福建省长乐二中高中数学1.3.2 球的体积和表面积教案 新人教A版必修2

1.3.2 球的体积和表面积一、 课前导学：学习目标1. 了解球的表面积和体积计算公式；2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.二、课堂识真：一、课前准备（预习教材P 27~ P 28，找出疑惑之处）复习：柱体包括_____和_____,它的体积公式为___________；锥体包括_______和_______,它的体积公式为_____________；台体包括_____和______,它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为____________________________.二、新课导学※ 探索新知新知：球的体积和表面积球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：球的体积公式 343V R π= 球的表面积公式 24S R π=其中，R 为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径R 有关.※ 典型例题例1 木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍?变式：若三个球的表面积之比为1﹕2﹕3，则它们的体积之比为多少?例2 一种空心钢球的质量是142g ，外径是5.0cm ，求它的内径. （钢密度7.93/g cm ）例3 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证（1）球的体积等于圆柱体积的23； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.变式：半径为R 的球内有一内接正方体，设正方体的内切球半径为r ，则R r为多少? 小结：两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上；两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.解决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系，从而把空间问题转化为平面问题来解决.三、课后见功：1. ）.B.2倍C.倍D.8倍 2. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为1,V 2V ，球直径为d ，正方体的棱长为a ， 则（ ）.A.12,d a V V >>B.12,d a V V ><C.12,d a V V <>D.12,d a V V <<3. 记与正方体各个面相切的球为1O ，与各条棱相切的球为2O ，过正方体各顶点的球为3O 则这3个球的体积之比为（ ）.4. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.5. 把一个半径为cm 的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高应为_______cm .6.长方体的一个顶点上的三条棱长为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上， 求出此球的表面积和体积.7. 如图，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.四、拾遗补缺：※ 学习小结1. 球的表面积及体积公式的应用；2. 空间问题转化为平面问题的思想.※ 知识拓展极限的思想推导球的表面积公式过程：如图,将球的表面分成n 个小球面，每个小球面的顶点与球心O 连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这n 个小棱锥的体积和，表面积是这n 个小球面的面积和.当n 越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当n 趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式.五、拓展空间：1. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R 的球， 并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.2. 半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少?。

人教版高中数学必修二第1章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积学案【学习目标】1．了解并掌握球的体积和表面积公式．2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点) 【要点梳理夯实基础】知识点球的表面积与体积公式阅读教材P27“练习”以下至P28“练习”以上内容，完成下列问题．1．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝43πR3.2．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．[思考辨析学练结合]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)球的体积之比等于半径比的平方．()(2)长方体既有外接球又有内切球．()(3)球面展开一定是平面的圆面．()(4)球的三视图都是圆．()【解析】(1)错误．球的体积之比等于半径比的立方．(2)错误．长方体只有外接球，没有内切球．(3)错误．球的表面不能展开成平面图形，故错误．(4)正确．球的三视图都是圆．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√【合作探究 析疑解难】考点1 球的表面积和体积[典例1](1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．[点拨] 借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解． [解答] (1)设球的半径为r ，则由已知得 4πr 2＝64π， r ＝4.所以球的体积：V ＝43×π×r 3＝2563π. (2)设球的半径为R ，由已知得 43πR 3＝5003π， 所以R ＝5， 所以球的表面积为： S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.1．(1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( ) A ．12π B ．16π C.16π3D.64π3(2)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.32π3 B.8π3C．82π D.82π3[解析](1)设球的半径为R，则由已知得V＝43πR3＝32π3，R＝2.∴球的表面积S＝4πR2＝16π.(2)设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2，所以球的体积为43π(2)3＝82π3.[答案](1)B(2)D考点2 与球有关的组合体的表面积与体积[典例2](1)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.92π＋12 B.92π＋18C．9π＋42 D．36π＋18(2)一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.[点拨] 先根据三视图还原组合体，再利用有关数据计算．[解答] (1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为3的球，下面一个底面为正方形且边长为3，高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为： V ＝V 1＋V 2＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.