1-1求下列两个微分方程的公共解

习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。

解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。

6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。

解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。

8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。

常微分课后答案第一章yx C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以0222=+y dxyd ω，故xCx C y ωωsin cos 21+=为方程的解．（6）yB x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故0222=+y dxyd ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解：（1）xxy sin =，x y y x cos =+'； （2）212x Cy -+=，xxy y x2)1(2=+'-（C 是任意常数）；（3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）xe y =，xx xe ye y ey 2212-=-+'-；（5）x y sin =，0cos sin sin 222=-+-+'x x x y yy ；（6）xy 1-=，1222++='xy y x y x ； （7）12+=xy ，xy x yy 2)1(22++-='；（8）)()(x f x g y =，)()()()(2x f x g y x g x f y '-'='．证明 （1）因为2sin cos x xx x y -='，所以xxxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'．（2）由于21xCx y --='，故xx C x xCx x xy y x 2)12(1)1()1(2222=-++--⋅-=+'-．（3）由于xCe y ='，xCe y =''，于是022=+-=+'-''x x x Ce Ce Ce y y y ．（4）由xe y ='，因此xx x x x x x x e e e e e e ye y e y 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--．（5）因为x y cos ='，所以cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ． （6）从21xy ='，得1111122222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．（7）由x y 2='，得到xy x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．（8）)()()()()()()()()()()()()()()(222x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='．4．给定一阶微分方程x dx dy 2=， （1）求出它的通解； （2）求通过点)4,1(的特解； （3）求出与直线32+=x y 相切的解；（4）求出满足条件210=⎰ydx 的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 Cx xdx y +==⎰22．（2）由41==x y ，得到3=C ，所以过点)4,1(的特解为32+=xy ．（3）这时122=⇒=x x ，切点坐标为)5,1(，由51==x y ，得到4=C ，所以与直线32+=x y 相切的解为42+=xy ．（4）由231)31()(131210=+=+=+=⎰⎰C Cx x dx C x ydx ，得到35=C ，故满足条件21=⎰ydx 的解为352+=xy ．（5）如图1-1所示．-3-2-1123x24681012y图1-15．求下列两个微分方程的公共解： （1）422x x yy -+='；（2）2422y y x xx y --++='．解 公共解必须满足2424222y y x x x x x y --++=-+，即 022242=-+-x y x y ，得到2x y =或212--=x y 是微分方程422x x y y -+='和2422y y x x x y --++='的公共解．6．求微分方程02=-'+'y y x y 的直线积分曲线．解 设直线积分曲线为0=++C By Ax ，两边对x 求导得，0='+y B A ，若0=B ，则0=A ，得到0=C ，不可能．故必有0≠B ，则B Ay -='，代入原方程有02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B Cx B A B A x B A ，或)(22=-++B AB C x B A BA ，所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0,022BA B C B AB A ，得到⎩⎨⎧==0,0C A 或B C A -==．所求直线积分曲线为0=y 和1+=x y ． 7．微分方程32224xy y y x=-'，证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明 设0),(=y x F 是微分方程32224xy y y x =-'的积分曲线，则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线是),(=--y x F ．由于),(=y x F 适合微分方程32224xy y y x =-'，故3222),(),(4xyy y x F y x F x y x =-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅，分别以y x --,代yx ,，亦有3222))(()(),(),()(4y x y y x F y x F x y x --=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⋅-，而由0),(=--y x F ，得到),(),(y x F y x F y yx -----='，从而0),(=--y x F 也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由100C 冷至60C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到30C ？假设空气的温度为20C ． 解 设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，20=au，微分方程为)(au u k dtdu --=，解得ktaCe u u -+= ，根据初始条件10000===u ut ，得80=-=a u uC ，因此 kta a e u u u u --+=)(0，根据60,201===uu t ，得到ka a e u u u u2001)(--+=，由此202ln ln 20110=--=a a u u u u k ，所以得到t e u 202ln 8020-+=，当30=u 时，解出60=t （分钟）1=（小时）．在1小时的时间内，这个物体的温度达到30C ．9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：（1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ；（3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a ；（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分；（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项；（7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．（提示：过点),(y x d 的横截距和纵截距分别为'-yy x 和y x y '-）．解 （1）曲线上任一点为),(y x ，则xy y x yy '+-'=1tan α，即ααtan tan y x x y y -+='． （2）曲线上任一点),(y x 处的切线方程为yy x Y X y -'=-'，与两坐标轴交点为),0(y x y '-和)0,(y yy x '-'，两点间距离为l y x y y y y x ='-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'22)(，即 222)()(l y x y y y x ='-+'-． （3）由（2），有221a y x y y yy x ='-'-'，或y a y y x '=-'222)(．（4）由（2），有2y x y y '-=，或0=+'y y x ．（5）由（2），2xy xy='-．（6）同样由（2），2yxy xy +='-，或xy xy='-2．（7）易得kxy='（k为常数且0>k）．。

