2020届高考数学二轮专题复习 第35课时 练习十 精品

三角函数、解三角形错误!未定义书签。

１.(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P 错误!。

（1）求sin(α+π)的值；(２)若角β满足s ｉn(α+β）=513,求c ｏs β的值. 解：(1)由角α的终边过点P 错误!，得s ｉn α＝－错误!。

所以si ｎ(α＋π)=-ｓｉn α=错误!。

(２）由角α的终边过点Ｐ错误!未定义书签。

，得ｃos α=-错误!未定义书签。

由si ｎ(α＋β）＝错误!未定义书签。

，得cos(α＋β）＝±1213。

由β=（α+β）－α，得cos β=cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以ｃos β＝-＼ｆ(５６，65）或cos β＝166５. ２.已知在△ABC 中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ,ｃ,且错误!=错误!未定义书签。

.（1)若错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

,求角A 的大小;(2)若ａ=1,t ａn Ａ=2错误!,求△ABC 的面积．解：(１)由错误!=错误!及正弦定理得si ｎ B (１-2cos A ）=2s ｉn A cos B ，即s ｉn B ＝２ｓin A ｃｏｓ B +2co ｓ Ａs ｉn B =2s ｉｎ(A +B )＝2sin C ，即b ＝2c .又由错误!=错误!未定义书签。

及余弦定理,得cos A =错误!＝错误!未定义书签。

⇒A =错误!。

(2）∵t ａｎ Ａ=２＼ｒ（2），∴ｃos Ａ=错误!未定义书签。

，ｓｉn A ＝错误!。

由余弦定理cos A ＝错误!未定义书签。

，得错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

， 解得c 2=错误!未定义书签。

,∴S △A ＢＣ＝错误!未定义书签。

ｂｃｓin A =c 2ｓｉn Ａ=＼ｆ(3,1１)×错误!＝错误!.3．已知函数f （x )=ｍcos x ＋s ｉn 错误!的图象经过点P 错误!未定义书签。

高三数学强化训练（35）1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CDA ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是A ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,3223．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b λ+r r 与()2b a --r r共线，则λ=A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量 的数量积中最大的是A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅ 6．在OAB ∆中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=u u u r u u u r，则实数λ等于A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +⋅的最小值为 .8．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .9．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r.（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP uuu r 和OM u u u u r夹角的最大值，并求此时P 点的坐标参考答案1．BA BC BD CB CD 21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e r=（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b r r 的夹角都相等,故e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+r r 与-2共线，设a b λ+r rk =（-2），则有)()21(=++-k k λ，所以⎩⎨⎧=+=-0021λk k ，解得5.0=k ，选D ． 4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u r g 的几何意义:数量积121i PP PP u u u u r u u u r g 等于12P P u u u u r的长度12PP u u u u r 与1i PP u u u r 在12P P u u u u r 的方向上的投影1121cos ,i iPP PP PP <>u u u r u u u u r u u u r的乘积.显然由图可知13P P u u u u r 在12P P u u u u r 方向上的投影最大.所以应选(A).6．B (),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u rQ 即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+u u u r u u u r u u u r又OD Q 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=u u u r u u u r 即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r u u u r ，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ． 7．2- 如图，设x AO =，则x OM -=2，所以)(+⋅OM OA OM ⋅⋅-=⋅=22 2)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r取最小值-2.8．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，所以C),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以与不共线，而当AB 与共线时，有m m -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .9.解析：（1）设(,)P x y o o ，(,)M x y ，则(,)OP x y =o o u u u r ，(,0)OQ x =o u u u r，(2,)OM OP OQ x y =+=o o u u u u r u u u r u u u r222212,1,124x x x x x x y y y y y y ⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩o o o o o oQ .（2）设向量OP uuu r 与OM u u u u r的夹角为α，则22cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 令231t x =+o，则cos α= 当且仅当2t =时，即P点坐标为(时，等号成立. OP ∴u u u r 与OM u u u u r夹角的最大值是arccos 3.。

