《3.2.2指数运算的性质》教学案

精 品 教 学 设 计§2指数扩充及其运算性质教学过程：（第二课时） 一、复习引入：正整数指数幂运算性质(1)m n m n a a a +⋅= (2)()m n m n a a ⋅= (3)()n n n a b a b ⋅=⋅ (4)mm n n a a a-=(5)nnn a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、讲解新课：实数指数幂运算性质当a>0,b>0时，对任意实数m,n 都满足上述性质.并且可归纳为三条：(1)m n m n a a a +⋅= (2)()m n m n a a ⋅= (3)()n n n a b a b ⋅=⋅三、讲解例题：例1 化简（式中字母均为正实数）：1(1)3);(2)()(4).x x y y ααα- 解：(1)3)(32)6;x yz ⨯=＝11(2)()(4)444.x y y xy y xy x ααααααααα⋅---=⋅⋅==22103,10 4.(1)10;(2)10αββα-==已知求的值的例2.幂的形式.112222221042(1)101039ββαα-===（解：；（）()11221122422411222(10)1043)1010210.10410βαβααβββ-⎡⎤⨯⎢⎥⨯⨯⎣⎦====（（例3．化简41332233814a a bb a⎛-÷-⎝+()413322331111333321121333338148242a a bb aa ab a bab a b a a⎛-÷-⎝+--=÷⨯++解：3311133311332112113333332422a a baab a b a a b⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⋅⋅++-111211233333331133211211333333242422a ab b a b aaab a b a a b⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=++-111333.a a a a=⋅⋅=四、练习：1. 化简与计算：())211323(2)30.002102.8---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭1671;(2).9xy -解：（） 1. 已知11223,a a-+=求下列各式的值：1133224422(1);(2);(3).a a a a a a ---+-+ ()21111222221(1)2,7.247.a a a a a a a a a a -----⎛⎫+=++∴+= ⎪⎝⎭∴+=+-=解： 2111111442244(2)21, 1.a a a a a a ---⎛⎫-=+-=∴-=± ⎪⎝⎭ ()331112222(3)118.a aa a a a ---⎛⎫+=+-+= ⎪⎝⎭2. 对于正整数a, b ,c (a ≤b ≤c )和非零实数x ,y ,z, w.若1111701,,x y z w a b c w x y z===≠=++且求a,b,c 的值. ()11111111170,70.70,70.111170,,70257,2,5,7.x wyw xwzx y zwa a c abc w x y zabc a b c ++=∴===∴==++∴==⨯⨯===1w解： 同理b 又 故五、小结：本节课学习了以下内容： 1.指数幂运算性质；2.指数式及根式的化简和计算. 六、课后作业：。