习题解答 习题1.11．一质量为m 的物体，从高度0s 处以初速度0v 铅直向上抛出．设空气的阻力与速度成正比，试求物体的运动规律所满足的微分方程，并写出初始条件．解 如图建立坐标系，设时刻t 时物体的高度为()x t ．因物体所受的合力为f mg k dx dt =+，方向向下，由Newton 第二定律可得22d x dx m mg k dt dt=--（0k >为常数）， 化简后可得微分方程220d x k dxg dt m dt++=． 若令dx dt v =，则得速度v 满足的一阶微分方程0dv kv g dt m++=， 相应的初始条件为0(0)v v =．2．一高温物体在C20的恒温介质中冷却．设在冷却过程中降温速度与物体和其所在介质的温度差成正比．已知物体的初始温度为0u ，试求物体的温度)(t u 所满足的微分方程，并写出初始条件．解 设时刻t 时物体的温度为)(t u ，由Newton 冷却定律可得微分方程(20)duk u dt=--（0k >为常数）， 相应的初始条件为0(0)u u =．3．已知曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，试求这曲线所满足的微分方程．解 如图所示建立坐标系，设所求曲线为()y y x =，曲线上的坐标为(,)x y ，过点(,)x y 处的切线上的坐标为(,)X Y ，则切线方程为'()Y y y X x -=-，易见该切线在纵轴上的截距为'b y xy =-．由条件可知'2x yy xy +-=， 整理可得微分方程11'02y y x -+=． 习题1.24．求下列两个微分方程的公共解：24'2y y x x =+-，242'2y x x x y y =++--．解 公共解当然满足关系式2424222y x x x x x y y +-=++--，化简，得22()[2()1]0y x y x -+-=．所以2y x =和212y x =-可能是两个方程的公共解．进一步验证可知前者是公共解，而后者不是．5．求微分方程2''0y xy y +-=的直线解． 解 设直线解为y ax b =+，则2()0a a x ax b +-+=．比较同次幂系数得a b =，2a a =，故0a b ==，或1a b ==．亦即所求的直线解为0y =或1y x =+．6．试求下列曲线族所满足的微分方程：（1）2y cx x =+， （2）12x x y c e c xe =+； （3）平面上的一切圆．解 （1）从2y cx x =+，'2y c x =+消去c 可得微分方程2'0xy x y --=．（2）从12x x y c e c xe =+，12'(1)x x y c e c x e =++，12"(2)x x y c e c x e =++消去12,c c 可得微分方程"2'0y y y -+=．（3）从222()()x a y b c -+-=，()()'0x a y b y -+-=， 21'()"0y y b y ++-=，3'"()"'0y y y b y +-=消去,,a b c 可得微分方程22[1(')]"'3'(")0y y y y +-=．7．给定微分方程22234'x y y xy ，证明其解曲线关于坐标原点(0,0)O 成中心对称的曲线，也是此微分方程的解曲线．证明 设00(,)x y 是方程22234'x y y xy 的积分曲线上任意一点，根据题意，我们只需证明00(,)x y --也是方程22234'x y y xy 的解即可．事实上，设()y y x =为任意积分曲线，00(,)x y 为其上任一点，则2223000004'()()()x y x y x x y x ．又设1()y y x =为与积分曲线()y y x =关于坐标原点成中心对称的曲线，则010()()y x y x =--，010'()'()y x y x =-．代入上式，得2223010100104'()()()x y x y x x y x ，即2223010100104()'()()()()x y x y x x y x ，即00(,)x y --也是方程22234'x y y xy 的解．习题1.31． 试用图像法作出如下微分方程的方向场和积分曲线的略图： （1）||'xy xy y； （2）2)1(' y y ； （3）xy y 1'； （4）22'y x y =-． 解 （1）当0xy >时，(,)1f x y º，即在第一、第三象限内任何点的方向斜率均为1；当0xy <时，(,)1f x y ?，即在第二、第四象限内任何点的方向斜率均为1-．由此不难画出方向场及积分曲线的略图．（2）易见2(,)(1)f x y y =-满足解的存在唯一性条件．考察等斜线2(1)y k -=（0k ³），即 1y k =?．当0k =时，1y =（容易验证它是一条积分曲线）。

