸出一个球,记下数字后放回,再从中摸出一个球,记下数字,若两次数字之和大于5,则小亮获胜,若两次数字之和小于5,则小丽获胜．（1）请用列表或画树状图的方法表示出随机摸球所有可能的结果；（2）分别求出小亮和小丽获胜的概率,并判断这种游戏规则对两人公平吗？【答案】（1）见解析（2）38，38；公平【分析】(1)根据题意，列出树状图，即可得到答案；(2)根据概率公式，分别求出小亮和小丽获胜的概率,即可.【详解】（1）画树状图如下：两数和的所有可能结果为：2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8共16种．（2）∵两次数字之和大于5的结果数为6,∴小亮获胜的概率63 168 ==,∵两次数字之和小于5的结果数为6,∴小丽获胜的概率63 168 ==,∴此游戏是公平的．【点睛】本题主要考查简单事件概率的实际应用，画出树状图，求出概率，是解题的关键.23．某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG∶BG＝3∶1．设BG的长为1x米．（1）用含x的代数式表示DF＝；（1）x为何值时，区域③的面积为180平方米；（3）x为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）48－11x；（1）x为1或3；（3）x为1时，区域③的面积最大，为140平方米【分析】（1）将DF、EC以外的线段用x表示出来，再用96减去所有线段的长再除以1可得DF的长度；（1）将区域③图形的面积用关于x的代数式表示出来，并令其值为180，求出方程的解即可；（3）令区域③的面积为S，得出x关于S的表达式，得到关于S的二次函数，求出二次函数在x取值范围内的最大值即可.【详解】（1）48－11x（1）根据题意，得5x(48－11x)＝180，解得x1＝1，x1＝3答：x为1或3时，区域③的面积为180平方米（3）设区域③的面积为S，则S＝5x(48－11x)＝－60x1＋140x＝－60(x－1)1＋140∵－60＜0，∴当x＝1时，S有最大值，最大值为140答：x为1时，区域③的面积最大，为140平方米【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题中的等量关系，正确得出区域面积的表达式. 24．根据要求完成下列题目：（1）图中有块小正方体；（2）请在下面方格纸中分别画出它的主视图，左视图和俯视图.【答案】6，根据三视图的基本画法，画出其基本三视图【分析】试题分析：小正方形的数=3+2+1=6考点：简单图形三视图的画法点评：三视图的图形画法是常考知识点，需要考生在熟练把握的基础上画出各种图形的三视图【详解】25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺．．．．．．分别按下列要求画图(保留作图痕迹)（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高.【答案】 (1)作图见解析；（2）作图见解析.【分析】（1）根据AB=2CD，AB=BE，可知BE＝CD，再根据BE//CD，可知连接CE，CE与BD的交点F即为BD的中点，连接AF，则AF即为△ABD的BD边上的中线；（2）由（1）可知连接CE与BD交于点F，则F为BD的中点，根据三角形中位线定理可得EF//AD，EF=12 AD，则可得四边形ADFE要等腰梯形，连接AF，DE交于点O，根据等腰梯形的性质可推导得出OA=OD，再结合BA=BD可知直线BO是线段AD的垂直平分线，据此即可作出可得△ABD的AD边上的高.【详解】（1）如图AF是△ABD的BD边上的中线；（2）如图AH是△ABD的AD边上的高.【点睛】本题考查了利用无刻度的直尺．．．．．．按要求作图，结合题意认真分析图形的成因是解题的关键. 26．小丹要测量灯塔市葛西河生态公园里被湖水隔开的两个凉亭A和B之间的距离，她在A处测得凉亭B 在A的南偏东75︒方向，她从A处出发向南偏东30方向走了300米到达C处，测得凉亭B在C的东北方向．∠的度数；（1）求ABC（2）求两个凉亭A和B之间的距离(结果保留根号)．【答案】（1）60°；（2）(1502506米．【解析】（1）根据方位角的概念得出相应角的角度，再利用平行线的性质和三角形内角和进行计算即可求得答案；（2）作CD⊥AB于点D，得到两个直角三角形，再根据三角函数的定义和特殊角的三角函数值可求得AD、BD的长，相加即可求得A、B的距离．【详解】解：（1）由题意可得：∠MAB=75°，∠MAC=30°，∠NCB=45°，AM∥CN，∴∠BAC=75°−30°=45°，∠MAC=∠NAC=30°∴∠ACB=30°+45°=75°，∴∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=60°；（2）如图，作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，AD=CD=AC∙sin45°=300×2=1502，在Rt△BCD中，BD=CDtan30°=1502×33=506，∴AB=AD+BD=1502+506，答：两个凉亭A，B之间的距离为(1502+506)米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，在解决有关方位角的问题时，一般根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角不在三角形中，需要通过平行线的性质或互余的角等知识转化为所需要的角，解决第二问的关键是作CD⊥AB构造含特殊角的直角三角形．27．如图，A，B，C三点的坐标分别为A(1，0)，B(4，3)，C(5，0)，试在原图上画出以点A为位似中心，把△ABC各边长缩小为原来的一半的图形，并写出各顶点的坐标．【答案】各顶点坐标分别为A(1，0)，B′(2.5，1.5)，C′(3，0)或A(1，0)，B″(－0.5，－1.5)，C″(－1，0)．【解析】根据题意，分别从AB，AC上截取它的一半找到对应点即可．【详解】如答图所示，△AB′C′，△AB″C″即是所求的三角形(画出一种即可)．各顶点坐标分别为A(1，0)，B′(2.5，1.5)，C′(3，0)或A(1，0)，B″(－0.5，－1.5)，C″(－1，0)．【点睛】本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）173π 四个实数，任取一个数是无理数的概率为( ) A ．14 B ．12 C ．34 D ．1【答案】B【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论；【详解】∵共有4π共2种情况， ∴任取一个数是无理数的概率21=42P =； 故选B.【点睛】本题主要考查了概率公式，无理数，掌握概率公式，无理数是解题的关键.2．下列运算正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+B ．325a a a =C ．632a a a ÷=D ．235a b ab +=【答案】B【分析】根据完全平方公式、同底数幂乘法、同底数幂除法、合并同类项法则逐一进行分析判断即可．【详解】因为()2222a b a b ab +=++，所以选项A 错误； 325a a a =，所以B 选项正确；633a a a ÷=，故选项C 错误；因为2a 与3b 不是同类项，不能合并，故选项D 错误，故选B ．【点睛】本题考查了整式的运算，涉及了完全平方公式、同底数幂乘除法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．3．下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．4．遵义市脱贫攻坚工作中农村危房改造惠及百万余人，2008年以来全市累计实施农村危房改造40.37万户，其中的数据40.37万用科学记数法表示为（ ）A ．34.03710⨯B ．54.03710⨯C ．440.3710⨯D ．3403.710⨯【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：根据科学记数法的定义：40.37万=54.03710⨯故选：B.【点睛】此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定义是解决此题的关键.5． 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C 【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．【详解】∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°−50°=40°.故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键.6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2 的顶点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）【答案】A【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标即可解决．【详解】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣2）．故选：A．【点睛】本题考查了顶点式，解决本题的关键是正确理解二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.7．将分别标有“走”“向”“伟”“大”“复”“兴”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“复兴”的概率是（）A．16B．115C．18D．112【答案】B【分析】根据题意列表得出所有等情况数和两次摸出的球上的汉字是“复”“兴”的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画图如下：共有30种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“复”“兴”的有2种，则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“复兴”的概率是21 3015；故选：B．【点睛】此题考查了树状图法或列表法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；列表法适合两步完成的事件，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．函数y=ax2+1与ayx=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；ayx=位于第一、三象限，没有选项图象符合；当a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；ayx=位于第二、四象限，B选项图象符合．故选B．考点：1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用．9．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（）A．12×108B．1.2×108C．1.2×109D．0.12×109【答案】B【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】120 000 000＝1.2×108，故选：B ．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．10．一元二次方程220x x a -+=有实数解的条件( )A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a >D ．1a <【答案】B【分析】根据一元二次方程的根的判别式240b ac ∆=-≥即可得．【详解】一元二次方程220x x a -+=有实数解则2(2)410a ∆=--⨯⋅≥，即440a -≥解得1a ≤故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式20(a 0)++=≠ax bx c 有：（1）当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；（2）当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；（3）当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根． 11．某公司为调动职工工作积极性，向工会代言人提供了两个加薪方案，要求他从中选择：方案一：是12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元（第一年年薪20000元）；方案二：是6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元（第6个月末发薪水10000元）； 但不管是选哪一种方案，公司都是每半年发一次工资，如果你是工会代言人，认为哪种方案对员工更有利？（ ）A ．方案一B ．方案二C ．两种方案一样D ．工龄短的选方案一，工龄长的选方案二【答案】B【分析】根据题意分别计算出方案一和方案二的第n 年的年收入，进行大小比较，从而得出选项.【详解】解：第n 年：方案一： 12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元，第一年：20000元。

2019-2020学年浙江省宁波市海曙区九年级上册期末数学试卷题号一二三四总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列图形中，中心对称图形有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如果ab =23，那么aa+b等于()A. 32B. 25C. 53D. 353.对于二次函数y=2(x+1)(x−3)，下列说法正确的是()A. 图像的开口向下B. 当x>1时，y随x的增大而减小C. 当x<1时，y随x的增大而减小D. 图像的对称轴是直线x=−14.如图所示，已知AB//CD//EF，那么下列结论正确的是()A. ADDF =BCCEB. BCCE =DFADC. CDEF =BCBED. CDEF =ADAF5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为()A. 100°B. 110°C. 115°D. 120°6.如果直线上一点到⊙O的圆心O的距离大于⊙O的半径，那么这条直线与⊙O的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交、相切、相离都有可能7.如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120∘角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为()A. (11−2√2)米B. (11√3−2√2)米C. (11−2√3)米D. (11√3−4)米8.若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是()A. πrc+2r B. πrc+rC. πr2c+rD. πrc2+r29.在平面直角坐标系中，直线y=−√33x+1分别与x轴、y轴交于B、C点，点A沿着某条路径运动，以点A为旋转中心，将点C逆时针方向旋转90°后，刚好落在线段OB上，则点A的运动路径长为()A. √62B. √6 C. √22π D. 2√210.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为()A. 9π−9B. 9π−6√3C. 9π−18D. 9π−12√311.已知抛物线y=x2−4x+3与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使平移后点M的对应点M′落在x轴上，平移后点B的对应点B′落在y 轴上，则平移后的抛物线对应的函数表达式为()A. y=x2+2x+1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2x+1D. y=x2−2x−112.如图，边长为正整数的正方形ABCD被分成了四个小长方形且点E，F，G，H在同一直线上(点F在线段EG上)，点E，N，H，M在正方形ABCD的边上，长方形AEFM，GNCH的周长分别为6和10.则正方形ABCD的边长的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 不能确定第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.正十边形一个内角度数为______．14.如图，矩形ABCD的宽AB=5，若沿其长边对折后得到的矩形与原矩形相似，则长边BC的长为__________．15.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(−1,2)和(1,0)，且与y轴相交于负半轴(1)给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0，其中正确结论的序号是；(2)给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1.其中正确结论的序号是．16.