江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期期末数学试题

2020-2021学年江苏省南通市如皋中学高二（创新班）上学期第二次阶段考试数学试题一、单选题1．已知集合{}21|log ,,|2,12xA y y x xB y y x -⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．1{|1}2y y -<< B ．1{|0}2y y << C ．1{|}2y y >D ．∅【答案】B【分析】先利用指数函数与对数函数的单调性求函数的值域，即化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求得结果. 【详解】对数函数2log y x =在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，21log 12y ∴>=-指数函数122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递减，111022y ⎛⎫∴<<= ⎪⎝⎭ 即{}1|1,|02A y y B y y ⎧⎫=>-=<<⎨⎬⎩⎭1|02AB y y =<<⎧⎫⎨⎬⎩⎭故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查了集合的交集运算，及函数的值域问题，解题时一定要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域，再求集合的交集，考查学生的逻辑推理能力与转化与划归能力，属于基础题.2．设:p “2,10x R x mx ∀∈-+>”，:q “22m -≤≤”，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先化简命题p 得到m 的取值范围，再利用集合的关系和充分不必要的定义判断得解. 【详解】2,10x R x mx ∀∈-+>，240,22m m ∴∆=-<∴-<<，所以命题:22p m -<<.(2,2)[2,2]-⊂-≠，p ∴是q 成立的充分不必要条件.故选： A【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查集合的关系，考查充分不必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．体检时使用的“标准对数视力表”发明者是我国已故眼科专家缪天荣教授.体检者的视力分别有“小数记录”和“五分记录”两种方式，例如表中左侧最下方的49是“五分记录”，0.8是“小数记录”，用2V 、1V 分别表示“五分记录”和“小数记录”，则两者之间的关系是（ ）（参考数据lg 20.3010= lg30.4771=）A ．215ln V V =-B ．215lg V V =+C ．214ln V V =-D ．214lg V V =+【答案】B【分析】根据题意提取两组数据当1 1.0V =时，2 5.0V =、当1 1.2V =时，2 5.1V =，由第一组数据排除C 、D 两个选项，由第二组数据排除A 即可得到答案 【详解】由题意：当1 1.0V =时，2 5.0V =，则排除C 、D 两个选项，A 选项：当1 1.2V =时，25ln1.25V =-<，而由题意2 5.1V =，故排除A 选项， 故选：B.【点睛】本题考查根据对数运算确定对数型函数，是基础题. 4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【解析】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c < 【答案】C【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 【解析】函数的图像6．2011年国际数学协会正式宣布将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率.现用我国何承天发明“调日法”来得到π的近似数，其原理是设实数x 的不足近似值和过剩近似值为b a 和dc *(,,,)a b c d N ∈，则b d a c ++是更为精确的不足近似值或过剩近似值.若令31631020π<<，则第一次用“调日法”后得4715，它是π的更为精确的不足近似值，即47631520π<<.若每次都取得简分数，则第n 次用调日法后π的近似值为11336，则n 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】按照“调日法”的基本原理进行运算、推导即可得到结果. 【详解】第一次“调日法”后：47631520π<<；第二次“调日法”后：2471572π<<；第三次“调日法”后：6922227π<<；第四次“调日法”后：9122297π<<； 第五“调日法”后：11322367π<<，此时π的近似值为11336. 故选：D .【点睛】本题考查数学史和新定义运算的问题，本质是考查根据程序框图循环结构计算循环体执行次数，属于基础题.7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，1()()12x f x =-，则函数()f x 在区间[2019,2024]上的（ ）A ．最小值为34- B ．最小值为78-C ．最大值为0D ．最大值为78【答案】A【分析】先利用奇函数的定义和对称性求出函数的周期，结合(0,3)x ∈时，1()()12x f x =-，可知(3,0)x ∈-时，()12x f x =-，知函数()f x 在区间(]3,2-上单调递减，函数取得最小值3(2)4f =-，即可求解.【详解】函数()f x 的图像关于点()3,0对称，()()6f x f x ∴+=--.又函数()f x 为奇函数，()()6f x f x ∴+=，∴函数()f x 是6T =的周期函数，201933763=⨯-，202433762=⨯+，由周期性可知，函数()f x 在区间[2019,2024]上的图像与在区间3,2上的图像一样，又当(0,3)x ∈时，1()()12xf x =-，由指数函数性质知()f x 在区间(0,3)上单调递减， 又函数()f x 为R 上的奇函数，故当(3,0)x ∈-时，()12xf x =-，故()f x 在()3,0-上单调递减，且()00f =，所以()f x 在区间()3,3-上单调递减，即()f x 在区间(]3,2-上单调递减，函数取得最小值3(2)4f =-. 故函数()f x 在区间[2019,2024]上的最小值为34- 故选：A.【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论：（1）若()()f x a f x a +=-，则函数的T =2a ； （2）若()()f x a f x +=-，则函数的T =2a ； （3）若1()()f x a f x +=，则函数的T =2a ；（4）函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的T =2||b a - ； （5）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =2||b a -；（6）若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =4||b a -8．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．12log (2)1a a a a +++>+ B ．1log (1)a a a a++<C ．1log 1)log )((2a a a a ++<+D ．21(1)(2)a a a a +++>+【答案】D【分析】A.构造函数()ln xf x x=，用导数得到()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；然后由21a a e +>+>，利用单调性定义结合换底公式判断；B. 根据22log 9log 8>，化简为()221log 212++>，由2a =判断；C.由()2212a a a +>+ ，取对数()()22lg 1lg 2a a a +>+，结合基本不等式判断； D. 构造函数()ln x f x x=，用导数得到()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；由21a a e +>+>，利用单调性的定义结合对数运算判断. 【详解】A.设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；而21a a e +>+>，所以()()ln 2ln 121a a a a ++<++，则 ()()ln 22ln 11a a a a ++<++，由换底公式得12log (2)1a a a a +++<+，故错误；B. 因为22log 9log 8>，所以22log 33>，即()221log 212++>，所以2a =时，不等式1log (1)a a a a++<不成立，故错误； C.因为()2212a a a +>+ ，所以()()22lg 1lg 2a a a +>+， 所以()()lg lg 2lg 12a a a +++>>，所以()()()()2lg lg 2lg 1lg lg 22a a a a a +++>>⋅+，所以()()()lg 1lg 2lg lg 1a a aa ++>+，()()()1log 1log 2a a a a ++>+故错误；D. 设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；而21a a e +>+>，所以()()ln 2ln 121a a a a ++<++，则()()()()2ln 11ln 2a a a a ++>++，即()()21ln 1ln 2a a a a +++>+，所以()()2112a a a a +++>+，故正确；故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数()ln xf x x=，由其单调性结合换底公式得解.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若,x y R ∈，且2x y +≤，则,x y 中至少有一个大于1.B ．每个正方形都是平行四边形C ．2,2n n N n ∃∈>成立D ．(0,),1x x e x ∀∈+∞>+成立 【答案】BCD【分析】通过逆否命题的真假判断A 选项错误；根据正方形定义判断B 选项正确；举例子判断C 选项正确；构造函数，求导判断单调性及最值，从而判断D 选项正确. 【详解】A. 若,x y R ∈，且2x y +≤，则,x y 中至少有一个大于1，的逆否命题为：若,x y R ∈，且,x y 都不大于1，则2x y +>，故A 错误；B. 每个正方形都是平行四边形，故B 正确；C.当3n =时，2332>，故C 正确；D.设函数()1,0x f x e x x =-->，()10x f x e '=-≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f ∴>=恒成立，即1x e x >+，故D 正确；故选：BCD.10．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数 【答案】BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+, 但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确. 故选:BD.【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.11．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ）A ．1,2a b ==B ．3,3a b =-=-C ．0,2a b ><D ．0,0a b <>【答案】ABC【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x ,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3ax -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需00f f ⎧⎛<⎪ ⎪⎝⎨⎪<⎪⎩，即00b b ⎧<⎪⎪<，即0b <<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需00f f ⎧⎛>⎪ ⎪⎝⎨⎪>⎪⎩，即00b b ⎧>⎪⎪>，即0b >>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【答案】AC【分析】根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：222,22322,20()0,022,022,223x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图象如所示：对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2，故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2a ∈，故C 正确对D ：3()2f x =时，函数的零点有136x =、212x =+、212x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32m =-或38m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误故选：AC【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立三、填空题13．某县教育局招聘了8名高中教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名英语教师，平均分配到,A B 两所学校任教，则3名数学老师不分配在同一所学校的概率为_________. 【答案】67【分析】先求出将8名教师平均分配到两所学校有4484C C 种方法，再求出3名数学老师分配在同一所学校有1252C A 种方法，即可求出3名数学老师不在同一所学校有60种方法，利用概率公式可得解.【详解】先将8名教师平均分配到,A B 两所学校任教，共有448470C C =种方法，若将3名数学老师分配在同一所学校，共有125210C A =种方法，故将3名数学老师不分配在同一所学校，共有701060-=种方法， 所以3名数学老师不分配在同一所学校的概率606707P == 故答案为：6714．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数()y f x =满足如下两个条件：（1）其图象在闭区间[],a b 上是连续不断的；（2）在区间(),a b 上都有导数.则在区间(),a b 上至少存在一个数ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中ξ称为拉格朗日中值.函数()ln g x x x =+在区间[]1,2上的拉格朗日中值ξ=________.【答案】1ln 2【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得()()()1ln 212g g g ξ='-=+，进而求得ξ的值即可. 【详解】()11g x x'=+，则()11g ξξ'=+由拉格朗日中值的定义可知，函数()ln g x x x =+在区间[]1,2上的拉格朗日中值ξ满足，()()()()2121g g g ξ'-=-所以()()()ln 2122n 112l g g g ξ==+-='+- 所以()11ln 21g ξξ'=+=+，即1ln 2ξ=，则n 21l ξ=故答案为：1ln 215．现有甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：“乙､丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是______(填甲､乙､丙､丁中之一). 【答案】乙【分析】结合题意进行假设讨论.【详解】解：假设甲说的是真话，那么乙和丁都未获奖，则是甲或丙获奖，所以乙说的也是真话，因为四人中只有一位说的是真话，所以甲说真话的假设不成立，故甲所说为假；因为甲所说是假，所以获奖者为乙或者丁，进而乙和丙说的都是假话，只有丁说真话，也就是获奖者为乙. 故本题正确答案为：乙.【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，属于基础题型.四、双空题16．已知抛物线2:6C x y =的焦点F ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3AF FB =，则直线l 的斜率是___________；AB =________.【答案】3±8 【分析】设直线l 的方程为32y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立2326y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，由韦达定理可得21263y y k +=+，1294y y =，然后由3AF FB =可得()1231y y =+，然后可解出答案.【详解】因为抛物线2:6C x y =，所以其焦点30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭显然直线l 的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为32y kx =+，()()1122,,,A x y B x y 联立2326y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 可得()2296304y k y -++=，所以21263y y k +=+，1294y y =因为3AF FB =，所以1233322y y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即()1231y y =+ 由()12123194y y y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩可解得129212y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以212635y y k +=+=，解得k = 128ABy y p故答案为：；8五、解答题17．已知n 的展开式中，前三项的系数成等差数列.