3.2.2 指数运算的性质问题导学一、利用指数的运算性质化简、求值活动与探究1计算或化简．(1)a3b2(2ab－1)3；(2)；÷3 a－7·3a13(a＞0)．迁移与应用(1)已知m＞0，则＝()．A．mB．C．1D．(2)化简：44x⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34x·13y÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－63y2x；(3)计算：.在进行指数及根式的运算时，要熟练掌握指数的运算性质，并能灵活运用，要注意以下几点：(1)有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)含有根式时，通常先将根式转化为分数指数幂再运算．(5)尽可能用幂形式表示．二、条件求值问题活动与探究2已知，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a－a－1；(3).迁移与应用1．已知2x－2－x＝2，则8x的值为__________．2．已知a＋a－1＝5，求a2＋a－2，，.对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值14130.753327(0.064)[(2)]16|0.01|8---⎛⎫--+-++-⎪⎝⎭1233m m⋅13m29m41320.753440.0081(4)16---++-1122=3a a-+33221122a aa a----1122a a-+1122a a--后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，注意完全平方公式、平方差公式、立方差公式的应用．还要注意开方时的取值的符号问题．当堂检测1．下列运算结果中，正确的是( )．A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝－a 62．如果x ＞y ＞0，则x y y xy y xx 等于( )．A ．B ．C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x yy －x D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x y x －y3．计算的结果是( )．A ．－3B ．3C ．－13D ．134．已知m ＋1m＝4，则m 2＋m －2等于__________．5．化简：·5a 4÷5b 3(a ≠0，b ≠0)．答案：课前预习导学 【预习导引】1．(1)a m ＋n (2)a mn (3)a n b n预习交流 提示：不一定．如是不成立的，这是因为＝6，而与均无意义．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先算乘方，开方，再算乘除，最后进行加减运算，含有根式时，应先化为分数指数幂，再根据指数幂的运算性质计算．解：(1)原式＝a 3b 223a 3b －3＝8a 6b －1.(2)原式＝－1＋(－2)－4＋2－3＋＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.()yxx y -()x yx y -144[(3)]-861552()a b --⋅111222[(4)(9)]=(4)(9)-⨯--⨯-1122[(4)(9)]=36-⨯-12(4)-12(9)-133[(0.4)]-122[(0.1)](3)原式＝＝＝a 0＝1.迁移与应用 (1)A 解析：由于m ＞0，所以＝m 1＝m .(2)解：原式＝＝2xy.(3)解：原式＝＝0.3＋2－3＋2－2－2－3＝0.3＋0.25 ＝0.55.活动与探究2 思路分析：从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，应设法从整体上寻找求值代数式与条件的联系，进而整体代入求值．解：(1)将两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.(2)将a ＋a －1＝7两边平方，有a 2＋a －2＋2＝49.所以a 2＋a －2＝47.又因为(a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝47－2＝45，所以a －a －1＝±45＝±3 5. (3)由于，所以有＝a ＋a －1＋1＝8.迁移与应用 1.7＋5 2 解析：由已知条件，可解得2x ＝2＋1，于是8x ＝(2x )3＝(2＋1)3＝7＋5 2.2．解：∵由a ＋a －1＝5，得(a ＋a －1)2＝25， ∴a 2＋a －2＝23.∵＞0，又＝a ＋a －1＋2＝7，∴＝7.∵＝a ＋a －1－2＝3， ∴＝± 3. 【当堂检测】 1．D 2.C191317113()()32322323[][]a aa a ⨯⨯-⨯-⨯⋅÷⋅937136666a-+-12123333=m m m +⋅112212332x x yy⨯4133344()234224(0.3)(2)(2)2-⨯-⨯-++-1122=3a a-+1122=3a a -+3311332222=()()a a a a ----331111122222211112222()()=a a a a a a a a a aa a--------++⋅--1122a a -+21122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1122a a-+21122a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭1122a a --3．B 解析：＝31＝3.4．14 解析：由m ＋1m＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＝16，即m 2＋m －2＋2＝16，因此m 2＋m －2＝14.5．解：原式＝＝ ＝＝a 0b 0＝1.111444444[(3)]=(3)=3⨯-864311555522()()a b a b ---⋅⋅÷44335555a ab b -⋅⋅÷44335555a b-+-。

“指数函数及其性质教案”教学目标：1. 理解指数函数的定义和表达形式；2. 掌握指数函数的性质，包括单调性、奇偶性和周期性；3. 能够应用指数函数的性质解决实际问题。

教学内容：一、指数函数的定义与表达形式1. 引入指数函数的概念；2. 介绍指数函数的一般形式；3. 解释指数函数的参数含义。

二、指数函数的单调性1. 探讨指数函数的单调性；2. 证明指数函数的单调性；3. 应用指数函数的单调性解决实际问题。

三、指数函数的奇偶性1. 探讨指数函数的奇偶性；2. 证明指数函数的奇偶性；3. 应用指数函数的奇偶性解决实际问题。

四、指数函数的周期性1. 探讨指数函数的周期性；2. 证明指数函数的周期性；3. 应用指数函数的周期性解决实际问题。

五、实际问题中的应用1. 引入实际问题；2. 应用指数函数的性质解决实际问题；3. 总结指数函数在实际问题中的应用。

教学方法：1. 采用讲授法，讲解指数函数的定义、表达形式以及性质；2. 利用多媒体演示，直观展示指数函数的图像和性质；3. 通过例题和练习题，巩固学生对指数函数性质的理解和应用。