在一个不透明的袋子里装有除颜色外其它均相同的红、蓝小球各一个，每次从袋中摸出一个小球记下颜色后再放回，摸球三次，“仅有一次摸到红球”的概率是______．17.在等腰△ABC中，AB=AC，如果cosC=1，那么tanA=______．418.(1)如图，∠AOE=∠BOE=15∘，EF//OB，EC⊥OB，若EC=2，则S△OFE=______．(2)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(−2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为______．(3)如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=3，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=2，则sin∠BFD的值为．(4)已知点A(4,y1)，B(√2,y2)，C(−2,y3)都在二次函数y=(x−2)2−1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．(5)如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．下列关于抛物线()=-+2y 2x 31有关性质的说法，正确的是（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为3x =- C ．其最大值为1 D ．当3x <时，y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】根据抛物线的表达式中系数a 的正负判断开口方向和函数的最值问题，根据开口方向和对称轴判断函数增减性.【详解】解：∵a=2>0，∴抛物线开口向上，故A 选项错误；抛物线的对称轴为直线x=3，故B 选项错误；抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值，没有最大值，故C 选项错误；因为抛物线开口向上，所以在对称轴左侧，即x<3时，y 随x 的增大而减小,故D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数图象和性质，掌握图象特征与系数之间的关系即数形结合思想是解答此题的关键. 2．如图，在正方形ABCD 中，以BC 为边作等边BPC △，延长,BP CP 分别交AD 于点,E F ，连接,BD DP 、BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论： ①12AE CF =；②135BPD ∠=︒；③~PDE DBE ∆∆；④2ED EP EB =⋅；其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】A【分析】根据等边三角形、正方形的性质求得∠ABE=30°，利用直角三角形中30°角的性质即可判断①；证得PC=CD ，利用三角形内角和定理即可求得∠PDC ，可求得∠BPD ，即可判断②；求得∠FDP=15°，∠PBD=15°，即可证明△PDE ∽△DBE ，判断③正确；利用相似三角形对应边成比例可判断④． 【详解】∵△BPC 是等边三角形， ∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD 中，∵AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴RtABE Rt DCF ≅，∴1122AE BE CF ==；故①正确； ∵PC=CD ，∠PCD=30°， ∴∠PDC=∠CPD =()1180PCD 2∠︒-=()1180302︒-︒=75°， ∴∠BPD=∠BPC+ ∠CPD =60°+75°=135°，故②正确； ∵∠PDC=75°，∴∠FDP=∠ADC -∠PDC=90°- 75°=15°， ∵∠DBA=45°，∴∠PBD=∠DBA -∠ABE =45°-30°=15°， ∴∠EDP=∠EBD ， ∵∠DEP=∠DEP ，∴△PDE ∽△DBE ，故③正确； ∵△PDE ∽△DBE ， ∴EP EDED EB=，即2ED EP EB =，故④正确； 综上：①②③④都是正确的． 故选：A ． 【点睛】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．3．方程5x 2﹣2＝﹣3x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．5、3、﹣2 B ．5、﹣3、﹣2C ．5、3、2D ．5、﹣3、2【答案】A【分析】直接利用一元二次方程中各部分的名称分析得出答案． 【详解】解：5x 1﹣1＝﹣3x 整理得：5x 1+3x ﹣1＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是：5、3、﹣1． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确认识各部分是解题关键．4．如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B 的度数是（ ）A．15°B．25°C．30°D．75°【答案】C【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．【详解】∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=∠AMD-∠A=75°-45°=30°，∴∠B=∠C=30°，故选C．5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在直径AB一侧的圆上（异于A，B两点），点E在直径AB另一侧的圆上，若∠E＝42°，∠A＝60°，则∠B＝（）A．62°B．70°C．72°D．74°【答案】C【分析】连接AC．根据圆周角定理求出∠CAB即可解决问题．【详解】解：连接AC．∵∠DAB＝60°，∠DAC＝∠E＝42°，∴∠CAB＝60°﹣42°＝18°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣18°＝72°，故选：C．【点睛】本题主要考察圆周角定理，解题关键是连接AC．利用圆周角定理求出∠CAB.6．某专卖店专营某品牌女鞋，店主对上一周中不同尺码的鞋子销售情况统计如表：该店主决定本周进货时，增加一些37码的女鞋，影响该店主决策的统计量是（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数【答案】C【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：C．【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.7．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（）A．310B．925C．920D．35【答案】A【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：【详解】列表如下：绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）（绿，绿）﹣﹣﹣∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴63P 2010==两次红， 故选A.8．现有两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3，从每组牌中各摸出一张牌．两张牌的牌面数字之和等于4的概率是（ ） A ．29B ．13C ．59D ．23【答案】B【分析】画树状图列出所有情况，看数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】画树状图得：则共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和等于4的有3种结果， ∴两张牌的牌面数字之和等于4的概率为 39＝13， 故选：B ． 【点睛】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果． 9．对于反比例函数3y x=，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，﹣3） B ．图象在第二、四象限 C ．x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．x ＜0时，y 随x 增大而减小【答案】D【解析】试题分析：根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析： A 、∵反比例函数3y x=，∴当x=1时，y=3≠﹣3，故图象不经过点（1，﹣3），故此选项错误； B 、∵k ＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误； C 、∵k ＞0，∴x ＞0时，y 随x 的增大而减小，故此选项错误； D 、∵k ＞0，∴x ＜0时，y 随x 增大而减小，故此选项正确． 故选D ．10．如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a的值为（ ） A ．3 B ．﹣3 C ．13 D ．﹣13【答案】B 【分析】【详解】∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根， ∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a ．∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0， 即a+1=0，解得，a=﹣1． 故选B11．如图，过反比例函数()0ky x x=>的图象上一点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接AO ，若2AOB S ∆=，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据2AOB S ∆=，利用反比例函数系数k 的几何意义即可求出k 值，再根据函数在第一象限可确定k 的符号.【详解】解：由AB x ⊥轴于点B ，2AOB S ∆=，得到122AOB S k ∆== 又因图象过第一象限, 122AOB S k ∆==，解得4k = 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义. 12．若点()()1122,,x y x y 、都是反比例函数6y x=-图像上的点，并且120y y <<，则下列结论中正确的是（ ） A ．12x x >B ．12x x <C ．y 随x 的增大而减小D ．两点有可能在同一象限【答案】A【分析】根据反比例函数的图象及性质和比例系数的关系，即可判断C ，然后根据120y y <<即可判断两点所在的象限，从而判断D ，然后判断出两点所在的象限即可判断B 和A ．【详解】解:∵6y x =-中,-6＜0, ∴反比例函数6y x=-的图象在二、四象限，在每一象限，y 随x 的增大而增大，故C 错误；∵120y y <<∴点()11,x y 在第四象限，点()22,x y 在第二象限，故D 错误； ∴12x x >，故B 错误，A 正确． 故选A ． 【点睛】此题考查的是反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题） 13．已知x-2y=3，试求9-4x+8y=_______ 【答案】-3【分析】将代数式变形为9-4（x-2y ），再代入已知值可得． 【详解】因为x-2y=3，所以9-4x+8y=9-4（x-2y ）=9-4×3=-3 故答案为：-3 【点睛】考核知识点：求整式的值．利用整体代入法是解题的关键． 14．点P(4，﹣6)关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 (﹣4，6)【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】点P （4，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，6）， 故答案为：（﹣4，6）． 【点睛】本题考查了一点关于原点对称的问题，横纵坐标取相反数就是对称点的坐标． 15．已知：等边△ABC ，点P 是直线BC 上一点，且PC:BC=1:4,则tan ∠APB=_______，或【分析】过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC=2a ，，PC=a ，分类讨论：当P 在BC 的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a ；当P 点在线段BC 上，即在P′的位置，则DP′=DC -CP′=a ，然后分别利用正切的定义求解即可．【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D，设等边△ABC的边长为4a，则DC=2a，AD=23a，PC=a，当P在BC的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a，在Rt△ADP中，tan∠APD=2323 AD aDP==；当P点在线段BC上，即在P′的位置，则DP′=DC-CP′=a，在Rt△ADP′中，tan∠AP′D=2323 AD aDP=='．故答案为：233或23．【点睛】本题考查解直角三角形；等边三角形的性质．16．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=______．【答案】2【分析】根据旋转的性质，可得∠BAC＝∠PAP′＝90°，AP＝AP′，故△APP′是等腰直角三角形，由勾股定理得PP′的大小．【详解】解：根据旋转的性质，可得∠BAC＝∠PAP′＝90°，AP＝AP′，∴△APP′是等腰直角三角形，由勾股定理得PP′2222'3332AP AP．故答案为32【点睛】本题考查了图形的旋转变化，旋转得到的图形与原图形全等，解答时要分清旋转角和对应线段．17．若a ，b 是一元二次方程22510x x -+=的两根,则11a b+=________. 【答案】25【分析】将11a b+通分变形为a b ab +，然后利用根与系数的关系即可求解. 【详解】∵a 、b 是一元二次方程22510x x -+=的两根 ∴25+=a b ，1ab = ∴11=25++=a ba b ab故答案为：25. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握12bx x a +=-，12c x x a=是解题的关键. 18．如果关于x 的方程x 2-5x + a = 0有两个相等的实数根，那么a=_____. 【答案】254【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于a 的等式，求出a 的值．【详解】∵关于x 的方程x 2-5x+a=0有两个相等的实数根， ∴△=25-4a=0，即a=254． 故答案为：254. 【点睛】一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知AD•AC ＝AB•AE ，∠DAE ＝∠BAC ．求证：△DAB ∽△EAC ．【答案】证明见解析【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB ∽△EAC ．【详解】证明：∵AD•AC＝AB•AE，∴AD AB AE AC=，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC．【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，正确理解三角形相似的判定定理是本题解题的关键．20．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）两辆车中恰有一辆车向左转；（2）两辆车行驶方向相同．【答案】（1）49；（2）13【分析】此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．【详解】解：列表得：共有9种等可能结果，其中，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况；两辆车行驶方向相同有3种情况（1）P（两辆车中恰有一辆车向左转）=49；（2）P（两辆车行驶方向相同）=31 93 =．【点睛】列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概率=所求情况数与总情况数之比．21．学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命安全文明出行”主题活动启动仪式，班主任决定从4名同学(小明、小山、小月、小玉)中通过抽签的方式确定2名同学去参加该活动．抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．（1）“小刚被抽中”是___事件，“小明被抽中”是____事件(填“不可能”、“必然”、“随机)，第一次抽取卡片抽中是小玉的概率是______；（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．【答案】（1）不可能；随机；14；（2）12．