(2)由三视图知该几何体为一个四棱柱，一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为1×2－12×π×12＝2－π2，四棱柱中不重合的表面积为2－π2＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－π2，半圆柱中不重合的表面积为12×2π×2＋12π＝52π，半球的表面积为12×4π＝2π，所以该几何体的表面积为4π＋12.[答案] (1)B (2)4π＋121．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠或交叉． 2．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )A ．18πB ．30πC ．33πD ．40π[解析] 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S ＝2π×32＋π×3×5＝33π. [答案] C考点3 有关球的切、接问题探究1 若球的半径为R ，则球的内接正方体的棱长是多少？[提示] 设正方体的棱长为a ，由于正方体的体对角线长等于球的直径，所以3a ＝2R ，故a ＝233R ，即球的内接正方体的棱长为233R .探究2 正方体的外接球、内切球的半径与正方体的棱长分别有什么数量关系？[提示] 设正方体的棱长为a ，外接球、内切球的半径分别为R 、r ，则2R ＝3a,2r ＝a .[典例3](经典母题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4πB.9π2C.6πD.32π3解析 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r . 则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. 2r ＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大. 由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π. 答案 B【迁移探究1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积. 解 将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1， 则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球. ∴体对角线BC 1的长为球O 的直径. 因此2R ＝32＋42＋122＝13. 故S 球＝4πR 2＝169π.【迁移探究2】 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积. 解 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.[方法总结]1．在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．2．几个常用结论(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；(2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；(3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(4)球与棱锥相切，则可利用V 棱锥＝13S 底h ＝13S 表R ，求球的半径R . 3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2[解析] 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a ，如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.[答案] B[方法总结]“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理解决旋转体、多面体的内切球问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．截面过球心．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．【学习检测 巩固提高】1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )A．144π，144πB．144π，36πC．36π，144πD．36π，36π[解析]R＝3，S＝4πR2＝36π，V＝43πR3＝36π.[答案] D2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2[解析]设该球的半径为R，∴(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2.∴球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.[答案] B3．已知一个球的体积为43π，则此球的表面积为________．[解析]设球的半径为R，则V＝43πR3＝43π，∴R＝1，∴球的表面积S＝4π.[答案]4π4．某几何体的三视图如图1-3-18所示，则其表面积为________．图1-3-18[解析] 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.[答案]3π5．圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r，圆柱、圆锥的高都是2r，(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比； (2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比． 解： (1)V 圆柱＝πr 2·2r ＝2πr 3， V 圆锥＝13·πr 2·2r ＝23πr 3， V 球＝43πr 3，所以V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝3∶1∶2. (2)S 圆柱＝2πr ·2r ＋2πr 2＝6πr 2， S 圆锥＝πr ·4r 2＋r 2＋πr 2＝(5＋1)πr 2， S 球＝4πr 2，所以S 圆柱∶S 圆锥∶S 球＝6∶(5＋1)∶4.人教版高中数学必修二 第1章 空间几何体1.3.2 球的体积和表面积课时训练一、选择题1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( )A.43π B.8π3 C ．43πD ．323π[解析] 设正方体边长为a ，由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2.设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π. [答案] C2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶27[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3∶⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27，∴r ∶R ＝2∶3，∴S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.[答案] B3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12π B.32 3πC．8πD．4π[解析] 设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.[答案] A4．