一元二次方程的实际应用(二)同步练习新版北师大版

北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程用配方法解较复杂的一元二次方程同步练习题含答案1. 解一元二次方程3x 2＋4x ＋1＝0时，可以将方程化为( )A ．(x ＋2)2＝3B ．(x ＋23)2＝19C ．(x ＋23)2＝13D ．(3x ＋23)2＝192．假定9x 2－ax ＋4是一个完全平方式，那么a 等于( )A ．12B ．－12C ．12或－12D ．6或－63.将多项式x 2＋6x ＋2化为(x ＋p)2＋q 的方式为( )A ．(x －3)2＋11B ．(x ＋3)2－7C ．(x ＋3)2－11D ．(x ＋2)2＋44. 用配方法解以下方程时，配方有错误的选项是( )A ．4x 2－4x －19＝0化为(2x －1)2＝20B ．2t 2－7t －4＝0化为(t －74)2＝8116 C ．2x 2＋8x ＋7＝0化为(x ＋2)2＝15D ．3x 2－4x －2＝0化为(x －23)2＝1095. 假定分式2x 2－x －10x 2－4的值为零，那么x 的值为( ) A ．4 B ．－2或52 C ．3 D ．526. a 、b 取恣意实数，多项式a 2＋b 2－2a －4b ＋16的值总是( )A ．正数B ．零C ．正数D ．无法确定正负7. 假定x 2＋6x －7可化为(x ＋m)2－n ，那么m 、n 区分是( )A ．3，－16B ．±3，－16C ．3,16D ．±3,168. 小明同窗解方程6x 2－x －1＝0的简明步骤如下：解：6x 2－x －1＝0，―――――――→两边同时除以6第一步x 2－16x －16＝0，――→移项第二步x 2－16x ＝16，――→配方第三步(x －19)2＝16＋19，――――→两边开方第四步x －19＝±518，――――→移项第五步x 1＝19＋106，x 2＝19－106. 上述步骤，发作第一次错误是在( )A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步9. 式子－x 2－4x －5可配方成－(x ＋ )2 ，该式有最 值是 .10. 方程2x 2－5x －2＝0，配方后得 .11. 将方程7x 2－5x －2＝0配方后得 ，解为 .12. 一元二次方程2x 2－4x ＋1＝0的解为 .13. 用配方法求得代数式2x 2－7x ＋2的最小值是 .关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋5x ＋k 2－3k ＋2＝0的一个根为0，那么k 的值为 .14. 用配方法解以下方程：(1) 2x 2－7x ＋6＝0； (2)12x 2－x －1＝0 15. 解以下方程：(1)2x 2＋3x －2＝0；(2)4x 2－8x ＋1＝0.16. 用配方法证明：无论x 为何实数，代数式－x 2＋4x －8的值恒小于零．17. 一个矩形周长为56厘米．(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽区分为多少？(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．参考答案;1---8 BCBCD CAC9. 2 －1 大 －110. (x －54)2＝411611. (x －514)2＝81196 x 1＝1，x 2＝－2712. x 1＝2＋22，x 2＝2－2213. －3382 14. (1) 解：(x －74)2＝116，x －74＝±14，∴x 1＝2，x 2＝32(2) 解：x 1＝1＋3，x 2＝1－ 315. (1) 解：x 1＝－2，x 2＝12(2) 解：x 1＝1＋32，x 2＝1－3216. 解：∵－x 2＋4x －8＝－(x －2)2－4＜0，∴无论x 为何实数，代数式－x 2＋4x －8的值恒小于零．17. 解：(1)设矩形的长为x 厘米，那么另一边长为(28－x)厘米，依题意有x(28－x)＝180，解得x 1＝10(舍去)，x 2＝18,28－x ＝28－18＝10.故长为18厘米，宽为10厘米；(2)设矩形的长为x 厘米，那么宽为(28－x)厘米，依题意有x(28－x)＝200，即x 2－28x ＋200＝0，那么Δ＝282－4×200＝784－800＜0，原方程无实数根，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．。

专题06利用一元二次方程解决六种实际问题（六种技巧精讲精练+过关检测）题型01传播问题【典例分析】【例1-1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）1．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x 名同学，则可列方程为（ ）A ．()13x x x ++=B ．()2136x +=C ．()2136x x ++=D ．2136x x ++=【例1-2】（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）2．某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向x 个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ．【例1-3】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）3．据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型流感（A 型流感）为主．特别是A （H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？【变式演练】【变式1-1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）4．有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x 个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感A ．7B ．8C ．448D ．512【变式1-2】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人．【变式1-3】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）6．某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病．(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？题型02单循环（握手）或双循环（互送贺卡）问题【典例分析】【例2-1】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）7．元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x 名学生，那么所列方程为（ ）A ．21980x =B ．()11980x x +=C ．()1119802x x -=D ．()11980x x -=【例2-2】（22-23九年级上·广东肇庆·期末）8．在元旦庆祝活动中，每个参加活动的同学都给其余参加活动的同学各送1张贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有x 人，根据题意，可列方程是【例2-3】（23-24九年级上·陕西西安·期中）9．在参加学校组织的毕业典礼后，数学社团中的每两个九年级同学之间都通过握手来告别，如果所有九年级学生一共握手55次，那么该校数学社团共有多少名九年级学生？【变式演练】【变式2-1】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）10．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有多少人参加聚会？（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【变式2-2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）11．国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的有 人．【变式2-3】（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）12．无为市某中学九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计后发现共握手66次，求参加这次数学交流会的学生有多少人？题型03数字问题【典例分析】【例3-1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）13．若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（）A．23B．34C．23或34D．–23或–34【例3-2】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）14．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，则这个两位数是．【例3-3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）15．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是119，请求出最小数与最大数分别是多少．【变式演练】【变式3-1】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）16．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（）A．26B．84C．48D．62【变式3-2】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）17．