【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】(1) 小刚不在班主任决定的4名同学(小明、小山、小月、小玉)之中，所以“小刚被抽中”是不可能事件；“小明被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片有4种等可能结果，其中小玉被抽中的有1种结果，所以第一次抽取卡片抽中是小玉的概率是14；故答案为：不可能、随机、14；(2)解：A表示小明，B表示小山，C表示小月，D表示小玉，则画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到C有6种，∴P(抽中小月)=61 122．【点睛】本题主要考查了树状图或列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．解一元二次方程：x2+4x﹣5＝1．【答案】x2＝﹣5，x2＝2．【分析】利用因式分解法解方程．【详解】(x+5)(x﹣2)＝2，x+5＝2或x﹣2＝2，所以x2＝﹣5，x2＝2．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．23．《厉害了，我的国》是在央视财经频道的纪录片《辉煌中国》的基础上改编而成的电影记录了过去五年以来中国桥、中国路、中国车、中国港、中国网等超级工程的珍贵影像．小明和小红都想去观看这部电影，但是只有一-张电影票，于是他们决定采用摸球的办法决定谁去看电影，规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1,2,3,4的四个球(除编号外都相同)，小明从中随机摸出一个球，记下数字后放回，小红再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于5,则小明获得电影票，若两次数字之和小于5,则小红获得电影票．（1）请用列表或画树状图的方法表示出两数和的所有可能的结果；（2）分别求出小明和小红获得电影票的概率．【答案】（1）答案见解析；（2）小明获得电影票的概率38；小红获得电影粟的概率38．【分析】（1）利用树状图展示所有16种等可能的等可能的结果数；（2）找出次数字之和大于5的结果数和两次数字之和小于5的结果数，然后根据概率公式计算即可．【详解】解：（1）画树状图为：两个数字之和有2、3、4、5、3、4、5、6、4、5、6、7、5、6、7、8这16种等可能的结果数；（2）由树状图知，两个数字之和有16种等可能的结果数，两次数字之和大于5的结果有6种，∴小明获得电影票的概率63 168 ==两次数字之和小于5的结果有6种，∴小红获得电影粟的概率63 168 ==．综上，小明获得电影票的概率38，小红获得电影粟的概率38．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．24．如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．请写出一对相似三角形，并加以证明．(图中不添加字母和线段)【答案】△BPQ∽△CDP，证明见解析.【分析】根据正方形性质得到角的关系，从而根据判定两三角形相似的方法证明△BPQ∽△CDP.【详解】△BPQ∽△CDP，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠QPD＝90°，∴∠QPB+∠BQP＝90°，∠QPB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠PQB，∴△BPQ∽△CDP．【点睛】此题重点考察学生对两三角形相似的判定的理解，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键. 25．为实现“先富带动后富，从而达到共同富裕”，某县为做好“精准扶贫”，2017年投入资金1000万元用于教育扶贫，以后投入资金逐年增加，2019年投入资金达到1440万元．（1）从2017年到2019年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率是多少？（2）假设保持这个年平均增长率不变，请预测一下2020年该县将投入多少资金用于教育扶贫？【答案】（1）20%；（2）1728万元．【分析】（1）设年平均增长率为x，根据：2017年投入资金×（1+增长率）2＝2019年投入资金，列出方程求解可得；（2）根据求得的增长率代入求得2020年的投入即可．【详解】解：（1）设该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1000（1+x）2＝1440，解得：x＝0.2或x＝﹣2.2（舍），答：从2017年到2019年，该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为20%；（2）2020年投入的教育扶贫资金为1440×（1+20%）＝1728万元．【点睛】本题考查的知识点是用一元二次方程求增长率问题，根据题目找出等量关系式是解此题的关键.26．如图，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=在第一象限内交于A 、B 两点，已知()1,A m ，()2,1B .（1）1k =__________，2k =____________________,b =____________________.（2）直接写出不等式21y y >的解集；（3）设点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ,E 是y 轴上一点，求PED ∆的面积S 的最大值.【答案】（1）11k =-，22k =，3b =.（2）01x <<或2x >.（3）当32x =时，S 有最大值，最大值为98【分析】（1）先求出反比例函数解析式，进而求出点A 坐标，最后用待定系数法，即可得出结论； （2）直接利用函数图象得出结论；（3）先设出点P 坐标，进而表示出△PED 的面积，即可得出结论．【详解】解：（1）∵点B （2，1）在双曲线22k y x=上， ∴k 2＝2×1＝2， ∴双曲线的解析式为y 2＝2x， ∵A （1，m ）在双曲线y 2＝2x 上， ∴m ＝1×2＝2，∴A （1，2），∵直线AB ：y 1＝k 1x ＋b 过A （1，2）、B （2，1）两点，∴1111221k b k b ⎧⎨⎩＋＝＋＝， ∴1113k b -⎧⎨⎩＝＝， ∴直线AB 的解析式为：y ＝−x ＋3；故11k =-，22k =，3b =故答案为：-1；2；3；（2）根据函数图象得，不等式y 2＞y 1的解集为0＜x ＜1或x ＞2；（3）设点(,3)P x x -+，且12x ≤≤， 则22113139222228S PD OD x x x ⎛⎫=⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭ 102-< ∴当32x =时，S 有最大值，最大值为98 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法，三角形的面积公式，求出直线AB 的解析式是解本题的关键．27．已知：二次函数y =x 2+bx +c 经过原点，且当x =2时函数有最小值；直线AC 解析式为y =kx -4，且与抛物线相交于B 、C ．（1）求二次函数解析式；（2）若S △AOB ∶S △BOC =1：3，求直线AC 的解析式；（3）在（2）的条件下，点E 为线段BC 上一动点（不与B 、C 重合），过E 作x 轴的垂线交抛物线于F 、交x 轴于G ，是否存在点E ，使△BEF 和△CGE 相似？若存在，请求出所有点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =x 2-4x ；（2）直线AC 的解析式为y =x -4；（1）存在，E 点坐标为E (1．-1)或E (2，-2 ) ．【分析】（1）根据二次函数y=x 2+bx+c 经过原点可知c=0，当x=2时函数有最小值可知对称轴是x=2，故可求出b ，即可求解；（2）连接OB ，OC ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，过点B 作BE ⊥y 轴于E ，根据13AOBCOB S S =得到13AB BC =，14AB AC =，由EB ∥DC ，对应线段成比例得到14BE AB CD AC ==，再联立y=kx-4与y=x 2-4x 得到方程 kx-4=x 2-4x ，即x 2-（k+4）x+4=0，求出x 1,x 2，根据x 1,x 2之间的关系得到关于k 的方程即可求解；（1）根据（1）（2）求出A,B,C 的坐标，设E （m ，m-4）（1＜m ＜4）则G （m ，0）、F （m ，m 2-4m ），根据题意分∠EFB=90°和∠EBF=90°，分别找到图形特点进行列式求解．【详解】解：（1）∵二次函数y=x 2+bx+c 经过原点，∴c=0∵当x=2时函数有最小值 ∴221b -=⨯， ∴b=-4，c=0， ∴y=x 2-4x ；（2）如图，连接OB ，OC ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，过点B 作BE ⊥y 轴于E ，∵13AOB COB S S= ∴13AB BC = ∴14AB AC = ∵EB ∥DC ∴14BE AB CD AC == ∵y=kx-4交y=x 2-4x 于B 、C∴kx-4=x 2-4x ，即x 2-（k+4）x+4=0∴248k k k x +++=，或248k k k x +-+=∵x B ＜x C∴EB=x B 248k k k +-+DC=x C 248k k k +++∴4•2482k k k +-+2482k k k ++ 解得 k=-9（不符题意，舍去）或k=1∴k=1∴直线AC 的解析式为y=x-4；（1）存在．理由如下：由题意得∠EGC=90°，∵直线AC的解析式为y=x-4 ∴A(0，-4 ) ，C（4，0）联立两函数得244y x xy x⎧=-⎨=-⎩，解得4xy=⎧⎨=⎩或13xy=⎧⎨=-⎩∴B（1，-1）设E（m，m-4）（1＜m＜4）则G（m，0）、F（m，m2-4m）①如图，当∠EFB=90°，即CG//BF时，△BFE∽△CGE．此时F点纵坐标与B点纵坐标相等．∴F（m，-1）即m2-4m=-1解得m=1（舍去）或m=1∴F（1，-1）故此时E（1，-1）②如图当∠EBF=90°，△FBE∽△CGE∵C（4，0），A(0 ，4 )∴OA=OC∴∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE过B点做BH⊥EF，则H（m,-1）∴BH=m-1又∵∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE∴△BEF是等腰直角三角形，又BH⊥EF∴EH=HF，EF=2BH∴(m-4)- (m2-4m) =2(m-1)解得m1=1（舍去）m2=2∴E(2,-2)综上，E点坐标为E(1.-1)或E(2,-2)．【点睛】此题主要考查二次函数的图像及几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例、相似三角形及等腰三角形的性质．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是两个小正方形， 故选:D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．2．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】B【分析】根据题意得出圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥侧面积公式求出即可．【详解】依题意知母线长为：2，底面半径r=1，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误． 3．在平面直角坐标系中，将()1,4A -关于x 轴的对称点B 绕原点逆时针旋转90︒得到B '，则点B '的坐标是（ ）A ．()1,4--B ．()4,1-C ．()41-,D ．()4,1-- 【答案】C【分析】先求出点B 的坐标，再根据旋转图形的性质求得点B '的坐标【详解】由题意，()1,4A -关于x 轴的对称点B 的坐标为（-1，-4），如图所示，点B 绕原点逆时针旋转90︒得到B '，过点B’作x 轴的垂线，垂足为点C则OC=4，B’C=1，所以点B’的坐标为()41-,故答案选：C.【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的旋转，把握旋转图形的性质是解题的关键.4．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x =【答案】D【分析】先将方程左边提公因式x ，解方程即可得答案．【详解】x 2﹣3x ＝0，x （x ﹣3）＝0，x 1＝0，x 2＝3，故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．5．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）．A ．众数是6吨B ．平均数是5吨C ．中位数是5吨D ．方差是【答案】C 【解析】试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，故选C考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数6．如图，抛物线的图像交x 轴于点(20)A -，和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB OC =，下列结论错误的是（ ）A ．02b a -<B ．0a b c +>C ．420a b c -+=D ．1ac b =-【答案】B【分析】A 根据对称轴的位置即可判断A 正确；图象开口方向，与y 轴的交点位置及对称轴位置可得0a >，0c <，0b >即可判断B 错误；把点A 坐标代入抛物线的解析式即可判断C ；把B 点坐标(),0c -代入抛物线的解析式即可判断D ； 【详解】解：观察图象可知对称性02b x a=-<，故结论A 正确， 由图象可知0a >，0c <，0b >， ∴0a b c+<，故结论B 错误； 抛物线经过(2,0)A -，420a b c ∴-+=，故结论C 正确，OB OC =，OB c ∴=-，∴点B 坐标为(,0)c -，20ac bc c ∴-+=，10ac b ∴-+=，1ac b ∴=-，故结论D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于(0,)c ；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△240b ac =->时，抛物线与x 轴有2个交点；△240b ac =-=时，抛物线与x 轴有1个交点；△240b ac =-<时，抛物线与x 轴没有交点．7．若关于x 的方程2220x x a -+-=有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）A ．-1B ．-3C ．3D ．6 【答案】C【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求解即可．【详解】∵关于x 的方程2220x x a -+-=有两个相等的实数根，∴()()22424120b ac a =-=--⨯⨯-=，解得：3a =．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（ ）A ．12B ．14C ．1D ．34【答案】A【解析】试题分析：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12． 故选A ．考点：概率公式．9．已知1x =是一元二次方程()21210m x x --+=的一个根，则m 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】D 【分析】直接把x=1代入方程得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：把x=1代入()21210m x x --+= 得m-1-1+1=0，故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是（ ）A ．3.2B ．2C ．1.2D ．1【答案】C 【分析】先依据勾股定理求得AB 的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC ，故此点P 在以F 为圆心，以1为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP ⊥AB 时，点P 到AB 的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】如图所示：当PE ∥AB ．在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴2268+=10，由翻折的性质可知：PF=FC=1，∠FPE=∠C=90°．∵PE ∥AB ，∴∠PDB=90°．由垂线段最短可知此时FD 有最小值．又∵FP 为定值，∴PD 有最小值．又∵∠A=∠A ，∠ACB=∠ADF ，∴△AFD ∽△ABC ． ∴AF DF AB BC =，即4108DF =，解得：DF=2.1． ∴PD=DF-FP=2．1-1=1.1．故选：C ．本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题 11．若反比例函数y=k x （k≠0）的图象经过点P （﹣2，3），则k 的值为（ ） A ．－2B ．12C ．6D ．－6 【答案】D【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．【详解】∵反比例函数y=k x （k≠0）的图象经过点（-2，3）， ∴k=-2×3=-1．故选：D ．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数y=k x（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．12．抛物线y ＝x 2﹣4x+2不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【分析】求出抛物线的图象和x 轴、y 轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．【详解】解：y ＝x 2﹣4x+4﹣2＝（x ﹣2）2﹣2，即抛物线的顶点坐标是（2，﹣2），在第四象限；当y ＝0时，x 2﹣4x+2＝0，解得：x ＝2，即与x 轴的交点坐标是（，0）和（2，0），都在x 轴的正半轴上，a ＝1＞0，抛物线的图象的开口向上，与y 轴的交点坐标是（0，2），即抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限，故选：C ．【点睛】本题考查了求函数图像与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x 轴交点坐标就要令y=0、求与y 轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式再求顶点坐标二、填空题（本题包括8个小题）13．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则一元二次方程220x x m --+=的解为：_____.。

浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（）A．4：1B．3：1C．2：1D．：12．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为（）A．30°B．50°C．20°D．40°4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm，则此圆弧长为（）A．πcm B．2πcm C．4πcm D．6πcm5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值为（）A．B．C．D．6．（4分）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°7．（4分）把抛物线y＝（+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是（）A．y＝（﹣2）2+1B．y＝（+2）2+1C．y＝（+4）2+1D．y＝（+4）2+58．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（）A．B．C．D．10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（）①sin∠BAC＝a，②cos∠BAC＝b，③tan∠BAC＝．A．0个B．1个C．2个D．3个11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（）A．B．C．D．12．（4分）定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣2+2，﹣2}的最大值为（）A．2﹣2B．+1C．1﹣D．2+2二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是．14．（4分）若线段c是线段a、b的比例中项，且a＝4厘米，b＝25厘米，则c＝厘米．15．（4分）已知△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是．16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为．17．（4分）如图，⊙A的圆心A在⊙O上，O的弦PQ与⊙A相切于点B，若⊙O的直径AC＝10，AB＝2，则AP•AQ的值为．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为射线BC上一动点（不与C重合），△CDE的外接圆交AE于P，若CP＝CD，则AP的值为．三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题14分，共78分）19．（6分）（1）tan60°﹣cos45°；（2）若＝，求的值．20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin E＝，求AB：EF的值．24．（10分）我们定义：三边之比为1：：的三角形叫神奇三角形．（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与的关系式为R＝500+30，P＝170﹣2，设她家每日获得的利润为y元．（1）销售只蛋糕的总售价为元（用含的代数式表示），并求y与的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（+1）（﹣3）与轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求⊙P的半径；（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（）A．4：1B．3：1C．2：1D．：1【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：若两个相似三角形的面积比为2：1，则它们的相似比为：1．故选：D．【点评】此题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似【分析】直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水，是必然事件，故此选项正确；B、任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1，是随机事件，故此选项错误；C、在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是随机事件，故此选项错误；D、在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似，是随机事件，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为（）A．30°B．50°C．20°D．40°【分析】根据旋转的性质可得∠BAB'＝∠CAC'＝50°，即可求∠∠B′AC的度数．【解答】解：∵旋转∴∠BAB'＝50°，且∠BAC＝30°∴∠B'AC＝20°故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm，则此圆弧长为（）A．πcm B．2πcm C．4πcm D．6πcm【分析】根据弧长公式l＝进行解答．【解答】解：此圆弧长为l＝＝cm，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值为（）A．B．C．D．【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．6．（4分）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°【分析】连接OC，由的度数等于120°知∠AOC＝60°，根据OC＝OA可得△AOC是等边三角形，从而知∠ACO＝60°，再根据PC切⊙O于C知∠PCO＝90°，据此可得答案．【解答】解：如图，连接OC，∵的度数等于120°，∴∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵PC切⊙O于C，∴∠PCO＝90°，∴∠ACP＝30°，故选：C．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质．7．（4分）把抛物线y＝（+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是（）A．y＝（﹣2）2+1B．y＝（+2）2+1C．y＝（+4）2+1D．y＝（+4）2+5【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：把抛物线y＝（+1）2+3的图象先向右平移3个单位，得到：y＝（﹣2）2+3再向下平移2个单位，所得的图象解析式是：y＝（﹣2）2+1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°【分析】连接OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠BPD的范围，即可解答．【解答】解：连接OD、OB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB＝180°﹣∠DAB＝40°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠DCB＝80°，∴40°≤∠BPD≤80°，∴∠BPD不可能为90°，故选：D．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（）A．B．C．D．【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠EAF＝∠FAB，在Rt△ADE中，AE＝2DE，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠DAE＝30°，进而解答即可．【解答】解：∵纸片ABCD为矩形，∴AB＝CD，∵矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，∴AE＝AB，∠EAF＝∠FAB，而E为DC的中点，∴AE＝2DE，在Rt△ADE中，AE＝2DE，∴∠EAD＝30°，∴sin∠EAD＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（）①sin∠BAC＝a，②cos∠BAC＝b，③tan∠BAC＝．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据题意和图形可以得到∠BDC的三角函数值，然后根据圆周角相等，即可得到∠BAC 的三角函数值，即可解答本题．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC，BC＝a厘米，CD＝b厘米，⊙O的直径为1厘米，∴sin∠BDC＝a，cos∠BDC＝b，tan∠BDC＝，∴sin∠BAC＝a，故①正确，cos∠BAC＝b，故②正确，tan∠BAC＝，故③错误，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图，利用切线的性质得OA＝OB＝r，根据切线长定理得到∠APO＝∠BPO＝30°，则AP＝OA＝r，再利用四边形内角和计算出∠AOB＝120°，接着利用扇形面积公式得到S＝（﹣π）r2（r＞0），然后根据解析式对各选项进行判断．【解答】解：过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图，则OA＝OB＝r，∠APO＝∠BPO＝30°，∴AP＝OA＝r，∵∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣α＝180°﹣60°＝120°，∴S＝S四边形AOBP ﹣S扇形AOB＝2×r•r﹣＝（﹣π）r2（r＞0），故选：C．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了二次函数的图象．12．（4分）定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣2+2，﹣2}的最大值为（）A．2﹣2B．+1C．1﹣D．2+2【分析】根据题意和题目中的新定义，利用分类讨论的方法，可以求得min{﹣2+2，﹣2}的最大值，本题得以解决．【解答】解：当﹣2+2≥﹣2时，解得，1﹣≤≤1+，∴当1﹣≤≤1+时，min {﹣2+2，﹣2}＝﹣2，此时，当＝1﹣时，﹣2取得最大值﹣2+2；当﹣2+2≤﹣2时，解得，≤1﹣或≥1+，∴当≤1﹣或≥1+时，min {﹣2+2，﹣2}＝﹣2+2，此时，当＝1﹣时，﹣2+2取得最大值﹣2+2；由上可得，min {﹣2+2，﹣2}的最大值为2﹣2，故选：A ．【点评】本题考查二次函数的性质、新定义、实数大小比较，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答． 二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是．【分析】用白球的个数除以球的总个数即可． 【解答】解：∵箱子里有7个白球、3个红球，∴从中随机摸出一球是白球的概率是＝．故答案为．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．（4分）若线段c 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝4厘米，b ＝25厘米，则c ＝ 10 厘米． 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c 2＝4×25，解得c ＝±10（线段是正数，负值舍去）， ∴c ＝10cm ， 故答案为：10【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．15．（4分）已知△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，r 为半径画圆，使得点A 在⊙C 内，点B 在⊙C 外，则半径r 的取值范围是 3＜r ＜4 ．【分析】根据勾股定理得到AC ＝＝5，点A 在⊙C 外，点B 在⊙C 内，则r 的取值范围是3＜r ＜4．【解答】解：∵△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AC ＝5，∴r的取值范围是3＜r＜4．故答案为：3＜r＜4【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．判断这三点与圆的位置关系是解决本题的关键．16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为2．【分析】如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF＝AE，BD＝BE问题即可解决．【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；其中AC＝8，BC＝6；连接OD、OF；则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF；∵∠C＝90°，∴四边形ODCF为正方形，∴CD＝CF＝R（R为⊙O的半径）；由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝36+64＝100，∴AB＝10；由切线的性质定理的：AF＝AE，BD＝BE；∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4，∴R＝2，它的内切圆半径为2．【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理分析、判断、解答．17．（4分）如图，⊙A的圆心A在⊙O上，O的弦PQ与⊙A相切于点B，若⊙O的直径AC＝10，AB＝2，则AP•AQ的值为20．【分析】连接QC，根据圆周角定理、切线的性质定理得到∠ABP＝∠AQC，证明△ABP∽△AQC，根据相似三角形的性质定理计算即可．【解答】解：连接QC，∵PQ与⊙A相切于点B，∴∠ABP＝90°，∵AC为⊙O的直径，∴∠AQC＝90°，∴∠ABP＝∠AQC，又∠APB＝∠ACQ，∴△ABP∽△AQC，∴＝，∴AP•AQ＝AB•AC＝20，故答案为：20．【点评】本题考查的是圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为射线BC上一动点（不与C重合），△CDE的外接圆交AE于P，若CP＝CD，则AP的值为．【分析】连接PD，如图，利用圆周角定理证明∠EPD＝90°，∠CDP＝∠CED，再证明∠AEB＝∠CED，则可判断△ABE≌△DCE，所以BE＝CE＝BC＝3，再利用勾股定理计算出AE，然后证明Rt△ADP∽Rt△EAB，从而利用相似比可计算出AP的长．【解答】解：连接PD，如图，∵∠ECD＝90°，∴DE为直径∴∠EPD＝90°，∵CP＝CD，∴∠CDP＝∠CED，∵∠AEB＝∠CDP，∴∠AEB＝∠CED，∵AB＝CD，∠B＝∠ECD，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝CE＝BC＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝5，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∴Rt△ADP∽Rt△EAB，∴＝，即＝，∴AP＝．