常微分方程第二版答案第一章【篇一：常微分方程第一章】程1.1学习目标：1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质; 理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.1.2基本知识： (一) 基本概念1. 什么是微分方程:联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是指等式），称之为微分方程. 2. 常微分方程和偏微分方程:(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,dy2dyd2ydy()?t?y?0. ?b?cy?f(t)例如 , dtdtdtdt2(2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏?2t?t?2t?2t?2t?4微分方程. 例如 , . ???02222?t?x?x?y?z本书在不特别指明的情况下, 所说的方程或微分方程均指常微分方程.3. 微分方程的阶数: 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数.例如，d2ydy?b?cy?f(t) 是二阶常微分方程； 2dtdt?2t?t?2t?2t?2t?4与是二阶偏微分方程. ???02222?t?x?x?y?z4. n阶常微分方程的一般形式：dydnyf(t,y,,...,n)?0,dtdtdydnydydnydnyn)是t,y,,...,n的已知函数，而且一定含有n的这里f(t,y,dtdtdtdtdt 项；y是未知函数，t是自变量. 5. 线性与非线性：dydnydydny,...,n)?0的左端是y及,...,n的一次有理式，（1）如果方程f(t,y,dtdtdtdtdydny,...,n)?0为n阶线性微分方程. 则称f(t,y,dtdt（2）一般n阶线性微分方程具有形式：dnydn?1ydy?a(t)?...?a(t)?an(t)y?f(t)1n?1nn?1dtdtdt这里a1(t),…, an(t),f(t)是t的已知函数.（3）不是线性方程的方程称为非线性方程. （4）举例：d2ydy?cy?f(t)是二阶线性微分方程；方程2?bdtdtd2?g方程2?sin??0是二阶非线性微分方程；ldt方程(dy2dy)?t?y?0是一阶非线性微分方程. dtdt6. 解和隐式解：dydny,...,n)?0后，能使它变为恒等式，则如果将函数y??(t)代入方程f(t,y,dtdt）?0决定的隐函数y??(t)是称函数y??(t)为方程的解. 如果关系式?（t,y方程的解，则称?（t,y）?0为方程的隐式解. 7. 通解与特解：把含有n个独立的任意常数c1,c2,...,cn的解 y??(t,c1,c2,...,cn)称为n阶方程dydnyf(t,y,,...,n)?0的通解. 其中解对常数的独立性是指，对?及其 n?1阶导数dtdtd?dn?1?,...,n?1关于n个常数 c1,c2,...,cn的雅可比行列式不为0, 即 dtdt ???c1????c1???(n?1)?c1???c2????c2???(n?1)?c2??????cn????cn??0.??(n?1)??cn为了确定微分方程一个特定的解，通常给出这个解所必须满足的条件，称为定解条件.dydny,...,n)?0的初始条件是常见的定解条件是初始条件, n阶微分方程f(t,y,dtdtdydn?1y(1)(n?1)?y0,...,n?1?y0指如下的n个条件：t?t0，y?y0,，这里dtdt(1)(n?1)是给定的n+1个常数. 求微分方程满足定解条件的解，就是所谓t0,y0,y0,...,y0定解问题. 当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题. 把满足初始条件的解称为微分方程的特解. 初始条件不同，对应的特解也不同.(二) 解析方法1．变量分离方程形如dy?f(t)?(y)的方程为变量分离方程，其中f(t),?(y)分别为t,y的连续函数.dt方程解法如下：若?(y)?0，则dy?f(t)dt?(y)dy??(y)??f(t)dt?c上式确定方程的隐式通解. 如果存在y0，使得??y0??0，则y?y0也是方程的解. 2. 可化为变量分离方程的方程(1) 齐次方程dyy?g()的方程为齐次方程，g?u?为u的连续函数. dttydydu?t?u，从而原方程变为解法如下：做变量替换u?，即y?ut，有tdtdtdudug(u)?ut?u?g(u)，整理有?，此为变量分离方程，可求解. dtdtt形如 (2) 形如dya1t?b1y?c1的方程, 其中a1??a2,?b1,?b2,?c1,?c2为常数. ?dta2t?b2y?c2?a1b1c1???k的情形. a2b2c2此时方程化为dy?k,可解得y?kt?c. dt?a1a2b1b2?0,即a1b1??k的情形: a2b2ku?c1dudy?a2?b2?a2?b2dtdtu?c2令 u?a2t?b2y, 则有此为变量分离方程. ?a1b1a2b2?0的情形y. t对c1?c2?0的情况, 直接做变量替换u?当c1,c2不全为零, 求 ? ?a1t?b1y?c1?0的解为?a2t?b2y?c2?0?t??. ??y???t?t??令 ? , 则方程组化为y?y???原方程化为3．一阶线性微分方程?a1t?by1?0. ?at?by?0?22dya1t?byy??g()的齐次方程可求解. dta2t?byt(1) 一般形式：a(t)dydy?p(t)y?qt(的形式). dtp(t)dtdy,?c为任意常数. ?p(t)y，通解为ce?(2) 一阶齐次线性微分方程：dtdy?p(t)y?q(t)，q(t)?0. (3) 一阶非齐次线性微分方程：dt性质1 必有零解 y?0;性质2 通解等于任意常数c与一个特解的乘积; 性质3 任意两个解的线性组合也是该微分方程的解. (5) 非齐次线性微分方程的性质性质1 没有零解;性质2 非齐次方程的解加上对应齐次方程的解仍为非齐次方程的解; 性质3 任意两个非齐次方程的解的差是相应齐次方程的解. (6) 一阶非齐次线性微分方程的解法：(i) 猜测-检验法对于常系数的情形，即 p(t) 为常数, 此时方程为(4) 齐次线性微分方程的性质dy?ay?q(t), a为常数. dt对应齐次方程的通解为ce, 只需再求一个特解, 这时根据q(t)为特定的函数,bt可猜测不同的形式特解. 事实上, 当q(t)?ae, a,b为给定常数, 且b?a 时at可设待定特解为ce, 而当b?a时, 可设特解形式为cte, 后代入方程可确定待定常数c. 当q(t)为cosat,??sinat或它们的线性组合时, 其中a为给定常数. 这时可设待定特解为bcosat?csinat代入方程后确定b,?c的值. 当btbtq(t)具有多项式形式a0tn?a1tn?1???an?1t?an, 其中a0,?a1,??an 为给定常数且a0?0, 这时可设待定特解为b0t?bt1nn?1???bn?1t?bn代入方程可求得bi,?i?0,1?,??,n的值. 对于q(t)有上述几种线性组合的形式, 则可设待定特解是上述形式特解的线性组合. (ii) 常数变易法: 令y?c(t)e?p(t)dt，代入方程，求出c(t)后可求得通解为【篇二：微分方程数值解法(戴嘉尊_第二版)习题讲解】答杨韧吴世良(编)成都信息工程学院数学学院二o一o年四月编写目录第一章常微分方程数值解 ......................................................................3 第二章抛物型方程的差分方法 ..............................................................8 第三章椭圆型方程的差分方法 ............................................................16 第四章双曲型方程的差分方法 (25)第一章常微分方程数值解1．解: 由欧拉公式得yn1 yn hf (xn, yn) yn h( 由梯形公式得 yn1 ynyn2 11 2 1x n2yn 2 ) yn 0.2yn20.1 1xn2h[ f (xn, yn)f (xn1, yn1)]1 2 1x n2 1h [(22yn 2 )(1x 11 2 1 2 h( 1xn 2 n12y 2 n1 )]1 1x 2n1yn hynhy 2 n1) )12 1 x n12hy n1 yn1 yn hyn2121 2 h( 1xn1 1x 2n1yn1欧拉公式计算结果xn114h(yn hyn2 2h12 1 2 h( 1xn))yn y(xn ) y(xn)yn0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 0.1000 0.1970 0.2854 0.3609 0.4210 0.4656 0.4957 0.5137 0.5219 0.52270 0.0990 0.1923 0.2752 0.3448 0.4000 0.4412 0.4698 0.4878 0.4972 0.50000 0.0010 0.0047 0.0102 0.0160 0.0210 0.0244 0.0259 0.0259 0.0247 0.0227梯形公式计算结果xnyny(xn )y(xn)yn0 0 0 0【篇三：常微分方程习题】下列两个微分方程的公共解。