教学评估：1. 课堂问答，检查学生对指数函数定义和表达形式的理解；2. 布置课后练习题，评估学生对指数函数性质的掌握程度；3. 组织小组讨论，评估学生在解决实际问题中的应用能力。

教学资源：1. 教材或教辅资料；2. 多媒体教学设备；3. 练习题和实际问题。

教学时间：1. 第一课时：指数函数的定义与表达形式；2. 第二课时：指数函数的单调性；3. 第三课时：指数函数的奇偶性；4. 第四课时：指数函数的周期性；5. 第五课时：实际问题中的应用。

六、指数函数的图像与性质1. 分析指数函数的图像特点；2. 探讨指数函数的性质，包括单调性、奇偶性和周期性；3. 应用指数函数的性质解决实际问题。

七、指数函数的应用1. 引入实际问题；2. 应用指数函数的性质解决实际问题；3. 总结指数函数在实际问题中的应用。

《指数运算的性质》◆教材分析从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。

进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。

◆教学目标【知识与能力目标】（1）在前面学习有理指数幂的运算的基础上引入了实数指数的概念及运算；（2）能够利用实数指数幂的运算性质进行运算、化简。

【过程与方法目标】（1）让学生了解指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义；（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要延用和拓展,引入指数函数。

【情感态度价值观目标】使学生通过学习无理指数幂的确定，了解数学中的无限逼近的思想,体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心。

【教学重点】无理指数幂的确定以及利用指数运算性质进行化简，求值。

【教学难点】无限逼近的思想。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分先回顾正整数指数幂的运算性质。

1. ()()m n m nm nmnn n na a a a aab a b +⋅===⋅2.当(),01,,m n n n m a n a a a ---⎧〉⎪≠=⎨⎪〈⎩m当m 时a 时，有当m=n 时当m n 时()nn n a a b b= 其中m ,n ∈N + 同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数。

并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数。

m n n ma ,m n 1,m n 1m n a --⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪<⎩当 时 当时当 时3.2指数扩充及其运算性质一、教学目标：1、知识与技能：（1） 在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算．（2） 能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简． 2、 过程与方法（1）让学生了解整数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展． 3、情感．态度与价值观：使学生通过学习整数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．二、教学重点: 整数指数幂的运算性质。