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208π3cm3C.500π3cm3 D.41613π3cm3[解析]根据球的截面性质，有R＝r2＋d2＝32＋42＝5，∴V球＝43πR3＝5003π(cm3)．[答案] C5．等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是()A．S球<S圆柱<S正方体B．S正方体<S球<S圆柱C．S圆柱<S球<S正方体D．S球<S正方体<S圆柱[解析]设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则πr2·2r＝43πR3＝a3，⎝⎛⎭⎪⎫Rr3＝32，⎝⎛⎭⎪⎫ar3＝2π，S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，S球S圆柱＝4πR26πr2＝23·⎝⎛⎭⎪⎫Rr2＝323<1，S正方体S圆柱＝6a26πr2＝1π·⎝⎛⎭⎪⎫ar2＝34π>1，故选A.[答案] A6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28π[解析]由三视图可知其对应几何体应为一个切去了18部分的球，由43πr3×78＝28π3，得r＝2，所以此几何体的表面积为4πr2×78＋3×14πr2＝17π，故选A.][答案] A7．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.323π C.8π D.4π[解析]设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝3 a，即R＝ 3.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.[答案] A8．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π由三视图知该几何体为球去掉了18球所剩的几何体(如图).设球的半径为R，则78×43πR3＝28π3，R＝2.故几何体的表面积S＝78×4πR2＋34πR2＝17 π.[答案] A9．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.13＋23π B.13＋23πC.13＋26π D.1＋26π[答案] C10．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A.4πB.9π2 C.6π D.32π3[解析]由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. 2r ＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大. 由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π. [答案] B11．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( ) A ．12 3 B ．18 3 C ．24 3D ．54 3[解析] 由等边△ABC 的面积为93可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D －ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.故选B. [答案] B12．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为( )A ．34πB ．25πC ．41πD ．50π[解析]根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是4,3,3长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的对角线就是其外接球的直径，所以有R＝42＋32＋322＝342，从而求得其表面积为S＝4πR2＝34π，故选A.[答案] A二、填空题13．一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________m3.[解析]由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为3 2；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V＝43π×⎝⎛⎭⎪⎫323×2＋1×3×6＝9π＋18.[答案]9π＋1814．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是________cm，表面积是________cm2.[解析]设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝R－1，则(R－1)2＋32＝R2，解得R＝5 cm，所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．【答案】5100π15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.[解析] 由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为1，高为2，体积为12×13×π×12×2＝π3；球半径为1，体积为14×43π×12＝π3，所以，该几何体的体积为π3＋π3＝2π3.[答案] 2π316．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为__________.[解析] 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝132.[答案]21317．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1的面积为43，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为 ______ . [解析]设BC ＝a ，CC 1＝b ，则ab ＝4 3.底面三角形外接圆的半径为r ，则asin 60°＝2r ， ∴r ＝33a所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝b 24＋a23≥2b 24·a 23＝24812＝4.所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π×4＝16π. [答案]16π18．已知棱长为4的正方体的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4， AB ⊥AC ，AA 1＝12，则此正方体外接球体积是 和内切球的体积是 .[解析] 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π， V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.[答案] 323π 32π319．已知棱长为4的正四面体的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为是 .[解析] 正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ， 因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.[答案] 63π20．侧棱和底面边长都是32的正四棱锥的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则其外接球的半径是 .[解析] 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.[答案] 3三、解答题21．如图1-3-20，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的半径．