（1）求n ；（2）求展开式中所有项的系数和； （3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）8n =；（2）83()2；（3）527x 或747x .【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可； （2）用赋值法进行求解即可；（3）根据最大项列出不等式组，解不等式组即可.【详解】（1）n +展开式的通项公式为：23411()2n rr n rrr r r nnT C C x --+=⋅⋅=⋅⋅，展开式的前三项的系数为：001122111(),(),()222n n n C C C ⋅⋅⋅，因为前三项的系数成等差数列，所以110022111(1)2()()()182228n n n n n C C C n n -⋅=⋅+⋅⇒=+⇒=或1n =（舍去）， 所以8n =；（2）由（1）知：8n =，令1x =，883()2=； （3）由（1）知：8n =，设第+1r 项系数最大，所以有：118811()()22r r r r C C --⋅≥⋅且1+18811()()22r r r r C C +⋅≥⋅，解得3r ≤且2r ≥，而r N ∈所以232r r ≤≤⇒=或3r =， 因此展开式中系数最大的项为：2832522422181()72T C x x ⨯-⨯+=⋅⋅=或2833733443181()72T C x x ⨯-⨯+=⋅⋅=，展开式中系数最大的项为：527x 或747x .18．此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）75人；（2）存在，m 的范围为{7}.【分析】（1）求出对应的100-x 名研发人员的年总投入，建立方程关系进行求解即可； （2）根据条件①②建立不等式利用参数分离法转化求最值问题即可．【详解】（1）由题意得：(100)(14%)100(0)x x a a a -+≥>，解得75x ≤，所以调整后的技术人员的人数最多75人.（2）由技术人员年人均投入不减少得（ⅰ）2 25a m x a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+， 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入得（ⅱ）2(100)(14%)25x x x a x m a ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，两边除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++，故有2100132525x xm x +≤≤++，10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时取等号，7m ∴≤， 又因为4575x ≤≤，当75x =时，令2125xy =+取得最大值7，7m ∴≥，77m ∴≤≤， 即存在这样的m 满足条件，其范围为{7}m ∈.【点睛】本题考查了函数的应用问题，结合条件建立方程和不等式，利用参数分离法进行求解是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．19．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每个人每日健步的步数，从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了2000名市民（其中不超过40岁的市民恰好有1000名），利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数，并将样本数据分为[)3,5，[)5,7，[)7,9，[)9,11，[)11,13，[)13,15，[)15,17，[)17,19，[]19,21九组（单位：千步），将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如右，将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.（1）现规定，日健步步数不低于13000步的为“健步达人”，填写下面列联表，并根据列联表判断能否有99.9％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关；健步达人 非健步达人 总计 40岁以上的市民 不超过40岁的市民 总计（2）（ⅰ）利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数（单位：千步）的平均数和中位数；（ⅱ）由频率分布直方图可以认为，不超过40岁的市民日健步步数Z （单位：千步）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值），σ的值已求出约为3.64.现从该市不超过40岁的市民中随机抽取5人，记其中日健步步数Z 位于()4.88,15.8的人数为X ，求X 的数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：若(),Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）填表见解析；有99.9％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关（2）（ⅰ）平均数为12.16，中位数为373（ⅱ）() 4.0925E X = 【分析】（1）完善列联表，计算22910.828K ≈>，得到答案.（2）（ⅰ）计算平均值为12.16，根据频率知样本中位数落在第5组，设样本中位数为t ，则()110.150.50.3t -⨯=-，得到答案；（ⅱ）()()2, 4.88,15.8μσμσ-+=得到()5,0.8185X B ~，计算得到答案.【详解】（1）列联表为()2220005206004804002910.828920108010001000K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关. （2）（ⅰ）样本平均数为40.0460.0680.10100.10120.3140.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯160.1180.08200.02+⨯+⨯+⨯12.16=由前4组的频率之和为0.040.060.100.100.30+++=，前5组的频率之和为0.300.300.6+=，知样本中位数落在第5组，设样本中位数为t ，则()110.150.50.3t -⨯=-，∴373t =. 故可以估计：该市不超过40岁的市民日健步步数的平均数为12.16，中位数为373. （ⅱ）()()2, 4.88,15.8μσμσ-+=， 而()()()1122222P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-<<+=-<<++-<<+ 0.8185=，∴()5,0.8185X B ~，∴X 的数学期望为()50.8185 4.0925E X =⨯=.【点睛】本题考查了独立性检验，平均值和中位数，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.20．设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据(2)22,(2)1f e f e =+=-'求a,b的值即可； （Ⅱ）由题意判断的符号，即判断1()1x g x x e-=-+的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间. 试题解析：（Ⅰ）因为()a xf x xebx -=+，所以()(1)a x f x x e b -=-+'.依题设，(2)22,{(2)1,f e f e =+=-'即222222,{1,a a eb e e b e --+=+-+=- 解得2,e a b ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()xf x xe ex -=+.由21()(1)xx f x ex e --=-+'及20x e ->知，与11x x e --+同号.令1()1x g x x e -=-+，则1()1x g x e-=-+'.所以，当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而. 综上可知，，.故的单调递增区间为.【解析】导数的应用；运算求解能力【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．21．已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线1(0)2y mx m =+≠对称（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 【答案】（1）6m >6m <；（2）max 2S =【分析】（1）设直线AB 的方程为y kx n =+，联立椭圆的方程和直线AB 的方程消元，由0∆>得到2212k n +>，然后算出线段AB 中点的坐标，代入12y mx =+可得2122k n +=-，然后可求出答案；（2）求出||AB 和O 到AB 的距离，写出AOB 面积的关系式，根据n 的范围求出答案即可．【详解】（1）设直线AB 的方程为：y kx n =+，联立解方程组2212y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得222(12)4220k x knx n +++-=，2222164(12)(22)0k n k n ∆=-+->，2212k n ∴+>设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以122412kn x x k -+=+，212222·12n x x k-=+，所以线段AB 的中点22(12kn G k -+，2)12n k +，代入直线12y mx =+，注意其中1k m =-，得2122k n +=-，结合2212k n +>，得(2)0n n +<，即20n -<<，20124k <+<，得232k <，所以223>m ，故m >或m <，（2）12|AB x =-==， O 到AB 的距离d =，12S AB d ===20n -<<，所以当1n =-时max S =． 【点睛】结论点睛：若两点,A B 关于直线l 对称，则可得到直线AB 与直线l 垂直，且线段AB 的中点在直线l 上.22．若函数()f x 满足：对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数21()f x x =与22()log (1)f x x =+是否是“L 函数”；（2）若函数()()31231xxg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且(1)1f =，求证：对任意()()1*2,2k kx k -∈∈N ，都有1()f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭22x x -．【答案】（1）21()f x x =是“L 函数”，22()log (1)f x x =+不是“L 函数”；（2）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）证明见解析．【分析】（1）根据题中“L 函数”的定义，分别判断21()f x x =与22()log (1)f x x =+，即可得出结果；（2）先由题题意，得到()()312310ttg t a -=-+->，即()()31320tta -->对一切正数t 恒成立，求得12a ≤；再由“L 函数”的定义，得到()()()3131320s t s ta +--+>，推出3320t a ++>对一切正数s ，t 恒成立，求出12a ≥-，即可得出结果； （3）由“L 函数”的定义，令s t =，得到(2)2()f s f s >，推出对于正整数k 与正数s ，都有()22()k k f s f s >，得出对任意()()1*2,2k k x k -∈∈N ，可得()112,2k k x --∈，推出()2x f x >，12f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得出结论成立. 【详解】（1）对于函数21()f x x =，当0t >，0s >时，21()0f t t =>，21()0f s s =>，又222111()()()()20f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以111()()()f s f t f s t +<+，故21()f x x =是“L 函数”．对于函数22()log (1)f x x =+，当1t s ==时，2222()()2log 3()f t f s f t s +=>=+，故22()log (1)f x x =+不是“L 函数”．（2）当0t >，0s >时，由()()31231x x g x a -=-+-是“L 函数”， 可知()()312310t t g t a -=-+->，即()()31320t t a -->对一切正数t 恒成立，又310t ->，可得23t a <对一切正数t 恒成立，所以12a ≤． 由()()()g t g s g t s +<+，可得 ()3331233310s t s t t t s t a +------++--+>，故()()()3131320s t s t a +--+>，又()()31310t s -->，故320x t a ++>，由3320t a ++>对一切正数s ，t 恒成立，可得210a +≥，即12a ≥-． 综上可知，a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （3）由函数()f x 为“L 函数”， 可知对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >， 故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()112222(2)2()()22k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>， 对任意()()1*2,2k k x k -∈∈N ，可得()112,2k k x--∈， 又(1)1f =，所以()()()11112()2222(1)22k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>， 同理()()111111122222(1)2k k k k k f f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故12()2x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查函数的新定义问题，考查函数的综合应用，涉及指数函数、对数函数、以及二次函数的性质，属于较难题型.。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. 3x^2 - 6xD. 3x^2 + 6x2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1C. 0D. -1/23. 在三角形ABC中，已知AB = 3，AC = 4，BC = 5，则三角形ABC的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 124. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 50，a1 = 2，则公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 函数y = x^2 - 4x + 4在区间[-1, 5]上的最大值为（）A. 9B. 4C. 0D. 56. 已知复数z = 1 + i，则|z|的值为（）A. 1B. √2C. 2D. √37. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则第5项a5为（）A. 16B. 8C. 4D. 28. 函数y = log2(x - 1)的图像与x轴的交点坐标为（）A. (1, 0)B. (2, 0)C. (3, 0)D. (4, 0)9. 在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a = 3，b = 4，c = 5，则cosA的值为（）A. 1/2B. √2/2C. 1/3D. √3/310. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在x = 1处的切线方程为y = 3x - 2，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 - 12x + 8C. 3x^2 - 12x + 10D. 3x^2 - 12x + 11二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的图像的顶点坐标为______。