若两个负数的差为4，且它们的积为45，则这两个数中较小的数是.【变式3-3】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）18．2024年7月1日是建党一百零三周年，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为128，求这个最小数．（请用方程的知识解答）题型04与一次函数综合问题【典例分析】【例4-1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）19．某超市购进一种水果，每箱进价是40元．超市规定每箱售价不得少于45元，根据以往经验发现：当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出20箱．(1)求出每天的销量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式，并直接写出x的范围；(2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润w（元）最大？最大利润是多少？【例4-2】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）20．传统文化端午节前夕，某批发部购入一批进价为7元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？【例4-3】（23-24九年级上·山东淄博·期中）21．为了促进旅游经济发展，淄川区某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(2)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？（友情提示：一定注意自变量取值范围）【变式演练】【变式4-1】（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）22．“疫情”期间某公司推出一款消毒产品，成本价6元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克．经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x（元/千克）101214日销售量y（千克）200180160(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当销售单价定为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少？（日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））【变式4-2】（2024九年级上·浙江·专题练习）23．某商场销售一款篮球，每个篮球进价50元，经市场部调查发现：当篮球的销售单价为60元时，该款篮球的日均销售量为200个，当销售单价在60元到95元之间浮动时（含60元与95元），每个篮球的售价每增加4元，日均销售量减少20个，设该款篮球的销售单价为x元，请回答下列问题：(1)写出该款篮球的日均销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式：___________．(2)求当x为多少时，销售该款篮球的日均利润w（元）存在最大值，并求出最大值．(3)若该款篮球的日均销量不低于100个，销售利润至少为2405元，则该款篮球的销售单价应定在什么范围内？【变式4-3】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）24．某服装公司的某种运动服进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）存在一次函数关系，部分数据信息如表：售价x（元/件）100110120130月销量y（件）200180160140(1)月销量是y=．（请用含x的式子表示）(2)设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？a a>元利润给希望工程，物价部门规定该运动(3)该公司决定每销售一件运动服，就捐赠()0服售价不得超过120元．若月销售最大利润是8800元，求a的值．题型05与特殊平行四边形结合应用【典例分析】【例5-1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）25．菱形ABCD的一条对角线长为5，边AB的长是方程2560-+=的一个根，则菱形x xABCD的周长为（）A．8B．11C．12D．12或8【例5-2】（23-24九年级上·天津·期中）=，则BD=，根据26．如图，一个菱形两条对角线长的和是10，面积是12．设AC x题意可列方程为．【例5-3】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）27．如图，李叔叔想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（墙的长度为35m ）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）(1)当羊圈的长和宽分另为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？(2)羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．【变式演练】【变式5-1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）28．如图，某小区计划在一块长为30m ，宽为21m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2560m ．设道路的宽为m x ，则所列方程正确的是（ ）A ．()()30213021560x x --=´-B ．302213021560x x +´=´-C ．2302212560x x x +´-=D ．()()30221560x x --=【变式5-2】（21-22九年级上·云南昆明·阶段练习）29．菱形ABCD 的一条对角线长为6cm ，其边长是方程22150x x --=的一个根，则菱形ABCD 的面积为 cm 2．【变式5-3】（21-22九年级上·贵州铜仁·阶段练习）30．已知平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 的长是关于x 的方程 ()244210x mx m -+-=的两个实数根．（1）当m 为何值时，平行四边形ABCD 是菱形？（2）若AB 的长为2，那么平行四边形ABCD 的周长是多少？题型06与三角形结合应用【典例分析】【例6-1】（20-21九年级上·广东惠州·阶段练习）31．一个三角形两边长为3和6，第三边的边长是(3)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ）A ．12B ．13C ．12和13D ．12或13【例6-2】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）32．如图，三角形ABC 中，90,8cm,4cm C AC BC Ð=°==，一动点P 从C 出发沿着CB 边以1cm /s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 边以2cm /s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为(s)t ．当t 为 秒时，PCQ △的面积为4．【例6-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）33．已知关于x 的一元二次方程()2240a c x bx a +--=，其中a 、b 、c 分别为ABC V 三边的长．(1)如果2x =是方程的根，试判断ABC V 的形状，并说明理由；(2)如果ABC V 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【变式演练】【变式6-1】（22-23九年级上·辽宁辽阳·期末）34．三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程()222525x x -=-的一个实数根，则该三角形的周长是（ ）A ．23B ．23或33C ．24D ．24或30【变式6-2】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）35．已知关于x 的一元二次方程()()22121c x bx a x --=+，其中a 、b 、c 分别为ABC V 三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则ABC V 的形状为 ．【变式6-3】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）36．已知关于x 的一元二次方程()()220a b x cx a b +-+-=，其中a b c 、、分别为ABC V 三边的长．(1)如果1x =是方程的根，试判断ABC V 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC V 的形状，并说明理由；(3)如果ABC V 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．一、单选题（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）37．有两人同时患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人（23-24九年级上·全国·期中）38．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ）A ．27B ．72C ．27或16D ．