教学难点：整数指数的运算与化简． 三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。

四、教学过程 （一）新课导入[互动过程1]请同学们回顾复习整数指数幂的定义,并填写下面结果： na =0a = 1（a ≠0）n a -= （a ≠0,n ∈N+）[互动过程2]你知道有哪些正整数指数幂的运算性质？请填出下列结果：m,n N +∈（1）．m n a a = ；m n a + （2）．m n (a )= ；mn a （3）．n (ab)= ；n n a b （4）．当a 0≠时,有mn a a =（5）．n a ()b = nn a b (b 0)≠ (二)、例题探析与巩固训练例1．（1）求值3583321025⨯⨯ （2）化简3222m n 1()mn m n ⨯ 解：（1）225522558383832323225325922510(25)25252524⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===⨯ （2）3264262242122222m n 1m n 1()m n m nmn m n m n m n ----⨯=⨯==练习1：化简（1）2423(ab )(a b) （2）()232324x y x y x y[互动过程3] 探究：负整数指数幂是否也满足上述运算性质？个naa a a⋅⋅⋅例2．计算：5733-⨯和5(7)3+-,并判断两者之间的关系解：55777523111333339--⨯====5(7)22113339+--===由此看出5733-⨯=5(7)3+- 练习2．（1）计算：23(2)- 和 62- （2）化简2431(m n)(m n)(m n)(m n)--+-⨯-+看来正整数指数幂的运算性质可以推广到整数,即有m n a a =m na +（m,n N ∈）n 1n n na ()(ab )a b b--=⋅=⋅=n n a b ,这样就可以把（5）n a ()b =n na b 就可以统一到性质（1）m n a a =m n a +（m,n N ∈）了,（4）中的三种情况也可以统一为mn a a=m na -与（1）合并． 这样我们就可以把整数指数幂的运算性质归纳为：a 0,b 0,m,n Z ≠≠∈（1）．m n a a =m n a + （2）．m n (a )=mn a （3）．n (ab)=n n a b [互动过程4] 探究：1．整数指数幂满足不等性质：若a 0>,那么na 0 (n Z)∈．2．正整数指数幂还满足下面两个不等性质：（1）若a 1>,则na 1；（2）若0a 1<<,则n a 的范围为 (n N )+∈．3．在a 0>的情况下,（1）如果()n a 1n N +>∈,那么a 1>成立吗？（2）如果()n a 1n N +<∈,那么a 1<成立吗？练习3．（1）比较23-与1的大小．（2）比较3(m n)--与0的大小（其中m n >）例3．计算：（1）302[()]3；（2）11(7)--；（3）3411()()33-⨯ 解：（1）302[()]13=；（2）11(1)(1)(7)77---⨯-==；（3）343411111()()()()33333---⨯===例4．计算下列各式,并把结果化为只含正整数指数的形式(a,b 均不为零）：（1）3213a b (2ab )-；（2）322123a b (3a b )9a b ------；（3）34320(a b)(a b)[](a b)(a b)--+--+(a b 0,a b 0)+≠-≠解：（1）632133233(1)33323618a a b (2ab )a b (2a b)8ab8a b b --⨯+--====；（2）322132(2)2(1)(3)023a b (3a b )31aa b ab 9a b 933----+---+------=-=-=-； （3）34334(2)336320(a b)(a b)[][(a b)(a b)][(a b)(a b)](a b)(a b)------+-=+-=+--+ 189189(a b)(a b)(a b)(a b)--=+-=+练习4：（1）化简(21)(21)2222k k k -+----+（2）．求61()2-（3）．化简：122121(2)()248n n n ++-⋅解：（1）(21)(21)2(21)1(21)2(21)(21)(21)222222222k k k k k k k -+-++-++-+-+-+-+-+=-⋅+⋅=-（2）6161(6)1()(2)2642----⨯-===（3）122122(21)1(26)72226261(2)()22222248222+++-+------⋅⋅====⨯n n n n n n n n n（三）、小结:本课在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算，要求：（1）理解和掌握负整数指数的概念及运算；（2）能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简． （四）、五、教学反思：。