2020-2021学年江苏省南通市如皋中学高二上学期第二次阶段考试数学试题一、单选题1．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A ．()1,0 B ．()0,1C ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =. 故焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点坐标,需要将抛物线化成标准形式再判断,属于基础题.2．命题:p 方程221xy m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题:1q m ≥，则p 是q 成立的（ ）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【分析】由方程221x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，得出>1m ，再由充分必要条件的定义可判断得选项.【详解】因为方程221x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以>1m ，所以由命题:p 方程221x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，能推出命题:1q m ≥；而由命题:1q m ≥，不能推出命题:p 方程221xy m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以p 是q 成立的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．3．已知()221717xx C C x N ++=∈，则x =（ ）A ．2B ．5C ．2或5D ．2或6【答案】C【分析】根据组合数的性质可得22x x =+或2217x x ++=，解方程即可. 【详解】由()221717xx C C x N ++=∈，可得22x x =+或2217x x ++=， 解得2x =或5. 故选：C4．在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人.现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．30 B ．31C ．32D ．33【答案】D【分析】直接根据分层抽样的概念可得结果.【详解】由分层抽样方法可得：应抽取高一年级学生的人数为90330=33900⨯， 故选：D.5．2020154-被7除后余数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】利用二项式定理将2020154-转化为12202022020202020202020111414...14C C C ++++求解.【详解】因为()202020201541144-=+-，1220202202020202020202020201414...144C C C C =++++-，12202022020202020202020111414...14C C C =++++，所以2020154-被7除后余数是4 故选：C6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ） A．15B．5C．3D【答案】A【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值．【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2A ，0，0)，(2E ，1，2)，(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)， (0AE =，1，2)，1(2BD =-，2-，2)，设异面直线AE 与1BD 所成角为θ， 则11||15cos ||||512AE BD AE BD θ=== ∴异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为15．故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．7．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A ．50 B ．40 C ．35 D ．30【答案】A【分析】先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得．【详解】先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为32266222()50C C A A +⨯=．故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组数为312112kkmm m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为312112kkm m m m n n m n m m mi iC C C C A---．8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=，则a =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【分析】由题意可设1(,)22b P a ±，则1211(,),(,)2222b b PF c PF c a a=--=-，再由120PF PF ⋅=，可得22240a c c -=，从而可求出a 的值【详解】解：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，故设1(,)22bP a±， 设12(,0),(,0)F c F c -，则1211(,),(,)2222b bPF c PF c a a=--=-， 因为120PF PF ⋅=，所以2211()()0224b c c a-+-+=，即2222224a c a b c a -==-， 所以22240a c c -=，因为20c ≠，所以2410a -=， 因为0a >，所以12a =， 故选：B二、多选题9．对于,m n N +∈关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）A ．m n mn n C C -=B ．11m m mn n n C C C -+=+ C ．m mn n m m A C A =D ．11(1)m mn n A m A ++=+【答案】ABC【分析】根据排列计算公式，组合计算公式，逐一验证选项即可． 【详解】根据组合数的性质与组合数的计算公式()!!!mn n C n m m =-，()()()!!!!!!n m n n n C n m m n n m n m -==-⎡⎤---⎣⎦，故A 正确； 因为()()11!1!!mn n C n m m ++=+-，()()()()()11!!!!!1!!1!1!m m n n n n n C C n m m n m m n m m -++=-+-⎡⎤---⎣⎦=+，所以11m m mn n n C C C -+=+，故B 正确；因为()()()!!!,!!!!!mm m n n m n n n A C A m n m n m m n m ==⨯=---，所以m m n n m m A C A =，故C 正确；因为()()()()()11+1!+1!!,(1)(1)!!!m m n nn n n A m A m n m n m n m ++=++⨯≠---=，故D 不正确， 故选：ABC ． 10．已知1021001210(32)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，则下列结论正确的是（ ） A ．01a = B ．10121021a a a +++=-C ．2405a =D ．201002410222a a a a +++++=【答案】ACD【分析】令1x =得选项A 正确；令2x =得选项B 错误；令0x =得100123102a a a a a =-+-++，又10121041a a a +++=-，得选项D 正确；先换元再利用二项式展开式的通项得选项C 正确.【详解】令1x =得100(32)1=a -=，所以选项A 正确； 令2x =得10012104a a a a =++++，所以10121041a a a +++=-，所以选项B 错误；令0x =得100123102a a a a a =-+-++，又10121041a a a +++=-，两式相加得10102010024********a a a a ++++++==，所以选项D 正确； 令1x t -=，所以1x t =+，所以1021001210(31)t a a t a t a t +=++++，其展开式的通项为10110(3),r rr T C t -+=令102,8r r -=∴=， 所以82210=3405a C =，故选项C 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项C 的真假，这种形式的一般先换元，再借助二项展开式的通项求解.11．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组并得到频率分布直方图（如图所示），则下列说法中正确的是（ ）A ．0.045a =B ．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160人C ．这800名学生数学成绩的众数可近似认为是125D ．这800名学生数学成绩的第75百分位数约为128.6 【答案】BCD【分析】根据频率直方图的性质依次判断选项即可得到答案。

2020-2021学年江苏省如皋中学高二上学期期末模拟卷一数学试题一、单选题1．钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1， ，则AC=A ．5BC ．2D ．1【答案】B【详解】由面积公式得：1122B =，解得sin B =，所以45B =或135B =，当45B =时，由余弦定理得：21245AC =+-=1，所以1AC =，又因为AB=1，，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =，由余弦定理得：212AC =+-=5，所以AC = B.【解析】本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识. 2．若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（ ） A ．46 B ．64C ．15D ．360【答案】C【分析】根据组合的定义，结合组合数公式进行计算求解即可.【详解】因为是无座的足球门票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成组合问题，则有466!6515(64)!4!2C ⨯===-⋅.故选：C 3．在()()42121x x -+的展开式中4x 的系数为（ ）A ．13B ．11C ．11-D ．20-【答案】C【分析】先求出()41x +展开式的通项为4k k k T C x =，展开式中4x 的项有44441C x x ⨯=和22244212x C x x -=-，系数相加即可求解.【详解】()41x +展开式的通项为4k kk T C x =， 展开式中4x 项为44441C x x ⨯=和22244212x C x x -=-，所以()()42121x x -+的展开式中4x 的系数为11211-=-，故选：C4．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A ．平均数为3.中位数为2 B ．中位数为3.众数为2 C ．平均数为2.方差为2.4 D ．中位数为3.方差为2.8【答案】C【分析】根据题意,举出反例说明,即可得出正确选项.【详解】对于A, 当掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时,满足平均数为3.中位数为2,可以出现点数6,所以A 错误;对于B,当掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时,满足中位数为3.众数为2, 可以出现点数6,所以B 错误;对于C,若平均数为2.且出现6点,则方差221(62) 3.2245s >-=>,所以平均数为2.方差为2.4时一定没有出现点数6,所以C 正确;对于D,当当掷骰子出现结果为2,3,3,5,6时,中位数为3,方差为2222221(23)(33)(33)(53)(63) 2.85s +++++⎡⎤=-----=⎣⎦,可以出现点数6,所以D 错误.综上可知,C 为正确选项. 故选:C【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差在统计中的应用,各个数据对总体的影响,属于基础题.5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45【答案】A【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB ==,所以()()()4|5P AB P B A P A ==，故选A. 【解析】条件概率．6．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为A B C ．6332D ．94【答案】D【详解】由题意可知：直线AB 的方程为3)34y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D.【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π【答案】C【详解】正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为即2R =2424R S R ππ===球8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C ．10D ．2【答案】C【详解】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A（1，0，0），1(,0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-，1(,0,1)2AN =-，所以cos ,BM AN BM AN BM AN⋅〈〉==⋅3465=⋅30，故选C. 【解析】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.二、多选题9．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，2AB AD CD ===，22BD =，90BDC ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 折起至'A BD △，使平面'A BD ⊥平面BCD ，则在四面体'A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A ．//EF 平面'A BCB ．异面直线CD 与'A B 所成的角为90︒C ．异面直线EF 与'A C 所成的角为60︒D ．直线'A C 与平面BCD 所成的角为30 【答案】ABD【分析】运用线面平行的判定定理可判断A 正确；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B 正确；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C 错误；由线面角的求法，可判断D 正确．【详解】对于A ：因为E ，F 分别为A D '和BD 两边中点，所以//EF A B '，又EF ⊄平面A BC '，所以//EF 平面A BC '，故A 正确； 对于B ：因为平面A BD '⊥平面BCD ，交线为BD ，且CD BD ⊥， 所以CD ⊥平面A BD '，即CD A B ⊥'，故B 正确；对于C ：取CD 边中点M ，连接EM ，FM ，则//EM A C '，所以FEM ∠或其补角为异面直线EF 与A C '所成角， 又1EF =，122EM A C ='=132FM BC ==，即90FEM ∠=︒，故C 错误；D ：连接A F '，可得A F BD '⊥，由面面垂直的性质定理可得A F '⊥平面BCD ， 连接CF ，可得A CF ∠'为A C '与平面BCD 所成角，由21sin 222A F A CF A C '∠'==='，则直线A C '与平面BCD 所成的角为30°，故D 正确． 故选：ABD【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论正确的是 A ．“22a b >”是“a b >”的充分条件 B ．“22a b >”是“a b >”的必要条件 C ．“22ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“||||a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件 【答案】CD【详解】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．11．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,4M 在抛物线()220y px p =>上，抛物线的焦点为F ，延长MF 与抛物线相交于点N ，则下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为1x =- B ．174MN =C ．OMN 的面积为72D ．MF NF MF NF +=【答案】AD【分析】根据条件求出p ，再联立直线与抛物线求出N ，进而求出结论． 【详解】解：点(4,4)M 在抛物线22(0)y px p =>上，242?42p p ∴=⇒=，24y x ∴=，焦点为(1,0)，准线为1x =-，A 对，因为(4,4)M ，故404413MF k -==-， 故直线MF 为：4(1)3y x =-，联立244(1)3y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒2161(1)494x x x -=⇒=或4x =， 1(4N ∴，1)-，452p MF ∴=+=，15424p NF =+=，525544MN ∴=+=，B 错，25·4MF NF MN MF NF +===，D 对，OMN 的面积为115·()15222M N OF y y -=⨯⨯=．故C 错， 故选：AD ．12．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37A B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1226C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为121255C C C -【答案】ABD【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为37C 种，可判断A 错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为12212525C C C C +种，可判断B 错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为3175C C -种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D 错误． 【详解】对于A ，若任意选择三门课程，选法总数为37C 种，故A 错误对于B ，若物理和化学选一门，有12C 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有25C 种选法若物理和化学选两门，有22C 种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有15C 种选法 由分步乘法计数原理知，总数为12212525C C C C +种选法，故B 错误对于C ，若物理和历史不能同时选，选法总数为3213172575·C C C C C -=-种，故C 正确对于D ，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有1214C C 种选法 选化学，不选物理，有1215C C 种选法 物理与化学都选，不选历史，有2124C C 种选法故总数为121221141524610420C C C C C C ++=++=种，故D 错误 故选：ABD三、填空题13．