下篇 指导六Ⅰ：高考客观题(12＋4)·提速练(一)限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合M ＝{x |x ＋3＜2x 2}，N ＝{x |－2≤x ＜1}，则M ∩N ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，1 B.⎣⎡⎭⎫－2，－32 C ．[－2，－1)D ．[－2,3)解析：C [解法一 由x ＋3＜2x 2，得2x 2－x －3＞0，即(x ＋1)(2x －3)＞0，得x ＜－1或x ＞32.所以M ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞.又N ＝[－2,1)，所以M ∩N ＝[－2，－1)．故选C. 解法二 因为1∉N ，所以排除D 项；因为0＋3＜2×02不成立，所以0∉M ，所以排除A 项；因为－32＋3＜2×⎝⎛⎭⎫－322成立，所以－32∈M ，又－32∈N ，所以－32∈M ∩N ，故排除B.综上，选C.]2．已知复数z ＝(a 2－3a ＋2)＋(a 2－a )i(a ∈R )为纯虚数，则z1＋3i ＝( )A.35＋15iB.35－15i C ．3－iD ．3＋i解析：A [由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a 2－a ≠0，解得a ＝2，所以z ＝2i ，故z 1＋3i ＝2i1＋3i ＝2i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝6＋2i 10＝35＋15i.故选A.]3.2019年全国两会(即中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议)于3月份在北京召开．代表们提交的议案都是经过多次修改．为了解代表们的议案修改次数，某调查机构采用随机抽样的方法抽取了120份议案进行调查，并进行了统计，将议案的修改次数分为6组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30]，得到如图所示的频率分布直方图．则这120份议案中修改次数不低于15次的份数为( )A ．40B ．60C ．80D ．100解析：B [由频率分布直方图可知，议案修改次数不低于15次的频率为(0.06＋0.03＋0.01)×5＝0.5，所以这120份议案中修改次数不低于15次的份数为120×0.5＝60.故选B.]4．已知角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转π4后经过点P (2，1)，则cos 2α＝( )A.23B ．－223C ．－23D.223解析：D [由题意，将角α的终边按逆时针方向旋转π4后所得角为α＋π4.因为|OP |＝(2)2＋12＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13＝33，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝23＝63.故cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×33×63＝223.故选D.] 5．(多选题)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．πe <3e B ．3e －2π<3πe －2 C ．log πe<log 3eD ．πlog 3e>3log πe解析：CD [本题考查利用函数的单调性比较大小．已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，∴π>3>e>2，∴⎝⎛⎭⎫π3e >1，πe >3e ，故A 错误；∵0<3π<1,1>e －2>0，∴⎝⎛⎭⎫3πe －2>3π，∴3e －2π>3πe －2，故B 错误；∵π>3，∴log πe<log 3e ，故C 正确；由π>3，可得log 3e>log πe ，则πlog 3e>3log πe ，故D 正确．故选CD.]6.如图是以AB 为直径的半圆，且AB ＝8，半径OB 的垂直平分线与圆弧交于点P ，PQ →＋DQ→＝0，则AQ →·BQ →＝( )A ．9B ．15C ．－9D ．－15解析：C [通解 连接OP ，由已知，得OD ＝DB ＝14AB ＝2，所以DP ＝OP 2－OD 2＝42－22＝2 3.由PQ →＋DQ →＝0可得Q 为线段PD 的中点，故DQ ＝12DP ＝ 3.因为AQ →＝AD →＋DQ →，BQ →＝BD →＋DQ →，所以AQ →·BQ →＝(AD →＋DQ →)·(BD →＋DQ →)＝AD →·BD →＋AD →·DQ →＋DQ →·BD →＋DQ →·DQ →＝6×2cos π＋0＋0＋(3)2＝－9.优解 以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－4,0)，B (4,0)，由PQ →＋DQ →＝0，设Q (2，m )，则有P (2,2m )，22＋(2m )2＝42，m 2＝3，又AQ →＝(6，m )，BQ →＝(－2，m )，所以AQ →·BQ →＝(6，m )·(－2，m )＝－12＋m 2＝－9.]7．函数f (x )＝cos (πx )e x －e－x 的大致图象有( )解析：C [由e x －e －x ≠0，解得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除B 项．因为f (－x )＝cos[π(－x )]e －x －e －(－x )＝cos (πx )－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，又f (1)＝cos πe 1－e －1＝－1e 1－e －1＜0，故排除A 项．设g (x )＝e x －e －x ，显然该函数单调递增，故当x ＞0时，g (x )＞g (0)＝0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，y ＝cos(πx )＞0，故f (x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，32时，y ＝cos(πx )＜0，故f (x )＜0，所以排除D 项．综上，选C.]8．已知函数f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，－12，将该函数的图象向右平移π3个单位长度后所得函数g (x )的图象关于原点对称，则ω的最小值是( )A.52 B ．2 C ．3D.83解析：A [由已知得f (x )＝sin(ωx ＋φ)，f (0)＝－12，得sin φ＝－12，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6.将该函数图象向右平移π3个单位长度后得函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤ωx －⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6的图象．由已知得函数g (x )为奇函数，所以ωπ3＋π6＝k π(k ∈Z )，解得ω＝3k －12(k ∈Z )．因为ω＞0，所以ω的最小值为52.]9．(2020·重庆市模拟)已知四棱锥S －ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于16＋163，则球O 的体积等于( )A.42π3B.162π3C.322π3D.642π3解析：D [由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥， ∵该四棱锥的表面积等于16＋163，设球O 的半径为R ，则AC ＝2R ，SO ＝R ，如图， ∴该四棱锥的底面边长为AB ＝2R ， 则有(2R )2＋4×12×2R ×⎝⎛⎭⎫22R 2＋R 2＝16＋163， 解得R ＝22，∴球O 的体积是43πR 3＝6423π.故选D.]10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b ＜4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则△ABC 的面积为( )A ．10 3B ．6 3C ．5 3D ．2 3解析：B [∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin(B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝60°.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b ＜4，∴b ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝6 3.] 11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交双曲线的左支于点M ，交双曲线的右支于点N ，且MF 2⊥NF 2，|MF 2|＝|NF 2|，则该双曲线的离心率是( )A. 3B. 2C. 5D.2＋1解析：A [由题意可设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，由点M 在双曲线的左支上，得|MF 2|－|MF 1|＝2a ，所以|MF 1|＝m －2a .由点N 在双曲线的右支上，得|NF 1|－|NF 2|＝2a ，所以|NF 1|＝m ＋2a .因为MF 2⊥NF 2，所以|MN |＝2m ，由|NF 1|＝|MF 1|＋|MN |，得m ＋2a ＝m －2a ＋2m ，所以m ＝22a .解法一 如图，在△MF 1F 2中，|MF 1|＝m －2a ＝(22－2)a ，|MF 2|＝m ＝22a .易知|F 1F 2|＝2c ，∠F 1MF 2＝135°，所以由余弦定理得4c 2＝8a 2＋(22－2)2a 2－2×22a ×(22－2)a ×cos 135°，得c 2＝3a 2，所以e ＝c a＝ 3.故选A.解法二 在△NF 1F 2中，|NF 1|＝m ＋2a ＝(22＋2)a ，|NF 2|＝22a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1NF 2＝45°，所以由余弦定理得4c 2＝8a 2＋(22＋2)2a 2－2×22a ×(22＋2)a ×cos 45°，得c 2＝3a 2，所以e ＝ca＝ 3.故选A.]12．已知函数f (x )＝1＋ln xe x，若方程[f (x )]2＋(1－a )f (x )－a ＝0有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1eB ．(－∞，－1)∪(]－1，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1eC ．(－∞，0]D ．(－∞，－1)∪(－1,0]解析：B [设t ＝f (x )，则方程为t 2＋(1－a )t －a ＝0，即(t －a )(t ＋1)＝0，解得t ＝a 或t ＝－1.函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ·e x －e x (1＋ln x )(e x )2＝1x －1－ln x e x .设g (x )＝1x －1－ln x ，显然该函数在(0，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，且当x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→0.如图，作出函数f (x )的大致图象．作出直线y ＝t ，由图可知当t ＞1e 时，直线y ＝t 与函数f (x )的图象没有交点；当t ＝1e 或t ≤0时，直线y ＝t 与函数f (x )的图象只有一个交点；当0＜t ＜1e 时，直线y ＝t 与函数f (x )的图象有两个交点．所以方程f (x )＝－1只有一个解，若a ＝－1，则原方程有两个相同的实数根，不符合题意，则a ≠－1，故由题意可得方程f (x )＝a 只有一个解，所以a ＝1e或a ≤0，且a ≠－1，故实数a 的取值范围为(－∞，－1)∪(－1,0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e .]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知二项式⎝⎛⎭⎫x 2－12x n 的展开式中所有项的系数之和为132，则展开式中x 的系数为____． 解析：根据题意，令x ＝1，得⎝⎛⎭⎫1－12n ＝132，即⎝⎛⎭⎫12n ＝132，解得n ＝5，故展开式的通项公式为C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－12x r ＝C r 5⎝⎛⎭⎫－12r x 10－3r .令10－3r ＝1，得r ＝3，则展开式中x 的系数为C 35×⎝⎛⎭⎫－123＝－54. 答案：－5414．已知P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －25y ＋8＝0上一动点，P 关于y 轴的对称点为M ，关于直线y ＝x 的对称点为N ，则|MN |的取值范围是________．解析：由题可得，圆C ：(x ＋2)2＋(y －5)2＝1，圆心为C (－2，5)，半径r ＝1.设P (x ，y )，则M (－x ，y )，N (y ，x )．|MN |＝(x ＋y )2＋(x －y )2＝2·x 2＋y 2＝2|OP |，易知|OC |－r ≤|OP |≤|OC |＋r ，|OC |＝3，所以2≤|OP |≤4,22≤|MN |≤42，所以|MN |的取值范围是[22，42]．答案：[22，42] 15.如图，四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的底面是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，DD 1＝AB ＝2A 1B 1，则异面直线AD 1与BC 1所成角的余弦值为________．解析：设AB 的中点为E ，连接ED 1，则易知BE ∥C 1D 1，BE ＝C 1D 1，∴四边形EBC 1D 1是平行四边形，∴BC 1∥ED 1，∴∠AD 1E 为异面直线AD 1与BC 1所成的角．∵四边形ABCD 是正方形，∴BA ⊥AD ，∵DD 1⊥底面ABCD ，∴BA ⊥DD 1，∴BA ⊥平面AA 1D 1D ，∴BA ⊥AD 1，△AED 1是直角三角形．设DD 1＝AB ＝2A 1B 1＝2a ，则AD 1＝AD 2＋DD 21＝(2a )2＋(2a )2＝22a ，ED 1＝AD 21＋AE 2＝(22a )2＋a 2＝3a ，∴cos ∠AD 1E ＝AD 1ED 1＝223.答案：22316．(2019·北京市顺义区第二次统考)已知拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点和双曲线x 2－y 23＝1右焦点F 2重合，则拋物线的方程为____________；P 为拋物线和双曲线的一个公共点，则点P与双曲线左焦点F 1之间的距离为________．解析：易知双曲线x 2－y 23＝1的右焦点F 2的坐标为(2,0)，左焦点F 1的坐标为(－2,0)，则拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(2,0)，则p2＝2，解得p ＝4，所以拋物线的方程为y 2＝8x .设点P 的坐标为(x 0，y 0)，易知x 0＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x 2－y 23＝1得3x 2－8x －3＝0，解得x 0＝3，则P (3,26)或P (3，－26)，则点P 与双曲线左焦点F 1(－2,0)之间的距离为[3－(－2)]2＋(±26)2＝7.答案：y 2＝8x ；7高考客观题(12＋4)·提速练(二) 限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，则A ∪B 的子集个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：D [由题意知A ∪B ＝{－1,0,2}，所以A ∪B 的子集个数为23＝8.故选D.] 2．已知复数z ＝21－i＋2i 3，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：A [z ＝21－i ＋2i 3＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )－2i ＝1＋i －2i ＝1－i ，∴z ＝1＋i ，∴复数z 在复平面内对应点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选A.]4．(2019·湖南永州一模)已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0.其中一定正确的结论是( ) A ．①② B ．①③④ C ．①③D ．①②④解析：C [设数列{a n }的公差为d ，因为a 1＋5a 3＝S 8，所以a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，a 1＝－9d ，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，所以a 10＝0，故①一定正确．S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－9nd ＋n (n －1)d 2＝d2(n 2－19n )，所以S 7＝S 12，故③一定正确．显然②与④不一定正确．故选C.]5．已知△ABC 中，E 为中线BD 的中点，AE →＝xBC →＋yBA →，则3x ＋y ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．－1解析：A [依题意可得，AE →＝BE →－BA →＝12BD →－BA →＝14(BC →＋BA →)－BA →＝14BC →－34BA →，所以x＝14，y ＝－34，所以3x ＋y ＝0.故选A.] 6．(2019·厦门市一模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25B.35C.18125D.54125解析：D [袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率p 1＝35，∴3次恰有2次抽到黄球的概率是：P ＝C 23⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫1－35＝54125.故选D.] 7．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若平行四边形ABCD 的面积为323，则函数f (x )的图象在y 轴右侧且离y 轴最近的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝23B ．x ＝43C ．x ＝2D ．x ＝83解析：A [设函数f (x )的最小正周期为T .