27-或16-（20-21九年级上·四川·阶段练习）39．菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长为方程27100y y -+=的一个根，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．8B ．20C ．8或20D ．以上答案都不对（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）40．一个菱形两条对角线相差5，面积为12，设长对角线为x ，可列方程( )A ．(5)12x x +=B ．5(12)x x -=C ．(.5)0512x x +=D ．(.5)0512x x -=（23-24九年级上·广西南宁·期中）41．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x 人，根据题意可列方程（ ）A ．()1306x x +=B ．()113062x x +=C ．()1306x x -=D ．()113062x x -=（22-23九年级上·河南商丘·期末）42．如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出33´个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x 与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ）A ．(8)161x x +=B ．(16)161x x +=C ．(8)(8)161x x -+=D ．(16)161x x -=二、填空题（23-24九年级上·广东揭阳·期中）43．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 人．（2024九年级上·内蒙古·专题练习）44．双十一将至，某人将打折活动发在自己的朋友圈，并邀请x 个好友转发，每个好友转发后，由各组邀请x 个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，则可列方程为 ．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）45．若两数的差为3，且它们的积为54，则这两个数为 ．三、解答题（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）46．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个数小1，求这个两位数．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）47．某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨x 元/件（x 为偶数），每天的销售量为y 件．(1)当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为 件．(2)请写出y 与x 的函数关系式．(3)设每天的销售利润为w 元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）48．已知关于x 的一元二次方程()()220a c x bx a c -+-+=，其中a ，b ，c 分别为ABC V 三边的长．(1)如果1x =是方程的根，试判断ABC V 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC V 的形状，并说明理由；(3)如果ABC V 是等腰直角三角形，试求这个一元二次方程的根．1．B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每节课一人教会x 人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案．【详解】解：设平均每节课一人教会x 人，根据题意可得：1136x x x +++=（），即：2136x +=（），故选：B ．2．()190x x +=【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．根据每一轮中发送人数与接收人数列方程即可．【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x 个人发送短信，则()190x x +=，故答案为：()190x x +=3．每轮传染中平均一个人传染了8个人【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意易得方程()1181x x x +++=，然后求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意得：()1181x x x +++=，解得：18x =，210x =-（不符题意，舍去）；答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．4．D【分析】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解．设每轮传染中平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，第一轮有(1)x +人患流感，第二轮共有[()]11x x x +++人，即64人患了流感，由此列方程求出x ，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，根据题意得：1(1)64x x x +++=，整理得，2(1)64x +=，解得：7x =或9x =- (舍去)，故每轮传染中平均一个人传染了7人，则经过三轮传染后患流感的人数为：64647512+´= (人)，故选：D ．5．12【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据题意，设每轮传染中平均一人传染x 人，由此列式求解即可．【详解】解：根据题意，设每轮传染中平均一人传染x 人，∴()11169x x x +++=，整理得得，()21169x +=，解得，121214x x ==-，（不符合题意，舍去），∴每轮传染中平均一个人传染了12人，故答案为：12 ．6．(1)每头发病生猪平均每天传染15头生猪(2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头【分析】本题考查了一元二次方程的应用，（1）设每头发病生猪平均每天传染x 头生猪，根据第一天及第三天生猪发病的头数，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据3天后生猪发病头数196´（1+每头发病生猪平均每天传染的头数），即可求出结论．【详解】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染x 头生猪，依题意，得：()11196x x x +++=，解得：113x =，215x =-（不合题意，舍去）．答：每头发病生猪平均每天传染15头生猪．（2）解：3天后生猪发病头数为：()1961132744´+=（头），27442500>，答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头．7．D【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他(1)x -个学生共赠送贺卡(1)x -张，则x 名学生共赠贺卡为()1x x -张，由题意即可列出方程．【详解】解：∵每个学生要向其他(1)x -个学生共赠送贺卡(1)x -张，∴x 名学生共赠贺卡为()1x x -张，由题意得：()11980x x -=；故选：D ．8．()142-=x x 【分析】设参加活动的同学有x 人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为(1)x -张，再根据“共送贺卡42张”建立方程，然后解方程即可得．【详解】设参加活动的同学有x 人，由题意得：()142-=x x ．故答案为：()142-=x x ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．9．11名【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：设该校数学社团共有x 名九年级学生，根据所有九年级学生一共握手55次，列出一元二次方程，解之取其正值即可．【详解】解：设该校数学社团共有x 名九年级学生，由题意得：1(1)552x x -=，整理得：21100x x --=，解得：111x =，210x =-（不符合题意，舍去），答：该校数学社团共有11名九年级学生．10．C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有x 人参加聚会，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：设有x 人参加聚会，根据题意，得()11282x x -=，解得：128,7x x ==-（舍去）∴有8人参加聚会故选：C ．11．13【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意准确找出等量关系是解答本题的关键．设参加聚会的人数是x 人，根据题意列方程解答即可．【详解】设有x 个人参加聚会，根据题意可得：(1)782x x -=，所以21560x x --=，解得13x =，12x =-（不合题意舍去），所以参加聚会的人数是有13人．故答案为：13．12．参加这次数学交流会的学生有12人【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：12´学生数(´学生数1-）=总握手次数，把相关数值代入即可求解．【详解】解：设参加此会的学生为x 名，则每个学生都要握手()1x -次，根据题意得：()11662x x -=，解得：112x =，211x =-（舍去），答：参加这次数学交流会的学生有12人．