习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。

因此，公共周期3110==f T s 。

(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。

因此，公共周期5110==f T s 。

(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。

所以是非周期的。

(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。

因此，公共周期π==01f T s 。

1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。

显然是功率信号。

t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。

显然是能量信号。

3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。

1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。

考研数学三-244(总分150, 做题时间90分钟) 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1.设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f'(0)=0，f"(x)≠0，并且在曲线y=f(x)上任意一点(x ，f(x))(x≠0)作此曲线的切线，此切线在x 轴上的截距为μ，则______．A ．B ．1C ．D ．2SSS_SIMPLE_SINA B CD 分值: 4 答案:D[考点] 未定式极限与导数的几何意义．[解析] 根据导数的几何意义求切线方程，求出截距，再求未完成极限． 解：经过曲线上点(x ，f(x))的切线斜率为y'=f'(x)，切线方程为Y=f(x)+f'(x)(X-x)，其中(X ，Y)为切线上的动点．由于f"(x)≠0且连续，则f"(0)≠0，不妨设f"(0)＞0，则存在0的邻域U δ(0)，当x∈U δ(0)时，f"(x)＞0，即f'(x)单调递增，又f'(0)=0，则当时，f'(0)≠0．在切线方程Y=f(x)+f'(x)(X-x)中令Y=0，得x 轴上的截距于是由洛必达法则 所以故应选D ． 2.设f(x)在[0，1]上连续，f(1)≠0，在闭区间[0，1]上______．•A.必定没有零点 •B.有且仅有一个零点 •C.至少有两个零点 •D.有无零点无法确定SSS_SIMPLE_SINA B CD 分值: 4 答案:C[考点] 罗尔中值定理的应用．[解析] 构造辅助函数，利用罗尔中值定理即可得结论． 解：易见，Φ(0)=0．不选A ．令则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且并且F(0)-F(1)=0，由罗尔中值定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F'(ξ)=0，即可见，x=ξ∈(0，1)是Φ(x)的零点．故应选C．3.下列反常积分发散的是______．A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[考点] 反常积分的敛散性．[解析] 可通过排除法排除错误选项．解：选项A：选项C：选项D：以上都收敛，故应选B．事实上，而，故发散．故应选B．4.设y=y(x)是微分方程满足初值y(1)=0的特解，则______．A． B． C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[考点] 定积分的计算与一阶微分方程．[解析] 通过解一阶微分方程得到函数，再求定积分．解：本题中的方程是齐次微分方程，令=μ，则y=xμ，故可得dy=xdμ+μdx，代入原方程化简得，分离变量得，两边同时积分得，即，则原方程的通解为由y(1)=0得C=1．故特解为，整理化简得y(x)=(x2-1)．所以，故应选B．5.设向量组α1，α2，…，αm和向量组β1，β2，…，βt的秩相同，则正确结论的个数是______．①两向量组等价．②两向量组不等价．③若t=m，则两向量组等价．④若两向量组等价，则t=m．⑤若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βt线性表示，则两向量组等价．⑥若β1，β2，…，βt可由α1，α2，…，αm线性表示，则两向量组等价．•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[考点] 向量组的等价．[解析] 利用向量组等价的定义和常用结论．解：若两个两向量组等价，则秩相同，但反之，未必成立．反例：向量组(Ⅰ)只含一个向量，向量组(Ⅱ)只含一个向量．则显然(Ⅰ)和(Ⅱ)的秩均为1，但不等价．若在秩相同的条件下，一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价，故⑤、⑥正确．故应选D．6.α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T．c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=______．A． B． C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[考点] 非齐次线性方程组解的结构．[解析] 根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可．解：根据线性方程组解的性质，可知2α1-(α2+α3)=(α1-α2)+(α1-α3)是非齐次线性方程组Ax=b导出组Ax=0的一个解．因为r(A)=3，所以Ax=0的基础解系含4-3=1个解向量，而2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T≠0，故是Ax=0的一个基础解系．