因为平行四边形ABCD 的面积为323，结合三角函数图象可知2×23×T ＝323，得T ＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3，令π4x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝23＋4k ，k ∈Z .故选A.] 8.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为( )A ．24－3πB ．24－πC ．24＋πD ．24＋5π解析：B [由题意知该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的18球后的剩余部分，则其表面积S ＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π.故选B.]9．(多选题)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：AC [本题考查导数的运算法则．若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求，故选AC.]10．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，且c ＝2，sin C ＝35，则△ABC 的面积为( )A ．3 B.23 C ．3或13D ．6或23解析：C [由a cos A ＝b cos B 得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，又sin C ＝35，∴△ABC 只能是等腰三角形．当C为锐角时，∵sin C ＝35，∴cos C ＝45，∴sin C 2＝1010＝c 2a ＝c2b ，由c ＝2得b ＝a ＝10，∴△ABC 中AB 边上的高为3，∴△ABC 的面积为12×2×3＝3.当C 为钝角时，∵sin C ＝35，∴cos C ＝－45，∴sin C 2＝31010＝c 2a ＝c2b ，由c ＝2得b ＝a ＝103，∴△ABC 中AB 边上的高为13，∴△ABC 的面积为12×2×13＝13.综上，△ABC 的面积为3或13.故选C.]11．已知P 为双曲线y 23－x 2＝1上一点，若以OP (O 为坐标原点)为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A.52 B ．2 C.32D ．1解析：C [由题意知，双曲线y 23－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，O ，P ，A ，B 四点共圆，设该圆的半径为R ，易知∠AOB ＝π3，可得|AB |sin π3＝2R ，故|AB |＝3R ，故要求|AB |的最小值，只需求R 的最小值即可，显然当点P 位于双曲线的顶点时，|OP |最小，即R 最小，且R min ＝|OP |2＝32，故|AB |min ＝3R min ＝32.故选C.] 12．已知函数f (x )＝e x ＋e －x ＋2cos x ，其中e 为自然对数的底数，则对任意a ∈R ，下列不等式一定成立的是( )A ．f (a 2＋1)≥f (2a )B ．f (a 2＋1)≤f (2a )C ．f (a 2＋1)≥f (a ＋1)D ．f (a 2＋1)≤f (a )解析：A [本题主要考查函数的奇偶性、单调性以及导数与函数的关系，考查考生转化问题的能力和计算能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理．依题意可知，f (x )＝e x ＋e －x ＋2cos x ＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，f ′(x )＝e x －e －x －2sin x ，且f ′(0)＝0，令h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ≥0恒成立，所以f ′(x )＝e x －e －x －2sin x 在[0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )是偶函数，(a 2＋1)2－4a 2＝(a 2－1)2≥0，所以f (a 2＋1)≥f (2a )，故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析：通解：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.又∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.优解：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 答案：1214．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________.解析：∵a 3·a 9＝a 26，∴a 26＝2a 25，设等比数列{a n }的公比为q ，因此q 2＝2，由于q ＞0，解得q ＝2，∴a 1＝a 2q ＝12＝22.答案：2215．已知三棱锥S ABC ，△ABC 是直角三角形，其斜边AB ＝8，SC ⊥平面ABC ，SC ＝6，则三棱锥S ABC 的外接球的表面积为________．解析：将三棱锥S ABC 放在长方体中(图略)，易知三棱锥S ABC 所在长方体的外接球，即为三棱锥S ABC 的外接球，所以三棱锥S ABC 的外接球的直径2R ＝AB 2＋SC 2＝10，即三棱锥S ABC 的外接球的半径R ＝5，所以三棱锥S ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝100π.答案：100π16．已知拋物线C ：y 2＝2px 的焦点是F ，过F 且斜率为1的直线l 1与拋物线交于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向直线l 2：x ＝－4作垂线，垂足分别是D ，C ，若四边形ABCD 的周长为36＋82，则拋物线的标准方程为________．解析：易知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线l 1的方程为y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.∵|AD|＝x1＋4，|BC|＝x2＋4，∴|AD|＋|BC|＝x1＋x2＋8＝3p＋8.又|CD|＝|AB|sin 45°＝4p·2＝22p，且四边形ABCD的2周长为36＋82，∴4p＋3p＋8＋22p＝36＋82，∴p＝4，故拋物线的方程为y2＝8x.答案：y2＝8x高考客观题(12＋4)·提速练(三) 限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x ＋1)}，B ＝{x ||x |＜2}，则A ∩B 等于( ) A ．(－2,0) B ．(0,2) C ．(－1,2)D ．(－2，－1)解析：C [由x ＋1＞0，得x ＞－1，∴A ＝(－1，＋∞)， B ＝{x ||x |＜2}＝(－2,2)，∴A ∩B ＝(－1,2)．故选C.]2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2等于( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2解析：A [解法一 z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ，z 2＝(1－i)2＝－2i.解法二 (z i)2＝(1＋i)2，－z 2＝2i ，z 2＝－2i.故选A.]4．(2019·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝2|x |C ．y ＝x －2D ．y ＝log 3(－x )解析：B [选项A ，函数是奇函数，不满足条件；选项B ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝2|x |＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，满足条件；选项C ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝x －2＝1x 2是增函数，不满足条件；选项D ，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.]5．(2019·龙岩市模拟)党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩.2013年至2016年4年间，累计脱贫5 564万人，2017年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务．某地区对当地3 000户家庭的2017年的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据(单位：千元)的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则年收入不超过6万的家庭大约为( )A ．900户B ．600户C ．300户D ．150户解析：A [由频率分布直方图得：年收入不超过6万的家庭所占频率为：(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴年收入不超过6万的家庭大约为0.3×3 000＝900.故选A.]6．(2019·贵州贵阳适应性考试)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n ；③若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；④若α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ，则m ∥n .其中是真命题的序号是( ) A ．①④ B ．①② C ．②③④D ．④解析：D [对于①，垂直于同一个平面的两个平面可能相交，故命题①是假命题；对于②，分别在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，故命题②是假命题；对于③，直线m 与n 可能异面，故命题③是假命题；对于④，由面面平行的性质定理知命题④是真命题．故选D.也可在判断出命题①②是假命题之后直接排除A ，B ，C ，从而选D.]7．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是( )解析：B [因为f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x ，所以x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞1，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A ，D.因为函数u ＝x －1x 在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y ＝ln u 在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增．]8．《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作．其中一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的节气(小暑)晷长为( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．一丈二尺五寸解析：A [设晷长为等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝135，a 13＝15，则135＋12d ＝15，解得d ＝－10.∴a 14＝135－10×13＝5，∴夏至之后的节气(小暑)的晷长是5寸．故选A.] 9．已知函数f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos 2x ＋12(x ∈R )，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π2B ．函数f (x )的图象关于y 轴对称C ．点⎝⎛⎭⎫π6，0为函数f (x )图象的一个对称中心D ．函数f (x )的最大值为12解析：D [函数f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos 2x ＋12＝32⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3－1＋cos 2x 2＋12 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R )， 由ω＝2知，f (x )的最小正周期为π，A 错误； ∵f (0)＝12sin π6＝14不是最值，∴f (x )的图象不关于y 轴对称，B 错误； ∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝12sin π2＝12≠0，∴点⎝⎛⎭⎫π6，0不是函数f (x )图象的一个对称中心，C 错误； ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1,1]， ∴f (x )的最大值是12，D 正确．故选D.]10．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述正确的是( )①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省只有1个； ②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长； ③去年同期的GDP 总量前三位是江苏、山东、浙江； ④2016年同期浙江的GDP 总量也是第三位． A ．①② B ．②③④ C ．②④D ．①③④解析：B [总量排序为：江苏，山东，浙江，河南，辽宁；增速排序为：江苏，辽宁，山东，河南，浙江；则总量和增速均居同一位的省有河南，江苏两省，说法①错误；与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长，说法②正确；去年同期的GDP 总量前三位是江苏，山东，浙江，说法③正确；2016年的GDP 总量计算为：浙江：4 632.11＋3.3%，江苏：6 653.21＋10.2%，河南：4 067.41＋6.6%，山东：6 469.31＋7%，辽宁：2 642.21＋9.6%，据此可知，2016年同期浙江的GDP 总量也是第三位，说法④正确．]11．过双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p ＞0)于点N ，其中C 1，C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋12解析：D [设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为F 2(c,0)，因为曲线C 1，C 3有一个共同的焦点，所以y 2＝4cx .因为O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，所以OM 为△F 1F 2N 的中位线，即OM ∥NF 2，且|OM |＝12|NF 2|，因为|OM |＝a ，所以|NF 2|＝2a ，因为OM ⊥NF 1，所以NF 2⊥NF 1，又|F 1F 2|＝2c ，所以|NF 1|＝2b .设N (x ，y )，过点F 1作x 轴的垂线，则由拋物线的定义得x ＋c ＝2a ，即x ＝2a －c ， 过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，则在Rt △NPF 1中，由勾股定理，得y 2＋4a 2＝4b 2，即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)，即e 2－e －1＝0，且e ＞1，解得e ＝1＋52.故选D.]12．以区间(0，m )内的整数(m ＞1，且m ∈N )为分子，以m 为分母的分数组成集合A 1，其所有元素之和为a 1；以区间(0，m 2)内的整数(m ＞1，且m ∈N )为分子，以m 2为分母组成不属于A 1的分数集合A 2，其所有元素之和为a 2……以此类推，以区间(0，m n )内的整数(m ＞1，且m ∈N )为分子，以m n 为分母组成不属于集合A 1，A 2，…，A n －1的分数集合A n ，其所有元素之和为a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝( )A.m n ＋12B.m n －12C.m n 2D.n 2解析：B [由题意得a 1＝1m ＋2m ＋…＋m －1m ，a 2＝1m 2＋2m 2＋…＋m 2－1m 2－a 1，a 3＝1m 3＋2m 3＋…＋m 3－1m3－a 2－a 1，所以a n ＝1m n ＋2m n ＋…＋m n －1mn －a n －1－a n －2－…－a 2－a 1，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1m n ＋2m n ＋…＋m n －1m n＝1mn [1＋2＋…＋(m n －1)]＝1m n ·(m n －1)(1＋m n －1)2＝m n－12.故选B.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·信阳市质检)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆C ：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0相交于A ，B 两点，且|AB →|＝15，则CA →·CB →＝________.解析：圆C ：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0⇔(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，|AB |＝2|AD |＝2|AC |·sin ∠CAD ， ∴15＝2×5×sin ∠CAD ，∴∠CAD ＝30°， ∴∠ACB ＝120°，则CA →·CB →＝5×5×cos 120°＝－52.答案：－5214．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是________．(用数字作答)解析：由题意得任取两球有C 26种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故每人摸球一次中奖的概率为6C 26＝25，故4人中有3人中奖的概率为C 34⎝⎛⎭⎫253×35＝96625.答案：9662515．甲、乙两人玩报数游戏，其规则是：两人从1开始轮流连续报数，每人每次最少报2个，最多可以报5个(如第一个人先报“1,2”，则另一个人可以有“3,4”“3,4,5”“3,4,5,6”“3,4,5,6,7”“3,4,5,6,7,8”五种报数方法)．抢先报到“110”的人获胜．如果从甲开始，那么甲要想必胜，第一次报的数应该是________．解析：因为110＝7×15＋5，所以只要甲先报“1,2,3,4,5”，之后不管乙报几个数，甲报的数的个数与乙报的数的个数的和为7即可保证甲必胜．所以甲要想必胜，第一次报的数应该是1,2,3,4,5. 