图1-3-20解：设球的半径为R，由题意可得43πR3＝π×32×0.5，解得R＝1.5(cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.22．如图所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．解：12S球＝12×4π×22＝8π(cm2)，S圆台侧＝π(2＋5)(5－2)2＋42＝35π(cm2)，S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，即该几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．又V圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝12×4π3×23＝16π3(cm3)．所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－16π3＝140π3(cm3)．23．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.解：如图所示，作出轴截面，因为△ABC是正三角形，所以CD＝12AC＝2，所以AC＝4，AD＝32×4＝23，因为Rt△AOE∽Rt△ACD，所以OEAO＝CDAC.设OE＝R，则AO＝23－R，所以R23－R＝12，所以R＝233.所以V球＝43πR3＝43π·⎝⎛⎭⎪⎫2333＝323π27.所以球的体积等于323π27.。

1.3.2 球的体积和表面积学习目标：1.了解并掌握球的体积和表面积公式.2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝3πR 3.2．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．[基础自测]1．思考辨析(1)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (2)长方体既有外接球又有内切球．( ) (3)球面展开一定是平面的圆面．( ) (4)球的三视图都是圆．( )[提示] (1)× 体积比应为半径比的立方． (2)× 长方体不一定有内切球． (3)× 球面展不成平面． (4)√2．若球的过球心的圆面的周长是C ，则这个球的表面积是( ) A ．C 24π B ．C 22π C ．C 2π D ．2πC 2C [由2πR ＝C ，得R ＝C 2π，所以S 球面＝4πR 2＝C 2π.]3．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．4倍 C ．8倍 D ．16倍C [设气球原来的半径为r ，体积为V ，则V ＝43πr 3.当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为43π(2r )3＝8×43πr 3.]4．一个球的外切正方体的表面积为6 cm 2，则此球的体积为( ) A ．43π cm 3B ．68π cm 3C ．16π cm 3D ．66π cm 3C [设球的直径为2R cm ，则正方体的棱长为2R cm ，所以6×4R 2＝6，解得R ＝12，所以球的体积为43π×18＝16π(cm 3)．] [合 作 探 究·攻 重 难](1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．【导学号：07742066】[解] (1)设球的半径为r ，则由已知得 4πr 2＝64π，r ＝4.所以球的体积：V ＝43×π×r 3＝2563π.(2)设球的半径为R ，由已知得 43πR 3＝5003π，所以R ＝5， 所以球的表面积为：S ＝4πR 2＝4π×52＝100π. [规律方法] 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 1关键：把握住球的表面积公式S 球＝4πR 2，球的体积公式V 球＝43πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.2两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.[跟踪训练]1．过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48π cm 2，则球的表面积为________cm 2.256π [易知截面为一圆面，如图所示，圆O 是球的过已知半径的大圆，AB 是截面圆的直径，作OC 垂直AB 于点C ，连接OA .由截面面积为48π cm 2，可得AC ＝4 3cm.设OA ＝R ，则OC ＝12R ，所以R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＝(43)2，解得R ＝8 cm.故球的表面积S ＝4πR 2＝256π(cm 2)．]2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是 ( )A ．100π3 cm 3B ．208π3 cm 3C ．500π3cm 3 D ．41613π3cm 3C [根据球的截面的性质，得球的半径R ＝32＋42＝5(cm)，所以V 球＝43πR 3＝500π3(cm 3)．]球的表面积及体积的应用一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决．[解] 设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝x，如图所示．∵AC＝3r，PC＝3r，∴以AB为底面直径的圆锥的容积为V 圆锥＝13πAC 2·PC＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3. 球取出后水面下降到EF ，水的体积为 V 水＝13πEH 2·PH＝13π(PH ·tan 30°)2·PH ＝19πx 3. 而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，∴x ＝315r . 故球取出后水面的高为315r .[规律方法]1．画出截面图是解答本题的关键．2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．[跟踪训练]2．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？[解] 设取出小球后，容器中水面下降h cm ，两个小球的体积为V 球＝2×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π3，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V ＝π×52×h ，所以125π3＝π×52×h ，所以h ＝53(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53 cm.[1．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？[提示]2R＝a2＋b2＋c2.2．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球呢？[提示]外接球半径R＝32a；内接球半径R＝12a.3．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？[提示]R＝22 a.(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为( )【导学号：07742068】A．6πB．43πC．46πD．63π(2)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．思路探究：(1)作出截面图，由图易求出半径R，进而求出其体积．(2)先求出球半径，再求球的表面积．(1)B(2)14π[(1)画出截面图，如图：∴R＝22＋12＝ 3.∴其体积V ＝43πR 3＝43π.故选B.