因此Ax=b的通解为α1+k(2α1-α2-α3)=(1，2，3，4)T+k(2，3，4，5)T，k∈R即C正确．对于其他几个选项，A中(1，1，1，1)T=α1-(α2+α3)，B中(0，1，2，3)T=α2+α3，D中(3，4，5，6)T=3α1-2(α2+α3)，都不是Ax=b的导出组的解．所以A、B、D均不正确．故应选C．本题常见错误是未能准确求出Ax=0的基础解系，主要原因是错将α2+α3当作Ax=b的解，从而导致错误．7.设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y，V=X+Y，则随机变量U与V必然______．• A.不独立• B.独立• C.相关系数不为零• D.相关系数为零SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[考点] 考查不相关．[解析] 利用协方差与相关系数的公式得出结论．解：Cov(U，V)=Cov(X-Y，X+Y)=Cov(X，X)+Cov(X，Y)-Cov(Y，X)-Cov(Y，Y)=D(X)-D(Y)=0．所以ρXY=0．故应选D．8.设X1，X2，X3，X4为来自总体N(0，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为______．•**(0，2)•**(2)C.χ2(2)**(2，2)SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[考点] 考查抽样分布判断．[解析] 利用t分布定义得到结论．解：因为X1～N(0，σ2)，所以X1-X2～N(0，2σ2)，即而，由t分布定义可知：故应选B．二、填空题1.设则f[f(x)]=______．SSS_FILL分值: 4答案:[考点] 分段函数的复合．[解析] 根据分段函数的复合运算即可得结果．解：由f(x)的表达式，有故应填2.=______．SSS_FILL分值: 4答案:[考点] 未定式的极限．[解析] 首先将“1∞”型未定式指数化，再求指数上的极限即可得．解：根据sinx的周期性知从而而所以故应填．3.设函数z=f(x，y)(xy≠0)满足，则dz=______．SSS_FILL分值: 4答案:(2x-y)dx-xdy[考点] 多元函数的全微分．[解析] 先求函数f(x，y)表达式，再求其全微分．解：令xy=μ，，则，y2=μv，于是有所以，f(x ，y)=x 2-xy ．故dz=(2x-y)dx-xdy ． 故应填(2x-y)dx-xdy ． 4.设f(μ)为连续函数，且=______．SSS_FILL分值: 4 答案:[考点] 变限积分方程与定积分．[解析] 利用换元积分法化简变限积分方程，两端对z 求导即得积分结果．解：令2x-t=μ，则 原方程化为两边对x 求导得令x=1，得，而f(1)=1，所以 故应填． 5.设A 为3阶方阵，如果A -1的特征值是1，2，3，则|A|的代数余子式A 11+A 22+A 33=______．SSS_FILL分值: 4 答案:1[考点] 代数余子式，属难点题型．[解析] 注意到A 11+A 22+A 33恰为伴随矩阵A *的主对角线元素之和，即A *的迹，再由结论：方阵的迹等于特征值的和，只需求出A *的特征值即可． 解：因为A -1的特征值为1，2，3，所以|A -1|=1×2×3=6，从而 又因为，所以 故A *的特征值为 所以故应填1．本题常见错误有二．一是没能应用结论：方阵的迹等于特征值之和，从而不能找到正确的解题思路；二是有关伴随矩阵的定义和公式不够熟练，导致错误． 6.设A 和B 独立，P(A)=0.5，P(B)=0.6，则=______．SSS_FILL分值: 4答案:[考点] 考查随机事件的概率．[解析] 利用条件概率公式、概率基本性质以及事件的独立性计算结果．解：故应填．三、解答题1.求极限SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:解法一：又因为，则cos(sinx)-cosx=所以，解法二：[考点] 未定式的极限．[解析] 本题可以利用洛必达法则计算，但计算过于烦琐，不容易求出答案且易出错，因此，应该想到利用泰勒展开的方法求极限．在解法一中，当x→0时，需用到无穷小的运算法则：①k·o(x n)=0(x n)；②x n·o(x m)=o(n+m)；③o(x n)±o(x n)=o(x n)．有些同学在展开式整理中常出现问题．在解法二中，若在第二个等号后继续用洛必达法则，则运算过于烦琐，有些同学往往出现符号错误或求导不彻底的错误．2.就常数a的不同取值情况，讨论方程xe-x=a(a＞0)的实根．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:解：令f(x)=xe-x-a，则f'(x)=(1-x)e-x，f"(x)=(x-2)e-x．令f'(x)=0，得驻点x=1．由于当x∈(-∞，1)时，f'(x)＞0，f(x)在(-∞，1)单调增加，当x∈(1，+∞)时，f'(x)＜0，f(x)在(1，+∞)内单调减少，所以f(x)在x=1处取得极大值，即最大值为f(1)=e-1-a．则①当e-1-a＜0时，即时，f(x)≤f(1)＜0，方程xe-x=a无实根．②当e-1-a=0，即时，只有f(1)=0，而当x≠1时，f(x)＜f(1)=0，方程xe-x=a只有一个实根x=1．③当e-1-a＞0，即时，由于(xe-x-a)=-∞，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(-∞，1)内单调增加，则f(x)=0在(-∞，1)内只有一个实根．又因(xe-x-a)=-a＜0，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(1，+∞)内单调递减，则f(x)=0在(1，+∞)内只有一个实根．所以方程xe-x=a正好有两个实根．[考点] 方程的根与导数的应用．[解析] 先确定函数的极值(或最值)，然后利用函数的几何性态讨论确定方程根的个数情况．3.设求(x，y)dxdy,其中D={(x，y)|x2+y2≤2y}．