答案：1,2,3,4,516．(双空填空题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－2x ，x <0.若f (x )≤1，则实数x 的取值范围是________；若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：本题考查利用数形结合思想研究函数的零点．当x ≥0时，f (x )≤1即－x 2＋2x ≤1，即(x －1)2≥0，则x ≥0成立；当x <0时，f (x )≤1即－2x ≤1，解得－12≤x <0.综上，实数x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞.由题意，方程f (x )－kx ＝3即f (x )＝kx ＋3有三个相异的实根，则函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋3的图象有三个不同的交点．作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．由题意知直线y ＝kx ＋3和y ＝－2x (x <0)的图象必有一个交点，所以－2<k <0，则y ＝kx ＋3与y ＝－x 2＋2x (x ≥0)的图象必有两个交点．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y ＝－x 2＋2x (x ≥0)，整理得x 2＋(k －2)x ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(k －2)2－12>0，2－k >0，解得k <2－2 3.所以实数k 的取值范围是(－2,2－23)．答案：⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ (－2,2－23) 高考客观题(12＋4)·提速练(四) 限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合A ＝{－2，－1,1,2}，B ＝{－3，－1,0,2}，则A ∩B 的元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．1解析：A [A ＝{－2，－1,1,2}，B ＝{－3，－1,0,2}， 则A ∩B ＝{－1,2}，含有2个元素，故选A.]2．i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( )A ．2B ．1C ．0D.12解析：C [因为2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝a ＋b i ，所以a ＝32，b ＝－12.所以lg(a ＋b )＝lg 1＝0.故选C.]3．已知a ＞b ，则“c ≥0”是“ac ＞bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：B [当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2＞b ＝1，c ＝0时，ac ＞bc 不成立，所以充分性不成立，当⎩⎪⎨⎪⎧ac ＞bc ，a ＞b 时，c ＞0成立，c ≥0也成立，所以必要性成立，所以“c ≥0”是“ac ＞bc ”的必要不充分条件．]4．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( ) A ．向右平移π6个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位解析：B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，将其图象向左平移π6个单位，可得y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，故选B.] 5．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：C [(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.]6.(2019·辽宁丹东测试)图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S ＝S (a )(a ≥0)是图中阴影部分介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分的面积，则函数S (a )的图像大致为( )解析：C [根据图形可知在[0,1]上面积增长的速度变慢，在图像上反映出切线的斜率在变小，可排除A ，B ；在[1,2]上面积增长速度恒定，在[2,3]上面积增长速度恒定，而在[1,2]上面积增长速度大于在[2,3]上面积增长速度，可排除D ，故选C.]7．设A (0,1)，B (1,3)，C (－1,5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →等于( ) A ．－2AD →B ．2AD →C ．－3AD →D ．3AD →解析：C [因为A (0,1)，B (1,3)，C (－1,5)，D (0，－1)， 所以AB →＝(1,2)，AC →＝(－1,4)，AD →＝(0，－2)， 所以AB →＋AC →＝(0,6)＝－3(0，－2)＝－3AD →，故选C.]8．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( ) A ．11 B ．12 C ．20D ．22解析：D [设等差数列的公差为d (d ＞0)，则由(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )－(a 1＋5d )2＝0，得(a 1＋5d )(a 1＋5d －2)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2，又a 1＞0，所以a 1＋5d ＞0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×2＝22，故选D.]9．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线分别交双曲线左、右两支于点M ，N ，连接MF 2，NF 2，若MF 2→·NF 2→＝0，|MF 2→|＝|NF 2→|，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：B [由MF 2→·NF 2→＝0，知MF 2→⊥NF 2→.又|MF 2→|＝|NF 2→|，则|MF 2→|＝|NF 2→|＝22|MN →|，且∠F 1NF 2＝45°.由双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 2→|－|MF 1→|＝2a |NF 1→|－|NF 2→|＝2a ，两式相加，得|MF 2→|－|NF 2→|＋|MN →|＝4a ，即|MN →|＝4a ，则|NF 2→|＝22a ，所以|NF 1→|＝2a ＋|NF 2→|＝(2＋22)a .在△NF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2→|2＝|NF 1→|2＋|NF 2|2－2|NF 1→|·|NF 2→|cos ∠F 1NF 2，即4c 2＝(22a )2＋(2＋22)2a 2－2×22a ×(2＋22)a ×22，整理，得c 2＝3a 2，所以e 2＝3，即e ＝3，故选B.] 10．(2019·福州市质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：C [设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝⎛⎭⎫12n，由⎝⎛⎭⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.]11．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 将△ABC 折成直二面角B －AD －C ，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：C [如图，连接BC ，设四面体ACBD 外接球的球心为O ，AB 的中点为M ，连接MD ，OM ，OD ，∵AD ⊥BD ，∴△ABD 外接圆的圆心为AB 的中点M .∵二面角B －AD －C 为直二面角，且平面ABD ∩平面ACD ＝AD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面ABD ，易知OM ⊥平面ABD ，∴OM ∥CD ，OM ⊥MD .连接OC ，在直角梯形OMDC 中，易得CD ＝2OM .设该外接球的半径为R ，则R 2＝MD 2＋OM 2＝MD 2＋⎝⎛⎭⎫12CD 2＝54，∴该外接球的表面积为4πR 2＝5π，故选C.] 12．已知x ∈(0,2)，关于x 的不等式x e x ＜1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．[0，e ＋1)B ．[0,2e －1)C ．[0，e)D ．[0，e －1)解析：D [依题意，k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0,2)都成立， 所以k ≥0，因为x e x ＜1k ＋2x －x 2，所以k ＜e x x＋x 2－2x ，令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，f ′(x )＝e x(x －1)x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e x x 2＋2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1，当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，函数递增， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数递减， 所以f (x )的最小值为f (1)＝e －1， 所以0≤k ＜e －1，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为________．解析：由题意得，所有的基本事件总数为44＝256，若恰有一个项目未被抽中，则说明4名职工总共抽取了3个项目，符合题意的基本事件数为C 34·C 13·C 24·A 22＝144，故所求概率p ＝144256＝916. 答案：91614．已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.解析：f (x )＝ax ln x ＋b 的导数为f ′(x )＝a (1＋ln x )， 由f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＝0， 易知f (1)＝2，即b ＝2， f ′(1)＝2，即a ＝2，则a ＋b ＝4. 答案：415．在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P .上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°，俯角60°的C 处，则轮船的航行速度是________千米/时．解析：P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，∠APB ＝60°，∠APC ＝30°，P A ＝1(千米)，AC ＝33千米，AB ＝3千米 从而BC ＝303(千米)， 于是速度v ＝BC ÷16＝230(千米/时)．答案：23016．已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b 的最小值等于________．解析：作出函数f (x )的草图，如图所示，若f (a )＝f (b )，a ＞b ＞0， 则0＜b ＜1，a ＞1，则f (a )＝|lg a |＝lg a ，f (b )＝|lg b |＝－lg b ，因为f (a )＝f (b )， 所以lg a ＝－lg b ， 即lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝0， 解得ab ＝1. 因为a ＞b ＞0， 所以a －b ＞0，所以a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b≥2(a －b )·2a －b＝22，当且仅当a －b ＝2a －b ，即a －b ＝2时取等号．故a 2＋b 2a －b 的最小值等于2 2. 答案：2 2Ⅱ：高考中档大题·满分练(一) 限时45分钟 满分46分解答题(本大题共4小题，共46分)1．(12分)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1，数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.2．(12分)(2019·谓南市一模)已知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－cos x . (1)写出f (x )的最小正周期，并求f (x )的最小值；(2)已知a 、b 、c 分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，b ＝53，cos A ＝35且f (B )＝1，求边a 的长．解：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－cos x ＝3sin x cos π3＋3cos x sin π3－cos x ＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π，当x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－2π3＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1；(2)△ABC 中，b ＝53，cos A ＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45；又f(B )＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，∴B ＋π6＝π2，解得B ＝π3， ∴a sin A ＝b sin B ，a 45＝53sin π3，解得a ＝8. 3．(12分)如图1，在等腰梯形PDCB 中，PB ∥DC ，PB ＝3，DC ＝1，∠DPB ＝45°，DA ⊥PB 于点A ，将△P AD 沿AD 折起，构成如图2所示的四棱锥P －ABCD ，点M 在棱PB 上，且PM ＝12MB .(1)求证：PD ∥平面MAC ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求二面角M －AC －B 的余弦值． 解：(1)证明，连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，依题意知AB ∥CD ，所以△ABN ∽△CDN ，所以BN ND ＝BACD ＝2，因为PM ＝12MB ，所以BN ND ＝BMMP＝2，所以在△BPD 中，MN ∥PD ， 又PD ⊄平面MAC ，MN ⊂平面MAC . 所以PD ∥平面MAC .(2)因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以P A ⊥平面ABCD ， 所以P A ⊥AB ，又AD ⊥AB ，所以P A ，AD ，AB 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AD →，AB →，AP →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为AP ＝AD ＝1，AB ＝2，且PM ＝12MB ，所以A (0,0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫0，23，23，C (1，1,0)， 所以AP →＝(0,0,1)，AM →＝⎝⎛⎭⎫0，23，23，AC →＝(1,1,0)，因为P A ⊥平面ABCD ， 所以n 1＝AP →＝(0,0,1)为平面ABC 的一个法向量． 设平面MAC 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AM →＝0，n 2·AC →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧23y ＋23z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，所以n 2＝(1，－1,1)为平面MAC 的一个法向量． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11×3＝33，所以二面角M －AC －B 的余弦值为33. 4．(12分)随着大数据统计的广泛应用，给人们的出行带来了越来越多的方便．郭叔一家计划在8月11日至8月20日暑假期间游览上海Disney 主题公园．通过上网搜索旅游局的统计数据，该Disney 主题公园在此期间“浏览舒适度”(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%～60%为一般，60%以上为拥挤)情况如图所示．郭叔预计随机在8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．(1)求郭叔连续两天都遇上拥挤的概率．(2)设X 是郭叔游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望．(3)由图判断从哪天开始连续三天浏览舒适度的方差最大？(直接写出结论不要求证明，计算)．解：设A i 表示事件“郭叔8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”(i ＝1,2，…，9)．根据题意，P (A i )＝19.(1)设B 为事件“郭叔连续两天都遇上拥挤”， 则B ＝A 4∪A 7.所以P (B )＝P (A 4∪A 7)＝P (A 4)＋P (A 7)＝29.(2)由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝P (A 4∪A 7∪A 8)＝P (A 4)＋P (A 7)＋P (A 8)＝13，P (X ＝1)＝P (A 3∪A 5∪A 6∪A 9)＝P (A 3)＋P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 9)＝49，P (X ＝2)＝P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝29.所以X 的分布列为X 0 1 2 P134929故X 的期望E (X )＝0×13＋1×49＋2×29＝89.(3)由图可知，8月12,8月13,8月14连续三天游览舒适度的方差最大．高考中档大题·满分练(二) 限时45分钟 满分46分解答题(本大题共4小题，共46分)1．(12分)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin A cos 2A －3cos(B。

