一类高次多项式系统极限环的研究(精)

一类四次哈密尔顿系统的极限环数范兴宇;黄文韬;陈爱永【摘要】研究在高次扰动项下的四次哈密尔顿系统,通过数值方法计算Abel积分的零点个数,得到该系统存在至少14个极限环的结论,这是四次哈密尔顿系统在四次扰动下关于极限环个数的较好结果.%The quartic Hamilton system with quartic perturbed terms is studied. By using the accurate method to calculate the number of zeros of Abel integrals of the system, it is obtained that the system has at least 14 limit cycles.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(051)002【总页数】5页(P35-39)【关键词】哈密尔顿系统;极限环;Abel积分【作者】范兴宇;黄文韬;陈爱永【作者单位】桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004;桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004;桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004【正文语种】中文【中图分类】O1确定Abel积分的零点个数问题和确定系统在很多项式扰动下的极限环个数密切相关，称之为弱化的Hilbert第十六问题，近些年来，对在扰动项下的哈密尔顿(Hamilton)系统(1)的极限环数的研究越来越受到重视[1-4]，其中H(x,y),f(x,y),g(x,y)为实系统数多项式，degH(x,y)=n+1,deg(f(x,y),g(x,y))≤n。

对于扰动哈密尔顿(Hamilton)系统的极限环个数研究，可分为两类：一类是取定较小的n值，给出Abel积分的零点个数。

另一类是固定H，而f,g为任意的n次扰动。

关于系统(1)的一些特殊情形的极限环研究成果颇多，见文[5-8]，值得一提的是在文[9]中，作者应用分支理论与判定函数得到了Z(3,5)≥14，文[10]的作者利用定性分析的方法也得到Z(3,2m+2n)≥m+n的结论。

零点状态函数与极限环我们知道二次系统中极限环的研究和函数零点研究方法类似。

在本论文中，我们考虑Lienard 方程()dx y F x dt =- , ()dyg x dt=-，给出方程的一个状态函数并且研究其零点。

最后，我们得到这个函数的极限环的存在唯一性。

1.引言二次系统中极限环的研究方法和函数零点研究方法的相似性是众所周知的。

例如，庞加莱-本迪克松的环域类似于问题：如果连续函数Φ (x)满足Φ (a)> 0和Φ (b)<0，那么错误！未找到引用源。

（x ）=0在（a,b ）上至少存在一个实根,由点变换法或比较法研究知极限环的唯一性类似于以下问题：错误！未找到引用源。

=0至少有一个实根;考虑系统存在至多两个极限环类似于问题：如果'()x Φ符号固定，那么错误！未找到引用源。

=0存在最多两个实根，等等。

在本论文中，我们考虑Lienard 方程'''()()0x f x x g x ++=或它的等效系统()dx y F x dt =- , ()dyg x dt =- , (0()()x F x f d ξξ=⎰) , (*) （1）给出（*）的一些状态函数并研究其零点。

最后，我们得到（*）的极限环存在唯一性的结论。

令0()()xG x g d ξξ=⎰,我们假设在（ - ∞，+∞）上f （x ）和g （x ）是连续的，存在两个数0 <r ++∞， - ∞<r -<0，使得在错误！未找到引用源。