【点睛】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．13．A【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，设十位数字为x ，个位数字为()1x +，根据这两个数字之积等于它们数字和的2倍列方程求出其解即可，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．【详解】解：设十位数字为x ，则个位数字为()1x +，依题意得：()()210112x x x x ++=++-，整理得：24720x x --=，∴()()4120x x +-=解得：114x =-（舍去），22x =，∴2x =，∴13x +=，∴这个两位数是23，故选：A ．14．64或75【分析】可设个位数字为x ，则十位上的数字是(2)x +．等量关系：十位上的数字与个位上的数字的积40+=这个两位数．本题考查了一元二次方程的应用．正确理解关键描述语，找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键．【详解】解：设个位数字为x ，则十位上的数字是(2)x +，根据题意得(2)4010(2)x x x x ++=++，整理，得29200x x -+=，即(4)(5)0x x --=，解得14x =，25x =（不合题意，舍去），当14x =时，26x +=，这个两位数是64；当15x =时，27x +=，这个两位数是75．答：这两位数是64或75．故答案为：64或75．15．最小数为7，最大数为17【分析】设最小数为x ，根据题意，得到最大数为()()171110x x ++++=+，列出方程为()10119x x +=，解方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．【详解】解：设最小数为x ，根据题意，得到最大数为()()171110x x ++++=+，∴()10119x x +=，解得127,17x x ==-（舍去）．故最小数为7，最大数为17．16．B【分析】本题考查一元二次方程的应用，设个数上的数字是x ，则十位上的数字是()4x +，根据题意列一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设个数上的数字是x ，则十位上的数字是()4x +，由题意得，()()2241044x x x x ++=++-，整理得，223200x x --=，解得14x =，252x =-（舍去），\个数上的数字是4，十位上的数字是448+=，\这个两位数是84，故选B ．17．9-【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设较小的数为x ，那么较大的数应该为4x +，根据它们的积为45，列出方程，求出x 的值，再根据是两个负数，得出符合条件的值即可．【详解】解：设较小的数为x ，根据题意得：()445x x +=，解得：9x =-，5x =（不合题意，舍去）则这两个数中较小的数是9-；故答案为：9-．18．8【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设圈出的四个数中最小数为x ，则最大的数为8x +，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可求解．【详解】解：．设圈出的四个数中最小数为x ，则最大的数为8x +，根据题意得：()8128x x +=，28128x x +=，222841284x x ++=+()24144x +=，412x +=±，\18x =，216x =- (不合题意舍去)，\这个最小数是8．19．(1)()20160045y x x =-+³(2)每箱售价定为60元，最大利润为8000元【分析】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1箱水果获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．（1）根据“当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出20箱”即可得出每天的销售量y （箱）与每箱售价x （元）之间的函数关系式；（2）根据二次函数的最值问题解答．【详解】（1）由题意得，()()700204520160045y x x x =--=-+³；（2）解：根据题意得，()()()24020160020608000w x x x =--+=--+，∵45x ³，200a =-<∴当60x =时，w 有最大值为()220606080008000-´-+=（元）．答：每箱售价定为60元，最大利润为8000元．20．(1)40680y x =-+(2)当粽子的售价定为12元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是1000元【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式是解题的关键．（1）直接应用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）根据题意列出获日销售利润与x 的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设一次函数的解析式为y kx b =+，将()10,280，()14,120代入得：2801012014k b k b =+ìí=+î，解得：40680k b =-ìí=î，∴求y 与x 之间的函数关系式为40680y x =-+；（2）解：设日销售利润为w ，由题意得：()()()7740680w x y x x =-=--+2409604760x x =-+-()240121000x =--+，∴当12x =时，w 有最大值，最大值为1000，∴当粽子的售价定为12元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是1000元．21．(1)2160y x =-+，3054x ££(2)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用．（1）设每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）之间的关系式为y kx b =+，用待定系数法可得2160y x =-+；（2）设每天获利w 元，()()23021602220w x x x x =-×-+=-+()248002551250x -=--+，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【详解】（1）设每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）之间的关系式为y kx b =+，把()35,90，()40,80代入得：35904080k b k b +=ìí+=î，解得2160k b =-ìí=î，∴()42160305y x x =-££+；（2）（2）设每天获利w 元()()23021602220w x x x x =-×-+=-+()248002551250x -=--+，∵20-<，对称轴是直线55x =，而54x £，∴54x =时，w 取最大值，最大值是()22545512501248-´-+=（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．22．(1)()10300615y x x =-+££；(2)当销售单价定为15元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1350元．【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用．（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，由待定系数法求解即可；（2）根据日销售利润´日销售量（销售单价-成本单价）写出函数关系式，然后配方得到最值即可．【详解】（1）解：设y 关于x 的函数关系式为y kx b =+．把()10,200，()12,180代入y kx b =+，得1020012180k b k b +=ìí+=î，解得10300k b =-ìí=î，y \关于x 的函数关系式为()10300615y x x =-+££；（2）解：设日销售利润为W 元．根据题意，得()()103006W x x =-+-()2210360180010181440x x x =-+-=--+．100a <=-Q ，对称轴为直线18x =，\当615x ££时，y 随x 的增大而增大．\当15x =时，日销售利润最大，最大利润为()210151814401350-´-+=（元）．答：当销售单价定为15元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1350元．23．(1)5500y x =-+(2)当x ＝75时，w 存在最大值，最大值为3125元(3)不低于63元，不高于80元【分析】（1）根据“日均销售量＝原销售量﹣售价增加减少的销售量”列关系式即可；（2）根据“日均利润＝每个利润×日均销售量”列函数解析式，即可解答问题；（3）根据“日均销量不低于100个，销售利润至少为2405元”列不等式组，即可求出答案．【详解】（1）解：由题意，得602002055004x y x -=-´=-+，故答案为：5500y x =-+；（2）解：由题意，得505500()()w x x =--+2575025000x x =-+-()25753125x =--+，50a =-<Q ，∴抛物线开口向下，∴对称轴75x =在6095x ££范围内，当75x =时取得最大值，为3125W =最大值（元），答：75x =时，w 存在最大值，最大值为3125元；（3）解：根据题意，得()2550010057531252405x x -+³ìïí--+³ïî，解得6380x ££，答：该款篮球的销售单价应不低于63元，不高于80元．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式．24．(1)2400y x =-+；(2)售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元(3)5a =【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键理解题意，确定变量，建立函数模型．（1）设月销量y 与x 的关系式为y kx b =+，运用待定系数法求解即可；（2）根据月利润=每件的利润´月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润；。