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:解：设D={(x，y)|1≤x2+y2≤2y且x≥0}，如下图所示，则1当x≥0时，由令x=rcosθ，y=rsinθ引入极坐标系(r，θ)，则点M的极坐标为，从而，在极坐标系下故[考点] 二重积分．[解析] 首先画出D的示意图，根据D的形态并结合f(x，y)的表达式选择坐标系，进而化为二次积分，即可求得结果．4.讨论函数在点(0，0)处(Ⅰ)是否连续．(Ⅱ)偏导数是否存在．(Ⅲ)是否可微．(Ⅳ)偏导数是否连续．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:解：(Ⅰ)当(x，y)≠(0，0)时，|f(x，y)|≤x2+y2，故f(x，y)=0=f(0，0)，所以函数在(0，0)处连续．(Ⅱ)在(0，0)处，即f(x，y)在(0，0)处关于x的偏导数存在，且(0，0)=0．同理，(0，0)也存在，且(0，0)=0．(Ⅲ)由(2)知，(0，0)=(0，0)=0，函数在(0，0)处的全增量：其中故因为，所以故函数f(x，y)在(0，0)处可微，且(Ⅳ)当(x，y)≠(0，0)时由于而(只要取y=x即可说明，上述两极限均为不存在)故均不存在所以在(0，0)处都不连续．[考点] 多元函数的连续、偏导数、可微的定义．[解析] 按照题目要求，逐个根据定义判定即可．5.设有级数(Ⅰ)求此级数的收敛域．(Ⅱ)证明此级数的和函数y(x)满足微分方程y"-y=-1．(Ⅲ)求微分方程y"=-1的通解，并由此确定该级数的和函数y(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:解：(Ⅰ)对于任意x，有所以收敛域为(-∞，+∞)．(Ⅱ)应用幂级数和函数的性质证明：则于是有即y(x)满足微分方程y"-y=-1．(Ⅲ)y"-y=0的特征方程r2-1=0的特征根为r=±1，于是对应齐次方程的通解为Y=C1e x+C2e-x，又特解为y*=1，故y"-y=-1的通解为y=C1e x+C2e-x+1．又幂级数的和函数y(x)满足y"(x)-y(x)=-1，且y(0)=2，y'(0)=0，则y(x)即为微分方程y"-y=-1满足初值条件y|x=0=2，y'|x=0=0的特解，即所以和函数[考点] 幂级数的收敛域及和函数、二阶线性微分方程．[解析] 先求收敛域，进而利用幂级数的性质推导出微分方程，最后通过微分方程求解求得和函数．6.设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1=(1，3，0，2)T，α2=(1，2，-1，3)T．Bx=0的基础解系为β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，-3，1，a)T．若Ax=0和Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11答案:解：设非零公共解为γ，则γ既可由α1和α2线性表示，也可由β1和β2线性表示．设γ=x1α1+x2α2=-x3β1-x4β2，则x1β1+x2β2+x3β3+x4β2=0．γ≠0x1，x2，x3，x4不全为零r(α1，α2，β1，β2)＜4a=0．当a=0时，解得则x1=2t，x2=-t，x3=-t，x4=t．所以非零公共解为2tα1-tα2=t(1，4，1，1)T，其中t为非零常数．[考点] 方程组的公共解．[解析] 设出公共解，进而转化为线性方程组的解．本题主要错误在于没出公共解，却未能转化为齐次线性方程组的求解．7.已知矩阵相似，求a，b及可逆矩阵P，使P-1AP=B．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11答案:解：因为A，B相似，所以|A|=|B|，且tr(A)=tr(B)，故A的两个特征值为：-1，-1．因此r(-E-A)=1，所以不能对角化．设，满足P-1AP=B，即有AP=PB，从而整理得解得所以可令则有P-1AP=B．[考点] 求可逆矩阵P，使P-1AP=B．[解析] 经验证，A不能相似对角化，故使用待定系数法求P．本题最常见错误即认为P-1AP就是将A相似对角化．事实上，由|λE-A|=0，解得λ=-1，是A的二重特征值，但，故A只有一个线性无关的特征向量，即A不能相似对角化．8.设随机变量X和Y的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11答案:解法一：三角形区域G={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≥1}；因为区域G的面积S=，故随机变量X和Y的联合密度为以f1(x)表示X的概率密度，则当x≤0或x≥1时，f1(x)=0；当0＜x＜1时，因此，同理，可得现在求X和Y的协方差．于是解法二：三角形区域为G={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≥1}；随机变量X和Y的联合密度为以f(u)表示U=X+Y的概率密度，当u＜1或u＞2时，显然f(u)=0．设1≤u≤2，当0≤x≤1且0≤u-x≤1时，f(x，u-x)=2，否则f(x，u-x)=0．由随机变量之和的概率密度公式，有因此[考点] 考查连续型随机变量的方差．[解析] 先确定(X，Y)的概率密度，再求D(X+Y)．9.设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中λ＞0，μ＞0是常数，引入随机变量(Ⅰ)求条件概率密度fX|Y(x|y)；(Ⅱ)求Z的分布律和分布函数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11答案:解：(Ⅰ)由X和Y相互独立，故f(x，y)=fX (x)·fY(y)．当y＞0时，(Ⅱ)由于且故Z的分布律为Z 0 1PZ的分布函数为[考点] 考查随机变量的独立性、条件密度等．[解析] 利用变量的独立性及条件密度公式求fX|Y(x|y)；确定Z与(X，Y)的关系并求出Z的分布律．1。