<x<错误！未找到引用源。

上xg(x)>0; G(错误！未找到引用源。

)=1G ≢+∞, G(错误！未找到引用源。

)=2G ≢+∞.并且,函数F （x ）和g （x ）满足（*）的存在唯一定理条件。

显然，原点（0,0）是唯一的奇点。

对于系统（*），我们做菲利波夫变换z =G （x ）。

因此，（*）的运动轨迹在x-y 右半平面上的区域0<x<r +错误！未找到引用源。

一类四次多项式系统原点的极限环分支
卢景苹
【期刊名称】《广西科学》
【年(卷),期】2013(020)002
【摘要】给出一类四次多项式系统原点的前8个奇点量,由奇点量导出焦点量,得到该系统原点成为8阶细焦点的条件,证明该系统从原点可以分支出8个极限环.【总页数】3页(P85-87)
【作者】卢景苹
【作者单位】广西民族师范学院数学与计算机科学系,广西崇左 532200
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.一类五次多项式系统无穷远点的中心条件与赤道极限环分支 [J], 张齐;李建平
2.一类七次多项式系统高次奇点的极限环分支与拟等时中心 [J], 吴玉森;李培峦
3.一类多项式系统极限环的唯一性与分支 [J], 金山;鲁世平
4.一类平面五次多项式系统原点的极限环分支 [J], 杨卫东;王勤龙
5.一类四次多项式系统原点的中心条件与极限环分支 [J], 赵大虎;卢景苹
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一类三次系统极限环的存在性与唯一性方成鸿【摘要】In this paper, the cubic planar system x=-y（1-ax）＋a1x＋a2x2＋a3x3,.y=x（1-ax）, is studied, and the sufficient conditions for nonexistence, existence and uniqueness of limit cycle are obtained.%研究三次多项式系统.x=-y（1-ax）＋a1x＋a2x2＋a3x3,.y=x（1-ax）,得到了极限环不存在、存在唯一的若干条件.【期刊名称】《宁德师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(023)002【总页数】4页(P122-125)【关键词】三次系统;极限环;存在性;唯一性【作者】方成鸿【作者单位】景德镇陶瓷学院信息工程学院,江西景德镇333403【正文语种】中文【中图分类】O175对于给定的微分方程，其中pn，Qn是x、y的次数不高于n的实系数多项式，研究方程有几个极限环以及它们的相对位置是大家关心的问题.当n=2即平面二次多项式系统的研究，结果较丰富，文[1－2]有论述，三次系统的研究近年来倍受人们的关注,许多学者在这方面作了大量的工作.对于如下三次系统文[3]在a2=0，a=c，b=d的情形下得到了极限环存在唯一的充分必要条件，文[4－5]分别研究了a2=0，b=d，以及a2=0的情形下系统存在极限环的条件.本文考虑a=c，b=d=0的情形，即给出了系统不存在极限环、存在唯一极限环的若干充分条件，扩展了文[3]中的部分结果.1 极限环的不存在性原点 O（0,0）是系统（2）的奇点，不难得知：引理 1 当 a1＜0（＞0）时，原点是系统（2）的稳定（不稳定）的焦点或结点.当a1=0时，使用定正函数进行中心焦点判别[6]，取 V(x，y)=x2+y2-2a2x2y-a2y3－a22x4-（a2a+a3）x3y- （a2a+a3）xy3，在原点的充分小的去心邻域内，V(x，y)＞0，沿系统（2）的轨线求 V (x，y)的导数得│（2）=（a2a+a3）（x2+y2）2+…，省略的部分是x，y的五次以及五次以上的多项式.于是得到引理 2 当 a 1=0 时，若 a 2a+a3＜0(＞0)，原点是系统（2）的稳定（不稳定）的焦点；若 a 2a+a3=0，则（a2a+a3），向量场关于y轴对称，O是中心.当a≠0且a1a2+a2a+a3=0，系统（2）还有一个奇点A(1/a,0)，是高阶奇点.定理1 下列条件之一成立时，系统（2）不存在闭轨线：（i）a1（a2a+a3）≥0，+≠0；（ii）a≠0，a1＜0＜a2a+a3≤－a1a2或－a1a2≤a2a+a3＜0＜a1.证明当a ≠0 时，x=1/a 是无切直线，若系统有闭轨线，必位于其左边（a＞0）或右边（a＜0）.