从-1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数2()f x ax bx c =++的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个（用数字作答）． 【答案】18 6【分析】利用计数原理求出,,a b c 的组数即可，其中不同的偶函数的个数为0b =的组合，再利用计数原理计算即可．【详解】()0a a ≠有3种取法，b 有3种取法，c 有2种取法， 由分步计数原理知共有二次函数33218⨯⨯=个 若二次函数为偶函数，则0b =，共有326⨯=个 故答案为：18；6．14．已知21001210()g x a a x a x a x =++++，9019()h x b b x b x =+++，若()()()()()19101121x x x g x h x +-=-+，则9a =________．【答案】1832-⨯【分析】根据等式1910(1)(12)(1)()()x x x g x h x +-=-+的两边展开式中的19x 的系数相等、20x 的系数相等求得9a 的值． 【详解】19101021029012100129(1)(12)(1)()()(1)?()x x x g x h x x a a x a x a x b b x b x b x +-=-+=-+++⋯+++++⋯+由19x 的系数相等可得1919181810919191091010·(2)?(2)?·C C C a C a -+-=-①， 再根据20x 的系数相等可得191910191010·(2)C C a -=②．由①②求得18932a =-⨯，故选：D15．已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．【答案】【分析】根据题意，根据1,,P A F 三点共线，求出直线1AF 的方程，联立双曲线方程，即可求得P 点坐标，则由11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-即可容易求得.【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+， ∴△APF 的周长为|P A|+|PF|+|AF|=|P A|+12a PF ++|AF|=|P A|+1PF +|AF|+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|P A|+1PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵()0,66A ，()13,0F -∴直线1AF的方程为1366x +=-，即326x =-代入2218y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或86y =- (舍)，所以P 点的纵坐标为26， ∴111166662622APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-⨯⨯-⨯⨯=126. 故答案为：126.【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题. 16．某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m 的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(2＋1)m ，则水晶球的表面积为_______m 2.【答案】4π【分析】根据条件求得四个小三角形的项点所在平面截球面得小圆的半径，由勾股定理求得球心到小圆圆心的距离、小圆面到底座的距离和球的的半径和即为水晶球最高点到底座底面的距离可得答案.【详解】如图，原边长为2正方形的四个顶点为A B C D 、、、，四个边的中点分别是M N P Q 、、、，且四边形MNPQ 2的正方形，折起后正方形ABCD 四个点在底面上的射影分别为1111A B C D 、、、，是正方形MNPQ 的中点，且1111D C B A 是边长为1的正方形，其对角线长为112AC =，所以112AC AC ==，即则四个小三角形的项点所在平面截球面得小圆的半径为2，由勾股定理求得球心到小圆圆心的距离为212R -，小圆面到底座的距离为22，设球的半径为R ， 由条件得R ＋212R -＋22＝2＋1，解得R ＝1，所以水晶球的表面积4πm 2. 故答案为：4π.【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用.四、解答题173sin A ＝a cos C ；②tan 4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝23a 2＋b 2＝c 23ab 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若c ＝4，B ＝105°， ，求a 和S .【答案】选①：2a =443S =+选②：42a =443S =+选③：2a =443S =+【分析】选①3csinA ＝acosC 3cos C C =，求得角C ;选②由tan (C ＋4π)＝233tan C =求得角C ；选③由a 2＋b 2＝c 2，利用余弦定理求得角C ；然后利用正弦定理求得a ，再利用三角形面积公式求解.,【详解】选①∵csinA ＝acosC ；sin sin cos A C A C =， ∵在△ABC 中，(0,)A π∈， ∴sinA ≠0，cos C C =，∴si ta s n n co C C C ==选②∵tan (C ＋4π)＝2∴tan tan421tan tan 4C c ππ+=-1tan 21tan C C +=-，则tan C =选③∵a 2＋b 2＝c 2，∴由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-===， ∵在△ABC 中，C ∈(0，π)， ∴C ＝6π， ∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，且B ＝105°， ∴A ＝4π， ∵正弦定理sin sin a cA C =且4c =， ∴4sin sin 46a ππ=，则a = sin10s 5sin(4560n )i B ︒︒︒==+ ,sin 45cos60cos 45sin 60︒︒︒︒=+ ,21232622224+=⨯+⨯=, ∴1126sin 42444322S ac B +==⨯⨯⨯=+. 【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 18．已知，（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项 的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）70（2）332（2x ）10 【详解】试题分析：（1）第k+1项的二项式系数为kn C ，由题意可得关于n 的方程，求出n ．而二项式系数最大的项为中间项，n 为奇数时，中间两项二项式系数相等；n 为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n 的方程，求出n ．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设1k T +项的系数最大，1k T +项的系数为k r ，则有11{k k k k r r r r +-≥≥ 试题解析：（1）通项T r ＋1＝C rn 12⎛⎫ ⎪⎝⎭n －r ·（2x ）r ＝22r －n C r n x r ，由题意知4C n ，5C n ，6C n 成等差数列，∴52C n ＝46C C n n +，∴n ＝14或7.当n ＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14714C ＝3 432； 当n ＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大， 其系数分别为22×3－737C =352，22×4－747C =70. （2）由题意知012C C C n n n ++＝79，∴n＝12或n＝－13（舍）．∴T r＋1＝22r－1212C r x r.由2122(1)12112122122(1)12112122C2C,{2C2C,r r r rr r r r-----+-+≥≥得525{475rr≤≥∴r＝10.∴展开式中系数最大的项为T11＝22×10－12·1012C x10＝332（2x）10.【解析】二项式定理的应用19．在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势.但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充.看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化.某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站(电子纸质均可凭电子借书卡借书)由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.若将该80人分成两个年龄层次，年龄在[20,50)定义为中青年，在[50,80]定义为老年.（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，求抽取的这3人都为中青年的概率(直接用组合数表示)；（2）为进一步调查阅读习惯(电子阅读和传统阅读)与年龄层次是否有关，得到如下22⨯列联表：完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”.中青年老年合计电子阅读13附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，(其中n a b c d =+++)临界值表供参考：3.841【答案】（1）328380C C ；（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关.【分析】（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人有380C 种抽取方法，由频率分布直方图可得中青年人数为28人，从中青年读书者中随机抽取3人有328C 种抽取方法，从而可得答案.(2)先根据频率分布直方图，完善22⨯列联表，求出()22801539131328522852K ⨯-⨯=⨯⨯⨯，根据临界值表得出答案.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得中青年人数为(0.0050.010.02)108028++⨯⨯=(人)，从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，抽取的这3人都为中青年的概率为328380C C ；（2）由（1）得，中青年读书者人数为28人，老年读书者人数为802852-=，由此可得22⨯列联表如下表，()228015391313320 6.5312852285249K ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为6.531 3.841>，所以有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”.20．某公司为了扩大生产规模，欲在泉州、福州、广州、海口、桂林、吉隆坡、雅加达、科伦坡、加尔加大、内罗毕、雅典、威尼斯、华盛顿13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市． （1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率．（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万．该公司为了确定建设工业厂房的数目()*1013,n n n N ≤≤∈，统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？ 【答案】（1）115143；（2）应建设工业厂房12间． 【分析】（1）先求其对立事件A “该公司所选的3个城市都在国外”的概率，再计算()()1P A P A =-即得结果；（2）结合需求量，分别计算10111213n =，，，时，每月总利润的分布列和数学期望，并进行比较可知，应建设工业厂房12间.【详解】解：（1）记事件A 为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，其对立事件A 为“该公司所选的3个城市都在国外”，则()38313P C A C =，故()()3831311511413P C A C P A =-==-， ∴所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为115143； （2）设该产品每月的总利润为Y ，①当10n =时，产品可完全售出，故100101000Y =⨯=万元．②当11n =时，月需求量为100万件时，获利1001050950Y =⨯-=万元． 月需求量为110万件及以上时，获利100111100Y =⨯=万元．6(950)0.160P Y ===，(1100)1(950)10.10.9P Y P Y ==-==-=． Y 的分布列为∴()9500.111000.91085E Y =⨯+⨯=万元．③当12n =时，月需求量为100万件时，获利10010502900Y =⨯-⨯=万元． 月需求量为110万件时，获利10011501050Y =⨯-=万元． 月需求量为120万件及以上时，获利100121200Y =⨯=万元．6(900)0.160P Y ===，24(1050)0.460P Y ===，1812(1200)0.5600P Y +===． Y 的分布列为∴()9000.110500.412000.51110E Y =⨯+⨯+⨯=万元．④当13n =时，月需求量为100万件时，获利10010503850Y =⨯-⨯=万元， 月需求量为110万件时，获利100115021000Y =⨯-⨯=万元， 月需求量为120万件时，获利10012501150Y =⨯-=万元， 月需求量为130万件时，获利100131300Y =⨯=万元．6(850)0.160P Y ===，24(1000)0.460P Y ===，18(1150)0.360P Y ===，12(1300)0.260P Y ===．Y 的分布列为∴()8500.110000.411500.313000.21090E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=万元． 综上，当12n =时，()1110E Y =万元最大，∴欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间． 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.21．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qian du ）：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bie nao ）指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥.（1）求证：四棱锥11B A ACC -为阳马；（2）若AB AC =，12C C =，且直线1AC 与平面11BCC B 5，求锐二面角11C A B C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【分析】（1）通过证明AB ⊥面11ACC A ，结合四边形11ACC A 为矩形即可证明； （2）以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】（1）证明：∵1A A ⊥底面ABC ，AB 面ABC ，∴1A A AB ⊥， 又AB AC ⊥，1A AAC A =，∴AB ⊥面11ACC A ， 又四边形11ACC A 为矩形， ∴四棱锥11B A ACC -为阳马.（2）解：在ABC 中作AH BC ⊥于H ，连结1C H . 显然1AC H ∠为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角. 设2BC a =，则AH a =，214C Ha =+.故125tan 54AC H a ∠==+，解得1a =， ∴2BC =，2AB AC ==，∵AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC .∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0B，()2,0C ，()10,0,2A ，()12,0,2A B =-，()2,2,0BC =-，()112,0AC =.设面1A BC 的一个法向量()1111,,x n y z =，由11100n A B n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111220220x z x y -==⎪⎩，令12x =，得()12,2,1n =，设平面11A BC 的一个法向量()2222,,n x y z =，则2121100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x z -==，令12x =，得()22,0,1n =，∴12121215cos ,5n n n n n n ⋅==⋅， 故锐二面角11C A B C --. 【点睛】利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M：22221x y a b +=（0a b >>）右焦点的直线0x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(Ι) 22163x y +=（Ⅱ）12AB CD ⋅=3【分析】(1)把右焦点()c,0代入直线方程可求出c ，设()11,,A x y ()22,B x y ，线段AB 的中点()00,P x y ，利用“点差法”即可得出a,b 的关系式，再与222a b c =+联立即可求出a,b ，进而可得椭圆方程；(2)由CD AB ⊥，可设直线CD 方程为y x m =+,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长CD ，把直线0x y AB +=与椭圆的方程联立得到根与系数关系，即可得到弦长，利用ABCD 1S 2AB CD =⋅四边形即可得到关于m 的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值.【详解】(Ι)设()11,,A x y ()22,,B x y 则()22112211x y a b +=，()22222212x y a b+=，（1）－（2）得：()()()()12121212220x x x x y y y y ab-+-++=，因为12121y y x x -=--，设()00,P x y ，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以0012y x =，即()121212y y x x +=+，所以可以解得222a b =，即()2222a a c=-，即222ac =，又因为c =26a =，所以M 的方程为22163x y +=.（Ⅱ）因为CD AB ⊥，直线AB 方程为0x y +=，所以设直线CD 方程为y x m =+，将0x y +=代入22163x y +=得：230x -=，即(A 、B ⎝⎭，所以可得AB =；将y x m =+代入22163x y +=得：2234260x mx m ++-=，设()33,,C x y ()44,,D x y 则CD =()221612260m m ∆=-->，即33m -<<，所以当0m =时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB CD ⋅=. 【点睛】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.。