第三部分：三角函数、平面向量（6）（限时：时间45分钟，满分100分）一、选择题1.若A 、B 、C D 是平面内任意四点，给出下列式子：①A1B + C D = B C + D t :②人乙+ B D = B C + A 1D :③人乙一B 1D = D C + A E .其中正确的 有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【解析】 ①式的等价式是 A E — B~C = D A — C D ，左边=A E + C B 右边=D A + D C ，不 一定相等；②式的等价 式是AJ C — B C = A 1D — B E , A T ! + C B = A I D + DB = A E成立；③式的等 价式是 A E — D E = A !B + B E , A I D = A D 成立，故选 C. 【答案】 C2 . （2020年福鼎）0是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满 足：O P = O 1 +入（A E + A C ），入 € （0,+^），则直线 AP 一 定通过△ ABC 的（ ）A .外心B .内心C.重心D .垂心【解析】 由 O P = O 1 +入（A E + A E ），得 O P — O 1 =入（A E+ A C ）, 即 A"P =入（A E + A~C ）,•••△ ABC 中BC 的中线在直线 AP 上,故直线AP 一定通过厶ABC 的重心.【答案】 C3.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC 若 P E + P E + P 「C = A B ，则（ ）A. 点P 在厶ABC 外部B. 点P 在线段AB 上C. 点P 在线段BC 上D. 点P 在线段AC 上【解析】 TP E + P E + P"C = A E,即 P E + P E + B E + P E = 0, • P E + P E + P E= 0, E + P E + P E — A E=0,2P E = C P，•点P在线段AC上.4 .（2020年柳州上学期期末）已知O 为厶ABC 内一点，且OA OC 2O B= 0,则厶AOC W^ ABC 的面积之比是（ ）A . 1 : 2B . 1 ：3C. 2 : 3 D . 1 ：1【解析】 设AC 的中点为D,则 O A + O C = 2O D ,/•O A + O C + 2O B = 2O D + 2O B = 0•••O D = - OB ,即点O 为AC 边上的中线BD 的中点，S A AOC 1…S A ABC T 2.【答案】 A5. （201 1年正定模拟）已知向量a 、b 、c 中任意两个都不共线，并且 a + b 与c 共线，b + c 与a 共线，那么a + b + c 等于（）A . aB . bC. c D . 0【解析】•/ a + b 与c 共线，• a + b =^ 1C ①又T b + c 与a 共线，• b + c =^ 2a由①得：b =^ 1C — a . --b + c =^ 1C — a + c =（入 1 + 1） c — a =^ 2a ,卩 I 二- 1即 ，•• a + b + c =— c + c = 0.【答案】 D 二、填空题6 .已知a 与b 是两「个不共线向量，且向量 a +入b 与一（b — 3a ）共线，贝U 入= __________【解析】 由已知得a +入b =— k （ b — 3a ）,入 1 + 1 =入 =— 1h =-丄f J解得3.(3/L-1 , II ai【答案】—337.在？ABCD中，A E = a, A l D = b, A N = 3N C , M为BC的中点，贝U M N = ____ .(用a、b表示)【解析】由A1N = 3N C，得4ANI = 3A~C = 3(a+ b),A"M = a+ 2b,N 3 111•••M N = 4(a+ b) - (a+ 2b)一4a+4b-1 1【答案】一：a+ 4b8.如图，|0K| = 1, |01?| = 3, |O"C| = 2,/ AOB=Z BOC= 30°,用O1, O B 表示O C，贝U O C = __________ .【解析】作O1的相反向量O A '，过C作CD// OB交直线OA于D,作CE// OD交直线OB于E,则O C = O D + O E ,在厶 OCE 中，CE = 2, OE= 2 ：3,•••OlD = 2OA T = — 2O X , O E = 2O B .• O 1 = — 2O 1 + 2O B .【答案】 —2OA + 2OB三、解答题9.Q A 试确定入的值.再 r A A A 1 A A【解析】 AA NP — NA = 2（BN —CN ）=2<B N + NC = ^Bc,又 QA=血血 ^B M-XA M1 A A=gBW 入 MC且又A P ^ 3AgBMi^ 入 MC = 2BC ,BM^ MC= BC, 如右图所示，在厶ABC 中, 在BN 的延长线上取点P ,使得1 1 N,使得AN= 3AC,在AB 上取点 M 使得AM= §ABNP = 1B N 在CM 的延长线上取一点 Q 使得MQ=^ CM 时，辰 在AC 上取点如右图所示，已知A OAB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点, DC 和 OA 交于 E ,设 OA = a , 8B = b .(1.)用a 和b 表示向量O C D C ；(2)若洗=入OA 求实数入的值.【解析】(1)由条件可得，OB^ 0C= 2OA• OC = 2O A - 0B= 2a -b .T T T 2 T TCD= OD- O(= 3OA OC 3• ••入=12.10.D在 OB 上，且 OD= 2DB2 5 =3b —(2 * * a — b) = — 2a +3b ， • D C = 2a -|b .⑵设CE = m C D• - OE= OC+ CE = OGF mCD =2a - b + m - 2a + 5b5=(2 — 2m) a + 3m- 1 b . 又OE=^ OA=^ a , 2— 2m =入， 5§m- 1 = 0,3 m= 5, 解得 4入=5, 故入=4. 5。