（i）取 D ulac 函数 B (x，y)=，有（BP）+（BQ）=[2（a2a+a3）（1－ax）x2+（a2a+a3）x2+a1]，当 a =0 时，若a 1a3≥0 且 a 1、a3不同时为 0 ，上式右端不变号；当 a ＞0（a＜0）时，若 a 1（a2a+a3）≥0且 a 1、a2a+a3不同时为0，上式右端对任意 x ＜1/a（x＞1/a）不变号；因此系统（2）不存在闭轨线.（ii）取 D ulac 函数 B (x，y)=有 [ －（a2a+a3）（1－ax）2+（a1a2+a2a+a3）]，在给定的条件下，当 a ＞0（a＜0）时，上式右端对任意 x＜1/a（x＞1/a）不变号，故系统（2）不存在闭轨线.2 极限环的存在性与唯一性定理 2 设 a=0，如果 a1＜0＜a3（a3＜0＜a1），则系统（2）存在唯一的不稳定（稳定）极限环.证明设a1＜0＜a3，作时间反演变换，系统（2）可化为Li nard型方程这时F（x）=a1x+a2x2+a3x3有两个非零实根x1与x2，有两个驻点x01与x02，且x2＜x02＜0＜x01＜x1，当x∈(x2，0)时F（x）＞0，当x∈(0，x1)时F（x）＜0.记k1=F（x02），k2=F（x01），则k2＜k1.由F（x）的单调性知，存在M＞max{－x2，x1}使得x＞M时F（x）＞k1，x＜－M时F（x）＜k2，根据Драгилёв 定理[7]，系统（3）存在闭轨线.记 f （x）=F′（x），则f∈C0(－∞，+∞)且 f （0）=a1≠0，又）=3a3－＞0，故f（x）/x是增函数，根据张芷芬的唯一性定理[7]，系统（3）至多存在一个极限环，如果存在必是稳定的.综上，并注意到变换的性质，可知当a1＜0＜a3时，系统（2）存在唯一的不稳定极限环.若a3＜0＜a1，根据注 1 可化成上述情形.注 1 ：作变换x=x，y=－y，d t=－d t，系统（2）变为 d/d=－（1－a）+b1+b2+b，d/d=（1－a），其中bi=－ai，i=1～3.考虑a≠0的情形，以下不妨设a＞0，否则作变换=－x，=－y即可.作时间变换d t=－（1－a）d t并仍用t记 t，系统（2）可化为 L inard型方程因为系统（2）的极限环只可能位于直线x＝1／a的左边，故只需研究方程（4）在直线x＝1／a的左边是否存在极限环.引理 3 若 a 1（a1a2+a2a+a3）＜0，则方程（4）至多存在一个极限环.证明由注 1 ，只证 a 1＜0＜a1a2+a2a+a3的情形.记F（x）={（1－ax）[（a2a+a3）x2－a1]+2{（1－ax）[－a1a2x2－a1]+2[－a1a2x2+a1ax]}= －xa21＞0，由张芷芬的唯一性定理[7]，方程（4）至多存在一个极限环.由引理1、引理2、引理3及Hopf分枝定理[6]可知下述结论成立.定理 3 当 a2a+a3＞0 且－1＜＜a1＜0（a2a+a3＜0 且 0＜a＜＜1）时，系统（2）存在唯一不稳定（稳定）的极限环.引理 4 若 a1（a1a2+a2a+a3）＜0 且 a1a3＜0，则方程（4）存在极限环.证明不妨设a1＜0＜a1a2+a2a+a3且 a3＞0，否则如注1作变换即可.存在 x=0的去心邻域使xF（x）＜0成立；给定的条件下函数 a 1+a2x+a3x2在区间（0，1/a）内有唯一零点 r ，且x ∈（0，r）时F（x）＜0，x∈（r，1/a）时F（x）＞0，令 C =max+1，则当x ∈（0，1/a）时F（x）+C＞0，又0≤x≤r在[0，1/a]连续，存在正数M使d x≤M；inf F（x）=－∞； sup F（x）=+∞，于是定理 1 [8]的 4 个条件都可以满足，从而方程（4）存在x＜00＜x＜1/a极限环.定理 4 若 a3＞0 且－（a2a+a3）/a2＜a1＜0 （a3＜0 且 0＜a1＜－（a2a+a3）/a2），系统（2）存在唯一的不稳定（稳定）极限环.在a2a+a3＞0的条件下，定理3说明当a1＜0且充分接近0时，系统（2）存在一个极限环，但没有给出a1的变化范围.若a3＞0，定理 4 表明只要－（a2a+a3）/a2＜a1＜0 成立，系统（2）始终存在一个不稳定的极限环.对于a3＜0的情形，有如下结果：定理 5 若 a3＜0，max{－（a2a+a3）/a2,（a2a+a3）/a2－4}＜a1＜0，系统（2）存在唯一的不稳定极限环.为证明定理5，先给出一个引理，它可以看作Филиппов定理[7]的一个变形，用类似的方法可以证明该引理.引理5 给定微分方程并记 f （x）=F′（x），，α 是正常数，=G（α），0＜λ＜.如果（i）f（x），g（x）在（－∞，α）上连续；F（0）=0，（x）=+∞；xg（x）＞0，x≠0；G（－∞）=+∞；（ii）作Ф илиппов变换，方程（5）当x＞0 和x＜0 时分别等价于下列两个方程=F1（z）－y （z＞0），=F2（z）－y （z＞0），其中F i（z）=F[xi（z）]，xi（z）是z =G（x）在（－1）i－1x＞0 时的反函数，i=1,2.