江苏省如皋中学2020-2021学年度第一学期第二次阶段考试高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．抛物线24y x =的焦点坐标为( ) A ．(0,1)B ．(1,0)C ．1(,0)16D ．1(0,)162．命题p ：方程221xy m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：1m ≥，则p 是q 成立的( )条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．已知221717),=x x C C x N x ++=∈（则( ) A ．2 B ．5 C ．2或5 D ．2或64．在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查．该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人．现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为( ) A ．30B ．31C ．32D ．335．2020154-被7除后余数是 ( ) A ．2B ．3C ．4D ．56．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为 ( )A ．3B ．15C ．5D ．57．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日．某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( )A ．50B ．40C ．35D ．308．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为12,F F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=，则a = ( )A ．14B ．12C ．2D ．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．对于,m n N +∈关于下列排列组合数，结论正确的是( ) A ．C C mn mn n-=B ．11C C C m m m n nn -+=+C ． A m mmn n m C A = D ． 11A (1)A m mn n m ++=+10．已知1021001210(32)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，则下列结论正确的是A ．01a =B ． 10121021a a a +++=- ( )C ．2405a =D ．20100241022+2a a a a ++++=11．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组并得到频率分布直方图(如图所示)，则下列说法中正确的是 ( ) A ．0.045a =B ．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160人C ．这800名学生数学成绩的众数可近似认为是125D ．这800名学生数学成绩的第75百分位数约为128．612．已知点P 是双曲线2212516x y -=右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，O 为原点，若18OP OF +=，则下列结论正确的是( )A ．双曲线的离心率为53B ．双曲线的渐近线为45y x =±C ．点P 到该双曲线左焦点的距离为18D ． 12PF F ∆的面积为36三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题“x R ∃∈，210x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14．7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有 种不同的排法 (用数字作答)；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有 种不同的排法．(用数字作答)（第一空2分，第二空3分） 15．261(1)()x x x+-的展开式中的常数项为_________．16． 已知点1F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，过原点作直线l 交椭圆于,A B 两点，,M N 分别是1AF ，1BF 的中点，若存在以MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研（一）数学试题一、单选题1．抛物线23y x =的准线方程为（ ） A ．34x =-B ．34x =C ．34y =-D ．34y =【答案】A 【解析】先求出324p =，即得解. 【详解】由抛物线23y x =得323,24p p =∴=， 所以抛物线的准线方程为34x =-.故选：A 【点睛】本题主要考查抛物线的准线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D 【答案】C【解析】由题得点()2,1在直线by x a=上，化简224a b =即得解. 【详解】由题得点()2,1在直线by x a=上， 所以22122,4,ba b a b a=⨯∴=∴=，所以22222254(),54,,4a c a a c e e =-∴=∴=∴=. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知椭圆2211612x y +=上一点P 到其左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】A【解析】求出点P 的横坐标，进而可求得点P 到椭圆右准线的距离. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则2211612x y +=，223124y x =-，且44x -≤≤，对于椭圆2211612x y +=，4a =，b =2c ，椭圆2211612x y +=的左焦点为()2,0F -，右准线方程为28a x c==，114422PF x x ====+=+6=，解得4x =，因此，点P 到右准线的距离为844-=. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆上的点到准线距离的计算，求出点P 的横坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．已知抛物线()220x py p =>的焦点到双曲线22154y x -=的渐近线的距离为2，则p 的值为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】双曲线22154y x -=20y ±=，抛物线的焦点坐标为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为抛物线()220x py p =>的焦点到双曲线22154y x -=的渐近线的距离为2，22254p⨯=+，解得6p故选：B 【点睛】本题考查抛物线和双曲线简单性质的应用，点到直线距离公式的应用，较简单. 5．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则MF NF +=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线方程代入抛物线方程，韦达定理知1210x x +=，利用抛物线焦半径公式可得到结果.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程为：()223y x =+ 将直线方程代入抛物线方程得：2540x x -+=，则125x x +=由抛物线焦半径公式可得：()12121127MF NF x x x x +=+++=++= 故选：C 【点睛】本题考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题.6．为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【解析】由题意可得出10MB BN +=，在三角形MBN 中，使用余弦定理可得cos B 的关系式，再利用基本不等式可求出cos B 的最小值，从而可求出sin B 的最大值，进而求解． 【详解】设AM x =，AN y =，则由已知可得10x y +=， 在MBN △中，6MN =， 由余弦定理可得：222226()363232327cos 1111222525()2x y x y B x y xy xy xy +-+-==-=--=-=+， 当且仅当x y =时等号成立， 此时5x y ==，7cos 25min B =， 所以24sin 25max B =， 所以四边形AMBN 的最大面积为12425524225⨯⨯⨯⨯=， 此时四边形AMBN 是边长为5的菱形， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D 【答案】B【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12PF PF ⋅=（ ） A ．8 B．C ．4D．【答案】A【解析】根据条件可得24PF =，由双曲线的定义可得110PF =，又1210F F =，由余弦定理得出12F PF ∠的余弦值，再由向量的数量积可得答案. 【详解】双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±.则焦点()25,0F到渐近线的距离为4d ==因为以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，所以4r = 所以24PF =,由双曲线的定义有110PF = 又1210F F =，由余弦定理得22212122112||+||||100161001cos 2||||21045PF PF F F F PF PF PF -+-∠===⨯⨯，1212121||||cos 4085PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠=⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的基本性质，双曲线与向量的结合，属于中档题.二、多选题9．已知双曲线222(0)63x y λλ-=≠，则不因λ改变而变化的是（ ）A ．渐近线方程B ．顶点坐标C ．离心率D ．焦距【答案】AC【解析】首先将题中所给的双曲线方程化为标准方程，写出22,a b ，求得2c 的值，求得双曲线的离心率和渐近线方程是确定的，得出结果. 【详解】双曲线222(0)63x y λλ-=≠可化为2222163x y λλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=， 所以2231()2be a=+=，渐近线方程为2b y x x a =±=±， 故选：AC. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程确定双曲线的离心率和渐近线方程，观察双曲线方程研究其性质，属于简单题目.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为（ ）A ．2BCD ．3【答案】AB【解析】由双曲线的定义和已知可得21|||3,|PF PF a a ==，然后再由1212||||||PF PF F F +≥可得答案.【详解】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得，所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+， 即42a c ≥，12e <≤， 故选：AB. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于基础题.11．设1F ，2F 为椭圆C ：221167x y +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A ．12MF = B ．22MF = C ．点M 的横坐标为83D ．12MF F S =△【答案】BCD【解析】由M 的位置及12MF F △为等腰三角形，知112MF F F =，进而求得1MF ，2MF ，然后在12MF F △中，利用余弦定理求得12cos MF F ∠，再利用112cos M x MF MF F c =⋅∠-和面积公式求解即可.【详解】因为椭圆C ：221167x y +=，所以4,3a b c ===，因为M 为C 上一点且在第一象限，且12MF F △为等腰三角形， 所以12112,26MF MF MF F F c >===，且22MF =，在12MF F △中，由余弦定理得：22222211221211266217cos 226618MF F F MF MF F MF F F +-+-∠===⋅⨯⨯，所以112178cos 63183M x MF MF F c =⋅∠-=⨯-=，所以12sin 18MF F ∠==，所以1112111sin 662218MF FSMF F F MF F =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=， 故选；BCD 【点睛】本题主要考查椭圆的交点三角形以及余弦定理和面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为()1,0B ．若A ，F ，B 三点共线，则3OA OB ⋅=-C ．若直线OA 与OB 的斜率之积为14-，则直线AB 过点F D ．若6AB =，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为2 【答案】BCD【解析】根据抛物线的标准方程，求得焦点F 的坐标，可判定A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，根据韦达定理和向量的运算，可判定B 正确；设直线AB 的方程为y kx m =+，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C 、D 正确.【详解】由抛物线24x y =，可得2p =，则焦点F 坐标为(0,1)，故A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-， 所以2121212()11y y k x x k x x =+++=，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-，故B 正确； 设直线AB 的方程为y kx m =+， 联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx m --=，所以12124,4x x k x x m +==-， 所以222222121212()44y y k x x k x x m k m mk m m =+++=-++=，因为直线OA 与OB 的斜率之积为14-，即121214y y x x ⋅=-，可得2144m m =--，解得1m =， 所以直线AB 的方程为1y kx =+，即直线过点F ，故C 正确；因为6AB ===， 所以224(1)()9k k m ++=，所以2994(1)m k ==+，因为21212()242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离：22222299224(1)4(1)d k m k k k k k =+=+-=+++229114(1)k k =++-+1312≥=-=，当且仅当212k =时等号成立，所以AB 的中点到x 轴的距离的最小值为2，故D 正确， 综上所述，正确命题为BCD. 故选：BCD. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、填空题 13．当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为________.【答案】0,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】变换得到22111sin cos x y αα+=，根据题意得到11sin cos αα>，解得答案. 