利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！ 一、选择题：(每题5分，共60分)1．已知a 为不等于零的实数，那么集合{}R x x a x x M ∈=++-=,01)1(22的子集的个数为A ．1个B ．2个C ．4个D ．1个或2个或4个2．函数x x y cot tan -=的最小正周期是A ．2π B ．π C ．2π D ．3π 3．已知关于x 的不等式b xax ≥+的解集是[-1，0）则a +b = A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．34．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB =4，则满足条件的直线l 有A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数条 5．若向量d a c b a b c a d 与则,)()(⋅⋅-⋅⋅=的夹角是A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 6．设a 、b 是两条异面直线，P 是a 、b 外的一点，则下列结论正确的是A ．过P 有一条直线和a 、b 都平行；B ．过P 有一条直线和a 、b 都相交；C ．过P 有一条直线和a 、b 都垂直；D ．过P 有一个平面和a 、b 都垂直。

7．互不相等的三个正数321,,x x x 成等比数列，且点P 1（，，)log ,(log )log ,log 22211y x P y x b a b a )log ,(log 333y x P b a 共线 )1,0,10(≠>≠>b b a a 且且则1y ，成32,y yA ．等差数列，但不等比数列；B ．等比数列而非等差数列C ．等比数列，也可能成等差数列D ．既不是等比数列，又不是等差数列8．若从集合P 到集合Q={}c b a ,,所有的不同映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同映射共有A ．32个B ．27个C ．81个D ．64个9．对于函数⎩⎨⎧<≥=时当时当x x xx x xx f cos sin cos cos sin sin )(给出下列四个命题：①该函数的值域为[-1，1]②当且仅当;1,)(22该函数取得最大值时z k k x ∈+=ππ③该函数是以π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当0)(,)(2322<∈+<<+x f z k k x k 时ππππ 上述命题中错误命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知等差数列{}{}121211,,++==n n n n b a b a b a 且各项都是正数和等比数列，那么，一定有A．1111.++++≥≤n n n n b a B b a C 、1111.++++>>n n n n b a D b a二、填空题：(每題4分，共16分)11、若31)3tan(,53)tan(=-=+πy y x ,则)3tan(π+x 的值是 .12、不等式xx m 22+≤对一切非零实数x 恒成立 , 则m 的取值范围是 .13、如图，底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD =AD , 则PA 与BD 所成的角等于 .14、若函数)3(log )(2+-=kx x x f k 在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,k 上是减函数，则实数k 的取值范围是 。

第三部分：三角函数、平面向量（4）（限时：时间45分钟，满分100分）2), b = ( — 4, - 3), c = (x , y)，若 a — 2b + 3c = 0，则 c 等于(13 4 D —————一 D. 3， 3 【解析】 a — 2b + 3c = (13 + 3x,4 + 3y) = (0,0),【答案】 D2 . (2020年石家庄二模)在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 AB = (2,4) , AC= (1,3)，则 BD 等于( )A . ( — 2, — 4)B . ( — 3,— 5)C. (3,5) D . (2,4)【解析】 在平行四边形 ABCD 中, A C = AB+ A D, BD= A D — A B,••• BD= (A C — A B) — AB= (1,3) — 2(2,4)=(1,3) — (4,8) = ( — 3, — 5).【答案】 B3. 设向量 a = (1 , — 3) , b = ( — 2,4) , c = ( — 1,— 2)，若表示向量 4a, 4b — 2c, 2( a — c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A . (2,6)B . ( — 2,6)C. (2 , — 6) D . ( — 2, — 6)【解析】 由题知：4a = (4 , — 12),4b — 2c = ( — 6,20),2( a — c ) = (4 , — 2).由题意知：4a + 4b — 2c + 2( a — c ) + d = 0,则(4 , — 12) + ( — 6,20) + (4 , — 2) + d = 0,即(2,6) + d = 0，故 d = ( — 2,— 6).【答案】 D3 1 14. (2020年广东五校联考)设a = sinx , 4 , b = 3, ^cosx ，且a // b ,则锐角x 为(、选择题 A. 1, B. 13 81 .已知 a = (5 , C. 13 4 亍，3 13+ 3x = 04+ 3y = 0 ，解得134)A. nB. n6 Tn 5C.=D. n3 123 1 1【解析】•/ a =sinx ,,b=4 ,3，qcosx，且a //b,1 3 1 1 1 ••• ^inxcosx —4X 3= 0,即卩4Sin2x —才=0, /• si n2x = 1.n n 又Tx 为锐角，•• 2x= —, x=—.【答案】B5. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1) , B( —1,3)3 6B其中a、B€ R且a + 3= 1，则点C的轨迹方程为()2 2A. 3x + 2y —11 = 0 B . (x —1) + (y —2) = 5C. 2x —y = 0 D . x + 2y —5 = 0【解析】由已知得6A= (3,1) , OB= ( —1,3),设C(x , y)，由OC=a OM3 OB 得(x , y) = a (3,1) +3 (—1,3),又a+3= 1 ,1 1• 10(3x + y) + 10(3y —x) = 1,即x + 2y —5= 0.【答案】D二、填空题6. e*1, e2 是不共线向量，且 a = —e1 + 3e2, b = 4e1 + 2e2, c=—组基底，贝U a= _______ .r【解析】设a=^ 1b +入2c,则一e1 + 3e2 =入1(4 e1 + 2e2) + 入2( —3e1 + 12e2)即一e1 + 3e2= (4 入 1 — 3 入2) e1 + (2 入 1 +12 入2)e2,若点C满足OC=a OAFx= 3 a — 3 y=a + 3 3 ，解得1a = 10(3x +y)3e1+ 12e2，若b, c 为2 入 i + 12 入 2 = 31 7a =—血b + 27c.1 7【答案】 —18b + 27c7. _____________________________________________________________________ 向量 a = (1,2) , b = (x,1) , c = a + b , d = a — b ,若 c // d ,则实数 x= ________________________ .【解析】 c = a + b = ( 1 + x,3) , d = a — b = (1 — x,1),由 c // d ,得 1 + x — 3(1 — x) = 0,解得x = 1.1【答案】8. ________________________________ (2020 年启东模拟)已知向量集合 M = {a |a = (1,2) +入(3,4)，入 € R}, N= { b | b =(— 2,— 2) +入(4,5)，入 € F}，贝U MA N= r ___.【解析】 由(1,2) +入 1(3,4) = ( — 2, — 2) +入 2(4,5),1 + 3 入 1 = — 2+ 4 入 22 + 4 入 1=— 2+ 5 入 2入 1 = — 1解得，••• Min N= {( — 2,— 2)}. 入2= 0【答案】{( — 2, — 2)}三、解答题9 .已知 A(1 , — 2) , B(2,1) , C(3,2)和 D( — 2, 3)，以 A B. A C 为一组基底来表示 A D + BD + C D【解析】 由已知得：AiB= (1,3) , A C = (2,4),—A —A—A AD= ( — 3,5) , BD= ( — 4,2) , CD= ( — 5,1),—3,5) + ( — 4,2) + ( — 5,1) = ( —12,8 ) 解得 入 2= 27A T+ BD )+ CD =( 17设AD+ BD+ CD=^ 1AB+入s AC,则(—12,8)=入1(1,3) +入2(2,4),3 入i +4 入2= 8入 1 = 32解得入2=—22 ，••• AD B D^C D= 32AB- 22AC2 1 110•已知向量a= (1,2) , b= ( —2,1) , k, t 为正实数，x = a + (t + 1) b, y =—匚a+厂b, k t 问是否存在k、t，使x// y,若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.2【解析】x = a+ (t + 1)b2 2 2=(1,2) + (t + 1)( —2,1) = ( —2t — 1 , t + 3)1 1 1 1y= —k a+严=—k(1,2) + f(—2,1)1 2 2 1 =—k —t，—k +1，假设存在正实数k, t使x// y，则2 2 1 2 1 2(—2t —1)( —k +1) —(t + 3)( —k —-) = 0,t2+ 1 1 3化简得k~ +厂=0，即t +1 + k = 0,••• k, t是正实数，故满足上式的k, t不存在,•不存在这样的正实数k, t，使x / y.。