故答案为．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了矩形的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题14分，共78分）19．（6分）（1）tan60°﹣cos45°；（2）若＝，求的值．【分析】（1）将三角函数值代入计算可得；（2）由＝知y＝3，代入计算可得．【解答】解：（1）原式＝×﹣×＝3﹣1＝2；（2）∵＝，∴y＝3，则原式＝＝．【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握实数的运算与比例的基本性质．20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．【分析】（1）根据概率公式直接填即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；（2）画树状图如右图：结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光的概率是．【点评】本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，主要考查概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可；【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．∵的度数为120°，AO＝BO，∴∠BOH＝×120°＝60°，∴AH＝BH＝，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，∴OB＝2，即圆洞门⊙O的半径为2；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．∵Rt△BOH中，OH＝1，∵EH＝，易证四边形OMEH是矩形，∴OM＝EH＝，ME＝OH＝1，在Rt△OMC中，CM＝＝，∴CE＝ME+CM＝1+＝，∴立柱CE的长度为．【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．【分析】作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图，设CN＝，在Rt△BCE中利用正切定义得到BN＝CN＝，在Rt△ACN中，利用∠A的正切得到＝tan30°＝，解得＝700+700，然后计算CN+MN即可．【解答】解：作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图，则MN＝600，AB＝1400，∠NAC＝30°，∠NBC＝45°，设CN＝，在Rt△BCE中，∵tan∠NBC＝tan45°＝，∴BN＝CN＝，在Rt△ACN中，tan∠NAC＝，∴＝tan30°＝，解得＝700+700，∴CM＝CN+MN＝700+700+600＝700+1300．答：海底C点处距离海面DF的深度为（700+1300）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin E＝，求AB：EF的值．【分析】（1）先判断出∠CBA为直角，再判断出∠F为直角，进而得出AB与EF平行，再由D为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，即可得出结论；（2）根据角E的正弦值，设出OD＝OC＝OB＝OA＝5，则得出CA＝10，CE＝13，进而得出CE ＝18，最后判断出△ABC∽△ECF即可得出结论．【解答】解：（1）直线EF与圆O相切，理由为：连接OD，如图所示：∵AC为圆O的直径，∴∠CBA＝90°，又∵∠F＝90°，∴∠CBA＝∠F＝90°，∴AB∥EF，∴∠AMO＝∠EDO，又∵D为的中点，∴＝，∴OD⊥AB，∴∠AMO＝90°，∴∠EDO＝90°，∵EF过半径OD的外端，则EF为圆O的切线，（2）在Rt△ODE中，sin E＝＝，设OD＝OC＝OA＝5，∴CA＝10，OE＝13，∴CE＝18，∵EF∥AB，∴△ABC∽△ECF，∴＝＝【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．24．（10分）我们定义：三边之比为1：：的三角形叫神奇三角形．（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．【分析】（1）利用勾股定理分别计算出BC、AB、AC的长度，计算出三边的比例可得答案；（2）根据相似三角形作图可得．【解答】解：（1）由勾股定理得BC＝＝、AB＝2、AC＝＝，∴BC：AB：AC＝：2：＝1：：，∴△ABC是神奇三角形，∠ABC＝135°；（2）如图所示：【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理与相似三角形的定义．25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与的关系式为R＝500+30，P＝170﹣2，设她家每日获得的利润为y元．（1）销售只蛋糕的总售价为（﹣22+170）元（用含的代数式表示），并求y与的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？【分析】（1）利用总售价＝销售单价×销售数量可得，再根据每日利润＝总售价﹣做只蛋糕的成本可得y关于的解析式；（2）求出y＝1500时的值即可得；（3）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）销售只蛋糕的总售价为（170﹣2）＝﹣22+170（元），根据题意，得：y＝（﹣22+170）﹣（500+30）＝﹣22+140﹣500，故答案为：（﹣22+170）；（2）当y＝1500时，得：﹣22+140﹣500＝1500，解得：1＝20、2＝50，∵≤40，∴＝20，即当每日做20只蛋糕时，每日获得的利润为1500元；（3）y＝﹣22+140﹣500＝﹣2（﹣35）2+1950，∵a＝﹣2＜0，∴当＝35时，y取得最大值，最大值为1950，答：当每日做35只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是1950元．【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关系销售收入＝售价×数量的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（+1）（﹣3）与轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求⊙P的半径；（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．【分析】（1）分别代入y＝0、＝0求出与之对应的、y的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；（2）连接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP的值，此题得解；（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，利用勾股定理可求出y值，进而可得出：当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，根据旋转的性质可找出点C′的坐标及∠AC′O′＝45°，进而可找出线段C′O′所在直线的解析式，由点E在CO上可得出点F在C′O′上，过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F 为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时OF的长，此题得解．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣（+1）（﹣3）＝0，解得：1＝﹣1，2＝3，∴点B的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（3，0）；当＝0时，y＝﹣（0+1）×（0﹣3）＝3，∴点C的坐标为（0，3）；∵抛物线与轴交于点（﹣1，0）、（3，0），∴抛物线的对称轴为直线＝1．（2）连接CP、BP，如图1所示．在Rt△BOC中，BC＝＝．∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，∴CP＝BP＝BC＝，∴⊙P的半径为．（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，BD2+CD2＝BC2，∴[（﹣1﹣1）2+（0﹣y）2]+[（0﹣1）2+（3﹣y）2]＝10，整理，得：y2﹣3y+2＝0，解得：y1＝1，y2＝2，∴当1＜y＜2时，∠BDC＞90°．（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，如图2所示．∵AC＝＝3，∠ACO＝45°，∴点C′的坐标为（3﹣3，0），∠AC′O′＝45°，∴线段C′O′所在直线的解析式为y＝﹣+3﹣3．∵点E在线段CO上，∴点F在线段C′O′上．过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值．∵△OC′F为等腰直角三角形，∴OF＝OC′＝（3﹣3）＝3﹣．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；（2）利用圆周角定理找出∠BPC＝90°；（3）利用极限值法求出点D纵坐标；（4）利用点到直线之间垂直线段最短确定点F的位置．。

2023-2024学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）下列事件中属于不可能事件的是（ ）A．投掷一枚骰子，朝上的点数为3B．13个人中有两个人生日在同一个月份C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球D．两点之间，线段最短2．（3分）如图，在小孔成像实验中，已知燃烧的蜡烛距小孔15厘米，光屏在距离小孔45厘米处，测得蜡烛的火焰高度为2厘米，则光屏上火焰所成像的高度为（ ）A．4厘米B．6厘米C．8厘米D．10厘米3．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5的顶点坐标是（ ）A．（﹣3，5）B．（3，5）C．（5，﹣3）D．（5，3）4．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，若DE：BC＝1：3，则S△AED：S△BCA 的值为（ ）A．B．C．D．5．（3分）如图，某滑雪场有一坡角为α的滑雪道，滑雪道AC的长为300m，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）A．300cosαm B．300sinαm C．D．6．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，A过点C作半圆O的切线交OB延长线于点E，如果∠AEC＝40°，则∠CAE的度数为（ ）A．50°B．30°C．25°D．20°7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则∠EDC的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．70°8．（3分）如图，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与x轴交于AB两点，Rt△ABC的顶点C在抛物线对称轴上，P 为AB上一点，且AP＝2，则tan∠ACP的值为（ ）A．B．C．D．9．（3分）已知点（1，y1），（1﹣a，y2），（1﹣2a，y3）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，且当x＝0和x＝2时，函数值相等，则下列说法不可能成立的是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．该函数对称轴为x＝110．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝5cm，AB＝12cm，点P从C点出发沿对角线AC以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿AB以2cm/s的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当∠QPB＝2∠CBP时，t的值为（ ）A．2s B．C．s D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若4x＝3y，则x：y＝ ．12．（4分）袋中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 ．13．（4分）如图，把两张宽度都是5cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则BC长为 ．14．（4分）如图，⊙O半径为3cm，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至点E，若∠DCE＝60°，则的长是 cm．15．（4分）当﹣1≤x≤2，二次函数y＝﹣x2+2x+3函数值的取值范围是 ．16．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，且AC＝2，tan∠ABC＝，D在上一点，过点D 作AB的垂线交BC于点E，连接AD交BC于点F，若△DEF是以EF为腰的等腰三角形，则BF的长为 ．三、解答题（第17、18题每题6分，第19，20，21，22题每题8分，第23题10分，第24题12分，共66分）17．（6分）计算：cos60°﹣2sin245°+3tan230°．18．（6分）如图是一个转盘，转盘被等分成三块，分别标注数字“1”、“2”、“3”（1）直接写出转动转盘一次，指针指向奇数的概率是 ；（2）小刚与小亮一起玩转盘游戏：两人各转一次转盘，若两次指针指的数字均为奇数，则小刚获胜；若两次指针指的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则小亮获胜，问该游戏对双方公平吗？请借用树状图或列表法，计算说明．19．（8分）图①、图②都是6×6的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹．（1）在图①中，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍；（2）在图②中，在线段AC上作点D，使得AD：CD＝2：3．20．（8分）如图是某遮阳伞的侧面示意图．已知支架AB长为3.6米，且垂直于地面，悬托架AE＝DE＝1米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF＝3米．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF 始终垂直，设入射角∠DGB＝α．（1）试说明∠ADE与光线的入射角α相等；（2）某一时刻测得BD长为2米，求阴影GH的长度．21．（8分）某宾馆有120间标准房，当标准房价为100元，每天都客满．十一国庆期间，为增大营业额，宾馆老板决定进行适当的提价．根据市场调查，单间标准房房价在100～150元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．设标准房价为x元，标准房日入住量为y间，宾馆标准房日营业额为w元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当标准房价定为多少时，标准房日营业额最大，最大日营业额是多少．22．（8分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，⊙O是△ACD的外接圆，已知．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BC＝2，，求⊙O的半径长．23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点D为直线BC下方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D作y轴的平行线，交BC于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时DP最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由．24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C为AB下方半圆上一动点，OD∥AC交于点D．（1）求证：；（2）已知⊙O半径为r，设BD＝x，AC＝y，求x与y的关系式；（3）点P为AB上方圆外一点，且∠PAB＝2∠APO，连结PA、PB、PO，PA交上半圆于点E，已知当时y＝9，，求sin∠PAB的值．2023-2024学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）下列事件中属于不可能事件的是（ ）A．投掷一枚骰子，朝上的点数为3B．13个人中有两个人生日在同一个月份C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球D．