用公式法求解一元二次方程一、选择题1．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A．B．C．D．2．方程x（x﹣1）＝2的两根为（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝2 3．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，84．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0B．2x2﹣3x+1＝0C．2x2+3x﹣1＝0D．2x2﹣3x﹣1＝0 5．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（）x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x2﹣x0.110.240.390.560.750.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6B．1.6＜x＜1.7C．1.7＜x＜1.8D．1.8＜x＜1.9 6．若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c的解为（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝﹣1或x＝2D．x＝﹣2或x＝0 7．下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（）A．ax2﹣x+2＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣x﹣m＝0D．x2﹣mx﹣1＝0 8．一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定9．若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0 10．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k≥﹣B．k≥﹣且k≠0C．k＜﹣D．k＞﹣且k≠011．当a+b＝4时，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+9＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+6x+9＝0D．x2+5x﹣1＝0二、填空题13．已知二次多项式x2﹣ax+a﹣5．（1）当x＝1时，该多项式的值为；（2）若关于x的方程x2﹣ax+a﹣5＝0，有两个不相等的整数根，则正数a的值为．14．若一元二次方程mx+x2+2＝0有两个相等的实数根，则m＝．15．关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有一个实数数根，则k的值是．16．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．17．若关于x的方程x2+6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值为．三、解答题18．用适当的方法解方程：（1）2x2+3x＝1；（2）（x﹣2）（x+5）＝18；（3）（x﹣1）2＝4；（4）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2．19．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．20．已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+（c+2）2＝0，求关于x的方程ax2+bx+c＝0的根．21．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合．上述材料，解决下列问题：（1）M{32，（﹣3）2，﹣32}＝；（2）若min{2x+1，4x﹣3，7}＝2x+1，则整数x的值是；（3）若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，求x的值．。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2+x+1＝0D．x2+2x﹣1＝0 2．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1 3．若关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0 4．当k＜﹣时，关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0的根的情况是（）A．两个相等的实根B．两个不相等的实根C．无实根D．无法判断5．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣4且k≠0B．k≥﹣4C．k＞﹣4 且k≠0D．k＞﹣46．用公式法解方程6x﹣8＝5x2时，a、b、c的值分别是（）A．5、6、﹣8B．5、﹣6、﹣8C．5、﹣6、8D．6、5、﹣8 7．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．2x2﹣7x+8＝0B．16x2+9＝24x C．3x2+x﹣5＝0D．7x2+1＝08．若关于x的方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．8B．﹣16C．16D．﹣329．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0 10．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣1＝0D．x2+2x+3＝0 11．下面方程中，有两个不等实数根的方程是（）A．x2+x﹣1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣x+＝0D．x2+1＝012．如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a B．a且a≠0C．a D．a且a≠013．已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＞0D．m≥014．一元二次方程x2﹣3x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个相等的实数根D．没有实数根15．如果一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，那么关于x的一元二次方程x2+2x ﹣m＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定16．当4c＞b2时，方程x2﹣bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不等实数根B．有两个相等实数根C．没有实数根D．不能确定有无实数根二．填空题17．若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为．18．若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则＝．19．当t时，关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解．20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是．21．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，实数k的值为．22．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的整数根，若k为正整数，则k＝．24．方程（x+1）（x﹣2）＝1的根是．25．若关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．三．解答题26．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，求m的取值范围．27．解方程：（1）．（2）4x2﹣12x+5＝0．28．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，求m的取值范围．29．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．30．用适当方法解下列方程（1）3x2﹣2x﹣2＝0（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）231．已知关于x的一元二次方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，求a的值及此时这个方程的根．32．解方程：x2﹣3（2x+1）＝0．33．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．求实数k 的取值范围．34．已知关于x的方程是，说明：不论m取任意实数，原方程一定有实数根．35．解方程：x2﹣6＝4x﹣2x236．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2022的值．