增分强化练1．(2019·乌鲁木齐质检)在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝1＋t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中．曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．解析：(1)消去参数t ，则直线l 的普通方程为x －2y ＋2＝0,因为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，故ρ＝2cos θ－2sin θ，即ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0.(2)圆心(1，－1)到直线x －2y ＋2＝0的距离d ＝5>2，故直线l 与曲线C 是相离的位置关系．2．(2019·安阳模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，点M 在曲线C 上，求△MAB 面积的最大值.解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4sin α(α为参数)消去参数α可得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2得12ρcos θ＋32ρsin θ＝2， 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －4＝0.(2)由(1)得A (4,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，433，所以|AB |＝833，设M (4cos α，4sin α)，则点M 到直线AB 的距离为d ＝|4cos α＋43sin α－4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－2， 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d max ＝6.故△MAB 的面积的最大值为12×833×6＝8 3.3．(2019·济宁模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋cos φy ＝3＋sin φ(φ为参数)．(1)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝α与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求1|OA |＋1|OB |的取值范围．解析：(1)曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1， 即x 2＋y 2＋2x －23y ＋3＝0，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ－3sin θ)＋3＝0. (2)把θ＝α代入ρ2＋2(cos θ－3sin θ)ρ＋3＝0得ρ2＋2(cos α－3sin α)ρ＋3＝0.设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则ρ1＋ρ2＝2(3sin α－cos α)，ρ1ρ2＝3.所以1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝2(3sin α－cos α)3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，又射线θ＝α与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，∴π2<α<5π6，∴π3<α－π6<2π3，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6≤1， ∴233<1|OA |＋1|OB |≤43， ∴1|OA |＋1|OB |的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤233，43. 4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t y ＝－3t(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝23cos θ－2sin θ. (1)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)设直线l 交曲线C 1于O 、A 两点，交曲线C 2于O 、B 两点，求|AB |的长．解析：(1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)可化为直角坐标方程：(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， 可得ρ2－4ρcos θ＝0，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.曲线C 2：ρ＝23cos θ－2sin θ，即ρ2＝23ρcos θ－2ρsin θ， 则C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝4. (2)法一：直线l 的直角坐标方程为y ＝－33x ， 所以l 的极坐标方程为θ＝5π6(ρ∈R)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝5π6ρ＝4cos θ，得ρA ＝－23，联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝5π6ρ＝23cos θ－2sin θ，得ρB ＝－4，|AB |＝|ρA －ρB |＝4－2 3.法二：直线l 的直角坐标方程为y ＝－33x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33xx 2－4x ＋y 2＝0，解得A (3，－3)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x(x －3)2＋(y ＋1)2＝4，解得B (23，－2)，所以|AB |＝ (23－3)2＋(－2＋3)2＝4－2 3.增分强化练考点一 绝对值不等式的解法 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象所围成的多边形面积为92，求实数a 的值．解析：(1)由题意，可得函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥1x ＋2，－12＜x ＜1－3x ，x ≤－12，由f (x )≥3可知：①当x ≥1时，3x ≥3，即x ≥1；②当－12＜x ＜1时，x ＋2≥3，即x ≥1，与－12＜x ＜1矛盾，舍去；③当x ≤－12时，－3x ≥3，即x ≤－1；综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,3)，由k AB ＝1，知y ＝x ＋a 图象与直线AB 平行，若要围成多边形，则a ＞2.易得y ＝x ＋a 与y ＝f (x )图象交于两点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3a 4， 则|CD |＝2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋a 4＝324a .平行线AB 与CD 间的距离d ＝|a －2|2＝a －22，且|AB |＝322，∴梯形ABCD 的面积S ＝322＋324a 2·a －22＝32＋34a 2·(a －2)＝92，(a ＞2)．即(a ＋2)(a －2)＝12，∴a ＝4， 故所求实数a 的值为4.考点二 与绝对值有关的参数范围问题(2019·淮南模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋2. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)>f (7)；(2)设g (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)>f (7)等价于|x －2|＋|x －1|>3， ①当x >2时，原不等式即为2x －3>3，解得x >3，所以x >3； ②当1<x ≤2时，原不等式即为1>3，解得x ∈∅，所以x ∈∅； ③当x ≤1时，原不等式即为－2x ＋3>3，解得x <0，所以x <0； 所以不等式f (x )＋f (x ＋1)>f (7)的解集为{x |x <0或x >3}． (2)对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，则 {y |y ＝g (x )}⊆{y |y ＝f (x )}．因为g (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥ |(2x －a )－(2x ＋3)|＝ |a ＋3|， 当且仅当(2x －a )(2x ＋3)≤0时取等号，又f (x )＝|x －2|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，从而a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围(－∞，－5]∪[－1，＋∞)． 考点三 不等式的证明(2019·泉州质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －14＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋14，M 为不等式f (x )≤2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，21－ab ≥a －b .解析：(1)f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －14＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋14 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1412，－14<x <142x ，x ≥14，所以不等式的解集为M ＝[－1,1]． (2)证明：要证21－ab ≥a －b ，只需证21－ab ≥|a －b |, 即证4(1－ab )≥|a －b |2,只需证4－4ab ≥a 2－2ab ＋b 2， 即4≥a 2＋2ab ＋b 2, 即证4≥(a ＋b )2,只需证2≥|a ＋b |，因为a ，b ∈M ，所以|a ＋b |≤2， 所以所证不等式成立．增分强化练1．已知函数f (x )＝e x－x . (1)求函数f (x )的极值；(2)若对任意x >0，f (x )>12ax 2＋1，求a 的取值范围．解析：(1)令f ′(x )＝e x －1＝0，x ＝0. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极小值＝f (2)对任意x >0，f (x )>12ax 2＋1即e x－x －12ax 2－1>0，设g (x )＝e x －x －12ax 2－1，g ′(x )＝e x－1－ax,①当a ≤0时，g ′(x )单调递增，g ′(0)＝0，g ′(x )>0，g (x )单调递增，g (x )>g (0)＝0，成立；②当0<a ≤1时，令h (x )＝g ′(x )，h ′(x )＝e x－a >0，g ′(x )单调递增，g ′(0)＝0，g ′(x )>0，g (x )单调递增，g (x )>g (0)＝0，成立；③当a >1时，当0<x <ln a 时，h ′(x )＝e x－a <0，g ′(x )单调递减，g ′(0)＝0，g ′(x )<0，g (x )单调递减，g (x )<g (0)＝0，不成立．综上，a 的取值范围为(－∞，1]． 2．已知函数f (x )＝(x －2)e x －k (x －1)2.(1)当k <0时，求函数f (x )在[0,2]上的最大值和最小值； (2)讨论函数y ＝f (x )零点的个数． 解析：由题设，f ′(x )＝(x －1)(e x－2k )， (1)当k <0时，显然e x－2k >0，令f ′(x )>0，得x >1，f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 令f ′(x )<0，得x <1，f (x )在(－∞，1)上单调递减， 在[0,2]上，f (1)＝－e, f (0)＝－2－k ，f (2)＝－k ， 所以，f (x )max ＝－k ，f (x )min ＝－e.(2)由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增，令f (x )＝0则(x －2)e x ＝k (x －1)2，①当x ＝1时，－e≠0，所以x ＝1不是f (x )的零点． 当x ≠1时，①式化为k ＝(x －2)ex(x －1)2，设g (x )＝(x －2)e x(x －1)2，则g ′(x )＝(x 2－4x ＋5)e x(x －1)3＝()(x －2)2＋1ex(x －1)3， 令g ′(x )>0得x >1，则g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 令g ′(x )<0，得x <1，则g (x )在(－∞，1)上单调递减， 当x →1时，g (x )→－∞当x →＋∞时，g (x )→＋∞. 当x →－∞时，g (x )→0，且当x <0时，g (x )<0. 故g (x )的图象如图：所以，当k <0时，y ＝f (x )有两个零点， 当k ≥0时，y ＝f (x )有一个零点．3．(2019·榆林模拟)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )<2e2·e x ＋x －ax 3.解析：(1) f (x )＝1＋ln x －ax 2(x >0)，f ′(x )＝1－2ax2x当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 12a ，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )<0，∴f (x )单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)证明：法一： 要证xf (x )<2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x >0，令φ(x )＝2e 2·exx －ln x ，(x >0)，φ′(x )＝2(x －1)e x －e 2xe 2x2， 令r (x )＝2(x －1)e x－e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)<0，r ′(2)>0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r ′(x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)<0，r (2)＝0，∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0 ，x ∈(2，＋∞)时，r (x )>0; 所以φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2>0，得证．法二：要证xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证： 2e 2·e xx 2>ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x >0)，φ′(x )＝2(x －2)exe 2x3， ∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )<0，x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )>0； 所以φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12；令r (x )＝ln x x ，r ′(x )＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，r ′(x )＞0，x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )<0;所以r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e ，∴φ(x )≥12>1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2＜ln xx，得证． 4．(2019·济宁模拟)已知函数f (x )＝x －a (ln x )2，a ∈R. (1)当a ＝1，x >1时，试比较f (x )与1的大小，并说明理由； (2)若f (x )有极大值，求实数a 的取值范围； (3)若f (x )在x ＝x 0处有极大值，证明：1<f (x 0)<e 2.解析：(1)当a ＝1，x >1时，f (x )＝x －(ln x )2，x >1.f ′(x )＝1－2(ln x )×1x＝x －2ln xx. 令g (x )＝x －2ln x ，x >1，则g ′(x )＝1－2x＝x －2x， 当x ∈(1,2)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； ∴g (x )≥g (2)＝2－2ln 2>0，即f ′(x )>0， ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴f (x )>f (1)＝1.故当a ＝1，x >1时f (x )>1.(2)∵f ′(x )＝1－2a ln x x ＝x －2a ln x x(x >0)，令h (x )＝x －2a ln x (x >0)，则h ′(x )＝1－2a x ＝x －2a x，①当a ＝0时，f (x )＝x 无极大值．②当a <0时，h ′(x )>0，h (x )在(0，＋∞)上单调递增；∴当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴f (x )在x ＝x 1处有极小值，f (x )无极大值．③当a >0时，h (x )在(0,2a )上单调递减，h (x )在(2a ，＋∞)上单调递增， ∵f (x )有极大值，∴h (2a )＝2a －2a ln(2a )＝2a (1－ln 2a )<0，即a >e 2，又h (1)＝1>0，h (e)＝e －2a <0，∴∃x 0∈(1，e)，使得h (x 0)＝x 0－2a ln x 0＝0， 即a ln x 0＝x 02；∴当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(x 0，e)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴f (x )有极大值，综上所述，a >e2.(3)证明：由(2)可知：a ln x 0＝x 02，∴f (x 0)＝x 0－a (ln x 0)2＝x 0－x 0ln x 02(1<x 0<e)，设p (x )＝x －x ln x2(1<x <e)，则p ′(x )＝1－1＋ln x 2＝1－ln x2>0，∴p (x )在(1，e)上单调递增， ∴p (1)<p (x )<p (e)，即1<p (x )<e2，故1<f (x 0)<e2.增分强化练考点一 极坐标方程(2019·九江模拟)在极坐标系中，已知曲线C 1的方程为ρ＝6sin θ，曲线C 2的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.以极点O 为原点，极轴为x 轴非负半轴建立直角坐标系xOy .(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 2与y 轴相交于点P ，与曲线C 1相交于A ，B 两点，求1|PA |＋1|PB |的值．解析：(1)由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ，∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝12ρsin θ＋32ρcos θ＝1， ∴曲线C 2的直角坐标方程为3x ＋y －2＝0.(2)由(1)知曲线C 2为直线，倾斜角为2π3，点P 的直角坐标为(0,2)， ∴直线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12t y ＝2＋32t (t 为参数)， 代入曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9中，并整理得t 2－3t －8＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝3，t 1t 2＝－8，∴|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝8.|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝35，∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA ||PB |＝358. 考点二 参数方程(2019·滨州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋2cos αy ＝3＋2sin α(α为参数)，直线C 2的普通方程为y ＝33x .以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |. 解析：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋2cos αy ＝3＋2sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 1的极坐标方程为(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－3)2＝4，即ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.因为直线C 2过原点，且倾斜角为π6， 所以直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)． (2)设点A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，由⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0θ＝π6，得ρ2－(33＋3)ρ＋14＝0，所以ρ1＋ρ2＝33＋3，ρ1ρ2＝14，又ρ1>0，ρ2>0， 所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA ||OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝33＋314. 考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用(2019·淮北、宿州模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t y ＝1＋3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点P .(1) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)求1|PA |＋1|PB |的值． 解析：(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝ty ＝1＋3t ， ∴消去参数t 后，直线l 的普通方程为3x －y ＋1＝0. ∵C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ， 整理得，曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 将直线l 的方程⎩⎨⎧ x ＝t y ＝1＋3t代入曲线C 的方程(x －1)2＋(y －1)2＝2， 得4t 2－2t －1＝0， ∴t 1＋t 2＝12，t 1·t 2＝－14<0， ∴1|PA |＋1|PB |＝1|2t 1|＋1|2t 2|＝|t 1|＋|t 2|2|t 1·t 2|＝|t 1－t 2|2|t 1·t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 22|t 1·t 2|＝ 5.增分强化练1．(2019·南昌模拟)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝|x －a |－|x ＋2b |.(1)求函数f (x )的最大值；(2)若函数f (x )的最大值为1，求a 2＋4b 2的最小值．解析：(1)因为f (x )≤|(x －a )－(x ＋2b )|＝a ＋2b ，所以函数f (x )的最大值为a ＋2b .(2)由(1)可知，a ＋2b ＝1，因为a 2＋4b 2≥4ab ，所以2(a 2＋4b 2)≥a 2＋4b 2＋4ab ＝(a ＋2b )2，所以2(a 2＋4b 2)≥(a ＋2b )2＝1，即a 2＋4b 2≥12，且当a ＝2b ＝12时取“＝”，所以a 2＋4b 2的最小值为12.2．(2019·大连模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋a |.(1)当a ＝－1时，求不等式f (x )>2x 的解集；(2)当不等式f (x )>1的解集为R 时，求实数a 的取值范围．解析：(1)a ＝－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－12，－1≤x ≤12x ，x >1，当x <－1时，－2x >2x ，即x <0，∴x <－1；当－1≤x ≤1时，2>2x ，即x <1，∴－1≤x <1；当x >1时，2x >2x ，无解．综上，f (x )>2x 的解集为(－∞，1)．(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋a |≥|a －1|，当－a ≤－1，即a ≥1时， －a ≤x ≤－1时等号成立；当－a >－1，即a <1时， －1≤x ≤－a 时等号成立，所以f (x )的最小值为|a －1|，即|a －1|>1，∴a <0或a >2.3．(2019·东三省四市模拟)已知a ，b ，c ，d 均为正实数．(1)求证：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2；(2)若a ＋b ＝1，求证a 21＋a ＋b 21＋b ≥13. 证明：(1)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝(a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2)≥(a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2)＝(ac ＋bd )2. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a21＋a ＋b21＋b (1＋a ＋1＋b )＝a 2＋1＋b1＋a a 2＋1＋a1＋b b 2＋b 2≥a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2＝1，而(1＋a )＋(1＋b )＝3，所以a 21＋a ＋b 21＋b ≥13.4．(2019·桂林、崇左模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋2x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1，x ≥1x ＋1，x <1.当x ≥1时，由f (x )≥2⇒3x －1≥2⇒x ≥1；当x <1时，由f (x )≥2⇒x ＋1≥2⇒x ≥1不成立；综上所述，当a ＝1时，不等式f (x )≥2的解集为[1，＋∞)．(2)记h (x )＝|f (2x ＋a )－2f (x )|＝2||x |－|x －a |＋a |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤04x ，0<x <a 4a ，x ≥a .∴|f (2x ＋a )－2f (x )|max ＝4a .依题意得4a ≤2，∴a ≤12.∴实数a 的取值范围为(0，12]．。