两点之间，线段最短【解答】解：A、投掷一枚骰子，朝上的点数为3是随机事件，不符合题意；B、13个人中有两个人生日在同一个月份是必然事件，不符合题意；C、从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球是不可能事件，符合题意；D、两点之间，线段最短是必然事件，不符合题意；故选：C．2．（3分）如图，在小孔成像实验中，已知燃烧的蜡烛距小孔15厘米，光屏在距离小孔45厘米处，测得蜡烛的火焰高度为2厘米，则光屏上火焰所成像的高度为（ ）A．4厘米B．6厘米C．8厘米D．10厘米【解答】解：如图：AB表示蜡烛火焰的高，CD表示蜡烛火焰所成像的高度，∵AB∥CD，∴△APB∽△DPC，∴AB：CD＝15：45，∵AB＝2cm，∴2：CD＝15：45，∴CD＝6，∴光屏上火焰所成像的高度为6cm．故选：B．3．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5的顶点坐标是（ ）A．（﹣3，5）B．（3，5）C．（5，﹣3）D．（5，3）【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5，∴该抛物线的顶点坐标为（3，5），故选：B．4．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，若DE：BC＝1：3，则S△AED：S△BCA 的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△AED：S△BCA＝（）2＝，故选：C．5．（3分）如图，某滑雪场有一坡角为α的滑雪道，滑雪道AC的长为300m，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）A．300cosαm B．300sinαm C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α，AC＝300m，∵sin C＝，∴AB＝AC•sin C＝300sinα（m），故选：B．6．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，A过点C作半圆O的切线交OB延长线于点E，如果∠AEC＝40°，则∠CAE的度数为（ ）A．50°B．30°C．25°D．20°【解答】解：连结OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴CE⊥OC，∴∠OCE＝90°，∵∠AEC＝40°，∴∠COE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣40°＝50°，∴∠CAE＝∠COE＝×50°＝25°，故选：C．7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则∠EDC的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．70°【解答】解：由旋转得AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝∠B＝60°，∴∠ADE＝∠B＝60°，∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，故选：C．8．（3分）如图，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与x轴交于AB两点，Rt△ABC的顶点C在抛物线对称轴上，P 为AB上一点，且AP＝2，则tan∠ACP的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与x轴交于AB两点，∴A（﹣1，0），B（5，0）．∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴点C的横坐标为2．又∵△ABC是直角三角形，且C为顶点，∴点C的纵坐标为3，故点C的坐标为（2，3）．令抛物线的对称轴与x轴的交点为D，过点A作CP的垂线，垂足为H，∵AP＝2，AD＝3，∴PD＝1．在Rt△CPD中，CP＝．同理可得，AC＝．∵，∴AH＝．∴CH＝．在Rt△ACH中，tan∠ACP＝．故选：A．9．（3分）已知点（1，y1），（1﹣a，y2），（1﹣2a，y3）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，且当x＝0和x＝2时，函数值相等，则下列说法不可能成立的是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．该函数对称轴为x＝1【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0和x＝2时，函数值相等，∴对称轴为直线x＝1，D成立，当a＞0时，抛物线开口向上，且1﹣2a＜1﹣a＜1，∴y1＜y2＜y3，A有可能成立；当a＜0时，抛物线开口向下，且1﹣2a＞1﹣a＞1，∴y1＞y2＞y3，B有可能成立．故选：C．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝5cm，AB＝12cm，点P从C点出发沿对角线AC以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿AB以2cm/s的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当∠QPB＝2∠CBP时，t的值为（ ）A．2s B．C．s D．【解答】解：∵矩形ABCD，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝＝13cm，过点P作PM⊥AB于点M，如图，∴PM∥BC，∴∠CBP＝∠BPM，∵∠QPB＝2∠CBP，∴∠CBP＝∠BPM＝∠QPM，在△QPM与△BPM中，，∴△QPM≌△BPM（ASA），∴QM＝BM，BQ＝12﹣2t，QM＝BM，∴AM＝6+t，AP＝13﹣t，∵∠BAC＝∠BAC，∠PMA＝∠CBA＝90°，∴△APM∽△ACB，∴，即，∴t＝，故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若4x＝3y，则x：y＝　3：4　．【解答】解：x：y＝3：4，故答案为：3：4．12．（4分）袋中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 ．【解答】解：根据题意可得，P（这个球是红球）＝．故答案为：．13．（4分）如图，把两张宽度都是5cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则BC长为 ．【解答】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠BCE＝α，过B作BE⊥DC于E，∵BE＝5，∵∠ABE＝α，∴BC＝＝，故答案为：．14．（4分）如图，⊙O半径为3cm，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至点E，若∠DCE＝60°，则的长是　2π　cm．【解答】解：如图1中，连接OD，OB．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE＝60°，∴∠DCB＝120°，∴∠DAB＝60°，∴∠DOB＝2∠DAB＝120°，∴的长是＝2π（cm）．故答案为：2π．15．（4分）当﹣1≤x≤2，二次函数y＝﹣x2+2x+3函数值的取值范围是　0≤y≤4　．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线开口向下，当x＝1时，函数有最大值4，把x＝﹣1代入y＝﹣x2+2x+3得，y＝0，∴当﹣1≤x≤2时函数值的取值范围为0≤y≤4，故答案为：0≤y≤4．16．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，且AC＝2，tan∠ABC＝，D在上一点，过点D 作AB的垂线交BC于点E，连接AD交BC于点F，若△DEF是以EF为腰的等腰三角形，则BF的长为　3或6﹣2　．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2，tan∠ABC＝，∴，∴BC＝4，∴＝2．①当EF＝DF时，过点F作FH⊥DE于点H，如图，∵EF＝DF，FH⊥DE，∴∠DFH＝∠EFH．∵FH⊥DE，ED⊥AB，∴FH∥AB，∴∠DAB＝∠DFH，∠B＝∠EFH，∴∠DAB＝∠B，∴FB＝FA．设FB＝x，则FA＝x，FC＝BC﹣FB＝4﹣x．∵AC2+FC2＝AF2，∴，∴x＝3，∴BF＝3；②当EF＝DE时，连接BD，过点F作FG⊥AB于点G，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵EF＝DE，∴∠EFD＝∠EDF，∵∠EFD+∠EBD＝90°，∠EDF+∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠EDB，∵∠CAD＝∠DBE，∴∠CAD＝∠BDE．∵AB⊥DK，AB为直径，∴，∴∠DAB＝∠EDB，∴∠CAD＝∠BAD．在△ACF和△AGF中，，∴△ACF≌△AGF（AAS），∴AC＝AG＝2，FC＝FG．∴BG＝AB﹣AG＝2﹣2，∵tan∠ABC＝，∴，∴FG＝（2﹣2）＝2﹣2，∴FC＝2﹣2，∴BF＝BC﹣FC＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2．综上，若△DEF是以EF为腰的等腰三角形，则BF的长为3或6﹣2．故答案为：3或6﹣2．三、解答题（第17、18题每题6分，第19，20，21，22题每题8分，第23题10分，第24题12分，共66分）17．（6分）计算：cos60°﹣2sin245°+3tan230°．【解答】解：cos60°﹣2sin245°+3tan230°＝﹣2×（）2+3×（）2＝﹣2×+3×＝﹣1+1＝．18．（6分）如图是一个转盘，转盘被等分成三块，分别标注数字“1”、“2”、“3”（1）直接写出转动转盘一次，指针指向奇数的概率是 ；（2）小刚与小亮一起玩转盘游戏：两人各转一次转盘，若两次指针指的数字均为奇数，则小刚获胜；若两次指针指的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则小亮获胜，问该游戏对双方公平吗？请借用树状图或列表法，计算说明．【解答】解：（1）∵转盘被等分成三块，分别标注数字“1”、“2”、“3”，∴转动转盘一次，指针指向奇数的概率是，故答案为：；（2）该游戏对双方公平，理由如下：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次指针指的数字均为奇数的结果有4种，两次指针指的数字为一个奇数一个偶数（不分先后）的结果有4种，∴小刚获胜的概率＝，小亮获胜的概率＝，∴小刚获胜的概率＝小亮获胜的概率，∴该游戏对双方公平．19．（8分）图①、图②都是6×6的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹．（1）在图①中，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍；（2）在图②中，在线段AC上作点D，使得AD：CD＝2：3．【解答】解：（1）如图①，△A'B'C即为所求．（2）如图②，取格点M，N，使AM∥CN，且AM：CN＝2：3，连接MN，交AC于点D，此时△ADM∽△CDN，则，则点D即为所求．20．（8分）如图是某遮阳伞的侧面示意图．已知支架AB长为3.6米，且垂直于地面，悬托架AE＝DE＝1米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF＝3米．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF 始终垂直，设入射角∠DGB＝α．（1）试说明∠ADE与光线的入射角α相等；（2）某一时刻测得BD长为2米，求阴影GH的长度．【解答】解：（1）∵∠B＝∠EDG＝90°，∴∠ADE+∠BDG＝90°，∠BDG+α＝90°，∴∠ADE＝α；（2）过点E作EM⊥AD，过点G作GN⊥CF，如图：∵AE＝DE，∴AM＝DM＝AD＝×（3.6﹣2）＝0.8（米），∴ME＝＝0.6（米），∴sin∠ADE＝＝＝0.6（米），由（1）知∠ADE＝α，∴sin∠ADE＝sinα，∵∠FDG＝∠F∠GNF＝90°，∴四边形DFNG是矩形，∴GN＝DF＝3米，∴GH＝＝＝5（米）．21．（8分）某宾馆有120间标准房，当标准房价为100元，每天都客满．十一国庆期间，为增大营业额，宾馆老板决定进行适当的提价．根据市场调查，单间标准房房价在100～150元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．设标准房价为x元，标准房日入住量为y间，宾馆标准房日营业额为w元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当标准房价定为多少时，标准房日营业额最大，最大日营业额是多少．【解答】解：（1）根据题意得：y＝120﹣×6＝﹣0.6x+180，答：y与x的函数关系式为y＝﹣0.6x+180．（2）设宾馆日营业收益为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）（﹣0.6x+180）＝﹣0.6x2+198x﹣5400，∴对称轴为直线x＝﹣＝165．∵﹣0.6＜0，∴当x＜165时，w随x的增大而增大．∵100≤x≤150，∴当x＝150时，w最大，最大值为10800．答：该宾馆将房价定为150元时，才能获得最大日营业收益．22．（8分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，⊙O是△ACD的外接圆，已知．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BC＝2，，求⊙O的半径长．【解答】（1）证明：连接OC，∵，∴OC⊥AD，∵BC∥AD，∴OC⊥BC，∵OC是⊙O的半径，∴BC是⊙O切线；（2）解：∵∠B＝90°，BC＝2，，∴＝，∴AB＝1，连接AO，设OC与AD交于E，∵∠AEC＝∠BCE＝∠B＝90°，∴四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝2，CE＝AB＝1，∵AO2＝OE2+AE2，∴AO2＝（AO﹣1）2+22，解得AO＝，即⊙O的半径长为．23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点D为直线BC下方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D作y轴的平行线，交BC于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时DP最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴抛物线解析式可设为y＝a（x﹣3）（x+1），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣3a＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）小明的说法不正确．理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（3，0），C（0，﹣3）分别代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设D（t，t2﹣2t﹣3）（0＜t＜3），则P（t，t﹣3），∴DP＝t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）＝t2﹣3t＝（t﹣）2+，∴当t＝，DP最大，而抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∴小明的说法不正确．24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C为AB下方半圆上一动点，OD∥AC交于点D．（1）求证：；（2）已知⊙O半径为r，设BD＝x，AC＝y，求x与y的关系式；（3）点P为AB上方圆外一点，且∠PAB＝2∠APO，连结PA、PB、PO，PA交上半圆于点E，已知当时y＝9，，求sin∠PAB的值．【解答】（1）证明：连接OC，∵OD∥AC，∴∠BAC＝∠BOD，∠OCA＝∠COD，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠BOD＝∠COD，∴；（2）解：连OC、BC、BD，BC与OD交于点Q，∵OD∥AC，∴△BOQ∽△BAC，∴，∵AB＝2OB，∴，BQ＝CQ，∵OD＝r，∴QD＝OD﹣OD＝，∵OD是半径，BQ＝CQ，∴OD⊥BC，在Rt△COQ和Rt△BDQ中，由勾股定理得CQ2＝OC2﹣OQ2，BQ2＝BD2﹣QD2，∵BQ＝CQ，∴OC2﹣OQ2＝BD2﹣QD2，即，整理得x2+ry﹣2r2＝0；（3）解：连接OE，BE，把，y＝9代入x2+ry﹣2r2＝0，得5+9r﹣2r2＝0，解得（不合题意，舍去），r＝5，∵OA＝OE，∴∠PAB＝∠AEO＝2∠APO，∵∠AEO是△POE的外角，∴∠AEO＝∠APO+∠POE，∴∠APO＝∠POE，∴OE＝PE＝5，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠BEP＝90°，在Rt△BPE中，∵PE＝5，PB＝，∴BE＝，在Rt△ABE中，∵BE＝6，AB＝2r＝10，∴sin∠PAB＝＝．。