参考答案一．选择题1．解：A、Δ＝﹣4＜0，方程没有实数根；B、Δ＝0，方程有两个相等的实数根；C、Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数根；D、Δ＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根．故选：D．2．解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．3．解：∵关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，则16﹣4k≥0且k≠0，解得：k≤4且k≠0，故选：D．4．解：∵a＝k﹣2，b＝﹣（2k﹣1），c＝k，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（k﹣2）×k＝4k+1．∵当k＜﹣时，Δ＝4k+1＜0．∴该方程无实数根．故选：C．5．解：当k＝0时，原方程为﹣4x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，∵方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2+4k≥0，解得：k≥﹣4且k≠0．综上可知：k的取值范围是k≥﹣4．故选：B．6．解：原方程可化为：5x2﹣6x+8＝0；∴a＝5，b＝﹣6，c＝8；故选C．7．解：A、Δ＝（﹣7）2﹣4×2×8＝49﹣64＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、方程变形为16x2﹣24x+9＝0，Δ＝（﹣24）2﹣4×16×9＝0，方程两个相等的实数根，所以B选项错误；C、Δ＝12﹣4×3×（﹣5）＝1+60＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；D、Δ＝02﹣4×7×1＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．故选：C．8．解：∵方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即82﹣4（﹣m）＝0，解得m＝﹣16，故选：B．9．解：ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，当a＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得：x＝，不合题意；故a≠0，则有b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，则m的取值范围是a≤1且a≠0．故选：C．10．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴有不相等的实数根；B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴有相等的实数根；C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，∴有不相等的实数根；D、∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴没有实数根．故选：D．11．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．B、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．C、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣1＝0，∴方程有两个相等的实数根．D、移项后得，x2＝﹣1∵任何数的平方一定是非负数．∴方程无实根．故错误．故选：A．12．解：当a＝0时，原方程为x﹣1＝0，解得：x＝1；当a≠0时，有Δ＝12﹣4a×（﹣1）＝1+4a≥0，解得：a≥﹣且a≠0．综上可知：若关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为a≥﹣．故选：A．13．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x，即x2﹣2x﹣m＝0有实数根，∴△≥0，即4+4m≥0，∴m≥﹣1．故选：B．14．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，故选：D．15．解：∵一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，∴m+1＜0且m＜0，∴m＜﹣1，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4（m+1）＜0，∴方程没有实数根．故选：C．16．解：∵4c＞b2，∴b2﹣4c＜0，∴方程x2﹣bx+c＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4c＜0，∴方程无实数根，故选：C．二．填空题17．解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴有a＝4或b＝4和a＝b两种情况，当a＝4或b＝4时，代入方程可得42﹣6×4+n+1＝0，解得n＝7，此时方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或x＝4，此时三角形的三边为2、4、4，满足条件；当a＝b时，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，解得n＝8，此时方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则三角形的三边为3、3、4，满足条件；综上可知n的值为7或8，故答案为：7或8．18．解：a2+ab﹣b2＝0△＝b2+4b2＝5b2．a＝＝b∴＝．故答案是：19．解：∵关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即Δ＝32﹣4×1×t＝9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．20．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，∴，解得：k≥﹣且k≠0．故答案为：k≥﹣且k≠0．21．解：∵a＝k﹣1，b＝﹣（2k﹣2），c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k﹣2）2﹣4×（k﹣1）×（﹣3）＝4k2+4k﹣8＝0，解得：k＝1或k＝﹣2，∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k＝﹣2，故答案为﹣2．22．解：∵a＝k，b＝﹣2（k+1），c＝k﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝12k+4＞0，即k＞﹣方程有两个不相等的实数根，则二次项系数不为零k≠0．∴k＞﹣且k≠0故答案为k＞﹣且k≠0．23．解：根据题意得：Δ＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，解得：k＜，∵k为正整数，得到k＝1或2，利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，∴k的值为2．故答案为2．24．解：整理得：x2﹣x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，x＝，x1＝，x2＝，故答案为：x1＝，x2＝．25．解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即62﹣4×4m＝0，解得m＝，故答案为：m＝．三．解答题26．解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2．27．解：（1）两边都乘以（x﹣1），得：2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，解得：x＝1，检验：当x＝1时，最简公分母x﹣1＝0，所以x＝1是原分式方程的增根，则原分式方程无解；（2）∵4x2﹣12x+5＝0，∴（2x﹣1）（2x﹣5）＝0，则2x﹣1＝0或2x﹣5＝0，解得：x1＝，x2＝28．解：∵（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，∴4﹣4（m﹣2）≥0，∴m≤3，又知（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，即m﹣2≠0，解得m≠2，故m≤3且m≠2．29．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．30．解：（1）这里a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28x＝＝＝∴x1＝，x2＝；（2）（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0即（2﹣x）（3x﹣8）＝0∴2﹣x＝0或3x﹣8＝0∴x1＝2，x2＝．31．解：∵方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4（a+3）＝24﹣4a＝0，∴a＝6．把a＝6代入原方程，得x2+6x+9＝（x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣3．∴这个方程的根为﹣3．32．解：∵x2﹣3（2x+1）＝0，∴x2﹣6x﹣3＝0，∵△＝（﹣6）2﹣4×（﹣3）＝48＞0，∴x＝＝3±2，∴x1＝3+2，x2＝3﹣2．33．解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＞0，∴k2﹣2k+1﹣k2+1＞0，整理得，﹣2k+2＞0，解得k＜1．故实数k的取值范围为k＜1．34．解：（1）当m＝﹣2时，是一元一次方程，有一个实根；（2）当m≠﹣2时，Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2+20，∵（m+2）2＞0，∴（m+2）2+20＞0∴方程有两个不等实根；综合上述，m为任意实数时，方程均有实数根．35．解：方程整理得：3x2﹣4x﹣6＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣6，∴△＝16+72＝88，则x1＝，x2＝．36．解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程有一个根为3，所以9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8所以2k2+12k+2022＝2（k2+6k）+2022＝﹣16+2022＝2006．。