(2)球的直径是长方体的体对角线，∴2R ＝32＋22＋12＝14，S ＝4πR 2＝14π.]母题探究：1.若把本例(2)换成“棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上”，求此球的体积．[解] 正方体的外接球直径等于正方体的体对角线 长，即2R ＝22＋22＋22，所以R ＝3， 所以V 球＝43·π·(3)3＝43π.2．若把本例(2)换成“棱长为a 的正四面体的各个顶点都在半径为R 的球面上”，求球的表面积．[解] 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x ，则a ＝2x ， 由题意2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ， 所以R ＝64a ，所以S 球＝4πR 2＝32a 2π.3．若把本例(2)换成“三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为2a ，a ，a ”，求球的表面积和体积．[解] 以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发的三条棱，将三棱锥补成长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直径等于长方体的体对角线长，故2R ＝a 2＋a 2＋2a2＝6a ，R ＝62a ，所以S 球＝4πR 2＝6a 2π，V 球＝43πR 3＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 3＝6a 3π.1在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.2几个常用结论①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径； ②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径； ③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；④球与棱锥相切，则可利用V 棱锥＝13S 底h ＝13S 表R ，求球的半径R .[当 堂 达 标·固 双 基]1．直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A ．144π，144π B ．144π，36π C ．36π，144πD ．36π，36πD [半径R ＝3.所以S 表＝4πR 2＝36π，V ＝43πR 3＝4π3×27＝36π.故选D.]2．正方体的表面积为54，则它的外接球的表面积为( )【导学号：07742069】A ．27πB ．823π C ．36πD ．932πA [设正方体的棱长为a ，则S ＝6a 2＝54，∴a ＝3. ∴其外接球半径为R ＝32a ＝332. ∴外接球表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＝27π.]3．表面积为Q 的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为( )A.13Q B ．Q C.43Q D ．2Q11/11 C [4πR 2＝64π⇒R ＝4，∴V ＝13QR ＝43Q ，故选C.] 4．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.【导学号：07742070】32 [设大球的半径为R ，则有43πR 3＝2×43π×13，R 3＝2，所以R ＝32.] 5．圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r ，圆柱、圆锥的高都是2r ，(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比；(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比．[解] (1)V 圆柱＝πr 2·2r ＝2πr 3，V 圆锥＝13·πr 2·2r ＝23πr 3， V 球＝43πr 3，所以V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝3∶1∶2.(2)S 圆柱＝2πr ·2r ＋2πr 2＝6πr 2， S 圆锥＝πr ·4r 2＋r 2＋πr 2＝(5＋1)πr 2，S 球＝4πr 2，所以S 圆柱∶S 圆锥∶S 球＝6∶(5＋1)∶4.。

第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

2019-2020学年高中数学 1.3.2 球的体积和表面积学案 新人教A版必修2Ａ．学习目标 熟念和掌握球的体积公式和面积公式Ｂ．学习重点、难点重点：球的体积公式和面积公式难点：球的体积公式和面积公式Ｃ．学法指导通过球体的表面积和体积公式的推导，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心.D ．知识链接⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

E ．自主学习1．球的体积：实验：利用曹冲称象的典故2．球的表面积：球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R 的函数,半径为R 的球的表面积为 练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。

F.合作探究（一）例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1)球的体积等于圆柱体积的三分之二；(2)球的表面积与圆柱的侧面积.证明过程略.例2.如图，已知球O 的半径为R,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a ,它的各个顶点都在球O 的球面上，求证：证明过程略.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H ．达标检测1．长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( ) A.22π B ．252πRC ．50πD ．200π2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.2∶ 3 D.8∶273．(2011·湖南高考)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 4．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A ．4∶3B ．3∶1C ．3∶2D ．9∶45．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．6．如下图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．放入一个半径为r 的实心铁球，球被水淹没，高度恰好升高r ，则R r＝________.7．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的体积．8．圆锥的底面半径为3，母线长为5，求它的内切球的表面积与体积．参考答案：C BD C5. 16π6.233 7.解：由三视图可知，该几何体的下部是棱长为2 m 的正方体，上部是半径为1 m 的半球． (1)该几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)．(2)该几何体的体积为 V ＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3(m 3)．8.解：作截面图如图，由题意得圆锥的高为4.设球的半径为R ， 则S △ABC ＝12×6×4＝12×6R ＋12×5R ×2， 解得R ＝32， ∴S 球面＝4πR 2＝9π， V 球＝43πR 3＝92π.。