浙江省宁波市海曙区19-20九上期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列图形中是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.若x+yy =53，则xy等于()A. 32B. 83C. 23D. 583.对于二次函数 y=(x−1)2+2的图象，下列说法正确的是()．A. 开口向下B. 顶点坐标是(1,2)C. 对称轴是x=−1D. 与x轴有两个交点4.如图，已知AB//CD//EF，BD：DF=2：5，那么下列结论正确的是()A. AC：AE=2：5B. AB：CD=2：5C. CD：EF=2：5D. CE：EA=5：75.如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E均在⊙O上，且∠BED=30°，那么∠ACD的度数是()A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°6.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(3,4)，半径为5，那么y轴与⊙P的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都不是7.图 ①是一个地铁站入口的双翼闸机.如图 ②，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30∘当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A. (54√3+10)cmB. (54√2+10)cmC. 64cmD. 54cm8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”()A. 3步B. 5步C. 6步D. 8步9.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(−2,5)的对应的坐标是()A. (2,5)B. (5,2)C. (2,−5)D. (5,−2)10.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为()A. 9π−9B. 9π−6√3C. 9π−18D. 9π−12√311.已知抛物线y=−16x2+32x+6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，则CD的长是()A. 154B. 92C. 132D. 15212.如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2，那么矩形ABCD的面积是()A. 9cm2B. 16cm2C. 21cm2D. 24cm2二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.正六边形每个内角的度数是____________．14.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E，F分别在AD，BC上，若矩形ABFE∽矩形BCDA，则BF的长为________．15.如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A(−3,0)，对称轴为直线x=−1，给出四个结论：①b2>4ac；②2a+b=0；③a+b+c=0；④若点B(−5,y1),C(6,y2)为函数图象上的两点，则y1<y2.其中正确结论是_____________ .(写上你认为正确的所有序号)16.完全相同的3个小球上面分别标有数−2、−1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀)，两次摸到的球上数之和是负数的概率是______．17.在△ABC中，AB=AC，BC=12，已知圆O是△ABC的外接圆，且半径为10，则BC边上的高为______．18.如图，已知抛物线y=√33x2+2√33x−√3与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D.M为抛物线上一点，E是x轴上的一点，使得以D、M、C为顶点的三角形与△DME 全等，则点M的坐标为___ ．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.某数学兴趣小组想测量电视塔的高度，如图，该小组在电视塔BC前一座楼房顶A处观测到电视塔最高点B的仰角为65°，电视塔最低点C的俯角为30°，楼顶A与电视塔的水平距离AD为90米，求电视塔BC的高度．(结果精确到1米，参考数据√2≈1.41，√3≈1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）20.计算：cos230°+sin245°−tan60°⋅tan30°21.从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．(1)若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是______；(2)若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．22.已知抛物线y=2x2+bx+c经过点(1,0)，(0,3)．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)将抛物线y=2x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后抛物线的函数解析式．23.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D。

2021-2022学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.台球盒中有7个红球与1个黑球，从中随机摸出一个台球，则下列描述符合的是( )A. 一定摸到黑球B. 不可能摸到黑球C. 很可能摸到黑球D. 不大可能摸到黑球2.已知抛物线y=2(x−3)2−5，其对称轴是( )A. 直线x=−3B. 直线x=3C. 直线x=−5D. 直线x=53.图中所示的△ABC中，E、F分别在边AB、AC上，EF//BC，AB=3，AE=2，EF=4，则BC=( )A. 6B. 12C. 18D. 244.如图是一段索道的示意图．若AB=1000米，∠BAC=α，则缆车从A点到B点上升的高度BC的长为( )A. 1000sinα米B. 1000sinα米 C. 1000cosα米 D. 1000cosα米5.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠CAB=50°，则∠D的度数是( )A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°6.如图，在△ABC中，∠BAC=75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE//AB，则∠CAE的值是( )A. 25°B. 30°C. 35°D. 45°7.如图，A、B在圆形方格网横线上，点C、D是直径AB与网格横线的交点，则BC：CD：DA为( )A. 3：4：5B. 1：3：2C. 1：4：2D. 3：6：58.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是( )A. 当1<x<3时，y>0B. 当x=2时，y有最大值C. 图象经过点(4,−3)D. 当y<−3时，x<09.如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形边长为( )A. √5−12B. √5+12C. 3−√52D. 3+√5210.如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，以AB为直径的⊙O刚好与CD相切，连结OC、BD交于点F，若AB=8，则已知下列条件中的一个即可求BF的长的有( )①BD ；②CD ；③OF CF ；④BF DF ． A. ①、②、③、④B. ①、②、③C. ①、②、④D. ①、③、④二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 若a 4=b 3，则a−b a+b =______． 12. 小明随意抛掷一枚点数从1−6，质地均匀的正方体骰子，前面8次中有5次3点朝上．则执第9次时，3点朝上的概率为______．13. 如图，将直径AB =6的半圆O ，绕端点A 逆时针旋转，当圆弧与直径交点H 满足BH ：AH =1：2时，tan∠B′AB 的值为______．14. 在芯片制作过程中，需要对AB =2cm ，AD =3cm 的矩形区域进行划区处理，划成如图所示的“M 0+N 1”的形式，其中M 0为竖式矩形(AB AE =√2)，N 1为横式矩形(EGEF =√2)，则芯片被利用区域的长AG 的值为______cm ．15. 如图，已知距离为6的两条平行线l 1，l 2与⊙O 分别交于A ，B 两点(AB 为直径，且与l 2不垂直)，D 为⊙O 上一点，过D 作l 1的平行线m 交AB 于点C ，若AC BC =23，BD =6，则AB 的长为______．16.如图，抛物线y=13x2+83x−3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC=180°时，点D的坐标为______．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。

2024届浙江省海曙区五校联考九年级数学第一学期期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．的是( )A ．12DE BC =B ．AD AE AB AC = C ．△ADE ∽△ABCD ．:1:2ADE ABC S S =2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）A ．对角线互相垂直且相等的四边形B ．对角线互相垂直的四边形C ．对角线相等的平行四边形D ．对角线互相平分且垂直的四边形3．若二次函数y ＝-x 2+px+q 的图像经过A （1m +，n ）、B （0，y 1）、C （3m -，n ）、D （225m m -+，y 2）、E （225m m --，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 3＜y 1＜y 2C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺.同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺。

如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（ ）尺A ．50B ．45C ．5D ．4.55．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x 行或列，则列方程得（ ）A ．(8﹣x ) (10﹣x )=8×10﹣40B ．(8﹣x )(10﹣x )=8×10+40C ．(8+x )(10+x )=8×10﹣40D ．(8+x )(10+x )=8×10+406．如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m 的旧墙MN ，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，已知木栏总长100m ，矩形菜园ABCD 的面积为2900m .若设m AD x =，则可列方程（ ）A ．509002x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．()60900x x -=C ．()50900x x -=D ．()40900x x -= 7．如图，已知A ，B 是反比例函数y= k x（k ＞0，x ＞0）图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ．设三角形OMP 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数2y x bx c =-++的部分图像如图所示，若0y >，则的取值范围是（ ）A ．41x -<<B ．21x -<<C ．31x -<<D ．31x x <->或 9．二次函数2y ax bx c =++中x 与y 的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（ ）x 1- 0 1 3y 1- 3 5 3A ．0a <B ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小C ．当0x <时，3y <D ．方程25ax bx c ++=有两个不相等的实数根10．《代数学》中记载，形如21039x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为392564+=，则该方程的正数解为853-=．”小聪按此方法解关于x 的方程260x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）A ．6B ．353-C ．352-D ．3352- 二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是____.12．一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况_______．（表述正确即可）13．如图，已知⊙O 的半径为1，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，延长BO 交AC 于点D ，连接OA ，OC ，若AD 2＝AB •DC ，则OD ＝__．1412cm 8cm ，则这个直角三角形的面积是_____cm 1．15．已知关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋4x ＋m 2＋m ＝0的一个根为0，则m 的值是_________．16．已知扇形的弧长为4π，圆心角为120°，则它的半径为_____．17．请将二次函数2246y x x =-++改写()2y a x h k =-+的形式为_________________.18．对于为零的两个实数a ，b ，如果规定：a ☆b ＝ab -b -1，那么x ☆（2☆x ）=0中x 值为____．三、解答题(共66分)19．（10分）直线1y k x b =+与双曲线2k y x =只有一个交点12A （，），且与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，AD 垂直平分OB ，交x 轴于点D ． （1）求直线1y k x b =+、双曲线2k y x=的解析式； （2）过点B 作x 轴的垂线交双曲线2k y x =于点E ，求 ABE ∆的面积．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于()4,2A -、()2,B n -两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数的表达式及B 点坐标；（2）请直接写出当x 为何值时，21k k x b x+<； （3）求AOB 的面积．21．（6分）如图，已知ABC ∆，直线PQ 垂直平分AC 交AC 于D ，与边AB 交于E ，连接CE ，过点C 作CF 平行于BA 交PQ 于点F ，连AF .（1）求证：AED CFD ∆≅∆；（2）求证：四边形AECF 是菱形；（3）若3,5AD AE ==，求菱形AECF 的面积.22．（8分）. 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M 的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M 的纵坐标，请用树状图或表格列出点M 所有可能的坐标，并求出点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．23．（8分）（103274(1)|12|-+-+-π； （2）解方程311(1)(2)x x x x -=--+． 24．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点O （0，0）、A （4，1）、B （4，4）均在格点上．（1）画出△OAB 绕原点O 顺时针旋转90︒后得到的△11OA B ，并写出点1A 的坐标；（2）在（1）的条件下，求线段OA 在旋转过程中扫过的扇形的面积．25．（10分）已知二次函数223y x x =--．（1）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（2）当0≤x ≤3时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．26．（10分）如图，O 的直径AB 为20cm ，弦12AC cm =，ACB ∠的平分线交O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解题分析】∵在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，AD AE AB AC=， ∴21()4ADE ABC S DE S BC ==. 