说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列。

ξ
8、关于取球的随机变量的值和概率
例：袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色。

确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率。

分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成。

解： 设集合，其中为“取到的球为红色的球”，为“取到的球为白
色的球”，为“取到的球为黑色的球”。

},,{321x x x
M =1x 2x 3x 我们规定：，即当时，，这样，我们确定就是一个随机变量，它的自变是量取值不是一个实数，而是集合中的一个元素，即，而随机变量本身的取值则为1、2、3三个实数，并且我们很容易求得分别取1、
2、3三个值的概率，)3,2,1()(===i i x
i ξ ξ i x x =i x =)(ξ )(x ξ x M 即
说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果。

专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12答案：B解析：设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2＋3×22×d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32×d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10，故选B.2．(2017·江西省五市联考)已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．958 C ．948 D ．18 答案：C解析：法一 因为等差数列{a n }的前10项和为30，所以a 1＋a 10＝6，即a 5＋a 6＝6，因为a 6＝8，所以a 5＝－2，公差d ＝10，所以－2＝a 1＋4×10，即a 1＝－42，所以a 100＝－42＋99×10＝948，故选C.法二 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＋5d ＝8，10a 1＋10×92d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－42，d ＝10，所以a 100＝－42＋99×10＝948，故选C. 3．已知数列{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案：D解析：a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2，所以a 27＝a 3·a 9. 所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20， 所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.故选D.4．(2019·吉林模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若1a 1＋1a 2＋1a 3＝2，a 2＝2，则S 3＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．4答案：A解析：1a 1＋1a 2＋1a 3＝a 1＋a 3a 1a 3＋1a 2＝a 1＋a 2＋a 3a 22＝S 34＝2，则S 3＝8.故选A.5．(2019·怀化三模)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？若记堤与枝的个数分别为m ，n ，一等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝m ，S 6＝n ，则a 5为( ) A ．18 B ．81 C ．234 D ．243 答案：C解析：∵a 2＝9，S 6＝93， ∴729＝6(a 2＋a 5)2＝3(a 5＋9)，∴a 5＝234.故选C.6．(2018·昆明市调研测试)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．－2nB ．2nC ．2n －1D ．2n ＋1答案：B解析：由题意，得a 2a 8＝a 24.又a n ＝a 1＋2(n －1)，所以(a 1＋2)(a 1＋14)＝(a 1＋6)2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n .故选B.7．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝( ) A ．22 B ．23 C ．24 D ．25答案：A解析：{a n }为等差数列，所以a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4，则a 1＋(k －1)d ＝7(a 1＋3d )．因为a 1＝0，所以(k －1)d ＝21d ，d ≠0，解得k ＝22，故选A.8．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4 037是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log6a 2 019＝()A ．1B ．2 C. 2 D ．－1答案：A解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 037是方程x 2－8x ＋6＝0的两根，所以a 1·a 4 037＝a 22 019＝6，即a 2 019＝6，所以log6a 2 019＝1，故选A.9．(2018·湖北八校联考)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝( ) A ．36 B ．33 C ．32 D ．31答案：D解析：设{a n }的公比为q (q >0)，因为a 1a 6＝2a 3，而a 1a 6＝a 3a 4，所以a 3a 4＝2a 3，所以a 4＝2.又a 4＋2a 6＝3，所以a 6＝12，所以q ＝12，a 1＝16，所以S 5＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.故选D.10．(2018·大连模拟)在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．n (3n －1) B ．n (n ＋3)2 C ．n (n ＋1) D ．n (3n ＋1)2答案：C解析：依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，选C.11．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B ．53 C.256 D ．不存在答案：A解析：∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝2.∵存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，∴a m a n ＝16a 21，∴q m ＋n －2＝16＝24，而q ＝2，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16×(5＋4)＝32，当且仅当m ＝2，n ＝4时，等号成立，∴1m ＋4n 的最小值为32.故选A.12．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510答案：A解析：由于cos 2n π3－sin 2n π3＝cos 2n π3以3为周期，故S 30＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋222＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－42＋522＋62＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－282＋2922＋302＝∑k ＝110⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2 ＝∑k ＝110 ⎝ ⎛⎭⎪⎫9k －52＝9×10×112－25＝470.二、填空题13．(2019·北京四中热身卷)若等差数列{a n }满足a 1＝12，a 4＋a 6＝5，则a 2 019＝________. 答案：2 0192解析：∵等差数列{a n }满足a 1＝12，a 4＋a 6＝5， ∴12＋3d ＋12＋5d ＝5， 解得d ＝12，∴a 2 019＝12＋2 018×12＝2 0192.14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q ＝__________. 答案：－12解析：由题意得，2S 3＝S 1＋S 2，∴2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋(a 1＋a 2)，整理得a 2＋2a 3＝0，∴a 3a 2＝－12，即公比q ＝－12.15．(2017·石家庄市高三质量检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，若S k ＝14，则a k ＝__________.答案：78解析：因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2， 所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7，所以a k ＝78.16．(2018·云南师大附中月考)已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.答案：n ·2n2n －1解析：由a n ＝2na n －1a n －1＋n －1，得n a n ＝n －12a n －1＋12，于是n a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －1a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)． 又1a 1－1＝－12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－12为首项，12为公比的等比数列，故n a n－1＝－12n ，∴a n ＝n ·2n 2n－1(n ∈N *)． 专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．(2019·河北模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋1＝3a n ＋2n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1)数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋1＝3a n ＋2n －1， 可得a n ＋1＋n ＋1＝3a n ＋3n ＝3(a n ＋n )，可得数列{a n ＋n }是首项为3，公比为3的等比数列． (2)a n ＋n ＝3n ，即a n ＝3n －n (n ∈N *)． (3)S n ＝(3＋9＋…＋3n )－(1＋2＋…＋n ) ＝3(1－3n )1－3－12n (n ＋1)＝32(3n －1)－12n (n ＋1)．2．(2017·山西省八校联考)已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝1，且2a 2，a 4,3a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3，即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2. 又q >1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ， 即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2， 因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， ① 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1， ② ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，－T n ＝2(2n －1)2－1－n ×2n ＋1，T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.3．(2017·福建省高中毕业班质量检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝2，S 5＝15，数列{b n }的前n 项和T n 满足T n ＝(n ＋5)a n . (1)求a n ；(2)求数列{1a nb n}的前n 项和．解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，S 5＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，5a 1＋10d ＝15，解得a 1＝d ＝1，所以a n ＝n .(2)由(1)得，a n ＝n ，所以T n ＝n (n ＋5)．当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋5)－(n －1)(n ＋4)＝2n ＋4， 当n ＝1时，b 1＝T 1＝6也满足上式， 所以b n ＝2n ＋4(n ∈N *)．所以1a n b n ＝1n (2n ＋4)＝12n (n ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. 设{1a nb n }的前n 项和为P n ，则当n ≥2时，P n ＝1a 1b 1＋1a 2b 2＋…＋1a n b n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋…＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14(n ＋1)－14(n ＋2).当n ＝1时，P 1＝1a 1b 1＝16也满足上式．综上，P n ＝38－14(n ＋1)－14(n ＋2).4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)(n ∈N *)． (1)若b n ＝a nn ＋1，试证明数列{b n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 及其前n 项和S n .解析：(1)证明：由na n ＋1＝2(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)得a n ＋1n ＋1＝2a nn ＋1，得a n ＋1n ＋1＋1＝2a n n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ＋1，即b n ＋1＝2b n .又b 1＝2，所以数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝2n ，得a nn ＋1＝2n ，即a n ＝n (2n －1)，∴S n ＝1×(2－1)＋2×(22－1)＋3×(23－1)＋…＋n (2n －1) ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n －(1＋2＋3＋…＋n ) ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n－n (n ＋1)2.令T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， 两式相减，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，∴T n ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝(n －1)·2n ＋1＋2，n(n＋1)∴S n＝(n－1)·2n＋1＋2－2.。

课时达标训练(一) 三角函数、解三角形A 组——抓牢中档小题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________．解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：122．(2019·苏锡常镇四市一模)设定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝33sin x 的图象与y＝3cos 2x ＋2的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为________．解析：法一：根据题意得，33sin x ＝3cos 2x ＋2，33sin x ＝3(1－2sin 2x )＋2，6sin 2x ＋33sin x －5＝0，(23sin x ＋5)·(3sin x －1)＝0，所以sin x ＝13，此时y P ＝33×13＝3，所以点P 到x 轴的距离为3.法二：设点P 的坐标为(x P ，y P )，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y P ＝33sin x P ＞0，sin x P＝y P33，又y P ＝3cos 2x P ＋2，所以y P ＝3(1－2sin 2x P )＋2，y P ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y 2P 27＋2，所以2y 2P ＋9y P－45＝0，(2y P ＋15)(y P －3)＝0，因为y P ＞0，所以y P ＝3，故点P 到x 轴的距离为3.答案：33．(2019·常州期末)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点(1，0)是函数f (x )图象的对称中心，则ω的最小值为________．解析：由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，知函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称，又点(1，0)是函数f (x )图象的对称中心，所以函数f (x )的最小正周期T 的最大值为4，所以ω的最小值为2π4＝π2.答案：π24．(2019·扬州期末)设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，则ba ＝________．解析：因为a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，所以a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sin π7＝sin10π21cos10π21，所以a cos 10π21 sin π7＋b cos 10π21 cos π7＝a sin 10π21 cos π7－b sin 10π21sin π7， 所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10π21 cos π7－cos 10π21 sin π7 ＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 10π21 cos π7＋sin 10π21 sin π7， 即a sin ⎝⎛⎭⎪⎫10π21－π7＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π21－π7，a sin π3＝b cos π3，所以b a ＝tan π3＝ 3.答案： 35．(2019·无锡期末)已知θ是第四象限角，cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________．解析：依题意，得sin θ＝－35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos （2θ－6π）＝sin θ cos π4＋cos θsin π4cos 2θ＝－35×22＋45×222×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝5214.答案：52146．(2019·南通等七市二模)在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________．解析：设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，则由sin B ＝2sin A 和正弦定理得b ＝2a ，由△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，得ab ＝8，所以a ＝2，b ＝4，由余弦定理可得AB 2＝4＋16－2×2×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28，得AB ＝27.答案：277．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．解析：∵sin B ＝45，cos B ＝9ac，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，又∵2b ＝a ＋c ，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，解得b ＝4.答案：48．(2019·南京三模)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中ω＞0.若x 1，x 2是方程f (x )＝2的两个不同的实数根，且|x 1－x 2|的最小值为π.则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为________．解析：根据已知可得2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，数形结合易知，当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值，为－1.答案：－19．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________．解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－7910．(2019·石庄中学模拟)将函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象向右平移π3个单位后得到函数g (x )的图象，若g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则θ＝________．解析：依题意，g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋θ，令2x －2π3＋θ＝k π(k ∈Z )，即函数g (x )图象的对称轴为x ＝π3－θ2＋k π2(k ∈Z )，又|θ|＜π2，当k ＝0时，有π3－θ2＝π4，解得θ＝π6. 答案：π611．(2019·徐州中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A＋3cos A ＝1，b ＝5，△ABC 的面积S ＝53，则△ABC 的周长为________．解析：由cos 2A ＋3cos A ＝1得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝－2(舍去)或cosA ＝12，则sin A ＝32，由S ＝12bc sin A ＝12×5×32c ＝53，得c ＝4. 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－2×5×4×12＝21，得a ＝21.所以△ABC 的周长为5＋4＋21＝9＋21. 答案：9＋2112．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________． 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α（sin α＋cos α）22（sin α＋cos α）＝22sin α＝－255.答案：－25513．(2019·盐城三模)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2＋b2＋ab ，则a 2－b 2c2的取值范围是________．解析：因为c 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以由余弦定理得cos C ＝－12，所以C ＝2π3，由正弦定理得a 2－b 2c 2＝sin 2A －sin 2B sin 2C ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2A －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3.因为0＜A ＜π3，所以－π3＜2A －π3＜π3，所以a 2－b 2c2∈(－1，1)． 答案：(－1，1)14．(2018·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________．解析：∵sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cosα，∴tan α＝32－33.又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4B 组——力争难度小题1.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T216－3＝0，解得T ＝4. 答案：42．(2019·平潮中学模拟)在△ABC 中，若1tan B ＋1tan C ＝1tan A ，则cos A 的取值范围为________．解析：由1tan B ＋1tan C ＝1tan A ，得cos B sin B ＋cos C sin C ＝cos A sin A， 即cos B sin C ＋cos C sin B sin B sin C ＝cos A sin A，即sin （B ＋C ）sin B sin C ＝cos A sin A ，即sin A sin B sin C ＝cos Asin A ， 由正弦定理，得bc cos A ＝a 2，由余弦定理，得bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即cos A ＝b 2＋c 23bc ≥2bc 3bc ＝23(当且仅当b ＝c 时取等号)，又易知cos A ＜1，所以23≤cos A＜1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 3．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.答案：43＋3104.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________．解析：由图象可得A ＝1，T 2＝2π2ω＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入函数f (x )可得0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ，所以2π3＋φ＝k π，所以φ＝k π－2π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π12×2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案：325．在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，D 为BC 中点，E 为AB 中点，则AE ＋BD 的取值范围为________．解析：在△ABC 中，设C ＝θ，则A ＝2π3－θ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ＝ABsin C，得AB ＝AC sin C sin B ＝3sin θsinπ3＝2sin θ，BC ＝AC sin Asin B＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θsinπ3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ，所以AE ＋BD ＝12AB ＋12BC ＝sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin θ＋32cos θ＋12sin θ＝32sin θ＋32cos θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，则θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3，即AE ＋BD 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤32，36.(2018·南通基地卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ(|φ|<π)的图象如图所示，点M ，N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．解析：将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋3π4，所以φ＝34π，M (－1，3)，|OM |＝2，N (3，－3)，ON ＝23，|MN |＝27，由余弦定理可得，cos θ＝4＋12－282×2×23＝－32，θ＝5π6，tan(φ－θ)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－5π6＝tan 3π4－tan5π61＋tan 3π4·tan5π6＝－2＋ 3.答案：－2＋ 3。