【详解】22sin cos 1x y αα+=，即22111sin cos x y αα+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故10sin α>，10cos α>， 方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，故11sin cos αα>， 即cos sin αα>，故0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：0,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了根据椭圆方程求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题目.14．设椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.在2ABF 中，若有两边之和为10，则第三边的长度为________. 【答案】6【解析】解：先由椭圆的定义得2ABF 的周长为4a ，再由椭圆的标准方程求出4a =，最后求出2ABF 第三边的长度即可. 【详解】解：由椭圆的定义得121222AF AF aBF BF a +=⎧⎨+=⎩，所以2ABF 的周长为：4a ，因为椭圆的标准方程为：221169x y +=，所以216a =，则4a =，所以2ABF 的周长为16， 因为2ABF 有两边之和为10，则第三边的长度为16106-=， 故答案为：6. 【点睛】本题考查椭圆的定义、根据椭圆的标准方程确定a 的值、求焦点三角形的边长，是基础题15．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠=︒，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率是________. 【答案】5【解析】先设2NF m =并根据题意与双曲线的定义表示出MN ，2MF ，1MF ，1NF ，12F F ，再在直角三角形12F MF △和1F MN △中利用勾股定理建立方程整理得到225c a =，最后求双曲线的离心率. 【详解】解：由题意作图如下，设2NF m =，因为22MN NF =，所以2MN m =，2=3MF m ， 由双曲线的定义可得：1=32MF m a -，1=2NF m a +，122F F c =， 因为1290F MF ∠=︒，在直角三角形1F MN △中，222(32)(2)(2)m a m m a -+=+，整理得：43m a =， 在直角三角形12F MF △中，222(32)(3)(2)m a m c -+=，又因为43m a =所以222(42)(4)(2)a a a c -+=，整理得：225c a=，所以5ce a==5【点睛】本题考查双曲线的定义、求双曲线的离心率、焦点三角形的边长关系，是中档题四、双空题16．已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________. 【答案】292【解析】作出图形，过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得出MN MF MN MP +=+，由点P 、M 、N 共线时MN MF +取最小值可求得p 的值，设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合2AF FB =可求得2m 的值，利用弦长公式可求得AB . 【详解】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()2129412AB y y m =-==+=. 故答案为：2；92. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线上的点到定点和焦点距离之和的最值，同时也考查了抛物线焦点弦长的计算，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，P 是E 上一点，且在第一象限，满足(2,PF =-.（1）求点P 的坐标和抛物线E 的方程；（2）已知过点P 的直线l 与E 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.【答案】（1）P 坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =；（2）y =y =+【解析】（1）先表示出焦点坐标和设点P 的坐标，再建立方程组解得0y =8p =，最后求点P 的坐标和抛物线的方程即可；（2）先判断当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，再根据题意设直线l 的方程，求出0k =与k =l 的方程.【详解】（1）焦点坐标,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为(2,PF =-，所以2222y p p y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩， 又0p >，解得0y =8p =，所以P坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，故舍去；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，代入抛物线方程，消去x 得到216320ky y k --+=，若0k =，此时直线l：y = 若0k ≠，则(2564320k k ∆=--+=，解得k =综上：直线l的方程为y =y =+【点睛】本题考查求抛物线的标准方程、根据直线与抛物线的位置关系求直线方程，是基础题.18．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点F 重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点. （1）求ABCD的值； （2）设M 为1C 与2C的公共点，若3OM =，求1C 与2C 的标准方程. 【答案】（1）34AB CD =；（2）椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =. 【解析】（1）设椭圆的方程为2222143x y c c+=，抛物线方程为24y cx =，然后分别求出AB 、CD 即可；（2）联立椭圆和抛物线的方程求出点M的坐标，然后由OM =c 即可.【详解】（1）因为椭圆1C 的离心率为12，所以设其方程为2222143x y c c+=，(),0F c ，令x c =解得32y c =±，所以3AB c =， 又抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点(),0F c 重合，所以设其方程为24y cx =， 令x c =解得2y c =±，所以4CD c =， 故34AB CD =. （2）由222221434x y c c y cx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：22316120x cx c +-=，解得23x c =或6c -（舍）.所以2,3M c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为OM =1c =. 即椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =.【点睛】本题考查的是椭圆和抛物线的综合问题，考查了学生的分析能力，属于基础题. 19．设椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且椭圆上的点到焦点1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：x ty m =+（m <）与C 交于A ，B 两点，已知()2,0M ，且2MA MB ⋅=，求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意易得c a =，1a c +=，解得a 和c 的值，再由222b a c =-得出2b 的值，最后写出椭圆的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +和12y y 的表达式，代入2MA MB ⋅=中可得23820m m -+=，解出m 的值即可证明直线过定点. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由题意可得2c a =，1a c +=，所以a =1c =， 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2212x y +=；（2）由2212x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2222220t y mty m +++-=，由>0∆，得222m t <+，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222mt y y t +=-+，212222m y y t -=+，()()()121212122224x x MA y M x x B y x x =--⋅+=-++()()()121222ty m ty m t y y m =++-++⎡⎤⎣⎦ ()()2212121(2)(2)2t y y t m y y m =++-++-=，所以有23820m m -+=，解得43m =，又m <，所以m =，即直线l恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，考查直线过定点问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F ，斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于M ，N 两点.（1）当直线l 过原点O 时，满足直线AM ，AN 斜率和为2k -，求弦长MN ； （2）当直线l 过点F 时，满足直线AM ，AN 斜率和为k -，求实数k 的值. 【答案】（1）MN =（2）1k =±.【解析】(1）先求出椭圆的方程，设()00,M x y ，()00,N x y --，根据2AM AN k k k+=-可得202x =，代入椭圆方程求出2032y =，从而求出弦长|MN |; (2）直线l 方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入AM AN k k k +=-，即可求出k 的值. 【详解】（1）由左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F 知2,1a c ==， 所以2223b a c =-=所以椭圆方程为22143x y +=，设()00,M x y ，()00,N x y --， 由2AM AN k k k +=-，得0000222y y k x x +=-+-，0000222kx kx k x x +=-+-， 因为0k ≠，所以202x =，代入椭圆方程得2032y =，所以MN ==.（2）设直线l 方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得，()22223484120k x k x k +-+-=， >0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 由AM AN k k k +=-，得121222y yk x x +=-++， ()()12121122k x k x k x x --+=-++，又0k ≠，所以()()1212121224124x x x x x x x x ++-=-+++，()12120x x x x ∴++=，2222412803434k k k k -∴+=++， 21k =∴解得1k =±. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为，F 为右焦点，()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形.（1）求双曲线E 的方程；（2）过点M 的直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求PQN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y -=；（2）[)4,+∞. 【解析】(1)由题意可知c =，再利用2a =和2221b c a =-=，即可求出a ， b ， c 的值，从而得到双曲线E 的方程;(2）当直线l 的斜率存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到PQNS=,由1200x x ∆>⎧⎨<⎩，求出k 的取值范围，从而求出PQNS的取值范围.【详解】（1）设焦距为2c ，因为()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形， 所以c =又2a =，所以a =2221bc a =-=，所以双曲线方程为2212x y -=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()2212440k x kx ---=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122412kx x k +=-，122412x x k =--， 因为直线l 与E 的左右两支分别交于两点，所以1200x x ∆>⎧⎨<⎩，解得22k -<<，（或由双曲线的渐近线方程为y =得k <<）.121212PQN x x x x S N M -==-=△=2102k ≤<， 令1,12t ⎛⎤=⎥⎝⎦， 则2441212t S t t t==--，因为12y t t=-在1,12⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，所以当1t =时，y 最小为4. 即[)4,S ∈+∞. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.22．已知点()1,0F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，抛物线E 在A ，B 两点处的切线交于M .（1）求证：A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列；（2）若AB a ，其中a 为定值，求证：ABM 的面积的最大值为38a p. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由题得抛物线方程为24y x =，先求出两切线的方程分别为1122yy x y =+①，2222y y x y =+②，解之得122M y y y +=，即得证； （2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，先证明()212||4y y MN -≤，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），所以12y y a -≤，所以2||8a MN ≤，即得ABM 的面积的最大值.【详解】（1）证明：由题得抛物线方程为24y x =，设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可知切线的斜率一定存在，设为k ， 211244y y y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩消去x 得，2211440ky y y ky -+-=， 因为直线与抛物线相切，所以0∆=，解得12k y =， 此时切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即112,2y y x y =+① 同理设222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，另一条切线方程为2222y y x y =+②， 将①②联立方程组，解得122M y y y +=， 所以A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列.（2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，第 2 页 共 4 页则()2221212121212||||24844y y x x y y y y y y MN MQ -++≤=-=-=， 设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），则212||1AB m y y a =+-=，所以12y y a -≤，即()2212||||48y y a MN MQ -≤=≤， 所以3311||||||22168ABM a a S AB MN a MQ p=⋅≤⋅==. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的最值问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2020-2021如皋中学高二第一学期期末数学综合复习二一、单选选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在空间中，a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若//a b ，//a α，则//b α B. 若a β⊥，αβ⊥，则//a α C. 若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥ D. 若//a α，αβ⊥，则a β⊥2. 若(x 2−a)(x +1x )10的展开式中x 6的系数为30，则a =（ ） A ． −12B ． −2C ． 2D ．123. 已知:1p x a -<，3:11q x >+，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)1,2-D ．()1,2-4. 已知点P 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆C 的另一个交点为B ，若PA PB ⊥，则椭圆τ的离心率e =（ ）A ．12B ．2C ．2D ．35. 某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布()110,100N ，则分数位于区间(]130,150分的考生人数近似为（ ）（已知若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+= ，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=）A ．1140B ．1075C ．2280D ．21506. 根据环境空气质量监测资料表明，某地一天的空气质量为轻度污染的概率是0.25，连续两天为轻度污染的概率是0.1，则此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率是（ ） A. 0.4B. 0.25C. 0.1D. 0.057. 已知12,x x ，3x ∈R ，123x x x <<，设1212x x y +=，2322x x y +=，3132x x y +=，1212y y z +=，2322y y z +=，3132y y z +=，若随机变量,,X Y Z 满足：())()(i i i P X x P Y y P Z z =====1(1,2,3)3i ==则( ) A. ()()()D X D Y D Z << B. ()()()D X D Y D Z >> C. ()()()D X D Z D Y << D 。