考研数学二（解答题）模拟试卷230(题后含答案及解析)题型有：1.1．求极限：．正确答案：属型．利用洛必达法则．原式＝涉及知识点：极限、连续与求极限的方法2．求正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续3．确定常数a，c，使得，其中c为非零常数．正确答案：由洛必达法则，故a=1，c=1／2．涉及知识点：高等数学部分4．设随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=求EX，EY，cov(X，Y)，ρXY和D(X+Y)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计5．设f(x)=上连续．正确答案：因为涉及知识点：函数、极限、连续6．求正确答案：由ln(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)得ln(1－2χ)＝－2χ－2χ2＋o(χ2)，于是arctan2χ[2χ＋ln(1－2χ)]～－2χ4；涉及知识点：函数、极限、连续7．计算其中D={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤2}．正确答案：令D1={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)|一1≤x≤1，x2≤y≤2}，则涉及知识点：高等数学8．构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵正确答案：(1)先求特征值A的特征值为0，2，6．再求单位正交特征向量组属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，1，－1)T，单位化得属于2的特征向量是齐次方程组(A－2E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，－1，0)T，单位化得属于6的特征向量是齐次方程组(A－6E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组(2)先求特征值A的特征值为1，1，10．再求单位正交特征向量组属于1的特征向量是齐次方程组(A－E)X=0的非零解，得(A—E)X=0的同解方程组x1+2x2－2x4=0，显然α1=(0，1，1)T是一个解．第2个解取为α2=(c，－1，1)T(保证了与α1的正交性！)，代入方程求出c=4，即α2=(4，－1，1)T．令再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A－10E)X=0的非零解(1，2，－2)T，令γ3=α3／‖α3‖=(1，2，－2)T／3．作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)．则涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化9．求函数f(x)=的最大值与最小值．正确答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在[0，+∞)内的最大值与最小值即可．令f’(x)=2x(2-x2)=0，得f(x)的唯一驻点为x=当x∈(0，)时，f’(x)＞0，当x∈(，+∞)时，f’(x)＜0，注意到驻点的唯一性，则x=为函数f(x)的最大值点，最大值为因为f(+∞)=f(-∞)=(2-t)e-tdt=1及f(0)=0，所以最小值为0．涉及知识点：一元函数积分学10．设y＝f(χ)与y＝sinχ在原点相切，求正确答案：由题意得f(0)＝0，f′(0)＝cosχ｜χ＝0＝1，涉及知识点：一元函数微分学及应用11．设A为正交矩阵，且｜A｜=一1，证明：λ=一1是A的特征值。