由此可知：A 、B 、C 三个选项中的结论正确，D 选项中结论错误.故选D.2、D【解题分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．【题目详解】解：A 、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B 、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C 、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D ．【题目点拨】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．3、A【分析】利用A 点与C 点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线x=2，然后根据点B 、D 、E 离对称轴的远近求解．【题目详解】∵二次函数y ＝-x 2+px+q 的图像经过A （1m +，n ）、C （3m -，n ），∴抛物线开口向下，对称轴为直线2x =，∵点D （225m m -+，y 2）的横坐标：()2225144m m m -+=-+≥，离对称轴距离为422≥－，点E （225m m --，y 3）的横坐标： ()2225144m m m -+-=---≤-，离对称轴距离为()246--≥, ∴B （0，y 1）离对称轴最近，点E 离对称轴最远，∴y 3＜y 2＜y 1．故选：A ．【题目点拨】本题考查了二次函数函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标特征满足其解析式，根据抛物线上的对称点坐标得到对称轴是解题的关键．4、B【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【题目详解】设竹竿的长度为x 尺，∵太阳光为平行光， ∴ 1.5150.5x =， 解得x ＝45（尺）．．故选：B ．【题目点拨】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．5、D【解题分析】增加了x 行或列，现在是8x +行，10x +列，所以(8+x )(10+x )=8×10+40.6、B【分析】设AD xm =，则()60AB x m =-，根据矩形面积公式列出方程．【题目详解】解：设AD xm =，则()60AB x m =-，由题意，得()60900x x -=．故选B ．【题目点拨】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7、A【分析】结合点P 的运动，将点P 的运动路线分成O→A 、A→B 、B→C 三段位置来进行分析三角形OMP 面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【题目详解】设∠AOM=α，点P 运动的速度为a ，当点P 从点O 运动到点A 的过程中，S=(cos )(sin )122at at αα⋅⋅⋅=a 2•cosα•sinα•t 2， 由于α及a 均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S 随着t 的增大而增大； 当点P 从A 运动到B 时，由反比例函数性质可知△OPM 的面积为12k ，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P 从B 运动到C 过程中，OM 的长在减少，△OPM 的高与在B 点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段； 故选A ．点睛：本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P 在O→A 、A→B 、B→C 三段位置时三角形OMP 的面积计算方式．8、C【分析】根据抛物线的对称性确定抛物线与x 轴的另一个交点为（−3，1），然后观察函数图象，找出抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量的范围即可．【题目详解】∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝−1，与x 轴的一个交点为（1，1），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（−3，1），∴当−3＜x ＜1时，y ＞1．故选：C ．【题目点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据函数对称轴找到抛物线与x 轴的交点.9、B【分析】根据表中各对应点的特征和抛物线的对称性求出抛物线的解析式即可判断.得出c=3,抛物线的对称轴为x=1.5，顶点坐标为（1，5），抛物线开口向下，【题目详解】解：由题意得出：315c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩，解得，133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：2y 33x x =-++抛物线的对称轴为x=1.5，顶点坐标为（1，5），抛物线开口向下∵a=-1<0，∴选项A 正确；∵当1x >时，y 的值先随x 值的增大而增大，后随随x 值的增大而增大，∴选项B 错误；∵当0x <时，y 的值先随x 值的增大而增大，因此当x<0时，3y <，∴选项C 正确；∵原方程可化为2320x x -+-=，2341210=-⨯-⨯-=>，∴有两个不相等的实数根，选项D 正确.故答案为B.【题目点拨】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，根据题目得出抛物线解析式是解题的关键.10、B 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为32，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．【题目详解】x 2+6x+m=0，x 2+6x=-m ，∵阴影部分的面积为36，∴x 2+6x=36，4x=6， x=32， 同理：先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为32x 的矩形，得到大正方形的面积为36+（32）2×4=36+9=4533=． 故选：B ．【题目点拨】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．二、填空题(每小题3分,共24分)11、716【解题分析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率． 【题目详解】解：小虫落到阴影部分的概率＝774416=⨯， 故答案为：716． 【题目点拨】本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．12、有两个正根【分析】将原方程这里为一元二次方程的一般形式直接解方程或者求判别式与0的关系都可解题．【题目详解】解：(x+1)(x-3)=2x-5整理得：22325x x x --=-，即 2420x x -+=，配方得：2(2)2x -=，解得：123x =>，220x =>，∴该一元二次方程根的情况是有两个正跟；故答案为：有两个正根．【题目点拨】此题考查解一元二次方程，或者求判别式与根的个数的关系．13．【分析】可证△AOB≌△AOC，推出∠ACO=∠ABD，OA=OC，∠OAC=∠ACO=∠ABD，∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；依据对应边成比例，设OD=x，表示出AB、AD，根据AD2=AB•DC，列方程求解即可．【题目详解】在△AOB和△AOC中，∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠ABO＝∠ACO，∵OA＝OA，∴∠ACO＝∠OAD，∵∠ADO＝∠BDA，∴△ADO∽△BDA，∴AD OD AO BD AD AB==，设OD＝x，则BD＝1+x，∴11AD xx AD AB==+，∴OD=AB=，∵DC＝AC﹣AD＝AB﹣AD，AD2＝AB•DC，）2═，整理得：x2+x﹣1＝0，解得：x=x=，因此AD=．【题目点拨】本题考查了圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用参数解决问题是数学解题中经常用到的方法． 14、26【分析】本题可利用三角形面积1=2×底×高，直接列式求解． 【题目详解】∵直角三角形两直角边可作为三角形面积公式中的底和高， ∴该直角三角形面积11=12823222622⨯⨯=⨯⨯=． 故填：26． 【题目点拨】本题考查三角形面积公式以及二次根式的运算，难度较低，注意计算仔细即可． 15、1【解题分析】先把x=1代入方程得到m 2+m=1，然后解关于m 的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值．【题目详解】把x=1代入方程（m+1）x 2+4x+m 2+m=1得m 2+m=1，解得m 1=1，m 2=-1， 而m+1≠1， 所以m=1． 故答案为1． 【题目点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 16、6【解题分析】根据弧长公式可得． 【题目详解】解：∵ l=，∵l=4π，n=120，∴4π=，解得：r=6， 故答案为：6 【题目点拨】本题考查弧长的计算公式，牢记弧长公式是解决本题的关键． 17、22(1)8y x =--+【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【题目详解】解：2222462(21)262(1)8y x x x x x =-++=--+++=--+； 故答案为：22(1)8y x =--+. 【题目点拨】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）； （2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）． 18、0或2【分析】先根据a ☆b ＝ab -b -1得出关于x 的一元二次方程，求出x 的值即可． 【题目详解】∵a ☆b ＝ab -b -1， ∴2☆x=2x-x-1=x-1，∴x ☆（2☆x ）= x ☆（x-1）=0，即220x x -=， 解得：x 1=0，x 2=2； 故答案为：0或2 【题目点拨】本题考查了解一元二次方程以及新运算，理解题意正确列出一元二次方程是解题的关键．三、解答题(共66分) 19、（1）24y x =-+；2y x =；（2）12ABE S ∆=． 【分析】（1）由题意利用待定系数法求一次函数以及反比例函数解析式即可； （2）根据题意求出BE 和BD 的值，运用三角形面积公式即可得解. 【题目详解】解：（1）由已知得OD 1=，OB 2DO 2==， ∴B 20（，）. 将点A 、点B 坐标代入1y k x b =+， 得1102k 2k b b =+⎧⎨=+⎩，解得1k 24b =-⎧⎨=⎩，直线解析式为y 2x 4=-+；将点A 坐标代入2k y x=得2k 2=， ∴反比例函数的解析式为2y x=.（2）∵E 和B 同横轴坐标， ∴当x 2=时2y 1x==，即 BE 1= ， ∵B 20（，），A 12（，），D （1，0） ∴BD=1，即为ΔABE 以BE 为底的高， ∴ΔABE 11S BE ?DB 22==. 【题目点拨】本题考查反比例函数和几何图形的综合问题，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式以及运用数形结合思维分析是解题的关键. 20、（1）8y x=-， ()2,4B -；（2）20x -<<或4x >；（3）1． 【分析】（1）由题意将()4,2A -代入2k y x=，可得反比例函数的表达式，进而将()2,B n -代入反比例函数的表达式即可求得B 点坐标；（2）根据题意可知一次函数1y k x b =+的图象在反比例函数2k y x=的图象的下方即直线在曲线下方时x 的取值范围，以此进行分析即可；（3）根据题意先利用待定系数法求得一次函数的表达式，并代入0y =可得C 点坐标，进而根据AOBBOCAOCS SS=+进行分析计算即可．【题目详解】解：（1）由题意将()4,2A -代入2k y x =，可得：224k -=，解得：28k =-， 又将()2,B n -代入反比例函数8y x=-，解得：4n =， 所以反比例函数的表达式为：8y x=-，B 点坐标为：()2,4B -； （2）21k k x b x+<即一次函数1y k x b =+的图象在反比例函数2ky x =的图象的下方，观察图象可得：20x -<<或4x >； （3）观察图象可得：AOBBOCAOC SSS=+，一次函数1y k x b =+的图象与x 轴交于点C ，将()4,2A -，()2,4B -代入一次函数1y k x b =+，可得112k b =-⎧⎨=⎩，即一次函数的表达式为：2y x =-+，代入0y =可得C 点坐标为：(2,0)，所以11242242622AOBBOC AOCSSS=+=⨯⨯+⨯⨯=+=． 【题目点拨】本题考查一次函数与反比例函数综合，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式以及利用割补法计算三角形的面积是解题的关键．21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24.【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出答案；（2）先判定AECF 是平行四边形，根据对角线垂直，即可得出答案；（3）根据勾股定理求出DE 的值，根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”计算即可得出答案. 【题目详解】（1）证明：由图可知，CD DA = 又∵//AB CF ，∴EAD FCD ∠=∠，AED CFD ∠=∠ ∴AED CFD ∆≅∆；解：（2）由（1）知：,ED DF CD DA == ∴四边形AECF 是平行四边形， 又∵AC EF ⊥ ∴AECF 是菱形；（3）在Rt AED ∆中，5,3AE AD == ∴224DE DF AE AD ==-=186242AECF S =⨯⨯=菱形；【题目点拨】本题考查的是菱形，难度适中，需要熟练掌握菱形的判定以及菱形面积的公式. 22、（1）；（2）列表见解析，.【解题分析】试题分析：（1）一共有3种等可能的结果总数，摸出标有数字2的小球有1种可能，因此摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）利用列表得出共有9种等可能的结果数，再找出点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，可求得结果.试题解析：（1）P （摸出的球为标有数字2的小球）=；（2）列表如下：小华 小丽 -12-1 （-1，-1）（-1，0） （-1，2） 0 （0，-1）（0，0） （0，2） 2（2，-1）（2，0）（2，2）共有9种等可能的结果数，其中点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6， ∴P （点M 落在如图所示的正方形网格内）==.考点：1列表或树状图求概率；2平面直角坐标系. 23、（121-；（2）无解【分析】（1）先算开方，0指数幂，绝对值，再算加减； （2）两边同时乘以(1)(2)x x -+，去分母，再解整式方程. 【题目详解】（1）解：原式=32121-+++ 21（2）解：两边同时乘以(1)(2)x x -+，得： (2)3(1)(2)x x x x +-=-+222322x x x x x +-=+--1x =经检验1x =是原方程的增根， ∴原方程无解． 【题目点拨】考核知识点：解分式方程.把分式方程化为整式方程是关键. 24、（1）图见解析，点A 1坐标是（1，-4）；（2）174π 【分析】（1）据网格结构找出点A 、B 绕点O 按照顺时针旋转90°后的对应点A 1、B 1的位置，然后顺次O 、A 1、B 1连接即可，再根据平面直角坐标系写出A 1点的坐标；（2）利用扇形的面积公式2360n l π⋅⨯求解即可，利用网格结构可得出17l OA ==．【题目详解】（1）点A 1坐标是（1，-4）（2）根据题意可得出：17l OA ==∴线段OA 在旋转过程中扫过的扇形的面积为：9017360S π⨯=174π=．【题目点拨】本题考查的知识点是旋转变换以及扇形的面积公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 25、（1）详见解析；（2）4-≤y ≤1【分析】（1）按照列表，取点，连线的步骤画图即可； （2）根据图象即可得出答案. 【题目详解】解：（1）列表如下：x-2 -1 1 1 2 3 223y x x =--51-3-4-31函数图象如下图所示：（2）由图象可知，当1≤x≤3时，4-≤y≤1．【题目点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.26、BC=16cm，AD=BD2cm．【解题分析】利用圆周角定理及勾股定理即可求出答案.解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC22AB AC-=16（cm）；∵CD是∠ACB的平分线，∴AD BD=，∴AD=BD，∴AD=BD=22×AB2（cm）．。