一元二次方程应用题总结分类及经典例题（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。

6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）。

4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

第2课时利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题1.某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后售价为128元。

下列所列方程中正确的是（）A 、168（1+x）2=128 B、168（1-x）2=128 C、128（1+x）2=168 D、128（1-x）2=1682.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则由题意列方程为A.200+200×0(1+x)2=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=10003.某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？4.植树造林是造福子孙后代的善义之举，某中学师生从2005年到2008年四年内共植树1999棵，已知该校2005年植树344棵，2006年植树500棵，如果2006年到2008年的植树棵数的年增长率相同，那么该校2008年植树多少棵？5.某钢铁厂今年一月份的某种钢产量是5000吨,此后每月比上个月产量提高的百分数相同,且三月份比二月份的产量多1200吨,求这个相同的百分数.6.某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元;若每件降价1元，则每天可多售5件。

如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。

针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？8.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。

调查表明：这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就将减少10个。

为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？9.某商店进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就将减少100件。

第二章一元二次方程周周测92.6 应用一元二次方程一、选择题1.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1-x）2=315C．560（1-2x）2=315 D．560（1-x2）=3152.某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）A．100（1+x）B．100（1+x）2C．100（1+x2）D．100（1+2x）3.现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．6.3（1+2x）=8 B．6.3（1+x）=8C．6.3（1+x）2=8 D．6.3+6.3（1+x）+6.3（1+x）2=84.随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2D．20+20（1+x）+20（1+x）25.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．12x（x-1）=45 B．12x（x+1）=45 C．x（x-1）=45 D．x（x+1）=456.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2C．10（1-x）27.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2B．10+10（1+x）2D．10+10（1+x）+10（1+x）28. 2016年某市仅教育费附加就投入7200万元，用于发展本市的教育，预计到2018年投入将达9800万元，若每年增长率都为x，根据题意列方程（）A．7200（1+x）=9800 B．7200（1+x）2=9800C．7200（1+x）+7200（1+x）2=9800 D．7200x2=98009.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=010. 2015年某县GDP总量为1000亿元，计划到2017年全县GDP总量实现1210亿元的目标．如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP总量的平均增长率为（）A．1.21% B．8% C．10% D．12.1%11.从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（）A．100cm2B．121cm2C．144cm2D．169cm212.广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a%，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（）A．188（1+a%）2=118 B．188（1-a%）2=118C．188（1-2a%）=118 D．188（1-a2%）=118二、填空题1.某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 .2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为．3.某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为．4.受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为．5.如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．6.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是．三、解答题1.周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．3.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？4.在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．（1）求这地面矩形的长；××1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？5.如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的17 80．（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．参考答案一、选择题二、填空题1. 10（1+x）2=13；2. x（20-x）=64；3.60（1+x）2=100；4. 100（1+x）2=169；5.2；6. 10%.三、解答题1. 解：设要邀请x支球队参加比赛，由题意，得1x（x-1）=28，2解得：x1=8，x2=-7（舍去）．答：应邀请8支球队参加比赛．2.解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200（1-x）2=98解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．3.解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1-x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100-m）件，第一次降价后的单件利润为：400×（1-10%）-300=60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324-300=24（元/件）．依题意得：60m+24×（100-m）=36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．∴m≥23．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．4.解：（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：x（20-x）=96，解得x1=12，x2=8（舍去），答：这地面矩形的长是12米；×0.80所需的费用：96÷×0.80）×55=8250（元）．×1.00所需的费用：96÷×1.00）×80=7680（元）．因为8250＞7680，×1.00所需的费用较少．5.解：（1）设条纹的宽度为x 米．