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知平面α的一个法向量()13,0,n λ=，平面β的一个法向量()22,1,6n =，若αβ⊥，则λ=（ ） A ．92B ．4C ．1-D ．1【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为αβ⊥，则可得12n n ⊥， 且()13,0,n λ=，()22,1,6n =， 则可得660λ+=，解得1λ=- 故选:C2．若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（ ） A ．52B ．3C ．5D ．152【答案】C【分析】根据题意，设中间的边为a ，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到a 的值，从而得到结果.【详解】由题意设中间的边为a ，则三边依次为2,,2-+a a a 由勾股定理可得()()22222a a a +=-+，解得8a =或0a =（舍） 即斜边为210a +=，所以外接圆的半径为1052= 故选:C3．已知P 为双曲线22:133x y C -=与抛物线22y x =的交点，则P 点的横坐标为（ ）A ．3B ．2CD ．1-【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意，220x y =≥，则由22223y x x y ⎧=⎨-=⎩解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以P 点的横坐标为3.故选：A4．若直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，则实数m 取值的集合为（ ） A ．{}1,1- B ．{}9,1- C ．{}1 D ．{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得d r =，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由圆2220x y y +-=可得()2211x y +-=，表示圆心为()0,1，半径为1的圆，则圆心到直线340x y m ++=的距离d =因为直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，所以d r =1=，解得1m =或9m =-，即实数m 取值的集合为{}9,1- 故选:B5．已知数列{}n a 首项为2，且112n n n a a ++-=，则n a =（ ） A ．2n B ．121n -+ C ．22n - D ．122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得112n n n a a ++-=，12a =，则当2n ≥时，有12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++，()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==--经检验当1n =时也符合该式．∴122n n a +=-.故选：D6．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，CA CB =，P 为1A B 的中点，Q 为棱1CC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．1PQ AB ⊥ B ．AC //平面1A BQ C ．1PQ CC ⊥D ．PQ //平面ABC【答案】B【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系，B 选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C 选项先通过类似A 选项的证明得到线线垂直，结合AC 的结论得到线面垂直后判断，D 选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为2h ，AC CB x ==.B 选项，根据棱柱性质，11AC //AC ，而11A C ⋂平面11A BQ A =，若AC //平面1A BQ ，无论怎样平移直线AC ，都不会和平面1A BQ 只有一个交点，于是得到矛盾，故B 选项错误；A 选项，计算可得，221QA QB x h ==+P 为1A B 的中点，故1PQ A B ⊥（三线合一），A 选项正确；C 选项，连接11,,QB QA AB ，根据平行四边形性质，1AB 过P ，计算可得，221QA QB x h =+P 为1AB 的中点，故1PQ AB ⊥（三线合一），结合A 选项，1PQ A B ⊥，11AB A B P =，11,AB A B ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥平面11ABB A ，由1AA ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥1AA ，棱柱的侧棱1AA //1CC ，故1PQ CC ⊥，C 选项正确；D 选项，取AB 中点E ，连接,PE CE ，结合P 为1A B 的中点可知，PE 为1ABA △中位线，故PE //1AA ，且112PE AA =，即PE //CQ ，且PE CQ =，故四边形PECQ 为平行四边形，故PQ //CE ，由PQ ⊄平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，故PQ //平面ABC ，D 选项正确. 故选：B7．在数列{}n a 中，若存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，则称数列{}n a 为“k -数列”.下列数列中为“k -数列”的是（ ） A ．n b n = B ．2n n b =C ．9n b n n=+ D ．123n b n =- 【答案】C【分析】利用“k -数列”定义逐项判断可得答案.【详解】对于A ，n b n =，11n b n +=+，1110+=+-=>-n n b b n n ，数列{}n b 是单调递增数列， 所以数列{}n b 不是“k -数列”，故A 错误；对于B ， 2nn b =，112++=n n b ，112220++-=-=>n n n n n b b ，数列{}n b 是单调递增数列，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故B 错误；对于C ，对于函数()()90f x x x x=+>，令123x x >>，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ， 因为123x x >>，所以12120,9->>x x x x ，()12121290-->x x x x x x ，所以()()12f x f x >， ()f x 在()3,x ∈+∞上为单调递增函数，令2103<<<x x ，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ， 因为2103<<<x x ，所以12120,09-><<x x x x ，()12121290x x x x x x --<，所以()()12f x f x <，()f x 在()0,3x ∈上为单调递减函数，所以对于9n b n n=+，当23n ≤≤时，有1n n b b -<，当3n ≥时，有1n n b b +<，存在3k =使得数列{}n b 是“k -数列”，故C 正确；对于D ，11b =-，2n ≥时，因为{}23n -的单调递增数列，123⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n 是单调递减数列，所以不存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故D 错误. 故选：C.8．已知O 为坐标原点，A 点坐标为()2,0，P 是抛物线21:2C y x =在第一象限内图象上一点，M 是线段AP 的中点，则OM 斜率的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)2,+∞C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D．⎛ ⎝⎦【答案】A【分析】设()()22,0>P y y y ，可得()221=+OM y k y ，再利用基本不等式可得答案.【详解】设()()22,0>P y y y ，所以21,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭y M y ，所以()22112141212===≤+⎛⎫++ ⎪⎝⎭OMyy k y y y y ，当且仅当1y y=即1y =时等号成立， 则OM 斜率的取值范围是10,4⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二、多选题9．已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（ ） A ．0 B ．12C ．2 D【答案】AB【分析】由[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈-，排除C 、D ；取,a AD b BC ==，求出0a b ⋅=；取,a AD b AC ==，求出12a b ⋅=.即可判断A 、B. 【详解】在正四面体ABCD 中，棱长均为1.任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1. 任取两个向量,a b ，则1a b ==.所以[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈-.故C 、D 错误； 取,a AD b BC ==.设BC 中点为E ,连接,AE DE . 因为ABCD 为正四面体，所以,AE BC DE BC ⊥⊥. 因为AEDE E =,AE ⊂面ADE ，DE ⊂面ADE ，所以BC ⊥面ADE .因为AD ⊂面ADE ，所以BC AD ⊥，所以,90a b =︒. 所以cos ,cos900a b a b ⋅==︒=.故A 正确； 取,a AD b AC ==，则,60a b =︒. 所以1cos ,cos602a b a b ⋅==︒=.故B 正确. 故选：AB10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为3C ．12PF F △3D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=【答案】BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=，解得2,1a c ==，2223b a c =-=， 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误； 对于B ，椭圆C 的短轴长为223b =，故B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y ，当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时03==y b ，所以12PF F △面积的最大值为3，故C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n ==， 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==，6mn =，所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（ ） A ．异面直线1AB 与CD 所成角的为45 B ．异面直线11A B 与1AC 所成角的为45 C ．直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33D ．二面角1C AD B --的大小为45 【答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断AB 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项. 【详解】如下图所示：对于A 选项，//CD AB ，则1AB 与CD 所成的角为145BAB ∠=，A 对；对于B 选项，11//AB A B ，所以，1AC 与11A B 所成角为1BAC ∠或其补角，因为2AB =，1BC =1AC ==22211AB BC AC ∴+=，则1AB BC ⊥，所以，11tan BC BAC AB∠==145BAC ∠≠，B 错； 对于C 选项，11B C ⊥平面11AA B B ，故直线1AC 与平面11ABB A 所成角为11B AC ∠， 1AB ⊂平面11AA B B ，则111B C AB ⊥，所以，11111sin B C B AC AC ∠== 因此，直线1AC 与平面11ABB AC 对； 对于D 选项，AD ⊥平面11CC D D ，CD 、1C D ⊂平面11CC D D ，则AD CD ⊥，1AD C D ⊥，所以，二面角1C AD B --的平面角为145CDC ∠=，D 对. 故选：ACD.12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，将数列{}n a 和{}n b 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{}n c ，则下列结论正确的是（ ） A ．1216c = B ．数列{}n c 中n b 与1n b +之间共有12n -项 C ．22n n b a = D ．121n n n b c -+-=【答案】AB【分析】根据题意可得：数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则21n a n =-，2nn b =，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列{}n a 的前n 项和2n S n =，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；经检验，当1n =时也满足，所以21n a n =-；又因为数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，所以2nn b =.则数列{}n c 为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,，所以1216c =，故选项A 正确；数列{}n a 是由连续奇数组成的数列，1,n n b b +都是偶数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为112222n nn +--=，故选项B 正确；因为2nn b =，则222n n b =为偶数，但1222121n n n a +=⨯-=-为奇数，所以22n n b a ≠，故选项C 错误；因为2nn b =，前面相邻的一个奇数为21n -，令2121n k a k =-=-，解得：12n k -=，所以数列{}n c 从1到2n 共有12n n -+，也即122n nn n c b -+==，故选项D 错误，故选：AB三、填空题13．已知等差数列{}n a 前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为______. 【答案】78【分析】先求得等差数列{}n a 的首项和公差，然后求得前12项和. 【详解】设等差数列的公差为d ，则1133661521a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以前12项的和为1126678a d +=. 故答案为：7814．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C 的共轭双曲线的离心率为3，则双曲线C 的离心率为______.【分析】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，根据双曲线的离心率公式可得出b =，进而可求得双曲线C 的共轭双曲线的离心率.【详解】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，则3c a =，可得b =， 所以，双曲线C 的共轭双曲线的实轴长为2b ，虚轴长为2a，焦距为2c =，因此，双曲线C的共轭双曲线的离心率为c b. 15．已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______. 【答案】932##0.28125【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案. 【详解】画出轴截面如下图所示， 圆锥的轴截面为正三角形ABC ，设球心为O ，圆锥底面圆心为1O ，球的半径为R ，则圆锥的高为1322R R R +=，底面半径为32R ，所以圆锥与球的体积之比为23133π32294π323R R R ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=⨯. 故答案为：932四、双空题16．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线．．）