2．2指数运算的性质导入新课思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题——指数运算的性质．思路 2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数运算的性质．推进新课新知探究提出问题①我们知道2＝1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…是2的什么近似值？④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如作出判断并合理地解释吗？⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：问题①从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向． 问题②对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联． 问题③上述方法实际上是无限接近，最后是逼近． 问题④对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．问题⑤在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值．②第一个表：从大于2的方向逼近2时，51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于第二个表：从小于2的方向逼近2时，51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于52的方向接近52，可以说从两个方向无限地接近即逼近51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示是一个实数，即51.4＜51.41＜51.414＜51.414 2＜51.414 21＜…＜51.414 22＜51.414 3＜51.415＜51.42＜51.5.充分表明⎝ ⎛⎭⎪⎫123，3π等都是实数．③逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识．④根据②③我们可以推断 ⑤无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． 也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数．我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂．提出问题1为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？2无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？ 3你能给出实数指数幂的运算法则吗？ 活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳． 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通．对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了．讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a ＝－1，那么a α是＋1还是－1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂a α是一个确定的实数，就不会再造成混乱．(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂．类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s 都是无理数)．②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s 都是无理数)．③(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r 是无理数)．(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂． 实数指数幂的运算性质：对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质： ①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈R )．②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈R )．③(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈R )． 应用示例思路1例1 在实数范围内，对比(ab )n＝a n b n和⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (其中a ＞0，b ＞0，b ≠0)，说明后者可以归入前者．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝(ab －1)n ＝a n b －n ＝a n b n ，因此，性质⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝a nbn 可以归入性质(ab )n ＝a n b n.例2 化简(式中字母均为正实数)：(1)3x 2(2x －2yz )；(2)(1ax y )α(4y －α)．活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)(2)由里向外，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律．解：(1)3x 2(2x －2yz )＝(3×2)x 2－2yz ＝6yz ；(2)(1a x y )α(4y －α)＝14ax ·α·y α·y －α＝4xyα－α＝4x .点评：注意运算性质的应用．例3 已知10α＝3,10β＝4，求10α＋β，10α－β，10－2α，510β.活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应利用运算性质，然后再求值，要有预见性，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示．解：10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12；10α－β＝10α10β＝34；10－2α＝(10α)－2＝3－2＝19；510β＝(10β)15＝154.点评：运用整体思想和运算法则是解决本题的关键，要深刻理解这种做法．思路2 例1 计算：(1)614＋3338＋40.062 5＋(5π)0－2－1； (2)23125＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋13343－⎝ ⎛⎭⎪⎫12713-；(3)(11342x y--)(21323x y )；(4)(1122x y -)÷(1144x y -)．活动：学生观察、思考，根式化成分数指数，利用幂的运算性质解题，另外要注意整体的意识，教师有针对性地提示引导，对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行，对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行，对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行，对(4)要利用平方差公式先因式分解，并对学生作及时的评价．解：(1)614＋3338＋40.062 5＋(5π)0－2－1 ＝1123252748⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋(0.062 5)14＋1－12 ＝112312344531(0.5)222⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝52＋32＋0.5＋12＝5. (2)23125＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋13343－13127-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(53)233(5)＋(2－1)－2＋133(7)－133(3)--＝2335⨯＋2－2×(－1)＋1337⨯－313()3-⨯-＝25＋4＋7－3＝33.