依题意得2x ×5+2x ×4-4x 2=1780×5×4， 解得：x 1=174（不符合，舍去），x 2=14． 答：配色条纹宽度为14米． （2）条纹造价：1780×5×4×200=850（元） 其余部分造价：（1-1780）×4×5×100=1575（元） ∴总造价为：850+1575=2425（元）答：地毯的总造价是2425元．第三章检测题一、选择题(每小题3分，共30分)1．事件A ：打开电视，它正在播广告；事件B ：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C ：在标准大气压下，温度低于0 ℃P (A )、P (B )、P (C )，则P (A )、P (B )、P (C )的大小关系正确的是( B )A ．P (C )＜P (A )＝P (B ) B ．P (C )＜P (A )＜P (B )C ．P (C )＜P (B )＜P (A )D ．P (A )＜P (B )＜P (C )2．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( B )A ．0 B.13 C.23D ．1 3．如图，2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的7个点中任取一点C ，使△ABC 为直角三角形的概率是( D )A.12B.25C.37D.474．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，问抽取的两个球数字之和大于6的概率是( C )A.12B.712C.58D.345．掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为( A )A.118B.136C.112D.1156．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是( D )A.14B.34C.13D.12,第6题图) ,第7题图)7．如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是( C )A.1925B.1025C.625D.5258．有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b 的值，则点(a ，b )在第二象限的概率是( B )A.16B.13C.12D.239．从长为10 cm ，7 cm ，5 cm ，3 cm 的四条线段中任选三条能够组成三角形的概率是( C )A.14B.13C.12D.3410．如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0)，A 2(2，0)，B 1(0，1)，B 2(0，2)，分别以A 1，A 2，B 1，B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是( D )A.34B.13C.23D.12二、填空题(每小题3分，共18分)11．一个布袋中装有3个红球和4个白球，这些除颜色外其他都相同．从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为__47__． 12．一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2 000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有__460__尾鲫鱼．13．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有__4__个．14．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次能打开锁的概率是__12__． 15．袋中装有4个完全相同的球，分别标有1，2，3，4，从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余3个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于30的概率为__12__． 16．一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有颜色不同，其中一个无盖．突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是__16__． 三、解答题(共72分)17．(10分)小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．解：画树状图：P (都是蓝色)＝26＝1318．(10分)在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，，再随机摸取一张纸牌．(1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；(2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．解：(1)14(2)这个游戏公平，理由如下 ：两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B )有8个，P (B )＝816＝12，两次摸出纸牌上数字之和为奇数与和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平19．(10分)甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为－7，－1，3.乙袋中的三张卡片所标的数值为－2，1，，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．(1)用适当的方法写出点A (x ，y )的所有情况；(2)求点A 落在第三象限的概率．解：(1)列表：－7 －1 3－2 (－7，－2) (－1，－2) (3，－2)1(－7，1) (－1，1) (3，1) 6(－7，6) (－1，6) (3，6) 可知，点A 共有9种情况 (2)由(1)知点A 的坐标共有9种等可能的情况，点A 落在第三象限(事件A )共有(－7，－2)，(－1，－2)两种情况，∴P (A )＝2920．(10分)分别把带有指针的圆形转盘A 、B 分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字(如图所示)．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．(1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．解：(1)共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是612＝12(2)由(1)得乐乐胜的概率为1－12＝12，两人获胜的概率相同，所以游戏公平 21．(10分)现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持，每位参与者交赞助费5元．活动规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形，参与者转动这两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止)．若指针最后所得的数字之和为12，则获一等奖，奖金20元；数字之和为9，则获二等奖，奖金10元；数字之和为7，则获三等奖，奖金5元；其余的均不得奖．此次活动所集到的资助费除支付获奖人员的奖金外，其余全部用于资助贫困生的学习和生活． (1)分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；(2)若此项活动有2 000人参加，活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生．解：(1)P (一等奖)＝136；P (二等奖)＝19；P (三等奖)＝16 (2)(136×20＋19×10＋16×5)×2 000＝5 000，5×2 000－5 000＝5 000，即活动结束后至少有5 000元用于资助贫困生22．(10分)甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物(里面的东西只有颜色不同)，将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．(1)下列事件是必然事件的是( A )A ．乙抽到一件礼物B ．乙恰好抽到自己带来的礼物C ．乙没有抽到自己带来的礼物D ．只有乙抽到自己带来的礼物(2)甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物(记为事件A )，请列出事件A 的所有可能的结果，并求事件A 的概率．解：(2)依题意可画树状图：(直接列举出6种可能结果也可)符合题意的只有两种情况：①乙丙甲，②丙甲乙，∴P (A )＝26＝1323．(12分)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(1)先从袋中摸出1个球放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．解：(1)①画树状图得：∵共有16种等可能的结果，第一次摸到绿球，第二次摸到红球的有4种情况，∴第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为：416＝14；②∵两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率为：816＝12 (2)23。

北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围． 解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2， 即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。