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点P 运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆O 的方程为()2220x y RR +=>，半径为1的动圆M 内切于定圆O 作无滑动的滚动，切点P 的初始位置为(),0R .若4R =，则PO 的最小值为______；若2R =，且已知线段MP 的中点N 的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为______. 【答案】 2 2219144x y += 【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案. 【详解】当4R =时，PO 的最小值为21422R -⨯=-=.当2R =时，N 初始位置为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，圆O 的四分之一弧长为12π2π4⨯⨯=，圆M 的半周长为12π1π2⨯⨯=， 所以N 的轨迹过点10,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭， 所以31,22a b ==，椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为2219144x y +=. 故答案为：2；2219144x y +=五、解答题17．如图，PA 是三棱锥-P ABC 的高，线段BC 的中点为M ，且AB AC ⊥，2AB AC PA ===.(1)证明：BC ⊥平面PAM ；(2)求A 到平面PBC 的距离.【答案】(1)证明见解析23【分析】（1）根据已知条件证明BC AM ⊥，PA BC ⊥，由直线与平面垂直的判定定理即可证明. （2）法一：在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，证明AH ⊥平面PBC ，再求值即可；法二：A 到平面PBC 的距离，是三棱锥A PBC -的高，利用等体积法求解.【详解】（1）因为AB AC =，线段BC 的中点为M ，所以BC AM ⊥.因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以PA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为PA ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ，PA AM A =，所以BC ⊥平面PAM（2）法一：（综合法）在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，如图所示，因为BC ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以BC AH ⊥.因为AH PM ⊥，BC ⊂平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，PMBC M =，所以AH ⊥平面PBC . 在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC ==++=所以在Rt PAM 中，22426PM PA AM =++ 所以22236PA AM AH PM ⨯==A 到平面PBC 23法二：（等体积法）设A 到平面PBC 的距离为d ，则在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC ==++在Rt PAM 中，22426PM PA AM ++= 因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以11142223323P ABC ABC V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯=△， 11142263323P ABC PB PBC C A V V S d d --==⨯=⨯⨯=△，解得23d =， 所以A 到平面PBC 23. 18．已知等比数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且234230S S S -+=.(1)求n a ；(2)已知数列{}n b 满足：n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由234230S S S -+=可得公比q ，再由等比数列的通项公式即可得到结果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为234230S S S -+=，所以()234320S S S S -+-=，所以342a a =，所以2q ，所以112n n n a a q -==.（2）由（1）得，2n n b n =⨯，所以212222n n T n =⨯+⨯++⨯，……① 所以()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，……②①-②，得()()21112122222212212n n n n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯--， 所以()1122n n T n +=-⋅+.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，右焦点F 到32x =的距离为12. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1y x =-与双曲线C 交于M ，N 两点，求MNF 的面积.【答案】(1)2213y x -= (2)32【分析】（1）由双曲线实轴长为2可得1a =，再利用右焦点F 到32x =的距离为12可得2c =，即可求得双曲线C 的方程；（2）联立直线和双曲线方程容易解出M ，N 两点坐标即可求得MNF 的面积.【详解】（1）设双曲线C 的焦距为()20c c >，因为双曲线C 的实轴长为2，所以22a =，解得1a =.因为右焦点F 到32x =的距离为12，所以3122c -=，解得1c =或2c =. 因为c a >，所以2c =.可得222413b c a =-=-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立直线和双曲线22113y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()223130x x ---=， 即220x x +-=，1x =或2x =-不妨设11x =，22x =-，所以2130,y y ==-. 所以2121113132222MNF S MF y c x y =⨯=-⨯=⨯⨯=△. 即MNF 的面积为3220．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足______.①22a =，22n n a a +-=；②()21n n S n a =+；③()12n n nS n S +=+.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求n a ；(2)求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)n a n = (2)13112212n T n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【分析】（1）当选①时，分n 为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据n S 与n a 的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数数列，从而得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）选①因为22n n a a +-=，所以当n 为奇数时，1122n n a a n -=+⨯=； 同理，当n 为偶数时，2222n n a a n -=+⨯=. 所以n a n =.选②因为()21n n S n a =+，（*）所以当2n ≥时，112n n S na --=，（**）（*）-（**），得()11n n n a na --=，即11n n a a n n -=-， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列， 所以n a n =.选③因为()12n n nS n S +=+，所以()()()1211n n S S n n n n +=+++，所以数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12的常数列， 所以()12n n n S +=，所以当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 当1n =时，也符合上式.所以n a n =.（2）由（1）得，()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以111111111311123243522212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 21．三棱柱111ABC A B C 中，112AB AB AA AC ====，120BAC ∠=，线段11A B 的中点为M ，且BC AM ⊥.(1)求证：AM ⊥平面ABC ；(2)点P 在线段11B C 上，且11123B P BC =，求二面角11P B A A --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析313【分析】（1）由AB AM ⊥、BC AM ⊥根据线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面ABC ； （2）以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系，求出平面11B AA 、平面1PB A 的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C 中，11//AB A B ，在11AB A △中，11AB AA =，线段11A B 的中点为M ，所以11A B AM ⊥，所以AB AM ⊥； 因为BC AM ⊥，BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，AB BC ⊂、平面ABC ，所以AM ⊥平面ABC ；（2）做AN AC ⊥交BC 于N 点，以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A，)1,0B -，112B -⎝， ()0,2,0C，(M .所以13122AB ⎛=- ⎝，()BC =-，(AM =， 因为111222,033B P B C BC ⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭，所以32P ⎛⎝， 所以32AP ⎛=- ⎝，设平面11B AA 的一个法向量()1111,,n x y z =，则11111113102230n AB x yn AM z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，解得10z =，令1y 11x =，所以()11,3,0n =，设平面1PB A 的一个法向量()2222,,n x y z =，则222221222306231022n AP y n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令2y 23x =，21z =-，所以()23,1n =-，设二面角11P B A A --的平面角为()0180θθ≤≤，则1212126cos cos ,2n n n n n nθ⋅====⨯ 由图知二面角11P B A A --的平面角为锐角，所以二面角11P B A A --22．已知31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，上、下顶点分别为A 、B ，右顶点为C ，且225a b +=.(1)求椭圆E 的方程；(2)点P 为椭圆E 上异于顶点的一动点，直线AC 与BP 交于点Q ，直线CP 交y 轴于点R .求证：直线RQ 过定点.【答案】(1)2214x y += (2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得22,a b ，从而求得椭圆E 的方程.（2）设出直线BP 的方程，求得点Q 的坐标，联立直线BP 的方程和椭圆E 的方程，求得P 点坐标，进而求得直线PC 的方程，从而求得R 点的坐标，由此求得直线RQ 的方程并确定定点坐标.【详解】（1）因为3P ⎛ ⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，所以221314a b +=. 因为225a b +=，所以2213154b b +=-，整理得42419150b b -+=，解得21b =或2154b =. 当2154b =时，254a =，与a b >矛盾.所以21b =，24a =. 椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）设直线BP 的斜率为k ，则:1BP l y kx =-.因为1:12AC l y x =-+， 由1112y kx y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得421Q x k =+，2121Q k y k -=+. 因为22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()224140x kx +--=，整理得()221480k x kx +-=， 所以2841P k x k =+，224141P k y k -=+. 所以2222241412141888242241PCk k k k k k k k k k --++===--+---+，所以()21:242PC k l y x k +=---. 令0x =，得2121R k y k +=-. 所以()()222221212121822121414144421212121RQ k k k k k k k k k k k k k k k +--+---+--====-----+++， 所以221:2121RQ k k l y x k k +=-+--. 所以()242:12212121RQ k k k l y x x k k k +=-+=-----. 所以直线RQ 过定点2,1.。

★绝密启用前2021年江苏省南通中学高二年级期末考试数学注意事项：1. 本试卷分选择题与非选择题两部分。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列是等比数列，公比为q ，且则“”是“，”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知等差数列的前n 项和为，且定义数列如下：是使不等式成立的所有n 中的最小值，则A. 25B. 50C. 75D. 1003.电影夺冠讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映．在夺冠，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是A. 8B. 12C. 16D. 204.小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还万元．A. B. C. D.5.已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l 的垂线，垂足分别为，，如图所示，则：以线段AB为直径的圆与准线l相切；以为直径的圆经过焦点F；，O，其中点O为坐标原点三点共线；若已知点A的横坐标为，且已知点，则直线TA与该抛物线相切．则以上说法中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 46.九章算术与几何原本并称现代数学的两大源泉．在九章算术卷五商功篇中介绍了羡除此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体体积的求法．在如图所示的羡除中，平面是铅垂面，下宽，上宽，深3m，平面BDEC是水平面，末端宽，无深，长直线CE到BD的距离，则该羡除的体积为A. B. C. D.7.如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有A. 40320种B. 5040种C. 20160种D. 2520种8.已知点P是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）αβ>是sin sin αβ>的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）5(2)(12)x x +-的展开式中，2x 的系数为( ) A ．70B ．70-C ．120D ．120-3．（5分）如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[14，18)内的频数是6，则样本数据落在[6，10)的频数是( )A ．6B ．8C ．9D ．104．（5分）设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥5．（5分）直线34y x =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则的取值有()个A ．1B ．2C ．3D ．46．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为( ) A 221B 221C 47D 477．（5分）琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为( ) A ．1360B ．16C ．115D ．7158．（5分）设1F ，2F 是椭圆22:13x y C m+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是( )A ．3(0,][4,)4+∞B ．9(0,][4,)4+∞C ．3(0,][12,)4+∞D ．9(0,][12,)4+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。