并且存在δ ＞0，当 0 ＜z＜δ时，F2（z）≥F1（z），F1（z）＜λ,F2（z）＞－λ（iii）存在z 0∈（δ，δ），使（F1（z）－F2（z））d z＞0，当z0＜z＜时，F2（z）≤F1（z），F1（z）＞－λ,F2（z）＜λ，则方程（5）在直线x=α的左半平面上至少有一条闭轨线.定理5的证明只需证明在给定的条件下方程（4）存在极限环.令α=1/a，显然引理5的（i）满足.当a1＜0＜a1a2+a2a+a3时，函数φ （x）=a1+a2x+a3x2在区间（0，1/a）内有唯一零点 r ，且φ （x）＜0，x∈（0，r）；φ（x）＞0，x∈（r,1/a）.又令δ =r2/2，则引理5 的（ii）满足.∫z01这里=G（α）=1/（2a2），因[F1（z）－F2（z）]=+∞，故存在z 01∈（δ，δ）使0F1（z）－F2（z）d z＞0，且当z01＜z＜时，F2（z）≤F1（z），F1（z）＞－λ，由 a 3＜0 及（a2a－a3）/a2－4＜a1＜0，可知 0 ＜λ＜，又 F 2（z）＜λ等价于a3（）2+ （aλ－a2）+a1+λ＞0，而左边当z=时大于 0 ，故存在 z 02＜δ，使 z 02＜z＜时 F 2（z）＜λ成立，令 z 0=max{z01，z02}，即得引理 5的（iii）满足，于是方程（4）在直线x=1/a的左边存在极限环.推论若a3＞0，0＜a1＜max{-（a2a+a3）/a2，（a2a－a3）/a2+4}，系统（2）存在唯一的稳定极限环.3 结论综上可知，若有极限环，系统（2）至多有一个.定理6 设a=0，则系统（2）存在极限环的充分必要条件是a1a3＜0.当a≠0时，根据定理 1 知道系统（2）存在极限环的必要条件是 a1（a2a+a3）＜0 且 a1（a1a2+a2a+a3）＜0.令a2=0，文[3]的定理6表明，这个条件也是充分的，即系统（2）存在极限环的充分必要条件是a1a3＜0且＜.而a2≠0时，情况就不一样了.定理 7 设a≠0，若 a 1a3＜0 且 a 1（a1a2+a2a+a3）＜0，则系统（2）存在一个极限环.定理 8 设a≠0，若 a 1a3＞0、a1（a1a2+a2a+a3）＜0 且 a 1（a1a2-a2a+a3）＜4a2，则系统（2）存在一个极限环.参考文献：[1]叶彦谦.极限环论 [M].上海：上海科学技术出版社，1984.263－373.[2]叶彦谦.多项式微分系统定性理论 [M].上海：上海科学技术出版社，1995.204－287.[3]李健全，马知恩.一类三次系统极限环的存在唯一性[J].系统科学与数学，1999，19（1）：16－18.[4]梁锦鹏.一类三次系统的极限环 [J].系统科学与数学，2003，23（3）：398－404.[5]梁锦鹏.一类三次系统的极限环 II[J].系统科学与数学，2008，28（5）：576－587.[6]张锦炎，冯贝叶.常微分方程几何理论与分支问题 [M].（第三版）.北京：北京大学出版社，2000.47，169，207－210.[7]张芷芬，丁同仁，黄文灶，等.微分方程定性理论 [M].北京：科学出版社，1985.161－170，208－210.[8]丁大正.Lienard 方程极限环的存在性 [J].应用数学学报，1984，7（2）：166－174.。

一类具有九个小扰动极限环的三维多项式系统
范高锋
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2008(008)001
【摘要】利用中心流形理论和 Mrealroot 算法给出了一类三维多项武微分系统的极限环构造的一般方法.构造了具有九小扰动极限环的一类三维三次多项式系统.【总页数】4页(P8-11)
【作者】范高锋
【作者单位】温州大学数学学院,温州,325035
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.一类（n+1）次多项式系统极限环的存在性 [J], 杜佳;肖箭;查道丽;王瑀;周久红;宋国强
2.一类七次多项式系统高次奇点的极限环分支与拟等时中心 [J], 吴玉森;李培峦
3.一类四次多项式系统原点的中心条件与极限环分支 [J], 赵大虎;卢景苹
4.一类（n＋1）次多项式系统极限环的存在性与唯一性 [J], 曹明
5.一类四次多项式系统原点的极限环分支 [J], 卢景苹
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