(3)(11342x y --)(21323x y )＝(－2×3)(12113342x x y y -⋅)＝12111333342466xyx y -++-⋅=-＝－64x33y .(4)(1122x y -)÷(1144x y -)＝[(14x )2－(14y )2]÷(1144x y -)＝(1144x y +)(1144x y -)÷(1144x y -)＝1144x y +.点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式． 例2 化简下列各式： (1)222233x y xy----++－222233x y xy-----+；(2)(a 3＋a －3)(a 3－a －3)÷[(a 4＋a －4＋1)(a －a －1)]．活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示：对(1)考查x 2与23x 的关系可知x 2＝(23x )3，立方关系就出来了，公式便可运用，对(2)先利用平方差，再利用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流．解：(1)原式＝2233332233()()x y xy----++－2233332233()()x y xy------＝(23x -)2－2233xy --＋(23y -)2－[(23x -)2＋(23x -)(23y -)＋(23y -)2]＝424424333333()()xxy yxxy y-------+---＝232()xy --=-(2)原式＝[(a 3)2－(a －3)2]÷[(a 4＋a －4＋1)(a －a －1)]＝a 23－a －23a 4＋a －4＋1a －a －1＝a 2－a －2a 4＋a －4＋1a 4＋a －4＋1a －a －1＝a 2－a －12a －a－1＝a ＋a －1. 点评：注意立方和、立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方差公式一般在使用中一目了然，而对立方和、立方差公式却一般不易观察到，32a ＝(12a )3还容易看出，对其中夹杂的数字m 可以化为m ·1122a a -＝m ，需认真对待，要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力．知能训练1．化简：(1＋1322-)(1＋1162-)(1＋182-)(1＋142-)(1＋122-)的结果是( )．A ．12(1－1322-)－1B ．(1－1322-)－1C ．1－1322- D ．12(1－1322-)解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形．因为(1＋1322-)(1－1322-)＝1－1162-，所以原式的分子、分母同乘(1－1322-)，依次类推，所以1122132(12)(12)12----+-＝11321212----＝11321(12)2---. 答案：A2．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－3π0＋9－0.5＋490.5×2－4.解：原式＝12259⎛⎫ ⎪⎝⎭＋100＋232764⎛⎫ ⎪⎝⎭－3＋1214916⨯＝53＋100＋916－3＋13＋716＝100. 3．计算a ＋2a －1＋a －2a －1(a ≥1)．解：原式＝a －1＋12＋a －1－12＝a －1＋1＋|a －1－1|(a ≥1)． 本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习．4．设a ＞0，x ＝12(11n n a a --)，则(x ＋1＋x 2)n的值为__________．解析：1＋x 2＝1＋14(11n n a a --)2＝14(11n n a a -+)2.这样先算出1＋x 2，再算出1＋x 2，将x ＝12(11n n a a --)代入1＋x 2，得1＋x 2＝1＋14(11n n a a --)2＝14(11n n a a -+)2.所以(x ＋1＋x 2)n＝111()2nn n a a -⎡-+⎢⎢⎣＝111111()()22nn n n n a a a a --⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦＝a .答案：a 拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂 活动：教师引导学生回顾无理数指数幂义的过程，利用计算器计算出3的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算值，利用逼近思想，“逼出”学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结果．解：3＝1.732 050 80…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表．340 351 678同样把用2作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数： 21．8,21.74,21.733,21.732 1，…，不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为即21.7＜21.73＜21.731＜21.731 9＜…＜23＜…＜21.732 1＜21.733＜21.74＜21.8.也就是说23＝3.321 997 …也可以这样解释：当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时，当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时，所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.731 9，…和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述规律变化的结果，即 课堂小结(1)无理数指数幂的意义．一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． (2)实数指数幂的运算性质：对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质： ①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈R )．②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈R )．③(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈R )． (3)逼近的思想，体会无限接近的含义． 作业习题3—2 A 组6,8.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多做练习，提高学生理解问题、分析问题的能力．备课资料[备用习题]1．以下各式中成立且结果为最简根式的是( )．A.a ·5a 3a ·10a 7＝10a 4B.3xy 2xy 2＝y 3x 2C.a 2b b 3aa b 3＝8a 7b 15 D ．(35－125)3＝5＋125125－235·125 答案：B2．对于a ＞0，r ，s ∈Q ，以下运算中正确的是( )．A ．a r ·a s ＝a rsB ．(a r )s ＝a rsC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b r ＝a r ·b sD ．a r b s ＝(ab )r ＋s答案：B 3．式子x －2x －1＝x －2x －1成立的充要条件是( )． A.x －2x －1≥0B ．x ≠1C ．x ＜1D ．x ≥2解析：方法一：要使式子x －2x －1＝x －2x －1成立，需x －1＞0，x －2≥0，即x ≥2.若x ≥2，则式子x －2x －1＝x －2x －1成立． 从而x ≥2是式子x －2x －1＝x －2x －1成立的充要条件．故选D. 方法二： 对A ，式子x －2x －1≥0连式子成立也保证不了，尤其x －2≤0，x －1＜0时式子不成立． 对B ，x －1＜0时式子不成立． 对C ，x ＜1时x －1无意义． 对D ，正确． 答案：D 4．化简b －2b －1(1＜b ＜2)．解：b －2b －1＝b －12＝b －1(1＜b ＜2)．5．计算32＋5＋32－ 5.解：令x ＝32＋5＋32－5，两边立方，得x 3＝2＋5＋2－5＋332＋5·32－5·(32＋5＋32－5)，即x 3＝4－3x ，x 3－3x ＋4＝0.∴(x －1)(x 2＋x ＋4)＝0.∵x 2＋x ＋4＝(x ＋12)2＋154＞0，∴x －1＝0，即x ＝1.∴32＋5＋32－5＝1.(设计者：郑芳鸣)。