考研数学二（解答题）模拟试卷97(题后含答案及解析) 题型有：1.1．证明cosnχdχ＝0．正确答案：先对积分∫01cosnχdχ建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法2．求极限正确答案：由洛必达法则可知涉及知识点：函数、极限、连续3．求极限：．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续4．求曲线r=的斜渐近线．正确答案：写为参数方程形式涉及知识点：一元函数微分学5．设f(x)在x0处n阶可导，且f(n)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n＞2)，证明：当n为奇数时，(x0，f(x0))为拐点．正确答案：n为奇数，令n=2k+1，构造极限当f(2k+1)(x0)＞0时，，但x→x0+时，f”(x)＞0；x→x0-时，f”(x)＜0，故(x0，f(x0))为拐点．涉及知识点：一元函数微分学6．＝5，求正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续7．设f(x)在[a，b]上连续，f(x)≥0且∫abf(x)dx=0，求证：在[a，b]上f(x)≡0．正确答案：由定积分的性质0≤∫axf(t)dt≤∫abf(x)dx=0(∈[a，b])∫axf(t)dt=0(∈[a，b])[∫axf(t)dt]=f(x)=0(∈[a，b])．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用8．设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得正确答案：令φ(x)=，显然φ(x)在[a，b]上可导，又φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=解析：由知识模块：一元函数积分学9．设f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且＝0，又f(2)＝2f(χ)d χ，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)＋f〞(ξ)＝0．正确答案：由＝0，得f(1)＝－1，又所以f′(1)＝0 由积分中值定理得f(2)＝2f(χ)dχ＝f(c)，其中c∈[1，] 由罗尔定理，存在χ0∈(c，2)(1，2)，使得f′(χ0)＝0．令φ(χ)＝eχf′(χ)，则φ(1)＝φ(χ0)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，χ0)(0，2)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝eχ[f′(χ)＋f〞(χ)]且eχ≠0，所以f′(ξ)＋f〞(ξ)＝0．涉及知识点：一元函数微分学10．求下列微分方程的通解：正确答案：(Ⅰ)这是一阶线性非齐次方程，两边同乘，得积分得，其中C为任意常数．(Ⅱ)注意到如果将χ看作y的函数，则该方程可改写为－yχ＝y3，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程11．设(Ⅰ)(1)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；(2)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．正确答案：(1)A1=(Ⅰ)的基础解系为ξ1=，ξ2=A2=(Ⅱ)的基础解系为η1=，η2=(2)(Ⅰ)的通解为k1ξ1+k2ξ2=，(Ⅱ)的通解为l1η1+l2η2=令k1ξ1+k2ξ2=l1η1+l2η2∴(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(k为任意常数)．涉及知识点：线性代数12．(1)设D=((x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若f”xy与f”yx在D上连续，证明：(2)设D为xOy平面上的区域，若f”xy与f”yx都在D上连续，证明：f”xy与f”yx在D上相等．正确答案：(1)f”xy(x，y)dxdy=∫abdx∫cdf’xy(x，y)=∫abf’x(x，y)∫cddx =∫ab[f’x(x，d)一f’x(x，c)]dx =f(x，d)｜ab—f(x，c)｜ab =f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．同理，f”yx(x，y)dxdy=∫cddy∫abf”yx(x，y)dx=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．结论成立．(2)用反证法．设存在P0(x0，y0)∈D，有f”xy(x0，y0)≠f”yx(x0，y0)．不妨设f”xy(x0，y0)一f”yx(x0，y0)＞0，由于[f”xy(x，y)一f”yx(x，y)]=f”xy(x0，y0)一f”yx(x0，y0)＞0．由极限的保号性，ε0＞0，δ＞0，当P(x，y)∈U(P0，δ)时有f”xy(x，y)一f”yx(x，y)＞ε0．由(1)有，[f”xy(x，y)一f”yx(x，y)]dxdy=0，这与上述结论矛盾，故f”xy(x，y)与f”yx(x，y)在D上相等．涉及知识点：二重积分13．设=A，证明：数列{an}有界．正确答案：取e0=1，因为=A，根据极限定义，存在N＞0，当n＞N时，有｜an-A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜+1．取M=max(｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜+1}，则对一切的n，有｜an｜≤M．涉及知识点：函数、极限、连续设函数f(x)=其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．14．确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；正确答案：当a=g’(0)时，f(x)在x=0处连续．涉及知识点：一元函数微分学15．求f’(x)；正确答案：当x≠0时，涉及知识点：一元函数微分学16．讨论f’(x)在x=0处的连续性．正确答案：因为=f’(0)，所以f’(x)在x=0处连续. 涉及知识点：一元函数微分学17．设f(x)=(1-｜t｜)dt(x＞-11)，求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．正确答案：当-1＜x≤0时，f(x)=当x＞0时，f(x)=即f(x)=由故所求的面积为A= 涉及知识点：一元函数积分学18．设z=x2arctan正确答案：涉及知识点：多元函数微分学19．在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asin x(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的曲线积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．正确答案：取L：y=asin x,x：0→π(a＞0)．则I(a)=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy =∫0π(1+a3sin3x)dx+(2x+asin x)d(asinx) =∫0π(1+a3sin3x+2axcos x+a2sinx cosx)dx =∫0πdx+a3∫0πsin3xdx+2a∫0πxcosxdx+a2∫0πsinxcosxdx =．令I’(a)=0，则4a2-4=0，得a=1，a=一1(舍去)．I”(a)=8a，I”(1)=8＞0，从而当a=1时，曲线积分取得最小值涉及知识点：多元函数微积分学20．求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解正确答案：。